函数的图像与零点试题

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函数图象变换和零点

函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。

2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。

y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。

3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。

函数零点与函数图像问题

函数图像与函数零点问题函数图象是研究函数性质的直观工具，高考对函数图象的考查主要体现在以下几个方面：①给出或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象；②给出函数的图象求解析式；③给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或范围；④考查函数图的平移、对称和翻折；⑤和数形结合有关问题等，特别是讨论方程的解的个数及解不等式等．同时考查基本数学思想方法的运用及分析问题、解决问题的能力，试题设计新颖，体现了课改的方向.函数零点问题可看作函数图像的衍生与升华，研究此类问题除二分法外，多采用数形结合法，把方程问题，解得问题直观的转化为两函数图像的交点问题，所以更要准确把握各类函数的性质特征，画出函数简图，准确找到交点所处的位置。

重难点突破：一、研究一个函数图象可从如下几个方面来考查：（1）函数图象的范围，即定义域和值域；（2）函数图象的最高点、最低点和极点；（3）函数图象的变化趋势，即单调性、对称性和周期性；（4）函数过定点或渐近线等关键特征．熟练处理函数图象题的途径：A）平时要牢记一些基本初等函数如：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等图象；B）对于一些简单的函数可通过列表、描点作图；C）对于一些复合函数可利用基本初等函数通过平移、对称和伸缩三大变换来作出我们所求的函数．二．函数零点的理解函数()y f x=的零点、方程0)(=xf的根、函数()y f x=的图像与x轴交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式，方程)(=xf根的个数就是函数()y f x=的零点的个数，亦即函数()y f x=的图像与x轴交点的个数变号零点与不变号零点（1）若函数)(xf在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数)(xf的变号零点（2）若函数)(xf在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数)(xf的不变号零点（3）若函数)(xf在区间][ba，上的图象是一条连续的曲线，则0)()(<⋅bfaf是)(xf在区间)(ba，内有零点的充分不必要条件。

函数零点问题-学会解题之高三数学多题一解【原卷版】

函数零点问题【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一零点或零点存在区间的确定万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；第二步若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）在下列区间中，函数()23xf x x =--的零点所在的区间为（）A ．)(01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【变式演练2】（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数sin sin()13y x x π=-+-在区间(0,2)π上的零点所在的区间为（）A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数()226xf x x =+-的零点为0x ，不等式06x x ->的最小整数解为k ，则k ＝（） A ．8B ．7C ．5D ．6类型二零点的个数的确定方法1：定义法万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步判断函数的单调性；第二步根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【变式演练4】（2022·重庆·三模）已知函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式演练5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数|2|1()2x f x -=，()g x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)(2)g x g x +=-，当[0,2]x ∈时，2()log (1)g x x =+．则当[0,2022]x ∈时，方程()()f x g x =实根的个数为_______．【变式演练6】（2022·北京·高三开学考试）已知函数()x af x a x a+=--，给出下列四个结论： ①存在a ，使得函数()f x 可能没有零点； ②存在a ，使得函数()f x 恰好有1个零点； ③存在a ，使得函数()f x 恰好有2个零点； ④存在a ，使得函数()f x 恰好有3个零点. 其中所有正确结论的序号是______.方法2：数形结合法万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题；第二步在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像；第三步观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.例3. 方程3()|log |3x x =的解的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【变式演练7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()πcos 2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（） A ．2B ．3C ．4D ．5【变式演练8】（2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）（多选）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()()()1g x f f x =+，则下列说法正确的是（） A ．当0a >时，()g x 有4个零点 B ．当0a >时，()g x 有5个零点 C ．当0a <时，()g x 有1个零点D ．当0a <时，()g x 有2个零点【变式演练9】（2022·湖南师大附中三模）（已知）已知函数()[)[)1,0,1,21,1,2,3x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪-⎩对定义域内任意x ，都有()(2)f x f x =-，若函数()()=-g x f x k 在[0，+∞）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k 的可能取值为（） A ．0B ．1C 2D 21【高考再现】1．【2021年北京市高考数学试题】已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ①，使得有一个零点； ①，使得有三个零点； ①，使得有三个零点．以上正确结论得序号是_______．2.【2021年天津高考数学试题】设，函数，若在区间()lg 2f x x kx =--0k =()f x 0k ∃<()f x 0k ∃<()f x 0k ∃>()f x a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．3.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞4.【2020年高考上海卷11】已知a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件，①对任意0x R ∈，0()f x 的值为0x 或02x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解；则a 的取值范围为．5. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}6.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知λ①R ，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________①7.【2017江苏】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）】已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a, x ≤0,−x 2+2ax −2a,x >0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【反馈练习】1．函数的图象与函数的图象交点横坐标所在的区间可能为（）95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭()()=x f x e ()2ln g x x =-A ．B ．C ．D ．【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题2．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知直线l 与曲线ln (01)y x x =<<相切于点00(,)M x y ，若OM l ⊥，则0x 所在的取值区间是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭3．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数()()2ln 16f x x x =++-，则下列区间中含()f x 零点的是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e x g x =，若()()f s g t =，则当s t -取得最小值时，()g t 所在区间是（） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d <<D ．b c a <<6．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1x g x x =++的一个零点，132log 5c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<或c b a <<7．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x x =+-，则函数()()21g x xf x x=-的零点个数为（） A ．3B ．4C ．5D ．68．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））定义域在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，12log (1),01()13,1x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨⎪--≥⎩，则关于x 的函数()()12g x f x =-的所有零点的和是（）A 21B ．122C ．122-D ．129．（2022·河南·高三开学考试（文））已知定义域为R 的偶函数()f x 的图像是连续不间断的曲线，且()0,1()1,2()2,3()3,4(2)()(1)f x f x f ++=，对任意的1x ，20[]2,x -∈，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-恒成立，则()f x 在区间[]100,100-上的零点个数为（） A ．100B ．102C ．200D ．20210．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（） A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个11．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（）A ．()e 2x y f x -=--B ．()e 2x y f x =+C ．()e 2x y f x =-D ．()e 2x y f x =-+12．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））函数()222,0,23,0lnx x x x f x x x x ⎧-+>=⎨--≤⎩的零点个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．313．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（） A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个14．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（） A ．120x x +>B ．120x x <C ．12ln 0xe x +=D ．12121x x x x -+<15．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）（多选）已知函数()1,0ln ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数判断正确的是（） A ．当0k <时，有1个零点； B ．当0k >时，有4个零点； C ．无论k 取何值，均有2个零点；D ．无论k 取何值，均有4个零点；16．（2022·全国·高二专题练习）设定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，对任意的,()0x ∈+∞，都有[]3()log 4f f x x -=，若0x 是方程()2()3f x f x '-=的一个解，且*0,(1),N x a a a ∈+∈，则实数a =_____． 17．（2022·重庆·高三阶段练习）函数||21()2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是______．18．（2021·福建·福州市第十中学高三开学考试）已知函数24,1()lg 1,1x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则((9))f f -=__________，()f x 的零点个数为__________个．19．已知函数有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________. 【来源】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题20．【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文科】已知函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩. （1）求斜率为12的曲线()y f x =的切线方程；（2）设()()f x g x m x=-，若()g x 有2个零点，求m 的取值范围.()()112 ()1421x x f x k -=-+-。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练04 函数的图象、零点及应用(含解析)

高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题04 函数的图象、零点及应用考点1 作函数的图象 1.作出下列函数的图象． (1)y ＝⎩⎨⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2；【解析】(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x ＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．考点2 识图与辨图2.已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )【答案】D【解析】法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.3．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高三模拟）函数()21xy x e =-的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()21xy x e =-，则()21xy x e '=+，1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+<，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+>，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，且12x <时，()210xy x e =-<，所以BCD 均错误，故选：A.4．（2021·吉林高三模拟）函数()6cos 2sin xf x x x=-的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数()6cos 2sin xf x x x=-为奇函数，所以排除选项BC ，又当0x >时，()f x 第一个零点为2x π=，所以令4x π=，则有222sin 0,cos0242x x ππ--=>=>，所以排除D.故选：C 考点3 函数图象的应用考向1 研究函数的性质5.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【答案】C【解析】将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．6．（2021·山东烟台高三模拟）设函数()2,01,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．()0,∞+ C ．()1,0- D ．(),0-∞【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示：所以，函数()f x 在(),0-∞上为减函数，且当0x ≥时，()1f x =，因为()()12f x f x +<，观察图象可得2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是(),0-∞.故选：D. 考向2 求不等式解集7.若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.)1,22(C ．(1，2) D ．(2，2) 【答案】A【解析】要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．8.（2021·甘肃省会宁县第一中学高三模拟）已知)(f x 在R 上是可导函数，)(f x 的图象如图所示，则不等式)()(2230x x f x '-->解集为（）A ．)()(,21,-∞-⋃+∞B ．)()(,21,2-∞-⋃C ．)()()(,11,02,-∞-⋃-⋃+∞D ．)()()(,11,13,-∞-⋃-⋃+∞ 【答案】D【解析】原不等式等价于()22300x x f x '⎧-->⎪⎨>⎪⎩或()22300x x f x '⎧--<⎪⎨<⎪⎩，结合)(f x 的图象可得，3111x x x x ><-⎧⎪⎨-⎪⎩或或或1311x x -<<⎧⎨-<<⎩，解得1x <-或3x >或11x -<<．故选：D ．考点4 函数图象对称性的应用9.已知lga ＋lgb ＝0，函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图像可能是( )【答案】B【解析】∵lga ＋lgb ＝0，∴lgab ＝0，ab ＝1，∴b ＝1a .∴g(x)＝－log b x ＝log a x ，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图像关于直线y ＝x 对称，故选B.10．（2021·云南高三模拟）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为1B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点【答案】D【解析】由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误；当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =，可得()f x 大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D正确.故选：D.11．（2021·山东淄博高三模拟）已知函数()y f x =的定义域为{|0}x x x ∈≠R ，，且满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()()0f x f x --=得函数()f x 为偶函数，排除A 、B 项，又当0x >时，()ln 1f x x x =-+，∴(1)0f =，()20f e e =-<.故选:D 考点5 判断函数零点所在的区间12.设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间)1,1(e，(1，e)内均有零点B ．在区间)1,1(e，(1，e)内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】法一：图象法令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在)1,1(e内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈),1(e e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在),1(e e 上单调递减．又f )1(e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．13．（2021·黑龙江高三模拟）函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A ．()1,2B ．()1,0-C ．()0,1D ．()2,1--【答案】D【解析】如图，绘出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数29y x =+的图像，结合图像易知，函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是()2,1--，故选：D.考点6 判断函数零点(或方程根)的个数14.(2021·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解方程法，令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.15．（2021·山东潍坊高三模拟）已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（） A ．()1,0- B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C【解析】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．故选：C ．16．（2021·浙江镇海中学高三模拟）函数4()log (||1)cos f x x x π=+-的零点个数为（） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】令()4log (||1)x g x =+ ，因为10x +>恒成立，则()g x 的定义域为R ，由()()44log (||1)log (||1)x g x x g x --+=+==，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()4log (1)g x x +=，在()0,∞+上单调递增，令()cos h x x π=，分别画出()g x 与()h x 的函数图象，由图可知，()g x 与()h x 有六个交点，即函数4()log (||1)cos f x x x π=+-有六个零点.故选: D.考点7 函数零点的应用考向1 根据零点的范围求参数17.若函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2) 【答案】C【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a －3)<0，解之得0<a<3.18．（2021·浙江高一期末）已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（）A ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞【答案】A【解析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点.故选：A.19．（2021·江西高三模拟）设函数,10()11,01(1)x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,{0}4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩所以(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，其图象如下：函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，等价于()40f x t -=在区间()1,1-内有且仅有一个实数根，又等价于函数()y f x =的图象与直线4y t =在区间()1,1-内有且仅有一个公共点. 于是41t ≤-或40t =，解得14t ≤-或0t =.故选：D 考向2 已知函数零点或方程根的个数求参数20．（2020·湖南高三模拟）已知函数2141,0()1,02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()g x f x a =-恰好有3个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．[0,1) B ．(0,1)C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由条件可知()0f x a -=()a f x ⇒=()()g x f x a =-恰好有3个零点，等价于y a =与()y f x =有3个交点，如图画出函数的图象，由图象可知112a <≤.故选：D21.(2021·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】]2,41[-【解析】∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝2)412(-x －14，∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈]2,21[，∴2)412(-x －14∈]2,41[-∴实数a 的取值范围是]2,41[-考点8 用函数图象刻画变化过程22.甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ 【答案】B【解析】由题知速度v ＝st 反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．23．（2021·重庆高三模拟）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，xhr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒=⋅，而,,r H v 都是常数，即2323H v r π是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h tr π=⋅，203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=⋅>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A 24．（2021·浙江高三模拟）如图，设有圆O 和定点C ，当l 从0l 开始在平面上绕O 匀速旋转（旋转角度不超过90︒）时，它扫过圆内阴影部分面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是如下哪一种（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当直线l 从初始位置0l 转到经过点C 的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭”；l 从过点C 的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图像越来越“平缓”，故选：C.考点9 应用所给函数模型解决实际问题25.某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份 4 m 3 4元二月份 25 m 3 14元三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.26．（2021·湖南高三期末）某工厂8年来某种产品年产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年到第八年每年的年产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【答案】②④【解析】由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确；综合所述，正确的为：②④. 故答案为：②④.27．（【百强校】福建师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题）如图所示，边长为 1的正方形PABC 沿 x 轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B 恰好能经过原点．设动点P 的纵坐标关于横坐标的函数解析式为()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x = 是偶函数； ②()y f x =是周期为 4 的函数；③函数 ()y f x =在区间[10，12] 上单调递减； ④函数 ()y f x = 在区间[1，1] 上的值域是[1，2] 其中判断正确的序号是_______．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①②④【解析】当2x 1-≤<-时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆当1x 1-≤<时，P 的轨迹是以B 为圆心，半径为2的14圆当1x 2≤<时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆当2x 3≤≤时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆故函数的周期为4因此最终构成图象如下所示：①根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数；故正确②由图可得()f x 的周期为4，故正确③函数()y f x =在区间[2，4]上为增函数，故在区间[10，12]上也是增函数，故错误 ④在区间[1，1]上的值域是[1，2]，故正确综上，正确的序号是①②④考点10 构建函数模型解决实际问题考向1 构建二次函数模型28.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计) 【答案】2 500【解析】设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)．29．（2021·四川高三模拟）某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为6元，即最初3km （不含3km ）计费6元.若某人乘坐该市的出租车去往13km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为_____. 【答案】19.2【解析】乘车距离为x km ，车费为y 元，由题意得：6,036 1.2,346 1.22,456 1.23,56x x y x x <<⎧⎪+≤<⎪⎪=+⨯≤<⎨⎪+⨯≤<⎪⎪⎩，所以当13x =时，()6132 1.219.2y =+-⨯=元，所以他需要支付的车费为19.2元，故答案为：19.230（2021·河南郑州一中高三模拟）在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，x =（）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】A【解析】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，则100.520242304.593a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1,100,02a b c ===， 211002y x x ∴=+， ∴改造后累计纯收入为215001005002y x x -=+-，不改造的累计纯收入为()10020x -，令()21100500100202x x x +->-，即212050002x x +->，解得201014x >-+201014x <--，20101417.4x ∴>-+，x N *∈，x 的最小值为18.故选：A 考向2 构建指数函数、对数函数模型31.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况【答案】B【解析】设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．32.声强级1L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭.若普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（） A ．610倍B ．510倍C ．410倍D ．310倍【答案】B【解析】设普通列车的声强为1I ，高速列车的声强为2I ，因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，所以1129510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2124510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11129510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得12.5lg I -=，所以 2.5110I -=， ()22124510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得27.5lg I -=，所以7.5210I -=，两式相除得 2.5517.52101010I I --==，则普通列车的声强是高速列车声强的510倍.故选：B.33．（2020·重庆市酉阳第一中学校高三月考）为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：22112.51g E m m E -=-，联系两个天体的星等1m ､2m 和它们对应的亮度1E ､2E .这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是1.26，猎户星座的“参宿一”星等是1.76，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（）倍.（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.567B ．1.568C ．1.569D ．1.570 【答案】B【解析】设“十字架三”的星等是1m ，“参宿一”的星等是2m ，“十字架三”的亮度是1E ，“参宿一”的亮度是2E ，则1 1.26m =，2 1.76m =，设12E rE =，两颗星的星等与亮度满足22112.51gE m m E -=-， 211.76 1.26 2.51g E E ∴-=-，0.21210E E =0.22101 2.30.2 2.7(0.2) 1.568r ∴=≈+⨯+⨯=，∴与r 最接近的是1.568，故选B ．考向3 构建分段函数模型34（2021·广东江门市·高三模拟）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．【答案】7916【解析】当01t ≤≤时，函数图象是一个线段，由于过原点与点()1,4，故其解析式为4,01y t t =≤≤，当 1t ≥时，函数的解析式为12t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1,4M 在曲线上，所以1142a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得 3a =，所以函数的解析式为31,12t y t -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，综上，34(01)()1(1)2t t t y f t t -≤<⎧⎪==⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意有340.2510.252t t -≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，所以1516t ≤≤，所以服药一次治疗疾病有效的时间为17951616-=个小时，故答案为：7916． 35．（2020·福建三明市·三明一中高三期中）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是21300,0300()245000,300x x x P x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≥⎩，则总利润最大时店面经营天数是__________，最大总利润是__________．【答案】200 10000元【解析】由题意，0300x ≤<时，221130010010000(200)1000022y x x x x =---=--+，200x ∴=时，10000max y =；300x ≥时，4500010010000350001005000y x x =--=-≤，200x ∴=天时，总利润最大为10000元故答案为：200, 10000元。

高三数学函数图像试题答案及解析

高三数学函数图像试题答案及解析1.函数的图像大致是（）【答案】A【解析】因为分子分母分别为奇函数，所以原函数为偶函数，排除C、D，而当x取很小的正数时，sin6x＞0，2x－2－x＞0，故y＞0，排除B，选A【考点】函数的图象及其性质2.已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是()A．0<<b<1B．0<b<<1C．0<<a<1D．0<<<1【答案】A【解析】由图象知函数单调递增，所以a>1.又－1<f(0)<0，f(0)＝loga (20＋b－1)＝logab，即－1<logab<0，所以0<<b<1，故选A.3.已知f(x)＝x2＋sin(＋x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是()【答案】A【解析】f(x)＝x2＋sin(＋x)＝x2＋cosx，f′(x)＝x－sinx.易知该函数为奇函数，所以排除B、D.当x＝时，f′()＝×－sin＝－<0，可排除C.选A.4.（2013•浙江）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选B．5.函数y=2a x﹣1（0＜a＜1）的图象一定过点（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，0）D．（2，﹣1）【答案】B【解析】因为函数y=a x（0＜a＜1）的图象一定经过点（0，1），而函数y=2a x﹣1（0＜a＜1）的图象是由y=a x（0＜a＜1）的图象向右平移1个单位，然后把函数y=a x﹣1（0＜a＜1）的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的2倍得到的，所以函数y=2a x﹣1（0＜a＜1）的图象一定过点（1，2）．故选B．6.函数y=2x﹣x2的图象大致是（）【答案】A【解析】因为当x=2或4时，2x﹣x2=0，所以排除B、C；当x=﹣2时，2x﹣x2=，故排除D，所以选A．7.函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1【答案】D【解析】函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．8.若函数满足，当x∈[0，1]时，，若在区间(-1，1]上，方程有两个实数解，则实数m的取值范围是A．0<m≤B．0<m<C．<m≤l D．<m<1【答案】【解析】有两个零点，即曲线有两个交点.令，则，所以.在同一坐标系中，画出的图象（如图所示）：直线过定点，所以，满足即选.【考点】分段函数，函数的图象，函数的零点.9.如图：正方体的棱长为，分别是棱的中点，点是的动点，，过点、直线的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为，则函数的大致图像是（）【答案】C【解析】由题意可得下面那部分的是一个高为AB的三棱柱或四棱柱，当时.所以函数在大致图像是C、D选项.当时，令.所以上面的体积为.所以下面体积.所以函数的图象大致为C所示.故选C.【考点】1.空间几何.2.函数及图象.3.函数与立几交汇.10.对实数a和b,定义运算“”：,设函数．若函数的图象与x轴恰好有两个共公点，则实数c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若即时，．若即或时，．画出的图象（如图）∵函数的图象与x轴恰好有两个共公点方程有两解函数与函数有两个不同的交点∴由图象可知或．11.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】A．，B．，C．，D．．12.已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】如图，直线y=x-a与函数的图象在处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时；直线与函数的图象在处有两个切点，切点坐标分别是和，此时相应的，，观察图象可知，方程有三个不同的实根时，实数的取值范围是。

高考数学函数图像与零点常考题型汇总

真命题是（）
A. q1 ， q3 B. q2 ， q3
C. q1 ， q4
D. q2 ， q4
15.（2017 全国Ⅲ）已知函数 f ( x) x2 2x a(ex1 e ) x1 有唯一零点，则
a （）
A. 1 2
B. 1
C. 1
D. 1
3
2
题型二、不会画，选择题
16.（2017
全国Ⅲ）函数
1
高考数学函数图像与零点常考题型汇总
点个数为__________. 5.已知函数 y | x | 的图象与函数 y kx 的图象恰有两个交点，则实数 k
x 的取值范围是_____________. 6.函数 y e|ln x| | x | 的图象大致是
7.已知定义在区间 ,上的函数 y f (x) 的图像如图所示，则 y f ( x) 的图
________________.
12.设函数 f (x) | x 1| | x a |的图象关于直线 x 1对称，则 a 的值为
（）
A. 3
B. 1
C. 1
D. 1
3
高考数学函数图像与零点常考题型汇总
13.已知函数 f (x) 是定义在 (,) 上的奇偶性 , 且当 x 0 时, f (x) x a x a a ,若 x R , f (x 1) f (x) ,则实数 a 的取
（2）若 f (x) 有两个零点，则 a 的取值范围为_____________.
8. （2014 湖南）已知函数 f (x) x ex （ x ）与 g(x) x ln(x a) 的图象
在存在关于 y 轴对称点，则 a 的取值范围是
7
高考数学函数图像与零点常考题型汇总

高中函数零点问题精选题型

零点问题与数形结合题型一、直接做图1 函数 ()1|1|f x x =--‖ 的图像与直线 y k = 有且仅有四个不同的交点, 则实数 k 的取值范围是_________2 已知函数 ()22x f x =- 与 y b = 有两个交点, 则实数 b 的取值范围是_________3 已知函数 ||()2||,x f x x =+ 若关于 x 的方程 ()f x k = 有两个不同的实根, 则实数k 的取值范围是_________.已知函数 ()|lg |,f x x = 若 0a b << 且 ()(),f a f b = 则 2a b + 的范围是_________4 设函 21,0(),1,0x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩ 若函数 ()a f x = 有两个实根 ()1212,,x x x x < 则 12x x + 的取值范围是_________5 若关于 x 的不等式 23344a x xb -+ 的解集恰好是 [a, b],则 a b +=_________6 关于 x 的不等式 201x px q ++ 的解集为 [3,4], 则 p q +=_________7 已知函数 22,||3(),6,||3x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩ 若 0,m n << 且 ()(),f m f n = 则 2n m +的取值范围是_________题型二、变形后做图1 直线 1y = 与曲线 2||y x x a =-+ 有 4 个交点, 则 a 的取值范围是_________2 若关于 x 的方程 2||2x kx x =+ 有 4 个不同的实数解, 则实数 k 的范围为_________3 已知函数 21(),()32f x x h x =+= 解关于 x 的方程 433log (1)24f x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦22log ()log (4)h a x h x ---。

高三数学函数图像试题答案及解析

高三数学函数图像试题答案及解析1.设函数f(x)＝x＋的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)．(1)求g(x)的解析式；(2)若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．【答案】（1）g(x)＝x－2＋.（2）当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．【解析】解：(1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x＋，可得2－y＝4－x＋，即y＝x－2＋，∴g(x)＝x－2＋.(2)由消去y得x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0，Δ＝[－(m＋6)]2－4(4m＋9)，∵直线y＝m与C2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．2.如图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()【答案】D【解析】根据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有D正确．3.已知函数f(x)＝x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)＝m的五个不等的实数根，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是()A．(0，π)B．(－π，π)C．(lg π，1)D．(π，10)【答案】D【解析】函数f(x)的图象如图所示，结合图象可得x1＋x2＝－π，x3＋x4＝π，若f(x)＝m有5个不等的实数根，需lg π<lg x5<1，得π<x5<10，又由函数f(x)在[－π，π]上对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝0，故x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围为(π，10)．4.若函数满足，当x∈[0，1]时，，若在区间(-1，1]上，方程有两个实数解，则实数m的取值范围是A．0<m≤B．0<m<C．<m≤l D．<m<1【答案】【解析】有两个零点，即曲线有两个交点.令，则，所以.在同一坐标系中，画出的图象（如图所示）：直线过定点，所以，满足即选.【考点】分段函数，函数的图象，函数的零点.5.已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意得函数为偶函数，因此当有4个零点时，在上有且仅有两个零点，所以即【考点】二次函数的图象与性质，零点问题6.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】由于函数的最小正周期为，所以.所以函数.所以将函数向右平移即可得到.故选B.【考点】1.函数的平移.2.函数的诱导公式.7.已知函数f(x)=，若，则a的取值范围是（）A．B．C．[－2，1]D．[－2，0]【答案】D【解析】由题意作出的图象(如图)当a>0时直线y=ax过一、三象限（如图），必与y=ln(x+1)相交，所以a≤0当a≤0时，直线y=ax过三、四象限对x>0，|f(x)|=ln(x+1)> ax成立;对x<0，由|f(x)|=x2－2x≥ax a≥x－2，而当x<0时x－2<－2，所以a≥－2综合知－2≤a≤08.已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________．【答案】[－2，0]【解析】作出函数y＝|f(x)|的图象，当|f(x)|≥ax时，必有k≤a≤0，其中k是y＝x2－2x(x≤0)在原点处的切线斜率，显然k＝－2.所以a的取值范围是[－2，0]．9.若函数f(x)＝的图象如图，则m的取值范围是________．【答案】(1,2)【解析】∵函数f(x)的定义域为R，∴x2＋m恒不等于零，∴m＞0.由题图知，当x＞0时，f(x)＞0，∴2－m＞0⇒m＜2.又∵在(0，＋∞)上函数f(x)在x＝x0(x＞1)处取得最大值，而f(x)＝，∴x＝＞1⇒m＞1.综上，1＜m＜2.10.若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为____.【答案】9【解析】因为，所以函数是周期为2函数．因为时，，所以作出它的图象，利用函数是周期为2函数，可作出在区间上的图象，如图所示：故函数在区间内的零点的个数为9，故答案为9．【考点】函数的零点；函数的周期性．11.已知函数，则不等式的解集为．【答案】【解析】函数的图象如图，由不等式知，，从而得到不等式的解集为.【考点】函数的图象和性质的综合运用..12.设D＝{(x,y)|(x－y)(x＋y)≤0}，记“平面区域D夹在直线y＝－1与y＝t(t∈[－1,1])之间的部分的面积”为S，则函数S＝f(t)的图象的大致形状为（）【答案】C【解析】由题意，有二次函数图像可得，答案选Ｃ．【考点】函数的图象与图象变化．13.已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A、 B、Ｃ、 D、。

函数图像练习题

函数图像练习题1. 定义域判断题：给定函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \)，判断其定义域并解释原因。

2. 值域求解题：若函数 \( g(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求其值域。

3. 图像特征分析题：考虑函数 \( h(x) = |x - 3| \)，描述其图像的基本特征，包括对称轴、顶点坐标等。

4. 渐近线确定题：对于函数 \( k(x) = \frac{2}{x} + 3x \)，确定其水平渐近线和垂直渐近线。

5. 单调性判断题：判断函数 \( l(x) = -x^3 + 2x \) 在 \( (-\infty, +\infty) \) 上的单调性，并给出证明。

6. 极值点求解题：对于函数 \( m(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求其一阶导数，并找出其极值点。

7. 图像变换题：已知函数 \( n(x) = x^2 \)，求经过平移和伸缩变换后得到的函数 \( n(2x - 1) \) 的图像。

8. 函数零点求解题：给定函数 \( o(x) = \sin(x) + \cos(x) \)，求其在 \( [0, 2\pi] \) 区间内的零点。

9. 函数图像对称性题：分析函数 \( p(x) = x^3 - 3x \) 的图像，并确定其是否存在对称性，如果有，请指出对称轴或对称中心。

10. 复合函数图像题：考虑函数 \( q(x) = \sqrt{x + 1} \) 和\( r(x) = 2^x \)，绘制 \( q(r(x)) \) 的图像，并描述其主要特征。

11. 函数图像交点题：若 \( s(x) = x^2 - 4 \) 和 \( t(x) = 2x \)，求这两个函数图像的交点坐标。

12. 函数图像凹凸性题：对于函数 \( u(x) = x^4 - 4x^2 \)，判断其凹凸性，并求出拐点坐标。

13. 函数图像周期性题：分析函数 \( v(x) = \tan(x) \) 的周期性，并说明其周期。

专题03基本初等函数图像与零点(解析版)

《2020年高考数学（理）热点快味餐》专题03 基本初等函数图像与零点【热点知识点】1. 基本初等函数图像2. 函数零点3. 函数与方程【高考真题赏析】例1.（2019全国Ⅰ理5）函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】：因为()2sin cos x x f x x x+=+，π[]πx ∈-，，所以()()()22sin sin cos cos x x x x f x f x x x x x --+-===--++，所以()f x 为[ππ]-，上的奇函数，因此排除A ；又()22sin ππππ0cos ππ1πf +==>+-+，因此排除B ，C ；故选D ．例2.（2019全国Ⅲ理7）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是[]6,6-上的奇函数，因此排除C ，又1182(4)721f =>+，因此排除A ，D ．故选B ．例3.（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)，(a >0且a ≠1)的图像可能是 A. B.C. D.【答案】D 【解析】由函数1x y a =，1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调性相反，且函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭可各满足要求的图象为D .故选D ．例4．(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x xe ef x x的图像大致为【答案】B【解析】当0<x 时，因为0--<xxe e ，所以此时2()0--=<x x e ef x x ，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e，故排除C ，选B ．例5．(2018全国卷Ⅲ)函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】当0x =时，2y =，排除A ，B ．由3420y x x '=-+=，得0x =或22x =±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1,1)-上有三个极值点，所以排除C ，故选D ．例6．(2018浙江)函数||2sin 2x y x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设||()2sin 2x f x x =，其定义域关于坐标原点对称，又||()2sin(2)()x f x x f x --=⋅-=-，所以()y f x =是奇函数，故排除选项A ，B ；令()0f x =，所以sin 20x =，所以2x k π=(k ∈Z )，所以2k x π=(k ∈Z )，故排除选项C ．故选D ．【实战模拟演练】1.（百校联盟2020届高三12月教学质量监测）函数3sin 2()xx x f x e+=在[－2π，2π]上的图象大致为【答案】A【解析】依题意，f(x)为奇函数，图像关于原点对称，排除C,又排除B ，D 。

函数的图象及零点

函数的图像及零点一、求函数零点【知识点】定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。

【例题讲解】★☆☆例题1．函数42y x =−的零点为．★☆☆练习1．函数2()2(0)f x ax ax c a =++≠的一个零点为3−，则它的另一个零点是．★☆☆练习2．函数2()log 1f x x =−的零点为．★☆☆例题2：函数24,0,()lg ,0x x f x x x −⎧−≤=⎨>⎩的零点是．★☆☆练习1：函数1()f x x x=−的零点是．二、判断函数的零点所在区间【知识点】函数零点存在定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解。

【例题讲解】★☆☆例题3．函数26()log f x x x=−，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A. (0,1)B. (1,2)C. (2,4)D. (4,)+∞★☆☆练习1．已知函数()f x 的图像是连续不断的，有如下的,()x f x 对应值表：由表可知，函数()f x 存在零点的区间至少有（）个 A. 1B. 2C. 3D. 4★☆☆例题4．函数()22xf x x =+在下列区间一定有零点的是（）A. [-1,0]B. [-3,-2]C. [1,2]D. [3,4]★☆☆练习1．已知0x 是函数1()21xf x x=+−的一个零点。

若1020(1,),(,)x x x x ∈∈+∞，则（）A. 12()0,()0f x f x <<B. 12()0,()0f x f x <>C. 12()0,()0f x f x ><D. 12()0,()0f x f x >>三、判断函数的零点个数【知识点】函数零点、方程的根、函数图像与x 有公共点三者是等价的，即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图像与x 有公共点。

高考常考题- 函数的零点问题(含解析)

函数的零点问题一、题型选讲题型一、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。

作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。

热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型(解析版)

热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型函数图象问题依旧以考查图象识别为重点和热点，难度中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式等。

函数的零点问题一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大。

一、函数图象辨识的方法步骤图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；4、判断单调性：可取特殊值判断单调性.二、作函数图象的一般方法1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．4、如何制定图象变换的策略（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换；②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换．例如：()=+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤．31y f x()2=-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标y f x的为平移变换．（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求；②横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化．三、零点个数的判断方法1、直接法：直接求零点，令()0=f x，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间[],a b上是连续不断的曲线，且()()0f a f b，⋅<结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.3、图象法：（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数()f x的f x的图象，函数()图象与x轴交点的个数就是函数()f x的零点个数；（2）两个函数图象：将函数()g x的差，根据f x拆成两个函数()h x和()()()()f x的零点个数就是函数()y h x和=f x h xg x，则函数()=⇔=()y g x的图象的交点个数=4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数四、已知零点个数求参数范围的方法1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．【题型1 函数图象的画法与图象变换】【例1】（2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象（1）12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）()2log 1y x =+【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】（1）因为1()2xy f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11()()22xxf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数为偶函数，关于y 轴对称，因此只需要画0x >时的函数图形即可，11()==22xxf x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用对称性即可得解.（2）将函数 2log y x = 的图象向左平移 1个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去, 即可得到函数()2log 1y x =+ 的图象,如图所示.【变式1-1】（2022秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了得到函数()2ln e y x =的图象，可将函数ln y x =的图象（）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e C ．向下平移两个单位长度 D ．向上平移两个单位长度【答案】BD【解析】()22ln e ln e ln ln 2y x x x ===++,可将函数ln y x =的图象向上平移两个单位长度得到ln 2y x =+，可将函数ln y x =的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e 得到()2ln e y x =.故选：BD【变式1-2】（2022秋·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()f x 的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（）A ．()1f x -B ．()2f x --C ．()1f x --D ．()1f x -- 【答案】C【解析】由图知，将()f x 的图象关于y 轴对称后再向下平移1个单位即得图2，又将()f x 的图象关于y 轴对称后可得函数()y f x =-，再向下平移1个单位，可得()1y f x =--所以解析式为()1y f x =--，故选：C.【变式1-3】（2022秋·北京·高三首都师范大学附属中学校考阶段练习）函数12xy -=的图像可看作是把函数2xy =经过以下哪种变换得到（）A ．把函数2x y =向右平移一个单位B ．先把函数2x y =的图像关于x 轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位C ．先把函数2x y =的图像关于y 轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位D ．先把函数2x y =的图像关于y 轴对称，然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变【答案】D【解析】选项A ：函数2xy =向右平移一个单位得到12x y -=；选项B ：先把函数2xy =的图像关于x 轴对称得到2x y =-，然后向左平移一个单位得到12x y +=-；选项C ：先把函数2xy =的图像关于y 轴对称得到2xy -=，然后向左平移一个单位得到(1)122x x y -+--==；选项D ：先把函数2xy =的图像关于y 轴对称得到2xy -=，然后把各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到1222x xy --=⨯=；故选：D【变式1-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且在()2,+∞单调递增，()40f =，()4g x x =，则函数()()2y f x g x =+的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()()22f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，则()2f x +的图象关于直线0x =即y 轴对称，()2f x +是偶函数，()4g x x =为偶函数，图象关于y 轴对称，所以()()2y f x g x =+是偶函数，图象关于y 轴对称，排除AD 选项.()()()()4222200f f f f =+=-==，由于()f x 在()2,+∞上递增，在(),2-∞上递减，所以()f x 有且仅有2个零点：0和4，另外有()30f <，所以()2f x +有且仅有2个零点：2-和2，()g x 有唯一零点：0，所以()()2y f x g x =+有且仅有3个零点：2-、0和2. 当1x =时，()110g =>，()()()()121310y f g f g =+⋅=⋅<，从而排除C 选项，故B 选项正确.故选：B【变式1-5】（2022秋·北京海淀·高三统考期中）已知函数()f x ．甲同学将()f x 的图象向上平移1个单位长度，得到图象1C ；乙同学将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图象2C ．若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是（）A ．()12log f x x = B ．()2log f x x = C ．()2x f x =D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】对于A ，()112:1log 1C f x x +=+，()211112222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=-，A 错误；对于B ，()12:1log 1C f x x +=+，()22222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=+，B 正确；对于C ，()1:121x C f x +=+，()22:224x xC f x ==，C 错误；对于D ，()11:112x C f x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，()2211:224x xC f x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误.故选：B.【题型2 由复杂函数解析式选择图象】【例2】（2022·四川资阳·统考二模）函数()32cos e ex x x xf x -=+在区间[]2π,2π-上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵()()()()332cos 2cos e e e ex xx x x x x xf x f x -----==-=-++， ∴()f x 为奇函数，图象关于原点对称，C 、D 错误；又∵若(]0,2πx ∈时，320,e e 0x xx ->+>，当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，∴当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，A 错误，B 正确；故选：B.【变式2-1】（2022秋·江西·高三九江一中校联考阶段练习）函数()sin 2xf x =的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】注意到()sin 2xf x =过点()0,1，故可排除C ，D 选项.因2xy =在R 上单调递增，sin x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则由复合函数单调性相关知识点可知，()sin 2xf x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故排除B 选项.故选：A【变式2-2】（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）函数()3sin 3291x x x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】易得函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，已知函数()3sin 3cos329133x xx xx x f x π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭==--，()()()cos 3cos33333x x x x x xf x f x ----===---，∴函数()f x 为奇函数，排除A 选项；当0x +→时，0cos31x <<，31x >，31x -<，则330x x -->，所以()0f x >，排除C 选项；当x →+∞时，1cos31x -≤≤，3x →+∞，30x -→，则33x x --→+∞，所以()0f x →，排除D 选项；故选：B.【变式2-3】（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）函数()2e2xf x x=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由()2e 2xf x x=，则其定义域为()()00-∞∞，，+，因为()()()22ee22xxf x f x xx --===-，故函数为偶函数， ()222e ,0e 22e ,02xx x x x f x x x x -⎧>⎪⎪==⎨⎪<⎪⎩，()()()33e 2,02e 2,02x x x x x f x x x x -⎧->⎪⎪=⎨--<'⎪⎪⎩，令()0f x '=，解得2x =±，可得下表：x(),2-∞-2-()2,0-()0,22()2,+∞()f x ' -+-+()f x极小值极小值故选：A.【变式2-4】（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）函数()()ln 0sin ax x f x a x+=在[2π-,2π]上的大致图像可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【解析】①当0a =时，()ln sin x f x x=，()()ln sin x f x f x x-=-=-，函数()f x 为奇函数，由0x →时()f x →∞，1x =±时()0f x =等性质可知A 选项符合题意； ②当a<0时，令()ln ||,()g x x h x ax ==-，作出两函数的大致图象，由图象可知在(1,0)-内必有一交点，记横坐标为0x ，此时0()0f x =，故排除D 选项；当02πx x -<<时，()()0g x h x ->，00x x <<时，()()0g x h x -<，若在(0,2π)内无交点，则()()0g x h x -<在(0,2π)恒成立，则()f x 图象如C 选项所示，故C 选项符合题意；若在(0,2π)内有两交点，同理得B 选项符合题意.故选：ABC.【题型3 根据函数图象选择解析式】【例3】（2022秋·福建南平·高三校考期中）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则下列可能是()f x 的解析式的是（）A ．()cos f x x x =+B ．()cos f x x x =-C ．()cos xf x x= D ．()cos xf x x=【答案】B【解析】A. ()010f =>，故错误；B.因为()010f =-<，且()1sin 0f x x '=+≥，则()f x 在R 上递增，故正确；C.()f x 的定义域为{}|0x x ≠关于原点对称，又 ()()()cos cos x xf x f x x x--===---，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故错误；D. ()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称，又()()()cos cos x xf x f x x x---===--，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故错误；故选：B【变式3-1】（2022秋·湖北宜昌·高三校联考期中）已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式为（）A ．2()e e x x xf x -=+ B ．()3e e x x f x x -+= C ．2()e ex x x f x -=-D ．()2e e x xf x x -+=【答案】D【解析】由题图：()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，排除A ；当333e e e e e e (),()()()x x x x x xf x f x f x x x x ---+++=-==-=--，故3e e ()x xf x x -+=是奇函数，排除B.当()()()()222,e e e e e e x x x x x x x x x f x f x f x ----=-==-=----，故2()e ex x x f x -=-是奇函数，排除C.故选：D【变式3-2】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A ．()()2211x f x x x -=- B ．()2211x f x x x -=- C ．()22211x f x x x -=- D ．()()22211x f x x x -=-【答案】B【解析】根据图像可得：所求函数为奇函数，且当()0,1x ∈时，()0f x <；对CD ：定义域关于原点对称，且都有()()f x f x =-，均为偶函数，故错误；对A ：当()0,1x ∈时，()0f x >，故错误；故选：B.【变式3-3】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知函数()f x 的部分图像如图，则函数()f x 的解析式可能为（）A ．()()e e sin x xf x x -=- B ．()()e e sin x x f x x -=+C ．()()e e cos x x f x x -=-D ．()()e e cos x xf x x -=+【答案】B【解析】由于图像关于原点对称，所以()f x 为奇函数，对于A ：由()()e e sin x xf x x -=-得：()()()()()e e sin e e sin x x x x f x x x f x ---=--=-=，()f x 为偶函数，故可排除A ；对于D ：由()()e e cos x xf x x -=+得：()()()()()e e cos e e cos x x x x f x x x f x ---=+-=+=，()f x 为偶函数，故可排除D ；由图知()f x 图象不经过点π,02⎛⎫⎪⎝⎭，而对于C ：ππ22ππe e cos 022f -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除C ；故选：B【变式3-4】（2022秋·湖北·高三枣阳一中校联考期中）已知函数()sin f x x =，()g cos x x =，()p x x =，则图像为下图的函数可能是（）A ．()()2p x y f x =+B ．()()2y g f x x =+C ．()()2p x y f x =+D ．()()2p x y f x =+【答案】D【解析】对于A ，2sin xy x =+该函数为奇函数，由已知图象可得函数y 的图象不关于原点对称，故A 不符合；对于B ，sin 2cos xy x =+该函数为奇函数，由已知图象可得函数y 的图象不关于原点对称，故B 不符合；对于C ，2sin x y x=+由于[]sin 1,1x ∈-，所以02sin x y x=≥+，由于已知图象y 的值域中存在负值，故C 不符合；对于D ，2sin xy x=+不是奇函数，[]sin 1,1x ∈-，所以R y ∈，故D 图象符合.故选：D.【题型4 根据实际问题作函数图象】【例4】（2022·北京·人大附中校考模拟预测）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.【变式4-1】（2022·四川泸州·统考模拟预测）如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ，故选B ．【变式4-2】（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）（多选）水滴进玻璃容器，如图所示（单位时间内进水量相同），则下列选项匹配正确的是（）A ．()2a -B ．()3b -C ．()4c -D ．()1d - 【答案】AB【解析】在a 中，容器是圆柱形的，水高度的变化速度应是直线型，与（2）对应，故A 正确；在b 中，容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，与（3）对应，故B正确；在c 中，容器为球型，水高度的变化为快—慢—快，与（1）对应，故C 错误；在d 中，容器上粗下细，水高度的变化为先快后慢，与（4）对应，故D 错误.故选：AB.【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ；在区间ππ⎛⎫⎪⎝⎭，2上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ，又由当12x x π+=时，有()12()f x f x =-，()f x 的图象关于点(,0)π2对称，排除D ，故选：A【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,且BD CD ⊥,AB BD CD ==,点P 在棱AC 上运动,设CP 的长度为x ,若PBD △的面积为()f x ,则()f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作PQ BC ⊥于点Q ,作QR BD ⊥于点R ,连接到PR ,由已知可得,PQ AB QR CD ∥∥,且AB ⊥平面BCD , 所以PQ ⊥平面BCD ,又BD ⊂平面BCD ,所以PQ BD ⊥,,,,QR BD PQ QR Q PQ QR ⊥=⊂平面PQR ，BD ∴⊥平面PQR ,PR ⊂平面PQR ，BD PR ∴⊥,设1,AB BD CD ===3AC ∴=,133PQ PQ =∴, 33133QR BQ x x QR BC --==∴222332233333x x PR x x ⎛⎫-⎛⎫∴=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故23()22336f x x x =-+其函数图像是关于直线3x 对称的图像且开口上,故选项B,C,D 错误．故选:A ．【题型5 函数零点所在区间问题】【例5】（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）函数()()52lg 21f x x x =--+零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4 【答案】C【解析】因为函数()()52lg 21f x x x =--+在1(,)2-+∞上单调递减，所以函数()f x 最多只有一个零点，因为(0)(1)5(52lg3)5(3lg3)0f f ⋅=--=->，(1)(2)(52lg3)(54lg5)(3lg3)(1lg5)0f f ⋅=----=-->， (2)(3)(52lg3)(56lg7)(3lg3)(1lg7)0f f ⋅=----=---<， (3)(4)(56lg7)(58lg9)(1lg7)(3lg9)0f f ⋅=----=---->，所以函数()()52lg 21f x x x =--+零点所在的区间是()2,3.故选：C【变式5-1】（2022秋·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）函数81()log 3f x x x=-的一个零点所在的区间是（）A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，3.5)D ．(3.5，4) 【答案】A【解析】因为函数81log ,3y x y x==-在()0,∞+上单调递增，所以，81()log 3f x x x =-在()0,∞+上单调递增，因为()()8811111log 1,2log 23366f f =-=-=-=，()()120f f ⋅<，所以，函数只有一个零点，且位于()1,2区间内.故选：A ．【变式5-2】（2022秋·辽宁辽阳·高三统考阶段练习）若函数()lg f x a x x =++()110x <<有零点，则a 的取值范围为（）A ．()10,1--B ．()1,10C ．()1,11D ．()11,1-- 【答案】D【解析】因为函数y x a =+与lg y x =均在()1,10上单调递增，所以()lg f x a x x =++在()1,10上单调递增.要使函数()lg f x a x x =++()110x <<有零点，则只需要()()10100f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩即可，即10110a a +<⎧⎨+>⎩，解得111a -<<-.故选：D.【变式5-3】（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知()23e x f x x =-，函数()f x 的零点从小到大依次为,12i x i =､､，若[),1(i x m m m ∈+∈Z ），请写出所有的m 所组成的集合___________.【答案】{}1,0,3-【解析】()f x 的零点可以转化为函数e x y =和23y x =图象交点的横坐标，图象如右所示，由图可知共三个零点，()1130f --=->e ，()010f =-<，所以在[)1,0-上存在一个零点； ()130f =->e ，则在[)0,1上存在一个零点；()33270f =->e ，()44480f =-<e ，则在[)3,4上存在一个零点；所以{}1,0,3m ∈-.【变式5-4】（2022秋·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习）（多选）已知函数()e 1x f x a x b =-+，若()f x 在区间[]1,222a b +（）A ．1eB eC ．2eD ．1 【答案】BCD【解析】设()f x 在区间[]1,2上零点为m ，则e 10m a m b -+=，所以点(),P a b 在直线e 10m x y m --=上，()()222200a b a b OP +-+-，其中О为坐标原点．又()2220e 10ee 11m m mmm OP ⋅-+-≥=-+，记函数()2e m m g m =，[]1,2m ∈，()2222211122e e e e m m m mg m m m'==⎛⎫ -⎪⎝⎭- 因为[]1,2m ∈，所以()g m 在[]1,2m ∈上单调递增所以()g m 最小值为()11g e=，所以221e a b +≥，故选：BCD.【题型6 函数的零点与零点个数问题】【例6】（2022秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）若函数(),R y f x x =∈，满足()()2f x f x +=，且(]1,1x ∈-时，()f x x =，则函数()f x 的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】C【解析】由题意得()f x 的周期为2，作出()y f x =与4log y x =的函数图象，数形结合得共有6个交点，故选：C【变式6-1】（2022·天津河西·统考二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称，由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于=1x -对称，作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象：由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4．故选：B ．【变式6-2】（2022秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R 只有()()2f x f x +=-，()()()2025,0log ,0f x x g x x x ⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为（）A ．2024B ．2025C ．2026D ．2027 【答案】D【解析】由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0x ∈，1]时，()f x x =,对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-，得()()()(4)(2)=f x f x f x f x +=-+--=，所以函数()f x 在[0，)∞+上以4为周期，()()2f x f x +=-, 做出函数()f x 一个周期[0，4]的图象：当0x >时，0x -< ，由()()g x g x =-得：()2025=log f x x - 令2025log 1x -=-，则2025x =，因为202545061=⨯+，而在第一个周期有3个交点，后面每个周期有2个交点，所以共有505231013⨯+=个交点，当0x <时，0x -> ，由()()g x g x =-得：()()2025=log f x x ---,令x t -=，得()2025=log f t t -，由上述可知，()2025=log f t t -有505231013⨯+=个交点，故()()2025=log f x x ---有505231013⨯+=个交点，又0x =时，(0)(0)g g =，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为210131=2027⨯+．故选：D ．【变式6-3】（2022秋·河北·高三期中）函数21()cos sin 14f x x x x x =+--零点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】()()()()()2211()cos sin 1cos sin 144f x x x x x x x x x f x -=-+-----=+--=, ()f x ∴是R 上的偶函数，1()cos 2f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭,①当[]0,2πx ∈时,令()0f x '>,得π03x <<或5π2π3x <≤，令()0f x '<,得π5π33x <<.()f x ∴在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭和5π,2π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,在π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.()()22π5π5π315π100,0,2ππ0333432f f f f ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==⨯-⨯-<=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0π5π,33x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00,()f x f x =∴在[]0,2π上有两个零点.②当(2,)x π∈+∞时,2211()cos sin 1044f x x x x x x x =+--<-<，()f x ∴在()2π,+∞上没有零点，由①②及()f x 是偶函数可得()f x 在R 上有三个零点.故选：D.【变式6-4】（2022秋·江苏南京·高三期末）若函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+- ，(1)0(0)(2)1f f f -===，，则曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】由题意函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+-，(1)0(0)(2)1f f f -===，，令1y =，则[]()(1)(1)()(1)1(1())f x f x f x f f x f f ++-==+-，令1x =，则2(2)(0)(1)f f f +=，即2(1)2f =，令2x =，则(3)(1)(2)(1)f f f f +=，即(3)0f =，令3x =，则(4)(2)(3)(1)f f f f +=，即(4)1f =-，令4x =，则(5)(3)(4)(1)f f f f +=，即(5)(1)f f =-，令5x =，则(6)(4)(5)(1)f f f f +=，即2(6)1(1),(6)1f f f -=-∴=-，令6x =，则(7)(5)(6)(1)f f f f +=，即(7)(1)(1),(7)0f f f f -=-∴=，令7x =，则(8)(6)(7)(1)f f f f +=，即(8)10,(8)1f f -=∴=，依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取0,1,2,3，时，函数|()|y f x =的值依次为，，即每四个值为一循环，此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(2,1)；令=1x -，则(0)(2)(1)(1)0,(2)1f f f f f +-=-=∴-=-，令2x =-，则(1)(3)(2)(1)(1),(3)(1)f f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令3x =-，则2(2)(4)(3)(1)(1),(4)1f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令4x =-，则(3)(5)(4)(1)(1),(5)0f f f f f f -+-=-=-∴-=，令5x =-，则(4)(6)(5)(1)0,(6)1f f f f f -+-=-=∴-=，令6x =-，则(5)(7)(6)(1)(1),(7)(1)f f f f f f f -+-=-=∴-=，令7x =-，则2(6)(8)(7)(1)(1),(8)1f f f f f f -+-=-=∴-=，依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取1,2,3---，时，函数|()|y f x =的值依次为0,121,0121,0，，，，，，，即每四个值为一循环，此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(1,0),(2,1)--；故综合上述,曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为3，故选：B【题型7 根据函数零点个数求参数范围】【例7】（2022秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习）已知函数()2ln ,045,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，若方程()0f x a -=有4个不同的实数解，则实数a 的取值范围为_________．【答案】(1,5]【解析】由题知：方程()0f x a -=有4个不同的实数解，即()f x a =有4个不同的实数解．作出()f x 图像（如图所示），即直线y a =与曲线()y f x =有4个公共点．易知：15a <≤．【变式7-1】（2022秋·新疆喀什·高三新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）已知函数()34,0,0x x x f x lnx x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x x a =+-有3个零点，则实数a的取值范围是（）A ．[)0,1B ．[)0,2C ．(],1-∞D ．(],2-∞ 【答案】B【解析】令()()0g x f x x a =+-=，即()f x x a +=，令()()x f x x ϕ=+，当0x ≤时，()33x x x ϕ=-，()233x x ϕ'=-，令()0x ϕ'>得：1x >或1x <-，结合0x ≤，所以1x <-，令()0x ϕ'<得：11x -<<，结合0x ≤得：10-<≤x ，所以()x ϕ在=1x -处取得极大值，也是最大值，()()max 12x ϕϕ=-=，当x →-∞时，()x ϕ→-∞，且()00ϕ=，当0x >时，()ln x x x ϕ=+，则()110x xϕ'=+>恒成立，()ln x x x ϕ=+单调递增，且当0x →时，()x ϕ→-∞，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，画出()x ϕ的图象，如下图：要想()()g x f x x a =+-有3个零点，则[)0,2a ∈故选：B【变式7-2】（2022·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1x f x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,e 1- 【答案】B【解析】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数，故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<.故选：B.【变式7-3】（2022秋·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）若函数()2,,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩满足存在t R ∈使()f x t =有两个不同的零点，则a 的取值范围是______．【答案】()(),00,1-∞⋃【解析】如图所示，画出函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩的图象.结合图象可知，()(),00,1a ∈-∞⋃【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e8⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点，即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【题型8 复合函数的零点问题】【例8】（2022秋·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数()()1ln 1,121,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则函数()()1y f f x =+的零点个数为______. 【答案】2【解析】先由函数画出草图如图，∴函数()f x 的零点为=2x ，令()1=2f x +，得()=1f x ，∴函数()()1y f f x =+的零点个数就是方程()=1f x 解的个数，也就是函数()f x 的图像与直线=1y 交点的个数，由图可知函数()f x 的图像与直线=1y 有两个不同的交点A ，B ，∴()()1y f f x =+的零点个数为2，【变式8-1】（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知函数()||1f x x =-，关于x 的方程2()|()|0f x f x k -+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根．其中真命题的序号为（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】C【解析】设||1t x =-，则1t-，当1t =-时，0x =,当1t >-时，x 有两解．则原方程等价为2||0t t k -+=，即2211||(||)24k t t t =-+=--+．画出||1t x =-以及211(||)24k t =--+的图象，由图象可知，（1）当0k <时，1t >，此时方程恰有2个不同的实根；（2）当0k =时，1t =或0=t 或1t =-，当1t =时，x 有两个不同的解，当0=t 时，x 有两个不同的解，当1t =-时，x 只有一个解，所以此时共有5个不同的解．（3）当104k <<时，112t -<<-或102t -<<或102t <<或112t <<，此时对应着8个解．（4）当14k =时，12t =-或12t =．此时每个t 对应着两个x ，所以此时共有4个解．综上正确的是①③④．故选：C【变式8-2】（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数()π4sin sin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，讨论函数()()()()21g x f x m f x m =-++⎡⎤⎣⎦的零点个数．【答案】（1）πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）答案详见解析【解析】（1）()134sin sin cos 22x f x x x ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭1cos 23sin 2x x =-+π2sin 216x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈，解得ππππ63k x k -+≤≤+，Z k ∈，故()f x 递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈. （2）π2,π63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ72,π666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()π2sin 21[0,3]6f x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，画出()f x 在区间π2,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，令()f x t =，则()()()()211g x t m t m t t m =-++=--，[]0,3t ∈，由()()10t t m --=，结合()f x 图象得：①当1m =时，()0g t ≥，1t =，即()1f x =，此时零点唯一； ②当23m ≤<时，1t =或()1t m f x =⇔=或()f x m =，此时三个零点； ③当3m =时，1t =或t m =⇔()1f x =或()3f x =，此时两个零点； ④当3m >时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =（无解），此时只有一个零点；⑤当0m =时，1t =或t m =⇔()1f x =或()0f x =，此时两个零点； ⑥当01m <<，12m <<时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =，此时有两个零点；⑦当0m <时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =（无解），此时有一个零点；综上所述：当()(){},03,1m ∈-∞⋃+∞⋃时，只有一个零点；[)(){}0,11,23m ∈⋃⋃时，只有两个零点；[]2,3m ∈，有三个零点.【变式8-3】（2022秋·河南焦作·高三统考期中）已知函数()()12,024,24x x f x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-<<⎩，方程()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=（其中0θπ<<）有6个不同的实根，则θ的取值范围是（）A ．π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π2π0,,π33⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．50ππ,,66π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．π0,3⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】因为当24x <<时，有()()4f x f x =-，故()f x 在()0,2上图象与在()2,4上的图象关于2x =对称，故()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=在()0,2上有3个不同的实数根. 下面仅在()0,2上讨论()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=的解.因为()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=，故()1f x =或()sin f x θ=，当()1f x =时，则有：12102x x x ⎧+-=⎪⎨⎪<<⎩，解得x . 因为方程()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=在()0,2上有3个不同的实数根. 故()sin f x θ=在()0,2上有2个不同的实数根且与x 相异，故12sin 02π2x x x θθ⎧+-=⎪⎪<<⎨⎪⎪≠⎩有两个不同的解，整理得到()22sin 1002π2x x x θθ⎧⎪-++=⎪<<⎨⎪⎪≠⎩有两个不同的解.设()2(2sin )10g x x x θ=-++=，则2(0)0(2)02sin 022(2sin )40g g θθ>⎧⎪>⎪⎪⎨+<<⎪⎪+->⎪⎩，解得10sin 2θ<<，故π5π0,,π66θ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【变式8-4】（2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==-⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1mC ．1m <D ．1m 【答案】C【解析】令(),0t g x t =≥，当1m =时，方程为()10f t t +-=，即1f t t ，作出函数()y f t =及1y t =-的图象，由图象可知方程的根为0=t 或1t =，即()20x x -=或()21x x -=，作出函数()()2g x x x =-的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD 错误；当0m =时，方程为()0f t t +=，即()f t t =-，由图象可知方程的根01t <<，即()()20,1x x t -=∈，结合函数()()2g x x x =-的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A 错误.故选：C.【题型9 函数零点的大小与范围】【例9】（2022秋·河北保定·高三校联考阶段练习）已知0x >，函数()25xf x x =+-，()24g x x x =+-，()2log 3h x x x =+-的零点分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()25xf x x =+-单调递增,且()()551.6 1.65555(1.6)2 3.42 3.4256454.354240,f =-=-=-<()24250,f =+->由零点的存在性定理可知()f x 有唯一零点a 且1.62a <<;因为()24g x x x =+-在()0+∞，单调递增, 且()211140,(1.6) 1.6 2.4 2.56 2.40g g =+-<=-=->,由零点的存在性定理可知()g x 有唯一零点b 且1 1.6b <<;因为()2log 3h x x x =+-在()0+∞，单调递增，且()21230h =+-=, 由零点的存在性定理可知()h x 有唯一零点2c =，所以b a c <<.故选:C.【变式9-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()222,log 2,32x x f x x g x x x h x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >> 【答案】A【解析】由题可得,,a b c 即为2y x =-的图象分别与2xy =，2log y x =，3x y =的交点的横坐标，如图，画出函数图象，由图可得，b c a >>.故选：A.【变式9-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数()g x 的定义域为R ，()1g x +为奇函数，()g x 为偶函数，当01x ≤≤时，()()221g x x =--，则方程()11g x x =-，在区间[-5,7]上所有解的和为（）A ．10B ．8C ．6D ．4 【答案】B【解析】第一步：判断函数()g x 与11y x =-的图象的特征并作出图象 ∵()1g x +为奇函数，∴()()11g x g x -=-+，即()()2g x g x -=-， ∴()g x 的图象关于点(1,0)对称．又()()()42222g x g x g x +=++=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()222g x g x g x ---=-+=---=⎡⎤⎣⎦()()()g x g x g x ---=-=⎡⎤⎣⎦，∴()g x 是周期为4的周期函数，显然，函数11y x =-的图象关于点(1,0)对称，在同一直角坐标系中，分别作出函数()g x 与函数11y x =-的图象如图所示．（画出函数图象，注意“草图不草”）第二步：确定交点个数，进而求解由可知，函数()g x 与11y x =-的图象在[-5,7]上共有8个交点，且两两关于点(1,0)对称，∴方程()11g x x =-在[-5,7]上所有解的和为428⨯=．故选：B【变式9-3】（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数ln ,0<2,()=ln(4),2<<4,x x f x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩若直线=y m 与()f x 的图像有四个交点，且从左到右四个交点的横坐标依次为1234,,,x x x x ，则()123412++4+=x x x x x x （）A ．12B ．16C ．18D ．32 【答案】C【解析】作出函数()f x 的图像如图所示：()f x 的图像关于直线=2x 对称.由图可知：1423+=+=4x x x x ，且12340<<1<<2<<3<<4x x x x .所以341<4<2,0<4<1x x --.由12ln ln x x =可得：12ln ln x x -=，所以121x x =. 同理可得()()34441x x --=，所以()3434=4+15x x x x -.于是()()()1234123412++4+=1+4+15+4+x x x x x x x x x x -()()1423=4++4+14x x x x -=18.故选：C【变式9-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，则（） A ．122x x << B ．12111x x += C ．124x x < D ．122322+≥+x x 【答案】ABD【解析】令2()log (1)0f x x m =--=，()1x >则2log (1)x m -=，令2log (1)y x =-，y m =，则函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，即为函数2log (1)y x =-，y m =交点的横坐标，作图如下图所示：故1212x x <<<，故A 正确；根据题意得()12()0f x f x ==，即2122log (1)log (1)x x -=-，因为1212x x <<<，所以2122log (1)0,log (1)0x x -<->，故2122log (1)log (1)0x x -+-=，即212log (1)(1)0x x --=，所以12(1)(1)1x x --=，即()12120x x x x -+=，所以12111x x +=，故B 正确；因为12122x x x x +≥，所以()121212122x x x x x x x x -+≤-，即121220x x x x -≥，所以124x x ≥，当且仅当12x x =时取等号，又因1212x x <<<，所以124x x >，故C 错误；()2112121212211223322x xx x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ≥⎪⎝⎭=，当且仅当21122x x x x =，即212x x =时，取等号，故D 正确.故选：ABD.【变式9-5】（2022秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知函数()2log ,02{12,22x x f x x x <<=-+≥，如果互不相等的实数,,a b c ，满足()()()f a f b f c ==，则实数abc 的取值范围_____. 【答案】(2,4)【解析】()2log ,0212,22x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，画出函数图象，如图所示：不妨设a b c <<，其中22log log a b -=，故1ab =，且()2,4c ∈，所以abc 的取值范围是(2,4).【题型10 二分法及其应用】【例10】（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）某同学用二分法求函数()237x f x x =+-的零点时，计算出如下结果：()()1.50.33, 1.250.87f f ==-，()()()()1.3750.26, 1.43750.02, 1.40650.13, 1.4220.05f f f f =-==-=-，下列说法正确的有（）A ．1.4065是满足精度为0.01的近似值.B ．1.375是满足精度为0.1的近似值C ．1.4375是满足精度为0.01的近似值D ．1.25是满足精度为0.1的近似值【答案】B【解析】()()1.43750.020, 1.40650.130f f =>=-<，又1.4375 1.40650.0310.01-=>,A 错误；()()1.3750.260, 1.43750.020f f =-<=<，又1.4375 1.3750.0620.1-=<， ∴满足精度为0.1的近似值在()1.375,1.4375内，则B 正确，D 错误；()()1.4220.050, 1.43750.020,1.4375 1.4220.01550.01f f =-<=>-=>，C 错误.故选：B.【变式10-1】（2022·全国·高三专题练习）在用二分法求方程32100x x +-=在(1,2)上的近似解时，构造函数()3210x f x x =+-，依次计算得()150f =-<，()230f =>，()1.50f <，()1.750f >，()1.6250f <，则该近似解所在的区间是（）A ．()11.5， B ．()1.51.625， C ．()1.6251.75， D ．()1.752，【答案】C【解析】根据已知()150f =-<，()1.50f <，()1.6250f <，()1.750f >，()230f =>，根据二分法可知该近似解所在的区间是()1.625,1.75．故选：C.【变式10-2】（2022·全国·高三专题练习）用二分法求如图所示的函数()f x 的零。

高考数学解答题(新高考)三角函数的图象与性质(零点或根的问题)(典型例题+题型归类练)(解析版)

专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍()()sin f x A x k ωϕ=+=实根问题，换元法令t x ωϕ=+将函数()f x 化简为sin y A t =，在利用正弦函数sin t 的图象来解决交点（根，零点）的问题.二、典型例题例题1．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图像如图所示. (1)求函数()f x 的解析式； (2)设02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.第（2）问思路点拨：本小题要求时，方程有两个根，求的取值范围,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，作出函数的图象，根据图象讨论的的个数.图象可知：与的图象在内有两个不同的交点时，，故实数的取值范围为.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()1,2(1)显然2A =，又1121212T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 06πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以()Z 6k k πϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ，所以所求的函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，即()y f x =与y m =的图像在02x π<<内有两个不同的交点，令26t x π=+，则7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作出函数2sin y t =的图像如下：由图像可知：2sin y t =与y m =的图像在7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点时，12m <<，故实数m 的取值范围为()1,2.例题2．（2022·山东德州·高一期中）已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()1cos ,cos sin 2b x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()01ω<≤，函数()1f x a b =⋅+，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[]0,x π∈时，讨论方程()0f x m -=的根的情况．【答案】(1)()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)答案见解析(1)已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()()1cos ,cos sin 012b x x x ωωωω⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，第（2）问思路点拨：本小题要求时，讨论方程的根的情况,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，则讨论方程的根的情况，转化为的根的情况.作出的图象.1．当或，即或时，有0个根； 2．当或，即或时，有1个根；3．当或，即或时，有2个根；4．当，即时，有3个根由图象可知则()12cos 21sin 2126f x x x x πωωω⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由于直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．所以26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭或0，所以2662k πππωπ⋅⋅+=+，()k ∈Z ，所以31k ω=+．由于01ω<≤，所以，当0k =时，1ω=，所以()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)由题意得sin 216x m π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令26u x π=+，13,66u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin 1u m =-，如图．1．当11m ->或11m -<-，即0m <或2m >时，()f x 有0个根； 2．当11m -=或11m -=-，即0m =或2m =时，()f x 有1个根； 3．当1112m <-<或1112m -<-<，即322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；4．当112m -=，即32m =时，()f x 有3个根综上，当0m <或2m >时，()f x 有0个根；当0m =或2m =时，()f x 有1个根；当322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；32m =时，()f x 有3个根．例题3．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数()2sin f x x =，将()f x的图象向右平移3π个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. (1)求函数()g x 的解析式及单调递增区间； (2)方程()25g x =在17,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的根从小到大依次为123,,x x x ，求1232x x x ++的值.第（2）问思路点拨：方程在上的根从小到大依次为，求的值.可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则其中，；即，，，，.根据图象作答转化为：方程在有个解，作出图象和问题转化作图象，找交点【答案】(1)()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)123823x x x π++= (1)2sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2sin 23g x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭；令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z(2)令()22sin 235g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1sin 235x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；17,612x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，520,32x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，设23x πθ=-，其中50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 5θ=，结合正弦函数5sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象可知：方程1sin 5θ=在50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有3个解123,,θθθ，其中12θθπ+=，233θθπ+=；即122233x x πππ-+-=，2322333x x πππ-+-=，1256x x π∴+=，23116x x π+=，123823x x x π∴++=. 三、题型归类练1．（2022·河南驻马店·高一期中（理））已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π． (1)求函数()f x 的解析式；(2)()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；2m <.(1)角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ=∵02πϕ-<<，∴3πϕ=-，由()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，得23T π=，即223ππω=，∴3ω=，∴()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)∵()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，即()y f x =与y m =的图象在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点，令33t x π=-，由0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，即2sin y t =与y m =在2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上有两个交点，2m <.2．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)m ⎡∈⎣，12(1)解：)()2cos cos 1f x xx x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x 的周期为T ，则,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则228888T AB BC π⋅=-=-，所以T π=．故22T ππω==，故1ω=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(2)由题意，函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的零点，1x ，2x ，3x ，即曲线()y f x =与y m =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的交点．设26t x π=+，当130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2sin y t =，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m ⎡∈⎣，12t t π+=，233t t π+=，所以12324t t t π++=，即12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123523x x x π++=，所以12351cos(2)cos32π++==x x x ．3．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知函数()()2sin cos 23f x x x x π=+． (1)求函数f (x )的最小正周期T 及()1003f π的值；(2)若关于x 的方程()12f x a π+=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)最小正周期π，(2)1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.(1)解：()2sin cos 3f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin cos 2x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos x x x x =1sin22x x =1sin22x =T π=，100133sin 233323f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)解：sin 22126f x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23023662x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，设32,[,]662t x t πππ=+∈，所以sin 2t a =有两个解，结合图像可知1212a ≤< 故1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．4．（2022·山东潍坊·高一期中）已知函数()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()y f x k =-在区间130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点12,x x ，求k 的取值范围，并求12x x +的值．【答案】(1)最小正周期π，单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)k 的范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，12x x +为53π或23π.(1)因为()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()3cos 223sin cos sin cos 2x x x x x x =++-()22cos 223sin c 3s 2o x x x x =+-cos 223cos 223x x x =- 63sin 2x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==，令222262k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，则()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)由题意，()0f x k -=在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个解12,x x ，即()y f x =与y k =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点，由130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,266x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图象如下，由图知：k 的取值范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，设3sin y t =与y k =在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的两个交点的横坐标分别为12,t t ，当33,2k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时12,t t 关于32t π=对称，即12,x x 关于56x π=对称，则1253x x π+=；当()0,3k ∈时12,t t 关于2t π=对称，即12,x x 关于3x π=对称，则1223x x π+=；综上，12x x +的值是53π或23π. 5．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，且()g x 为偶函数．(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；(2)若对a ∀，[]0,b m ∈．当a b <时，都有()()()()f b f a g a g b ->-成立，求m 的取值范围；(3)若关于x 的方程()()f x g x k +=在130,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，求k 的取值范围和123422x x x x +++的值．【答案】(1)()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()cos2g x x =(2)012m π<≤.(3)32<k ，132π (1)由题意()sin 263g x f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，即sin 2sin 233x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，而2πϕ<，故0k =，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()sin 2cos 22π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g x x x ． (2)对a ∀，[]0,b m ∈，a b <，都有()()()()f b f a g a g b ->-，()()()()f b g b f a g a +>+，设()()()h x f x g x =+，则()h x 在[]0,m 单调递增．又()()()3sin 2cos 22cos 22623h x f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令23u x π=+，则,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，y u =在,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦递增，故232m ππ+≤，012m π<≤．(3)()()()23h x f x g x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令23t x π=+，则14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sint =恰有4个不等实根1t ，2t ，3t ，4t ，则32<k ，不妨设1234t t t t <<<，函数()sin t t ϕ=，14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与函数y =4个交点，如图所示（略），()sin t t ϕ=在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，57,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，914,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1433ππϕϕ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭591222πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，37122ππϕϕ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12322t t π+=，23522t t π+=，34722t t π+=，12342215t t t t π+++=， ()1234222215x x x x ππ++++=，123413222x x x x π+++=． 6．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ≤）的部分图象大致如图．(1)求()f x 的单调递增区间．(2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数()g x 的图象．若关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)[)1,2 (1)根据图象，可得1A =，由124312πππω⋅=-，得2ω=．所以()()cos 2f x x φ=+，由2012πϕ⨯+=，得6πϕ=-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令2226k x k ππππ-≤-≤，Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． (2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ：cos 2sin 2466y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则需直线y m =与2sin y t =的图象在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦两个不同的公共点．画出2sin y t =在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的简图如下：1,2．所以实数m的取值范围为[)。

2014函数零点与图像+练习

一函数零点与零点个数的判断：例1、7.函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( )A ．0 B ．1C ．2 D ．3 二有关二次函数的零点问题：例2、关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，当a 为何实数时(1)有两不同正根；(2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；(4)在(1,3)内有且只有一解三用二分法确定函数的零点问题例3、如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )．A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④四、用二分法确定函数的零点在下列区间，例4函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为()．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 4．方程0)(=x f 在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到445.010=x 达到精确度要求。

那么所取误差限ξ是（）A ．0.05B ．0.005C ．0.0005D ．0.00005五判断函数图象的形状：例5、函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是( )．5、函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．六函数图象的变换：例5、已知)(x f y =的图象，作下列函数的图象：（1）)(x f y =；（2）)(x f y =5、若函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )．七函数图象的应用例7．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )．A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3]练习：1、函数3()233f x x x =+-的零点所在的区间为( )A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)2.函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是 ( )(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）3.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75）（D ）（1.75，2）4、已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.. 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是__ ___..若函数f(x)=x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .5.已知x 是函数f(x)=2x + 11x-的一个零点.若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则( ) （A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0（C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞06．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，则实数a 的取值范围是()A ．a ＜13 B ．a ＞13C ．a ≤13 D ．a ≥137.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________．已知函数f (x )＝log a x ＋x－b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.8．设a ，b ，k 是实数，二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足：f (k －1)与f (k )异号，f (k ＋1)与f (k )异号．在以下关于f (x )的零点的命题中，真命题是( )A ．该二次函数的零点都小于k B ．该二次函数的零点都大于k C ．该二次函数的两个零点之差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内9.函数()ln ,0,0,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等实数根的个数是（）A 5 B 6 C 7 D 8. 10．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b11．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图像如图K10－1所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图像是( )12．已知图K10－4①是函数y ＝f (x )的图像，则图K10－4数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |)13.函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( )A ．0 B ．1C ．2 D ．3 14．已知函数f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则( )A ．－1<a <1B ．a >1或a <－2C ．－2<a <1D ．a >2或a <－1 15.对于函数()2f x x mx n =++，若()()0,0f a f b >>，则函数()f x 在区间(),a b 内（）A 一定有零点B 一定没有零点C 可能有两个零点D 至多有一个零点16. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()f x T f x +=（T 是非零常数），则方程()0f x =在区间[],T T -上根的个数可能是（）A 1 B 2 C 3 D 517. 设 αβ，是二次方程2260x kx k -++=的两个实根，则对()()2211αβ-+-的正确判断是（） A 最小值为494- B 最小值为8 C 无最小值D 无法确定 18. 函数()22f x x ax b =-+的零点一个在区间()01，上，另一个在区间()12，上，则23a b +的取值范围是（） A ()29，B []29，C ()49，D []49，. 19、函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．20．设a >1，对于实数x ，y 满足：|x |－log a 1y＝0，则y 关于x 的函数图像是( )21．正方形ABCD 的顶点A ⎝⎛⎭⎫0，22，B 22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图像大致是( )22．若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，则a的取值范围是________．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，关于x 的方程2|1|x m -=有三个不相等的实数根，则实数m 的值是若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为________．设24)(x x f -=，若n m <<0，且)()(n f m f =，则n m +的取值范围是。

考点12 零点定理(练习)(解析版)

考点12：零点定理【题组一求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____.【答案】﹣3【解析】当0x ≤时，()120,38xf x x =-=∴=-；当0x >时，()()2log 10,0f x x x =-+=∴=，不满足，排除；故函数零点为3-故答案为：3-2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________.【答案】3【解析】根据题意，若函数f （x ）＝log 2（x +a ）的零点为﹣2，则f （﹣2）＝log 2（a ﹣2）＝0，即a ﹣2＝1，解可得a ＝3，故答案为33．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________.【答案】0或1【解析】()0f x =等价于1220x x ≥⎧⎨-=⎩或2120x x x <⎧⎨-=⎩，解得1x =或0x =，所以，函数()y f x =的零点是0或1．故答案为：0或1．【题组二零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】A【解析】3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)1110f =++-=>，所以(0)(1)0f f <，根据零点存在性定理，函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是(0,1)，故选：A.2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是()A ．()0,1B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,7【答案】D【解析】函数()26log 21f x x x =--+，在其定义域上连续，又()2255log 53log 08f =-=<，()2237log 72log 04f =--=>，故函数()f x 的零点在区间()5,7上.故选：D.3．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（）A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵(0)0sin 00f =-=，1024f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()02f ππ=>，∴()02f f ππ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，∴在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内必有零点.故选：B .【题组三零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为.【答案】2【解析】函数()231xf x log x =-的零点，即方程2310xlog x -=的解，即213xlog x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转化为函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点，在同一平面直角坐标系上作出函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如下所示：从函数图象可知，2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭有两个交点，即方程2310x log x -=有两个实数根，即函数()231x f x log x =-有两个零点.2．函数()22xf x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为.【答案】2【解析】令22e 20,2x x x e x +-==-+,画出2,2x y e y x ==-+的图象如下图所示,由图可知,图象有两个交点,故原函数有2个零点.3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为.【答案】3【解析】根据题意可知，函数1()cos (12xf x x π=-+在区间[1,2]-上的零点的个数，即为函数cos y x π=的图象与函数1()12xy =-的图象在区间[1,2]-上的交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示：可以发现有三个公共点，所以函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上有三个零点，4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是.【解析】因为ln y x =与2y x =均在()0,+¥上为增函数，所以函数()2ln f x x x=+至多一个零点又221111ln 10f e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()1ln1110f =+=>，()110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点.5．函数()3f x x =-,则()f x 的零点个数为________.【答案】1【解析】函数()f x 定义域为[)0,+∞303x x =⇔-=令123,y x y =-=，则()f x 的零点的个数就是函数123,y x y =-=，[)0,x ∈+∞的交点个数如上图所示，则()f x 的零点个数为1.故答案为：16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________.【答案】10【解析】由于定义在R 上的偶函数()y f x =满足()4()f x f x =-,所以()y f x =的图象关于直线2x =对称,画出[0,)x ∈+∞时，()y f x =部分的图象如图,在同一坐标系中画出lg y x =的图象,由图可知：当(0,)x ∈+∞时,有5个交点,又lg y x =和()y f x =都是偶函数,所以在(,0)x ∈-∞上也是有5个交点,所以()()lg g x f x x =-的零点个数是10，故答案为：10.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________.【答案】6【解析】函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，即方程25sin log ||022x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭的解，令()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，()2log ||h x x =也就是函数()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的交点，在同一平面直角坐标系中画出()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的图象如下所示，由图可知()5sin 22g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log ||h x x =有6个交点，即25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有6个零点.故答案为：68．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为.【答案】5【解析】∵f(x ＋2)＝f(x)，∴函数()f x 的周期为2．由题意可得()5f x log x =，在同一坐标系内画出函数()y f x =和5y log x =的图象，如下图，由图象得，两函数图象有5个交点，所以函数y ＝f(x)－|log 5x|共有5个零点．9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是.【答案】26【解析】令()20log h x x =，定义域为非零的实数集，()()2020log log h x x x h x -=-==，所以该函数为偶函数，又()f x 是偶函数()g x ∴是偶函数，且0x ≠，由()()20log 0g x f x x =-=得()20log f x x=当0x >时有()20log f x x= 偶函数()f x 的图象关于32x =对称，()()f x f x ∴-=且()()3f x f x =-，()()()()333f x f x f x f x ∴+=-+=-=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是3T =的周期函数，32kx ∴=,k Z ∈为()f x 的对称轴当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x=∴()()()()()2021111120f f f f h =-=-===当(]0,20x ∈,()f x ,()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(]0,20上有13个交点即()g x 在(]0,20上有13个零点()g x 是偶函数()g x ∴在[]20,20-上共有26个零点．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______.【答案】5【解析】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+,所以()f x 关于()2,0中心对称,又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+,所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4,画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个,故答案为:511．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是.【答案】2020【解析】对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ），由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ）∴f （x +2）＝f （x ）∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1．方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数，当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【答案】9【解析】函数()f x 是奇函数，则(0)0f =，又周期为4，则(2)(2)f f -=，又(2)(2)f f -=-，所以(2)(2)0f f -==，所以(2)0,f k k Z =∈．在(10,10)-上有9个偶数，因此函数至少有9个零点．故答案为：9.【题组四根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是.【答案】7,53⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】∵方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间(−1,0)内,另一根在区间(0,2)内，∴函数()24(2)5x m x f x m +-=+-的两个零点一个在区间(−1,0)内,另一个在区间(0,2)内，则(1)4(2)50(0)50(2)162(2)50f m m f m f m m -=--+->⎧⎪=-<⎨⎪=+-+->⎩，解得753m -<<，∴m 的取值范围是7,53⎛⎫-⎪⎝⎭.2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为.【答案】[4,0-）【解析】由题意，函数2()log (1)3f x x x m =+++是定义域上的单调递增函数，又由函数()f x 在区间(0,1]上存在零点，则满足()()0010f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log (01)300log (11)310m m ++⨯+<⎧⎨++⨯+≥⎩，解得40m -≤<，即实数m 的取值范围为[4,0)-。

高二数学函数图像试题

高二数学函数图像试题1.设直线与函数的图象分别交于点M，N，则当达到最小时t的值为A．B．C．1D．【答案】A【解析】令，则，令可得：，所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时有最小值，即达到最小时t的值为．【考点】函数的性质及应用．2.如图，图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数，则的图像大致为（）【答案】C【解析】由题意可得：，所以该函数周期为且最大值为，所以应为C选项.【考点】三角函数的性质及图像应用.3.幂函数的图像经过点，则的值为 _________________【答案】2【解析】设函数的解析式为，由已知得，解得，因此.【考点】幂函数的定义与性质4.设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）【答案】C【解析】由f′（x）的图象可得，在（-∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．故选C．【考点】导数研究函数的单调性5.设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）【答案】C【解析】由f′（x）的图象可得，在（-∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．故选C．【考点】导数研究函数的单调性6.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为()【答案】D【解析】根据函数与导数的关系：可知，当≥0时，函数f（x）单调递增；当＜0时，函数f（x）单调递减;结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则＜0，排除选项A，C当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则≥0，排除选项B,故选D【考点】函数的图象7.已知函数的周期为2，当∈[－1,1]时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有( ).A．10个B．9个C．8个D．1个【答案】A【解析】因为函数的周期为2，当∈[－1,1]时，所以；作出函数的图象与函数的图象（如图），由图像得函数的图象与函数的图象的交点共有10个.【考点】函数的图像、周期性.8.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是A．①④②③B．①④③②C．④①②③D．③④②①【答案】A【解析】由于从左到右图象的第一个图象关于y轴对称，所以其对应函数是偶函数，而已知的四个函数中①是偶函数，②是奇函数，③是奇函数，④非奇非偶函数；故第一个图象对应的函数只能是①，这样就右排除C和D了，对于A和B，第二个图象对应的函数均是④，所以只须看第三个图象：在y轴右侧图象有在x轴的下方的部分，而函数③，当时，显然，所以第三个图象对应的函数不能是③，故只能是②，这样就排除B，而应选A．【考点】函数的图象．9.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线，另一种平均价格曲线，如表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像，实线表示，虚线表示，其中可能正确的是（）A． B． C． D.【答案】D【解析】法一：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，故可排除A、C选项；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，对于B选项中，即时价格不断下降，此时平均价格却保持不变，这是不可能的，而D选项符合，故选D；法二：根据已知中，实线表示即时曲线，虚线表示平均价格曲线，根据实际中即时价格升高时，平均价格也随之升高，价格降低时平均价格也随之减小的原则，对四个选项进行分析即可得到结论，因为即时价格与平均价格同增同减，故A，B，C均错误，只有D符合要求，故选D.【考点】1.函数的图像；2.函数的综合应用.10.设函数，则函数的零点的个数为( )A．4B．7C．6D．无穷多个【答案】C【解析】由题意就是求函数与函数交点的个数.作出示意图. 当时，有一个交点，当时，有一个交点，当时，由于，所以有两个交点，当时，由于，所以有两个交点，当时，由于，所以没有交点，当时，递减的速度比递减（按指数函数）的速度慢，所以没有交点，因此一共6个交点.【考点】函数图像11.已知函数（）,（0<x<4），的图像所有交点的横坐标之和为 .【答案】8【解析】由图解可得由于函数（的对称中心是（2,1），函数（0<x<4）的对称中心是（k,1）(其中)故点（2,1）也是函数的对称中心.所以由图像可得,.故函数的图像所有交点的横坐标之和为8.故填8.【考点】1.函数的图像解问题.2.函数的对称性.3.反比例三角函数的对称性12.如图,下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度和时间之间的关系，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据题意，由于四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止，那么单位时间内进去的水量相等，选项A，应该是匀速上升，错误，选项B，先快后慢，成立，对不C，先快后慢，再快，故答案成立，丢与D,由于先慢后快再慢，故成立，因此正确的选项为B【考点】函数图象点评：主要是考查了函数解析式与函数图象的关系，属于基础题。

高一数学函数图像试题答案及解析

高一数学函数图像试题答案及解析1.一高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数的大致图象可能是( )【答案】B【解析】根据题目所给鱼缸图形可以分析出:水深的变换是开始快，中间慢，最后快，所以答案是B.【考点】函数图像问题.2.关于的方程：有两个实数根，则实数的取值范围（）A．B．C．D．【答案】D【解析】方程可化为，进而整理得，令，，则原方程有两个实数根，即函数与的图象有两个公共点．由图象可以看出，要满足条件，只需，即即可．【考点】1.函数的图象；2.简单不等式的求解．3.偶函数与奇函数的定义域均为，在，在上的图象如图，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】是偶函数，偶函数的图像关于轴对称，结合图像知的解集，的解集；是奇函数，奇函数的图像关于原点对称，结合图像知的解集，的解集；等价于或,所以解集为,故选C.【考点】1.函数的图像；2.函数的奇偶性.4.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时,丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为（把正确结论的序号都填上,多填或少填均不得分）．【答案】③④⑤【解析】画出四个函数的图像，由图像可知①②错，共有三个交点，当时，乙走在最前面，当时，甲走在最前面；由图像知③④⑤正确；【考点】函数图像的应用5.函数（且）的图象必经过定点P，则点P的坐标为 .【答案】（2,0）【解析】求函数过定点问题可有两个思路，一是几何方法，从函数图像出发，找出定点，因为对数函数过定点，所以过定点（2,0），这是因为函数向右平移一个单位就得到，二是代数方法，从函数解析式出发，研究什么点的取值与无关，由知当取1，即取2时，恒等于0，即点（2,0）恒在函数上.【考点】函数过定点问题，函数图像变换.6.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图像，当时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点，过点；当时，图像是线段，其中，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.（1）试求的函数关系式；（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.【答案】（1）；（2）老师在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.【解析】（1）这是分段函数的解析式的求解问题，采用分段求解的方法：在时，该图像是二次函数的图像，设这个二次函数的顶点式方程即，由点，可求出的值；在时，由点可求出直线的方程，最后写出函数的解析式即可；（2）求解不等式即或即可得到老师安排核心内容的时间段.试题解析：（1）当时，设 1分因为这时图像过点，代入得所以 3分当时，设，过点得，即 6分故所求函数的关系式为 7分（2）由题意得或 9分得或，即 11分则老师就在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳 12分.【考点】1.函数的实际应用问题；2.分段函数解析式的求解问题；3一次函数与二次函数的图像与性质；4.一次不等式与二次不等式.7.已知函数,不等式对任意实数恒成立，则的最小值是 .【答案】【解析】由分析可知要想恒成立，只能，因为，所以最小值为【考点】函数图像绝，对值不等式8.函数的图象与函数图象交点的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】在同一直角坐标系中分别作出两个函数的图像由上图可知可知有3个交点，故选C.【考点】函数图象的交点.9.对于函数，下列结论中正确的是：（）A．当上单调递减B．当上单调递减C．当上单调递增D．上单调递增【答案】A【解析】因为，所以当时，则，又，所以在区间上单调递减．【考点】分段函数的性质和图象．10.同时满足以下三个条件的函数是（）①图像过点；②在区间上单调递减③是偶函数．A．B．C．D．【答案】C【解析】选项A中，函数对称轴为x=-1,所以不是偶函数，排除A；选项B中，函数在区间上单调递增,排除B;选项D中，函数图像不过点，排除D.故选择C.【考点】函数的图像和性质.11.已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】画出函数f(x)图像如上图所示，而函数有三个零点，即有三个根，所以有三个根，也就是说函数与函数的图像有三个交点，利用数形结合的方法可知：，解得.【考点】数形结合的思想方法.12.下列四个图像中，不可能是函数图像的是 ( )【答案】B【解析】根据题意，对于选项A，对于任意的x ，有唯一确定的y与其对应，故成立，对于B，由于一个x，有两个y对应，不成立，对于C，由于满足对于任意的x ，有唯一确定的y与其对应，因此是函数图像，对于D,也是做一条垂直x轴的直线，交点至多一个即可，故选B.【考点】函数图像点评：本题主要考查函数的定义，函数的图象特征，属于基础题．13.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值（）A．1个B．4个C．3个D．2个【答案】D【解析】画出函数的图像如下：由图像知，函数在开区间内有2个极大值。