图的矩阵表示及习题-答案汇总
图的矩阵表示及习题-答案讲解
177图的矩阵表示图是用三重组定义的，可以用图形表示。
此外，还可以用矩阵表示。
使用矩阵表示图，有利于用代数的方法研究图的性质，也有利于使用计算机对图进行处理。
矩阵是研究图的重要工具之一。
本节主要讨论无向图和有向图的邻接矩阵、有向图的可达性矩阵、无向图的连通矩阵、无向图和有向图的完全关联矩阵。
定义9.4.1 设 G =<V ,E >是一个简单图，V =⎨v 1,v 2,…,v n ⎬ A (G )=(ij a ) n ×n其中：1j i v v v v a j i j i ij =⎩⎨⎧=无边或到有边到 i ,j =1,…,n称A (G )为G 的邻接矩阵。
简记为A 。
例如图9.22的邻接矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111101011011010)(G A 又如图9.23(a)的邻接矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001101111000010)(G A 由定义和以上两个例子容易看出邻接矩阵具有以下性质：①邻接矩阵的元素全是0或1。
这样的矩阵叫布尔矩阵。
邻接矩阵是布尔矩阵。
②无向图的邻接矩阵是对称阵，有向图的邻接矩阵不一定是对称阵。
178③邻接矩阵与结点在图中标定次序有关。
例如图9.23(a)的邻接矩阵是A (G )，若将图9.23(a)中的接点v 1和v 2的标定次序调换，得到图9.23(b)，图9.23(b)的邻接矩阵是A ′(G )。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='0010101100011100)(G A 考察A (G )和A ′(G )发现，先将A (G )的第一行与第二行对调，再将第一列与第二列对调可得到A ′(G )。
称A ′(G )与A (G )是置换等价的。
一般地说，把n 阶方阵A 的某些行对调，再把相应的列做同样的对调，得到一个新的n 阶方阵A ′，则称A ′与A 是置换等价的。
可以证明置换等价是n 阶布尔方阵集合上的等价关系。
虽然，对于同一个图，由于结点的标定次序不同，而得到不同的邻接矩阵，但是这些邻接矩阵是置换等价的。
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
矩阵与行列式练习题及解析
矩阵与行列式练习题及解析矩阵与行列式是线性代数的重要内容之一，对于理解和运用线性代数的基本概念和方法具有重要作用。
本文将为读者提供一些矩阵与行列式的练习题，并对其解析过程进行详细讲解，帮助读者掌握相关知识。
练习题一：已知矩阵A=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥，求A的转置矩阵AT。
解析：矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行对调。
根据定义，矩阵AT的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素。
因此，可以得到矩阵A的转置矩阵AT=⎡⎣⎢143256⎤⎦⎥。
练习题二：已知矩阵B=⎡⎣⎢112233⎤⎦⎥，求B的逆矩阵B-1。
解析：矩阵的逆是指与之相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于2×2的矩阵而言，可以通过下面的公式求得逆矩阵：B-1 = 1/(ad-bc) * ⎡⎣⎢dd-bb-cc-aa⎤⎦⎥，其中a、b、c、d分别代表B的对应元素。
根据此公式，可以得到矩阵B的逆矩阵B-1=⎡⎣⎢-1/3-2/30.5-1⎤⎦⎥。
练习题三：已知矩阵C=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥，求C的行列式|C|。
解析：行列式是用来表征矩阵性质的量，对于3×3的矩阵而言，行列式的计算公式如下：|C| = a(ei-hf) - b(di-hg) + c(dg-ge)，其中a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵C的对应元素。
带入矩阵C的值，可以得到|C|=0。
练习题四：已知矩阵D=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥，求D的特征值和特征向量。
解析：特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的重要指标，特征值是矩阵对应特征向量的线性变换因子。
首先，求解特征值需要解特征方程Det(D-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
通过计算得到特征值λ1=0，λ2=15，λ3=-15。
然后，根据特征值求解对应的特征向量，即求解方程组(D-λI)X=0，其中X为特征向量。
求解过程中，可以得到特征向量X1=⎡⎢⎣-1-101⎤⎥⎦，X2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦，X3=⎡⎢⎣100-11⎤⎥⎦。
矩阵及其运算课后习题答案(最新整理)
用数学归纳法证明:
当 k 2 时,显然成立. 假设 k 时成立，则 k 1时，
k
Ak 1
Ak
A
0
0
kk 1
k 0
k
(k 1) k 2 kk 1 k
2
0 0
1 0
0 1
k1 0 0
k 由数学归纳法原理知: Ak 0 0
kk 1
k 0
k(k 1) k2
2 kk 1
k
(k 1)k1
k 1 0
(k 1)k k1
2 (k 1)k1
k 1
9．设 A, B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BT AB 也是对称矩阵.
证明 已知： AT A
则
( ) ( ) BT AB T BT BT A T BT AT B BT AB
从而 BT AB 也是对称矩阵.
2 y3,
x3 4 y1 y2 5 y3,
y1 y2
3z1 z2 2z1 z3 ,
,
y3 z2 3z3,
求从 z1, z2 , z3 到 x1, x2 , x3 的线性变换．
解 由已知
x1 x2 x3
2 2 4
0 3 1
152
y1 y2 y2
2 2 4
0 3 1
y2 y2
故
y1 y2 y2
2 3 3
2 1 2
11 x1
53
x2 x3
7 6 3
4 3 2
9 7 4
y1 y2 y3
y1 y2
7x1 4x2 9x3 6x1 3x2 7x3
y3 3x1 2x2 4x3
2．已知两个线性变换
x1 x2
矩阵典型习题解析
2 矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。
其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!知识要点解析2.1.1 矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n个数a ij （i 1,2, ,m;j 1,2, , n）组成的m行n列的矩形数表a11 a12 a1nA a21 a22 a2nAa m1 a m2 a mn称为m×n矩阵，记为 A （a ij ）m n2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是 1 的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
3．矩阵的相等设 A （a ij ）mn; B （b ij ）mn若a ij b ij(i 1,2, ,m;j 1,2, ,n)，则称A与B相等，记为A=B。
2.1.2 矩阵的运算1．加法(1)定义：设 A (A ij )mn ,B (b ij )mn ，则 C A B (a ij b ij )mn (2) 运算规律① A+B=B+A ；②( A+B ) +C=A+( B+C )③ A+O=A ④ A+(-A ) =0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 (1)定义：设 A (a ij )mn ,k 为常数，则 kA (ka ij )mn(2) 运算规律 ① K (A+B) =KA+KB, ② ( K+L) A=KA+LA,③ (KL) A= K (LA)3．矩阵的乘法(1)定义：设 A (a ij )mn ,B (b ij )np .则 nAB C (C ij )mp ,其中 C ij a ik b kjk1(2) 运算规律① (AB)C A (BC) ；② A(B C) AB AC③ (B C)ABA CA3)方阵的幂①定义：A(a ij )n，则 A k A KA ②运算规律：A m A n A mn(A m )n A(4)矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的一个重要概念，也是在数学、物理、计算机科学等领域中广泛应用的工具。
通过解矩阵练习题，可以帮助我们加深对矩阵运算和性质的理解。
下面给出一些矩阵练习题及其答案，供大家参考。
1. 问题描述：已知矩阵 A = [4 2]，求 A 的转置矩阵 A^T。
解答：矩阵的转置就是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
因此，A 的转置矩阵为 A^T = [4; 2]。
2. 问题描述：已知矩阵 B = [1 -2; 3 4]，求 B 的逆矩阵 B^-1。
解答：对于一个可逆矩阵 B，其逆矩阵 B^-1 满足 B * B^-1 = I，其中 I 是单位矩阵。
通过矩阵的求逆公式，可以得到 B 的逆矩阵 B^-1 = [4/11 2/11; -3/11 1/11]。
3. 问题描述：已知矩阵 C = [2 1; -3 2]，求 C 的特征值和特征向量。
解答：矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的重要性质。
特征值λ 是方程 |C - λI| = 0 的根，其中 I 是单位矩阵。
解方程可得特征值λ1 = 1 和λ2 = 3。
特征向量 v1 对应于特征值λ1，满足矩阵C * v1 = λ1 *v1，解方程可得 v1 = [1; -1]。
特征向量 v2 对应于特征值λ2，满足矩阵C * v2 = λ2 * v2，解方程可得 v2 = [1; 3]。
4. 问题描述：已知矩阵 D = [1 2 -1; 3 2 4]，求 D 的行列式和秩。
解答：矩阵的行列式表示线性变换后单位面积或单位体积的变化率。
计算 D 的行列式可得 det(D) = 1 * (2*4 - 4*(-1)) - 2 * (3*4 - 1*(-1)) + (-1) * (3*2 - 1*2) = 10。
矩阵的秩表示矩阵中独立的行或列的最大个数。
对矩阵 D 进行行变换得到矩阵的行最简形式为 [1 0 6; 0 1 -3]，因此 D 的秩为 2。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
矩阵习题带答案
矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。
1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。
解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。
因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。
解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。
计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。
解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。
4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。
解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。
首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。
(完整版)矩阵练习(带答案详解)
6.设A二、判断题(每小题 2分，共12分)kk k1.设A 、B 均为n 阶方阵，则 (AB) A B (k 为正整数)。
..........................(x )2•设 A,B,C 为 n 阶方阵，若 ABC I ，则 C 1 B 1A 1。
........................... ( x ) 3. 设A 、B 为n 阶方阵，若 AB 不可逆，贝U A, B 都不可逆。
................. (x ) 4. 设A 、B 为n 阶方阵，且AB 0,其中A 0,则B 0。
............................ ( x ) 5•设 A 、B 、C 都是 n 阶矩阵，且 AB I ,CA I ，贝U B C 。
...................................... ( V )、填空题:1.若A , B 为同阶方阵，则 (A B)(A B) A 2 B 2的 充分必要条件2. 3. 4. 5.AB BA 。
若n 阶方阵A , B , C 满足ABC 设A = B 都是n 阶可逆矩阵，若 为n 阶单位矩阵,B ,则CAB 。
2B7.设矩阵-1,B, A T 为A 的转置, 1则 A T B =28. A 3B 为秩等于2 的三阶方阵，贝U AB 的秩等于_26. 若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且AB AC，贝U B也是n阶对角矩阵。
••• ( x )7. 两个矩阵A与B，如果秩(A)等于秩(B),那么A与B等价。
.................... (x )8. 矩阵A的秩与它的转置矩阵A T的秩相等。
................................. (V )三、选择题(每小题3分,共12分)1. 设A为3 x 4矩阵，若矩阵A的秩为2,则矩阵3A T的秩等于(B )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 假定A、B、C为n阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的(C )(A) ABC A(BC) (B) kAB A( kB)(C)AB BA (D) C(A B) CA CB3.已知A、B为n阶方阵，则下列性质不正确的是( A )(A) AB BA (B) (AB)C A(BC)(C) (A B)C AC BC (D) C(A B) CA CB4.设PAQ I ，其中P、Q、A都是n阶方阵，则(D )(A) A 1P 1Q 1(B) A 1Q 1P 1(C) A 1PQ (D) A 1QP5. 设n阶方阵A，如果与所有的n阶方阵B都可以交换，即AB BA，那么A必定是(B )(A)可逆矩阵(B)数量矩阵(C)单位矩阵(D)反对称矩阵6. 两个n阶初等矩阵的乘积为( C )(A)初等矩阵(B)单位矩阵(C)可逆矩阵(D)不可逆矩阵7. 有矩阵A3 2 , B2 3 , C3 3，下列哪一个运算不可行(A )(A) AC (B) BC(C) ABC (D) AB C8.设A与B为矩阵且AC CB ,C为m n的矩阵，则A与B分别是什么矩阵(D )(A) n m m n (B) m n n m(C) n n mm (D) m m n n9. 设A 为n 阶可逆矩阵,则下列不正确的是 (B)2A 可逆(A ) A 0或 B 0(B) 代B 都不可逆13. 若A,B 都是n 阶方阵，且A,B 都可逆，则下述错误的是(14. A, B 为可逆矩阵，则下述不一定可逆的是(B ) A B(D ) BAB(A ) AB B (B ) AB BA(C )AA I(D )A 1 I16.设A,B 都是n 阶方阵，则下列结论正确的是(D )(A) 若A 和B 都是对称矩阵，则 AB 也是对称矩阵 (B) 若 A 0 且 B 0 ,则 AB 0(C) 若AB 是奇异矩阵，则 A 和B 都是奇异矩阵 (D) 若AB 是可逆矩阵，则 A 和B 都是可逆矩阵 17. 若A 与B 均为n 阶非零矩阵，且 AB 0,则(A )(A) A 1可逆 (B)I A 可逆10. A,B 均n 阶为方阵, F 面等式成立的是(A ) AB BA (B ) (A B)T A T B T(C ) (A B) 1A 1B 11(D ) (AB) A1B 111.设A,B 都是n 阶矩阵，且AB 0，则下列一定成立的是((C )代B 中至少有一个不可逆 (D ) A12.设A,B 是两个n 阶可逆方阵，则 AB T1等于T 1 T 1(A) A T B T(B) B T 1 A T 1(C ) B 1 T (A 1)T(D )A T 1(A ) A B 也可逆 (B ) AB 也可逆(C ) B 1也可逆(D )1B 1也可逆(C) 2A 可逆(D)(A) AB (C ) BA 15•设A, B 均为n 阶方阵，下列情况下能推出A 是单位矩阵的是实用标准文档(A) R(A) n(C ) R(A) 0(B ) R(A) n(D) R( B) 0四、解答题:1 1 11 2 31.给定矩阵A2 13 ，B2 2 1求B T A 及A 13443 4 3解：1 23 1 1 14 95B T A2 2 4 2 13 6 12 8 ............................ ..(53 133444 8 6分）1 0 1 解：1100 1 111 0 1 1 1 0 0 1 140 111 1 1 A- — — 2 2 2 5 1 12221 0 1 1 2.求解矩阵方程1 1 0 X 40 1 111 3 32 2 5(5分)1 1 1 1 1 1 3.求解矩阵方程XA B，其中A 02 2 , B 1 1 01 1 02 1 1解：因为 A 6 所以A 可逆（4分）0 10 1 0 0 1 4 34.求解下F 面矩f 阵方程中 卞的矩i 阵 X : 10 0 X 0 0 1 2 0 10 10 1 01 2 0解:0 11 0 01 4 3令A1 0 0 ,B0 0 1 7 C2 0 1，则 A,B 均可逆，且0 010 1 0120 1 01 0 0A 11 0 0 , B 10 0 10 0 10 1 02 1 1所以XA 1 CB 11 3 41 024 2 35.设矩 阵A1 1 0 ，求矩阵 B : ，使其满足矩阵方程 AB A 2B.1 12 3解: ABA 2B 即（A2I ）B A........ 2分21231 4 3而（A 12I ）1 1 0 1 53 .......3分12 11 64.（2 分）1-34-313 5-6••（41 4 3 42 3所以B (A 2I ) 1A 1 5 3 1 1 01 6 4 12 33 8 6=2 9 6 . ....3分2 12 9五、证明题1.若A是反对称阵，证明A是对称阵。
矩阵知识点归纳及例题
矩阵知识点归纳及例题一、矩阵知识点归纳。
（一）矩阵的定义。
1. 矩阵的概念。
- 由m× n个数a_ij(i = 1,2,·s,m;j = 1,2,·s,n)排成的m行n列的数表(a_11a_12·sa_1n a_21a_22·sa_2n ⋮⋮⋱⋮ a_m1a_m2·sa_mn)称为m× n矩阵，简称矩阵，其中a_ij称为矩阵的第i行第j列的元素。
2. 特殊矩阵。
- 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记为O。
- 方阵：行数与列数相等的矩阵，即m = n时的矩阵A称为n阶方阵。
- 对角矩阵：除主对角线元素外，其余元素都为0的方阵，即a_ij=0(i≠ j)的n 阶方阵(a_110·s0 0a_22·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·sa_nn)。
- 单位矩阵：主对角线元素都为1，其余元素都为0的n阶方阵，记为I或E，即(10·s0 01·s0 ⋮⋮⋱⋮ 00·s1)。
（二）矩阵的运算。
1. 矩阵的加法。
- 设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个m× n矩阵，则A + B=(a_ij+b_ij)，即对应元素相加。
- 矩阵加法满足交换律A + B=B + A和结合律(A + B)+C = A+(B + C)。
2. 矩阵的数乘。
- 设A=(a_ij)是m× n矩阵，k是一个数，则kA=(ka_ij)，即矩阵的每个元素都乘以k。
- 数乘满足分配律k(A + B)=kA + kB和(k + l)A=kA + lA（k、l为常数）。
3. 矩阵的乘法。
- 设A=(a_ij)是m× s矩阵，B=(b_ij)是s× n矩阵，则AB是m× n矩阵，其中(AB)_ij=∑_k = 1^sa_ikb_kj。
- 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB≠ BA（在A、B可乘的情况下），但满足结合律(AB)C = A(BC)和分配律A(B + C)=AB + AC，(A + B)C = AC+BC。
高中矩阵练习题及讲解详细解析
高中矩阵练习题及讲解详细解析### 高中矩阵练习题及详细解析#### 练习题一：矩阵的基本运算题目：给定两个2x2矩阵 A 和 B：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵 A 和 B 的加法和乘法结果。
解析：首先进行矩阵加法，即对应元素相加：\[ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]接下来进行矩阵乘法，根据矩阵乘法的定义：\[ A \times B = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix} \]#### 练习题二：矩阵的行列式和逆矩阵题目：已知矩阵 C：\[ C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 C 的行列式和逆矩阵。
解析：首先计算矩阵 C 的行列式，使用公式：\[ \text{det}(C) = 2\cdot3 - 1\cdot4 = 6 - 4 = 2 \]接着计算逆矩阵，使用公式：\[ C^{-1} = \frac{1}{\text{det}(C)} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.5 & -0.5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \]#### 练习题三：矩阵的特征值和特征向量题目：给定矩阵 D：\[ D = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \]求矩阵 D 的特征值和对应的特征向量。
矩阵分析所有习题及标准答案
习题3-16
#3-16:设若A,BHnn,且A为正定Hermite矩阵, 试证:AB与BA的特征值都是实数.
证1:由定理3.9.4,A1/2是正定矩阵,于是 A-1/2(AB)A1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即AB相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (AB)=(M)R,得证AB的特征值都是实数. 又 A1/2(BA)A-1/2=A1/2BA1/2=MHmn, 即BA相似于一个Hermite矩阵M. ∴ (BA)=(M)R,得证BA的特征值都是实数.
习题3-25
#3-25:A*=-A(ASHnn) U=(A+E)(A-E)-1Unn. (ASHnnAE的特征值全不为0,从而AE可逆)
解: U*=U-1 ((A-E)*)-1(A+E)*=(A-E)(A+E)-1 (-A-E)-1(-A+E)=(A-E)(A+E)-1 (A+E)-1(A-E)=(A-E)(A+E)-1 (A-E)(A+E)=(A+E)(A-E) A2-E=A2-E
n
j
nn使U*AU=R为 3 1 6 #3-3(1):已知A= ,试求UU 2 0 5 上三角矩阵. 解:det(E-A)=(+1)3给出=-1是A的3重特征值. 显然,1=(0,1,0)T是A的一个特征向量.作酉矩阵 V=(1,2,3),2=(1,0,0)T,3=(0,0,1)T,则
习题3-14
#3-14:若AHmn,A2=E,则存在UUnn使得 U*AU=diag(Er,-En-r).
证:存在UUnn使得 A=Udiag(1,…,n)U*, (*) 其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和 A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U* ∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在 前面,则(*)式即给出所需答案.
矩阵分析课后习题解答(整理版)
第一章 线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A nn ij （，分别令Ti X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A HH H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾) 第二章 酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n Tn i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n Tn j ==（1在第j 行）根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i ji X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
矩阵练习带答案详解
一、填空题：1.假设A ，B 为同阶方阵，则22))((B A B A B A -=-+的充分必要条件是BAAB =。
2. 假设n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵，则1-C＝AB。
3. 设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，假设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C ,则1-C ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0011B A 。
4. 设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112，则1-A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111。
5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=432211B .则=+B A 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--731733。
6.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001A ，则1-A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310002100017．设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，T A 为A 的转置，则B A T=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-160222.8. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110213021A ，B 为秩等于2的三阶方阵，则AB 的秩等于 2 .二、判断题〔每题2分，共12分〕1. 设B A 、均为n 阶方阵，则 kk k B A AB =)(〔k 为正整数〕。
……………〔 × 〕2. 设,,A B C 为n 阶方阵，假设ABC I =，则111CB A ---=。
……………………………〔 × 〕3. 设B A 、为n 阶方阵，假设AB 不可逆，则,A B 都不可逆。
……………………… ( × )4. 设B A 、为n 阶方阵，且0AB =，其中0A ≠，则0B =。
……………………… ( × )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵，且I CA I AB ==,，则C B =。
……………………〔 √ 〕6. 假设A 是n 阶对角矩阵，B 为n 阶矩阵，且AC AB =，则B 也是n 阶对角矩阵。
…〔 × 〕7. 两个矩阵A 与B ，如果秩〔A 〕等于秩〔B 〕，则A 与B 等价。
矩阵理论历年试题汇总及答案
矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。
历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。
以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。
矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。
答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。
接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。
特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。
答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。
矩阵的运算与性质练习题及解析
矩阵的运算与性质练习题及解析一、基础概念在矩阵的运算与性质练习题及解析中，首先需要了解矩阵的基本概念。
矩阵是由 m 行 n 列的数构成的一个长方形的数表。
表示为：A = [a_ij]其中，a_ij 表示第 i 行第 j 列的元素。
例如：A = [1 2 3][4 5 6]这是一个 2 行 3 列的矩阵，其中 a_11 = 1, a_12 = 2, a_13 = 3, a_21 = 4, a_22 = 5, a_23 = 6。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应位置的元素相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] A + B = [4 6][5 6] [7 8] [12 14]即 A + B = [a_11 + b_11 a_12 + b_12][a_21 + b_21 a_22 + b_22]2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素分别乘以一个数。
例如：A = [1 2] 2A = [2 4][3 4] [6 8]即 2A = [2a_11 2a_12][2a_21 2a_22]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵按一定规则相乘得到一个新的矩阵。
规则是矩阵的行乘以另一个矩阵的列，并将结果相加。
例如：A = [1 2]B = [3 4] AB = [1*3+2*7 1*4+2*8] = [17 22][5 6] [7 8] [5*3+6*7 5*4+6*8] [47 58]即 AB = [a_11b_11+a_12b_21 a_11b_12+a_12b_22][a_21b_11+a_22b_21 a_22b_12+a_22b_22]三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
例如：A = [1 2 3] A^T = [1 4][4 5 6] [2 5][3 6]2. 矩阵的逆一个矩阵存在逆矩阵的条件是该矩阵为方阵且行列式不为零。
逆矩阵满足以下性质：A * A^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。
矩阵分析课后习题答案
矩阵分析课后习题答案矩阵分析是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学和经济学等。
通过矩阵分析，我们可以更好地理解和解决实际问题。
然而，学习矩阵分析过程中，经常会遇到各种复杂的习题，给学生带来困扰。
在这篇文章中，我将为大家提供一些常见矩阵分析课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地掌握这门学科。
1. 矩阵乘法的性质矩阵乘法是矩阵分析中的基础概念，了解其性质对于解决复杂的习题非常重要。
下面是几个常见的矩阵乘法性质的答案：- 乘法结合律：对于三个矩阵A、B和C，满足(A*B)*C = A*(B*C)。
- 乘法分配律：对于三个矩阵A、B和C，满足A*(B+C) = A*B + A*C。
- 乘法单位元：对于任意矩阵A，满足A*I = I*A = A，其中I为单位矩阵。
2. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置和逆矩阵是矩阵分析中常见的概念，它们在解决线性方程组和求解特征值等问题中起到重要作用。
以下是一些常见的矩阵转置和逆矩阵的答案：- 矩阵的转置：矩阵A的转置记作A^T，即将A的行变为列，列变为行。
- 逆矩阵的存在性：如果一个n阶矩阵A存在逆矩阵A^-1，那么AA^-1 =A^-1A = I，其中I为单位矩阵。
- 逆矩阵的计算：对于2阶矩阵A = [a b; c d]，如果ad-bc≠0，则A的逆矩阵为A^-1 = 1/(ad-bc) * [d -b; -c a]。
3. 矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在解决线性方程组和矩阵对角化等问题中起到关键作用。
以下是一些常见的特征值和特征向量的答案：- 特征值和特征向量的定义：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，那么λ称为A的特征值，x称为对应于λ的特征向量。
- 特征值的计算：特征值可以通过解方程|A-λI|=0来计算，其中I为单位矩阵。
- 特征向量的计算：对于给定的特征值λ，可以通过求解(A-λI)x=0来计算对应的特征向量。
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177图的矩阵表示图是用三重组定义的，可以用图形表示。
此外，还可以用矩阵表示。
使用矩阵表示图，有利于用代数的方法研究图的性质，也有利于使用计算机对图进行处理。
矩阵是研究图的重要工具之一。
本节主要讨论无向图和有向图的邻接矩阵、有向图的可达性矩阵、无向图的连通矩阵、无向图和有向图的完全关联矩阵。
定义9.4.1 设 G =<V ,E >是一个简单图，V =⎨v 1,v 2,…,v n ⎬ A (G )=(ij a ) n ×n其中：1j i v v v v a j i j i ij =⎩⎨⎧=无边或到有边到 i ,j =1,…,n称A (G )为G 的邻接矩阵。
简记为A 。
例如图9.22的邻接矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111101011011010)(G A 又如图9.23(a)的邻接矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001101111000010)(G A 由定义和以上两个例子容易看出邻接矩阵具有以下性质：①邻接矩阵的元素全是0或1。
这样的矩阵叫布尔矩阵。
邻接矩阵是布尔矩阵。
②无向图的邻接矩阵是对称阵，有向图的邻接矩阵不一定是对称阵。
178③邻接矩阵与结点在图中标定次序有关。
例如图9.23(a)的邻接矩阵是A (G )，若将图9.23(a)中的接点v 1和v 2的标定次序调换，得到图9.23(b)，图9.23(b)的邻接矩阵是A ′(G )。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='0010101100011100)(G A 考察A (G )和A ′(G )发现，先将A (G )的第一行与第二行对调，再将第一列与第二列对调可得到A ′(G )。
称A ′(G )与A (G )是置换等价的。
一般地说，把n 阶方阵A 的某些行对调，再把相应的列做同样的对调，得到一个新的n 阶方阵A ′，则称A ′与A 是置换等价的。
可以证明置换等价是n 阶布尔方阵集合上的等价关系。
虽然，对于同一个图，由于结点的标定次序不同，而得到不同的邻接矩阵，但是这些邻接矩阵是置换等价的。
今后略去结点标定次序的任意性，取任意一个邻接矩阵表示该图。
④对有向图来说，邻接矩阵A (G )的第i 行1的个数是v i 的出度， 第j 列1的个数是v j的入度。
⑤零图的邻接矩阵的元素全为零，叫做零矩阵。
反过来，如果一个图的邻接矩阵是零矩阵，则此图一定是零图。
设G =<V ,E >为有向图，V =⎨v 1,v 2,…,v n ⎬，邻接矩阵为A =(a ij )n ×n 若a ij =1，由邻接矩阵的定义知，v i 到v j 有一条边，即v i 到v j 有一条长度为1的路；若a ij =0，则v i 到v j 无边，即v i 到v j 无长度为1的路。
故a ij 表示从v i 到v j 长度为1的路的条数。
设A 2=AA ，A 2=(2ij a )n ×n ，按照矩阵乘法的定义，nj in j i j i ij a a a a a a a +++= 22112若a ik a kj =1，则a ik =1且a kj =1，v i 到v k 有边且v k 到v j 有边，从而v i 到v j 通过v k 有一条长度为2的路；若 kj ik a a =0，则a ik =0或a kj =0，v i 到v k 无边或v k 到v j 无边，因而v i 到v j 通过v k 无长度为2的路，k =1,…,n 。
故2ij a 表示从v i 到v j 长度为2的路的条数。
设A 3=AA 2，A 3=(3ij a ) n ×n ，按照矩阵乘法的定义， 22222113nj in j i j i ij a a a a a a a +++=若2kj ik a a ≠0，则ik a =1且2kj a ≠0，v i 到v k 有边且v k 到v j 有路，由于2kj a 是v k 到v j 长度为2的路的条数，因而2kj ik a a 表示v i 到v j 通过v k 长度为3的路的条数；若2kj ik a a =0,ik a =0或2kj a =0，则v i 到v k 无边或v k 到v j 无长度为2的路，所以v i 到v j 通过v k 无路，k =1,…,n 。
故3ij a 表示从v i 到v j 长度为3的路的条数。
……可以证明，这个结论对无向图也成立。
因此有下列定理成立。
定理9.4.1 设A (G )是图G 的邻接矩阵，A (G )k =A (G )A (G )k-1，A (G )k 的第i 行，第j 列元素k ij a 等于从v i 到v j 长度为k 的路的条数。
其中k ii a 为v i 到自身长度为k 的回路数。
推论 设G =<V ,E >是n 阶简单有向图，A 是有向图G 的邻接矩阵，B k =A ＋A 2＋…＋A k ，179B k =(k ij b )n ×n ，则k ij b 是G 中由v i 到v j 长度小于等于k 的路的条数。
∑∑==n i nj kij b 11是G 中长度小于等于k 的路的总条数。
∑=ni kiib 1是G 中长度小于等于k 的回路数。
【例9.4】 设G =<V ,E >为简单有向图，图形如图9.24，写出G 的邻接矩阵A ，算出A 2，A 3，A 4且确定v 1到v 2有多少条长度为3的路? v 1到v 3有多少条长度为2的路? v 2到自身长度为3和长度为4的回路各多少条?解：邻接矩阵A 和A 2，A 3，A 4如下： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100010000000100010100010A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010000010100020001012A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01000100000002000202000203A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010000020200040002024A 312a =2，所以v 1到v 2长度为3的路有2条，它们分别是：v 1v 2v 1v 2和v 1v 2v 3v 2。
213a =1，所以v 1到v 3长度为2的路有1条：v 1v 2v 3。
322a =0，v 2到自身无长度为3的回路。
422a =4，v 2到自身有4条长度为4的回路，它们分别是：v 2v 1v 2v 1v 2、v 2v 3v 2v 3v 2、v 2v 3v 2v 1v 2和v 2v 1v 2v 3v 2。
定义9.4.2 设G =<V ,E >是简单有向图，V =⎨v 1,v 2,…,v n ⎬ P (G )=(p ij )n ×n其中：p ij=不可达到可达到 j i j iv v v v 01⎩⎨⎧i ,j =1,…,n称P (G )为G 的可达性矩阵。
简记为P 。
在定义9.3.10中，规定了有向图的任何结点自己和自己可达。
所以可达性矩阵P (G )的主对角线元素全为1。
设G =<V ,E >是n 阶简单有向图，V =⎨v 1,v 2,…,v n ⎬，由可达性矩阵的定义知，当i ≠j 时，如果v i 到v j 有路，则ij p =1；如果v i 到v j 无路，则ij p =0；又由定理9.2.1知，如果v i 到v j 有路，则必存在长度小于等于n –1的路。
依据定理9.4.1的推论，如下计算图G 的可达性矩阵P ：先计算B n –1=A ＋A 2＋…＋A n –1，设B n –1=(1-n ij b )n ×n 。
若1-n ij b ≠0，则令ij p =1，若1-n ij b =0，则令p ij =0，i ,j =1,…,n 。
180再令p ii =1，i =1,…,n 。
就得到了图G 的可达性矩阵P 。
令A 0为n 阶单位阵，则上述算法也可以改进为：计算C n –1= A 0＋B n –1=A 0＋A ＋A 2＋…＋A n -1，设C n –1=(1-n ij c )n ×n 。
若1-n ij c ≠0，则令ij p =1，若1-n ij c =0，则令ij p =0，i ,j =1,…,n 。
使用上述方法，计算例9.4中图G 的可达性矩阵，C 4= A 0＋A ＋A 2＋A 3＋A 4=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3100013000004330037300334 P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100011000001110011100111计算简单有向图图G 的可达性矩阵P ，还可以用下述方法：设A 是G 的邻接矩阵，令A =(ij a )n ×n ，A (k ) =()(k ij a )n ×n ，A 0为n 阶单位阵。
A (2) = A A ， 其中)2(ij a =(a i 1∧a 1j )∨(a i 2∧a 2j )∧…∧(a in ∧a nj ) i ,j =1,…,n 。
A (3) = A A (2)，其中=)3(ij a (a i 1∧)2(1j a )∨(a i 2∧)2(2j a )∧…∧(a in ∧)2(nj a ) i ,j =1,…,n 。
……P = A 0∨A ∨A (2)∨A (3)∨…∨A (n –1)。
其中，运算∨是矩阵对应元素的析取。
可达性矩阵用来描述有向图的一个结点到另一个结点是否有路，即是否可达。
无向图也可以用矩阵描述一个结点到另一个结点是否有路。
在无向图中，如果结点之间有路，称这两个结点连通，不叫可达。
所以把描述一个结点到另一个结点是否有路的矩阵叫连通矩阵，而不叫可达性矩阵。
下面是无向图连通矩阵的定义。
定义9.4.3 设G =<V ,E >是简单无向图，V =⎨v 1,v 2,…,v n ⎬P (G )=( p ij ) n ×n其中： 01不连通与连通与 j i j i ij v v v v p ⎩⎨⎧= i ,j =1,…,n称P (G )为G 的连通矩阵。
简记为P 。
无向图的邻接矩阵是对称阵，无向图的连通矩阵也是对称阵。
求连通矩阵的方法与可达性矩阵类似。
定义9.4.4 设G =<V ,E >是无向图，V =⎨v 1,v 2,…,v p ⎬，E =⎨e 1,e 2,…,e q ⎬M (G )=( m ij ) p ×q其中：1否则关联与 j iij e v m ⎩⎨⎧=i =1,…,p ，j =1,…,q称M (G )为无向图G 的完全关联矩阵。
简记为M 。
例如图9.25的完全关联矩阵为：181M (G )=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000110000110111设G =<V ,E >是无向图，G 的完全关联矩阵M (G )有以下的性质：①每列元素之和均为2。