05-一元二次方程的概念于三角形复习

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(名师整理)最新数学中考《一元二次方程的解法》专题复习精讲精练

例题解析
练习已知关于x的一元二次方程（a﹣1） x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1） x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0， ∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0，则a的值为：a＝﹣1．故选：D．
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，然后解这个一元一次方程，求这个方程的解
课前热身
1 解下列方程（1）2x2＝8；（2）x2﹣x﹣6＝0．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程 ﹣因式分解法．【解答】解：（1）x2＝4， x＝±2，所以x1＝2，x2＝﹣2；（2）（x﹣3）（x+2）＝0， x﹣3＝0或x+2＝0，所以x1＝3，x2＝﹣2．
知识点点解读
3 公式法
用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一
般方法
- b b2 - 4ac
一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式2a ：x=
公式法的一般步骤
①指出方程中a，b，c的值
②求出b²-4ac的值
③若b²-4ac≥0.则用求根公式求解，若b²-4ac＜0，则方程无解
4 因式分解法一般步骤：①使方程的右边化为0 ②使方程左边化为两个一次因式的积
【解答】A．
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4.方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程则m的值为（） A 任何实数 B m≠0 C m≠1 D m≠0 且m≠1 答案 C
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5.关于x的方程中一定是一元二次方程的是 ( ) A ax2＋bx＋c＝0 B mx2＋x－m2＝0 C (m＋1)x2＝(m＋1)2 D （m2＋1) x2－m2＝0 答案 D

一元二次方程-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

典例精讲
一元二次方程的解法
知识点二
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是_x_1_=_0_,_x_2=_1__.
(2)已知等腰三角形的三边分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程
x2-12x+m+2=0的两个根,则m的值为( A )
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
(1)x(x-1)=0,
一元二次方程的解法
解方程：
(1)2(x-3)=3x(x-3). x1=3，x2=2/3
(2)2x2-4x-1＝0.
x1
2 2
6 ，x2
2 2
6
(3)x2-4x+1=0(用配方法求解)； (4)x2-6x+9=(5-2x)2.
x1 2 3，x2 2 3
x1=2，x2=8/3
查漏补缺
当堂训练
根的判别式
b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
步骤
①将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②计算Δ；
③若Δ≥0,利用求根公式解方程；若Δ＜0,则原方程无解.
理论若ab=0,则_a_=_0_或__b_=_0_. 因式分 ①利用因式分解把方程化为两个一次式的乘积等于0；
解法步骤②使这两个一次式分别等于0,得两个一元一次方程； ③求出两个一元一次方程的解,即一元二次方程的解.
(2)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则 D ()
A.x1+x2＜0 B.x1x2＜0 C.x1x2＞-1 D.x1x2＜1 (3)关于x的7一/4元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5, 则m的值是_____.

一元二次方程复习

4 40 x 23 2 10 2 10 x1 , x2 3 3
类型三：解法类问题（判别式）
例5 不解方程，判别方程3x2+2x-9=0
根的情况.
解：由方程知：a=3,b=2,c=-9
b2-4ac=22-4×3×（-9）=112＞0
∴原方程有两个不相等的实数根.
例6 是否存在k，使方程
因式分解法
最常用的方法是因式分解法；
比较
最通用的方法是公式法；
最具有局限性的方法是直接开平方法；最繁琐的方法是配方法.
4、一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax
2
bx c 0a 0 根的判式是:
b 4ac
2
一元二次方程
判别式的情况
ax 2 bx c 0a 0
其它类型应用题：
例10.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm， BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点 B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止。连结PQ。设动点运动时间为x秒。 A 是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由。 P
《一元二次方程》
了解一元二次方程及相关概念，会用适当的方法解一元二次方程，能以一元二次方程为工具解决一些简单的实际问题。
1、一元二次方程的概念
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程称为一元二次方程.
二次项系数a为什么不等于0呢？
2、一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0）

《一元二次方程》(复习课)说课稿

《一元二次方程》（复习课）说课稿枣阳市吴店一中田海俊《一元二次方程》（复习课）说课稿枣阳市吴店一中田海俊一、教材分析1.教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的重要内容之一。

一方面，可以对以前学过的一元一次方程、因式分解等知识加以巩固，另一方面，又为以后学习二次函数等知识打下基础。

此外，一元二次方程对其它学科的学习也有重要意义。

因此，其地位可谓是“承上启下”，不可或缺。

2.教学目标分析知识与技能目标:1.理解一元二次方程的概念2.能灵活熟练的解一元二次方程3.会运用一元二次方程解决实际问题。

过程与方法目标:经历一元二次方程求解过程，提高观察分析能力，加深对转化等数学思想的认识。

情感态度与价值观目标:通过自主合作探究学习，养成独立思考的好习惯，培养团队合作意识。

3.教学重难点重点：构建一元二次方程知识体系，全面复习一元二次方程的解法及应用。

难点：利用根的判别式确定字母取值范围和运用一元二次方程解决实际问题。

二、教法与学法分析教法分析：叶圣陶先生主张：“教师务必启发学生的能动性，引导他们尽可能自己去探索。

”结合本节课的内容特点，我将采用启发式、讨论式以及探索式教学方法。

给学生留出足够的思考时间和空间，让学生自己去探索，归纳。

从真正意义上完成对知识的自我构建。

并用多媒体直观演示，最大限度地调动学生学习的积极性。

学法分析：人们常说：“现代文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因此教师要特别注重对学生学习方法的指导。

我贯彻的指导思想是把“学习的主动权还给学生”，倡导“合作交流、自主探究”的学习方式，具体的学法是利用学案导学，小组合作交流法，让学生养成自主学习的习惯，真正实现课堂的高效。

三、教学过程分析教学流程图：1.呈现诊断问题构建知识体系问题1：观察下列方程：⑴(x+3)²＝2 ； ⑵x ²-8x+1＝0 ； ⑶3x(x-1)＝2(x-1）；⑷x ²-4x-7＝0 ； ⑸x ²+17＝8x （无实数根）①这几个都是什么方程？诊断一: ②解这样的方程你有哪些方法？ ③它们都有实数根吗?为什么？【教后反思】问题1出示了五个方程，目的是为了引出一元二次方程的概念、解法，以及根的判别式等知识点。

专题05一元二次方程的概念及解法(知识点串讲)(解析版)

专题05一元二次方程的概念及解法知识框架重难突破一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．备注：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．备注：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a -b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a -b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.例1．（2020·山东省初二期中）下列方程中，关于x 的一元二次方程是( ) A ．20ax bx c ++= B ．21120x x+-=C ．x (x -3)=2+x 2D x 2-【答案】D【解析】解：A 、当a ≠0，b 、c 为常数时，是一元二次方程，故此选项错误； B 、是分式方程，故此选项错误； C 、是一元一次方程，故此选项错误； D 、是关于x 的一元二次方程，故此选项正确；故选：D ．练习1．（2020·河北联邦国际学校初二期中）方程：①2113x x-=，②22250x xy y -+=，③2710x +=，④202y =中，一元二次方程是（）． A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和③【答案】C【解析】解：①2113x x-=不是一元二次方程； ②22250x xy y -+=不是一元二次方程； ③2710x +=是一元二次方程；④202y =是一元二次方程．综上：一元二次方程是③和④ 故选C ．练习2．（2020·重庆巴蜀中学初二月考）如果(2)20mm xx ++-=是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为________．【答案】2【解析】解：(2)20mm xx ++-=是关于x 的一元二次方程，∴202m m +≠⎧⎨=⎩，解得：2m =．故答案为：2．例2．（2020·哈尔滨市松雷中学校初二月考）方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5【答案】C【解析】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）的a 、b 、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5. 故选C练习1．（2020·重庆南开中学初二月考）将一元二次方程﹣3x 2﹣2＝﹣4x 化成一般形式ax 2+bx+c ＝0（a ＞0）后，一次项和常数项分别是（） A ．﹣4，2 B ．﹣4x ，2 C ．4x ，﹣2 D ．3x 2，2【答案】B【解析】解：把一元二次方程-3x 2-2=-4x 化成一般形式ax 2+bx+c=0得： -3x 2+4x -2=0， ∵a ＞0， ∴3x 2-4x+2=0，∴一次项和常数项分别是：-4x ，2，故选：B ．例3．（2019·北京人大附中初二期中）若关于x 的一元二次方程22(3)130m x x m m -+++-=有一个根为1，则实数m 的值_____________．【答案】5-【解析】∵关于x 的一元二次方程22(3)130m x x m m -+++-=有一个根为1，∴231130m m m -+++-=，整理得：22150m m +-=，即()()530m m +-=，解得：5m =-或3m =， ∵30m -≠， ∴5m =-．故答案为：5-．练习1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二期中）若关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为2x =-，则代数式841a b -+的值为________．【答案】－11【解析】将2x =-代入方程260ax bx ++=得：4260a b -+=， ∴84120a b -+=， ∴84111a b -+=-. 故答案为：﹣11.练习2．（2020·海门市东洲中学初二期中）已知关于x 的方程260x x p --=的一个根是1，则p =_____________；【答案】－5【解析】解：∵关于x 的方程260x x p --=的一个根是1，∴160p --=，解得：5p =-，故答案为：－5．二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.备注：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2．配方法解一元二次方程（1）配方法解一元二次方程(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.备注：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式（2）配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．备注：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．3、公式法解一元二次方程（1）一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.（2）一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.（3）用公式法解一元二次方程的步骤2222()a ab b a b ±+=±用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.备注：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.4、因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 备注：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,2x =240b ac ∆=-=1,22b x a =-240b ac ∆=-<0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.例1．（2019·湖南省师大附中梅溪湖中学初三期末）一元二次方程240x -=的解是（） A ．x 1＝2，x 2＝-2 B ．x ＝-2 C ．x ＝2 D ．x 1＝2，x 2＝0【答案】A【解析】原方程移项可得：24x =，解得：12x =，22x -=，故选：A.练习1．（2019·上海市市西初级中学初二期中）关于x 的方程2221b x x -=-的解是________．【答案】x 1=21b +，x 2=-21b +【解析】2221b x x -=-2221b x x +=()2211bx +=2211x b =+ ∴±故x 1=21b +，x 2=-21b +故答案为：x 1=，x 2=-例2．（2019·北京人大附中初二期中）用配方法解方程2640x x ++=时，原方程变形为（） A ．2(3)9x += B ．2(3)14x += C ．2(3)5x += D ．2(3)6x +=【答案】C【解析】方程2640x x ++=，变形得：264x x +=-，配方得：222666422x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2(3)5x +=，故选：C ．练习1．（2020·哈尔滨市松雷中学校初二月考）将方程2410x x -+=化成()2x m n +=的形式是（） A ．()2112x -=B ．()223x -=C ．()210x -=D ．()224x -=【答案】B【解析】解：∵x 2-4x+1=0， ∴x 2-4x=-1， ∴x 2-4x+4=-1+4， ∴()223x -=．故选B ．例3．（2020·扬州市梅岭中学初二期中）关于代数式 −x 2+4x -2 的取值，下列说法正确的是（） A ．有最小值-2 B ．有最大值2 C ．有最大值−6 D ．恒小于零【答案】B【解析】解：−x 2+4x -2=22(2)42(2)2x x --+-=--+∵2(2)0x --≤，∴2(2)22x --+≤，当且仅当2x =时等号成立，∴−x 2+4x -2有最大值2 故选B ．练习1．（2019·重庆西南大学附中初二期中）代数式22244619x xy y x -+++的最小值是（） A ．10 B ．9 C ．19 D ．11【答案】A 【解析】解：2222244619(3)(2)10x xy y x x x y -+++=++-+∵22(3)0,(2)0x x y +≥-≥∴代数式22244619x xy y x -+++的最小值是10．故选：A ．练习2．（2020·江阴市敔山湾实验学校初一期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∴（x +2）2+1≥1，∴x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ；（2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值；（3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小．【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【解析】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1；（2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0，（x ﹣2）2+（y+1）2＝0，则x ﹣2＝0，y+1＝0，解得x ＝2，y ＝﹣1，则x+y ＝2﹣1＝1；（3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3）＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0， ∴（x ﹣1）2+1＞0， ∴x 2﹣1＞2x ﹣3．例4．（2020·温州外国语学校初二月考）x =是下列哪个一元二次方程的根（） A ．23210x x +-= B ．22410x x +-= C ．2x 2x 30--+= D ．23210x x --= 【答案】D 【解析】解：对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，方程的根为：x =．因为x =3a =，2b =-，1c =-，所以对应的一元二次方程是：23210x x --=．故选：D ．练习1．（2019·高唐县赵寨子中学初三月考）用公式法解231x x -+=时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为（）A ．1-，3，1-B ．1，3-，1-C ．1-，3-，1-D ．1-，3，1 【答案】A【解析】把方程231x x -+=化为一元二次方程的一般形式为2310x x -+=，∴a =1，b =−3，c =1.但选项里没有这组值，方程两边同乘以−1，得：2310x x -+-=，此时a =−1，b =3，c =−1.故选:A.练习2．（2020·兰州市外国语学校初三二模）方程x 2+x ﹣1＝0的一个根是（）A ．1﹣√5B ．1−√52C ．﹣1+√5D ．√5−12 【答案】D【解析】∵a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1，∴△＝b 2﹣4ac ＝12﹣4×（﹣1）＝5，则x ＝-1±√52×1，所以x 1＝-1+√52 ，x 2＝-1-√52 ．故选：D ．例5．（2020·天津初三一模）方程x 2+x -12=0的两个根为（）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=3【答案】D【解析】试题分析：将x 2+x ﹣12分解因式成（x+4）（x ﹣3），解x+4=0或x ﹣3=0即可得出结论． x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣3）=0，则x+4=0，或x ﹣3=0，解得：x 1=﹣4，x 2=3．练习1．（2020·浙江省初三其他）已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程x 2﹣12x+35=0的一个根，则此三角形的周长是（）A ．12B ．14C ．15D ．12或14 【答案】A【解析】：解方程212350,x x -+= 得125,7x x ==，即第三边的边长为5或7. ∵1<第三边的边长<7，∴第三边的边长为5.∴这个三角形的周长是3+4+5=12.故选A.练习2．（2020·浙江省初二月考）方程(1)(1)2(1)x x x -+=+的解是________．【答案】121,3x x =-=【解析】解：由(1)(1)2(1)x x x -+=+，可得(1)(1)2(1)0x x x -+-+=，所以(1)(12)0x x +--=，即(1)(3)0x x +-=，所以10x +=或30x -=，解得11x =-，23x =，故答案为：11x =-，23x =．例6．（2020·海门市东洲中学初二期中）用指定的方法解下列方程：（1）用配方法解方程：22830x x -+=；（2）用公式法解方程：5x 2+2x ﹣1＝0；（3）用因式分解法解方程：2450x x -=+【答案】（1）12x =+，22x =（2）1x =，2x =；（3）121,5x x ==-. 【解析】（1）22830x x -+=()22430x x -+=()2244830x x -+-+=()2225x -= ()2522x -=2x -=22x =±故方程的解为122x =+，222x =-；（2）5x 2+2x ﹣1=0125b x a --±===故方程的解为1x =，2x =；（3）2450x x -=+()()150x x -+=解得，121,5x x ==-故方程的解为121,5x x ==-.练习1．（2020·重庆市璧山来凤中学校初三月考）解下列方程：（1）3x 2﹣2x ﹣1=0（2）(x ﹣1)2﹣16=0【答案】（1）x =1或x =13-；（2）x =5或x =﹣3．【解析】（1）∵3x 2﹣2x ﹣1=0，∴(x ﹣1)(3x +1)=0，∴x =1或13x =﹣；（2）∵(x ﹣1)2﹣16=0，∴(x ﹣1)2=16，∴x ﹣1=±4，∴x =5或x =﹣3。

第1章一元二次方程苏科版九年级数学上册单元复习(解析版)

【单元复习】第1章一元二次方程知识精讲第1章一元二次方程一、一元二次方程的概念1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

2、一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程的求根公式：4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即四、一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

根与系数的关系的应用：①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根；②求根及未知数系数：已知方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.③求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于和的代数式的值，如④求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. 一元二次方程的应用：方程是解决实际问题的有效模型和工具.利用方程解决。

一元二次方程专题复习讲义(知识点-考点-题型总结)-----hao---use--ok

一元二次方程专题复习一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法,并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0"；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 . ★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。

★★★4、若方程nx m +x n —2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）m=2，n=1 C 。

n=2,m=1 D 。

m=n=1,就是方程的解。

;例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为。

★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是 .★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。

一元二次方法专题复习资料

专题复习一元二次方程（一）一元二次方程及解的概念.1、一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧整式方程未知数的最高次数是含有一个未知数2一般式为 )0(02≠=++a c bx ax ，若c b a 、、有1以外的公约数时应约去这个公约数。

解题思路：未知数的最高次数是2；二次项系数0≠a2、能够使一元二次方程成立的未知数的值叫一元二次方程的解.例的值是多少？的一元二次方程，则是关于m x x m x m m 05)3()2(22=+-+--解析：一元二次方程未知数的最高次数是2，所以222=-m 解得2±=m又二次项系数 0≠a ，所以2≠m ，m 的值是2-。

1.方程032)1(12=-+-+mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是多少？2. 关于x 的方程05)1(12=+++-x k kxk ，满足什么条件时是关于x 的一元二次方程？ 3.如果2是方程02=-c x 的一个根，那么c 的值是（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2 （书98页第九题） 4.如果x ＝4是一元二次方程223a x x =-的一个根，那么常数a 的值是（）．A.2B.－2C.±2D.±4（二）一元二次方程的解法（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法：解一元二次方程的基本思路是降次，让学生都知道配方法和公式法适合解所有的一元二次方程，但遇到解一元二次方程的题时，还是首先考虑因式分解法，而直接开平方法只适合特殊的形式。

配方法步骤：（1）方程两边同除以二次项的系数，将二次项的系数化为1；（2）移项，使方程左边只有二次项和一次项，常数项在右边；（3）配方，方程的两边要加上一次项系数的一半的平方，使方程做变为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程；（5）如果右边是负数，则原方程无解.例题用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（）A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=解析：用配方法解方程是配一次项系数一半的平方，由2420x x -+=，2)2()2(4222--=-+-x x ，所以2)2(2=-x ，选（A ）公式法注意问题:（1）把一元二次方程化为一般形式，正确地确定a 、b 、c 的值(特别容易在正负号上出错)；（2）aac b b x 242-±-=学生常不写=x ；易错点：丢根。

人教版数学九年级上学期课时练习-《一元二次方程》全章复习与巩固(知识讲解)(人教版)

专题21.29 《一元二次方程》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识要点】1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.特别说明：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．要点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．特别说明：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 −−−→降次法，再考虑用公式法．要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.特别说明：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题； )0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =21二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.特别说明：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.类型一、一元二次方程的有关概念1、已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m -+++=．若方程有一个根的平方等于9，求m 的值．【答案】1或-5【分析】根据题意，该方程的根可能是3或3-，分类讨论，把x 的值代入原方程求出m 的值．解：∵方程有一个根的平方等于9，∵这个根可能是3或3-，当3x =，则()93320m m -+++=，解得1m =，当3x =-，则()93320m m ++++=，解得5m =-，综上：m 的值是1或-5．【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义．举一反三：【变式1】如果方程2ax 10x ++=与方程2x a 0x --=有且只有一个公共根，求a 的值．【答案】-2【分析】有且只有一个公共根，建立方程便可求解了．解：∵有且只有一个公共根∴22ax 1x a x x ++=--∴ax 10x a +++=∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1，∵()11a x a -+=+∴1x =-当1x =-时，代入第一个方程可得1-a+1=0解得：2a =【点拨】本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根．【变式2】已知x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个根，且a ≠b ，求2222a b a b --的值.【答案】20【分析】先根据一元二次方程的解得到a+b=40，然后把原式进行化简得到=12（a+b ），再利用整体代入的方法计算；解：把x=1代入方程得a+b -40=0，即a+b=40，所以原式=()()()10222a b a b a b a b +-=+=-（）类型二、一元二次方程的解法2、用适当的方法解下列方程：(1)x 2－x －1＝0；(2)3x (x －2)＝x －2；(3)x 2－＋1＝0；(4)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．【答案】(1)112x +=，212x -= (2)x 1＝13，x 2＝2 (3)x11，x 21 (4)x 1＝－4，x 2＝－5【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；（3）利用配方法解答，即可求解；（4）利用因式分解法解答，即可求解．(1)解：a＝1，b＝－1，c＝－1∵b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5∵x即原方程的根为x1，x2(2)解：移项，得3x（x－2）－（x－2）＝0，即（3x－1）（x－2）＝0，∵x1＝13，x2＝2．(3)解：配方，得（x）2＝1，∵x＝±1．∵x11，x2－1．(4)解：原方程可化为x2＋9x＋20＝0，即（x＋4）（x＋5）＝0，∵x1＝－4，x2＝－5．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．举一反三：【变式1】用指定方法解下列方程：(1)2x2-5x+1＝0(公式法)；(2)x2-8x+1＝0(配方法)．【答案】(1)x1，x2(2)x1＝x2＝4【分析】（1）根据公式法，可得方程的解；（2）根据配方法，可得方程的解．(1)解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，∵Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，∵x =∵x 1，x 2 (2)解：移项得281x x -=-，并配方，得2816116x x -+=-+，即(x -4)2＝15，两边开平方，得x ＝∵x 1＝x 2＝4【点拨】本题考查了解一元二次方程，配方法解一元二次方程的关键是配方，利用公式法解方程要利用根的判别式．【变式2】用适当的方法解方程：∵2(23)250x +-= ∵2670x x ++=（用配方法解）∵2314x x +=． ∵222(3)9x x -=-．【答案】∵ 14x =-，21x =； ∵13x =-23x =- ∵113x =，21x =； ∵13x =，29x =．【分析】∵利用因式分解法解方程；∵利用配方法得到2(3)2x +=，然后利用直接开平方法解方程；∵先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；∵先移项得到()()22(3)330x x x --+-=，然后利用因式分解法解方程．解：∵()()2352350x x +++-=，2350x ++=或2350x +-=，所以14x =-，21x =；∵2692x x ++=，2(3)2x +=，3x +=所以13=-x 23x =-∵23410x x -+=，()()3110x x --=，310x -=或10x -=，所以113x =，21x =； ∵()()22(3)330x x x --+-=，()()32630x x x ----=，30x -=或2630x x ---=，所以13x =，29x =．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3、已知：关于x 的方程x 2﹣（k ＋2）x ＋2k ＝0（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a ＝1，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求∵ABC 的周长．【答案】（1）见分析；（2）5【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出∵≥0，可得方程总有实数根；（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b 、c 的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出∵ABC 的周长．（1）解：由题意知：Δ＝（k +2）2﹣4•2k ＝（k ﹣2）2，∵（k ﹣2）2≥0，即∵≥0，∵无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b＝c时，Δ＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∵∵ABC的周长＝2+2+1＝5；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∵∵ABC的周长为5．【点拨】本题考查了根的判别式∵＝b2－4ac：∵当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；∵当∵＝0时，方程有两个相等的实数根；∵当∵＜0时，方程没有实数根．也考查了等腰三角形的性质以及三角形三边的关系．举一反三：【变式1】已知关于x的一元二次方程x2+x＝k．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；（2）当k＝6时，求方程的实数根．【答案】（1）k＞﹣14；（2）x1＝﹣3，x2＝2．【分析】（1）根据判别式的意义得△=12-4×1（-k）=1+4k＞0，然后解不等式即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∵∵＝12﹣4×1（﹣k）＝1+4k＞0，解得：k＞﹣14；（2）把k＝6代入原方程得：x2+x＝6，整理得：x2+x﹣6＝0，分解因式得：（x+3）（x﹣2）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2．【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．【变式2】已知关于x的方程x2-（3k+1）x+2k2+2k=0，（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长．【答案】（1）见分析；（2）16或22【分析】（1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论．（2）运用求根公式得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，将两个根代入计算，分情况讨论求出等腰三角形的周长．解：（1）证明：∆=[-(3k+1)]2-4×1×(2k2+2k)=k2-2k+1=( k-1)2，∵无论k取什么实数值，(k-1)2≥0，∵∆≥0，所以无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）x2-(3k+1)x+2k2+2k=0，因式分解得：(x-2k)( x-k-1)=0，解得：x1=2k，x2=k+1，b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k，c=k+1，分三种情况讨论：第一种情况：∵若c为等腰三角形的底边，a、b为腰，则a=b=2k=6，∵k=3，c=k+1，∵c=4，检验：a+b＞c，，a+c＞b，b+c＞a，a-b＜c，a-c＜b，b-c＜a，∵a=b=6，c=4，可以构成等腰三角形，此时等腰三角形的周长为：6+6+4=16；第二种情况：∵若b为等腰三角形的底边，a、c为腰，则a=c=k+1=6，∵k=5，b=2k，∵b=10，检验：a+b ＞c ，，a+c ＞b ，b+c ＞a ，b -a ＜c ，a -c ＜b ，b -c ＜a ，∵a=c=6，b=10，可以构成等腰三角形，此时等腰三角形的周长为：6+6+10=22；第三种情况：∵若a 为等腰三角形的底边，b 、c 为腰，则b=c ，∵即：2k=k+1，解得k=1，∵a=6，b=2，c=2，检验：b+c ＜a ，∵a=6，b=2，c=2，不能构成等腰三角形；综上，等腰三角形的周长为16或22．【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，根据一元二次方程根的情况求参数，分类讨论是解题关键．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4、关于x 的一元二次方程()222110x m x m +-+-=有两个不相等的实数根1x ，2x ．（1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得22121216x x x x +=+成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．【答案】（1）m ＜1；（2）m =-1【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，那么∵＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1，由条件可得出关于m 的方程，解之即可得出m 的值．解：（1）∵方程x2+2（m -1）x +m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．∵∵=4（m -1）2-4（m 2-1）=-8m +8＞0，∵m<1；（2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，∵x 1+x 2=-2（m -1），x 1•x 2=m 2-1．∵x 12+x 22=16+x 1x 2∵(x1+x2)2＝16+3x1x2，∵4（m-1）2=16+3（m2-1），解得：m1=-1，m2=9，∵m＜1，∵m2=9舍去，即m=-1．【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m的值，注意不能忽视判别式应满足的条件．举一反三：【变式1】关于x的一元二次方程x2－（k－3）x－2k＋2＝0(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两根分别为x1，x2，且x1＋x2＋x1x2＝2，求k的值．【答案】(1)见分析(2)-3【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出Δ=（k+1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，再将它们代入x1+x2+x1x2=2，即可求出k的值．(1)证明：∵Δ=b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，∵方程总有两个实数根；(2)解：由根与系数关系得x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，∵x1+x2+x1x2=2，∵k-3+（-2k+2）=2，解得k=-3．【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=-ba，x1•x2=ca．【变式2】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根．(1)若这个方程有一个根为-1，求m的值；(2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围；(3)已知Rt∵ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值．【答案】(1)m的值为1或-2(2)-2＜m＜1(3)m m＝49 24【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值；（2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围；（3）首先用m表示出方程的两根，分直角∵ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值.(1)解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1，∵将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0．解得m＝1或m＝-2．∵m的值为1或-2．(2)解：∵x2-4mx+4m2＝9，∵(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3．∵x1＝2m+3，x2＝2m-3．∵2m+3＞2m-3，∵231 231 mm+-⎧⎨--⎩＞＜解得-2＜m＜1．∵m的取值范围是-2＜m＜1．(3)解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3．若Rt∵ABC的斜边长为7，则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2．解得m＝∵边长必须是正数，∵m若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72．解得m＝49 24．综上所述，m m＝49 24．【点拨】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般.类型五、一元二次方程的实际应用5、水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．【答案】(1)每天的总毛利润为7820元；(2)每千克应涨价5元；(3)每千克应涨价15元或203元【分析】（1）设每千克盈利x元，可售y千克，由此求得关于y与x的函数解析式，进一步代入求得答案即可；（2）利用每千克的盈利×销售的千克数＝总利润，列出方程解答即可；（3）利用每天总毛利润﹣税费﹣人工费﹣水电房租费＝每天总纯利润，列出方程解答即可．(1)解：设每千克盈利x元，可售y千克，设y=kx+b，则当x＝10时，y＝600，当x＝11时，y＝600﹣20＝580，由题意得，10600 11580k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得20800kb=-⎧⎨=⎩．所以销量y与盈利x元之间的关系为y＝﹣20x+800，当x＝17时，y＝460，则每天的毛利润为17×460＝7820元；(2)解：设每千克盈利x元，由（1）可得销量为（﹣20x+800）千克，由题意得x（﹣20x+800）＝7500，解得：x1＝25，x2＝15，∵要使得顾客得到实惠，应选x＝15，∵每千克应涨价15﹣10＝5元；(3)解：设每千克盈利x元，由题意得x（﹣20x+800）﹣10%x（﹣20x+800）﹣1.5（﹣20x+800）﹣300＝6000，解得：x1＝25，x2503 =，则每千克应涨价25﹣10＝15元或503-10203=元．【点拨】此题主要一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系，理解销售问题中的基本关系是解决问题的关键．举一反三：【变式1】如图所示，有一面积为150m2的的长方形养鸡场，鸡场边靠墙(墙长18米)，另三边用竹篱笆围成．如果竹篱笆的长为35m，求鸡场长和宽各是多少?【答案】鸡场的长与宽各为15m，10m．【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x）m，列出一元二次方程计算即可；解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x）m，由题意得，x（35﹣2x）＝150，解这个方程：x1＝7.5，x2＝10，当养鸡场的宽为x1＝7.5 时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去，当养鸡场的宽为x 2＝10m 时，养鸡场的长为15m ，答：鸡场的长与宽各为15m ，10m ．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确计算是解题的关键．【变式2】2020年春节期间，新型冠状病毒肆虐，突如其来的疫情让大多数人不能外出，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式．某乡镇贸易公司因此开设了一家网店，销售当地某种农产品．已知该农产品成本为每千克10元．调查发现，每天销售量()kg y 与销售单价x (元)满足如图所示的函数关系(其中1040x <≤)．()1写出y 与x 之间的函数关系式．()2当销售单价x 为多少元时，每天的销售利润可达到6000元？【答案】（1）15750=-+y x ；（2）当销售单价为30元时，每天的销售利润可达到6000元．【分析】（1）设函数解析式为y kx b =+，根据题意：销售单价为10元时，销售量为600kg ，销售单价为40元时，销售量为150kg ，代入熟知求得k 、b 的值即可求得解析式；（2）每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以销售量列式求解．解：（1）根据题意：销售单价为10元时，销售量为600kg ，销售单价为40元时，销售量为150kg ，设y 与x 之间的函数关系式为：y kx b =+，则可得：6001015040k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：15750k b =-⎧⎨=⎩，∵y 与x 之间的函数关系式为：15750=-+y x ；（2）根据题意可知每天的销售利润为：0()1015750600)(x x --+=2609000,x x ∴-+=解得：1230x x ==；答：当销售单价为30元时，每天的销售利润可达到6000元．【点拨】本题主要考查一次函数的实际应用，以及二次函数的实际应用，结合属性结合的思想求出一次函数解析式，以及明确每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以销售量是解题的关键．类型六、一元二次方程的几何应用6、已知：如图所示，在ABC 中，90B ∠=︒，5AB cm =，7BC cm =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动．当P 、Q 两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PBQ △的面积等于24cm（2）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于？（3）PQB △的面积能否等于27cm 请说明理由．【答案】（1）1秒；（2）3秒；（3）不能，理由见分析【分析】（1）设P 、Q 分别从A 、B 两点出发，x 秒后，AP=xcm ，PB=（5-x ）cm ，BQ=2xcm ，则∵PBQ 的面积等于12×2x （5-x ），令该式等于4，列出方程求出符合题意的解；（2）利用勾股定理列出方程求解即可；（3）看∵PBQ 的面积能否等于7cm 2，只需令12×2t （5-t ）=7，化简该方程后，判断该方程的24b ac -与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．解：（1）设经过x 秒以后，PBQ △面积为24(0 3.5)cm x <≤，此时=AP xcm ，()5BP x cm =-，2=BQ xcm ，由142BP BQ ⋅=，得()15242x x -⨯=，整理得：2540x x -+=，解得：1x =或4(x =舍)，答：1秒后PBQ △的面积等于24cm ；（2）设经过t 秒后，PQ 的长度等于由222PQ BP BQ =+，即2240(5)(2)t t =-+，解得：t=3或-1(舍)，∵3秒后，PQ 的长度为；（3）假设经过t 秒后，PBQ △的面积等于27cm ，即72BQ BP ⨯=，()2572t t -⨯=，整理得：2570t t -+=，由于24252830b ac -=-=-<，则原方程没有实数根，∵PQB △的面积不能等于27cm ．【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．举一反三：【变式1】已知：如图A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB=16cm ，AD=6cm ，动点P ，Q 分别从A ，C 同时出发，点P 以3cm/S 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止，点Q 以2cm/S 的速度向点D 移动（1）P ，Q 两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ 面积为33cm²（2）P ，Q 两点从出发点出发几秒时，P ，Q 间的距离是为10cm ．【答案】（1）5秒；（2）P，Q两点出发85秒或245秒时，点P和点Q的距离是10cm．【分析】当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．（1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）过点Q作QM∵AB于点M，则PM=|16-5t|cm，QM=6cm，利用勾股定理结合PQ=10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．解：当运动时间为t秒时，PB=（16-3t）cm，CQ=2tcm．（1）依题意，得：12×（16-3t+2t）×6=33，解得：t=5．答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2．（2）过点Q作QM∵AB于点M，如图所示．∵PM=PB-CQ=|16-5t|cm，QM=6cm，∵PQ2=PM2+QM2，即102=（16-5t）2+62，解得：t1=85，t2=245．答：P，Q两点出发85秒或245秒时，点P和点Q的距离是10cm．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，找出关于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程．【变式2】在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s 的速度移动；同时点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动时间为t s．问：(1)几秒后∵PBQ的面积等于8 cm2?(2)是否存在t，使∵PDQ的面积等于26 cm2?【答案】(1)2秒或4秒后△PBQ的面积等于8 cm2；(2)不存在t，使∵PDQ的面积等于26 cm2.【分析】（1）设x秒后∵PBQ的面积等于8cm2，用含x的代数式分别表示出PB，QB的长，再利用∵PBQ的面积等于8列式求值即可；（2）假设存在t使得∵PDQ面积为26cm2，根据∵PDQ的面积等于26cm2列式计算即可．解：(1)设x秒后∵PBQ的面积等于8 cm2.∵AP＝x，QB＝2x.∵PB＝6－x.∵(6－x)·2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，故2秒或4秒后∵PBQ的面积等于8 cm2.(2)假设存在t使得∵PDQ的面积为26 cm2，则72－6t－t(6－t)－3(12－2t)＝26，整理得，t2－6t＋10＝0，∵Δ＝36－4×1×10＝－4＜0，∵原方程无解，∵不存在t，使∵PDQ的面积等于26 cm2.【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，表示出△PBQ的的两条直角边长是解决本题的突破点;用到的知识点为:直角三角形的面积=两直角边积的一半.本题也考查了矩形的性质和割补法求图形的面积.类型七、一元二次方程的拓展应用6、关于x 的一元二次方程260x x k -+=的一个根是2，另一个根2x ．（1）若直线AB 经过点()2,0A ，()20,B x ，求直线AB 的解析式；（2）在平面直角坐标系中画出直线AB 的图象，P 是x 轴上一动点，是否存在点P ，使ABP ∆是直角三角形，若存在，直接写出点P 坐标，若不存在，说明理由．【答案】（1）24y x =-+；（2）存在，点P 的坐标为()8,0-或()0,0．【分析】（1）将x=2代入方程求出k=8，根据根与系数的关系求出2x =4，设直线AB 的解析式为y=kx+b （0k ≠），利用待定系数法求出解析式；（2）分情况求解：第一种：AB 是斜边，∵APB ＝90°，得到点P 与原点O 重合；第二种：设AB 是直角边，点B 为直角顶点，即∵ABP ＝90°，设P 的坐标为（x ，0），根据222AP BP AB =+， 22222424(2)x x +++=-，解得x=-8，求出点P 的坐标；第三种：设AB 是直角边，点A 为直角顶点，即∵BAP ＝90°，由点P 是x 轴上的动点，得到∵BAP ＞90°，情况不存在.解：（1）当x=2时，方程为22120k -+=，解得k=8，∵2+2x =6，∵一元二次方程为2680x x -+=的另一个根2x =4.设直线AB 的解析式为y=kx+b （0k ≠），∵直线AB 经过点A （2，0），B （0，4），∵204k b b +=⎧⎨=⎩，解得k=-2，b=4，直线AB 的解析式：y=-2x+4；（2）第一种：AB 是斜边，∵APB ＝90°，∵∵AOB ＝90°，∵当点P 与原点O 重合时，∵APB ＝90°，∵当点P 的坐标为（0，0），∵ABP 是直角三角形.第二种：设AB 是直角边，点B 为直角顶点，即∵ABP ＝90°，∵线段AB在第一象限，∵这时点P在x轴负半轴.设P的坐标为（x，0），∵A（2，0），B（0，4），∵OA＝2，OB＝4，OP＝-x，∵222224=+=+，BP OP OB x22222=+=+，AB OA OB24222=+=-.AP OA OP x()(2)∵222=+，AP BP AB∵22222x x+++=-，424(2)解得x=-8，∵当点P的坐标为（―8，0），∵ABP是直角三角形.第三种：设AB是直角边，点A为直角顶点，即∵BAP＝90°.∵点A在x轴上，点P是x轴上的动点，∵∵BAP＞90°，∵∵BAP＝90°的情况不存在．∵当点P的坐标为（―8，0）或（0，0）时，∵ABP是直角三角形.【点拨】此题考查待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论问题的解题方法是解题的关键.举一反三：【变式1】阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋10(101)2-×2＝120．用上面的知识解决下列问题．（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【分析】（1）根据题意，由公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和，即可得到答案；（2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案．解：（1）由题意，得6d=，20n=，2a=，∵(1)2n nS na d-=+⨯，∵20(201)22062S-=⨯+⨯401140=1180=+；（2）解：设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得1200x+(1)2x x-×400＝25200，整理得：（x﹣9）（x+14）＝0，∵x＝9或x＝﹣14（负值舍去）．∵2009+9-1=2017；答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．【变式2】阅读下列材料，回答问题.关于x 的方程121x x +=的解是1x =；222x x +=的解是2x =；323x x +=的解是3x =；222x x --=(即222x x -+=-)的解是2x =-. (1)请观察上述方程与其解的特征，x 的方程2(0)m x m x m+=≠与上述方程有什么关系？猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证.(2)由上述的观察、比较、猜想、验证，可得到以下结论：如果方程的左边是一个未知数倒数的a 倍与这个未知数的1a 的和等于2，那么这个方程的解是x=a.请用这个结论解关于x 的方程：2212(1)x a a x a+=+--. 【答案】(1)普遍形式，x m =．(2)x =【分析】 ∵观察一系列方程的解得出一般性规律，即可得到所求方程的解；∵方程变形后，利用得出的规律即可求出解．解：（1）由已知中，121x x +=的解是1x =， 222x x +=的解是2x =， 33x x +的解是3x =， 222x x --=的解是2x =-． ⋯ 归纳可得方程2m x x m+=的解是x m =，将x m =代入得：左边112m m m m=+=+=，故m 是方程2m x x m +=的解，（2）2212x a x a +=+-可化为：2212x a x a-+=-，由（1）中结论可得21x a -=，即21x a =+，∴=x【点拨】此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．。

一元二次方程知识点归纳与复习

一元二次方程知识点归纳与复习知识点1：一元二次方程的概念及一般形式1、方程（1）3x-1=0;(2) 2310x -=;(3) 2130x x +=;(4) 221(1)(2)x x x -=--;(5) 2(52)(37)15x x x +-=;(6) 232x y x +=.其中一元二次方程的个数为（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）2(5)3x x x --=- （2）(21)(5)6x x x -+=知识点2：用直接开平方法解一元二次方程3、用直接看平方法解一元二次方程：（1）2169x = （2）2450x -=（3）24(21)360x --= （4）（21)40x +-=知识点3：用配发法解一元二次方程4、用配方法解方程2250x x --=时，原方程变形为（）A、2(2)9x+=D、2x-=C、2(1)6(1)6x+=B、2x-=(2)9 5、用配方法解一元二次方程：（1）2x x213+= x x-+=（2）2 2410知识点4：用公式法解一元二次方程6、用公式法解一元二次方程：（1）2410++=-441018x x x x x+-=（2）2知识点5：根的判别式（24-）的应用b ac7、若关于x的一元二次方程2210mx x--=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A、m>-1B、m>-1且m≠0C、m<1D、m<1且m≠08、已知a、b、c分别是三角形ABC的三边，其中a=1,c=4,且关于x的方程240-+=有两个相等的实数根，试判断三角形ABC的形状。

x x b知识点6：用分解因式法解一元二次方程9、用分解因式法解一元二次方程（1）230x x += （2）2(3)4(3)0x x x -+-=10、阅读材料，回答问题：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x -视为一个整体，设21x -=y;则222(1)x y -=，原方程可化为2540y y -+=，解得121,4y y ==.当y=1时，即2211,2,x x x -===当y=4时，2214,5,x x x -===所以原方程的解为1234x x x x ====(1)在由原方程得到方程2540y y -+=的过程中，利用换元法达到了（）的目（2）依据此方法解方程：42210x x -+=知识点7：一元二次方程的应用1、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

沪教版八年级数学-一元二次方程的复习-教师版

一元二次方程的复习知识精要1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式a x2+bx+c=0(a W0),其中a x2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3.一元二次方程的解法解法1:直接开平方法解法2:因式分解法：一般步骤：(1)将方程右边化为0(2)将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程(3)令每一个因式分别为0,得到两个一元一次方程(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解法3:配方法：一般步骤：(1)先把二次项系数化为1:方程两边同除以二次项的系数(2)移项：把常数项移到方程右边(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x m 2 n当的形式(4)当n>0时，用直接开平方法解变形后的方程。

解法4:公式法：一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b, c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)c b b24ac ,,(3)在b2-4ac>0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出x= ------------------ 的值，取后与出2a方程的根.4、一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的根的判别式△ =b2- 4ac.当△ >0时，？方程有两个不相等的实数*H X 1= b 也 4ac , X 2=b心 4ac；当△ =0时，方程有两个相等实数根X 1=X 2=—上；当2a2a2a△ <0时，方程没有实数根. 5、二次三项式的因式分解：(1)形如ax 2+bx+c (a, b,c 都不为0)的多项式称为二次三项式。

(2)当^ = b 2-4ac>0,先用公式法求出方程ax 2+bx+c=0 (aw0)的两个实数根 x i, X 2再写出分解式ax 2+bx+c=a (x —xi) (x —x2).当^ = b 2-4ac<0,方程ax 2+bx+c=0 (aw0)没有实数根，ax 2+bx+c 在实数范围内不能分解因式。

一元二次方程复习讲义

一元二次方程复习讲义【知识回顾】1、一元二次方程的概念：形如：ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）概念中的三个要点：①____________，②____________，③____________．不是整式的式子可能是____________，____________．2、一元二次方程的解法：(1)直接开平方法：(2)配方法：(3)因式分解法：(4)公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x 3、一元二次方程的根的判别式：(1)当时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； (2)当时，方程有两个相等．．．．的实数根； (3)当时，方程没有实数根．．．．．． 4、韦达定理：如果ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）有两个根x 1，x 2，那么x 1+x 2＝b a -，x 1x 2＝c a ；推论：①222121212()2x x x x x x +=+-，②12121211x x x x x x ++=，③22121212()()4x x x x x x -=+-，④22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==，⑤12||x x -= 5、用方程解决实际问题：握手模型增长率模型降价模型等【基础训练】1、解下列方程(1)(2x ＋3)2－25＝0.(直接开平方法) (2) 02722=--x x (配方法)(3)()()2322+=+x x (因式分解法) (4)2260x x +-=(公式法)2、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请选择你认为适当的方法解以下方程．①2310x x -+=； ②2(1)3x -=； ③230x x -=； ④224x x -=．3、一元二次方程2210x x -+=的解是．4、方程24x x =的解是（）A ．4x =B ．2x =C ．4x =或0x =D ．0x = 5、方程(1)x x x -=的解是．6、一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=程是．7、用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（）A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -= 8、下列方程中，有两个不相等实数根的是（）A ．240x +=B ．24410x x -+=C ．230x x ++=D ．2210x x +-= 9、一元二次方程0442=+-x x 的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根；B ．有两个相等的实数根；C ．有一个实数根；D ．没有实数根；10、已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ．11、关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为．12、已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（）A ．2-B ．2C ．3-D ．3 13、三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是．14、某商品原价100元，连续两次涨价x %后售价为120元，下面所列方程正确的是（）A ．2100(1)120x -=%；B ．2100(1)120x +=%；C ．2100(12)120x +=%；D ．22100(1)120x +=%；15、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是．16、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（）A ．10%B ．19%C ．9.5%D ．20%17、某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x ，则根据题意列方程为（）A ．()75.821252=+x ；B ．75.825025=+x ； C ．75.827525=+x D ．()()[]75.82111252=++++x x ；【能力提高】18、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 (填上一个符合条件的方程即可)19、写出一个以—2和4为根的一元二次方程：_________________ _．20、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于（）A ．１B ．－１C ．0D ．2 21、关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定22、关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是．23、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22b a b a -=*，根据这个规则，方程05)2(=*+x 的解为：；24、将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abc d ，定义abc d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ． 25、a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()022=++++b a cx x b a 的根的情况是（）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 26、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．乙或丙27、已知关于x 的方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0.(1)当m 取什么值时，原方程没有实数根．(2)对m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例12,x x 是方程2630x x +-= 的两根，求2212x x +的值．解法可以这样：126,x x +=-123,x x =-则222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=．请你根据以上解法解答下题：已知12,x x 是方程29、现将进货为40元的商品按50元售出时，就能卖出500件．•已知这批商品每件涨价1元，其销售量将减少10个．问为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时应进货多少件？30、某军舰以20海里/时的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30海里/时的速度由南向北航行，它能侦察周周围50海里(含50海里)范围内的目标．如图，当该军舰行至A 处时，电子侦察船正位于A 处正南方向的B 处，且AB ＝90海里．若军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由．。

一元二次方程专题复习资料

一元二次方程专题复习知识盘点1．方程中只含有个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的的平方，而另一边是一个时，可以根据的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为项和项，右边为项；③配方，即方程两边都加上的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用法求出方程的解。

如果n ＜0，则原方程。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为；②将方程的左边化成两个的乘积；③令每个因式都等于，得到两个方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个的实数根,即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个的实数根，即-----==21x x ,（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。

4. 一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。

5. 列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤一样，即审、找、设、列、解、答六步。

一元二次方程总复习知识点梳理

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0〕。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a 〕2=b 〔b ≥0〕的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0〕的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a 〕2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，那么原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：假设ab=0，那么a=0或b=0。

步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的考前须知：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②假设b 2－4ac ＜0，那么方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3〔x＋4〕中，不能随便约去x ＋4。

2022年最新中考数学知识点梳理考点05 一元二次方程(学生版)

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点05 一元二次方程考点总结一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程． 2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式；（5）运用直接开平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入2b x a-=即可．4．因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=．三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系：对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容． 1．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量，则()1na mb +=；当m 为平均下降率时，则有()1na mb -=．2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=利润成本×100％． 3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，则阴影部分的面积为()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的面积为()()a x b x --．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积之和可转化为()()a x b x --．图1 图2 图34. 碰面问题（循环问题）（1）重叠类型（双循环）：n 支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m 。

一元二次方程小结与复习

∴x1=3
33 x 2
x2=0
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用配方法解方程。
①x2-2x-3=0 解:x2-2x=3 ②3x2-2x-5=0 解: 3x2-2x=5
2 3 2 2x 3 5 x= 3 1 5 1 2= +( )2 x+( 3 ) 3 3 1 16 2= (x- 3 ) 9 1 4 x- 3 =± 3 1 4 x= 3± 3 5
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知识回顾
二、一元二次方程的解法
1. 一元二次方程的解.
满足方程，有根就是两个 2.一元二次方程的几种解法 (1)直接开平方法(2)因式分解法 (3) 配方法 (4)公式法
二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法。（x+m）2=n（n≥ 0）
练习
2、配方法。 ①化——将二次项系数化为1。 ②移——将常数项移到方程的右边。 ③配——在方程两边同时加上一次项系数一半的平
方，使原方程变为（x+m）2=n （n≥ 0）
的形式。 ④开——用直接开平方法解出方程。
练习
解下列方程。
x2=3 解：x=± 3 (x+1)2=5 解：x+1=± 5 x=-1± 5 (2x-3)2=9 解：2x-3=±3 2x=3±3
∴x1= 3
x2=- 3
∴ x1=-1+ 5
x2=-1- 5
数字问题
1、若一个三位数的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数可表示为 100c+10b+a 。
2.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数,两个两位数的积为763.求原来的两位数.
解 : 设这个两位数的个位数字为x, 根据题意, 得

一元二次方程知识点总结和例题

知识点总结：一兀二次方程一元二次方程是初中数学的重要内容，是中考的热点，它是在学习一元一次方程、二元一次方程、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。

学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程。

应该说，一元二次方程是本书的重点内容。

一、目标与要求1.了解一元二次方程及有关概念，一般式ax2+bx+c=0 （a冬0）及其派生的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单题目。

2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程，掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法，应用熟练掌握以上知识解决问题。

二、重点1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。

2.判定一个数是否是方程的根；3.用配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程。

4.运用开平方法解形如（x+而2=n （n>0）的方程，领会降次——转化的数学思想。

5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.三、难点1.一元二次方程配方法解题。

2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，？再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

3.用公式法解一元二次方程时的讨论。

4.通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+n）2=n （n> 0）的方程。

5.建立一元二次方程实际问题的数学模型，方程解与实际问题解的区别。

6.由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根。

、知识框架四、知识点、概念总结1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

一元二次方程与三角形三边关系例题

一元二次方程与三角形三边关系例题一、引言在数学中，一元二次方程和三角形三边关系都是基础且重要的概念。

它们不仅在数学的理论中有着深刻的意义，而且在实际生活中也有着广泛的应用。

本文将探讨一元二次方程和三角形三边关系的相关概念，并通过例题来说明它们在数学问题中的应用。

二、一元二次方程的概念一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c分别为实数且a≠0。

解一元二次方程一般可以用求根公式或配方法等方式求解。

在生活中，一元二次方程可以用来描述抛物线的轨迹、求解最值等问题。

已知一元二次方程x^2 - 2x - 8 = 0，求x的取值。

我们可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来求解，得到x=4或x=-2。

这样我们就可以得到方程的解。

三、三角形三边关系的概念三角形三边关系是指三角形中三条边之间的关系。

三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这是三角形存在的充分必要条件，也称为三角形的三边不等式。

已知三角形ABC，AB=3，BC=4，AC=7，我们可以通过三角形三边关系来判断这个三角形是否存在。

因为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以可以判断这个三角形是存在的。

四、一元二次方程与三角形三边关系的联系在数学问题中，一元二次方程和三角形三边关系常常是联系在一起的。

我们来看下面的例题：已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根分别为x1和x2，且三角形的三条边分别为a=x1+x2，b=x1*x2，c=x1-x2。

求证三角形是否存在。

解：首先利用一元二次方程的求根公式，我们可以得到x1=2，x2=3。

然后根据给定的三角形三边关系，我们可以计算出a=5，b=6，c=-1。

根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

所以这个三角形是存在的。

五、总结通过本文对一元二次方程和三角形三边关系的讨论，我们可以看到它们在数学中的重要性和应用价值。