指数函数的定义
指数函数的定义域
指数函数的定义域
指数函数是在数学中最常用的函数之一，它可以用来描述多种物理和社会现象。
下面介绍它的定义域:
1. 定义：指数函数的定义，简单的说就是任意实数x的指数变换
y=ax^b（a是常数，b是指数），其中，左边的x称为自变量，右边的y称为因变量。
2. 定义域：指数函数的定义域是所有实数x（x属于R）。
3. 值域：指数函数的值域是所有实数y（y>0），当b>0时，指数函数的值域是[0, ∞)，其中包括0；当b<0时，指数函数的值域是(0, ∞)。
4. 曲线特性：指数函数是基于等比数列的函数，当b>0时，指数函数的坐标图是从原点开始的凸函数；当b<0时，指数函数的坐标图是从原点开始的凹函数。
5. 函数奇偶性：一般而言，指数函数在实数轴上是奇函数，也就是说函数在实数轴上对称轴过原点，在图像中，指数函数是单调递增的。
6. 函数性质：指数函数可以表示指数成长和指数衰减，并且可以描述物理现象中含有指数关系的曲线方程，例如光衰减曲线方程就是一个
指数函数。
指数函数是用来描述指数成长、衰减的函数，它的定义域为实数x（x 属于R），值域为实数y（y>0）。
指数函数的坐标图从原点开始向上凸函数或下凹函数，它是一个单调递增的函数，也是一个奇函数，可以表示物理现象中含有指数关系的曲线方程。
指数函数及其性质
指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存有．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大）x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性实行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可． 【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值．【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x xy =+；(2)y=4x -2x+1；(3)21139x --；(4)211xx y a-+=(a 为大于1的常数)举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)2-12x y = (2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a=型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323x x y -+-=的单调区间及值域.【变式2】求函数2-2()(01)x xf x a a a =>≠其中，且的单调区间.例4．证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数.【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.所以，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠举一反三：【变式1】比较大小：(1)22.1与22.3 (2)3.53与3.23 (3)0.9-0.3与1.1-0.1(4)0.90.3与0.70.4(5)110.233241.5,(),()33-.【变式2】利用函数的性质比较122，133，166【变式3】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 132()3的大小.例6. (分类讨论指数函数的单调性)化简：4233-2a a a +举一反三： 【变式1】如果215x x a a +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围．例7．判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f x ϕ+-= (()x ϕ为奇函数)【变式1】判断函数的奇偶性：()221xx xf x =+-.类型五、指数函数的图象问题例8．如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数xy a =的图象，而12,,3,22a π⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．举一反三：【变式1】 设()|31|xf x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（ ）A ．33c b <B ．33c b >C ．332c a +>D ．332c a+<【变式2】为了得到函数935xy =⨯+的图象，可以把函数3xy =的图象( )A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度1、已知集合},4221|{},1,1{1Z x x N M x ∈<<=-=+，则M N =（ ）A 、}1,1{-B 、}1{-C 、}0{D 、}0,1{- 2、设5.1348.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A 、213y y y >>B 、312y y y >>C 、321y y y >>D 、231y y y >> 3、当11≤≤-x 时，函数22-=xy 的值域为（ ） A 、]0,23[-B 、]23,0[C 、]0,1[-D 、]1,23[- 4、函数12212,+==x x a y a y （)1,0≠>a a ，若恒有12y y ≤，则底数a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、10<<a C 、10<<a 或1>a D 、无法确定 5、下列函数值域为),0(+∞的是（ ）A 、xy -=215 B 、xy -=1)31( C 、1)21(-=x y D 、x y 21-= 6、当0≠a 时，函数b ax y +=和axb y =的图象只可能是图中的（ ）7、函数)1,0(≠>=a a a y x在]2,1[上最大值比最小值大2a，则a = 。
指数函数的概念
⑵ y 3 解：（2） 由5x-1≥0得
5 x1
1 x 5 所以，所求函数定义域为
1 x | x 5
由
5x 1 0 得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
⑶
y 2x 1
由
解：（3）所求函数定义域为R
2 0
x
可得
2 1 1
x
所以，所求函数值域为{y|y>1}
6 5 4
x 1
所以，所求函数值域为 {y|y>0且y≠1}
-6
fx =
0.4 x-1
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
-2
说明：对于值域的求解，可以令 考察指数函数y= 并结合图象 直观地得到: 函数值域为 {y|y>0且y≠1}
1 t x 1
0.4
t
(t 0)
6
5
4
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
1 x 1 , x 1 2 2 x 1 , x 1
3.2
3.2 3.2 3.2 3.2 333 3
3
3
-0.2
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法 作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图 等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们 遇到的有以下几种形式： 函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f(x) a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位. a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
指数函数
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a ＞1时，图像在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，图像在R 上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 何两个幂函数最多有三个公共点．.定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<0 n<O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）（在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
指数函数的定义与性质
指数函数的定义与性质指数函数是数学中常见的一类函数，它具有独特的定义和性质。
本文将围绕指数函数的定义、增减性、奇偶性以及图像特点展开论述，从而全面了解指数函数的本质。
定义：指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数且不等于1，x 为实数。
指数函数的定义要求底数a必须为正实数，并且不等于1，这样才能确保指数函数有意义且满足一定的性质。
增减性：对于指数函数f(x) = a^x，当底数a大于1时，指数函数呈现出增长趋势；当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现出下降趋势。
具体而言，当x1 < x2时，若a > 1，则有a^x1 < a^x2，即指数函数的函数值随着自变量的增加而增加；若 0 < a < 1，则有a^x1 > a^x2，即指数函数的函数值随着自变量的增加而减少。
奇偶性：指数函数可分为两种情况讨论奇偶性：1. 当底数a为正实数时，指数函数f(x) = a^x是奇函数。
这是因为对于任意x，有a^(-x) = 1/a^x，即关于y轴对称，即f(-x) = f(x)。
2. 当底数a为负实数时，指数函数f(x) = a^x是偶函数。
这是因为对于任意x，有a^(-x) = 1/a^x，即关于原点对称，即f(-x) = f(x)。
图像特点：指数函数的图像特点与底数a的大小关系密切相关。
当底数a大于1时，指数函数的图像上升非常迅速，且在x轴的右侧逐渐无限接近于x轴正半轴。
当底数a介于0和1之间时，指数函数的图像下降非常迅速，且在x轴的右侧逐渐无限接近于x轴正半轴。
综上所述，指数函数是一类具有特殊定义和性质的函数。
它具有增减性、奇偶性以及特殊的图像特点。
了解指数函数的定义与性质对于解决数学中的相关问题，如指数方程和指数不等式等，具有重要意义。
一阶微分方程 指数函数
一阶微分方程指数函数指数函数在微积分中占据着重要的地位，它是一类特殊的函数，具有独特的性质和应用。
指数函数的定义形式为f(x)=a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
本文将介绍指数函数的基本性质以及它在数学和实际问题中的应用。
我们来看指数函数的基本性质。
指数函数具有以下几个重要特点：1. 增长速度：指数函数的增长速度非常快，随着自变量x的增大，函数值迅速增大。
这是因为指数函数具有指数增长的特性，底数越大增长越快。
2. 单调性：当底数a大于1时，指数函数是递增的；当底数a在0和1之间时，指数函数是递减的。
这是因为指数函数的底数决定了函数的单调性。
3. 奇偶性：指数函数的奇偶性与底数a无关，而与指数x有关。
当指数x为偶数时，指数函数是偶函数；当指数x为奇数时，指数函数是奇函数。
4. 极限：指数函数在无穷远处的极限不存在，即lim(x->∞) a^x=∞。
当底数a大于1时，函数趋于正无穷；当底数a在0和1之间时，函数趋于0。
接下来，我们将探讨指数函数在数学中的应用。
指数函数在数学中具有广泛的应用，特别是在指数运算、对数运算和微积分中起着重要的作用。
1. 指数运算：指数函数与指数运算密切相关。
指数运算是一种重要的运算法则，通过指数运算可以对指数函数进行简化和计算。
2. 对数运算：对数运算是指数函数的逆运算，它与指数函数之间存在着密切的联系。
对数函数可以将指数函数的运算问题转化为线性运算问题，简化了计算过程。
3. 微积分：指数函数在微积分中也有广泛的应用。
例如，在求解微分方程时，指数函数常常作为解的一部分出现。
一阶微分方程是指导数与未知函数之间的关系式，而指数函数可以作为微分方程的解。
指数函数在实际问题中也有许多应用。
以下是一些常见的实际应用场景：1. 经济增长：指数函数可以用来描述经济增长的速度和趋势。
例如，人口增长、GDP增长等都可以使用指数函数来建模和预测。
2. 自然科学：指数函数可以用来描述自然界中的许多现象，如放射性衰变、物种数量的增长等。
指数函数的基本恒等式
指数函数的基本恒等式指数函数是数学中非常重要的函数之一，它可以用来描述各种复杂的计算过程，并在不同领域有着广泛的应用。
在学习指数函数的过程中，我们要掌握其基本恒等式，这是解决各种指数函数问题的重要工具。
一、指数函数的基本定义指数函数的基本形式是$f(x)=a^x$，其中$a$是一个正实数，$x$可以是任意实数。
当$a>1$时，指数函数是递增的，当$0<a<1$时，指数函数是递减的。
指数函数在解决许多实际问题中都有很重要的作用，例如在金融、经济、物理、生物等领域都有广泛的应用，例如在计算复利、预测经济变化趋势、计算放射性物质的衰变等。
二、指数函数的基本恒等式指数函数的基本恒等式包含两个重要的公式：指数函数的乘法恒等式以及指数函数的除法恒等式。
1、指数函数的乘法恒等式指数函数的乘法恒等式是指，当指数函数相乘时，底数不变，指数相加。
即：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$例如，$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$。
这个公式可以用于解决指数函数相乘的问题，例如计算$2^3 \cdot 2^{5x}$，可以将它化为$2^{3+5x}$。
这个公式也可以用于求指数函数的幂次方，例如计算$(2^3)^4$，可以将它化为$2^{3\times 4} = 2^{12}$。
2、指数函数的除法恒等式指数函数的除法恒等式是指，当指数函数相除时，底数不变，指数相减。
即：$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$例如，$\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2$。
这个公式可以用于解决指数函数相除的问题，例如计算$\frac{2^5}{2^{3x}}$，可以将它化为$2^{5-3x}$。
这个公式也可以用于求指数函数的根式，例如计算$\sqrt{2^8}$，可以将它化为$2^{8/2} = 2^4$。
三、指数函数的应用举例指数函数的基本恒等式在实际应用中有着广泛的应用。
指数函数的概念PPT课件.ppt
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
指数函数的概念
指数函数的概念指数函数是一种常见的数学函数，以指数为自变量，以一个常数(基数)为底数的幂函数为定义。
该函数的特点是随着自变量指数的增长或减小，函数值呈现出快速增长或快速衰减的趋势。
指数函数的一般形式可以表示为f(x) = a^x，其中a是一个正常数，且a≠1。
指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
在指数函数中，底数a决定了函数的增长速度。
当a>1时，随着指数的增大，函数值呈现出快速增长的趋势；当0<a<1时，随着指数的增大，函数值呈现出快速衰减的趋势。
当a=1时，函数的值始终为1，不随指数的变化而改变。
指数函数在实际生活和科学研究中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景。
1. 经济领域的复利计算指数函数在经济领域的复利计算中有着重要的应用。
当我们将一笔本金以一定的利率投资，利息会按照指数函数的增长趋势不断积累，使得投资额快速增加。
复利计算常被应用于银行、保险、投资等金融领域。
2. 自然界中的增长和衰减指数函数也被广泛地应用于自然界的增长和衰减现象的描述。
例如，生物种群的增长、放射性元素的衰变等都可以使用指数函数来描述和预测。
在这些情况下，指数函数提供了一个完整的模型，能够准确描述物种的繁衍和元素的衰变过程。
3. 物理学中的衰减和振荡在物理学中，指数函数也扮演着重要的角色。
比如在电路中，电容器或电感器的充放电过程中，电流的变化会随时间按指数函数的规律发生衰减或振荡。
指数函数的应用使得物理学家可以更好地研究和理解电路中的现象。
4. 统计学中的概率分布指数函数在统计学中也有重要的应用。
例如，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔，如两个红绿灯的间隔时间、地震发生的时间间隔等。
指数分布的概率密度函数形式为f(x) =λe^(-λx)，其中λ为正常数。
通过指数函数的应用，可以对这些事件发生的概率进行统计和预测。
总之，指数函数具有快速增长或衰减的特性，在数学和实际应用中都有广泛的应用。
高等数学中指数函数与幂函数
高等数学中指数函数与幂函数指数函数与幂函数是高等数学中常见的函数，也是广泛用于工程和科学研究中的重要概念。
这两种函数有着诸多共同之处，也有自己独特的性质。
本文将从指数函数和幂函数的定义、性质及其在实际中的应用等方面进行介绍，以期更好的了解这两种函数。
一、指数函数：指数函数是以自变量作为指数，因变量为底数的函数形式，经常被表示为：y=ax^n，其中a为常数，n为自然数或实数。
指数函数和幂函数有着相同的形式，但指数函数要求因变量是正数，而幂函数则不限制因变量的大小。
二、幂函数：幂函数是以自变量作为幂，因变量为底数的函数形式，经常被表示为：y=x^n，其中n为自然数或实数。
幂函数和指数函数有着相同的形式，但幂函数不限制因变量的大小，而指数函数则要求因变量是正数。
三、指数函数与幂函数的性质：1、指数函数与幂函数都具有单调性，即单调递增或单调递减的性质，因此它们的导数也具有单调性，因此可以利用导数判断函数单调性。
2、指数函数与幂函数都有极限性，在某些情况下，它们的极限值可以通过极限法计算出来。
3、指数函数与幂函数都具有“翻倍”性，即当自变量变化一倍时，因变量也会翻倍。
四、指数函数与幂函数的应用：1、指数函数与幂函数在数学上可用来描述种种函数关系，如指数函数可用来描述人口的增长、地震的发生率、经济的发展等，而幂函数可用来描述热力学过程、声音的传播等。
2、指数函数与幂函数可用于工程和科学研究中，如工程设计中可用指数函数来表示物理量的变化，而科学研究中可使用幂函数来描述物质的变化。
总之，指数函数与幂函数是高等数学中一类重要的函数，它们的定义、性质以及在实际中的应用等方面均具有重要价值，可以更好的解释物理量的变化规律，为工程和科学研究提供重要的理论支持。
高一数学指数函数的概念、图象与性质(解析版)
专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性 非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一 指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数． 它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2， 所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ， 即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2， 且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二 指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看， 是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交， 交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限[解析]A,∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]9．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1， 所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解， 即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根， 则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三 指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16， 即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________． [解析]当x >0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1； 当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解． 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9， 故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数类型。
它们在数学和实际应用中具有广泛的作用和重要性。
本文将介绍指数函数和对数函数的定义、性质以及它们在数学和实际中的应用。
一、指数函数指数函数是以底数为常数且指数为自变量的函数。
一般形式为 y =a^x，其中 a 是底数，x 是指数，y 是函数值。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
指数函数的特点是当底数大于 1 时，随着指数的增加，函数值增加；当底数小于 1 且大于 0 时，随着指数的增加，函数值减小。
当底数为 1 时，指数函数为 y = 1，是一个常函数。
指数函数在数学中有广泛的应用，例如在复利计算、人口增长和物质衰变等方面。
在实际应用中，指数函数也常用于描述增长或衰变速度较快的现象，如病菌增长和药物浓度的降解等。
二、对数函数对数函数是指数函数的逆运算。
对数函数的一般形式为y = logₐ(x)，其中 a 是底数，y 是指数，x 是函数值。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
对数函数的特点是当底数大于 1 时，随着函数值的增加，指数也增加；当底数小于 1 且大于 0 时，随着函数值的增加，指数逐渐变小。
对数函数在数学中有广泛的应用，特别是在解决指数方程和指数不等式时常被用到，例如求解 2^x = 8 的 x 值时，可以通过对数函数得到log₂(x) = log₂(8)，进而得到 x = 3。
在实际应用中，对数函数也常用于衡量物质的浓度、信号的强度和地震的能量等。
三、指数函数与对数函数的性质和关系1. 指数函数和对数函数是互为反函数的关系，即 y = a^x 和 x =logₐ(y) 互为反函数。
2. 指数函数和对数函数具有对称性，即 a^x 和logₐ(x) 以直线 y = x为对称轴对称。
3. 指数函数和对数函数的图像都经过点 (1, a)，其中 a 是底数。
4. 指数函数和对数函数的增长速度都与底数 a 的大小相关，当 a 大于 1 时，函数增长速度较快，当 a 小于 1 且大于 0 时，函数增长速度较慢。
《指数函数的概念》教案
《指数函数的概念》教案一、教学目标1. 理解指数函数的定义和性质。
2. 掌握指数函数的图像和特征。
3. 能够运用指数函数解决实际问题。
二、教学内容1. 指数函数的定义：指数函数是一种形式的函数，形如f(x) = a^x，其中a 是底数，x 是指数。
2. 指数函数的性质：底数a > 1 时，函数随着x 的增大而增大；底数0 < a < 1 时，函数随着x 的增大而减小。
3. 指数函数的图像：指数函数的图像通常是一条曲线，当底数a > 1 时，曲线向上凸起；当底数0 < a < 1 时，曲线向下凸起。
4. 指数函数的应用：解决实际问题中涉及增长、衰减、人口增长等方面的问题。
三、教学重点与难点1. 重点：指数函数的定义和性质。
2. 难点：指数函数的图像和应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解指数函数的定义、性质和图像。
2. 案例分析法：分析实际问题，运用指数函数解决。
3. 互动讨论法：引导学生提问、思考、交流。
五、教学过程1. 引入：通过生活实例，如人口增长、放射性衰变等，引导学生思考指数函数的应用。
2. 讲解：讲解指数函数的定义、性质和图像，结合实例进行分析。
3. 练习：让学生绘制指数函数的图像，观察和分析函数特征。
4. 应用：运用指数函数解决实际问题，如人口增长预测、放射性物质衰减等。
六、教学评价1. 评价指标：学生对指数函数定义、性质和图像的理解程度，以及运用指数函数解决实际问题的能力。
2. 评价方法：课堂提问、练习题、小组讨论、课后作业等。
3. 评价结果：根据学生的表现，给予及时反馈，鼓励优点，指出不足，促进学生的学习进步。
七、教学资源1. 教材：指数函数的相关章节。
2. 课件：用于展示指数函数的定义、性质和图像。
3. 练习题：用于巩固所学知识，提高解题能力。
4. 实际问题案例：用于引导学生运用指数函数解决实际问题。
八、教学进度安排1. 第一课时：介绍指数函数的定义和性质。
指数函数全方位解读
指数函数全方位解读欢迎同学们进入指数函数的学习！指数函数是大家在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上第一个系统研究的函数，也是高中阶段的主要研究内容之一。
本节课的内容十分重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
为了帮助大家学好本节内容，下面我对指数函数作一全面解读。
一、指数函数的定义解读对于指数函数的定义理解时应注意：（1）定义域：因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数0>a 的前提下，x 可以是任意实数。
（2）规定底数a 大于零且不等于1的理由：如果0=a ，当0>x 时，x a 恒等于零；当0≤x 时，x a 无意义。
如果0<a ，比如x y )2(-=，这是对于21,41==x x ……，x )2(-都无意义。
如果1=a ，对于任何实数x ，11==x y 是一个常量，对它就没有研究的价值和必要了。
（3）形式上的严格性：在指数函数的定义表达式x a y =中，xa 前的系数是1，自变量x 在指数的位置上，否则，不是指数函数。
例如x a y 2=，1+=x a y ，1+=x a y ，a x y =等都不是指数函数。
二、解读指数函数的图像指数函数的图像在x 轴上方，印证了指数函数的值域为（+∞,0）；图像恒过（0，1）,是因为0>a 时，10=a 。
对于指数函数在1>a 和10<<a 时的图像，同学们要熟记于心，并达到能灵活应用函数图像解题。
下面我就指数函数图像的解题妙用举例分析。
例1 比较a 7.0与a 8.0的大小分析：这两个幂值同指不同底，无法利用指数函数的单调性进行比较。
我们不妨构造函数x y 7.0=和x y 8.0=，a 7.0和a 8.0分别为两函数在a x =处的函数值解：构造函数x y 7.0= 和x y 8.0=，则两个函数的图像关系如图由图易知，当0<a 时，a 7.0>a 8.0，当0=a 时，a 7.0=a 8.0，当0>a 时，a 7.0<a 8.0 注：同一直角坐标系中，在y 轴右（左）侧，指数图像从上到下相应的底数有大（小）变小（大）。
理解指数函数的基本概念与性质
理解指数函数的基本概念与性质指数函数是数学中的一种特殊函数，它的定义域是全体实数，值域是大于零的实数。
指数函数以其特殊的增长特性和广泛的应用而备受关注。
本文将从基本概念和性质两方面来深入理解指数函数。
一、基本概念指数函数是以常数e（数学常数，约等于2.71828）为底的幂函数，表达式为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
在指数函数中，底数a大于0且不等于1，指数x可以是任意实数。
1.1 指数函数的图像特点指数函数的图像呈现出特殊的增长规律。
当底数a大于1时，指数函数呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，指数函数呈现下降趋势。
指数函数的图像经过点(0, 1)，这是由于a^0等于1。
1.2 指数函数的性质指数函数有以下重要性质：a) 当指数为零时，指数函数的值始终为1，即a^0 = 1；b) 当指数为正数时，指数函数呈现递增趋势，即a^n（n为正数）；c) 当指数为负数时，指数函数呈现递减趋势，即a^(-n) = 1 / a^n（n为正数）。
二、指数函数的常见应用指数函数在科学、金融和工程等领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：2.1 大自然的增长规律许多自然现象都可以使用指数函数来描述，如人口增长、细胞分裂等。
指数函数可以帮助我们预测和研究这些现象的增长趋势和规律。
2.2 经济增长与财务规划经济增长也可以通过指数函数来描述，特别是在复利计算中。
指数函数可以帮助我们理解和规划财务增长，包括银行利息计算、投资回报预测等。
2.3 无限接近与趋势逼近指数函数的特殊性质使其在数学中有着广泛的应用，如级数求和、数值逼近等。
指数函数可以帮助我们更好地理解和利用数学中的各种概念和方法。
三、指数函数的注意事项在应用指数函数时，需要注意以下几点：3.1 底数a的取值指数函数中，底数a大于0且不等于1，具体数值的选择取决于具体应用场景。
需要根据问题需求和实际情况来确定合适的底数。
3.2 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域是全体实数，值域是大于零的实数。
一阶微分方程 指数函数
一阶微分方程指数函数指数函数在数学中是一类非常重要的函数，它的定义形式为f(x) = a^x，其中a是一个大于0且不等于1的常数。
指数函数具有很多独特的性质和特点，本文将从微分方程的角度出发，探讨指数函数的一阶微分方程。
我们来看指数函数的定义。
指数函数的底数a可以是任意正实数，但不能等于1。
指数函数的图像可以是递增或递减的曲线，其基本性质是在自变量x不断增大的过程中，函数值f(x)也在不断变化。
指数函数在数学和科学中有广泛的应用，例如在金融领域中的复利计算、物理学中的衰变过程等。
接下来，我们将探讨指数函数的微分方程。
一阶微分方程是指方程中最高阶导数只有一次的微分方程。
对于指数函数f(x) = a^x来说，它的一阶导数可以表示为f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)是底数a的自然对数。
因此，指数函数的微分方程可以表示为：dy/dx = a^x * ln(a)这个微分方程描述了指数函数在每个点x处的斜率，即函数曲线在该点的切线斜率。
通过求解这个微分方程，我们可以得到指数函数在不同点的切线斜率，从而了解函数的变化趋势。
下面，我们来看一个具体的例子，以指数函数f(x) = 2^x为例。
对于这个指数函数，它的微分方程可以表示为：dy/dx = 2^x * ln(2)我们可以通过求解这个微分方程来得到函数f(x) = 2^x在不同点的切线斜率。
首先，我们将微分方程改写为dy = 2^x * ln(2)dx。
然后，对方程两边同时积分，得到函数f(x)的原函数：∫dy = ∫2^x * ln(2)dx根据积分的性质，我们可以将2^x * ln(2)视为常数，得到：y = ∫2^x * ln(2)dx = ln(2) * ∫2^xdx进一步计算得到：y = ln(2) * (2^x) / ln(2) + C = 2^x + C其中C是常数。
这表示函数f(x) = 2^x在每个点x处的函数值与切线斜率之间存在着特定的关系。
指数函数的概念
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
(2)自变量的大小比较.
(3)函数值的大小比较.
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(8Βιβλιοθήκη )3 7与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为 同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或0.
轴上为1.
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) a x (a 1)
性质
a (1) 无论 为何值,指数函数
f (x) a x 都有 定义域为 R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时,
f (x) a x 在定义域内为增函数；
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3) 3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 ) 2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
x y 4.截距:在
轴上没有,在
0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3) a 1 时,
x 0
y
1
0
a 1 时,
x 0
y
1
简单应用
利用指数函数单调性比大小.
例1.比较下列各组数的大小
指数与对数函数
指数与对数函数指数与对数函数是高中数学中常见的函数类型，它们在数学和科学领域中具有广泛的应用。
指数函数可以用来表示增长的速度，而对数函数则可以用来解决指数式的问题。
本文将介绍指数与对数函数的定义、性质以及实际应用。
一、指数函数指数函数是一种以常数为底数的幂函数，它的一般形式可以表示为f(x) = a^x，其中a是正实数且不等于1。
指数函数的定义域为整个实数集，值域为正实数集。
指数函数的图像呈现出一种特殊的形态，即当底数大于1时，随着自变量增大，函数值也随之增大，呈现出递增趋势；而当底数小于1且大于0时，随着自变量增大，函数值反而减小，呈现出递减趋势。
指数函数在现实生活中有着广泛的应用。
举例来说，经济增长模型中常常使用指数函数来描述经济的增长趋势。
此外，放射性衰变也可以用指数函数来表示，指数函数在核物理领域起着重要的作用。
二、对数函数对数函数是指以某个正实数为底数，将正实数x映射到满足a^y = x的实数y的函数。
对数函数的定义域为正实数集，值域为整个实数集。
对数函数的一般形式可以表示为f(x) = logₐ(x)，其中a是正实数且不等于1。
对数函数与指数函数是互为反函数关系，即指数函数和对数函数的图像关于y=x对称。
对数函数的主要特点是，当底数大于1时，对数值随着自变量的增大而增大；当底数小于1且大于0时，对数值随着自变量的增大而减小。
对数函数广泛应用于科学和技术领域。
例如，在计算机科学中，对数函数在对数复杂性和算法分析中具有重要作用。
同时，在经济学和金融学中，对数函数常用于计算复利和持续增长的情况。
三、指数与对数函数的性质指数函数和对数函数具有一些重要的性质。
1. 指数与对数的互为反函数关系：对于任意的a>0且a≠1，和任意的x>0，有logₐ(a^x) = x和a^(logₐ(x)) = x。
也就是说，指数函数和对数函数是互为反函数的。
2. 指数与对数的运算规律：指数和对数具有一些重要的运算规律，如指数的乘方法则、指数函数的加法法则和对数的乘法法则等。
指数函数的不定积分
指数函数的不定积分一、引言指数函数是高中数学的重要内容之一，其在数学和科学中都有广泛的应用。
而不定积分是微积分中一个重要的概念，也是指数函数研究的基础之一。
因此，本文将介绍指数函数的不定积分。
二、指数函数的定义指数函数可以表示为f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。
它是一个连续且单调增加的函数，其图像呈现出一条上升曲线。
三、不定积分的定义不定积分也称为原函数或反导函数，在微积分中用于求解导数。
如果f(x)是一个连续函数，则F(x)是f(x)在区间[a,b]上的原函数，当且仅当F'(x)=f(x)，其中F'(x)表示F(x)在点x处的导数。
四、指数函数的不定积分公式根据微积分基本公式和指数函数的性质，可以得到以下不定积分公式：∫a^xdx = a^x/ln(a)+C其中C为常量。
五、证明过程我们先对a^x求导：d/dx(a^x)=ln(a)*a^x然后将其代入∫a^xdx中：∫a^xdx = 1/ln(a)*∫ln(a)*a^xdx令u = ln(a)*a^x，du/dx=ln(a)*a^x，dx=1/ln(a)*du/a^x 则∫a^xdx = 1/ln(a)*∫u*du= 1/ln(a)*(u^2/2+C)= a^x/ln(a)+C六、应用举例1. 求∫2^xdx根据不定积分公式，可得：∫2^xdx = 2^x/ln(2)+C其中C为常量。
2. 求∫e^(3x)dx根据不定积分公式，可得：∫e^(3x)dx = e^(3x)/ln(e)+C= e^(3x)/1+C其中C为常量。
七、总结指数函数的不定积分是微积分中的重要内容之一，在数学和科学中都有广泛的应用。
本文介绍了指数函数的定义、不定积分的定义和指数函数的不定积分公式，并通过应用举例进行了说明。
指数函数特征
指数函数特征
指数函数是一种常见的数学函数，它的定义是以某个基数为底的指数函数。
指数函数的特
征是，它的图像是一条弯曲的曲线，它的图像是从原点开始，向右上方延伸的。
指数函数是一类常用的数学函数，它的形式为 y = a^x ，其中a是常数。
指数函数具有如下特征：
单调性：当a > 1时，指数函数单调递增，当0<a<1时，指数函数单调递减。
导函数：指数函数的导函数为 y' = a^x * ln(a)
增长率：当a > 1时，指数函数具有指数增长，当0<a<1时，指数函数具有指数缩减。
幂函数的性质：指数函数是一类幂函数，它在图像上具有对称性，即沿着y轴对称。
同时，它在x轴上的导数值为0，在x轴上的切线为水平直线。
函数值的上限/下限：指数函数的函数值在x趋近正无穷大/负无穷大时，函数值也会趋近
正无穷大/负无穷大
函数图像：指数函数图像会在x轴上截距为1，并且随x增大而快速增长。
函数的取值范围：当x为实数时，指数函数的值域是实数集.。
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