第八讲卷积码
卷积码
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25
可以看出交织可能会造成独立错误变成突发错误的特殊情况
级联码
级联码的最初想法是为了进一步降低残余误码率，但事实上它同 级联码的最初想法是为了进一步降低残余误码率， 样可以提高较低信噪比下的性能。 样可以提高较低信噪比下的性能。这是由较好构造的短码进一步 构造性能更好的长码的一种途径
纠正突发错误的码
分组码、循环码均可以检测、纠正突发错误 分组码、循环码均可以检测、 对于一个能纠正l个错误的( 对于一个能纠正l个错误的(n, k)分组码，要求： 分组码，要求： r = n – k ≥ 2l 2l 即一个( 即一个(n, k)分组码最多能纠正(n – k)/2个突发错误 分组码最多能纠正( )/2个突发错误 若再要求该( 若再要求该(n, k)分组码能够检测d个突发错误，则要求： 分组码能够检测d个突发错误，则要求： r=n–k≥l+d
下面是未进行交织处理的序列
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15 x16 x17 x18 x19 x20 x21 x22 x23 x24 x25
假设在信道上发送时，产生了2个突发错误，如下红色部分所示： 假设在信道上发送时，产生了2个突发错误，如下红色部分所示：
10 11(1) 00 11(0) c 01 00(1)
b 01(1)
10(0)
a
11 d 01(0)
10(1)
卷积码的图解表示— 卷积码的图解表示—树状图
观察卷积码的状态迁移图，可知根据输入值的不同，编码器只向两种状态迁移， 观察卷积码的状态迁移图，可知根据输入值的不同，编码器只向两种状态迁移， 因此也可以用二叉树来描述卷积码 树状图绘制方法： 树状图绘制方法： 1）先假设其从某一状态开始； 先假设其从某一状态开始； 2）输入为0时，树状图向上延伸；输入为1时，向下延伸； 输入为0 树状图向上延伸；输入为1 向下延伸； 3）按照状态图在时间上的迁移顺序依次绘制，分支上的数字为编码器的输出 按照状态图在时间上的迁移顺序依次绘制， 编码方法： 编码方法： 1）从树根开始编码，每一节点为码元输入点； 从树根开始编码，每一节点为码元输入点； 2）到达每一节点时按照下一输入的码元向上（0）或向下（1）走； 到达每一节点时按照下一输入的码元向上（ 或向下（ 3）编码完毕后，将行走路径上的依次进行排列，即可得到卷积码序列 编码完毕后，将行走路径上的依次进行排列，
卷积码的图解表示
3
信息论
卷积码的基本概念
卷积码的编码器是由一个有k个输入端、n个输出端，且具有L节移 位寄存器所构成的有限状态的有记忆系统，通常称之为时序网络。 卷积码编码的原理图如图所示，
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4
信息论
1 卷积码的解析表示
输入M
m0
t
m0
t 1
m0
t 2
二元（3，1，2） 卷积码编码器原理图
9
信息论
1 卷积码的解析表示
m0
t
0 输入M 1
m0
t 1
m0
t 2
c1
t
c0
t
m1
t
m1
t 1
m1
t 2
c2
t
输出 C t
二元（3，2，2）卷积码并行编码器的原理图
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10
信息论
9.5.1 卷积码的解析表示
基本生成矩阵
g
101 011
000 001
S0 S2 S3 S3 S1 S0 S2
由此很快求得输入信息序列为111001…，输出的码字 序列为111,100,101,010,001,111…。
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1/111
1/100
1/101
0/010
0/001
1/111
001 000
000 000
000 000
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信息论
1 卷积码的解析表示
生成矩阵
101 011 G
000 001 101 011
信息论基础与编码课件第八章卷积码
6
8.2卷积码的编码
图8-2（2,1,4）卷积码编码器结构
该编码器由3个移位寄存器（D）和两个模2加法器组成， 每输入一个码元就会产生2个输出，输出端第j时刻的码元 分别由下式确定：
7
8.2卷积码的编码
cc12jj
uj uj
uj2 uj3 uj1uj2 uj3
假设输出信息序列为：
u(u0u1u2 )
]
11 01 11 11
11 01 11 11
19
8.2卷积码的编码
而输入U＝（10111），所以有：
11 01 11 11
11 01 11 11
c =uG[10111][
11 01 11 11
]
11 01 11 11
11 01 11 11
=(1101000101010011)
结果和前面的相同。
20
输入 u j 6 0 ,c 1 j 6 u j 6 u j 4 u j 3 = 0 1 1 0
c 2 j 6 u j 6 u j 5 u j 4 u j 3 = 0 0 1 1 0
编码输出00
输入
u j 7 0 , c 1 j 7 u j 7 u j 5 u j 4 = 0 0 1 1 c 2 j 7 u j 7 u j 6 u j 5 u j 4 = 0 0 0 1 1 编码输出11
g 1 ( x ) 1 x 2 x 3 ,g 2 ( x ) 1 x x 2 x 3
13
8.2卷积码的编码
编码后多项式为（乘积后合并也是模2）：
c1(x) u(x)•g1(x) c2(x) u(x)•g2(x)
（8-8）
c 1 (x ) u (x )•g 1 (x ) (1 x 2 x 3 x 4 )(1 x 2 x 3 )
卷积码
译码主要确定译码规则，使其差错率最小
1 2 – 译码器根据接收序列来产生信息序列M的一个估值M’,如果两者不同，
则表示译码出错 – 如信道传输的码字是X，当且只有当接收序列Y不等于X时，出现译码错 误
最大似然译码
译码主要确定译码规则，使其差错率最小
– 译码器必须根据接受序列y来产生信息序列M的一个估计
§12.1.1 卷积码的图解表示
树状图- tree
– 一个(2,1,3)卷积码编码器。 假设初始状态为全0 第一个比特输入为 0－>00 ，1－>11 第二个比特输入时，第一个比特右移一位，这时输出比特同时受前输入比 特和前一位比特决定 ...... 第四个比特输入时，第一个比特移出移位寄存器而消失
编码后序列。由于卷积码的线性性质，所有码序列之间的最 小汉明距应等于非零码序列的最小汉明重量，即非零码序列 中1码的个数。由此可见，要求最小距或自由距，只要考虑码 树中下半部的码序列就可以了 – 例： abca abcb abdc abdd 5 3 4 4 因而：dmin = 3
§12.2 卷积码的距离特性
维特比译码
进入第四级网格时，4条幸存支路又延伸为8条， 经计算路径量度并比较后又丢弃其中4条。在 比较是如果出现量度相同的情况，可以任意选 取其中一条。继续下去，到第10步时，会发现， 所有幸存路径已经合并称为一条全0路径，纠 错完毕。 译码结束的判断:可以在网格图的终结出加上 (N-1)*K个已知信息(即N-1条支路)，发送固定 码，如全零，作为结束信息。
– 应用最多也是性能最接近最佳的是维特比译码，但
是硬件复杂。门限译码性能最差，但硬件简单。维 特比译码和序列译码都是建立在最大似然译码的基 础之上的
卷 积 码
1.3 卷积码的译码
1. 维特比译码
图 10.10 维特比译码格图
2. 序列译码 当m很大时，可以采用序列译码法。
译码先从树图的起始节点开始，把接收到的第一个子码的n个 码元与自始节点出发的两条分支按照最小汉明距离进行比较， 沿着差异最小的分支走向第二个节点。在第二个节点上，译 码器仍以同样原理到达下一个节点，以此类推，最后得到一 条路径。若接收码组有错，则自某节点开始，译码器就一直 在不正确的路径中行进，译码也一直错误。因此，译码器有 一个门限值，当接收码元与译码器所走的路径上的码元之间 的差异总数超过门限值时，译码器判定有错，并且返回试走 另一分支。经数次返回找出一条正确的路径，最后译码输出。
用码多项式表示： Ci (x)＝S(x) × gi(x)
例：卷积码（2，1，2）的编码器 g1＝(1 1 1）; g1 (x)=x2+x+1 g2＝(1 0 1）; g2 (x)=x2+1
若: S = ( 1 1 0 1 0) ; S(x)=x4+ x3+ x 则： C1 = S ＊ g1＝ ( 1 1 0 1 0) ＊ (1 1 1）=(1 0 0 0 1 1 0)
11 10
00 a 11
10 b 01
11 c 00
a b c d a
11 b
b 01
数码
起点 a
01 d 10 c 00 d
11 a 11 a
10
c 00
10 b 01
b c
11 b
d
01
11 c 00
aห้องสมุดไป่ตู้
01
b
d 10
01 d 10
c
d
数码
卷积码
卷积码1、什么是卷积码？卷积码作为一种编码方法，是将k个信息比特编成n个比特，但k和n通常很小，因此时延小，特别适合以串行形式进行传输。
通常它更适合于前向纠错，因而对于许多实际情况它的性能优于分组码，而且运算较简单。
2、卷积码的编译原理？（1）编码原理下图示出卷积码编码器一般原理方框图。
编码器由三种主要元件构成，包括Nk级移存器、n个模2加法器和一个旋转开关。
每个模2加法器的输入端数目可以不同，它连接到一些移存器的输出端。
模2加法器的输出端接到旋转开关上。
将时间分成等间隔的时隙，在每个时隙中有k比特从左端进入移存器，并且移存器各级暂存的信息向右移k位。
旋转开关每时隙旋转一周，输出n比特（n）k）。
（2）译码原理卷积码的解码方法可以分为两类：代数解码和概率解码。
代数解码是利用编码本身的代数结构进行解码，不考虑信道的统计特性。
概率解码则是基于信道的统计特性和卷积码的特点进行计算，其中一种概率解码方法是维特比算法。
当码的约束长度较短时，它比序贯解码算法的效率更高、速度更快，目前得到广泛的使用。
维特比算法的基本原理是将接收到的信号序列和所有可能的发送信号序列比较，选择其中汉明距离最小的序列认为是当前发送信号序列。
若发送一个k位序列，则有2k种可能的发送序列。
计算机应存储这些序列，以便用作比较。
当k较大时，存储量太大，使实用受到限制。
维特比算法对此作了简化，使之能够实用。
3、与分组码相比，卷积码的优势是什么？与分组码不同的是，卷积码编码后n个码元不但与本码组的k个信息码元有关，而且与前面的N-1段信息有关，编码的过程中相互关联的码元有N*n个。
卷积码的纠错能力同样是随N的增大而增大，其差错率随N的增大而指数的下降。
在编码器相同的情况下，卷积码的性能优于分组码。
另一点不同是，分组码有严格的代数结构，但是卷积码至今没有严格的数学手段把纠错能力和码结构有机地联系起来，目前大都是采用计算机搜索来搜索好用的码组。
4、卷积码编译电路的组成结构？（1）信号发生器（2）卷积码编码器（3）信道（4）卷积码译码器参考文献：[1]通信原理（第6版）樊昌信、曹丽娜，国防工业出版社·北京，2012[2]SystemView通信仿真开发手册，孙屹，国防工业出版社，2004[3]SystemView动态系统分析及通信系统仿真设计，罗卫兵、孙桦、张捷，西安电子科技大学出版社，2001。
卷积码
引言卷积码是深度空间通信系统和无线通信系统中常用的一种差错控制编码。
在编码过程中,卷积码充分利用了各码字间的相关性。
在与分组码同样的码率和设备复杂性的条件下,无论从理论上还是从实践上都证明,卷积码的性能都比分组码具有优势。
而且卷积码在实现最佳译码方面也较分组码容易。
因此卷积码广泛应用于卫星通信，CDMA数字移动通信等通信系统，是很有前途的一种编码方式。
对其进行研究有很大的现实意义。
1 、(2.1.2)卷积码的基本概念1.1(2.1.2)卷积码的结构图(2.1.2)卷积码的编码器由两级移位寄存器组成，它的存数(Q0，Q1)有四种可能：00，10，01和11，相应于编码器的四个状态S0, S1, S2和S3。
(2.1.2)卷积码编码器如图1：由图可知，该卷积码的生成多项式为于是，得到的码多项式是1.2(2.1.2)卷积码的网格图表示为了表示卷积码编码器在不同输入的信息序列下，编码器各状态之间的转移关系，以及状态转移与时间的关系，须画出编码器的网格图。
网格图是一种能清楚显示状态转移的时间依赖性状态图，因而用网格图来表示编码器的操作是很有用的。
图2表示了(2.1.2)卷积码的网格图。
图中四行小圆圈表示移位寄存器的四种状态，虚线表示输入是0时的状态转移，实线表示输入是1时的状态转移，支路上标注的码元为输出比特。
2 、(2.1.2)卷积码编码器的编程实现与仿真波形由以上分析可以发现，(2.1.2)编码器由两个模二加法器组成，分别生成、。
而此时输出的是并行数据，须经过并串转换才能输出，在用VHDL编程时，用LOAD和CLK来控制信息的输入与卷积码的产生，当LOAD为底电平时，在每个CLK的上升沿输入一位信息，并进行异或运算;当LOAD为高电平时，在CLK 的上升沿时刻，把生成的卷积码经过并串转换之后输出。
经过编译调试之后，仿真波形如图3：图中，D-IN为输入的信息位，D-OUT为输出的串行卷积码，Q为移位寄存器的内容。
卷积码
（n ，k ，N ）=（2，1，6）n 个输出比特。
当前的k 个输入信息，还与前（N-1）k 个信息有关。
002356101236y x x x x x y x x x x x =⊕⊕⊕⊕=⊕⊕⊕⊕2.2.1 Viterbi 译码卷积码概率译码的基本思路是:以接收码流为基础，逐个计算它与其他所有可能出现的、连续的网格图路径的距离，选出其中可能性最大的一条作为译码估值输出。
概率最大在大多数场合可解释为距离最小，这种最小距离译码体现的正是最大似然的准则。
卷积码的最大似然译码与分组码的最大似然译码在原理上是一样的，但实现方法上略有不同。
主要区别在于:分组码是孤立地求解单个码组的相似度，而卷积码是求码字序列之间的相似度。
基于网格图搜索的译码是实现最大似然判决的重要方法和途径。
用格图描述时，由于路径的汇聚消除了树状图中的多余度，译码过程中只需考虑整个路径集合中那些使似然函数最大的路径。
如果在某一点上发现某条路径已不可能获得最大对数似然函数，就放弃这条路径，然后在剩下的“幸存”路径中重新选择路径。
这样一直进行到最后第L级(L为发送序列的长度)。
由于这种方法较早地丢弃了那些不可能的路径，从而减轻了译码的工作量，Viterbi译码正是基于这种想法。
对于(n, k, K )卷积码，其网格图中共2kL种状态。
由网格图的前K-1条连续支路构成的路径互不相交，即最初2k_1条路径各不相同，当接收到第K条支路时，每条路径都有2条支路延伸到第K级上，而第K级上的每两条支路又都汇聚在一个节点上。
在Viterbi译码算法中，把汇聚在每个节点上的两条路径的对数似然函数累加值进行比较，然后把具有较大对数似然函数累加值的路径保存下来，而丢弃另一条路径，经挑选后第K级只留下2K条幸存路径。
选出的路径同它们的对数似然函数的累加值将一起被存储起来。
由于每个节点引出两条支路，因此以后各级中路径的延伸都增大一倍，但比较它们的似然函数累加值后，丢弃一半，结果留存下来的路径总数保持常数。
卷积码
卷积码卷积码将k个信息比特编成n个比特，但k和n通常很小，特别适合以串行形式进行传输，时延小。
定义若以（n,k,m）来描述卷积码，其中k为每次输入到卷积编码器的bit数，n为每个k元组码字对应的卷积码输出n元组码字，m为编码存储度，也就是卷积编码器的k元组的级数，称m+1= K为编码约束度m称为约束长度。
卷积码将k元组输入码元编成n元组输出码元，但k和n通常很小，特别适合以串行形式进卷积码的编码器行传输，时延小。
与分组码不同，卷积码编码生成的n元组元不仅与当前输入的k元组有关，还与前面m-1个输入的k元组有关，编码过程中互相关联的码元个数为n*m。
卷积码的纠错性能随m的增加而增大，而差错率随N的增加而指数下降。
在编码器复杂性相同的情况下，卷积码的性能优于分组码。
介绍一种卷积码编码器卷积码是1955年由Elias等人提出的，是一种非常有前途的编码方法。
我们在一种卷积码编码器一些资料上可以找到关于分组码的一些介绍，分组码的实现是将编码信息分组单独进行编码，因此无论是在编码还是译码的过程中不同码组之间的码元无关。
根本区别卷积码和分组码的根本区别在于，它不是把信息序列分组后再进行单独编码，而是由连续输入的信息序列得到连续输出的已编码序列。
即进行分组编码时，其本组中的n-k个校验元仅与本组的k个信息元有关，而与其它各组信息无关；但在卷积码中，其编码器将k个信息码元编为n个码元时，这n个码元不仅与当前段的k个信息有关，而且与前面的（m－1）段信息有关（m为编码的约束长度）。
有关信息同样，在卷积码译码过程中，不仅从此时刻收到的码组中提取译码信息，而且还要卷积码编码器利用以前或以后各时刻收到的码组中提取有关信息。
而且卷积码的纠错能力随约束长度的增加而增强，差错率则随着约束长度增加而呈指数下降。
约束关系卷积码（n,k,m) 主要用来纠随机错误，它的码元与前后码元有一定的约束关系，编码复杂度可用编码约束长度m*n来表示。
卷积码
2.7.卷积码分组码是把k个信息比特的序列编成n个比特的码组，每个码组的n-k个校验位仅与本码组的k个信息位有关，而与其他码组无关。
为了达到一定的纠错能力和编码效率，分组码的码组长度一般都比较大。
编译码时必须把整个信息码组存储起来，由此产生的译码时延随n的增加而增加。
卷积码是另外一种编码方法，它也是将k个信息比特编成n个比特，但k和n通常很小，特别适合以串行形式进行传输，时延小。
与分组码不同，卷积码编码后的n个码元不仅与当前段的k个信息有关，还与前面的N-1段信息有关，编码过程中互相关联的码元个数为nN。
卷积码的纠错性能随N的增加而增大，而差错率随N的增加而指数下降。
在编码器复杂性相同的情况下，卷积码的性能优于分组码。
但卷积码没有分组码那样严密的数学分析手段，目前大多是通过计算机进行好码的搜索。
2.7.1.卷积码的结构和描述一、卷积码的一般结构卷积码编码器的形式如图所示，它包括：一个由N段组成的输入移位寄存器，每段有k个，共Nk个寄存器；一组n个模2和相加器，一个由n级组成的输出移位寄存器。
对应于每段k个比特的输入序列，输出n个比特。
由上图可以看到，n个输出比特不仅与当前的k个输入信息有关，还与前（N-1）k个信息有关。
通常将N称为约束长度，（有的书的约束长度为Nn）。
常把卷积码记为：（n，k，N），当k=1时，N-1就是寄存器的个数。
二、卷积码的描述描述卷积码的方法有两类：图解法和解析表示。
图解法包括：树图、状态图、网格图解析法包括：矩阵形式、生成多项式形式。
以如下的结构说明各种描述方法。
1、树图根据上图，我们可以得到下表：我们可以画出如下的树状图：2、 状态图3、 网格图例1， 输入为1 1 0 1 1 1 0，输出为： 11 01 01 00 01 10 014、 生成多项式表示 定义],,[1211101g g g g=，],,[2221202g g g g=则上述结构为71=g，52=g，这里用8进制表示21,g gabcd⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2101211101],,[m m m g g g c ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2102221202],,[m m m g g g c定义2212111011)(DD Dg D g g D g ++=++=2222212021)(DDg D g g D g +=++=则输入信息,...,,210b b b 的多项式为....)(332210++++=b D b D b b D M那么我们可以得到输出)()()(11D g D M D C = )()()(22D g D M D C =最终输出是)(),(21D C D C的相同次数项的排列。
第八讲卷积码解读
基本的规则：当前最优路径只能产生于上一步的最 优路径+当前一步的组合中 第一步：aa、bb幸存，ab、ba淘汰 第二步：aab、bba幸存，aaa、bbb淘汰 第三步：aaba、aabb幸存，bb法 找出下图中总量度最小的一条路径 注意第三步的结果
维特比译码
（2，1，3)卷积码译码的例子 接收码字序列1101011001101110
维特比译码
维特比译码
维特比译码
维特比译码
维特比译码
维特比译码
维特比译码
红色路径最有可能，译码输出11001111，红框内发生误码！
本讲回顾
卷积码的定义 卷积码的编码器 卷积码的表示 （n，k，N）参数的含义 树状图 网格图 状态图 要求可以根据给定的编码器给出上述各种表示方式 卷积码的距离特性 根据树状图求最小距离 根据网格图求最小自由距
本讲回顾
最大似然译码的概念 维特比译码 要求会根据网格图进行维特比译码
作业
12.1（第5、7小问不要求），12.7，12.8
卷积码的表示
状态图 由状态图计算自由距 根据梅森公式计算从a到a的转移函数
存在长度为3的支路（L的幂次为 3），码重为5（D的幂次为5）， 其它支路对应项中D的幂次大于5， 所以5就是自由距
卷积码的表示
网格图
由树状图到网格图
树状图中的状态用分行的点表示，每一层树状图中相同状态的节点 合并到网格图中的每列相同的点 树状图的每一层对应网格图中的每一级 树状图中的分支对应网格图中的连线（每一分支代表一种输入，分 支的排列按照相同的规则(例如（2，1，3）中上分支代表0输入，下 分支代表1输入）
卷积码的表示
树状图 由树状图求卷积码的最小距 卷积码也是线性码，卷积具有线性性质 类似于分组码，卷积码的最小码距也定义为非零码 字的最小码重 卷积码中的码字: – 卷积码没有分组的概念 – 约束长度隐含某种独立性，即可以考虑kN个信息 比特编码后输出的码序列，即nN个编码输出序列 – 非零码字，离开全零状态，经过约束长度个输入 后的一串编码输出
卷积码的原理
卷积码的原理1. 引言卷积码是一种用于数字通信中的误码纠正编码技术。
它利用卷积操作对输入数据进行编码，以增强数据传输的可靠性。
本文将详细介绍卷积码的基本原理，包括卷积操作、生成多项式、状态机和Viterbi解码算法。
2. 卷积操作卷积操作是卷积码编码的核心步骤。
它通过将输入序列与一个或多个权重系数序列进行点乘，生成输出序列。
具体而言，假设输入序列为x={x0,x1,...,x N−1}，权重系数序列为ℎ={ℎ0,ℎ1,...,ℎK−1}，则输出序列y={y0,y1,...,y M−1}可以通过以下公式计算得到：K−1y i=∑ℎj⋅x i−jj=0其中，M为输出序列的长度，K为权重系数序列的长度。
3. 生成多项式在卷积码中，生成多项式决定了编码器的结构和性能。
它由两个多项式组成：一个是分子多项式（记作G1），用于计算输出序列的第一个比特；另一个是分母多项式（记作G2），用于计算输出序列的其余比特。
生成多项式可以写成以下形式：G(D)=G1(D)/G2(D)其中，D表示延迟操作符。
生成多项式的选择对卷积码的性能和复杂性有重要影响。
常见的生成多项式有三种：(1, 3)、(1, 5)和(1, 7)。
它们分别对应于分子多项式为(1+D3)、(1+D2+D5)和(1+D2+D3+D4+D6)，分母多项式均为(1+D+D2)。
4. 状态机卷积码编码器可以看作是一个有限状态机。
状态机由一组状态和状态转移函数组成，用于描述编码器的内部状态变化。
在卷积码中，每个状态对应于编码器内部的寄存器值。
以(1, 3)卷积码为例，它有8个不同的状态，编号为0到7。
初始状态通常设置为0。
每个输入比特导致状态转移，并且在每个时钟周期结束时产生一个输出比特。
具体而言，根据输入比特和当前状态，可以确定下一个状态和输出比特。
这种状态转移可以用一个状态转移图来表示。
5. Viterbi解码算法Viterbi算法是一种用于卷积码解码的最优算法。
卷积码的基本原理
卷积码的基本原理卷积码的基本原理1. 引言•卷积码是一种常用于通信系统中的纠错编码技术。
•它通过引入冗余信息，可以在信道传输过程中检测出并纠正部分错误。
2. 卷积码的定义•卷积码是一种线性的、时间变化的编码方式。
•它可以将输入比特序列转换为输出比特序列，并满足一定的性质。
3. 编码过程•卷积码的编码过程可以用一个状态图表示。
•输入比特依次通过编码器的不同路径，生成输出比特序列。
4. 编码器结构•卷积码的编码器由若干个寄存器和逻辑门组成。
•每个寄存器存储一个状态，逻辑门用于生成输出比特。
5. 纠错能力•卷积码的纠错能力通过其约束长度和码距来衡量。
•约束长度表示编码器中寄存器的数量。
•码距表示卷积码能够检测和纠正的最大错误比特数量。
6. Viterbi解码算法•Viterbi解码算法是一种常用于卷积码解码的算法。
•它通过动态规划的方式寻找最可能的输入比特序列。
7. 进一步研究•卷积码是一个广泛研究的领域，有很多相关的扩展和改进算法。
•感兴趣的读者可以深入研究卷积码的不同应用和改进算法。
以上是针对“卷积码的基本原理”的简要介绍和解释。
卷积码作为一种常用的纠错编码技术，可以在信道传输过程中提高系统的可靠性。
同时，关于卷积码的编码结构、纠错能力和解码算法等方面也有很多相关的研究和应用。
对卷积码感兴趣的读者可以继续深入学习和了解。
8. 卷积码的应用•卷积码在通信领域中有着广泛的应用。
•它可以用于数字电视的信号传输，提高传输质量和可靠性。
•在无线通信系统中，卷积码可以提高信号的抗干扰能力。
•在存储系统中，卷积码也可以用于数据的纠错和恢复。
9. 卷积码的性质•卷积码具有良好的线性性质。
•通过矩阵表示可以更形象地描述卷积码的性质和特点。
•矩阵形式的表示方便进行编码和解码运算。
10. 卷积码的误码性能•误码性能是衡量卷积码性能的重要指标之一。
•通过误码率曲线可以评估卷积码在不同信噪比条件下的性能。
•在设计卷积码时，可以根据需要选择适当的编码率和约束长度，以达到所需的误码性能。
数字通信——卷积码
2
生成矩阵
半无限矩阵(根据输入序列长度而定)，与处理线性分组码同
矢量表示
用一组n个矢量来表示，每个矢量对应n个模2加法器中的一个，有 Kk维。矢量第i位上的“1”表示第i个移位寄存器与模2加法器相连。 第一、二、三个函数生成矢量分别为 g1=[100]、 g2=[101]、 g3=[111] 用八进制表示为(4,5,7) 结论： 结论：码率为k/n的卷积码，需要 用n个函数生成矢量来表示，每个 矢量是Kk维的
8.2 Convolutional codes
卷积码
将发送的信息序列通过一个线性的、有限状态的移位寄存器而产生 的码。(n,k,K) ，k-bit信息位输入，n-bit输出序列，K为约束长度。
移位寄存器
由K级(k-bit)和n个线性代数函数发生器组成； 移位方式：每次移入k位。
编码效率
输入k位信息序列，输出n位，编码效率(码率) Rc=k/n
9
引入N,J。由输入比特为“1”引发的转移， 在分支上添N，N的指数表示从a到e，输入 为“1”的个数；在每一个分支上引入J，J的 指数表示从a到e经过的分支数。
10
列状态的指数表明与全零路径分叉后首次 合并的路径长度。 因子N的指数表明该路径的输入信息序列 中“1”的个数。 因子D的指数表明该路径的编码与全零码 D 序列的距离。
7
8.2.1 卷积码的传递函数
距离特性
首先把状态图每个分支标上Di，i表示每个 分支对应的输出序列与全零序列的汉明距 离。 将a点处的自环去掉，并将a分为a,e，一表 示输入，一表示输出。
8
定义卷积码的传递函数为T(D)=Xe/Xa 解方程得：
其中
此传递函数表明：存在一 条汉明距离d=6的路径， 该路径从全零路径分出去 后又在某给定节点与全零 路径汇合。码的最小距离 为最小自由距离，写作 dfree。
第八讲——卷积码的译码
逐分支译码举例
00
• 编码符号为1时发+1， 编码符号为0时发-1 • 当接收符号为：0.8, 0.7, -0.2, -0.3, 0.5, -0.3 时，尽管第二次分支 为两个负数，但更象 分支“1”，因此判 信息序列为110
00 00 0 0 1 11
0 1 0 1 0 1 0 1
11 01 10 11
局部错误与判断门限
• 对卷积码来说，一般比较容易出现的错误都是 较小的码距，而较小码距的差错图案一般都是 集中在一些序列段中，即由一些局部错误组成。 序列译码就是要尽早发现这些局部错误，因为 过了这些局部错误之后两个序列的内容就相同 了，因此后面的斜率也是相同的。 • 局部错误在路径度量变化中的体现应是一段下 垂后继续按正确斜率上升。因此要随时调整判 断门限。
11 01 10 11
1 11 0 1
01
00 10
10
01
译码准则：对数似然度量
• log P(R|C)=logiP(ri|ci)=ilog(p(ri|ci) • 当在码树中沿正确路径行进时，对数度 量的整体趋势呈线性变化。 • 当在码树中沿完全错误（随机）路径行 进时，对数度量的整体趋势也呈线性变 化，但斜率要低于正确路径。
推广到每时刻一段
• 因此在任一时刻，只需要考虑M个状态 的残留路径的延伸即可。 • 换句话说，就是每走一步，就对到达每 一状态的路径进行比较，只记下残留路 径的有关信息（输入及度量）。 • 这样就可以保证后续序列的最大似然译 码只与当前时刻各状态的残留路径有关
费诺算法的另一些情形
• 向前试探时，如果发现度量小于当前门限，说明 比试探节点还要坏的节点度量更不可能超过门限， 因此在此节点上不必再向前试探下去，而应考虑 向回作反向试探。如果反向试探结果是也小于门 限，说明当前门限太高需要降低门限，再作向前 试探；如果反向试探结果大于门限，说明反向试 探节点度量>门限>前向试探节点，因此应考虑从 反向试探节点另一个方向衍生一个试探节点，因 此要回到反向试探节点，以便向前观察下一个最 佳节点。
卷积码PPT课件
图5-2记忆阵列中的每一存储单元都有一 条连线将数据送到线性组合器，但实际上无需 每个单元都有连接。这是因为二元域线性组合 时的系数只能选“0”或者“1”，选“0”时表示 该项在线性组合中不起作用，对应存储单元就 不需要连接到线性组合器。从图上看到，每一 个码元都是k×(L+1)个数据线性组合的结果， 需要有k×(L+1)个系数来描述组合规则，于是 每一个码字需用 n×k×(L+1)个系数才能描述 。显然，只有将这些系数归纳为矩阵才能理顺 它们的关系和便于使用。
┇
g
k 0 K 1
K 1
k 00
m
k i 0
k k g m 0L i L
K 1
=
k k g m 10 i 0 k 0
+…
k k g m 1L i L k 0
k 0 K 1
g
k 0
K 1
┇
k ( n 1) 0
┇
m
k i 0
k k g m ( n 1) L i L k 0
定义g 为基本生成矩阵，定义G 为生成矩阵
13
例5.1(续1) 二进制(3, 1, 2)卷积编码器如图5-3。如果 输入信息流是(101101011100…), 求输出码字序列。 解：对照例5.1算得的系数及式(5-3)生成子矩阵的定 义，可知本题 0 0 0 0 0 0 g g G0=[ 00 g10 g 20 ] =[1 1 1]，G1=[ 01 g11 g 21] = [0 1 1]
mi0L
1 mikL
mi1L ┇
求转置，上式写成：
T T T T T T = G0 Mi G1 Mi 1 GL Mi L
Ci Mi LGL Mi 1G1 MiG0
卷积码的原理
卷积码的基本原理引言卷积码是一种线性纠错码，广泛应用于数字通信和存储系统中。
它通过对数据进行编码，增加冗余信息，以提高数据传输的可靠性。
在接收端，卷积码通过解码算法可以检测和纠正传输过程中引入的错误。
1. 编码过程卷积码的编码过程可以看作是一个滑动窗口对输入数据进行运算的过程。
设输入序列为x[n]，输出序列为y[n]，编码器有K个输入（信息）比特和N个输出（编码）比特。
首先，将输入序列x[n]按照一个固定的时间窗口长度分组，并将分组后的每一组与一个固定的生成多项式进行卷积运算。
生成多项式由编码器的结构决定。
例如，对于一个3输入2输出（记作(3,2)）的卷积编码器，生成多项式可以表示为：G(D)=1+D2+D3。
接下来，将每一组运算结果连接起来得到输出序列y[n]。
2. 状态机在理解卷积编码原理时，需要引入状态机的概念。
状态机描述了编码器内部状态之间的转移关系。
对于一个(K,N)的卷积编码器，其状态机包含2K个状态，每个状态对应一个输出比特的编码过程。
以(3,2)卷积编码器为例，其状态机如下图所示：stateDiagram-v2[*] --> 00/0000/00 --> 01/01: 000/00 --> 10/10: 101/01 --> 11/11: 001/01 --> 00/10: 110/10 --> 00/11: 010/10 --> 11/01: 111/11 --> 10/00: 011/11 --> 01/00: 1上图中，每个状态用两个比特表示，例如00表示当前状态为0。
箭头上的数字表示输入比特，例如从00到01的箭头上标注的数字为0。
状态转移矩阵和输出矩阵根据生成多项式和状态机的关系，可以得到一个状态转移矩阵和一个输出矩阵。
这两个矩阵是描述卷积编码器行为的重要工具。
对于一个(K,N)卷积编码器，其状态转移矩阵是一个2K×K的二进制矩阵，用来描述状态之间的转移关系。
卷积码的译码
有限状态编码的最大似然译码
当编码器的状态数有限时，不同编码路 径必然会有会合的情况。例：一个信息 长度为L的编码，所有可能路径数为2L个， 而对于一个4状态码而言，任一时刻路径 只能经过4个状态，因此大量的路径（当 用状态转移来描述时）是有重合的。 由于码的马氏特性，从某一时刻开始的 后续编码只与该时刻的状态有关，而与 之前如何到达该状态无关。
分段译码与残留路径
一个长度为L的码，在时刻k分为两段，之 前的称为A，之后的称为B。最大似然序列 必存在于从k时刻的M个状态出发（或在时 刻k经过M个状态的）的M*2L-k条路径之中。 而第k时刻到达每个状态都有2k/M条A路径， 显然，从第k时刻状态S出发的最佳路径的 前半段必然是到达该状态的2k/M条A路径中 的最佳A路径。称此最佳A路径为第k时刻 状态S的残留路径。
第八讲
卷积码的译码
回顾
卷积码是对信息流进行编码的一种有记 忆分组的编码方法 记忆有很多种，典型的为线性有限记忆 和线性无限记忆 当记忆为线性时，等效于输入信息流与 冲激响应之间的卷积 可分别用FIR和IIR滤波器来描述 矩阵描述、树图描述和网格图表示
卷积码的概率译码
概率译码：结合信道符号统计特性的译 码方法 一种简单的译码方法：逐分支译码 在码树图中每向前走一步，在决定走哪 一个分支时根据该分支子码与该时刻接 收子码之间的相似程度来判断
堆栈算法的本质
存贮一组可能路径 每次只有最可能的（度量最大的）路径 可以繁衍，同时删去父路径 繁衍出的子路径与其它未繁衍的路径一 起排序 堆栈满时最坏路径被丢弃
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存在长度为3的支路（L的幂次为 3），码重为5（D的幂次为5）， 其它支路对应项中D的幂次大于5，
所以5就是自由距
卷积码的表示
? 网格图
? 由树状图到网格图
?树状图中的状态用分行的点表示，每一层树状图中相同状态的节点 合并到网格图中的每列相同的点
研究对象
? 研究对象在通信系统中的位置
消息码元
信源 格式化
信源 编码
数字输入
数字输出
信宿 格式化
信源 译码
消息码元
加密
信道 编码
比特流
解密
信道 译码
多路 复用
脉冲 调制
带通 调制
频率 扩展
同步
数字基带波形 数字频带波形
多路 分接
检测
解调 采样
频率 解扩
多址 接入
信 道
多址 接入
卷积码的概念
? 为什么要引入卷积码 ?回顾分组码 ?把k 位信息比特的序列编成 n个比特的码组，每个码 组的(n-k) 位校验码仅与本码组的k位信息有关，而与 其他码组无关 ?回顾香农信道编码定理 ?在信道容量与发送信息速率一定的条件下，增加码 长，可以使错误概率指数下降 ?由此引起的问题 ?线性分组码增加码长，必然导致编解码的延时加大 ，复杂度也随之增大，如何解决这一矛盾？
卷积码的概念
? 卷积码 ?将k位信息编成n个比特，但此n个比特不但与当前位的k 个信息有关，而且与前面(N-1) 组的信息有关。编码中 相互关联的码元为N*n 位 ?卷积码的纠错能力随着 N 的增加而增大，而差错率随着 N 的增加而成指数下降
类似输入序列与某一 特定序列的卷积
卷积码的表示
? 卷积码的参数——（n，k，N） ?N：约束长度，移位寄存器的级数（每级有 k个) ?k：信息码位的数目，是卷积码编码器的每级输入的比 特数目 ?n：k位信息码对应编码后的输出的比特数，它与 Nk 个 输入比特相关 ?码率
输入： 1100 输出： 11010100
现代通信原理
2010.9~2011.1
主要内容
? 卷积码 ?卷积码与分组码的区别与联系 ?卷积码的表示 ?卷积码的性质 ?维特比译码原理 ?基于网格图的维特比译码 为什么要采用卷积码？
卷积码可以用哪些形式进行表示？ 卷积码的距离特性如何？如何求解？
维特比译码的基本原理是什么？ 维特比译码如何实现？
?树状图的每一层对应网格图中的每一级 ?树状图中的分支对应网格图中的连线（每一分支代表一种输入，分
支的排列按照相同的规则 ( 例如（2，1，3）中上分支代表0输入，下 分支代表1输入）
卷积码的表示
? 网格图 ?网格图与状态图的对应 ?状态图对应网格图中稳态中的一节
卷积码的表示
? 网格图 ?网格图可以表征编码过程 ?根据输入的码序列确定了一条路径，这条路径上的 所有输出连接起来就是输出的码序列 ?网格图在卷积码的维特比译码中具有非常重要的作用
卷积码的表示
? 树状图 ?由树状图求卷积码的最小距 ?（2，1，3)卷积码求最小距 ?因为要离开全零状态，树状图的上半部不用考虑 ?约束长度为3，只考虑 三级即可
卷积码的表示
? 状态图 ?从树状图到状态图 ?对树状图进行精简， 去掉冗余的部分（树状 图中重复的部分） ?状态图 – 节点是编码器的状 态 – 边表示状态的转移 – 边上标注对应该转 移的输出
卷积码的表示
? 状态图 ?（2，1，3）的例子
卷积码的表示
? 状态图 ?由状态图计算自由距 ?自由距：无限长编码后序列之间的最小汉明距离（ 卷积码不分组，自由距作为卷积码纠错性能的度量更 合理） ?自由距不小于最小距 ?自由距的求解 – 全零是一个无限长的编码后序列，因此编码后的 非零序列应包含尽可能多的零，从而保证与全零 序列之间具有最小的汉明距 – 从全零出发，经历非零状态，又重新回到全零过 程中输出的1的最少的个数即为自由距
卷积码的表示
? 状态图 ?由状态图计算自由距 ?（2，1，3）卷积码为例 ?状态图变形：从 a 出发重新回到a 的所有路径
卷积码的表示
? 状态图
?由状态图计算自由距
?状态图和码距、转移次数等关联起来
– 定义转移的增益为
，其中 表示输出
序列的汉明重量， 表示输入序列的汉明重量，
L为移的支路数目
卷积码的表示
的端点为新的状态 ?分支的排列顺序相同，如上分支为输入 0，下分支为输入1
状态a
卷积码的表示
? 树状图 ?第三步：按照第二步的方法，继续画出树的第二层、第 三层…
状态b
状态c
卷积码的表示
? 树状图 ?第三步：继续
状态d
卷积码的表示
? 树状图 ? 第四步：还要再继续吗？ ?状态是有限的 – （n，k，N ）卷积码的状 态数
卷积码的表示
? 最直观的描述 ?编码器框图 ?缺点：无法进行任何数学讨论，无法给出解码方案
? 更有用的描述 ?树状图表示：遍历可能性，用于分析最小距离 ?网格图表示：用于Viterbi 解码 ?状态图与生成函数：用于分析自由距 ?半无限矩阵表示：用于类比分组码
从例子入手，从基本的树状图开始，进一步到状态图及 网格图
卷积码的表示
? 树状图 ?基本思想 ?利用树的结构表征移位过程中产生的各种序列 ?例子——（2，1，3）卷积码
卷积码的表示
? 树状图 ?第一步：假设寄存器中初始状态为全 0，给出树的根节 点
卷积码的表示
? 树状图 ?第二步：根据输入的各种变化，画出树的第一层
?输入的比特数为k，共有 种变化 ?每一种变化对应树的一个分叉，共有 个分叉 ?每输入k个比特，对应n个输入，每一分叉上标上输出的序列，分叉
– （2，1，3）卷积码的状态 数4
?只要状态及其分支都出现了， 则后边的都是重复，没有必要 再继续了
– （2，1，3）卷积码共有 4 个状态，树状图第二层即 出现了所有状态，因此画 到树状图的第三层就可以 了，此后即是重复
卷积码的表示
? 树状图 ?由树状图求卷积码的最小距 ?卷积码也是线性码，卷积具有线性性质 ?类似于分组码，卷积码的最小码距也定义为非零码 字的最小码重 ?卷积码中的码字: – 卷积码没有分组的概念 – 约束长度隐含某种独立性，即可以考虑 kN 个信息 比特编码后输出的码序列，即nN 个编码输出序列 – 非零码字，离开全零状态，经过约束长度个输入 后的一串编码输出