第八讲卷积码

研究对象
? 研究对象在通信系统中的位置
消息码元
信源 格式化
信源 编码
数字输入
数字输出
信宿 格式化
信源 译码
消息码元
加密
信道 编码
比特流
解密
信道 译码
多路 复用
脉冲 调制
带通 调制
频率 扩展
同步
数字基带波形 数字频带波形
多路 分接
检测
解调 采样
ห้องสมุดไป่ตู้
频率 解扩
多址 接入
信 道
多址 接入
卷积码的概念
? 为什么要引入卷积码 ?回顾分组码 ?把k 位信息比特的序列编成 n个比特的码组，每个码 组的(n-k) 位校验码仅与本码组的k位信息有关，而与 其他码组无关 ?回顾香农信道编码定理 ?在信道容量与发送信息速率一定的条件下，增加码 长，可以使错误概率指数下降 ?由此引起的问题 ?线性分组码增加码长，必然导致编解码的延时加大 ，复杂度也随之增大，如何解决这一矛盾？
卷积码的概念
? 卷积码 ?将k位信息编成n个比特，但此n个比特不但与当前位的k 个信息有关，而且与前面(N-1) 组的信息有关。编码中 相互关联的码元为N*n 位 ?卷积码的纠错能力随着 N 的增加而增大，而差错率随着 N 的增加而成指数下降
类似输入序列与某一 特定序列的卷积
卷积码的表示
? 卷积码的参数——（n，k，N） ?N：约束长度，移位寄存器的级数（每级有 k个) ?k：信息码位的数目，是卷积码编码器的每级输入的比 特数目 ?n：k位信息码对应编码后的输出的比特数，它与 Nk 个 输入比特相关 ?码率
输入： 1100 输出： 11010100
? 状态图 ?由状态图计算自由距 ?根据梅森公式计算从 a 到a 的转移函数
存在长度为3的支路（L的幂次为 3），码重为5（D的幂次为5）， 其它支路对应项中D的幂次大于5，
所以5就是自由距
卷积码的表示
? 网格图
? 由树状图到网格图
?树状图中的状态用分行的点表示，每一层树状图中相同状态的节点 合并到网格图中的每列相同的点
卷积码的表示
? 最直观的描述 ?编码器框图 ?缺点：无法进行任何数学讨论，无法给出解码方案
? 更有用的描述 ?树状图表示：遍历可能性，用于分析最小距离 ?网格图表示：用于Viterbi 解码 ?状态图与生成函数：用于分析自由距 ?半无限矩阵表示：用于类比分组码
从例子入手，从基本的树状图开始，进一步到状态图及 网格图
卷积码的表示
? 树状图 ?基本思想 ?利用树的结构表征移位过程中产生的各种序列 ?例子——（2，1，3）卷积码
卷积码的表示
? 树状图 ?第一步：假设寄存器中初始状态为全 0，给出树的根节 点
卷积码的表示
? 树状图 ?第二步：根据输入的各种变化，画出树的第一层
?输入的比特数为k，共有 种变化 ?每一种变化对应树的一个分叉，共有 个分叉 ?每输入k个比特，对应n个输入，每一分叉上标上输出的序列，分叉
现代通信原理
2010.9~2011.1
主要内容
? 卷积码 ?卷积码与分组码的区别与联系 ?卷积码的表示 ?卷积码的性质 ?维特比译码原理 ?基于网格图的维特比译码 为什么要采用卷积码？
卷积码可以用哪些形式进行表示？ 卷积码的距离特性如何？如何求解？
维特比译码的基本原理是什么？ 维特比译码如何实现？
卷积码的表示
? 状态图 ?（2，1，3）的例子
卷积码的表示
? 状态图 ?由状态图计算自由距 ?自由距：无限长编码后序列之间的最小汉明距离（ 卷积码不分组，自由距作为卷积码纠错性能的度量更 合理） ?自由距不小于最小距 ?自由距的求解 – 全零是一个无限长的编码后序列，因此编码后的 非零序列应包含尽可能多的零，从而保证与全零 序列之间具有最小的汉明距 – 从全零出发，经历非零状态，又重新回到全零过 程中输出的1的最少的个数即为自由距
?树状图的每一层对应网格图中的每一级 ?树状图中的分支对应网格图中的连线（每一分支代表一种输入，分
支的排列按照相同的规则 ( 例如（2，1，3）中上分支代表0输入，下 分支代表1输入）
卷积码的表示
? 网格图 ?网格图与状态图的对应 ?状态图对应网格图中稳态中的一节
卷积码的表示
? 网格图 ?网格图可以表征编码过程 ?根据输入的码序列确定了一条路径，这条路径上的 所有输出连接起来就是输出的码序列 ?网格图在卷积码的维特比译码中具有非常重要的作用
– （2，1，3）卷积码的状态 数4
?只要状态及其分支都出现了， 则后边的都是重复，没有必要 再继续了
– （2，1，3）卷积码共有 4 个状态，树状图第二层即 出现了所有状态，因此画 到树状图的第三层就可以 了，此后即是重复
卷积码的表示
? 树状图 ?由树状图求卷积码的最小距 ?卷积码也是线性码，卷积具有线性性质 ?类似于分组码，卷积码的最小码距也定义为非零码 字的最小码重 ?卷积码中的码字: – 卷积码没有分组的概念 – 约束长度隐含某种独立性，即可以考虑 kN 个信息 比特编码后输出的码序列，即nN 个编码输出序列 – 非零码字，离开全零状态，经过约束长度个输入 后的一串编码输出
的端点为新的状态 ?分支的排列顺序相同，如上分支为输入 0，下分支为输入1
状态a
卷积码的表示
? 树状图 ?第三步：按照第二步的方法，继续画出树的第二层、第 三层…
状态b
状态c
卷积码的表示
? 树状图 ?第三步：继续
状态d
卷积码的表示
? 树状图 ? 第四步：还要再继续吗？ ?状态是有限的 – （n，k，N ）卷积码的状 态数
卷积码的表示
? 树状图 ?由树状图求卷积码的最小距 ?（2，1，3)卷积码求最小距 ?因为要离开全零状态，树状图的上半部不用考虑 ?约束长度为3，只考虑 三级即可
卷积码的表示
? 状态图 ?从树状图到状态图 ?对树状图进行精简， 去掉冗余的部分（树状 图中重复的部分） ?状态图 – 节点是编码器的状 态 – 边表示状态的转移 – 边上标注对应该转 移的输出
卷积码的表示
? 状态图 ?由状态图计算自由距 ?（2，1，3）卷积码为例 ?状态图变形：从 a 出发重新回到a 的所有路径
卷积码的表示
? 状态图
?由状态图计算自由距
?状态图和码距、转移次数等关联起来
– 定义转移的增益为
，其中 表示输出
序列的汉明重量， 表示输入序列的汉明重量，
L为转移的支路数目
卷积码的表示