热力学与统计物理——第07章玻耳兹曼统计习题解ok

补充题：

对玻耳兹曼系统，试写出： 1）粒子配分函数的定义

2）N 、U 、Y 、S 与粒子配分函数的关系 3）玻耳兹曼关系

答：1）1l

l l

Z e βεω-=∑ 2）11,ln N e Z U N Z α

β-∂

==-∂

111ln ,(ln ln )N Y Z S Nk Z Z y βββ

∂∂=-=-∂∂

3）.ln M B S k =Ω

习题7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为

ln S S S

S Nk P P =-∑

式中Ps 是粒子处在量子态s 的概率，1s s

S

e e P N Z αβεβε---==, S

∑对粒子的所有量子态求和。

证：处在能量为S ε的量子态的平均粒子数为s

e

αβε--，粒子处

在量子态上的概率为1s s

S

e e P N Z αβεβε---==，故有

1ln ln S S P Z βε=--

粒子的平均能量可表示为S S S

P ε

ε=∑，从而有

11111(ln ln )(ln )

(ln )

(ln )ln S S S S

S

S S S S

S

S

S Nk Z Z Nk Z Nk Z P P Nk P Z Nk P P ββεββεβε∂

=-=+∂=+=+=-∑∑∑∑

对于满足经典极限条件的非定域系统有

11(ln ln )ln !

ln ln !

S S S

S Nk Z Z k N Nk P P k N ββ∂

=--∂=--∑

习题7.11(15分)表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。

（1）试计算在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布 （2）并求出最概然速率。 解：1）速度分布和速率分布

取μ空间体积元l x y Sdp dp ω∆=，

相格体积为2

0h ，根据玻耳兹曼分布20

l l e h αβεω--∆令22

1()2l x y p p m ε=+得动量分布是

22

1()22

x y p p x y

m

Sdp dp dN e

h

αβ

--+=

（1）[4分]

由22

1()220

x y p p m

x y S e dp dp N h αβ∞∞

--+-∞-∞=⎰⎰得 202S N e h m αβπ-= （2）

将（2）代入（1）并令x x p mv =，y y p mv =，1()

kT β=得速度分布

22

()

22x y m v v kT x y m dN N e dv dv kT

π-+= （3）[4分]

取速度空间的极坐标x y dv dv vdvd ϕ=代入上式并对ϕ积分可得速率分布

22()m

v kT m N e vdv f v dv kT

-= （4）[4分]

2）令 220m v kT

d m N

e v dv

kT -⎛⎫= ⎪⎝⎭

求得最概然速率m v 为

m v =

[3分]

平均速率是

2

2

20

1()m v kT

m v vf v dv e v dv N kT ∞

-

===

⎰⎰

方均根速率的平方：

22232012()m v kT

m kT v v f v dv e v dv N kT m ∞

-===⎰⎰

方均根速率是

s v ==

习题7.17气柱的高度为H ，截面为S ，在重力场中。试求解此气柱的内能和热容量。 解： 粒子配分函数

2222()23323003/233/25/23121()1(2)1x y z x

p p p mgz

m x y z

H

p mgz m

x mgz H mgH

Z e dxdydzdp dp dp h

S e dp e dz h S m e h mg

S m e h mg βββ

βββπββπβ-++------=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎰⎰⎰

令 3/231(2)S A m h mg π⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

有 ln ln (5/2)ln ln 1mgH

Z A e ββ-⎡⎤=-+-⎣⎦

/ln 5152121

mgH

mgH

mgH kT

Z mgHe mgH

kT e e ββββ--∂=-+=-+∂--

/0/ln 521

1

mgH Tk

mgH Tk

Z NmgH

U N NkT e NmgH U NkT e β∂=-=-∂-=+--

()()v V U C T

∂=∂略