第七章第三 万有引力定律

第七章第三节 万有引力定律 理解领悟本节在前一节得出太阳与行星间引力规律的基础上，进一步将“天上”的力与“人间”的力统一起来，得出了万有引力定律。

要了解万有引力定律得出的思路和过程，了解万有引力定律的含义，并会初步应用万有引力定律进行分析与求解。

1. 猜想Ⅰ：“天上”的力与“人间”的力可能出于同一个本源通过上节的分析，我们对于行星的运动规律可以理解了。

但是，太阳与行星间的引力使得行星不能飞离太阳；而地面上的物体，如苹果被抛出后总要落回地面，是什么力使得苹果不离开地球呢？牛顿设想：苹果不离开地球，是否也是由于地球对苹果的引力造成的?地球对苹果的引力和太阳对行星的引力是否根本就是同一种力呢？若真是这样，物体离地面越远，其受到地球的引力就应该越小。

可是地面上的物体距地面很远时，如在高山上，似乎重力没有明显地减弱，是物体离地面还不够远吗？这样的高度比起天体之间的距离来，真的不算远！再往远处设想，如果物体延伸到月球那么远，物体是否也会像月球那样围绕地球运动？地球对月球的力、地球对地面上物体的力、太阳对行星的力，也许真是同一种力！2. 验证：月—地检验假定上述猜想成立，即维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径（苹果到地心的距离）的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，前者只有后者的1/602。

根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度）也就应该是它在地面附近下落时的加速度（自由落体加速度）的1/602。

在牛顿的时代，重力加速度、月—地距离、月球的公转周期都已能较精确地测定，从而能够算出月球运动的向心加速度。

计算结果表明，月球运动的向心加速度确实等于地面重力加速度的1/602，这说明地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力，真的是同一种力！至此，“平方反比”律已经扩展到太阳与行星间、地球与月球间、地球与地面物体间。

3. 猜想Ⅱ：推广到宇宙中的一切物体牛顿在上述推断的基础上，作了更大胆的猜想：任意两个物体之间都存在着这样的引力，它与两个物体的质量成正比，与它们之间距离的二次方成反比。

只是由于一般物体的质量比天体的质量小得多，我们不易觉察。

于是，上述结论被推广到宇宙中的一切物体之间。

牛顿当时的魄力、胆识和惊人的想象力实在让我们敬佩！物理学的许多重大理论的发现，不是简单的实验结果的总结，它需要直觉和想象力、大胆的猜想和假设，再引入合理的模型，需要深刻的洞察力、严谨的数学处理和逻辑思维，常常是一个充满曲折和艰辛的过程。

4. 万有引力定律经过上述第Ⅱ步猜想，牛顿的结论是：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比，即221rm m G F 。

需要指出的是，上述结论至此还只是一种猜想，尽管这个推广是十分自然的，但仍要接受事实的直接或间接的检验。

在下一节“万有引力理论的成就”中讨论的问题表明，由此得出的结论与事实相符。

于是，它成为科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律。

5. 对万有引力定律的进一步说明关于万有引力定律，我们可从以下几方面来加深理解：① 万有引力是宇宙间的一种基本的相互作用力，万有引力定律是一个非常重要的定律，它适用于宇宙中的一切物体。

万有引力定律的发现，对物理学和天文学的发展具有深远的影响。

② 万有引力公式只适用于两质点间的引力的计算，因为对一般物体而言，“两个物体之间的距离”到底是指物体哪两部分的距离，无法确定。

实际物体当它们之间的距离远大于它们本身的尺度时，可视为质点。

对质量均匀分布的球体，也可以用此公式计算它们之间的引力，其中的距离即两球心之间的距离。

但是，对于一般物体间的万有引力，切不可用它们质心间的距离代入上式计算。

③ 求一个质点受到多个质点的万有引力时，可先用万有引力公式求出各个质点的引力，再求它们的矢量和。

④ 万有引力公式中G 的是比例系数，叫做引力常量，是自然界中少数几个最重要的物理常量之一，通常取 G=6.67×10-11N·m 2/kg 2。

6. 牛顿发现万有引力定律的思路现在，我们来回顾一下牛顿发现万有引力定律的思路。

万有引力定律的发现是按照下面的思路展开的：① 观察方法获得规律：行星运动的开普勒定律。

问题：行星运动为什么会有这样的规律？② 猜想原因：太阳对行星的引力作用。

问题：太阳对行星的引力与什么因素有关？ ③ 数学演绎得到规律：根据已知规律（开普勒行星运动定律和牛顿运动定律）推出太阳与行星间的引力遵从的规律： 2rMm F ∝。

④ 进一步猜想：地球使地面上物体下落的力，与太阳使行星运动的力、地球使月球运动的力是否出于同一原因？⑤ 猜想得到检验：月—地检验使猜想得到证实。

⑥ 更大胆地猜想：自然界任何两个物体之间是否也有这样的吸引力？⑦ 得到万有引力定律： 221r m m G F =。

7. 探索“行星运动的原因”的历史公元1世纪，古希腊哲学家柏拉图认为，匀速圆周运动是最和谐、最完美的，不需要任何外力的推动和维持。

一个半世纪以后的伽利略时代，开始用动力学理论来解释天体运动的原因。

开普勒受到英国医生吉尔伯特的影响，提出引力是来自同一发出的“磁力流”，它们像轮辐一样沿太阳旋转的方向而转动，沿切线的方向推动着行星的公转。

法国的笛卡尔则用“漩涡”来解释引力现象，提出了“以太”的流质存在。

牛顿同一时代的科学家胡克、哈雷、伦恩等关心引力问题的研究，1680年胡克给牛顿的信中提到了行星受到太阳的引力，这个引力与距离的平方成反比，但是他们无法证明在椭圆轨道下引力也遵循同样的规律。

牛顿早在1666年，也就是苹果砸到头上的日子里，牛顿就在考虑这个问题，经过20多年的探索，终于在1687年发表的《自然哲学的数学原理》一书中公布了万有引力定律。

8. 有关月—地检验的计算牛顿进行了著名的月—地检验，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力。

假设地面的重力 21RG ≈， 月球受到的引力 21r F ≈， 因为 22,,r R g a ma F mg G ===， 又因为月心到地心的距离是地球半径的60倍，即R r 60=，所以 232s /m 107.2s /m 36008.93600,36001-⨯≈===g a g a 。

月球绕地球做匀速圆周运动，向心加速度r T r a 2224πω==， 经天文观察月球绕地球运动的周期27.3s 2436003.27⨯⨯==天T ，m 104.660606⨯⨯==R r ， 所以 232622s /m 107.2s /m 104.660)3.27243600(14.34-⨯≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=a 。

两种计算结果一致，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力。

9. 不能看成质点的物体间的引力如果两个物体的距离很远，就可以忽略它们的形状和大小，把它们看成质点，直接运用万有引力公式计算它们之间的引力。

如果两个物体相距不太远，在计算它们之间的万有引力时，一般就不能把它们看成质点，而应将每一物体看成一个质点系。

物体A 包含的所有质点与物体B 包含的所有质点之间都有引力。

如图7—3所示，物体B 的各质点m 1’、m 2’、m 3’、……m k ’ 对物体A 的任一质点均有引力，所以质点m 1所受引力的总和为 ∑'=k k k r m m GF 2111（矢量和）。

物体B 的各质点m 1’、m 2’、m 3’、……m k ’ 对物体A 的其它质点m 2、m 3、m 4、……m i 均有引力，这些力的合力就是物体B 对物体A 的引力，可用下式表示：图7—3∑'=k i ikk i r m m GF ,2（矢量和）。

物体A 对物体B 的引力F ’ 与F 大小相等，方向相反。

10. 地球引力与重力重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力。

这种说法，实际上是忽略了地球自转对物体的影响，若考虑这一影响，则重力应是物体所受到的地球对它的引力的一个分力（另一分力为物体跟随地球自转所需要的向心力）。

当然，由于地球引力与物体的重力差别较小，在通常情况下可以认为两者相等。

由2)(h R Mm G g m +='得，离地h 高处重力加速度 2)(h R GM g +='， 这里M 、R 分别为地球的质量和半径。

将h 取作0，即得地面附近重力加速度 2RGM g =。

可见， 22)(h R R g g +='。

11. 引力常量的测量1798年，英国物理学家卡文迪许在实验室里利用“扭秤”，通过几个铅球之间万有引力的测量，比较准确地得出了引力常量G 的数值。

卡文迪许的“扭秤”实验装置如图7—4所示。

图中T 型框架的水平轻杆两端固定两个质量均为m的小球，竖直部分装有一个小平面镜，上端用一根石英细丝将这杆扭秤悬挂起来，每个质量为m 的小球附近各放置一个质量均为M 的大球，用一束光射入平面镜。

由于大、小球之间的引力作用，T 型框架将旋转，当引力力矩和金属丝的扭转力矩相平衡时，利用光源、平面镜、标尺测出扭转力矩，求得万有引力F ，再测出m 、M 和球心的距离r ，即可求出引力常量MmFr G 2=。

大小球之间的引力非常小，这里巧妙地改测定力为测定力矩的方法。

引力很小，但是加长水平杆的长度增加了力臂，使力矩增大，提高了测量精度。

同时又利用了平面镜反射光光点的移动的方法，精确地测定了石英丝的扭转角，从而第一次在实验室较精确地测出了引力常量。

卡文迪许的测量方法非常精巧，在以后的八、九十年间竟无人能赶超他的测量精度。

卡文迪许在实验室测出了引力常量，表明万有引力定律同样适用于地面的任意两个物体，用实验方法进一步证明了万有引力定律的普适性。

同时，引力常量的测出，使得包括计算星体质量在内的关于万有引力的定量计算成为可能。

图7—4应用链接本节知识的应用主要涉及对万有引力定律发现思路与过程的认识，对万有引力定律含义的了解，以及涉及万有引力问题的初步分析与计算。

例1 关于万有引力公式221rm m G F =，以下说法中正确的是（ ） A. 公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B. 当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C. 两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D. 公式中引力常量G 的值是牛顿规定的提示 注意万有引力公式的适用条件。

解析 万有引力公式221r m m G F =，虽然是牛顿由天体的运动规律而得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力。

当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用。