第七章第三 万有引力定律

第七章第三节 万有引力定律 理解领悟

本节在前一节得出太阳与行星间引力规律的基础上，进一步将“天上”的力与“人间”的力统一起来，得出了万有引力定律。要了解万有引力定律得出的思路和过程，了解万有引力定律的含义，并会初步应用万有引力定律进行分析与求解。

1. 猜想Ⅰ：“天上”的力与“人间”的力可能出于同一个本源

通过上节的分析，我们对于行星的运动规律可以理解了。但是，太阳与行星间的引力使得行星不能飞离太阳；而地面上的物体，如苹果被抛出后总要落回地面，是什么力使得苹果不离开地球呢？

牛顿设想：苹果不离开地球，是否也是由于地球对苹果的引力造成的?地球对苹果的引力和太阳对行星的引力是否根本就是同一种力呢？若真是这样，物体离地面越远，其受到地球的引力就应该越小。可是地面上的物体距地面很远时，如在高山上，似乎重力没有明显地减弱，是物体离地面还不够远吗？这样的高度比起天体之间的距离来，真的不算远！再往远处设想，如果物体延伸到月球那么远，物体是否也会像月球那样围绕地球运动？地球对月球的力、地球对地面上物体的力、太阳对行星的力，也许真是同一种力！

2. 验证：月—地检验

假定上述猜想成立，即维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径（苹果到地心的距离）的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，前者只有后者的1/602。根据牛顿第二定律，物体在月球轨道上运动时的加速度（月球公转的向心加速度）也就应该是它在地面附近下落时的加速度（自由落体加速度）的1/602。

在牛顿的时代，重力加速度、月—地距离、月球的公转周期都已能较精确地测定，从而能够算出月球运动的向心加速度。计算结果表明，月球运动的向心加速度确实等于地面重力加速度的1/602，这说明地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力，真的是同一种力！至此，“平方反比”律已经扩展到太阳与行星间、地球与月球间、地球与地面物体间。

3. 猜想Ⅱ：推广到宇宙中的一切物体

牛顿在上述推断的基础上，作了更大胆的猜想：任意两个物体之间都存在着这样的引力，它与两个物体的质量成正比，与它们之间距离的二次方成反比。只是由于一般物体的质量比天体的质量小得多，我们不易觉察。于是，上述结论被推广到宇宙中的一切物体之间。 牛顿当时的魄力、胆识和惊人的想象力实在让我们敬佩！物理学的许多重大理论的发现，不是简单的实验结果的总结，它需要直觉和想象力、大胆的猜想和假设，再引入合理的模型，需要深刻的洞察力、严谨的数学处理和逻辑思维，常常是一个充满曲折和艰辛的过程。

4. 万有引力定律

经过上述第Ⅱ步猜想，牛顿的结论是：

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比，即

221r

m m G F 。 需要指出的是，上述结论至此还只是一种猜想，尽管这个推广是十分自然的，但仍要接受事实的直接或间接的检验。在下一节“万有引力理论的成就”中讨论的问题表明，由此得

出的结论与事实相符。于是，它成为科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律。

5. 对万有引力定律的进一步说明

关于万有引力定律，我们可从以下几方面来加深理解：

① 万有引力是宇宙间的一种基本的相互作用力，万有引力定律是一个非常重要的定律，它适用于宇宙中的一切物体。万有引力定律的发现，对物理学和天文学的发展具有深远的影响。

② 万有引力公式只适用于两质点间的引力的计算，因为对一般物体而言，“两个物体之间的距离”到底是指物体哪两部分的距离，无法确定。实际物体当它们之间的距离远大于它们本身的尺度时，可视为质点。对质量均匀分布的球体，也可以用此公式计算它们之间的引力，其中的距离即两球心之间的距离。但是，对于一般物体间的万有引力，切不可用它们质心间的距离代入上式计算。

③ 求一个质点受到多个质点的万有引力时，可先用万有引力公式求出各个质点的引力，再求它们的矢量和。

④ 万有引力公式中G 的是比例系数，叫做引力常量，是自然界中少数几个最重要的物理常量之一，通常取 G=6.67×10-11N·m 2/kg 2。

6. 牛顿发现万有引力定律的思路

现在，我们来回顾一下牛顿发现万有引力定律的思路。万有引力定律的发现是按照下面的思路展开的：

① 观察方法获得规律：行星运动的开普勒定律。问题：行星运动为什么会有这样的规律？

② 猜想原因：太阳对行星的引力作用。问题：太阳对行星的引力与什么因素有关？ ③ 数学演绎得到规律：根据已知规律（开普勒行星运动定律和牛顿运动定律）推出太阳与行星间的引力遵从的规律： 2r

Mm F ∝。 ④ 进一步猜想：地球使地面上物体下落的力，与太阳使行星运动的力、地球使月球运动的力是否出于同一原因？

⑤ 猜想得到检验：月—地检验使猜想得到证实。

⑥ 更大胆地猜想：自然界任何两个物体之间是否也有这样的吸引力？

⑦ 得到万有引力定律： 2

21r m m G F =。

7. 探索“行星运动的原因”的历史

公元1世纪，古希腊哲学家柏拉图认为，匀速圆周运动是最和谐、最完美的，不需要任何外力的推动和维持。一个半世纪以后的伽利略时代，开始用动力学理论来解释天体运动的原因。开普勒受到英国医生吉尔伯特的影响，提出引力是来自同一发出的“磁力流”，它们像轮辐一样沿太阳旋转的方向而转动，沿切线的方向推动着行星的公转。法国的笛卡尔则用

“漩涡”来解释引力现象，提出了“以太”的流质存在。牛顿同一时代的科学家胡克、哈雷、伦恩等关心引力问题的研究，1680年胡克给牛顿的信中提到了行星受到太阳的引力，这个引力与距离的平方成反比，但是他们无法证明在椭圆轨道下引力也遵循同样的规律。牛顿早在1666年，也就是苹果砸到头上的日子里，牛顿就在考虑这个问题，经过20多年的探索，终于在1687年发表的《自然哲学的数学原理》一书中公布了万有引力定律。

8. 有关月—地检验的计算

牛顿进行了著名的月—地检验，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力。

假设地面的重力 21R

G ≈

， 月球受到的引力 21r F ≈， 因为 2

2

,,r R g a ma F mg G ===， 又因为月心到地心的距离是地球半径的60倍，即R r 60=，所以 232s /m 107.2s /m 3600

8.93600,36001-?≈===g a g a 。 月球绕地球做匀速圆周运动，向心加速度

r T r a 22

2

4πω==， 经天文观察月球绕地球运动的周期

27.3s 2436003.27??==天T ，

m 104.660606

??==R r ， 所以 232622

s /m 107.2s /m 104.660)

3.27243600(1

4.34-?≈??????=a 。 两种计算结果一致，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力。

9. 不能看成质点的物体间的引力

如果两个物体的距离很远，就可以忽略它们的形状和大小，把它们看成质点，直接运用万有引力公式计算它们之间的引力。如果两个物体相距不太远，在计算它们之间的万有引力时，一般就不能把它们看成质点，而应将每一物体看成一个质点系。物体A 包含的所有质点与物体B 包含的所有质点之间都有引力。

如图7—3所示，物体B 的各质点m 1’、m 2’、m 3’、……m k ’ 对物体A 的任一质点均有引力，所以质点m 1所受引力的总和为 ∑'=k k k r m m G

F 2111（矢量和）。 物体B 的各质点m 1’、m 2’、m 3’、……m k ’ 对物体A 的其它质点m 2、m 3、m 4、……m i 均有引力，这些力的合力就是物体B 对物体A 的引力，可用下式表示：

图7—3

∑'=k i ik

k i r m m G

F ,2（矢量和）。 物体A 对物体B 的引力F ’ 与F 大小相等，方向相反。

10. 地球引力与重力

重力是物体在地球表面附近所受到的地球对它的引力。这种说法，实际上是忽略了地球自转对物体的影响，若考虑这一影响，则重力应是物体所受到的地球对它的引力的一个分力（另一分力为物体跟随地球自转所需要的向心力）。当然，由于地球引力与物体的重力差别较小，在通常情况下可以认为两者相等。由2

)(h R Mm G g m +='得，离地h 高处重力加速度 2)

(h R GM g +='， 这里M 、R 分别为地球的质量和半径。将h 取作0，即得地面附近重力加速度 2R

GM g =。 可见， 2

2

)(h R R g g +='。 11. 引力常量的测量

1798年，英国物理学家卡文迪许在实验室里利用“扭秤”，通过几个铅球之间万有引力的测量，比较准确地得出了引力常量G 的数值。 卡文迪许的“扭秤”实验装置如图7—4所示。图中T 型框架的水平轻杆两端固定两个质量均为m

的小球，竖直部分装有一个小平面镜，上端用一根石

英细丝将这杆扭秤悬挂起来，每个质量为m 的小球附近各放置一个质量均为M 的大球，用一束光射入平面镜。

由于大、小球之间的引力作用，T 型框架将旋转，当引力力矩和金属丝的扭转力矩相平衡时，利用光源、平面镜、标尺测出扭转力矩，求得万有引力F ，再测出m 、M 和球心的距

离r ，即可求出引力常量Mm

Fr G 2

=。 大小球之间的引力非常小，这里巧妙地改测定力为测定力矩的方法。引力很小，但是加长水平杆的长度增加了力臂，使力矩增大，提高了测量精度。同时又利用了平面镜反射光光点的移动的方法，精确地测定了石英丝的扭转角，从而第一次在实验室较精确地测出了引力常量。

卡文迪许的测量方法非常精巧，在以后的八、九十年间竟无人能赶超他的测量精度。卡文迪许在实验室测出了引力常量，表明万有引力定律同样适用于地面的任意两个物体，用实验方法进一步证明了万有引力定律的普适性。同时，引力常量的测出，使得包括计算星体质量在内的关于万有引力的定量计算成为可能。

图7—4

应用链接

本节知识的应用主要涉及对万有引力定律发现思路与过程的认识，对万有引力定律含义的了解，以及涉及万有引力问题的初步分析与计算。

例1 关于万有引力公式221r

m m G F =，以下说法中正确的是（ ） A. 公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体

B. 当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大

C. 两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律

D. 公式中引力常量G 的值是牛顿规定的

提示 注意万有引力公式的适用条件。

解析 万有引力公式2

21r m m G F =，虽然是牛顿由天体的运动规律而得出的，但牛顿又将它推广到了宇宙中的任何物体，适用于计算任何两个质点间的引力。当两个物体的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用。两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律。公式中引力常量G 的值，是经过实验测定的，而不是由谁来规定的。正确选项为C 。

点悟 万有引力定律适用于宇宙中的任何物体，但万有引力公式2

21r m m G F =只适用于计算两质点间的引力和两个质量均匀分布的球体间的引力。两物体间的引力大小相等，方向相反，是一对作用力与反作用力。

例2 设想把质量为m 的物体放到地球的中心，地球的质量为M ，半径为R ，则物体与地球间的万有引力是（ ）

A. 2

R Mm G B. 无穷大 C. 0 D. 无法确定 提示 将地球看成是由无数质点组成的，各质点对放在地球中心的物体都有引力作用，可运用对称思维的方法进行分析。

解析 设地球的质量分布是均匀的，则放在地球中心的物体受到地球各部分质点的引力各向均等，合力为0。正确选项为C 。

点悟 有人会乱代万有引力公式，得出物体与地球间的万有引力F=2R Mm G

；或者根据F=2r

Mm G ，而物体放在地球的中心，r=0，故F 为无穷大。这些错误都是由于对万有引力公式的适用条件不注意引起的。

例3 地球表面的平均重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，可估计地球的平均密度为（ ）

A. RG g π43

B. G R g 243π

C. RG g

D. 2

RG g 提示 忽略地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的万有引力。球体积公式

33

4R V π=。 解析 忽略地球自转的影响，对于处于地球表面的物体，有

2R

Mm G

mg =， 又地球质量 ρπρ33

4R V M ==， 代入上式化简可得地球的平均密度为RG g πρ43=。 正确选项为A 。

点悟 测出地球的半径，由地球表面的重力加速度和引力常量，即可估算出地球的平均密度。这为我们提供了一种估测地球平均密度的方法。

例4 应用万有引力公式证明和计算：

(1) 在星体上物体做自由落体运动的加速度g 跟运动物体的质量无关，g 的值由星体质量和运动物体所处的位置所决定。

(2) 如果在离地面高度等于地球半径的高度释放一个物体，让它做自由落体运动，它开始运动的加速度是多大？

提示 不考虑物体随星体自转的影响，物体做自由落体运动的加速度是由星体对运动物体的引力产生的。

解析 (1) 设物体和星体的质量分别为m 和M ，两者相距r ，则物体所受星体的引力为 F=2

r Mm G

。 所以，自由落体加速度为 2r M G m F g ==。 可见，g 跟运动物体的质量m 无关，g 的值由星体质量M 和运动物体所处的位置（离星体球心的距离r ）所决定。

(2) 从离地面为R 处做自由落体运动的物体，开始时的加速度 441)2(022g R

M G R M G g =?=='地地

。 (g 0为地球表面的重力加速度)

点悟 要区分不同星球的重力加速度与同一星球随高度升高而重力加速度减小的问题。例如，要区分在月球轨道上的星球受到地球引力的加速度与月球表面物体的重力加速度。

例5 如图7—5所示，在半径为R 的铅球中挖出一个球形空穴，

空穴与球相切，并通过铅球的球心。在未挖去空穴前铅球质量为M 。

求挖出空穴后铅球与至铅球球心距离为d 、质量为m 的小球间的引

力。 提示 设法将铅球重新填满。 解析 设挖出空穴前铅球与小球的引力为F 1，挖出的球形实体

（质量为M/8）与小球的引力为F 2，铅球剩余部分与小球的引力为F ，则有 F 1=F ＋F 2。

图7—5

由 222128,??? ?

?-==R d Mm G F d Mm G F ， 可得挖出空穴后铅球与小球间的引力为

2222222128)287(28??? ?

?-+-=??? ??--=-=R d d R dR d GMm R d Mm G d Mm G F F F 。 点悟 本题若先求出挖出空穴后铅球剩余部分的重心，以此重心到小球的距离作为万有引力公式中的r ，便会得到21487??? ??+=R d GMm

F 的错误结论，因为公式中的r 并不是两物体重

心间的距离。

例6 一物体在地球表面时重16N ，它在以5m/s 2的加速度上升的火箭中的视重为9N ，则此时火箭离地球表面的距离为地球半径的多少倍？(g 取10m/s 2)

提示 设法求出物体所在位置的重力加速度。

解析 设物体视重为9N 时，所在位置第三重力加速度为g ’，火箭对物体的支持力F N 即等于物体的视重9N 。对物体应用牛顿第二定律，有

ma g m F ='-N ， 故2220N N N s /625m .0s /5m s /m 16

109=-?=-=-=-='a G g F a m F m ma F g 。 由 ,)

(,22h R Mm G g m R Mm G mg +='= 可得 2??

? ??+='R h R g g ， 从而火箭离地球表面的距离为 R R R g g h 31625.0101=???

? ??-=???? ??-'=。

点悟 本题涉及视重、重力加速度的概念和牛顿第二定律、万有引力定律等规律，比例关系的应用也是本题求解的一个特点。在求解万有引力的问题时，常常要用到比例关系，因为这样可将一些未知量消去，从而简化解题过程。

课本习题解读

]

1. 假设两个人的质量都是60kg ，相距1m ，则可估算他们之间的万有引力为

N 104.2N 1

601067.6722

1122--?≈??==r m G F 。

这样小的力我们是无法觉察的，所以我们通常分析物体受力时不需要考虑物体间的万有引力。

值得注意的是，两人相距1m 时不能把人看成质点，而简单套用万有引力公式。上面的计算是一种估算。

2. 根据万有引力定律，可得大、小麦哲伦云之间的引力 22

1r m m G F = N 1019.1N )

360024365100.3105(100.2100.21067.62828439

4011?≈???????????=-。 可见，天体之间的万有引力是很大的。

3. 根据万有引力定律，可得两个夸克相距1.0×10-16m 时的引力

221r m m G F =N 103.4N )100.1()101.7(1067.637-2162

3011?≈????=---。