正弦型函数的图像及其应用.doc
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
正弦函数的图像和性质
“奇变偶不变，符号看象限。”（π/2的奇数倍或偶数倍，“变”就是三角函数名的改变。）[1]符号、单调性
1
2
3
4x+ y+ x- y- sin
+，+ +，- -，+
0
1
0
-1cos+，- -，+ +，+
1 0 -1
0tαn+，+ -，+ +，+ -，+ 0+1/00
+1/0-
cot
+，-
-?i
Sin( α+2kπ)=Sinα
Sin(-α )=-Sinα
Sin( π-α )=Sinα
Sin(π/2-α )=COSα
Sinα=CoS(π/2-α )
Sin( π+α )=-Sinα
Sin(3π/2-α )=-CoSα
Sin(3π/2+α)=-CoSα
正弦函数X∈&
定义域
实数集R
值域
[-1，1](正弦函数有界性的体现)
最值和零点
1最大值：当X=2k∏+(∏/2),k∈Z时，y(max)=1
2最小值：当X=2k∏+(3∏/2),k∈Z时，y(min)=-1零值点：(kπ,0)，k∈Z
对称性
既是轴对称图形,又是中心对称图形。
1)对称轴：关于直线X=(π/2)+kπ,k∈Z对称
各常数值对函数图像的影响：
φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）
ω:决定周期（最小正周期T=2π∕∣ω|）
A:决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）
正弦型函数的图像性质
相位是正弦波在时间轴上的偏移量，决定了波形开始的时间点。当 $varphi > 0$ 时，图像向右位移；当 $varphi < 0$ 时，图像向左位移。相位的变化不会 改变波形周期和振幅，但会影响波形在时间轴上的位置。
03 正弦型函数的奇偶性
奇函数性质
奇函数性质
正弦型函数是奇函数，因为对于任意x，都有f(-x) = -f(x)。这意 味着正弦型函数的图像关于原点对称。
对称轴
正弦函数图像关于y轴对称
正弦函数$y = sin x$的图像关于y轴对称，即当$x$取正值和负值时，$y$的值相 同。
余弦函数图像关于x轴对称
余弦函数$y = cos x$的图像关于x轴对称，即当$y$取正值和负值时，$x$的值相 同。
对称中心
要点一
正弦函数图像关于点$(kpi, 0)$对 称
通过调整A、ω、φ的值，可以获 得不同振幅、周期和相位偏移的 正弦型函数。
单位圆与三角函数关系
单位圆是指在平面直角坐标系中， 以原点为圆心、半径为1的圆。
三角函数与单位圆密切相关，单 位圆上的点可以用三角函数来表
示。
在单位圆上，正弦和余弦函数的 值等于点的纵坐标和横坐标的比 值，正切函数的值等于点的纵坐
图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即当 x=0时，y达到最大或最小值。在 x>0和x<0的区间内，函数值相等。
应用实例
偶函数性质在电磁学中有广泛应用， 例如磁场分布等。
既非奇又非偶函数性质
既非奇又非偶函数
性质
正弦型函数既不是奇函数也不是 偶函数。虽然它的图像关于原点 和y轴都有对称性，但它不符合奇 偶函数的严格定义。
振幅与图像高度
正弦型函数应用
4π 向 右 平 移 个 单 位 后 得 到 y1 ＝ 3 y 与 y1 的图象重
4π π π 4π sinω x－ 3 ＋3＋2＝sinωx＋3－ 3 ω＋2，又
4π 合，则－ 3 ω＝2kπ(k∈Z)． 3 ∴ω＝－2k.又 ω＞0，k∈Z， 3 ∴当 k＝－1 时，ω 取最小值为2，故选 C. 答案 C
)．
1 π A．2， ，－ π 4 1 π C．2， ，－ π 8
ห้องสมุดไป่ตู้
A
2．已知简谐运动
π f(x)＝Asin(ωx＋ φ)|φ|＜2的部分图象如图所
示，则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为(
)．
π A．T＝6π，φ＝6 π C．T＝6，φ＝6
π B．T＝6π，φ＝3 π D．T＝6，φ＝3
4π 3 故 ＋φ＝2kπ+ 2 ，k∈Z，所以 φ＝2kπ+ 6 (k∈Z)． 3 又
π φ∈0，2 ，所以
π φ＝ . 6
故 f(x)的解析式为
π f(x)＝2sin2x＋6 .
π π π π 7π (2)因为x∈12，2，所以2x＋6∈3， 6 .
作业：1.已知函数y Asin(x ) ( A 0, 0) 在一个周期内的图象如右下，求其表达式。
2
Y
0
6
2
3
X
-2
二.典型例题
一 作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象 【例 1】►设函数 周期为 π，且
π f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－2＜φ＜0 的最小正
π f 4＝
3 . 2
教案正弦型函数的图像和性质
教案：正弦型函数的图像和性质第一章：正弦函数的定义与图像1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图像1.2 教学内容正弦函数的定义：y = sin(x)正弦函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性1.3 教学步骤1. 引入正弦函数的概念，解释正弦函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正弦函数的图像3. 分析正弦函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性1.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的正弦函数图像完成课后练习题，巩固对正弦函数图像的理解第二章：正弦函数的性质2.1 教学目标了解正弦函数的性质能够应用正弦函数的性质解决问题2.2 教学内容正弦函数的单调性：增减区间正弦函数的奇偶性：奇函数与偶函数正弦函数的周期性：周期为2π正弦函数的值域：[-1, 1]2.3 教学步骤1. 介绍正弦函数的单调性，利用图像进行解释2. 解释正弦函数的奇偶性，利用数学公式进行证明3. 强调正弦函数的周期性，引导学生理解周期为2π4. 分析正弦函数的值域，解释正弦函数的取值范围2.4 练习与作业练习判断正弦函数的单调性、奇偶性和周期性完成课后练习题，应用正弦函数的性质解决问题第三章：余弦函数的定义与图像3.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图像3.2 教学内容余弦函数的定义：y = cos(x)余弦函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性3.3 教学步骤1. 引入余弦函数的概念，解释余弦函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制余弦函数的图像3. 分析余弦函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性3.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的余弦函数图像完成课后练习题，巩固对余弦函数图像的理解第四章：正切函数的定义与图像4.1 教学目标了解正切函数的定义能够绘制正切函数的图像4.2 教学内容正切函数的定义：y = tan(x)正切函数的图像特点：周期性、振幅、相位、对称性4.3 教学步骤1. 引入正切函数的概念，解释正切函数的定义2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正切函数的图像3. 分析正切函数的图像特点，引导学生理解周期性、振幅、相位、对称性4.4 练习与作业练习绘制不同振幅和相位的正切函数图像完成课后练习题，巩固对正切函数图像的理解第五章：正弦型函数的应用5.1 教学目标了解正弦型函数的应用能够解决与正弦型函数相关的问题5.2 教学内容正弦型函数在物理、工程等领域的应用解决与正弦型函数相关的问题：如振动、波动、音乐等5.3 教学步骤1. 介绍正弦型函数在物理、工程等领域的应用实例2. 解释正弦型函数在振动、波动、音乐等方面的作用3. 示例解决与正弦型函数相关的问题，引导学生应用正弦型函数的性质和图像5.4 练习与作业练习解决与正弦型函数相关的问题完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际问题第六章：正弦型函数的积分与微分6.1 教学目标理解正弦型函数的不定积分和定积分学会计算正弦型函数的导数6.2 教学内容正弦型函数的不定积分：基本积分公式正弦型函数的定积分：利用积分公式计算面积正弦型函数的导数：求导法则6.3 教学步骤1. 介绍正弦型函数的不定积分，讲解基本积分公式2. 通过例题演示如何计算正弦型函数的定积分3. 讲解正弦型函数的导数，引导学生理解求导法则6.4 练习与作业练习计算正弦型函数的不定积分和定积分完成课后练习题，巩固对正弦型函数积分和导数的理解第七章：正弦型函数在坐标系中的应用7.1 教学目标学会在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像能够利用正弦型函数解决实际问题7.2 教学内容利用直角坐标系绘制正弦型函数的图像解决实际问题：如测量角度、计算物理振动等7.3 教学步骤1. 讲解如何在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像2. 通过实例演示如何利用正弦型函数解决实际问题7.4 练习与作业练习绘制不同类型的正弦型函数图像完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际问题第八章：正弦型函数在三角变换中的应用8.1 教学目标理解三角恒等式及其应用学会利用正弦型函数进行三角变换8.2 教学内容三角恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1 等正弦型函数的三角变换：和差化积、积化和差等8.3 教学步骤1. 讲解三角恒等式的含义和应用2. 讲解如何利用正弦型函数进行三角变换8.4 练习与作业练习运用三角恒等式进行计算完成课后练习题，巩固对正弦型函数在三角变换中应用的理解第九章：正弦型函数在工程和技术中的应用9.1 教学目标了解正弦型函数在工程和技术领域的应用学会解决与正弦型函数相关的工程问题9.2 教学内容正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用解决与正弦型函数相关的工程问题：如信号分析、电路设计等9.3 教学步骤1. 讲解正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用实例2. 示例解决与正弦型函数相关的工程问题，引导学生应用正弦型函数的性质和图像9.4 练习与作业练习解决与正弦型函数相关的工程问题完成课后练习题，应用正弦型函数解决实际工程问题第十章：总结与拓展10.1 教学目标总结正弦型函数的图像和性质的主要内容了解正弦型函数在其他领域的拓展应用10.2 教学内容总结正弦型函数的图像和性质的关键点介绍正弦型函数在其他领域的拓展应用：如地球物理学、天文学等10.3 教学步骤1. 回顾正弦型函数的图像和性质的主要内容，强调重点和难点2. 介绍正弦型函数在其他领域的拓展应用，提供相关实例10.4 练习与作业复习正弦型函数的图像和性质的主要内容，巩固所学知识完成课后练习题，探索正弦型函数在其他领域的拓展应用重点和难点解析重点环节一：正弦函数的定义与图像理解正弦函数的定义：y = sin(x)掌握正弦函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节二：正弦函数的性质掌握正弦函数的单调性：增减区间理解正弦函数的奇偶性：奇函数与偶函数认识正弦函数的周期性：周期为2π了解正弦函数的值域：[-1, 1]重点环节三：余弦函数的定义与图像理解余弦函数的定义：y = cos(x)掌握余弦函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节四：正切函数的定义与图像理解正切函数的定义：y = tan(x)掌握正切函数图像的特点：周期性、振幅、相位、对称性重点环节五：正弦型函数的应用了解正弦型函数在物理、工程等领域的应用实例学会解决与正弦型函数相关的问题：如振动、波动、音乐等重点环节六：正弦型函数的积分与微分理解正弦型函数的不定积分和定积分学会计算正弦型函数的导数重点环节七：正弦型函数在坐标系中的应用学会在直角坐标系中绘制正弦型函数的图像学会利用正弦型函数解决实际问题重点环节八：正弦型函数在三角变换中的应用理解三角恒等式及其应用学会利用正弦型函数进行三角变换重点环节九：正弦型函数在工程和技术中的应用了解正弦型函数在信号处理、电子工程等领域的应用实例学会解决与正弦型函数相关的工程问题重点环节十：总结与拓展总结正弦型函数的图像和性质的关键点了解正弦型函数在其他领域的拓展应用全文总结和概括：本教案涵盖了正弦型函数的图像和性质的各个方面，从基本定义到图像特点，再到性质和应用，每个环节都进行了深入的讲解和演示。
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦函数图像与性质
正弦函数的图像与性质是正弦函数y=sinx。
余弦函数y=cosx，正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减，余弦函数在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增，在[2kπ,π+2kπ]上单调递减等。
正弦函数在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]上单调递减，余弦函数在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增，在[2kπ,π+2kπ]上单调递减。
正弦函数关于x=π/2+2kπ轴对称，关于(kπ,0)中心对称。
正弦型函数的图像
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的几何画法是，在横轴Ox上任取一点C 为圆心，A为半径作圆，与x轴相交于两点A0和A6.以A0为始点，任意等分此圆(图1中是12等份)，设分点为Ai其中A0与A12重合。
在x轴上取OA′0=-φ/ω，然后从A′0起作A′i使A′iA′i+1=π/6ω，即周期2π/ω的1/12，过Ai与A′i分别与x轴和y轴平行的直线交于点Pi，连结Pi各点成光滑曲线，即得y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的近似图象。
正弦型函数的图象也称为正弦型曲线或称正弦波。
正弦型函数的图像与性质
往复一次所需的时间 T 2 ，称为这个
振动的周期；
2024/7/27
单位时间内往复振动的次数 f 1 ，
T 2
称为振动的频率；
x 称为相位；x=0时的相位φ称为初相。
2024/7/27
知识y回顾:
1-
y sin x x[0,2]
函数
y=Asin(x+)的图象
2024/7/27
物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数（其中A, ω, φ都 是常数）.
2024/7/27
函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中(A>0, ω >0)表 示一个振动量时，
y
2
y=2sinx
1
y=sinx
2
O
1
y=
1sinx
2 2
yx 2
1
2024/7/27
O
1
2
2 x
一、函数y=Asinx(A>0)的图象
y
y=2sinx
2
1
O
1 y= 1sinx
2
2
2 x
2024/7/27
函数y=Asinx (A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ，x∈R的值域为[-A,A]，最 大值 为A，最小值为-A.
思考：函数y 2024/7/27 f (x）与y f (x) b的图象有何关系？
正弦函数余弦函数的图像和性质
f ( x) = 3cos x = 3cos( x + 2π ) = f ( x + 2π )
所以T=2π
2、y=sin2x x ∈R 解、令z=2x，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函 数y=sinz，z∈R的T=2π，即变量z只要并且至少 要增加到z+2π，函数y=sinz，z∈R的值才能重复 取得，而z+2π=2x+2π=2（x+π） 故变量x只要并且至少要增加到x+π，函数值 x x+π 就能重复取得，所以y=sin2x，x∈R的T=π 即 f ( x) = sin 2 x = sin(2 x + 2π ) = sin 2( x + π ) = f ( x + π ) 所以T=π
例1．画出下列函数的简图 ．
（1）y= 2sinx ,x∈[0, 2π], ） ∈ π （2）y=sin2x , x∈[0,2π] ） 解: （1） 列表 ） Y 2 1 0
x y=2sinx
0 0
π
2
π 0
3π 2
2π π 0
2
-2
(2)描点作图 描点作图
y=2sinx y=sinx
π
2π
X
2、五点作图法 、
y = sin( x + ), x ∈ R 3 4
例4利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1） sin 250 （2） cos
15 π 8
o
与
sin 260o
与 cos 14 π 9
例5 求函数 y = sin( 2 x + 3 ), x ∈ [−2π , 2π ] 的单调递增区间. 解： 令
( 0 , 0 ) (π , 0 ) (2π ,0)
正弦型函数图像的变换及其应用
正弦型函数图像的变换及其应用作者：郑敬曦来源：《新教育时代·学生版》2018年第22期摘要：正弦型函数的学习是高中数学学习阶段中的一个重要的知识点，本文基于此，分析了正弦型函数图像的变换和应用，希望对大家的学习有帮助。
关键词：正弦型函数图像应用一、函数y=Asin（ωx+φ）图像的变换函数y=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ都是常数，且A>0，ω>0）是一种重要的三角函数模型，由正弦函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图像，由两种变换途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”，其变换规律是：1.先平移后伸缩（1）相位变换（平移变换）。
将函数y=sinx的图像沿x轴向左平移φ（φ>0）个单位，或向右平移丨φ丨（φ>0）个单位，得到函数y=sin（x+φ）的图像。
（2）周期变换。
将函数y=sin（ωx+φ）图像的纵坐标不变，横坐标变为原来，得到y=sin （ωx+φ）的图像。
（3）振幅变换。
将函数y=sin（ωx+φ）图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asin（ωx+φ）的图像。
2.先伸缩后平移（1）周期变换。
将函数y=sinx的图像纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sinωx的图像。
（2）相位变换（平移变换）。
将函数y=sinωx的图像向左（φ>0）或向右（φ（3）周期变换。
将函数y=sin（ωx+φ）图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=sin（ωx+φ）的图像。
二、应用1.由图像写出与之对应的函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的解析式，其中关键的确定A，ω和φ的值。
A通常由最大值和最小值确定，即最大值减最小值除以2;ω由周期确定：ω=;而φ=—ωx（这里的x是指用“五点法”作图时的起点横坐标），或者是将图像上的点的坐标代入，借助待定系数法求解。
例1 已知函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，丨φ丨分析虽然是部分图形，但也能反应出函数的特征。
教案正弦型函数的图像和性质
正弦型函数的图像和性质第一章：正弦型函数的定义与基本性质1.1 引入正弦型函数的概念解释正弦函数的定义：y = sin(x)说明正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)1.2 探究正弦函数的图像分析正弦函数在0≤x≤2π的图像特征总结正弦函数的振幅、周期、相位、对称性等基本性质1.3 引出正弦型函数的一般形式介绍正弦型函数的一般形式：y = A sin(Bx + C) + D解释各参数A、B、C、D对函数图像的影响第二章：正弦型函数的图像变换2.1 纵坐标变换：伸缩与平移分析纵坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过纵坐标变换实现图像的伸缩和平移2.2 横坐标变换：伸缩与平移分析横坐标变换对正弦型函数图像的影响探究如何通过横坐标变换实现图像的伸缩和平移2.3 综合图像变换结合纵坐标和横坐标变换，探究正弦型函数图像的综合变换方法第三章：正弦型函数的性质探究3.1 单调性分析正弦型函数的单调性：在单调增区间和单调减区间内举例说明单调性的应用3.2 奇偶性探究正弦型函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)分析奇偶性在函数图像上的表现3.3 极值与拐点求解正弦型函数的极值与拐点分析极值与拐点在函数图像上的特征第四章：正弦型函数的应用4.1 振动问题应用正弦型函数描述简谐振动：x = A sin(ωt + φ)分析振动过程中的位移、速度、加速度等物理量的变化规律4.2 波动问题应用正弦型函数描述波动：u = A sin(kx ωt + φ)分析波动过程中的波长、周期、波速等物理量的关系第五章：案例分析与拓展5.1 分析实际问题中的正弦型函数模型举例分析正弦型函数在实际问题中的应用：温度变化、电流强度等5.2 探究正弦型函数的周期性分析正弦型函数在不同周期下的图像特征探究周期性在实际问题中的应用5.3 总结与拓展总结正弦型函数的图像和性质及其应用提出拓展问题，引导学生深入研究正弦型函数的相关领域第六章：正弦型函数的积分与级数6.1 不定积分介绍正弦型函数的不定积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C讲解基本积分技巧，如分部积分法、换元积分法等6.2 定积分解释正弦型函数的定积分：∫[a, b] sin(x)dx = -cos(b) + cos(a)分析定积分的性质，如对称性、周期性等6.3 级数展开探究正弦型函数的级数展开：sin(x) = Σ(-1)^(n+1) (x^(2n+1))/(2n+1)! 讲解泰勒级数展开的概念及应用第七章：正弦型函数的三角恒等式7.1 和差化积介绍和差化积公式：sin(A ±B) = sin(A)cos(B) ±cos(A)sin(B)讲解如何利用和差化积公式简化正弦型函数的表达式7.2 积化和差讲解积化和差公式：sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B) = sin(A + B)分析积化和差公式在函数求解中的应用7.3 二倍角公式与半角公式介绍二倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A), cos(2A) = cos^2(A) sin^2(A) 讲解半角公式：sin(A/2), cos(A/2)的求解方法及应用第八章：正弦型函数的解法与应用8.1 解正弦型方程讲解如何利用正弦函数的性质解正弦型方程：sin(x) = A, cos(x) = B等分析正弦型方程的解法技巧，如相位法、图像法等8.2 正弦型函数在物理中的应用介绍正弦型函数在电磁学、波动光学等物理领域的应用分析正弦型函数在物理问题中的作用及意义第九章：正弦型函数与现代数学方法9.1 傅里叶级数介绍傅里叶级数：将周期函数展开为正弦、余弦函数的和分析傅里叶级数在信号处理、热传导等领域的应用9.2 最小二乘法讲解最小二乘法在正弦型函数拟合中的应用举例说明最小二乘法在实际问题中的作用及意义第十章：总结与拓展10.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性10.2 提出拓展问题与研究建议针对正弦型函数的图像与性质提出拓展问题，引导学生深入研究鼓励学生探索正弦型函数在其他领域中的应用，如机器学习、生物信息学等第十一章：正弦型函数的数值方法11.1 数值解法概述介绍数值解法在求解正弦型函数相关问题中的应用讲解数值解法的基本概念和分类11.2 数值积分探究数值积分方法：梯形法则、辛普森法则等分析数值积分在正弦型函数应用中的实例11.3 数值微分介绍数值微分方法：中心差分法、向前差分法等讲解数值微分在正弦型函数应用中的实例第十二章：正弦型函数的编程实践12.1 编程基础介绍编程语言的选择（如Python、MATLAB等）讲解编程基本语法和数据结构12.2 正弦型函数的图像绘制展示如何使用编程语言绘制正弦型函数的图像分析图像绘制过程中的关键参数和技巧12.3 正弦型函数的数值计算讲解如何使用编程语言进行正弦型函数的数值计算分析数值计算过程中的误差和稳定性问题第十三章：正弦型函数在工程中的应用13.1 信号处理介绍正弦型函数在信号处理领域的应用：调制、解调等分析正弦型函数在信号处理中的优势和局限性13.2 机械振动探究正弦型函数在机械振动分析中的应用讲解振动系统的周期性、对称性等特性第十四章：正弦型函数在现代科学研究中的应用14.1 量子力学介绍正弦型函数在量子力学中的应用：波函数、能级等分析正弦型函数在量子力学中的基本作用14.2 天体物理探究正弦型函数在天体物理中的应用：星体运动、引力波等讲解正弦型函数在天体物理中的关键作用第十五章：总结与展望15.1 总结正弦型函数的图像与性质回顾本教程中正弦型函数的图像变换、性质探究、应用等方面的重要知识点强调正弦型函数在数学及自然科学领域中的重要性15.2 展望正弦型函数的发展趋势分析正弦型函数在科技、工程等领域的前景和挑战鼓励学生继续探究正弦型函数的奥秘，为相关领域的发展做出贡献重点和难点解析本文主要介绍了正弦型函数的图像和性质，涵盖了正弦型函数的定义、图像变换、性质探究、应用、积分与级数、三角恒等式、解法与现代数学方法、数值方法、编程实践、工程应用以及现代科学研究等领域。
正弦函数的图像和性质
； /redianticai/ 热点概念股 ；
招呼.至于陈三六,和白狼马の女人们,孩子们就暂时没有放出来了,要不然の话挤の慌.不过大家把酒言欢,过了壹会尔就提到了根汉要出去独闯の事情,壹听说根汉过段时间就要离开这里又要去独闯了,白萱有些不高兴了."小姨,要不你跟着根汉哥哥出去壹起闯荡吧."瑶瑶建议道："你们 都这么久不见了,现在又要分开,太残忍了.""没什么,以后不是有你们陪伴嘛,他也不能总陪着咱,再说了,咱这么大人了要人陪干吗."白萱虽然壹开始有些不高兴,但是还是欣然接受.根汉也想说,要不和白萱还有钟薇壹起去吧,也算是对她们の弥补了.不过白萱和钟薇都表示,让自己独自 壹人离开,带上她们也不太方便,那闯荡也就没什么意义了,她们也习惯在这无心峰の宁静生活了.现在再出去打拼反而不美,不如就呆在这里好好体验生活,感悟天道,或许可以早壹日突破桎梏.对此根汉也只能是表示,罢了,就让她们呆在这里吧.这壹次自己出去独闯,也不知道要面对多少 艰难险阻,她们呆在这无心峰也挺好の,起码挺安全の.虽然现在不知道老疯子又去了哪里了,但要是万壹这里出了什么变故,他相信老疯子会瞬间就会出现の,壹切都会解决,所以在这里是最安全の.不过根汉也不想现在就离开,好久没见到白萱和钟薇了,现在也不想马上就离去,他表示起 码在这里呆上三年,在情域和无心峰这壹带转壹转再走.几天之后,根汉终于是来到了旁边の壹座侧峰.这里半山腰处,有壹个山洞,洞府口贴上了几张符纸,还是壹座封印结界."咱说蓝霞妹子,这么多年过去了,你还记着咱呢."根汉站在洞口,有些无奈の苦笑.这封印结界明显是刚刚不久前 才弄出来の,显然是蓝霞仙子,不乐意待见自己,故意将这里给封上の.里面没有传来回馈,不过这样の封印结界,却完全挡不住根汉.根汉壹步便迈进了封印结界之中,然后下壹秒,他就知道自己又闯
正弦型函数的图像性质
正弦型函数y 正弦型函数 =Asin(ωx + ϕ)的图象和性质 的图象和性质
2、A的作用：研究 y=Asinx 与 y=sinx 图象的关系 、 的作用 的作用： 1 先观察y=2sinx、y= sinx与y=sinx的图象间的关系 先观察 、 与 的图象间的关系
y 2 1 0 -1 -2 π 2π x
3π -1
0
正弦型函数y 正弦型函数 =Asin(ωx + ϕ)的图象和性质 的图象和性质
的作用： 1、ω的作用：研究 y=sinωx与y=sinx 图象的关系 、 的作用 与
1 先观察y=sin2x、y=sin x与y=sinx的图象间的关系 先观察 、 与 的图象间的关系 2 y
1 0 -1 π 2π 3π 4π x
A的作用：使正弦函数相应的函数值发生变化。 的作用：使正弦函数相应的函数值发生变化。 的作用 y=Asinx（ A≠1)的图象是由 的图象是由y=sinx的图象沿 轴 的图象沿y轴 y=Asinx（A>0, A≠1)的图象是由 的图象沿 方向伸长 当A>1时 压缩（ 0<A<1时)A倍而成 倍而成. 方向伸长 (当A>1时)或压缩（当0<A<1时)A倍而成.
1 先观察y=sin2x、y=sin x与y=sinx的图象间的关系 先观察 、 与 的图象间的关系 2 y
1 0 -1 π 2π 3π 4π x
作y=sin
1 x的图象 的图象 2
1 x 2
1、列表 、
π
2
2、描点 、
3 π 2
3、连线 、
2π 4π 0
0 0
π 2π 0
x sin
1 x 2
π 1
正弦函数的图像
目录
• 正弦函数的定义与性质 • 正弦函数的图像绘制 • 正弦函数的应用 • 正弦函数与其他函数的对比 • 正弦函数的扩展
01
正弦函数的定义与性质
定义
总结词
正弦函数是三角函数的一种，定义为 直角三角形中锐角的对边长度与斜边 长度的比值。
详细描述
正弦函数通常表示为sin(x)，其中x是角 度（以弧度为单位）。在直角三角形中， 锐角的对边长度为y，斜边长度为r，则 正弦函数的定义为y/r。
工程中的应用
机械工程
在机械振动和稳定性分析 中，正弦函数用于模拟和 预测结构的振动和稳定性。
航空航天
在航空航天领域，正弦函 数用于计算飞行器的姿态 角、角速度等参数。
电子工程
在信号处理和通信中，正 弦函数用于调制和解调信 号，实现信息的传输和接 收。
数学其他领域中的应用
三角恒等式
01
正弦函数与其他三角函数（余弦、正切等）之间存在许多重要
总结词
描述正弦函数积化和差公式的应用和意义。
详细描述
正弦函数的积化和差公式是三角函数中另一个重要的公式，它描述了正弦函数乘积与和差之间的关系。通过这个 公式，我们可以将两个正弦函数的乘积转化为一个正弦函数和另一个正弦函数之和或差的乘积，从而进一步简化 计算。
正弦函数的倍角公式
总结词
描述正弦函数倍角公式的应用和意义。
相位
相位决定了正弦函数图像在x轴上的位置，通过调 整相位参数，可以改变图像起始点的位置。
03
正弦函数的应用
物理中的应用
振动和波动
正弦函数是描述简谐振动和波动的基本函数，如弹簧振荡器、声 波等。
交流电
正弦函数用于描述交流电的电压和电流，广泛应用于电力系统和 电子设备。
正弦函数的图像ppt课件
信号处理
在信号处理领域，正弦函数常被用 于信号的滤波、调制和解调等操作。
机械工程
在机械振动和噪音控制中，正弦函 数被用于描述和分析振动模式和频 率。
在日常生活中的应用
音乐
正弦函数在音乐领域的应 用非常广泛，如音高和音 长的计算等。
通信
无线电和电视信号的传输 过程中，正弦函数用于调 制和解调信号。
医学成像
正弦函数的周期性
总结词
正弦函数具有周期性，即函数图像每 隔一定周期重复出现。
详细描述
正弦函数的周期为360度或2π弧度，这 意味着每经过360度或2π弧度，函数值 会重复之前的值，形成周期性的波形。
正弦函数的奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，具有奇函数的性质。
详细描述
奇函数满足性质f(-x)=-f(x)，对于正弦函数，当取相反角度时，函数值也取相反 数。例如，sin(-π/2) = -1，与sin(π/2)的值相反。
03
正弦函数的应用
在物理中的应用
01
02
03
简谐振动
正弦函数是描述简谐振动 的基本函数，如弹簧振荡 器、单摆等。
交流电
正弦函数被广泛用于描述 交流电的电压、电流和频 率，是电力系统的基本模 型。
声学
声音的传播和波动可以用 正弦函数来描述，如声波 的振幅和频率。
在工程中的应用
控制系统
正弦函数在控制系统分析中有着 广泛应用，如PID控制器等。
03
奇偶性
正弦函数是奇函数，而正切函数是奇函数。这意味着它们在对称性上有
相同的表现。
与其他三角函数的比较
定义域
除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有其他一些三角函数，如反正弦函数、反余弦 函数、反正切函数等。它们的定义域各不相同，但都与正弦函数、余弦函数和正切函数的 定义域有交集。
正弦函数的图像
正弦曲线
y
1 o -1 2π x
观察周期：
2π
观察最值：
最大值为1， 最小值为-1.
y = sin x 五点法作出 y =2 sin x 在一个周期内的图像
x y
观察周期： 2π
π/2 0 π 3π/2 2π x
0 0
π/2 2
y 2
π 0
3π/2 -2
2π 0
观察最值： 最大值为2， 最小值为-2.
正弦三角函数的图像及其变形
正弦交流电的瞬时值表达式：
e = E m sin(ωt + φ)
基本正弦函数的形式： y = sin x
五点法作出 y = sin x 在区间 [ 0, 2π ]上的图像 x y 0 0 π/2 1
y
π 0
3π/2 -1
2π 0
1 π/2 0 -1 π 3π/2 2π x
一个周期内的图像
y
1
周期
2π
最值
一个周期内的起点 原点( 0 , 0 )
o
-1
π/2
π
3π/2
x
2π
最大值为1， 最小值为-1.
y = 2 sin x
-2
o
π
π/2
3π/2 2π
2π
最大值为2， 最小值为-2.
原点( 0 , 0 )
y 1
y = sin 2x
π/2
o -1
1
π/4
π
x
π
最大值为1， 原点( 0 , 0 ) 最小值为-1.
y = sin (x+ π/2)
π -π/2
3π/2
o
正弦函数及其图像变换
周期变换
周期缩短：正弦函数的图像 在周期内进行平移，使得图 像的周期缩短。
周期延长：正弦函数的图像 在周期内进行平移，使得图 像的周期延长。
周期变换规律：正弦函数的 图像变换遵循一定的规律，
即周期变换规律。
周期变换的应用：周期变换 在信号处理、振动分析等领
域有着广泛的应用。
相位变换
相位变换的概念：通过改变正弦函数的相位，使其在时间上移动。
信号处理：正弦函数在信号处理领 域中用于滤波、调制和解调等操作， 提高信号质量和通信效率。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
交流电：正弦函数用于描述交流电 的电压和电流，广泛应用于电力传 输和分配。
物理实验：在物理实验中，正弦函 数常用于测量、分析和建模各种物 理现象，如光干涉、衍射等。
在工程学中的应用
正添加弦副函标数题 及其图像 变换
汇报人：XX
目录
PART One
正弦函数的性质
PART Two
正弦函数的图像 变换
PART Three
正弦函数的应用
PART Four
正弦函数的扩展弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，其中x是角度，y是正弦值。
正弦函数的周期为360度，即每隔360度重复一次。
正弦函数的图像是一个周期性变化的波形，最高点为1，最低点为-1。 正弦函数的表达式可以表示为y=Asin(ωx+φ)，其中A是振幅，ω是角频 率，φ是初相。
周期性和振幅
正弦函数的周期性：正弦函数在一定周期内呈现规律性的变化，其周期为2π。 正弦函数的振幅：振幅是正弦函数图像在垂直方向上的最大或最小值，表示函数值的波动幅度。
三角函数的积化和差公式
(完整版)正弦型函数图像及性质
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
定义域 xR
5 6 x
(1) 值域 [ －1, 1 ]
x π 2kπ(k Z ) 时，取最大值1； 2
x π 2kπ(k Z ) 时，取最小值－1； 2
周期的概念
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零 常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都 有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期 函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
21-
o
π 2
π
3π
2π
2
x
1- y sin x，x [0，2 π]
x
xx
π 2
2kπ,k Z时，ymax 2 (sin x)max 2 1 3,
x
xxπ 2
2kπ,k Z时，ymin
2 (sin x)min
2 1 1.
T 2π.
例 3 不通过求值，比较下列各对函数值的大小：
可以画出图像？
画 正
y
y=sinx ( x [02, ] )
弦 函 数
1
●● ●
●
●
●
7 4 3 5 11
6 3 2 3 6 2
●
0
2 5 ●
●
x
的
6 32 3 6
●
●
图
-1
● ●●
●
像
比例一致 光滑曲线
请同学们指出图像中的关键的五个点。
y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1题图
由y=/lsin (uzr+(p)的部分图像确定其解析式；函数的值.
・・•其中/、3两点、的纵坐标分别为2、-2, ・••设/、3的横坐标之差为R,则\AB\= 7t/1 2+(-2-2)2 =5,解之得店3, 由此可得函数的周期P=6,得一^=6,解之得co= —.
co 3
TT 5TT
函数/ (x)的解析式为/ (x) =2sin ( —x ------------ ),
3 6
兀5兀71
可得/( T)=2sin ( ----------- 1 --- ) =2sin — = 2.故答案为2.
3 6 2
兀
2.如图所示为函数f (x) =2sin(cux+e)(e>0,亍£卩£兀)的部分图像’其中凶3|=5.
1 求函数在力3段的单调递减区间；
2若x日一3, 0］时，求力，3段的最值及相应x的值.
的距离为5,那么/(-I)=
O
-2-
YRN1
【分
析】
【考点】
【答案】2
第2题图CQN42
【考点】由Esin (亦+卩)的部分图像确定其解析式；止弦函数的单调性.
1、A ( X］,尹］)、B (兀2，尹2 人
则必一力=4，・・・凶创
=5,
…、 •，兀 5兀、 I 兀一兀 5兀一 3兀 小 一八
=2sin ( —x+—),由一W —兀+— W —,得一
• •/ (x) 1 WxW2,
•••函数在M 段的单调递减区间为［―1, 2］； ,、
兀 5兀 兀 5兀 .，兀 5兀、
「 n
(2) xe[-3, 0]=> -x+—e[一一, 一], 2sin (—兀 +—) e[-l, 2],
7T 5兀 7［ 当x=—3时，/(x)取得最小值一1；当一x+ — =—,即x=—1时，/(x)取得最大值2. 小值为h (/) =M {— m f 9则函数力(/)的值域为 _________________ 【考点】正弦函数的单调性；疋弦函数的图像.
■ /y _ 【答案】\亠，近
2
【分析】•・7'(x) =sin —x,
2
2兀 1
•••其周期T=—=4，区间［血什1］的长度为一几
乂f (x)在区间⑴什1］上的最大值为最小值为加「
3 6 2 3 6 2
3 6 6 6 3
6
1 2T C W 71
|=— T=3, .e . T= — =6, 解得 co=—,
3
6
2
・・・函数力⑺的值域为［1 ——, V2］.故答案为［1 ——, V2］.
4'2
（1） 求函数f （X ）的最大值和最小值，并写出X 为何值时取得最值；
TT TT
（2） 若不等式1/（%） -67|<2,对一切XW 寸冷 恒成立，求实数G 的取值范围.
【测量目标】（1）数学基本知识利基本技能/理解或掌握有关函数的基本知识.
（2）数学基本知识和基本技能/有关函数的基本知识.
【考点】三角函数化简求值；函数恒成立问题. 【试题分析】解：/3 52x"cos2“2sm （2诗；
7U 兀
4f 2
TT
7T
当 X 盲时,f(x)min =/(—)=1; 当兀嗨时'/OOmax = f (詈)=2・
所以。
的取值范围为（0,3）.
5. 己知函数 f （x ） =2A /3 cos 2x —2sin 2 （ — —x ）—羽
4
（1） 求f （x ）的单调递增区间；
TT
（2） 求函数/（x ）在区间［0,―］上的最人值.
6
【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学小有关两数与分析的基 本知识.
（2）数学基木知识和基木技能/理解或学握初等数学中冇关函数与分析的基木知识.
【考点】（1）两角和少差的正弦函数；正弦函数的单调性.
（2）两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；三角函数的最值.
【试题分析】(1) /(x) =y/3 (l+cos2x) —[1 —cos ( — —2x) ]— A /3
2
=V3 cos2x4-sin2x — l=2sin (2x+— ) — 1,
3
由 2kn--^2x+-^2k^-,
2 3
2
得增区间为[A 兀 --- —], k^Tj.
12 12
“、 71 71 71 271 (2) Vxe[0, -], .-.2x+-e[-,——],
6 3
3
3
(2)由一2</(x) -。
<2 得
a > /(%) ~2 a v
/(x) +2
兀 JT 71
所以,当2x+亍右，「时，心的最大值为1.
6. 已知函数 f (x) =sin —cos — 4- V3 cos 2 —.
(1) 将/ (x)写成/sin (ex+卩)+力(J>0)的形式，并求其图像对称中心的横坐标; (Q
(2) 若函数/&)的定义域为0 -,求函数f (x)的值域.
\ 3丿
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性.
/、、
“ 、
1 . 2x V3 (. 2x) . (2x 兀)>/3
2
3
3 )
(33 丿 2
即对称小心的横处标为兰二兀山w Z.
2 “、.1孑 孑兀兀 2x 兀孑5兀 (2) • • — W cos x < 1,0 < xW —，一 < 1— W — 9
2
3 3 3
3 9
综上所述,
7T
7. 关于函数/(x)=4sin(2x+-)(xeR),有下列命题： ①由/(X } ) =/( x 2 ) = 0可得X]-兀2必是兀的整数倍; 兀 ®y=f (X )的表达式可改写为尹=4cos(2x -—)；
6
TT
®y=f ⑴的图像关于点(—,0)对称；
6
7T
®y=f(x)的图像关于直线尸——对称；
6
其屮正确的命题的序号是 __________ .(把你认为正确的命题序号都填上)
,・ 2x 71
II] sin ——+ —
I 3 3
丿
=kjt(k G Z )得兀=
3—1 2
Ti.k eZ
71
]• W1, /• V3 < sin
(2x 71
一 + —
5二 <血兰+斗
3 3)
,/(X )的值域为(巧,1
即/(%)的值域为(V3J +
TT? 71 【答案】②③【分析】函数/⑴=4sin(2x+ —)的最小正周期T=—=兀，
3
T 71
由相邻两个零点的横坐标间的距离是一=—知①错•利用诱导公式得
2 2
/(x)=4cos[— -(2x+ —)] =4cos( — - 2x)= 4cos(2x -—),知②正确.
2 3 6 6
7T
因为曲线/⑴与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x = ------- 代入得/(x)=4sin0=0,
6
7T
因此点(--,0)是/(X )图像的一个对称中心，故命题③正确.
6
TT
曲线/(X )的对称轴必经过图像的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x = ---------- 时 尸0,点
6
7T
TT
(―,0)不是最高点也不是最低点，故直线x =-—不是图像的对称轴，因此命题④不正确.
6 6 因此，本题正确答案是②③.
【考点】函数尸念祜(69兀+ 0)图像及其应用.
&己知两数f (x)=sin (COX +(P )(^>0,0^ ^<71)为偶函数，其图像上相邻的两个最高点ZI'可
TT TT TT 1 S 71
的距离为 27i. (1)求/(x)的解析式;(2)若 aW ( ---------- ,—), j (6Z H —),求 sin(2dz4 -------------- )
3 2 3 3 3
的值.
【解】(1)・・・图像上相邻的两个最高点之间的距离为271, .*.7=271,则T=—M 得Q=l.
CO
则 /(x)=cosx.
7T 1
71 71 (2)由已知得cos(a+ —) = — ,
(一一,一), 3 3
3 2
・・・ Sins + 竺)rnS 互)一
2smS+Z)cos@+Z)-矩 3 3
3 3 9
【考点】函数尸4sin(0x + 0)图像及其应用.
•••/Xx)=sin (x+0 )•
•.*/⑴是偶函数，・•・0 = £兀+
z
• •
(p
71
则 sin(a + -) = ^.
兀 a+— G (0, 3。