两角和与差正弦,余弦,正切公式试题(含答案)1

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两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

其中假命题是（）A。

①②B。

②③C。

③④D。

②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。

1+2B。

2-1C。

2D。

2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。

最大值为1，最小值为-1B。

最大值为1，最小值为-1/2C。

最大值为2，最小值为-2D。

最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。

1/2B。

2/2C。

-2D。

±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。

56/65B。

-56/65C。

6565/56D。

-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。

3/4B。

3/8C。

1/8D。

1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。

其中为相同函数的是（）A。

f(x)与g(x)B。

g(x)与h(x)C。

h(x)与f(x)D。

f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。

π/3B。

π/4C。

π/5D。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

4
13
4
5
所以 cos(3＋)＝－12，sin( －)＝－4 .
4
13
4
5
所以sin(α+β)= －cos[ ＋（＋）]＝－cos[(3＋)－( －)]＝
2
4
4
－[cos(3＋)cos( －)＋sin(3＋)sin( －)]＝[(－12) 3＋ 5 (－4)]＝56 .
4
4
4
4
13 5 13 5 65
2α与
cos 2β的值.
【思路导引】由2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),利用两角和与
差的余弦公式求解.
【解题策略】给值求值的方法
(1)直接法:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式.
(2)逆用公式:通过提取一个常数,逆用公式求值,一般地asin α+bcos α=
5
13
所以cos α= 4,sin β= , 12
5
13
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
＝3 (－ 5 )－4 12＝－63 . 5 13 5 13 65
角度2 逆用公式求值
【典例】求值: 3sin ＋cos .
12 12
【思路导引】提取常数,逆用两角和的正弦公式求解.
答案:-2
类型二给值求角问题(数学运算)
【典例】已知sin α= 5 ,sin β= 10 ,且α和β均为钝角,求α+β的值.
5
10
四步内容
理解题意
条件:(1)sin α= 5 ,sin β= 10 ,
5

两角和与差的正弦余弦正切公式(精选.)

两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．(重点)2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(难点)3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题.cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.【答案】0教材整理2两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究”以下内容，完成下列问题．1．公式2.重要结论－辅助角公式y＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θsin θ(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．()(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()解：(1)√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理3两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．()(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．()(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．()解：(1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )．(3)√.当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．【答案】 (1)√ (2)× (3)√[小组合作型]灵活应用和、差角公式化简三角函数式(1)(2016·济宁高一检测) sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32(2)化简求值： ①1＋tan 75°1－tan 75°； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)；③(2016·遵义四中期末)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°.(1)化简求值应注意公式的逆用．(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．解：(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝sin （17°＋30°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17° ＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.【答案】 C(2)①原式＝tan 45°＋tan 75°1－tan 45°tan 75°＝tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3. ∴原式＝－ 3. ②设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0. ∴原式＝0.③原式＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3tan 20°·tan 40°＝ 3. ∴原式＝ 3.1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tanβ，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示出或求出第三个．2．化简过程中注意“1”与“tan π4”、“3”与“tan π3”、“12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化．[再练一题] 1．化简求值：(1)cos 61°cos 16°＋sin 61°sin 16°； (2)sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°； (3)1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°. 解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝22. (2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.(3)原式＝1＋tan 12°tan 72°tan 12°－tan 72°＝－1tan （72°－12°）＝－33.给值求值(2016·普宁高一检测)已知π4<α<3π4，0<β<π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝513，求sin(α＋β)的值. 【导学号：00680069】可先考虑拆角，π＋α＋β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α，然后再利用sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)求值．解：因为π4<α<34π，所以π2<π4＋α<π.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝45. 又因为0<β<π4，34π<34π＋β<π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫34π＋β＝－1213，所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β＝－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π4＋β ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝6365.1．本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析出已知角和待求角的关系．如本题中巧用β＝(α＋β)－α这一关系．2．常见角的变换为(1)2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α； (2)α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫α2－β， α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α2＋β；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4＋β＝π2＋(α＋β)； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－β＝π2＋(α－β)． [再练一题]2．已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)．解：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π，3π2， cos α＝－45，所以sin α＝－35.因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，tan β＝－13，所以cos β＝－31010，sin β＝1010. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010＝31010. 给值求角已知sin α＝55，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋β的值．sin α，sin β→求cos α，cos β→求cos （α＋β）→ 确定α＋β的范围→求α＋β的值解：∵sin α＝55，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝25 5.又sin β＝1010，β为锐角， ∴cos β＝1－sin 2β＝31010.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22.又α，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， ∴0<α＋β<π，因此α＋β＝π4.1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．[再练一题]3．若把本例题的条件改为“α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210”，试求角α的大小．解：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)，由cos(α－β)＝35，知sin(α－β)＝45. 由sin β＝－210，知cos β＝7210. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＝22. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴α＝π4.[探究共研型]辅助角公式的应用探究1 函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈Z )的最大值为2对吗？为什么？【提示】不对．因为sin x ＋cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22 cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4. 所以函数的最大值为 2.探究2 函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？【提示】因为y ＝3sin x ＋4cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫35sin x ＋45cos x ，令cos φ＝35，sin φ＝45，则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)，所以函数y 的最大值为5.探究3 如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式．【提示】 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫a a 2＋b2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba 确定，或由sin φ＝b a 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定)．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.可先用公式S α±β将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)形式再求最大值对应的x 值．解：函数为y ＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x cos π3－cos x sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π3，当0≤x <2π时，－π3≤x －π3<5π3，所以当y 取得最大值时，x －π3＝π2，所以x ＝5π6. 【答案】 5π61．对于形如sin α±cos α，3sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．[再练一题]4．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2，2]B ．[]－3，3C ．[－1，1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32解：f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6 ＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]．故选B ．【答案】 B[构建·体系]1．(2016·清远期末)化简：sin 21°cos 81°－cos 21°·sin 81°等于( )A ．12 B ．－12 C ．32D ．－32解：原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D ．【答案】 D2．已知α是锐角，sin α＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( )A ．－210 B ．210 C ．－25D ．25解：因为α是锐角，sin α＝35，所以cos α＝45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝22×45－22×35＝210.故选B ．【答案】 B3．函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A ．π2 B ．π C ．2πD ．4π解：y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4，所以T ＝2π. 【答案】 C4．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________．解：3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1. 【答案】 15．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. 解：∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0， ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.学业分层测评[学业达标]一、选择题1．若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解：(1＋tan α)(1＋tan β) ＝1＋(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β ＝1＋tan π4·(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2. 【答案】 C2．cos α－3sin α化简的结果可以是( )A ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αB ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αC ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α D ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α 解：cos α－3sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos αcos π3－sin αsin π3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π3. 【答案】 B3．(2016·北京高一检测)在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A ．255B ．－255C ．55D ．－55解：因为cos B ＝1010且0<B <π，所以sin B ＝31010又A ＝π4，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin π4cos B ＋cos π4sin B ＝22×1010＋22×31010＝255. 【答案】 A4．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝( ) A ．－210 B ．210 C ．－7210D ．7210解：因为sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，所以cos α＝45，故cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋5π4＝cos αcos 5π4－sin αsin 5π4＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－35×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝－210.【答案】 A5．若sin α＝35，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( )A ．43B ．－43C ．7D ．17解：由sin α＝35，且α是第二象限角，可得cos α＝－45，则tan α＝－34，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7. 【答案】 C 二、填空题6．计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________.解：原式＝tan 45°－tan 15°3（1＋tan 45°·tan 15°）＝13tan(45°－15°)＝13. 【答案】 137．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.解：由题意得sin αcos β＋cos αsin β＝15，①sin αcos β－cos αsin β＝35，② ①＋②得sin αcos β＝25，③ ①－②得cos αsin β＝－15，④ ③÷④得tan αtan β＝－2.【答案】－2 三、解答题8．设方程 12x 2－πx －12π＝0的两根分别为α，β，求cos αcos β－3sin αcos β－3cos αsin β－sin αsin β的值．解：由题意知α＋β＝π12，故原式＝cos(α＋β)－3sin(α＋β)＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6－（α＋β）＝2sin π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－π6＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin π4cos π6－cos π4sin π6 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32－22×12＝6－22.9.如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.图3－1－1(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）tan β＝－3＋121－（－3）×12＝－1，又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2， ∴α＋2β＝3π4.[能力提升]1．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)的值为( )A ．2 3B ． 3C ．1D ．0解：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3x ＋π3－π3＝2sin π3x ，因为周期为6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0 ，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝0.【答案】 D2．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．解：因为π2<β<α<3π4，所以π<α＋β<3π2，0<α－β<π4. 所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.word. 所以cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β）＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45. 则sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665.最新文件仅供参考已改成word 文本。

2022人教版高中数学必修四课后提升作业二十六 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)

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课后提升作业二十六两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2021·全国卷Ⅰ)sin20°cos10°-cos160°sin10°= ( )A.-√32B.√32C.-12D.12【解析】选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12.2.化简cos(x+y)siny-sin(x+y)cosy等于( )A.sin(x+2y)B.-sin(x+2y)C.sinxD.-sinx【解析】选D.cos(x+y)siny-sin(x+y)cosy=sin[y-(x+y)]=-sinx.3.(2022·大连高一检测)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于( )A.-12B.12C.-√32D.√32【解析】选B.sin163°sin223°+sin253°sin313°=sin(90°+73°)sin(270°-47°)+sin(180°+73°)sin(360°-47°) =cos73°(-cos47°)-sin73°(-sin47°)=-(cos73°cos47°-sin73°sin 47°)=-cos(73°+47°)=-cos120°=12.4.(2022·杭州高一检测)已知α,β都是锐角,若sinα=√55,sinβ=√1010,则α+β等于( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D.-π4和-3π4【解题指南】先求cos(α+β)的值及α+β的范围再确定α+β的值.【解析】选A.由α,β都为锐角,所以cosα=√1−sin2α=2√55,cosβ=√1−sin2β=3√1010.所以cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ=√22,所以α+β=π4.【补偿训练】若cos(α-β)=√55,cos2α=√1010,并且α,β均为锐角且α<β,则α+β的值为( )A.π6B.π4C.3π4D.56π【解析】选C.由于α,β均为锐角,且α<β,所以-π2<α-β<0,所以sin(α-β)=-2√55,又0<2α<π,故sin2α=3√1010,所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2α·cos(α-β)+sin2α·sin(α-β)=√1010×√55+3√1010×(−2√55)=-√22. 由于α+β∈(0,π),所以α+β=34π.5.若函数f(x)=(1+√3tanx)cosx,0≤x<π2,则f(x)的最大值为 ( )A.1B.2C.1+√3D.2+√3 【解题指南】先逆用两角和的正弦公式化简函数式,再求最值. 【解析】选B.f(x)=cosx+√3sinx=2(sin π6cosx +cos π6·sinx)=2sin (x +π6),又0≤x<π2,则π6≤x+π6<2π3.所以当x+π6=π2时,f(x)有最大值2.6.(2022·兰州高一检测)若sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=0,则 sin(α+2β)+sin(α-2β)等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 【解析】选C.由于sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β =sin(α+β-β)=sin α=0, 所以sin(α+2β)+sin(α-2β) =2sin αcos2β=0.7.(2022·浏阳高一检测)已知sin α=13,cos(α+β)=-1,则sin(2α+β)= ( )A.-13B.13C.-23D.23【解析】选A.由于cos(α+β)=-1,则sin(α+β)=0, 所以sin(2α+β)=sin(α+α+β) =sin αcos(α+β)+cos αsin(α+β)=13×(-1)+0=-13.8.在△ABC 中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC 的外形肯定是 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形【解析】选C.在△ABC 中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 所以2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,所以A-B=0,A=B, 从而△ABC 是等腰三角形.【补偿训练】在△ABC 中,若tanC=√3,且sinAcosB=cos(120°-B)sinB,则△ABC 的外形是 ( )A.等腰三角形B.等腰但非直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选D.由于tanC=√3,0°<C<180°, 所以C=60°,所以120°-B=A. 由于sinAcosB=cos(120°-B)sinB,所以sinAcosB=cosAsinB, sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0, 又-180°<A-B<180°, 所以A-B=0°,所以A=B. 所以△ABC 是等边三角形.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2022·烟台高一检测)已知sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=35,β是第三象限角,则sin (β+5π4)= .【解析】依题意可将已知条件变形为 sin[(α-β)-α]=-sin β=35,sin β=-35.所以sin (β+5π4)=sin βcos 5π4+cos βsin 5π4=(−35)×(−√22)+(−45)×(−√22)=3√210+4√210=7√210. 答案:7√21010.在△ABC 中,3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1,则C 的大小为 . 【解题指南】依据题意,把已知的两等式两边平方后,左右相加,然后利用同角三角函数间的基本关系、两角和的正弦公式及诱导公式化简后即可得到cosC 的值,利用特殊角的三角函数值及角C 的范围即可求出C 的度数. 【解析】由于3sinA-4sinB=6,4cosB+3cosA=1, 两式平方相加,可得9+16+24cos(A+B)=37, 所以cos(A+B)=12.由于A+B+C=π,所以cos(A+B)=-cosC, 则cosC=-12,又由于0°<C<180°,故C=120°.答案:120° 三、解答题11.(10分)已知函数f(x)=Asin (x +π3),x ∈R,且f (5π12)=3√22.(1)求A 的值.(2)若f(θ)-f(-θ)=√3,θ∈(0,π2),求f (π6−θ).【解析】(1)由f (5π12)=Asin (5π12+π3)=Asin 3π4=A √22=3√22,可得A=3.(2)f(θ)-f(-θ)=√3,则3sin (θ+π3)-3sin (π3−θ)=√3, 3(12sinθ+√32cosθ)-3(√32cosθ−12sinθ)=√3,sin θ=√33.由于θ∈(0,π2),所以cos θ=√63,f (π6−θ)=3sin (π6−θ+π3)=3sin (π2−θ)=3cos θ=√6.【补偿训练】已知,0<α<π2<β<π,cos (β−π4)=13,sin(α+β)=45.(1)求sin2β的值. (2)求cos (α+π4)的值.【解析】(1)由于cos (β−π4)=cos π4cos β+sin π4sin β=√22cos β+√22sin β=13,所以cos β+sin β=√23,所以1+sin2β=29,所以sin2β=-79.(2)由于0<α<π2<β<π, 所以π4<β-π4<3π4,π2<α+β<3π2,所以sin (β−π4)>0,cos(α+β)<0. 由于cos (β−π4)=13,sin(α+β)=45, 所以sin (β−π4)=2√23,cos(α+β)=-35,所以cos (α+π4)=cos [α+β−(β−π4)] =cos(α+β)cos (β−π4)+sin(α+β)sin (β−π4)=-35×13+45×2√23=8√2−315.关闭Word文档返回原板块。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)

sinαcosβ+ cosαsinβ cosαcosβ- sinαsinβ
分子分母同时除以cos cos 当cos cos 0时，
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1- tanαtanβ
记：T( + )
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1- tanαtanβ
三、公式应用
3 例 1. 已知sin , 是第四象限角 , 5 求 sin , cos , tan 4 4 4 的值.
在本题中 sin cos , , 4 4 那么对任意角 , 此等式成立吗？若成立你能否证明？
a b 2 sin( ) . 2
2 2
思考3：根据两角和的正切公式，
tanα＋tanβ可变形为什么？ tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) 思考4：在△ABC中，tanA，tanB，tanC三者有什么关系？ tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cos cos sin sin 2 2
sin cos cos sin
用代
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( ) sin( ) sin cos cos sin
(1)tanα+ tanβ 答案:
tan(α-β)+ tanβ (2) 1- tan(α-β)tanβ
(2)tanα
3、求值： (1) tan71 - tan26
o o
1+ tan71o tan26o

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)

两角和差的正弦余弦正切公式练习题知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 s ｉn （α±β)=s ｉn_αcos ＿β±cos_αsin ＿β. cos(α∓β)=ｃos_αc ｏs_β±sin_αsin_β． t ａn(α±β）=错误!．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 s ｉn 2α=2ｓin_αcos_α.cos 2α=cos 2α－ｓｉｎ２α＝2ｃｏs ２α-1=1-２ｓin 2α．ｔa ｎ 2α＝错误!. 3.有关公式的逆用、变形等（1）ta ｎ α±tan β＝t ａn(α±β)（1∓ta ｎ_αt ａn_β). (2)co ｓ2α＝＼f(1＋cos 2α,2),sin 2α=错误!．(３)１+sin 2α＝（si ｎ α+ｃo ｓ α)2,1－ｓin 2α＝(ｓｉｎ α－cos α）2,sin α±co ｓ α＝＼r(2）sin 错误!.4.函数f （α）＝a sin α+ｂｃｏs α(a ，b 为常数),可以化为f （α）＝a 2＋b 2s ｉn(α＋φ),其中t ａn φ＝＼f(b,a ) 一、选择题1.给出如下四个命题ﻩﻩ①对于任意的实数α和β,等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立;②存在实数α,β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ;④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-; 其中假命题是 ﻩ( )A ．①②ﻩB.②③ Ｃ．③④ﻩD.②③④2.函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是ﻩﻩ( )A ．21+ﻩB ．12-ﻩC ．2ﻩD ． 2 ３．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的ﻩﻩ( ） A.最大值为１,最小值为-1ﻩB ．最大值为１,最小值为21-C ．最大值为２,最小值为－２D ．最大值为2,最小值为－14．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值ﻩﻩ( ） A.21 B ．22 Ｃ.22-D.22±５.已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则（）A.6556ﻩB ．-6556ﻩＣ．5665 Ｄ.－5665 6． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于ﻩﻩ( ） A ．43 B ．83ﻩＣ．81 Ｄ.417．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是ﻩﻩ（）A.)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与Ｃ.)()(x f x h 与ﻩD.)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 ( ) A.3πB.4πﻩC.π65ﻩＤ．π45 9.设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根,则p 、q 之间的关系是( ）A.p ＋q ＋1=０ B ．p-q ＋1＝0ﻩC.p+q-1=0 D ．p-q-1＝０ 10.已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ )A.412--a a ﻩB.-412--a a ﻩC.214a a --± D ．412--±a a11.在△ABC 中,90C >,则B A tan tan ⋅与1的关系为ﻩ（）A.1tan tan >+B A ﻩB ．1tan tan <⋅B A Ｃ．1tan tan =⋅B A Ｄ．不能确定１2. 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是ﻩ（ )Ａ．41Ｂ．23ﻩC.21Ｄ．43二、填空题(每小题4分，共16分,将答案填在横线上)13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14.在△ＡＢC 中，33tan tan tan =++C B A ,C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.１5．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . １6.若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—2１题每题12分，２2题14分） 17.化简求值:)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18.已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根,求)2tan(αβ-的值.１9．求证:yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20.已知α,β∈（0,π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.2１．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足:A+C=2Ｂ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值. 两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1.Ｃ 2．A ３．D 4.D 5.B 6.C ７.C 8.B 9.B １０．D １1．B 12．A二、1３.m 14.3π１５．32-- 16.]214,214[- 三、1７．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-.18.)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ,12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====ﻩ3275tan )2tan(+==- αβ．１9．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右．２0．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21.左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22.由题设B=6０°,A ＋C=1２0°,设2CA -=α知A=60°+α, Ｃ=６０°－α,22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA 故222cos =-C A .。

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.的值为_____．【答案】【解析】【考点】1.两角和的余弦公式；2.特殊角的三角函数值.2.计算 = ．【答案】【解析】．【考点】两角差的正弦公式．3.；【答案】.【解析】把原式提取即，然后利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简得原式．【考点】两角和与差的正弦函数．4.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．(1)求；(2)若=,的面积为,求,．【答案】(1) ；(2)【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。

因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。

用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。

(2)由三角形面积可得。

再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。

解 (1)由=sin cos及正弦定理得sin sin+cos sin-sin=0,由sin≠0,所以sin（+）=,又0<<π,+故=．(2)△ABC的面积=sin=,故=4．由余弦定理知2=2+2-2cos,得代入=,=4解得,故【考点】1正弦定理；2三角形面积公式；3余弦定理。

5.设的值等于____________.【答案】【解析】由题可知.【考点】两角差的正切公式.6.已知，为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）,; （2）,.【解析】（1）由同角间的基本关系式与的范围可得；（2）由两角和的正弦和倍角的正切公式展开可得.试题解析：解：（1），为第三象限角，； 3分； 6分由（1）得， 9分． 12分【考点】同角间的基本关系，两角和的正弦，倍角公式的正切公式.7.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.（1）求A；（2）设，为的面积，求+的最大值，并指出此时B的值.【答案】（1）（2）当时，+取得最大值3.【解析】（1）由结合条件，易求得可求出A的值；（2）由，由正弦定理，得出代入+化简可知时取得最大值3.试题解析：（1）由余弦定理，得，又∵，∴A=. （5分）（2）由（1）得,又由正弦定理及，得，∴+=，∴当时，+取得最大值3. （13分）【考点】主要考查正弦定理，余弦定理，两角和的余弦公式.8.已知向量，，且（1）求及（2）若-的最小值是，求的值。

(完整版)两角和与差的正弦余弦正切公式

两角和与差的正弦余弦正切公式教学目标1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活运用．（重点)2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．（难点）3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、易错点)［基础·初探］教材整理1 两角和与差的余弦公式阅读教材P128“思考”以下至“探究"以上内容,完成下列问题。

cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于________．【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos（75°＋15°)＝cos 90°＝0.【答案】0教材整理2 两角和与差的正弦公式阅读教材P128“探究"以下内容，完成下列问题．1．公式2.重要结论－辅助角公式y＝a sin x＋b cos x＝错误!sin（x＋θ)(a，b不同时为0）,其中cos θ＝错误!，sin θ＝错误!．判断(正确的打“√”，错误的打“×”）(1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．（）（2）存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ）(3）对于任意α,β∈R，sin（α＋β）＝sin α＋sin β都不成立．（）(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°。

( ）解：(1）√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°,β＝0°时，sin（α－β）＝sin α－sin β.（3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β）＝sin α＋sin β成立．(4）√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．【答案】(1)√(2)√（3）×(4)√教材整理3两角和与差的正切公式阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×")（1)存在α,β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ）（2）对任意α，β∈R，tan（α＋β）＝错误!都成立．( )（3）tan(α＋β）＝错误!等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )解:（1)√。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1) $cos(\alpha-\beta): cos(\alpha-\beta)=cos\alphacos\beta+sin\alpha sin\beta$2) $cos(\alpha+\beta): cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta$3) $sin(\alpha+\beta): sin(\alpha+\beta)=sin\alphacos\beta+cos\alpha sin\beta$4) $sin(\alpha-\beta): sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta$5) $tan(\alpha+\beta):tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta}$6) $tan(\alpha-\beta): tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}$2.二倍角的正弦、余弦、正切公式1) $sin2\alpha: sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$2) $cos2\alpha: cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha$3) $tan2\alpha: tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$3.常用的公式变形1) $tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha\pm tan\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}$2) $cos2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}$，$sin2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2}$3) $1+sin2\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)^2$，$1-sin2\alpha=(sin\alpha-cos\alpha)^2$，$\sin\alpha+\cos\alpha=2\sin\frac{\alpha+\beta}{4}$基础题必做1.若$tan\alpha=3$，则$\frac{sin2\alpha}{2sin\alphacos\alpha}$的值等于$2tan\alpha=2\times3=6$。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式基础知识归纳1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．常用的公式变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.基础题必做1．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选Dsin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )A ．－22B.22C.32D ．1解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22. 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )A ．－53 B ．－19C.19D.53解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－19.4．(教材习题改编)若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－1－cos 2α＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－72105．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25，即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－37.答案：－37解题方法归纳1.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．三角函数公式的应用典题导入[例1] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665.解题方法归纳两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.(2) 已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7 解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45. ∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75 (2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入[例2] 已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. ∵α为第二象限角，∴sin α＝223. ∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.解题方法归纳运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1) 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.45 B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435，即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45. (2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2角的变换典题导入[例3] (1) 若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2) 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． [自主解答] (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝17250. [答案] (1)43 (2)17250解题方法归纳1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧： α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α；α＝π4－⎝⎛⎭⎫π4－α.以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322D.16解析：选C tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322.1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.2．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 3．已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.14 B ．－14C.12D ．－12解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝14.4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为( )A ．1，πB ．2，π C.2，2πD.3，2π解析：选B 由题意得f ′(x )＝3x 2＋b ， f ′(1)＝3＋b ＝4，b ＝1. 所以g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，故函数的最大值为2，最小正周期为π. 5．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin ()α＋β＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525 解析：选A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53解析：选A 将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 7．满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.解析：由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝⎛⎭⎫4π5－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.答案：7π158．化简2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12sin 2αcos 2α ＝cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝12. 答案：129．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223 ＝3＋8215.答案：3＋821510．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝12，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值．解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－14＝43，且sin αcos α＝12，即cos α＝2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝55，cos α＝255. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×255＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 11．已知：0<α<π2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π， ∴π4<β<－π4<34π，π2<α＋β<3π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4>0，cos (α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin (α＋β)＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，cos (α＋β)＝－35. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos (α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315. 12．函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值．解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π. (2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105，则⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22＝⎝⎛⎭⎫21052，即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45，故tan α＝sin αcos α＝34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝⎛⎭⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为( ) A ．1B.110 C ．1或110 D ．1或10解析：选C tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝⎛⎭⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝⎛⎭⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 2．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：123．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425，又∵2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725，又∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝255 ×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525.1．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.(1)求f (x )的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)令f (x )＝0，得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0，所以sin x ＝0或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝5π6. 综上，函数f (x )的零点为5π6，π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3. 所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3；当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32. 2．已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值；解：∵0<β<π2<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β ＝ 1－⎝⎛⎭⎫232＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－192＝459. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.。

高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析

高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知0<α<π，sin 2α＝sin α，则tan＝________.【答案】－2－【解析】由sin 2α＝sinα，可得2sin αcos α＝sin α，又0<α<π，所以cos α＝.故sin α＝，tan α＝.所以tan＝＝＝－2－.2.函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵sin(+x)cos(-x)=cosx(cos cosx+sin sinx)=cos2x+sinxcosx=(1+cos2x)+sin2x=+cos2x+sin2x=+(cos2x+sin2x)=+sin(2x+)∴函数y=sin(+x)cos(-x)的最大值为3.在中，.(1)求的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化.由正弦定理得：，.（2）由（1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角. 由，得，由同角三角函数关系，可得，再由二倍角公式得到，，因此=.试题解析：（1）因为 ,（2）=所以 ,【考点】正余弦定理, 同角三角函数关系, 二倍角公式4.已知，，则．【答案】3【解析】因为，所以【考点】两角和的正切公式5.已知，，则．【答案】3【解析】因为，所以【考点】两角和的正切公式6.已知向量，，，函数.（1）求函数的表达式；（2）求的值；（3）若，，求的值.【答案】(1) (2) (3)【解析】(1)利用两向量内积的坐标计算公式(两向量的横纵坐标对应相乘再相加)即可得到的函数解析式.(2)由(1)可得的函数解析式,把带入函数即可得到的值.(3)把等式带入,利用诱导公式(奇变偶不变符号看象限)化简等式即可得到的值,正余弦的关系即可求出的值,再把带入函数即可得到,再利用和差角和倍角公式展开并把的值带入即可得到的值.试题解析：（1）∵，，，∴，即函数. （3分）（2）（6分）（3）∵，又，∴，即. （7分）∵，∴. （8分）∴，（9分）. （10分）∴（11分）. （12分）【考点】正余弦和差角与倍角公式诱导公式内积公式7.若sinα＝，sinβ＝，且α、β为锐角，则α＋β的值为__________．【答案】【解析】(解法1)依题意有cosα＝＝，cosβ＝＝，∴cos(α＋β)＝＞0.∵α、β都是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，∴α＋β＝.(解法2)∵α、β都是锐角，且sinα＝＜，sinβ＝＜，∴ 0＜α，β＜，0＜α＋β＜，∴cosα＝＝，cosβ＝＝，sin(α＋β)＝.∴α＋β＝.8.已知0＜β＜＜α＜π，cos(－α)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．【答案】【解析】∵＜α＜，∴－＜－α＜－，∴－＜－α＜0.又cos(－α)＝，∴ sin(－α)＝－.∵ 0＜β＜，∴＜＋β＜π.又sin(＋β)＝，∴ cos(＋β)＝－.∴sin(α＋β)＝－cos ＝－cos[(＋β)－(－α)]＝－cos cos－sin(＋β)·sin＝9.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．【答案】【解析】∵ α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0.∴＝1＋tan2(α－β)＝.∴ cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴ cosα＝.∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝10.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－(x)＝，【解析】f(x)＝sin(x－φ)，则fmax依题意sin θ－2cos θ＝，即sin θ＝＋2cos θ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得(cos θ＋2)2＝0.∴cos θ＝－.11.如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.(1)求·＋S的最大值；(2)若CB∥OP，求sin的值．【答案】（1）＋1（2）【解析】(1)由已知，得A(1,0)，B(0,1)，P(cos θ，sin θ)，因为四边形OAQP是平行四边形，所以＝＋＝(1,0)＋(cos θ，sin θ)＝(1＋cos θ，sin θ)．所以·＝1＋cos θ.又平行四边形OAQP的面积为S＝||·| |sin θ＝sin θ，所以·＋S＝1＋cos θ＋sin θ＝sin ＋1.又0<θ<π，所以当θ＝时，·＋S的最大值为＋1.(2)由题意，知＝(2,1)，＝(cos θ，sin θ)，因为CB∥OP，所以cos θ＝2sin θ.又0<θ<π，cos2θ＋sin2θ＝1，解得sin θ＝，cos θ＝，所以sin2 θ＝2sin θcos θ＝，cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝.所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝×－×＝.12.若α，β∈(0，π)，cos α＝－，tan β＝－，则α＋2β＝________.【答案】【解析】由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－，tan β＝－，所以tan 2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.13.求证：(1)(2)【答案】证明见解析．【解析】三角恒等式的证明也遵循从繁化简的原则，当然三角函数还有函数名称的转化与角的转化．(1)本题从左向右变化，首先把左边分子用两角差的正弦公式展开，就能证明，当然也可从右向左转化(切化弦)，；(2)这个证明要求我们善于联想，首先左边的和怎么求？能否变为两数的差(利用裂项相消的思想方法)？这个想法实际上在第(1)小题已经为我们做了，只要乘以(因为每个分母上的两角的差都是)，每个分式都化为两数的差，而且恰好能够前后项相消．试题解析：证明：（1） 3分6分（2）由（1）得（） 8分可得10分12分即. 14分【考点】两角差的正弦公式，同角三角函数关系．14.若对∀a∈(－∞，0)，∃θ∈R，使asin θ≤a成立，则cos的值为 ()．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵asin θ≤a⇔a(sin θ－1)≤0，依题意，得∀a∈(－∞，0)，有asin θ≤a.∴sin θ－1≥0，则sin θ≥1.又－1≤sin θ≤1，因此sin θ＝1，cos θ＝0.故cos＝sin θsin＋cos θcos＝.15.已知向量，，函数（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）在中，设角，的对边分别为，若，且，求角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由向量数量积的定义只需将其化为一个角的三角函数就能求出的最大值.（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果和正弦定理：,又 ,所以，，由以上两式即可解出,.试题解析：（Ⅰ） 2分4分（注：也可以化为）所以的最大值为． 6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）（Ⅱ）因为，由（1）和正弦定理，得． 7分又，所以，即， 9分而是三角形的内角，所以，故，， 11分所以，，． 12分【考点】1.正弦定理；2、两角和与差的在角函数公式、倍角公式；3、三角函数的性质.16.已知是方程的两根，则=_______.【答案】1【解析】本题考查两角和的正切公式，，而与可由韦达定理得．【考点】韦达定理与两角和的正切公式．17.在中，角的对边分别为，已知：，且．（Ⅰ）若，求边；（Ⅱ）若，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先由条件用和差公式化简，再根据三角形内角范围得到角.再由得到角，最后由正弦定理得到；（Ⅱ）先由余弦定理及条件得到，又因为，从而可知为直角三角形，其中角为直角.又，所以.既而得到三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）由已知，所以，故，解得. (4分)由，且，得.由，即，解得. (7分)（Ⅱ）因为，所以，解得. (10分)由此得，故为直角三角形.其面积. (12分)【考点】1.两角和差公式；2.正弦定理；3.余弦定理.18.设向量，，其中，若，则.【答案】【解析】两边平方化简得，，又，是单位向量，所以即，又，所以.【考点】三角函数、平面向量.19.如图,在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点,作扇形的内接矩形,使点在上,点在上,设矩形的面积为.(Ⅰ) 按下列要求写出函数关系式：①设,将表示成的函数关系式；②设,将表示成的函数关系式.(Ⅱ) 请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,求的最大值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）①要用表示矩形的面积，关键是把用表示，在中可表示出，在中可表示出，即得；②在中，可用表示和，在在中可用即表示出，即得；（Ⅱ）对（Ⅰ）中函数，是常见的函数或三角函数问题，较为容易解答，求出其最大值.试题解析：(Ⅰ) ①因为,所以,又,所以 2分故() 4分②当时, ,则,又,所以6分故() 8分(Ⅱ)由②得= 12分故当时,取得最大值为 15分【考点】函数的应用、三角函数.20.设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且.(1)求角的值；(2)若，求（其中）.【答案】(1) ；(2) .【解析】(1) 利用两角和与差的正弦公式展开化简得，又为锐角，所以；(2)由可得，即，然后利用余弦定理得的另一个关系，从而解出.试题解析：(1)因为，所以，又为锐角，所以.(2)由可得①由（1）知，所以②由余弦定理知，将及①代入，得③③+②×2，得，所以因此，是一元二次方程的两个根.解此方程并由知.【考点】两角和与差的正弦定理、平面向量的数量积、余弦定理.21.，，则的值为( ）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以，则.【考点】两角和与差的正余弦公式.22.设是方程的两个根，则的值为A．-3B．-1C．1D．3【答案】A【解析】因为是方程的两个根，所以由二次方程根与系数的关系可以得到，所以【考点】本题主要考查二次方程的根与系数的关系，以及两角和的正切公式。

高一两角和与差的余弦、正弦、正切公式知识点+例题+练习含答案

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ . 答案 2解析原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos (90°－50°)cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ . 答案 34解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17. 4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案 22 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为．答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35， ∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425， ∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ . (2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是．答案 (1)－75(2) 3 解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45. ∴原式＝－75. (2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－231－(－3)2＝ 3. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ . (2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是．答案 (1)35(2)－1 解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝925. 又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35. (2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1. 题型二三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ . 答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为．答案 (1)π4(2)3 解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3.题型三角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是．答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案 539解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ . 易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误． (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为．答案 54π 解析因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 322解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35，所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝ . 答案－255解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝2， tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23＝(3－2)(23－1)(23－1)(23＋1)＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝±3.15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域．解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8[sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，5π12，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8∈[－1，2]，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式Word版含答案

两角和与差的正弦、余弦和正切公式【课前回顾】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【课前快练】1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A. 3．(2017·山东高考)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析：选D ∵cos x ＝34，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝18.4．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α5．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75考点一三角函数公式的直接应用三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【典型例题】1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A.210B ．－210 C.7210D ．－7210解析：选A ∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112解析：选A 因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为______．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.答案：－4＋3310考点二三角函数公式的逆用与变形用1．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的2类变式 (1)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (2)倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 考法(一) 三角函数公式的逆用 1.sin 10°1－3tan 10°＝________. 解析：sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14.答案：142．在△ABC 中，若tan A tan B ＝ tan A ＋tan B ＋1, 则cos C ＝________.解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.答案：223．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－45考法(二) 三角函数公式的变形用 4．化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－15．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三角的变换与名的变换1．迁移要准(1)看到角的范围及余弦值想到正弦值；看到β，α＋β，α想到凑角β＝(α＋β)－α，代入公式求值．(2)看到两个角的正切值想到两角和与差的正切公式；看到α＋β，β，α－β想到凑角．2．思路要明(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．3．思想要有转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．【典型例题】1．(2018·南充模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝________.解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，所以α＋β∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314，则sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. 答案：322．已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan(α－β)的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝25－131＋25×13＝117，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝117－131＋117×13＝－726.答案：－726【针对训练】1．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫255＋55＝31010. 答案：310102．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. 【课后演练】1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( ) A ．－33B.32C.233D ．2 3解析：选B 由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32. 3．(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429解析：选A 因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.4．(2018·衡水调研)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.5．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选Bsin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.6．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65B ．1C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2018·贵州适应性考试)已知α是第三象限角，且cos(α＋π)＝45，则tan 2α＝________.解析：由cos(α＋π)＝－cos α＝45，得cos α＝－45，又α是第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2479．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________. 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33 ＝－1. 答案：－110．(2018·石家庄质检)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝________. 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝53，所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π3＝－23×12＋53×32＝15－26. 答案：15－2611．(2018·陕西高三教学质量检测)已知角α的终边过点P (4，－3)，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210解析：选B 由于角α的终边过点P (4，－3)，则cos α＝442＋(－3)2＝45，sin α＝－342＋(－3)2＝－35，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－⎝⎛⎭⎫－35×22＝7210. 12．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225 B.2425 C ．－2425D ．－1225解析：选B 因为α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425. 13．(2018·广东肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117D ．－1731解析：选D 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. 14．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3. 答案：π315．(2018·安徽两校阶段性测试)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516. 答案：151616．(2018·广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250. 17．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π2<α－β<π2. 又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. 18.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3 ＝－12×12－⎝⎛⎭⎫－32×32＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。

(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题

两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1、求值：（1） 15cos （2） 20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8） 29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （2π－α）＝sin α．（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值．（3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。

6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。

7.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 22x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -二、证明： )4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (精讲+精练)(教师版)

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：公式的基本应用高频考点二：公式的逆用及变形高频考点三：辅助角公式的运用高频考点四：二倍角高频考点五：拼凑角第四部分：高考真题感悟第五部分：第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式（精练）1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式①两角和与差的正弦公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-②两角和与差的余弦公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+③两角和与差的正切公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-2、二倍角公式①sin22sin cos ααα=②22cos2cos sin ααα=-；2cos22cos 1αα=-；2cos212sin αα=- ③22tan tan 21tan ααα=-3、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα-=4、辅助角公式：sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 5、常用结论①两角和与差的正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=± ②21sin 2(sin cos )ααα+=+ ③21sin 2(sin cos )ααα-=- ④sin cos )4πααα±=±一、判断题1．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）tan 35tan8535tan85︒︒︒︒+=.( ) 【答案】正确【详解】由tan35tan85tan120=tan 3585)1tan35tan85︒︒︒︒︒︒︒++==-(可得tan35tan85tan85︒︒︒︒+=，所以tan 35tan 8535tan 85︒︒︒︒+35tan 8535tan 85︒︒︒︒==故答案为：正确.2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）1sin 73cos13cos73sin132-=.( ) 【答案】错误【详解】由题意，2s )in 73cos13cos 73sin 313sin(sin 673013-=-== 故答案为：错误二、单选题3．（2022·北京·高三学业考试）sin cos θθ=（） A ．1sin 22θB ．1cos 22θC ．sin 2θD ．cos2θ【答案】A 【详解】由二倍角公式可得，sin cos θθ=1sin 22θ.故选：A.4．（2022·四川成都·高一期中（理））sin5sin55︒+︒=（） A ．sin 60︒ B ．sin 65︒C ．sin 70︒D ．sin 75︒【答案】B 【详解】()sin5sin55sin 6055sin55︒︒︒︒︒+=-+sin 60cos55cos60sin55sin55︒︒︒︒︒=-+1sin 55sin 552︒︒︒-+1sin 552︒︒=+ ()sin 5560sin115︒︒︒=+= ()sin 18065sin 65︒︒︒=-=；故选：B. 三、填空题5．（2022·云南玉溪·高一期末）23sin1601sin 35-︒+︒的值等于____________．【答案】2 【详解】23sin1603sin 203sin 2021cos703sin 201sin 35122-︒-︒-︒===-︒-︒+︒+. 故答案为：26．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）将sin x x 化为sin()(0)A x A ωϕ+>的形式为______．【答案】2sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】1sin 2sin 2x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin sin cos 33x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故答案为：2sin 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭高频考点一：公式的基本应用例题1．（2022·江苏徐州·高一期中）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若4sin 5α，则()cos 6πα-=（） A B C D 【答案】A 【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α，所以3cos 5α= πππcos cos cos sin sin 666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭341=552+⨯ . 故选：A例题2．（2022·四川成都·高一期中（理））若tan α，tan β是方程22370x x +-=两个实数根，则tan()αβ+=（） A ．13-B ．13C ．32-D ．25【答案】A 【详解】由韦达定理得：3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-，所以3tan tan 12tan()71tan tan 312αβαβαβ-++===--⋅+ 故选：A例题3．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知sin cos αβ+=cos sin αβ+=则sin()αβ+=A ．12 BC ．12-D．【答案】A 【详解】由sin cos αβ+=225sin cos 2sin cos 4αβαβ++⋅=，由cos sin αβ+=227cos sin 2cos sin 4αβαβ++⋅=，两式相加得22(sin cos cos sin )3αβαβ++=，得1sin()2αβ+=. 故选：A例题4．（2022·江苏·淮阴中学高一阶段练习）求值1tan15tan15︒+︒（） A ．4 B ．14C．4+D．4-【答案】A 【详解】()1tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒︒︒︒︒︒︒-=-===-+，1tan1524tan15︒︒+== ；故选：A.例题5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））化简计算：sin 58sin13cos 45cos13︒-︒︒=︒___________．【详解】解：()sin 4513sin13cos 45sin 58sin13cos 45cos13cos13︒+︒-︒︒︒-︒︒=︒︒， sin 45cos13cos 45sin13sin13cos 45cos13︒︒+︒︒-︒︒=︒，sin 45cos13sin 45cos13︒︒==︒=︒例题6．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）若tan 2θ=，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________；tan 2θ=___________．【答案】 3- 43-【详解】tan tan214tan 34121tan tan 4πθπθπθ++⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭-，222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---. 故答案为：3-；43-.题型归类练1．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）sin50cos100cos50sin100+=（） A ．12BC ．－12D【答案】A 【详解】()1sin 50cos100cos50sin100sin150sin 18030sin 302+==-==．故选：A2．（2022·北京市第二十五中学高一期中）sin 75︒=（） A122 BCD【答案】C 【详解】()21sin 75sin 45+30=sin45cos30+cos45sin30=222︒=︒⨯故选:C3．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin5θ=，则os 4πc θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）AB．C D ．【答案】C 【详解】由4sin 5θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3cos 5θ=则34cos cos cos sin sin πππ44455θθθ⎛⎫-=+== ⎪⎝⎭故选：C4．（2022·江苏·南京外国语学校高一期中）已知1sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A．BC． D【答案】C 【详解】因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3α=，所以cos α=所以11cos cos cos sin sin 333323πππααα⎛⎫+=-=--= ⎪⎝⎭，故选：C5．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若3sin ,(,)52πααπ=∈，则sin()3πα-=（）ABCD【答案】D 【详解】解：因为2απ<<π，3sin 5α=，所以4cos 5α=-，所以sin()sin cos cos sin 333αααπππ-=-＝314525⨯+=. 故选：D ．6．（2022·山东德州·高一期中）已知cos 2πcos 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 2α=______．【详解】由cos 2πcos 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭22=即cos sin 1αα+=-，所以2(cos sin )1αα+=，即12sin cos 1αα+= ，故2sin cos 0,sin 20ααα==，故答案为：07．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）设复数1cos isin z αα=+，2cos isin z ββ=+，已知12z z -=. (1)求()cos αβ-的值； (2)若0,tan 72παβα-<<<=-，求2αβ-的值.【答案】(1)35(2)34π-(1)根据题意，()()12cos cos i sin sin z z αβαβ-=-+-，因为12z z -=224(cos cos )(sin sin )5αβαβ-+-=，即()422cos cos sin sin 5αβαβ-+=，即()422cos 5αβ--=，解得()3cos 5αβ-=. (2)因为02παβ-<<<，所以02παβ-<-<，所以()4sin 5αβ-==-，()()()sin 4tan cos 3αβαβαβ--==--()()()47tan tan 3tan 2 1.41tan tan 173αβααβαβα---+-===---⨯因为0,022ππαβα-<-<-<<，所以20παβ-<-<，所以324παβ-=-. 高频考点二：公式的逆用及变形例题1．（2022·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）cos17cos43sin17sin223+=（） A ．12-B ．C ．12D【答案】C 【详解】cos17cos43sin17sin223+=()cos17cos43sin17sin 180+43+=()cos17cos43sin17sin43cos17cos43sin17sin43--+=，由两角和的正弦公式，可知()cos17cos43sin17sin43cos 1743=cos 1=+=260-故答案为：C例题2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知cos α=，()sin βα-=,αβ均为锐角，则β=（） A ．12π B ．6πC ．4π D ．3π 【答案】C 【详解】,αβ均为锐角，即,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,22ππβα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，()cos βα∴-==sin α==，()()()cos cos cos cos sin sin ββααβααβαα∴=-+=---⎡⎤⎣⎦⎛== ⎝⎭又0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4πβ∴=.故选：C.例题3．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））3πππ13πsin cos cos sin 412412+=___________．【答案】12##0.5 【详解】 3πππ13ππππππππ1sincos cos sin sin cos cos sin sin sin 41241241241241262⎛⎫+=-=-== ⎪⎝⎭．故答案为：12例题4．（2022·四川凉山·高一期中（理））tan 26tan 343tan 26tan 34++⋅=_________．【详解】解：由题意得：由两角和的正切公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，可令26,34αβ︒︒==tan 26tan 34tan 601tan 26tan 34︒︒︒︒︒+∴==-tan 26tan 343tan 26tan 343++⋅=例题5．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）求下列各式的值．(1)sin10cos20sin80sin 20︒︒+︒︒ (2)cos 47sin17sin 30cos17︒+︒︒︒【答案】(1)12(1)解()1sin10cos 20sin 80sin 20sin10cos 20cos10sin 20sin 1020sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=(2)解：()cos 1730sin17sin 30cos 47sin17sin 30cos17cos17︒++︒︒︒+︒︒=︒︒cos17cos 30sin17sin 30sin17sin 30cos17cos 30cos 30cos17cos17︒︒-︒︒+︒︒︒︒===︒=︒︒. 题型归类练1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））tan204sin20︒+︒=（） AB ．1 CD．【答案】C 【详解】由三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，可得： ()sin 60404sin20cos20sin20tan204sin204sin20cos20cos20︒-︒+︒︒︒︒+︒=+︒=︒︒()1sin402sin40604022cos20cos20︒-︒+︒︒-︒===︒︒故选：C.2．（2022·四川省广安第三中学校高一阶段练习）tan17tan 28tan17tan 28︒+︒+︒︒等于（） A．BC ．-1D ．1【答案】D 【详解】tan17tan 28tan17tan 28︒+︒+︒︒tan(1728)(1tan17tan 28)tan17tan 28=︒+︒-︒︒+︒︒ tan 45(1tan17tan 28)tan17tan 28=︒-︒︒+︒︒1tan17tan 28tan17tan 281=-︒︒+︒︒=，故选：D3．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）已知3cos()cos sin()sin 5αβααβα+++=-，则cos 2β=____________．【答案】725- 【详解】()()3cos cos sin sin 5αβααβα+++=-，所以3cos 5β=-，297cos 22cos 1212525ββ=-=⨯-=-. 故答案为：725-. 4．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）化简：tan10tan20tan30tan10tan20tan30+++=__________．【详解】因为()10tantan 20tan30tan 102010tan a 0t 21n ++==-，故10tan 203tan tan t 03010tan 20an tan =-+，所以tan10tan20tan30tan10tan20tan30+++303010tan 20tan30tan 2tan tantan 23310tan20tan30tan30-===++5．（2022·江苏宿迁·高一期中）在ABC 中，已知tan tan tanA B A B +，则C =_________ 【答案】120︒ 【详解】由题意可知，tan tan tantan )A B A B +=- 所以，tan tan tan()1tan tanA B A B A B ++===-0180A B ︒︒<+<，60A B ∴+=故180()120C A B ︒︒=-+= 故答案为:120︒6．（2022·江苏·马坝高中高一期中）22tan tantan 9999ππππ+=__________.【详解】因为2tantan299tan tan 23991tan tan 99πππππππ+⎛⎫=+== ⎪⎝⎭-所以，2222tantantan 1tan tan tan 99999999ππππππππ⎫+=-+=⎪⎭高频考点三：辅助角公式的运用例题1．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值：(1)1cos 2y x x =； (2)sin cos y x x =-；(3)sin y x x =； (4)sin 22y x x =. 【答案】(1)最大值为1，最小值为1-(2) (3)最大值为2，最小值为2- (4)最大值为2，最小值为2- 【解析】 (1)1cos sin 26y x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∴最大值为1，最小值为1-；(2)sin cos4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴；(3)sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，∴最大值为2，最小值为2-；(4)sin 222sin 23y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴最大值为2，最小值为2-.例题2．（2021·全国·高一课时练习）设m 为实数，已知sin 1m αα=-，求m 的取值范围．【答案】13m -≤≤ 【详解】解：因为1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为1sin 13πα⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以2sin 2αα-≤≤，即212m -≤-≤，所以13m -≤≤例题3．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一阶段练习）求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域.【答案】3,34⎡+⎢⎣【详解】令sin cos 4x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，故21sin cos (sin cos )y x x x x =++++与21,y t t t ⎡=++∈⎣值域相同，又21y t t =++对称轴12t =-，故其在12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在12⎛- ⎝单调递增，当12x =-时，34y =；当x =3y =故其值域为3,34⎡+⎢⎣，即21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域为3,34⎡⎢⎣.题型归类练1．（2022·江西九江·三模（文））已知1sin cos 3αα-=，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．C ．13D 【答案】B 【详解】1sin cos 43πααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即sin 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos cos sin 44246ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B2．（2022·江西·南昌市实验中学一模（文））22︒+︒=（）A B ．12C ．D ．12-【答案】A 【详解】原式cos 45cos15sin 45sin15=+ ()3cos 4515cos302=-==. 故选：A3．（2022·湖南·=___________．【答案】4 【详解】()2sin60204sin4041sin402sin20cos202︒-︒︒===︒⨯︒︒故答案为：44．（2022·陕西汉中·高一期中）（1）若sin cosαα+=tan4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若2cos65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，求sin26πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）2）1725-.（1）sin cos4πααα⎛⎫++=⎪⎝⎭sin4πα⎛⎫∴+⎪⎝⎭，cos4πα⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，sin4tan4cos4παπαπα⎛⎫+⎪⎛⎫⎝⎭∴+==⎪⎛⎫⎝⎭+⎪⎝⎭．（2）sin2sin2cos26323ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，217sin22cos16625ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．5．（2021·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值：(1)34sin cos55y x x=+；(2)sin cosy a x b x=+（a，b均为正数）.【答案】(1)最大值为1，最小值为-1.(2)(1)34sin cos sin()55y x x xϕ=+=+，4tan3ϕ=，∴函数的最大值为1，最小值为-1.(2)sin cos)y a x b x xδ=+=+，tanbaϕ=，∴高频考点四：二倍角例题1．（2022·北京·汇文中学高一期中）若sin cos αα-=，则sin 2α=（） A ．35B ．45C ．35 D ．45-【答案】B 【详解】sin cos αα-=221sin cos 2sin cos 1sin 25ααααα+-=-=，解得：4sin 25α= 故选：B例题2．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中（文））已知sin 2cos 0αα+=，则cos2sin 2αα-等于（） A ．45B ．35C ．25D ．15【答案】D 【详解】由sin 2cos 0αα+=得tan 2α，222222cos sin 2sin cos cos 2sin 2cos sin 2sin cos sin cos αααααααααααα---=--=+22221tan 2tan 1(2)2(2)1tan 1(2)15ααα-----⨯-===+-+．故选：D ．例题3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知tan 24tan 4πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（）A ．25-B ．45-C ．25D ．45【答案】B 【详解】tan 24tan 4πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，22tan tan 141tan 1tan θθθθ+∴=-⨯--，解得：tan 1θ=-（舍）或tan 2θ=-，2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15θθθθθθθ∴===-++.故选：B.例题4．（2022·云南曲靖·二模（文））已知3sin 2παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，则cos2=α___________. 【答案】79-【详解】3sin 2πααα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，tan α∴=-222222cos sin 1tan 187cos 2cos sin 1tan 189ααααααα---∴====-+++. 故答案为：79-例题5．（2022·北京·中关村中学高一期中）若角α的终边经过点()1,2P -，则cos α=___________.tan2α=___________.【答案】 43【详解】∵角α的终边经过点()1,2P -，∴cosα=， ∴2tan 2,1α-==-22tan 4tan 21tan 3ααα==-43. 题型归类练1．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知(,)2παπ∈，且213sin 2cos 25αα-=-，则cos2=α（）A ．35B ．45C ．35 D ．45或35【答案】C 【详解】解：21sin 2cos 2αα-，222sin cos cos cos sin ααααα-=+，2tan 131tan 5αα-==-+，即23tan 5tan 20αα+-=，解得1tan 3α=或tan 2α，因为(,)2παπ∈，所以tan 2α，所以22cos 2cos sin =-ααα， 2222cos sin cos sin αααα-=+， 221tan 31tan 5αα-==-+. 故选：C2．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知函数()2cos cos2f x x x =+，则()f x 的最小值为（） A ．1- B ．12-C ．32-D ．52-【答案】C 【详解】解：因为()22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22f x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭所以当1cos 2x =-时()f x 取得最小值()min 32f x =-；故选：C3．（2022·云南德宏·高三期末（文））已知πsin 2sin()2αα=+，则cos2α=（） A ．35 B ．45-C ．35D ．45【答案】A 【详解】πsin 2sin()2cos 2ααα=+=，所以222sin 4cos 1cos ααα==-，21cos 5α=，23cos 22cos 15αα=-=-．故选：A ．4．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））若()()3πsin 3πsin 12π3cos cos π2αααα⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭，则tan2α=（）A ．34B ．34-C ．43-D ．43【答案】D 【详解】解：因为()()3πsin 3πsin 12π3cos cos π2αααα⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭，所以sin cos 1sin cos 3αααα-=--，所以tan 11tan 13αα-=--，解得1tan 2α=，所以22122tan 42tan 21tan 3112ααα⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭；故选：D5．（2022·江苏南通·高一阶段练习）已知cos 3sin 0αα+=，则tan2α=（）A ．34B ．34-C ．35 D ．38-【答案】B 【详解】由cos 3sin 0αα+=，可得1tan 3α=-则2212()2tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯-===---- 故选：B6．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知1sin 24α=，且42ππα<<，则cos sin αα-=________．【答案】【详解】∵1sin 22sin cos 4ααα==， ∴()213cos sin 12sin cos 144αααα-=-=-=，因为42ππα<<，所以cos sin αα<，则cos sin 0αα-<，所以cos sin αα-=故答案为：7．（2022·北京市西城外国语学校高一期中）已知角α的终边在直线y =上，则sin 2α=________．【详解】由题意，设角α的终边与直线y =交于点()()0a a ≠，由三角函数的定义可知tan α==.于是，2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα=====++.8．（2022·辽宁沈阳·高一期中）若1sin cos ,05αααπ+=<<，则sin 2cos2αα+=___________. 【答案】3125- 【详解】解：因为1sin cos 5αα+=①，所以两边同时平方得221sin 2sin cos cos 25αααα++=，即242sin cos 025αα=-<，因为0απ<<，所以2απ<<π，所以sin 0,cos 0αα><，所以7sin cos 5αα-==②，联立①②可得43sin ,cos 55αα==-，所以2231sin 2cos 22sin cos cos sin 25αααααα+=+-=-，故答案为：3125-. 9．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知tan 2α=，则tan2α=________，2sin 2cos αα+=__________．【答案】 43- 1【详解】22tan 4tan 2,1tan 3ααα==--222222sin cos cos 2tan 1sin 2cos 1sin cos tan 1ααααααααα+++===++ 故答案为：43-，1．高频考点五：拼凑角例题1．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3α=，()7sin 9αβ+=，则cos β的值为（） A ．13-B ．13C ．12-D ．12【答案】A 【详解】由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得3,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故cos ==α，()cos αβ+==cos cos()cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++711933⨯=-=. 故选：A.例题2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）设0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且11tan ,tan 73αβ==，则2αβ+=（） A ．4πB ．3π C ．34π D ．54π 【答案】A 【详解】因为21133tan ,tan tan 2173419αββ==⇒==-，所以1342174tan(2)113285174αβ+++===--⨯，且30tan 212(0,)44πββ<=<⇒∈，所以32(0,)4παβ+∈，则24παβ+= 故选：A ．例题3．（2022·江苏·星海实验中学高一期中）已知22ππθ-<<，且1sin 63πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ的值为（）A ．16B ．6C D 【答案】D 【详解】22ππθ-<<，2363πππθ∴-<-<，cos 6πθ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=故选：D例题4．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）已知,αβ都是锐角，3sin 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β=（） A ．1 B ．5665-C ．1665D ．5665【答案】C 【详解】因为,αβ都是锐角，所以0αβ<+<π，又3sin 5α=，5cos()13αβ+=-，所以4cos 5α=，12sin()13αβ+=，所以[]cos cos ()βαβα=+-， cos()cos sin()sin αβααβα=+++， 541231613513565=-⨯+⨯=，故选；C题型归类练1．（2022·北京市第五十中学高一期中）若,αβ都是锐角，且sin α=，()sin αβ-=，则sin β=（）A B 2C ．12D ．110【答案】B【详解】,αβ都是锐角，0,2πα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，cos α∴==()cos αβ-==，()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ∴=--=---⎡⎤⎣⎦=. 故选：B.2．（2022·安徽淮南·二模（理））已知ππ340,π,sin ,cos()2255αβααβ<<<<=+=-，则sin β=（） A ．2425B ．2425-C ．2425-或2425D ．0或2425【答案】A 【详解】因为π30,sin 25αα<<=，所以4cos 5α==，因为ππ0,π22αβ<<<<，所以π3π22αβ<+<，因为4cos()5αβ+=-，所以3sin()5αβ+==±当3sin()5αβ+=时，()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦344324555525=⨯+⨯=，因为ππ2β<<，所以sin 0β>，故24sin 25β=满足题意，当3sin()5αβ+=-时，()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦344305555=-⨯+⨯=因为ππ2β<<，故sin 0β=不合题意，舍去；故选：A3．（2022·甘肃省民乐县第一中学高一期中）若()3tan 2αβ-=，tan 2β=，则tan α=（）A ．74-B ．47-C ．47D ．74【答案】A 【详解】()3272tan tan 34122ααββ+=-+==--⨯．故选：A.4．（2022·四川成都·高一期中（理））已知α、β为锐角，且3sin 5β=，5cos()13αβ+=-，则sin α的值为（） A ．6365B ．3365C ．4865-D ．4865【答案】A 【详解】因为α、β为锐角，所以()0,παβ+∈，因为5cos()13αβ+=-，所以12sin()13αβ+=，因为3sin 5β=，所以4cos 5β=，故()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ=+-=+-+⎡⎤⎣⎦ 124536313513565=⨯+⨯= 故选：A4．（2022·江苏省镇江中学高一期中）已知αβ､为锐角，()31tan ,tan 43αβα=-=，则tan β=（）A ．139B ．913C ．3D ．13【答案】A 【详解】由题设可得()()()13tan tan 1334tan tan 131tan tan 9134βααββααβαα+-+⎡⎤=-+===⎣⎦---⋅，故选：A.1．（2021·全国·高考真题（文））函数()sin cos33x xf x=+的最小正周期和最大值分别是（）A．3πB．3π和2 C．6πD．6π和2【答案】C【详解】由题，()sin cos3s33334x x x xf xxπ=+=⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x的最小正周期为2613T，.故选：C．2．（2020·全国·高考真题（理））已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【详解】2tan tan74πθθ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，tan12tan71tanθθθ+∴-=-，令tan,1t tθ=≠，则1271ttt+-=-，整理得2440t t-+=，解得2t=，即tan2θ=.故选：D.3．（2020·全国·高考真题（文））已知πsin sin=31θθ⎛⎫++⎪⎝⎭，则πsin=6θ⎛⎫+⎪⎝⎭（）A．12B C．23D【答案】B【详解】由题意可得：1sin sin12θθθ+=，则：3sin12θθ=1cos2θθ+=从而有：sin cos cos sin66ππθθ+即sin6πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭4．（2020·全国·高考真题（文））若2sin 3x =-，则cos2x =__________．【答案】19【详解】22281cos 212sin 12()1399x x =-=-⨯-=-=.故答案为：19.5．（2020·江苏·高考真题）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____.【答案】13【详解】221sin ())(1sin 2)42παααα+==+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：136．（2020·浙江·高考真题）已知tan 2θ=，则cos 2θ=________；πtan()4θ-=______．【答案】 3513【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-7．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（1）π；（2）1+（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎭⎦⎝，所以该函数的最小正周期22T ππ==; （2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin cos x x x x x x ⎫=⋅=+⎪⎪⎝⎭1cos 2222sin 224x x x x x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值1一、单选题1．（2022·四川省南充市白塔中学高一期中（文））sin75cos15sin15cos75︒︒-︒︒的值是（） A ．0 B ．12C D ．12-【答案】C 【详解】sin 75cos15sin15cos 75sin(7515)︒︒-︒︒=︒-︒=．故选：C2．（2022·江苏淮安·高一期中）已知tan 2α=，tan 4β=，则()tan αβ+=（） A ．67B ．－67C ．－57D ．57【答案】B 【详解】因为tan 2α=，tan 4β=，所以()tan tan 246tan 1tan tan 1247αβαβαβ+++===--⋅-⨯.故选：B.3．（2022·四川凉山·高一期中（理））已知sin cos 12sin cos 3αααα+=-，则πtan(α)4+的值为（）A ．35B ．45-C ．35 D ．45【答案】C 【详解】解：由题意得： sin cos 12sin cos 3αααα+=-tan 112tan 13αα+∴=-，解得：tan 4α=-tan tanπtan 14134tan()41tan 1(4)51tan tan 4παααπαα++-+∴+====-----⋅ 故选：C4．（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）212cos 67.5-︒=（）A ．12-B．2-C．D．2【答案】D 【详解】由余弦的倍角公式，可得212cos 67.5cos(267.5)cos135-︒=-⨯︒=-︒=故选：D.5．（2022·四川凉山·高一期中（理））求cos60sin15cos15⋅⋅的值为（）A ．14B ．12C D ．18【答案】D 【详解】11111cos60sin15cos15sin 30cos6022228⋅⋅=⋅=⨯⨯=.故选：D.6．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）已知1sin cos 2θθ-=，则2cos 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．716B ．78CD【答案】B 【详解】由1sin cos 2θθ-=两边平方得：221sin 2sin cos cos 4θθθθ-+=，所以32sin cos 4θθ=即3sin24θ=，所以21cos 21sin272cos 4228πθπθθ⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎝⎭. 故选：B.7．（2022·广东茂名·模拟预测）已知1sin15cos15cos 6αα=，则()cos 2120α+︒=( ) A ．79B ．79-C ．1718D ．1718-【答案】B 【详解】3131sin15cos15cos sin sin30cos sin cos4244αααααα-=-= ()1111cos cos 602226ααα⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭， ()1cos 603α∴+=，∴()()217cos 21202cos 6012199αα+=+-=⨯-=-．故选：B ．8．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC中，若tan tan tan A BA B +，则tan 2C =（） A ．-B ．C．-D ．【答案】A 【详解】因为)tan tan tan tantan 1A B A B A B +=-，所以())tan tan 1tan tan tan 1tan tan 1tan tan A B A BA B A BA B-++===--所以()tan tan C A B π⎡⎤=-+⎣⎦22tan tan21tan1C C C ===-- 故选：A ．二、填空题9．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数3sin 4cos y x x =+的最大值是______. 【答案】5 【详解】解：()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55y x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=；因为()1sin 1x ϕ-≤+≤，所以max 5y =；故答案为：510．（2022·北京市育英中学高一期中）已知32ππα<<，3sin 45，则cos α的值为__________．【答案】##【详解】因为32ππα<<，故35444πππα<-<，故4cos 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，而cos cos ()cos()cos sin()sin 444444ππππππαααα⎡⎤=-+=---⎢⎥⎣⎦4355⎫--=⎪⎝⎭故答案为：11．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 24cos20αα+=，则cos cos 2sin cos αααα=+_______．【答案】15-##-0.2【详解】由3sin 24cos20αα+=得4tan 23α=-，故22tan 41tan 3αα=--，所以22tan α-3tan 20α-=，解得tan 2α=，或1tan 2α=-. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2α=，所以cos cos 2sin cos αααα=+()()22cos cos sin cos cos sin sin cos αααααααα-=-+ 2222cos sin cos 1tan 1sin cos tan 141512ααααααα--====-+++-. 故答案为：15-12．（2022·全国·高三专题练习）已知4cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则22cos 24παα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是______. 【答案】125【详解】由于4cos sin 25παα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则3cos 5α==，得24sin 22sin cos 25ααα==-，则212cos 21cos 2221sin 2425παααααα⎫⎛⎫-=+=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 故答案为：125. 三、解答题13．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知3cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)求cos2α，sin 2α的值；(2)求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)7cos 225α=-，24sin 225α=-(1)因为3cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以4sin 5α=-，所以，27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 22sin cos 25ααα==-.(2)314sin sin cos cos sin 333525πππααα⎛⎫⎛⎫-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)求sin α的值；(2)求()sin cos 4cos 2παααα⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】1 (1)解：因为tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以tan tan 421tan tan 4παπα+=-，解得1tan 3α= 因为,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又22sin 1tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得sin α=sin α= (2)解：()sin cos 4cos 2παααα⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭()22cos cos sin sin sin cos 44cos sin ππαααααα⎫-⋅+⎪⎝⎭=- ()()()()cos sin sin cos 1cos sin sin cos αααααααα-⋅+==-⋅+ 15．（2022·广东·深圳中学高一期中）已知,αβ为锐角，tan 2,sin()ααβ=-=． (1)求cos2α的值；(2)求tan β的值．【答案】(1)35；(2)1. (1)因tan 2α=，所以22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++. (2)因,αβ为锐角，则22ππαβ-<-<，而sin()αβ-=cos()αβ-=，于是得1tan()3αβ-=，所以12tan tan()3tan tan[()]111tan tan()123ααββααβααβ---=--===+-+⨯. 16．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）计算求值：(1)(2cos1023cos 100sin10--的值；(2)已知α、β均为锐角，1sin 7α=，()cos αβ+=sin β的值．【答案】(1)(1)()()2cos1023cos 1002cos1023cos 90102cos1023cos100sin101sin101sin10---+-==--()134cos10sin104cos 6010222cos1023sin10cos5sin 5sin1012sin 5cos5⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭==--)4cos504cos502245cos5sin 45cos52cos50==-． (2)解：α、β都为锐角，则0αβ<+<π，()11sin14αβ∴+=，cos α=， ()()()111sin sin sin cos sin cos 147βαβααβαααβ∴=+-=+-+==⎡⎤⎣⎦．。

高考专题练习：第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎪⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎪⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z .2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎪⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 常用结论记准4个必备结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝aa 2＋b 2.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22.( )(3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( ) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立． ( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)不会逆用公式，找不到思路； (2)不会合理配角出错．1．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________．解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，所以原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案： 32．sin 15°＋sin 75°的值是________．解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62. 答案：62第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式三角函数公式的直接应用(师生共研)(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝( )A ．12 B ．33 C ．23D ．22(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________．【解析】 (1)因为sin θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32sin θ＋32cos θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝33，故选B ．(2)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45. 【答案】 (1)B (2)－45利用三角函数公式时应注意的问题(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号相反”．(2)应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．1．(2021·湖北八校第一次联考)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝( ) A ．－2425 B ．2425 C ．－725D ．725解析：选D ．方法一：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725，故选D ．方法二：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋θ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2θ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2θ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2θ＝725，故选D ． 2．(2021·六校联盟第二次联考)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2，则tan 2α＝________．解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－2可得tan π4－tan α1＋tan π4tan α＝－2，即1－tan α1＋tan α＝－2，化简得tan α＝－3，所以tan 2α＝ 2 tan α1－tan 2 α＝2×（－3）1－（－3）2＝34. 答案：34三角函数公式的逆用与变形应用(师生共研)(1)在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22 B ．22 C ．12D ．－12(2)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．【解析】 (1)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又(A ＋B )∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，所以C＝π4，cos C＝2 2.(2)因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin α·cos β＋cos αsin β)＝1，所以sin(α＋β)＝－12.【答案】(1)B(2)－1 2(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．1．(1－tan215°)cos215°＝()A．1－32B．1C．32D．12解析：选C．(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝3 2.2．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－13 B ．13 C ．－23D ．23解析：选D ．cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 3.cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝( ) A ．33 B ． 3 C ．－33D ．－ 3解析：选B ．原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.两角和、差及倍角公式的灵活应用(多维探究) 角度一三角函数公式中变“角”已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．，【解析】由题意知，α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin(α＋β)＝－35<0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－725，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－45.【答案】－45角度二三角函数公式中变“名”求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°. 【解】原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.三角函数公式应用的解题思路(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[提醒] 转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．1．若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan（α＋2β）－tan β1＋tan（α＋2β）tan β＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝－1－（－3）1＋（－1）×（－3）＝1 2.答案：－11 22．4sin 20°＋tan 20°＝________．解：原式＝4sin 20°＋sin 20°cos 20°＝2sin 40°＋sin 20°cos 20°＝2sin （60°－20°）＋sin 20°cos 20°＝3cos 20°－sin 20°＋sin 20°cos 20°＝ 3.答案： 3[A级基础练]1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为()A．12B．33C．22D．32解析：选A．－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17°＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝12.2．(2021·开封市模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝()A．－1 B．－7 9C ．429D ．79解析：选B ．因为角α与角β均以Ox 为始边，且它们的终边关于y 轴对称，所以β＝π－α＋2k π，k ∈Z ，则cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π)＝cos(2α－π)＝cos (π－2α)＝－cos 2α，又sin α＝13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝79，所以cos(α－β)＝－79，故选B ．3．(2020·福州市质量检测)若2cos 2x ＝1＋sin 2x ，则tan x ＝( ) A ．－1 B ．13C ．－1或13D ．－1或13或3解析：选C ．方法一：由题设得，2(cos 2x －sin 2x )＝1＋2sin x cos x ，所以2(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＝(sin x ＋cos x )2，所以sin x ＋cos x ＝0或sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，所以tan x ＝－1或tan x ＝13.方法二：由2cos 2x ＝1＋sin 2x ，得2(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ，化简得cos 2 x －2sin x cos x －3sin 2x ＝0，所以(cos x －3sin x )(cos x ＋sin x )＝0，所以cos x ＝3 sin x 或cos x ＝－sin x ，所以tan x ＝13或tan x ＝－1.方法三：由⎩⎪⎨⎪⎧2cos 2x ＝1＋sin 2x sin 22x ＋cos 22x ＝1，得5sin 22x ＋2sin 2x －3＝0，所以sin 2x ＝35，或sin 2x ＝－1.当sin 2x ＝35时， sin 2x ＝2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x tan 2x ＋1＝35，所以3tan 2x－10tan x ＋3＝0，解得tan x ＝13或tan x ＝3，但tan x ＝3时，cos 2x <0，1＋sin 2x >0，不合题意舍去，经检验，tan x ＝13符合题意；当sin 2x ＝－1时，tan x ＝－1，经检验，tan x ＝－1符合题意．综上，tan x ＝13或tan x ＝－1.4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝14，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝( )A ．34 B ．－34 C ．14D ．±34解析：选A ．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝14，所以cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝3×14＝34.故选A ．5．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan αtan β2＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C ．因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝5，所以log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫tan αtan β2＝log552＝4.故选C ．6．(2020·高考浙江卷)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________．解析：方法一：因为tan θ＝2，所以sin θ＝2cos θ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1可知，sin 2θ＝45，cos 2θ＝15，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝15－45＝－35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13. 方法二：因为tan θ＝2，所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－41＋4＝－35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝2－11＋2＝13.答案：－35 137．sin 10°sin 50°sin 70°＝________．解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20° ＝sin 10°cos 10°cos 20°cos 40°cos 10°＝18sin 80°cos 10°＝18. 答案：188．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________．解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，所以sin β＝－35. 又β是第三象限角，因此有cos β＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝7210.答案：72109．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin ()α＋π的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值．解：(1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.10．已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2 α＋cos 2 α＝1，所以cos 2 α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－247，所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.[B 级综合练]11．若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( ) A ．22 B ．210 C ．22或－210D ．22或210解析：选A ．因为α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，所以sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22，故选A ．12．已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝( )A ．－1010 B ．1010 C ．－31010D ．31010解析：选C ．tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tan π121－tan αtan π12＝－2⇒tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2，因为α为第二象限角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π4＝－31010.13．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝________．解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝435，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45.答案：－4514．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，所以sin 2α＝45. 又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos 2α＝1－sin 22α＝35，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，所以cos 2β＝－2425，又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以cos α＝255，sin α＝55.所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.[C 级提升练]15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2sin 18°，若m 2＋n ＝4，则m n 2cos 227°－1＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选C ．因为m ＝2sin 18°，m 2＋n ＝4，所以n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°.所以m n 2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°2cos 227°－1＝4sin 18°cos 18°2cos 227°－1＝2sin 36°cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2.故选C ．16．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，所以α－β＝π2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π，所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.因为π2≤α≤π，所以3π4≤α＋π4≤5π4，所以－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即取值范围为[－1，1]．答案：[－1，1]。

第24讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式(达标检测)(解析版)

第24讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（达标检测）[A 组]—应知应会1．（2020春•梅州期末）cos75°＝（） A ．√6−√22B ．√6+√22C ．√6−√24D ．√6+√24【分析】将75°看成30°与45°的和，然后利用两角和的余弦公式求解．【解答】解：cos75°＝cos （30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45° =√32×√22−12×√22=√6−√24．故选：C ．2．（2020春•成都期末）已知sinα=√1010，则cos2α＝（）A ．45B ．−45C ．3√1010D ．−3√1010【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．【解答】解：∵sinα=√1010，∴cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×（√1010）2=45．故选：A ．3．（2020春•辽宁期末）已知sinα=14，sin2α＜0，则tanα＝（） A ．√15B ．√1515C ．−√15D ．−√1515【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而即可求解tanα的值．【解答】解：∵sinα=14＞0，sin2α＝2sinαcosα＜0， ∴cosα＜0，可得cosα=−√1−sin 2α=−√1−116=−√154， ∴tanα=sinαcosα=−√1515．故选：D ．4．（2020春•泸州期末）已知tanα，tanβ是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两实根，则tan （α+β）＝（） A ．13B ．−12C ．12D ．−13【分析】直接利用一元二次方程根和系数关系式的应用和和角公式的运用求出结果．【解答】解：tanα，tanβ是一元二次方程x 2+2x ﹣5＝0的两实根，则：tanα+tanβ＝﹣2，tanα•tanβ＝﹣5，故tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−13．故选：D ．5．（2020春•内江期末）设a ＝sin18°cos44°+cos18°sin44°，b ＝2sin29°cos29°，c ＝cos30°，则有（） A ．c ＜a ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c【分析】利用两角和差的正弦公式，倍角公式以及三角函数的单调性进行比较大小即可．【解答】解：a ＝sin18°cos44°+cos18°sin44°＝sin （18°+44°）＝sin62°， b ＝2sin29°cos29°＝sin58°， c ＝cos30°＝sin60°，∵y ＝sin x 在[45°，90°]上为增函数， ∴sin62°＞sin60°＞sin58°，即a ＞c ＞b ，故选：B ．6．（2020春•沈阳期末）已知sin （α−π6）=23，则sin （2α−5π6）＝（） A ．4√59B ．−4√59C ．19D ．−19【分析】利用诱导公式化简已知可得cos （2π3−α）=23，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵sin （α−π6）＝cos[π2−（α−π6）]＝cos （2π3−α）=23，∴sin （2α−5π6）＝cos[π2−（2α−5π6）]＝cos （4π3−2α）＝2cos 2（2π3−α）﹣1＝2×（23）2﹣1=−19．故选：D ．7．（2020春•聊城期末）已知α为第二象限角，sinα+cosα=15，则tan2α＝（） A ．−247B ．247C ．2425D ．43【分析】将已知等式平方可得2cosαsinα的值，从而可求得cosα﹣sinα，结合已知条件求得cosα，sinα的值，求得tanα的值，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．【解答】解：∵sinα+cosα=15，① ∴平方可得：sin 2α+cos 2α+2sinαcosα=125，可得：1+2sinαcosα=125，可得2cosαsinα=−2425，从而cosα﹣sinα=−√(cosα−sinα)2=−√1−2sinαcosα=−75，② ∴①②联立解得：cosα=−35，sinα=45，可得tanα=−43，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=2×(−43)1−(−43)2=247．故选：B ．8．（2019秋•辽源期末）已知tan （α+β）＝3，tan （α﹣β）＝5，则tan2a 的值为（） A ．−47B ．47C ．18D ．−18【分析】由关系式2α＝（α+β）+（α﹣β）及两角和的正切公式代入已知即可求值．【解答】解：∵tan （α+β）＝3，tan （α﹣β）＝5，∴tan （2α）＝tan[（α+β）+（α﹣β）]=tan(α+β)+tan(α−β)1−tan(α+β)tan(α−β)=3+51−3×5=−47，故选：A ．9．（2020•郑州二模）若α∈（π2，π），则2cos2α＝sin （π4−α），则sin2α的值为（）A ．18B ．−78C ．1D ．78【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或 cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：法1：∵α∈（π2，π），且2cos2α＝sin （π4−α），∴2（cos 2α﹣sin 2α）=√22（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=−√24，或 cosα﹣sinα＝0（根据角的取值范围，此等式不成立排除）．∵cosα+sinα=−√24，则有1+sin2α=18，sin2α=−78；故选：B ．法2：∵α∈（π2，π），∴2α∈（π，2π）， ∴sin2α＜0，综合选项，故选：B ．10．（2020春•宣城期末）已知tanαtanβ＝m ，cos （α﹣β）＝n ，则cos （α+β）＝（） A ．2n(1−m)m+1B ．n(1−m)m+1C ．6n(1−m)m+1D ．n(m−1)m+1【分析】根据同角的三角函数关系，结合两角和差的余弦公式建立方程，求出sinαsinβ，cosαcosβ的值即可．【解答】解：∵tanαtanβ＝m ，∴sinαsinβcosαcosβ=m ，即sinαsinβ＝m cosαcosβ，∵cos （α﹣β）＝n ，∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝n ，得cosαcosβ+m cosαcosβ＝n ，得cosαcosβ=n 1+m ，sinαsinβ=mn1+m，则cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=n1+m −mn1+m =n(1−m)1+m ，故选：B ．11．（多选）（2020春•南京期末）下列四个等式其中正确的是（） A ．tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3B ．tan22.5°1−tan 22.5°=1 C ．cos 2π8−sin 2π8=12D ．1sin10°−√3cos10°=4【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可．【解答】解：对①：tan60°＝tan （25°+35°）=tan25°+tan35°1−tan25°tan35°=√3，故tan25°+tan35°+√3tan25°tan35°=√3，故正确；对②：tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°＝1，故tan22.5°1−tan 222.5°=12，故错误；对③：cos 2π8−sin 2π8=cosπ4=√22，故错误；对④：1sin10°−√3cos10°=cos10°−√3sin10°sin10°cos10°=2cos(60°+10°)12sin20°=2sin20°12sin20°=4，故正确．故选：AD ．12．（多选）（2020春•徐州月考）下列各式中，值为√32的是（） A ．2sin15°cos15° B ．1+tan15°2(1−tan15°)C ．1﹣2sin 215°D ．3tan15°1−tan 15°【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案．【解答】解：2sin15°cos15°＝sin30°=12；1+tan15°2(1−tan15°)=tan45°+tan15°2(1−tan45°tan15°)=12tan(45°+15°)=12tan60°=√32； 1﹣2sin 215°＝cos30°=√32；3tan15°1−tan 215°=32⋅2tan15°1−tan 215°=32⋅tan30°=√32．∴值为√32的是BCD ．故选：BCD ．13．（2020春•泸州期末）已知sin （π2−α）=13，则cos2α＝．【分析】由已知利用诱导公式可求cosα=13，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．【解答】解：∵sin （π2−α）＝cosα=13，∴cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×（13）2﹣1=−79．故答案为：−79．14．（2020春•安徽期末）已知α为锐角，sin （π3−α）=√33，则cosα＝．【分析】先利用同角关系式求出余弦值，结合两角和差的余弦公式进行拆角转化即可．【解答】解：∵α为锐角，∴0＜α＜π2，则−π2＜−α＜0，−π6＜π3−α＜π3，∵sin （π3−α）=√33，∴cos （π3−α）=1−(33)2=√69=√63，则cosα＝cos （﹣α）＝cos[（π3−α）−π3]＝cos （π3−α）cos π3+sin （π3−α）sinπ3=√63×12+√33×√32=12+√66，故答案为：12+√6615．（2020春•静安区期末）已知sinα+cosα=15，且π2≤α≤3π4，则cos2α＝．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．【解答】解：∵已知sinα+cosα=15，且π2≤α≤3π4，∴1+sin2α=125，且 π＜2α＜3π2， ∴sin2α=−2425则cos2α=−√1−sin 22α=−725，故答案为：−725． 16．（2020春•镇江期末）已知α∈（π2，π），tan2α=34，则sin2α+cos 2α＝．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，先求出tanα的值，可得要求式子的值．【解答】解：已知α∈（π2，π），tan2α=34，∴2α∈（π，3π2），∴α∈（π2，3π4），且2tanα1−tan 2α=34，∴tanα＝﹣3，或tanα=13（不合题意，舍去）．则sin2α+cos 2α=2sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα+1tan 2α+1=−12，故答案为：−12．17．（2020春•海安市校级期末）已知sinαsin （π2−β）﹣sin （π2+α）sinβ＝1，则tanα−β2= ．【分析】由已知利用诱导公式，两角差的正弦函数公式可得sin （α﹣β）＝1，可求α−β2=k π+π4，k ∈Z ，利用诱导公式即可求解tanα−β2的值．【解答】解：∵sinαsin （π2−β）﹣sin （π2+α）sinβ＝1， ∴sinαcosβ﹣cosαsinβ＝sin （α﹣β）＝1， ∴α﹣β＝2k π+π2，k ∈Z ，可得α−β2=k π+π4，k ∈Z ，∴tanα−β2=tan （k π+π4）＝tan π4=1．故答案为：1．18．（2020春•宣城期末）已知锐角θ满足cos （θ+π6）=−√23，则sin （θ+5π12）＝．【分析】根据同角三角函数关系，以及诱导公式，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．【解答】解：∵锐角θ满足cos （θ+π6）=−√23，∴π6＜θ+π6＜2π3，则sin （θ+π6）=1−(−√23)2=√73，∵θ+5π12−（θ+π6）=π4， ∴θ+5π12=（θ+π6）+π4，则sin （θ+5π12）＝sin[（θ+π6）+π4]＝sin （θ+π6）cos π4+cos （θ+π6）sinπ4=√73×√22−√23×√22=√14−26，故答案为：√14−2619．（2020春•包头期末）已知sinα=45，α∈（π2，π），cosβ=−√53，β是第三象限角．（1）求cos （α+β）的值；（2）求tan （α﹣β）的值．【分析】（1）直接利用三角函数的定义和和角公式的运用求出结果．（2）利用切化弦思想和差角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）已知sinα=45，α∈（π2，π），所以cosα=−35，由于cosβ=−√53，β是第三象限角．所以sinβ=−23．故：cos （α+β）=cosαcosβ−sinαsinβ=35×√53+45×23=8+3√515．（2）由于tanα=sinαcosα=−43，tanβ=sinβcosβ=25，故tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=14√5−12920．（2020春•上饶期末）已知α为锐角，求下列各式的值：（1）sinα=35，求sin(α+π6)的值；（2）cos(α+π3)=13，求sinα的值．【分析】（1）由α为锐角及α的正弦值可得α的余弦值，将sin(α+π6)按两角和的正弦公式展开，即可求出其值；（2）由α为锐角及cos(α+π3)=13＞0，可得α+π3∈（π3，π2），进而求出α+π3的正弦值，由sinα＝sin[（α+π3）−π3]将其按两角差的正弦公式展开可得其值．【解答】解：（1）因为α为锐角，sinα=35，所以cosα═2α=45，所以sin(α+π6)=sinαcosπ6+cosαsinπ6=35⋅√32+45⋅12=3√3+410；（2）因为α为锐角，cos(α+π3)=13＞0，α+π3∈（π3，π2），可得sin（α+π3）=√1−cos2(α+π3)=2√23，所以sinα＝sin[（α+π3）−π3]＝sin（α+π3）cosπ3−cos（α+π3）sinπ3=2√23⋅12−13⋅√32=2√2−√36．21．（2020春•徐州期末）已知0＜α＜π2，cos(π4+α)=13．（1）求cosα的值；（2）求sin2α的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得cosα的值．（2）由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得结果．【解答】解：（1）因为0＜α＜π2，所以，π4＜π4+α＜3π4，所以，sin(π4+α)＞0．由cos(π4+α)=13，所以，sin(π4+α)=√1−cos2(π4+α)=2√23，所以cosα=cos[(π4+α)−π4]=cos(π4+α)cosπ4+sin(π4+α)sinπ4=13×√22+2√23×√22=4+√26．（2）sin2α=−cos(π2+2α)=−cos[2(π4+α)]=1−2cos2(π4+α)=1−29=79．22．（2020春•利通区校级期末）已知sin（π﹣α）=4√37，cos（α﹣β）=1314，0＜β＜α＜π2．（1）求sin（α+π3）的值；（2）求角β的大小．【分析】（1）直接利用三角函数的诱导公式的应用和同角三角函数的变换的应用求出结果．（2）利用三角函数的角的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）已知sin （π﹣α）＝sinα=4√37，由于0＜α＜π2．所以cosα=√1−sin 2α=17，故sin(α+π3)=sinαcos π3+cosαsin π3=4√37×12+17×√32=5√314．（2）0＜β＜α＜π2．所以0＜α−β＜π2，由于cos （α﹣β）=1314，所以sin(α−β)=3√314，故：cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosβcos （α﹣β）+sinβsin （α﹣β）=17×1314+4√37×3√314=12．由于0＜β＜π2．所以β=π3．23．（2020春•金凤区校级期末）已知tanα＝2，其中α∈（0，π2）．（1）求2sin 2α1+cos α的值；（2）求cos （α+π4）的值．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式化简化简求解．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cos （α+π4）．【解答】解：（1）由于tanα＝2，其中α∈（0，π2），所以：2sin 2α1+cos 2α=2sin 2α2cos 2α+sin 2α=2tan 2α2+tan 2α=2×222+22=86=43；（2）由于tanα＝2，其中α∈（0，π2），可得：cosα=√11+tan 2α=√11+22=√55，sinα=√1−cos 2α=2√55，cos （α+π4）=√22cosα−√22sinα=√22×√55−√22×2√55=−√1010．[B 组]—强基必备1．（2020•福州模拟）已知α，β是函数f （x ）＝sin x +cos x −13在[0，2π）上的两个零点，则cos （α﹣β）＝（） A ．﹣1B ．−89C ．−√22D ．0【分析】利用函数与方程之间的关系，结合三角函数的诱导公式，同角的三角函数的关系以及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可．【解答】解：解法一：依题意，f （α）＝f （β）＝0，故sinα+cosα=13，由{sinα+cosα=13sin 2α+cos 2α=1，得9sin 2α﹣3sinα﹣4＝0，9cos 2α﹣3cosα﹣4＝0且sinα≠cosα，所以sinα，cosα是方程9x 2﹣3x ﹣4＝0（*）的两个异根．同理可证，sinβ，cosβ为方程（*）的两个异根．可以得到sinα≠sinβ，理由如下：假设sinα＝sinβ，则cosα＝cosβ，又α，β∈[0，2π），则α＝β，这与已知相悖，故sinα≠sinβ．从而sinα，sinβ为方程（*）的两个异根，故sinαsinβ=−49．同理可求cosαcosβ=−49，所以cos （α﹣β）＝cosαcosα+sinαsinβ=−89．解法二：令f （x ）＝0，得sinx +cosx =13．令g （x ）＝sin x +cos x ，即g(x)=√2sin(x +π4)，则α，β即为g （x ）与直线y =13在[0，2π）上交点的横坐标，由图象可知，α+β2=5π4，故β=5π2−α，又√2sin(α+π4)=13，所以cos （α﹣β）=cos(2α−5π2)=cos[2(α+π4)−3π]=−cos2(α+π4)=−1+2sin 2(α+π4)=−89．解法三：依题意，不妨设0≤β＜α＜2π，则点A （cosα，sinα），B （cosβ，sinβ）为直线x +y −13=0与单位圆的两个交点，如图所示．取AB 中点为H ，则OH ⊥AB ，记∠AOH ＝θ．则α﹣β＝2π﹣2θ，所以，cos （α﹣β）＝cos （2π﹣2θ）＝cos2θ＝2cos 2θ﹣1．另一方面，OH =|0+0−13|√1+1=√26，OA ＝1，故cosθ=√26，从而cos(α−β)=2×(√26)2−1=−89．故选：B ．2．（2020•榆林模拟）已知sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3π2），则1−tanα21+tanα2=（）A ．−12B ．﹣2C ．12D ．2【分析】推导出α2∈（π2，3π4），tan α2∈（﹣1，0），1−tanα21+tanα2=1−sinαcosα，由此利用sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3π2），能求出1−tanα21+tanα2的值．【解答】解：∵α∈（π，3π2），∴α2∈（π2，3π4），∴tan α2∈（﹣1，0），∴1−tanα21+tanα2=(1−tan α2)2(1+tan α2)(1−tan α2)=1+tan 2α2−2tan α21−tan 2α2=cos 2α2+sin 2α2−2sin α2cos α2cos 2α2−sin 2α2=1−sinαcosα， ∵sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3π2），∴1−tanα21+tanα2=1−sinαcosα=−2．故选：B ．3．（2019秋•福建月考）已知α，β∈（0，π2），tanα=cos2β1−sin2β，则α﹣β＝（）A ．π2B ．π4C ．3π4D ．π【分析】利用三角函数的和数关系与商数关系，可以将tanα=cos2β1−sin2β化简为tan （β+π4），即可求解．【解答】解：由tanα=cos2β1−sin2β=cos 2β−sin 2βcos 2β−2sinβcosβ+sin 2β=(cosβ−sinβ)(cosβ+sinβ)(cosβ−sinβ)2=cosβ+sinβcosβ−sinβ=1+tanβ1−tanβ=tan π4+tanβ1−tan π4tanβ=tan （β+π4）， ∵α，β∈（0，π2），∴α=β+π4； ∴α−β=π4．故选：B ．4．（2020春•冷水滩区校级月考）已知2sin 2α+2sinαcosα1+tanα=k （0＜α＜π2）．试用k 表示sinα﹣cosα的值．【分析】利用倍角公式及切化弦可把原式化为2sinαcosα＝k ．分0＜α＜π4，π4≤α＜π2两种情况通过求（sinα﹣cosα）2可得答案．【解答】解：2sin 2α+2sinαcosα1+tanα=2sinα(sinα+cosα)1+sinαcosα=2sinαcosα(sinα+cosα)sinα+cosα＝2sinαcosα＝k ．当0＜α＜π4时，sinα＜cosα，此时sinα﹣cosα＜0，∴sinα﹣cosα=−√(sinα−cosα)2 =−√1−2sinαcosα=−√1−k ．当π4≤α＜π2时，sinα≥cosα，此时sinα﹣cosα≥0，∴sinα﹣cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1−k ．。

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