第七章 回归正交试验设计
第07章：最优回归试验设计与分析
第7章最优回归试验设计与分析方差分析一章介绍的方差分析技术主要用于析因试验结果的分析。
但在多处理情形下，虽然我们在理论上可以容易地将双因子方差分析的模型和方法推广到多因子方差分析的情况，但在实践中，做多个因子的完全试验会有实际的困难，因为完全试验所要求的试验次数太多，乃至无法实现。
例如，假定要考虑5个三水平因子，则完全试验（重复数为1）要求做35=243次试验；假如再加一个四水平因子，则完全试验（同样重复数为1）要作972次试验，如果要能够分析全部交效应，同时还能够做平方和分解，则试验次次还需要加倍！显然，如此大的试验次数在实际中几乎是无法实施的。
解决这个困难的技术之一是采取正交试验设计进行试验。
本章介绍的最优回归试验设计包括一般正交试验设计、正交回归、正交旋转组合设计及均匀设计的试验设计及其分析技术。
第1节正交试验统计分析1．概述正交试验是解决科学试验中多因素、多水平试验，如按全面试验方法，试验处理个数急剧上升的问题。
例如有6个因素，每个因素5个水平的试验，全面试验的试验数目是56＝15625个，一般是不可能完成这么多试验处理的。
因此，统计学家发明了一类试验设计的方法－正交因子设计，或简单地称为“正交设计“。
在这种试验设计中，可以安排许多因子，而试验次数远远小于完全试验所需的试验次数；同时统计分析具有分离各因子的主效应和一阶交互效应两优点。
由于这个优点，正交设计在工、农业试验和科学试验中得到了广泛的应用，并发挥了巨大的作用。
2．分析前先编辑定义数据矩阵，数据矩阵的左边放正交表,右边输入试验结果(试验可是单个或有重复),一行一个正交试验组合。
然后, 将正交表和试验结果一起定义成数据矩阵, 如有1个包含3个处理(A,B,C)和2个空闲因子、重复3次的试验,的其数据编辑定义格式为如图7－1。
然后进入菜单选择“一般正交试验”功能，系统提示用户输入试验因子(处理+空闲因子)的总个数(系统一般能自动识别出来,故一般只需回车)。
第七章 响应面回归设计
二次回归正交设计
应用二次回归正交设计法，所得的 回归系数的估计之间相互独立，因 此删除某些因子时不会影响其它的 回归系数的估计，从而很容易写出 所有系数为显著的回归方程。 二次回归正交设计的试验点由正交 点、主轴点和中心点组成。
二次回归正交设计
两个变量的试验点组合方案
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 M n x1 1 1 −1 −1 x2 1 −1 1 −1 0 0 3 2 用 L 4 ( 2 ), m c = 2 = 4 星号点 , 2 p = 4 中心点 m 0
Ey H0： ： 假设： 假设： Ey H1： ： = β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
≠ β 0 + β 1 x1 + L + β p x p
统计量： 统计量：
FLf =
S Lf / f Lf Se / fe
当拒绝H 需要寻找原因， 当拒绝 0时，需要寻找原因，改变模型 否则认为线性回归模型合适，可以将S 否则认为线性回归模型合适，可以将 e 合并作为S 检验方程是否显著。 与SLf合并作为 E检验方程是否显著。
回归设计
回归设计概述 回归模型 因素水平编码 Box－Benhken设计 － 设计 二次回归正交设计
概述
回归设计也称为响应面设计。 是一种通过少量试验，获得数据， 估计参数，有效地建立试验指标和 连续变量之间的定量关系的方法。 它是由英国统计学家G.Box在20世 纪50年代初真对化工生产提出的， 后来这一方法得到了广泛的应用。
(
)
Y —响应变量；xj —第j个自变量； ε—正态随机误差；β0 —回归截距； βj βjj’βjj —回归系数；
第七章 回归正交试验设计
个因素之间的函数关系。
因素水平编码表
自然变量xj 规范变量zj 1 -1 0 △j x1 700 300 500 200 x2 2400 1800 2100 300 x3 10 8 9 1
7.1.2一次回归方程的建立
设总的试验次数为N，其中原正交表所规定的二水平试验次数为 mc，零水平试验次数为m0，即有： N 建立回归方程
m
mc m0
ˆ a b j x j bkj xk x j，k 1,2,, m 1( j k ) y
j 1 k j
其系数的计算公式如下：
将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到剩余平方和与自由度中，
然后再进行相关的方差分析计算。具体例子见书P126～129例8－1。
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
14
用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，
对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个
F0.05（1,6）=5.99 F0.01（1,6）=13.74
可见因素z2对指标影响高度显著，所建的回归方程高度显著：
y 0.50475 0.03375z2
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
N 1 SST Lyy ( yi y ) 2 yi2 ( yi ) 2 N i 1 i 1 i 1 N N
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
10
②一次项zj偏回归平方和
SS j m b ，j＝ 1 ， 2， ，m
8.正交试验设计
K Y3 Y5 Y7
C 3
=>因素C在1,2,3水平上试验值的平均数分别为
1 C k K1 , 3
C 1
1 C k K2 , 3
C 2
1 C k K3 3
C 3
化工产品转化率的试验值
试验号
1 2
A
1 1 1 2 2 2 3
B
1 2
C
1 2
转化率
31
3
4
3
1 2
3
2
54 38 53 49
Y1 a1 b1 c1 1 Y2 a1 b2 c2 2 Y3 a1 b3 c3 3 Y4 a2 b1 c2 4 Y5 a2 b2 c3 5 Y a b c 2 3 1 6 6 Y7 a3 b1 c3 7 Y8 a3 b2 c1 8 Y9 a1 b3 c2 9
C 1 2 C 2 2 C 3 2
可以证明：QT QA QB QC QE
QA ——因素A引起的离差平方和 QB ——因素B引起的离差平方和 QC ——因素C引起的离差平方和 QE ——误差平方和
定理 (1)
2 （2）当 H01 , H02 , H03 成立时，
QE
~ 2 2
试验值
Y1 Y2 Y3 Y4
4
5 6 7 8 9
A2 B2C3 A2 B3C1 A3 B1C3
Y5 Y6
Y7
A3 B2C1 A3 B3C2
Y8 Y9
假定因素A,B,C没有交互作用。 设因素A在水平 A1 , A2 , A3 上的效应分别为 a1 , a2 , a3 因素B在水平 B1 , B2 , B3 上的效应分别为 b1 , b2 , b3 因素C在水平 C1 , C2 , C3 上的效应分别为 c1 , c2 , c3
回归正交试验设计
回归正交试验设计一、概述（1）回归分析与正交试验设计的主要优缺点回归分析的主要优点是可以由试验数据求出经验公式，用于描述自变量与因变量之间的函数关系。
它的主要缺点是毫不关心试验数据如何取得，这样，不仅盲目地增加了试验次数，而且试验数据还往往不能提供充分的信息。
因此，有些工作者将经典的回归分析方法描述成：“这是撒大网，捉小鱼，有时还捉不到鱼”。
所以说，回归分析只是被动地处理试验数据，并且回归系数之间存在相关关系，若从回归方程中剔除某个不显著因素时，需重新计算回归系数，耗费大量的时间。
正交试验设计的主要优点是科学地安排试验过程，用最少的试验次数获得最全面的试验信息，并对试验结果进行科学分析（如方差分析），从而得到最佳试验条件，但是它的主要缺点是试验结果无法用一个经验公式来表达，从而不便于考察试验条件改变后，试验指标将作如何变化。
（2）回归正交试验设计回归正交试验设计，实际上就是将线性回归分析与正交试验设计两者有机地结合起来而发展出的一种试验设计方法，它利用正交试验设计法的“正交性”特点，有计划、有目的、科学合理地在正交表上安排试验，并将试验结果用一个明确的函数表达式即回归方程来表示，从而达到既减少试验次数、又能迅速地建立经验公式的目的。
根据回归模型的次数，回归正交试验设计又分为一次回归试验设计和二次回归试验设计。
二、一次回归正交试验设计（一）一次回归正交试验设计的概念一次回归设计研究的是一个因素z （或多个因素z 1，z 2，……）与试验指标y 之间的线性关系。
当只研究一个因素时，其线性回归模型：y ＝β0＋β1z ＋e (1)其回归方程为：z y ∧∧∧+=10ββ (2)式中∧0β、∧1β称为回归系数，e 是随机误差，是一组相互独立、且服从正态分布Ｎ（０，σ２）的随机变量。
可以证明，∧0β、∧1β和∧y 是β０、β１和y 的无偏估计，即Ｅ（∧0β）＝β０，Ｅ（∧1β）＝β1，Ｅ（∧y ）＝y一次回归正交试验设计是通过编码公式x ＝f(z) −− 即变量变换，将式（２）变为：x b b y 10+=∧(3)且使试验方案具有正交性，即使得编码因素Ｘ的各水平之和为零：∑==mi ix1(4)式中m 是因素x 的水平数。
第七章 回归正交设计
y 26. 9 28. 3 28. 7 28. 9 29. 6 30. 0 30. 4
y2 723. 61 800. 89 823. 69 835. 21 876. 16 900. 00 924. 16
l iy
k
2
(k ) yk
14.8 28 0. 5286 7.823 1
y 202 .8
(1 )
z 16 2
ˆ (2) y ˆ (1) b 2 2 ( x ) y ˆ (1 ) 0 . 04762 ( x 2 8 x 12 ) y
0 . 04762 z 16 2 z 16 12 8 2 2
根据表 7. 2. 2 的计算，得回归计算 ˆ (1 ) b 0 b1 1 ( x ) 28 . 971 0 . 5286 ( x 4 ) y
26 . 857 0 . 525 x 26 . 857 0 . 525
=22. 628+0. 2625z. 或 =
ˆ y
方差分析
方差来源
平方和
自由度
平均平方和 7. 823 0. 190 0. 135 0. 131 0. 0175
F
显著性 **
一次 二次 回归 三次 四次
7 . 716 Q1 0 . 190 Q2 8 . 279 Q3 0 . 135 Q4 0 . 137
其中 k (x) x a1k x 是l 次待定系数多项式
k k 1
a 2k
k 2
a k 1,k x a kk , (k 1,2,p)
y b0 b1 φ (x) b2φ (x) bpφ 1 2 p(x)
正交试验设计
正交试验设计1. 什么是正交试验设计？正交试验设计（Orthogonal Experimental Design）是一种实验设计方法，旨在通过少量试验点，充分收集实验数据，从而减少实验变量的数量，提高实验效率。
正交试验设计适用于产品工艺改进、优化设计、参数选择以及产品性能分析等场景。
正交试验设计的核心思想是通过合理的设计选择，通过改变实验因素的组合，以及试验点数的把握，实现大量试验数据的获取。
在正交试验设计中，通过选择一组适当的实验因素、水平和试验点数，保证实验结果具有可靠性和有效性。
2. 正交试验设计的原理正交试验设计的原理是通过合理选取试验因素的水平，使得因素之间的影响相互独立，避免因素之间的干扰，以确保实验结果的可靠性和有效性。
正交试验设计使用正交表作为设计工具，正交表是由一组正交矩阵构成的，每个矩阵的行数代表试验因素的水平数，列数代表试验点数。
正交表的特点是每一列中任意两个数字之间都正交，即两个数字的乘积等于零。
这种正交性保证了试验因素之间的独立性，减小了因素之间的相互影响，提高了试验效率。
正交试验设计的步骤如下：1.确定试验目标和要素：明确需要优化的目标和相关的要素。
2.选择正交表和水平数：根据要素和水平数选择合适的正交表。
3.确定试验因素和水平：根据试验目标和要素，确定需要进行试验的因素和每个因素的水平。
4.填写正交表：根据选择的正交表和确定的试验因素水平，将试验因素填写到正交表中。
5.进行试验和收集数据：按照正交表中的设计进行试验，记录实验数据。
6.数据分析和优化：通过对实验数据的分析，得出结论并优化设计。
3. 正交试验设计的优势正交试验设计具有以下几个优势：•提高实验效率：通过合理选择试验因素和水平数，正交试验设计可以通过少量的试验点获取大量的实验数据，提高了实验效率。
•确保实验结果可靠性：正交试验设计通过合理的设计选择，避免了因素之间的干扰，保证了实验结果的可靠性。
•降低实验成本：正交试验设计可以在保证实验效果的前提下，减少试验点的数量，降低实验成本。
第七章-回归正交试验设计
例7-1：用石墨炉原子吸收分光光度计测定食品中 的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度(y)大。为 提高吸光度，讨论了x1(灰化温度/℃)， x2(原子化 温度/℃)和 x3 (灯电流/mA)三个因素对吸光度的影 响，并考虑交互作用x1x2 ， x1x3 。已知x1＝ 300~700℃， x2＝1800~2400℃，x3＝8~10mA。 试通过回归正交试验确定吸光度与三个因素之间
指标（y）与m个试验因素x1，x2，…，xm之间的一次回归
方程：
m
yˆ a bj x j
bkjxk x j , k 1,2,..., m 1( j k)
j 1
k j
例：m＝3时，一次回归方程： y＝a＋b1x1＋b2x2＋b3x3＋b12x1x2＋b13x1x3＋b23x2x3
➢ 其中x1，x2，x3表示3个因素；x1x2，x1x3，x2x3表示交互作用 ➢ 若不考虑交互作用，为三元一次线形回归方程：
➢ 根据偏回归系数的正负，得到各因素对试验指标 的影响方向
(4)方差分析
SST
n i 1
yi2
1( n n i1
yi )2
2.049044
4.0382 8
0.010864
SS1 mcb12 8 0.009752 0.000761
SS2 mcb22 8 0.033752 0.009113
0.010741
SSe SST SSR 0.010864 0.010741 0.000123
(4)方差分析
dfT=n-1=8-1=7 df1=df2=df3=1 df12=df13=1 dfR=df1+df2+df3+df12+df13=1+1+1+1+1=5 dfe=dfT-dfR=7-5=2 MS1=SS1/df1=0.000761 MS2=SS2/df2=0.009113 MS3=SS3/df3=0.000265 MS12=SS12/df12=0.000181 MS13=SS13/df13=0.000421 MSR=SSR/dfR=0.010741/5=0.002148 MSe=SSe/dfe=0.000123/2=0.000062 F1=MS1/MSe=0.000761/0.000062=12.27 F2=MS2/MSe=0.009113/0.000062=146.98 F3=MS3/MSe=0.000265/0.000062=4.27 F12=MS12/MSe=0.000181/0.000062=2.92 F13=MS13/MSe=0.000421/0.000062=6.79 FR=MSR/MSe=0.002148/0.000062=34.65
实验设计与数据处理课后答案
《试验设计与数据处理》专业：机械工程班级：机械11级专硕学号：S110805035 姓名：赵龙第三章：统计推断3-13 解：取假设H0：u1-u2≤0和假设H1：u1-u2＞0用sas分析结果如下：Sample StatisticsGroup N Mean Std. Dev. Std. Error----------------------------------------------------x 8 0.231875 0.0146 0.0051y 10 0.2097 0.0097 0.0031Hypothesis TestNull hypothesis: Mean 1 - Mean 2 = 0Alternative: Mean 1 - Mean 2 ^= 0If Variances Are t statistic Df Pr > t----------------------------------------------------Equal 3.878 16 0.0013Not Equal 3.704 11.67 0.0032由此可见p值远小于0.05，可认为拒绝原假设，即认为2个作家所写的小品文中由3个字母组成的词的比例均值差异显著。
3-14 解：用sas分析如下：Hypothesis TestNull hypothesis: Variance 1 / Variance 2 = 1Alternative: Variance 1 / Variance 2 ^= 1- Degrees of Freedom -F Numer. Denom. Pr > F----------------------------------------------2.27 7 9 0.2501由p值为0.2501＞0.05（显著性水平），所以接受原假设，两方差无显著差异第四章：方差分析和协方差分析4-1 解：Sas分析结果如下：Dependent Variable: ySum ofSource DF Squares Mean Square F Value Pr > FModel 4 1480.823000 370.205750 40.88 <.0001Error 15 135.822500 9.054833Corrected Total 19 1616.645500R-Square Coeff Var Root MSE y Mean0.915985 13.12023 3.009125 22.93500Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > Fc 4 1480.823000 370.205750 40.88 <.0001由结果可知，p值小于0.001，故可认为在水平a=0.05下，这些百分比的均值有显著差异。
7回归正交设计
X2
X3
X1X2 X1X3 X2X3 y
1
11
1
1
1 11
y1
2
1•(2) 回1 归方程1及偏回归-1系数的1显著性检-1验 -1
y2
3
•在1 一次回1 归正交设-1计下， 1
-1 1 -1 y3
4
1 1 -1 -1 -1 -1 1 y4
5
•因1 素项回-1归平方和1
1
-1 -1 1
y5
6
1 -1 1
•在一次回归正交设计下，由于偏回归系数两两相互独立， •回归平方和等于各偏回归平方和之 和 •回归自由度为各偏回归自由度之和
•剩余（误差）平方和 •剩余（误差）自由度
•(2) 回归方程及偏回归系数的显著性检验
•由上面的计算可知，各项偏回归平方和分别与 或 的平方成正比。这说 明在由回归正交设计所求得的回归方程中，偏回归系数绝对值的大小表示了 对应变量（因素或互作）作用的大小，其符号反映了这种作用的性质。
-1
-1
1
y5
6
1
-1
1
-1
-1
1
-1
y6
7
1
-1
-1
1
1
-1
-1
y7
8
1
-1
-1
-1
1
1
1
y8
9
1
0
0
0
0
0
0
y9
10 1
0
0
0
0
0
0
y10
11 1
0
0
0
0
0
0
y11
Bi
7正交试验设计
正交试验设计1正交试验的引入在实际的生产实践当中，由于需要考虑的因素（对结果产生影响的变量）通常比较多，同时，每个因素的水平个数（每个变量的可取值个数）也不止一两个。
如果对每个因素的每个水平交互搭配全部进行试验，例如：对于5因素4水平的实验，全部次数为：541024，需要用相当长的时间进行统计分析计算，同时耗费了大量的人力物力。
而如果采用正交试验设计，试验的次数将大大减少，同时对统计结果的分析也变得简单。
正交试验设计是利用正交表科学的安排与分析多因素试验的方法，是最常用的试验设计之一。
2正交表的分类及优势正交表分为：等水平正交表和混合水平正交表。
等水平代表各因素所取的水平数相同，混合水平表示各因素的水平数不一定相同。
正交表的优点：（1）能够在所有方案中均匀的选出具有代表性的方案；（2）通过对少数试验的分析，可以推得较优的方案，并且较优方案往往不包含在少数进行试验了的方案中。
（3）通过对结果分析，可以得到更多有用的信息。
包括各因素的重要性等。
3正交试验设计的步骤总的来说包括两部分：一是试验设计，二是数据处理。
归纳为：（1）明确试验目的，确定评价指标；（2）挑选因素，确定水平；（3）选正交表，进行表头设计：一般要求为因素数≤正交表列数（4）明确试验方案，进行试验得到结果；（5）对结果进行统计分析：采用直观分析法或方差分析法，得到因素的主词以及优方案等信息；（6）进行验证试验，做进一步的分析。
4有交互作用的正交试验设计在许多试验中，不仅要考虑各个因素对试验指标起作用，还有考虑因素间的交互作用对试验解结果的影响。
在这种正交试验的设计当中，要把交互作用也作为因素考虑进去。
可以查对应的正交表来进行表头设计。
5举例下面通过举例来说明如何设计正交表以及对用不同的方法对试验结果进行分析。
例1（三水平三因素正交表设计以及直观分析法）以下试验考虑的两个指标全部解：可选用正交表49(3)L 来安排试验级差R 0.59 0.55 0.59 1.86因素主次 CAB 优方案131C A B符号说明：i K ：表示人一类上水平号为i 是所对应的试验结果之和；级差R ：表示在任一列上K 的最大值与最小值之差；级差越大，说明对结果影响越大，那么这个因素越重要。
《试验设计及最优化》课程教学大纲
“DesignofExperimentaland Optimization” mainly teaches the methods and skills of experimental design and data processing. It is a fundamental professional course that provides practical and scientific knowledge of experimental design and data processing skills for personnel engaged in scientific research, engineering experiments, and engineering design in the fields of chemical engineering and material science.
试验设计及最优化
课程名称
中文
试验设计及最优化
课程编号
0005200105
英文
DesignofExperimentaland Optimization
开课单位
化学化工学院
考核方式
考试
学时
32
学分
2
课程术学位硕士生、专业学位硕士生、非全日制专业学位硕士生
课程简介(中文)：
《试验设计及最优化》主要讲授试验设计与数据处理的方法和技能，是一门为从事化工、材料等方面的科学研究、工程实验以及工程设计等工作的研究人员提供相应的试验设计与数据处理知识与技能的基础性专业课程。
教材及主要参考书目：
李云雁，胡传荣编，《试验设计与数据处理》第三版，化学工业出版社，2017.9
-第七章正交试验设计法与价值
试验结果
水合肼纯度
E1 E2 精品 粗品
搅拌速度
F1 F2 中速 快速
产率 (％)
颜色
11
1
1
2
21
56 合格
2
21
2
21
1
65 紫色
31
2
2
2
2
2 54 合格
4
2
21
21
2 43 合格
51
1
1
1
1
2 63 合格
6
21
21
2
2 60 合格
71
2
21
1
1
42 紫色
8
2
21
1
21
42 合格
6.试验结果分析
7、反复调优试验, 逼近最优方案
• 挑因素, 选位级, 制定因素位级表
位级
因素
1
因素位级表
粗品水合肼用量
反应时间
1.7倍
2h
加料速度 快
2 考察原因
2.3倍
4h
慢
是最重要的 因素，在好用量 周围再取两个用 量继续试验。
员为比对较慎由2一重h于次起很一。见感线，兴人趣再，因想响重点的加颜追考验料色查察证速的出。试度重现验可要紫后能原色是因，影原猜，
一、基本概念
• 成本
－－价值工程中使用的成本概念是指产品的寿命周期成本。它是产 品从研制、生产到使用的整个寿命期间, 为实现产品的功能所必须的一切 支出。
用 户
产品寿命周期
对 用
要 求 的 功
研制 生产 生产成本C1
使用 C2
户 要 求 的 满
能
寿命周期成本C ＝C1 ＋C2
回归正交
S E S e S Lf
2016/9/4
13
其中
S e ( yij yi ) ， ，
2 i 1 j 1
n
mi
f e (mi 1) N n ，
1 yi mi
y
j 1
mi
ij
ˆi )2 S Lf mi ( yi y
i 1
n
，
f Lf n p 1
zp 这里 f ( z1 , z2 ,, z p )是 z1 , z 2 ,,的一个函数，常称为响应函数， 其图形也称为响应曲面； 是随机误差，通常假定它服从均值为0，方差为 2 的正 态分布。 f ( z1 , z 2 ,, z p ) 在上述假定下， 可以看作为在给定 z1 , z 2 ,, z p后指 标的均值，即 E( y) f ( z , z ,, z )
2016/9/4
17
为此，要求摆脱古典回归分析的被动局面，主动把试验的 安排、数据的处理和回归方程的精度统一起来考虑，即根据 试验目的和数据分析的要求来选择试验点，不仅使得在每一 个试验点上获得的数据含有最大的信息，从而减少试验次数， 而且使数据的统计分析具有一些较好的性质。 这就是二十世纪五十年代发展起来的“回归设计”所研究 的问题。 回归设计的分类： 根据建立的回归方程的次数不同，回归设计有一次回归设 计、二次回归设计、三次回归设计等； 根据设计的性质又有正交设计、旋转设计等。 本章仅介绍一次回归的正交设计与二次回归的组合设计 （包括正交设计与旋转设计）。
y 0 j z j jj z 2 j ij zi z j
j j i j
(7.1.1)
这里各 0 , j , jj , ij , 为未知参数，也称为回归系数，通 常需要通过收集到的数据对它们进行估计。 若用 b0 , b j , b jj , bij , 表示相应的估计，则称
回归正交设计
实验内容：P201习题2、5模版：实验3 回归正交试验设计◆实验目的掌握回归正交试验设计原理及统计分析方法，并能通过SAS编程实现◆实验内容及实验步骤1某橡胶制品有橡胶，竖直和改良剂复合而成，为提高撕裂强度，考虑进行一次响应曲面正交设计，三个变量的取值范围分别为：Z：橡胶中等成分的含量0~20Z：树脂中等成分的含量10~20Z：改良剂的阿百分比0.1~0.3（2）如果在试验中心进行了四次重复试验，结果分别为：417，401，455，439，试检验在区域中心一次响应曲面方程是否合适？实验步骤：I)在SAS系统软件中对该数据进行一次相应曲面正交试验设计，程序如下：data raw1;input tno x1 x2 x3 y @@;cards;1 -1 -1 -1 4072 -1 -1 1 4213 -1 1 -1 3224 -1 1 1 3715 1 -1 -1 2306 1 -1 1 2437 1 1 -1 2508 1 1 1 259;proc print data = raw1; proc glm data =raw1; model y= x1 x2 x3 ; Run;321625.10375.12375.67875.312x x x y +--=从方差分析结果来看，2x 和3x 的显著性不高，可推断该曲面方程的忽略了几个变量之间的交互作用，但是拟合度已经达到90.2027%，整个实验还是显著的。
II) 一次响应曲面方程的最大值是403.25，而四次重复试验的结过分别为417，401，455，439，其中的三个结果都超出了一次相应曲面方程的最大值，所以在区域中心的一次相应曲面方程是不合适的。
下面再对三个变量的交互作用进行二次相应曲面方程拟合。
程序如下： data raw1;input tno x1 x2 x3 y @@; cards ;1 -1 -1 -1 4072 -1 -1 1 4213 -1 1 -1 3224 -1 1 1 3715 1 -1 -1 2306 1 -1 1 2437 1 1 -1 2508 1 1 1 2599 0 0 0 41710 0 0 0 401 11 0 0 0 45512 0 0 0 439;data reg1;set raw1;x1x2=x1*x2;x1x3=x1*x3;x2x3=x2*x3;x1x1=x1*x1;x2x2=x2*x2;x3x3=x3*x3;proc print data=reg1;proc glm data=reg1;model y= x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x2x3 x1x1 x2x2 x3x3;run;结果2通过上面的图标可以看出，数据的拟合度已经达到了97.6273%，这样的拟合度是相当高的，在该种拟合状况下的二次响应曲面方程式是：1132312132112.115875.3125.5375.21625.10375.12375.67428x x x x x x x x x x x y -+-++--=该种情况下，虽然拟合程度很高，但是我们仍然可以看到，x2、x3、x1x3的显著性不是很好。
正交试验设计(内容详尽)
例：在弹簧生产中，为提高弹性、防止弹簧断裂，要进行 回火工艺试验。试验中选取回火温度（A）、保温时间 （B）、工件重量（C）三个试验因素，每个因素取1、2、 3三个水平进行试验，希望通过试验确定出最佳的生产条件 （工艺条件）。
水平
因素
1
2
3
A 回火温度（℃）
440
470
500
B 保温时间（min）
的规律，以肯定或否定先前的调查研究结论、发现新规律 而进行的有计划活动。
试验的实质：是一种用以测定过程或系统某些特定性 能的有目的的测试。
■ 试验设计（DOE，Design of Experiment）
试验设计是数理统计学领域的一个分支。它是以概 率论、数理统计、线性代数等为理论基础，科学地设计 试验方案，正确合理地分析试验结果，以较少的试验工 作量和较低的成本获取足够、可靠的有用信息。
7.2 试验设计的统计学基础
7.2.1 常用统计量
■ 极差 极差指的是一组数据中的最大值与最小值之差，也称
为变异幅。
R xmax xmin
极差反映了一组数据的最大离散程度。
■ 和与平均值
设有n个观测值 x 1,x2, ,xn构成的一组数据，定义
和 平均值
n
T xi i 1
x
1 n
n i 1
xi
T n
■ 偏差（离差）
偏差有以下两种表示方法：
◆ 观测值与期望值 之差
di xi (i 1,2,, n)
◆ 观测值与平均值 x 之差 vi xi x(i 1,2,, n)
由于期望值通常是未知的，因此试验中常使用后者， 前者只用于理论分析中。
● 重复原则——利用重复观测减小试验误差，提高试 验精度；
第七章_响应面回归设计
Y —响应变量；xj —第j个自变量； ε —正态随机误差；β 0 —回归截距； β j β jj’β jj —回归系数；
回归模型
三元二次响应面模型描述：
Y 0 1 x1 2 x2 3 x3 12 x1 x2 13 x1 x3 23 x2 x3 2 11 x12 22 x2 33 x32 ~ N 0, 2
ˆ S E ( yi yi ) 2
i
自由度 f E n p 1
ˆ 回归平方和 S R ( yi y) 2 自由度 f R p
回归模型
当H0为真时，有
SR / fR F ~ F ( f R , f E ) F ( p, n p 1) SE / f E
给定显著性水平α， 则拒绝域为 F F1 ( p, n p 1)
F F1 接收H 0 F F1 拒绝H0，接受H1
回归模型
4. 失拟检验： 在某些点上有重复试验数据，可 以对Y的期望是否是x线性函数进 行检验。残差平方和SE分解为组 内（误差）平方和Se与组间（失 拟）平方和SLf。 即： S E S e S Lf
0 0
1 x1 p x p 1 x1 p x p
统计量：
FLf
S Lf / f Lf Se / f e
当拒绝H0时，需要寻找原因，改变模型 否则认为线性回归模型合适，可以将Se 与SLf合并作为SE检验方程是否显著。
回归模型
5. 回归系数的检验：
H 0 j： j 0，H1 j： j 0
回归模型
1. 二次响应面（多元二次多项式） 模型描述：
p p p Y f x 0 j x j jj x j x j jj x 2 j j 1 j j j 1 ~ N 0, 2 ，j 1,2, , p，j ' 1,2,, p
回归正交设计课程设计
回归正交设计课程设计一、教学目标本节课的教学目标是使学生掌握正交设计的原理和方法，能够运用正交设计解决实际问题。
知识目标包括：了解正交设计的概念、原理和步骤；掌握正交表的构造方法和应用。
技能目标包括：能够独立完成正交试验的设计和分析；能够运用正交设计解决实际问题。
情感态度价值观目标包括：培养学生的创新意识和实践能力；培养学生团队合作精神和科学严谨的态度。
二、教学内容本节课的教学内容主要包括正交设计的原理、方法和应用。
首先，介绍正交设计的概念和原理，让学生了解正交设计是一种高效、可靠的实验设计方法。
其次，讲解正交表的构造方法和应用，让学生掌握如何使用正交表进行试验设计。
最后，通过实例分析，让学生学会如何运用正交设计解决实际问题。
三、教学方法为了实现本节课的教学目标，将采用多种教学方法相结合的方式进行教学。
主要包括讲授法、案例分析法和实验法。
首先，通过讲授法向学生传授正交设计的理论知识。
其次，通过案例分析法，让学生结合实际案例，理解和掌握正交设计的应用。
最后，通过实验法，让学生动手实践，培养学生的实际操作能力。
四、教学资源为了支持本节课的教学内容和教学方法的实施，将准备以下教学资源：教材《实验设计与应用》，正交设计的相关参考书籍，多媒体教学课件，正交设计实验设备，以及在线教学资源等。
这些教学资源将有助于丰富学生的学习体验，提高学习效果。
五、教学评估本节课的教学评估将采用多元化的评估方式，以全面、客观、公正地评价学生的学习成果。
评估方式包括平时表现、作业、考试等。
平时表现主要评估学生的课堂参与度、提问回答、团队协作等方面；作业主要评估学生的理解能力和应用能力；考试主要评估学生的知识掌握和运用能力。
通过这些评估方式，能够全面反映学生的学习成果，激发学生的学习积极性。
六、教学安排本节课的教学安排将根据课程目标和学生的实际情况进行合理规划。
教学进度将按照教材的章节和内容进行安排，确保在有限的时间内完成教学任务。
回归正交试验设计
规范变量z 规范变量 j 上星号臂γ 上星号臂 上水平1 上水平 零水平0 零水平 下水平－1 下水平－ 下星号臂－ 下星号臂－γ 变化间距 变化间距 j
②确定合适的二次回归正交组合设计 参考表8-22 参考表
正交表的选用 因素数m 因素数 2 3 4（1/2实施） （ 实施 实施） 4 5（1/2实施） （ 实施 实施） 5 选用正交表 L4（23） L8（27） L8（27） L16（215） L16（215） L32（231） 表头设计 1，2列 ， 列 1，2，4列 ， ， 列 1，2，4，7列 ， ， ， 列 1，2，4，8列 ， ， ， 列 1，2，4，8，15列 ， ， ， ， 列 1，2，4，8，16列 ， ， ， ， 列 mc 22＝ 4 23＝ 8
（3）回归方程的建立 ） m0＝0，n＝mc＝8 ， ＝ 计算表 计算各回归系数 写出y与规范变量 写出 与规范变量zj的回归方程 与规范变量 根据偏回归系数绝对值大小， 根据偏回归系数绝对值大小，确定因素和交互作用主次 根据偏回归系数正负， 根据偏回归系数正负，得到各因素对试验指标的影响方向 （4）方差分析 ） 与自然变量x （5）回归方程的回代：得到试验指标 与自然变量 j的回归 ）回归方程的回代：得到试验指标y与自然变量 方程
1 m0 SSe1 = ∑ ( y0i y 0 ) 2 = ∑ y0i2 (∑ y0i ) 2 m0 i =1 i =1 i =1
m0
m0
重复试验误差的自由度： 重复试验误差的自由度： ②回归方程失拟部分： 回归方程失拟部分： 失拟平方和 ：
df e1 = m0 1
SS Lf = SST SS R SS e1 = SS e SS e1
回归平方和 ： SS R = ∑ SS 一次项 + ∑ SS 交互项 残差平方和 ：
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y 0.50475 0.03375z2
21
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
4、回归方程的回代，建 立回归方程：
z2
x2
2100 300
，代入回归方程：
y 0.50475 0.03375 x2 2100 300
0.2685 0.0001125 x2
xj0
x j1
2
xj2
称xj0为xj的零水平。
Xj的变化间距用△j表示：
j xj2 xj0
或
j
xj2
2
x j1
3
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
2.因素水平的编码
将xj的各水平进行如下的线性变换：
zj
xj
xj0 j
Zj就是xj的编码，两者一一对应。
因素水平编码表
自然变量xj
规范变量zj
①总变动平方和
SST
Lyy
N
( yi
i 1
y)2
N i 1
yi2
1 N
N
(
i 1
yi )2
10
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
②一次项zj偏回归平方和
SS j mcb2j，j＝1，2， ，m
③交互项zkzj偏回归平方和
SSkj mcbk2j，j k, k 1,2, , m 1
④回归平方和U
将二水平的正交表中“2”用“－1”代换，即可得到一次回归正
交设计表。例如 L8 (27 ) 经过变换后得到如下的回归正交设计表：
试验号 1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
-1
-1
-1 -1
3
1
-1 -1
1
1
-1 -1
4
1
-1
-1
-1
-1
1
1
5
-1
1
-1
1
-1
1
-1
6
-1
1
-1 -1
1
-1
1
7
-1
1
第七章 回归正交试验设计
回归正交试验设计将正交试验设计和回归分析两者的 优势统一起来，它可以在因素的试验范围内选择适当的试 验点，用较少的试验建立一个精度高、统计性质好的回归 方程，并能解决试验优化问题。
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
一次回归正交设计欲建立如下的回归方程：
yˆ a b1x1 b2 x2 bm xm 或
SS12 mCb122 8 0.00475 2 0.000181
SS13 mCb123 8 0.00725 2 0.000421
U SS1 SS2 SS3 SS12 SS13 0.010741
Q SST U 0.000123
19
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
m
ˆy a bj x j bkjxk x j，k 1,2, ,m 1( j k )
j 1
k j
2
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
7.1.1一次回归正交设计的基本方法
1.确定因素的变化范围
设因素xj的变化范围为[xj1,xj2]，分别称xj1和xj2为因素
xj的下水平和上水平，取它们的算数平均值
∑
4.038 2.049044 0.078
z2y
z3y (z1z2)y (z1z3)y
0.552 0.554 -0.480 -0.472 0.516 0.532 -0.448 -0.484
0.270
0.552 -0.554 0.480 -0.472 0.516 -0.532 0.448 -0.484
14
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，
对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个 因素进行考察，并考虑交互作用x1x2、 x1x3。已知x1=300～700 ℃, x2=1800～2400℃，x3=8～10mA。试通过回归正交试验确定吸光度与三 个因素之间的函数关系。
-1
1
1
-1
-1
1
8
-1
-1
1
-1
1
1
-1
5
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
回归正交表具有如下的特点： （1）任一列编码的和为0
N
z ji 0 或 z j 0，j 1,2, , m
i 1
（2）任意两列编码的乘积之和等于零
N
z ji zki 0，k 1,2, , m 1( j k)
i 1
说明回归正交设计表同样具有正交性，可使回归 计算大大简化。
6
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
4.试验方案的确定 交互作用列的编码正好等于表中对应两列因素编码的乘积，所
以用回归正交表安排交互作用时，可以不参考正交表的交互作用表， 直接根据这一规律写出交互作用列的编码。
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
因素水平编码表
自然变量xj
规范变量zj
x1
x2
x3
1
700
2400
10
-1
300
1800
8
0
500
2100
9
△j
200
300
1
15
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
试
验 z1 z2 z1z2 z3 z1z3 得率y
y2
z1y
号
1 1 1 1 1 1 0.552 0.304704 0.552 2 1 1 1 -1 -1 0.554 0.306916 0.554 3 1 -1 -1 1 1 0.480 0.230400 0.480 4 1 -1 -1 -1 -1 0.472 0.222784 0.472 5 -1 1 -1 1 -1 0.516 0.266256 -0.516 6 -1 1 -1 -1 1 0.532 0.283024 -0.532 7 -1 -1 1 1 -1 0.448 0.200704 -0.448 8 -1 -1 1 -1 1 0.484 0.234256 -0.484
20
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
将z1、z3、z1z2、z1z3的平方和并入误差项
差异源
SS
f
V
F
显著性
回归（z2） 0.009113
1
0.009113 31.21
**
残差 0.001751
6
0.000292
总和 0.010864
7
F0.05（1,6）=5.99 F0.01（1,6）=13.74
差异源
SS
f
V
F
显著性
z1
0.000761
1
0.000761 12.27
z2
0.009113
1
0.009113 146.98
**
z3
0.000265
1
0.000265 4.27
z1z2 0.000181
1
0.000181 2.92
z1z3 0.000421
1
0.000421 6.79
回归 0.010741
8 i 1
yi
4.038 8
0.50475
8
b1
z1i yi
i 1
mC
0.078 8
0.00975
8
b2
z2i yi
i 1
mC
0.270 8
0.03375
8
b3
z3i yi
i 1
mC
0.046 8
0.00575
17
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
8
b12
( z1z2 )i yi
数学模型不合理，需要重新考虑拟合的数学模型。只有数学
模型合理而且据此得到的回归方程显著时才有意义。
当零水平试验次数m0≥2，可进行回归方程的失拟性检验。
23
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0，则：
①重复试验误差变动平方和及其自由度：
SSe2
U SS j SSkj
⑤剩余平方和Q
Q SST U
11
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
(2)计算各种平方和的自由度 ①总变动平方和自由度
fT N 1
②偏回归平方和自由度
f j fkj 1
③回归平方和U自由度
fU f j fkj
④剩余平方和Q自由度
fQ fT fU
12
x1
x2
…
xm
zj1=-1
x11
x21
…
xm1
zj0=0
x10
x20
…
xm0
zj2=1
x12
x22
…ห้องสมุดไป่ตู้
xm2
△j
△1
△2
…
△m
4
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
由于规范变量zj的取值范围都在[－1，1]之间，不受自然变量xj 的单位和取值大小的影响，所以将y与xj之间的回归转化为y与zj之间 的回归问题，会大大简化回归计算量。 3.一次回归正交设计表
F
U/ Q/
fU fQ
~
F ( fU ,
fQ )
②偏回归系数的显著性检验