第七章 回归正交试验设计

数学模型不合理，需要重新考虑拟合的数学模型。只有数学
模型合理而且据此得到的回归方程显著时才有意义。
当零水平试验次数m0≥2，可进行回归方程的失拟性检验。
23
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
设m0次零水平试验结果为y01，y02，…，y0m0，则：
①重复试验误差变动平方和及其自由度：
SSe2
U SS j SSkj
⑤剩余平方和Q
Q SST U
11
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
(2)计算各种平方和的自由度 ①总变动平方和自由度
fT N 1
②偏回归平方和自由度
f j fkj 1
③回归平方和U自由度
fU f j fkj
④剩余平方和Q自由度
fQ fT fU
12
8 i 1
yi
4.038 8
0.50475
8
b1
z1i yi
i 1
mC
0.078 8
0.00975
8
b2
z2i yi
i 1
mC
0.270 8
0.03375
8
b3
z3i yi
i 1
mC
0.046 8
0.00575
17
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
8
b12
( z1z2 )i yi
可见因素z2对指标影响高度显著，所建的回归方程高度显著：
y 0.50475 0.03375z2
21
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
4、回归方程的回代，建 立回归方程：
z2
x2
2100 300
，代入回归方程：
y 0.50475 0.03375 x2 2100 300
0.2685 0.0001125 x2
1
第七章 回归正交试验设计
回归正交试验设计将正交试验设计和回归分析两者的 优势统一起来，它可以在因素的试验范围内选择适当的试 验点，用较少的试验建立一个精度高、统计性质好的回归 方程，并能解决试验优化问题。
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
一次回归正交设计欲建立如下的回归方程：
yˆ a b1x1 b2 x2 bm xm 或
F
U/ Q/
fU fQ
~
F ( fU ,
fQ )
②偏回归系数的显著性检验
Fj
SS j / f j Q / fQ
~ F ( f j ,
fQ )
经偏回归系数显著性检验，证明对试验结果影响不显著的因素或交 互项，可将其直接从回归方程中剔除，不需要重新建立回归方程，但应 将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到剩余平方和与自由度中， 然后再进行相关的方差分析计算。具体例子见书P126～129例8－1。
5
0.002148 34.65
*
残差 0.000123
2
0.000062
总和 0.010864
7
F0.05（1,2）=18.51 F0.01（1,2）=98.49
F0.05（5,2）=19.30 F0.01（5,2）=99.30
只有因素z2对指标影响高度显著，其余因素及交互项的影响 不显著。回归方程显著。
∑
4.038 2.049044 0.078
z2y
z3y (z1z2)y (z1z3)y
0.552 0.554 -0.480 -0.472 0.516 0.532 -0.448 -0.484
0.270
0.552 -0.554 0.480 -0.472 0.516 -0.532 0.448 -0.484
18
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
3、SST
8 i 1
yi2
1 N
8 i 1
yi 2
2.049044 1 4.0382 0.010864 8
SS1 mCb12 8 0.009752 0.000761
SS2 mCb22 8 0.033752 0.009113
SS3 mCb32 8 0.005752 0.000265
SS12 mCb122 8 0.00475 2 0.000181
SS13 mCb123 8 0.00725 2 0.000421
U SS1 SS2 SS3 SS12 SS13 0.010741
Q SST U 0.000123
19
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
m
ˆy a bj x j bkjxk x j，k 1,2, ,m 1( j k )
j 1
k j
2
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
7.1.1一次回归正交设计的基本方法
1.确定因素的变化范围
设因素xj的变化范围为[xj1,xj2]，分别称xj1和xj2为因素
xj的下水平和上水平，取它们的算数平均值
①总变动平方和
SST
Lyy
N
( yi
i 1
y)2
N i 1
yi2
1 N
N
(
i 1
yi )2
10
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
②一次项zj偏回归平方和
SS j mcb2j，j＝1，2， ，m
③交互项zkzj偏回归平方和
SSkj mcbk2j，j k, k 1,2, , m 1
④回归平方和U
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
(3)计算均方差 ①一次项偏回归平方和均方差
Vj SS j / f j
②交互项偏回归平方和均方差
Vkj SSkj / fkj
③回归平方和均方差
VU U / fU
④剩余平方和均方差
VQ Q / fQ
13
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
(4)显著性检验 ①回归方程的显著性检验
x1
x2
…
xm
zj1=-1
x11
x21
…
xm1
zj0=0
x10
x20
…
xm0
zj2=1
x12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x22
…
xm2
△j
△1
△2
…
△m
4
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
由于规范变量zj的取值范围都在[－1，1]之间，不受自然变量xj 的单位和取值大小的影响，所以将y与xj之间的回归转化为y与zj之间 的回归问题，会大大简化回归计算量。 3.一次回归正交设计表
0.552 0.554 -0.480 -0.472 -0.516 -0.532 0.448 0.484
-0.046 0.038
0.552 -0.554 0.480 -0.472 -0.516 0.532 -0.448 -0.484
0.058
16
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
1、b0
1 N
试验的目的是为了进行回归方程的失拟检验，如果不考虑失拟检验， 也可以不安排零水平试验。
7.1.2一次回归方程的建立
设总的试验次数为N，其中原正交表所规定的二水平试验次数为
mc，零水平试验次数为m0，即有： N mc m0
建立回归方程
m
yˆ a bj x j bkjxk x j，k 1,2, , m 1( j k)
i 1
说明回归正交设计表同样具有正交性，可使回归 计算大大简化。
6
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
4.试验方案的确定 交互作用列的编码正好等于表中对应两列因素编码的乘积，所
以用回归正交表安排交互作用时，可以不参考正交表的交互作用表， 直接根据这一规律写出交互作用列的编码。
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xj0
x j1
2
xj2
称xj0为xj的零水平。
Xj的变化间距用△j表示：
j xj2 xj0
或
j
xj2
2
x j1
3
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
2.因素水平的编码
将xj的各水平进行如下的线性变换：
zj
xj
xj0 j
Zj就是xj的编码，两者一一对应。
因素水平编码表
自然变量xj
规范变量zj
将二水平的正交表中“2”用“－1”代换，即可得到一次回归正
交设计表。例如 L8 (27 ) 经过变换后得到如下的回归正交设计表：
试验号 1
2
3
4
5
6
7
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
-1
-1
-1 -1
3
1
-1 -1
1
1
-1 -1
4
1
-1
-1
-1
-1
1
1
5
-1
1
-1
1
-1
1
-1
6
-1
1
-1 -1
1
-1
1
7
-1
-1
1
1
-1
-1
1
8
-1
-1
1
-1
1
1
-1
5
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
回归正交表具有如下的特点： （1）任一列编码的和为0
N
z ji 0 或 z j 0，j 1,2, , m
i 1
（2）任意两列编码的乘积之和等于零
N
z ji zki 0，k 1,2, , m 1( j k)
9
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
通过上述方法确定偏回归系数之后，可以直接根据它 们绝对值的大小来判断各因素和交互作用的相对重要性， 而不用转成标准回归系数，回归系数的符号反映了因素对 试验指标影响的正负。
7.1.3一次回归方程及偏回归系数的显著性检验
1.无零水平试验时 (1)计算各种平方和
m0 i1
( y0i
y0 )2
m0 i1
y02i
1（m0 m0 i1
y0i）2
fe2 m0 1
因素水平编码表
自然变量xj
规范变量zj
x1
x2
x3
1
700
2400
10
-1
300
1800
8
0
500
2100
9
△j
200
300
1
15
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
试
验 z1 z2 z1z2 z3 z1z3 得率y
y2
z1y
号
1 1 1 1 1 1 0.552 0.304704 0.552 2 1 1 1 -1 -1 0.554 0.306916 0.554 3 1 -1 -1 1 1 0.480 0.230400 0.480 4 1 -1 -1 -1 -1 0.472 0.222784 0.472 5 -1 1 -1 1 -1 0.516 0.266256 -0.516 6 -1 1 -1 -1 1 0.532 0.283024 -0.532 7 -1 -1 1 1 -1 0.448 0.200704 -0.448 8 -1 -1 1 -1 1 0.484 0.234256 -0.484
22
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
2.有零水平试验时
失拟因素 剩余平
非x的一次项 非x项
失拟平方和SSe1
方和Q
重复试验误差
重复试验误差平方和SSe2
前面介绍的回归方程显著性检验，只能说明回归方程是
显著的，至于失拟因素对试验结果的影响不得而知，如果失
拟因素的影响也是显著的，那么原来建立的一次正交回归的
20
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
将z1、z3、z1z2、z1z3的平方和并入误差项
差异源
SS
f
V
F
显著性
回归（z2） 0.009113
1
0.009113 31.21
**
残差 0.001751
6
0.000292
总和 0.010864
7
F0.05（1,6）=5.99 F0.01（1,6）=13.74
1(z1)
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0
2(z2)
1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0
3(z1z2)
1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0
4(z3)
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0
5(z1z3)
1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0 0
7
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析 上表中第9、10号试验称为零水平试验或中心试验，安排零水平
差异源
SS
f
V
F
显著性
z1
0.000761
1
0.000761 12.27
z2
0.009113
1
0.009113 146.98
**
z3
0.000265
1
0.000265 4.27
z1z2 0.000181
1
0.000181 2.92
z1z3 0.000421
1
0.000421 6.79
回归 0.010741
i 1
mC
0.038 8
0.00475
8
b13
( z1z3 )i yi
i 1
mC
0.058 8
0.00725
回归方程为：
y 0.50475 0.00975 z1 0.03375 z2 0.00575 z3 0.00475 z1z2 0.00725 z1z3 2、由回归方程偏回归系 数绝对值的大小，可得 因素的 主次顺序为：x2 x1 x1x3 x3 x1x2
j 1
k j
其系数的计算公式如下：
8
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
a
1 N
N i 1
yi
y
N
z ji yi
bj
i 1
mc
，j 1,2, , m
N
(zk z j )i yi
bkj i1 mc
，j k, k 1,2, , m 1
式中zji表示zj列各水平的编码，(zkzj)i表示zkzj列各水平的编 码。
14
7.1 一次回归正交试验设计及结果分析
用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高吸光度，
对x1（灰化温度/℃）、x2（原子化温度/℃）和x3（灯电流/mA）三个 因素进行考察，并考虑交互作用x1x2、 x1x3。已知x1=300～700 ℃, x2=1800～2400℃，x3=8～10mA。试通过回归正交试验确定吸光度与三 个因素之间的函数关系。