高一数学教案 1.2.1 函数的概念(第二课时) (人教A版必修1)

1.2.1 函数的概念

第二课时 函数概念的应用

【教学目标】

1．进一步加深对函数概念的理解，掌握同一函数的标准；

2．了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域．

3．经历求函数定义域及值域的过程，培养学生良好的数学学习品质。

【教学重难点】

教学重点

能熟练求解常见函数的定义域和值域．

教学难点

对同一函数标准的理解，尤其对函数的对应法则相同的理解．

【教学过程】

1、创设情境

下列函数f (x )与g(x )是否表示同一个函数？为什么？

（1）f (x )＝ (x －1) 0；g(x )＝1 ； （2） f (x )＝x ；g(x )＝x 2；

（3）f (x )＝x 2；g(x )＝(x + 1) 2 ； 、 （4） f (x ) ＝|x |；g(x )＝x 2．

2、讲解新课

总结同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

3、典例

例1 求下列函数的定义域：

（1）11+⋅-=x x y ； （2）232531

x x y -+-=；

分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．

解 ： （1）由⎩⎨⎧≥+≥-,01,01x x 得⎩⎨⎧-≥≥,

1,1x x 即1≥x ，故函数11+⋅-=x x y 的定义域是1[，)∞+．

（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≠-,05,0322x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠,

55,3x x 即5-≤x ≤5且x ≠±3， 故函数的定义域是{x|5-≤x ≤5且x ≠±3}．

点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：

① 分式中，分母不等于零．

② 偶次根式中，被开方数为非负数．

③ 对于0x y =中，要求 x ≠0．

变式练习1求下列函数的定义域： （1）x x x y -+=||)1(0

；（2）x

x x y 121

32+--+=．

解 （2）由⎩⎨⎧>-≠+,0||,01x x x 得⎩

⎨⎧<-≠,0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0是{x |x <0，且x ≠1-}． （4）由⎪⎩⎪⎨⎧≠>-≥+,0,02,032x x x 即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≠<-≥0,2,23x x x ∴23-≤x ＜2，且x ≠0， 故函数的定义域是{x |2

3-≤x ＜2，且x ≠0}．

说明：若A 是函数)(x f y =的定义域，则对于A 中的每一个x ，在集合B 都有一个值输出值y 与之对应．我们将所有的输出值y 组成的集合称为函数的值域．

因此我们可以知道：对于函数f ：A

B 而言，如果如果值域是

C ，那么B C ⊆，因此不能将集合

B 当成是函数的值域．

我们把函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素．如果函数的对应法则与定义域都确定了，那么函数的值域也就确定了．

例2．求下列两个函数的定义域与值域：

（1）f (x )=(x -1)2+1，x ∈{-1，0，1，2，3}；

（2）f (x )=( x -1)2+1．

解：（1）函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，

f (-1)= 5，f (0)=2，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=5，

所以这个函数的值域为{1，2，5}．

（2）函数的定义域为R ，因为(x -1)2+1≥1，所以这个函数的值域为{y ∣y ≥1}

点评： 通过对函数的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，来求出函数的值域的方法我们称为观察法．

变式练习2 求下列函数的值域：

（1）642+-=x x y ，1[∈x ，)5；

（2）1

13+-=x x y ； 解：（1）2)2(2+-=x y ． 作出函数642+-=x x y ，1[∈x ，)5的图象，由图观察得函数的值域为2|{y ≤y ＜}11．

（2）解法一：

14)1(3+-+=x x y 143+-=x ，显然1

4+x 可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝．

解法二：把1

13+-=x x y 看成关于x 的方程，变形得(y －3)x ＋(y ＋1)＝0，该方程在原函数定义域｛x |x ≠－1｝内有解的条件是

⎩⎪⎨⎪⎧y －3≠0，

－y ＋1y －3

≠－1，解得y ≠3，即即所求函数的值域为｛y |y ≠3｝． 点评：（1）求函数值域是一个难点，应熟练掌握一些基本函数的值域和求值域的一些常用方法；

（2）求二次函数在区间上的值域问题，一般先配方，找出对称轴，在对照图象观察．

4、 课堂小结

（1）同一函数的标准：定义域相同、对应法则相同

（2）求解函数值域问题主要有两种方法：一是根据函数的图象和性质（或借助基本的函数的值域）由定义域直接推算；二是对于分式函数，利用分离常数法得到y 的取值范围．

【板书设计】

一、 函数三要素

二、 典型例题

例1： 例2：

小结：

【作业布置】完成本节课学案预习下一节。