弹性力学平面问题极坐标

例6-6 写出图示问题的应力边界条件
（1） 上边： 0，l1 0，l2 1
( )0 0
(
) 0
r l
q0
斜边： ，l1 0，l2 +1
( p ) 0 ( ) 0
（2） 内侧：r a，l1 1 ，l2 0
( r )ra 0 (r )r0 0
外侧：r b，l1 +1 ，l2 0
在不计体力的情况下， 可通过微分关系直接由直角坐 标系下的相容方程得到。
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
r,
0
（展开共8项）
将O-xy坐标系旋转至 x 与 r 重合，即 0，此时
所以
x
r
y
当体力不为零或无势时，可用应力表示相容方程
2 x y
(1
)
Fbx x
Fby y
0
x
x
0
r
r
y
y
0
1 r
2 r
r
xy
x
0
r
r
xy
y
0
1 r r
r
Leabharlann Baidu
r
x
x
yx
y
Fbx
0
0
xy
x
y
y
Fb y
0
0
Fbx 0 Fbr Fby 0 Fb
代入即得
r
r
1 r r
r
r
Fbr
（3）体力分量的坐标转换
O
设极坐标系下的体力分量为 Fbr 、Fb 。 将其分别向 x、y 方向投影得
y
r P
Fb
x
Fbr r
2. 极坐标系下的平衡微分方程
x
x
yx
y
fx
0
x
x
由直角坐标系下的平衡微分方程推导
xy
x
y
y
fy
0
cos
r
sin
r
r
cos2
sin2
2 r
sin cos
五. 极坐标系下的基本方程总结
平衡微分方程
r
r
1 r r
r
r
Fbr
0
r
r
1 r
2 r
r
Fb
0
几何方程
物理方程
相容方程
2 r 2
1 r
r
1 r2
2
2
2
r,
0
（无体力）
或
2 r
1
Fbr r
Fbr r
1 r
Fb
（计体力）
应力分量 （不计体力）
应力边界条件 位移边界条件
由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
M
O
x
a
r r r
y
Fx 0
Fy 0 Mz 0
0
r
r
a
cos
ad
0
r
r a
sin
ad
0
0
r
ra
cos
r
ra
sin
d
0
0
r
ra
sin
r
ra
cos
d
0
a 0 a 0
0
r
ra
a ad
M
0
0
r
a2d M
ra
a 0
上的应力 r、、r r ， 作为在极坐
标系下的应力分量。 r称为径向应力，
称为环向向应力。
y
（2）应力分量的坐标转换
x
r
P
r
r r
r
视 P-r 为旧坐标，P点的应力状态为 r、、r r ； 视 O-xy 为新坐标，求P点的应力分量 x、y、xy yx 。
由应力状态的坐标转换公式
代入计算得
2 r
1
Fbr r
Fbr r
1 r
Fb
五. 极坐标系下的应力边界条件
设边界S的外法线方向与 r、 方向的方向余弦分别为 l1、
l2 ，其上作用的面力沿r、方向的分量分别为 pr、p 。则其应
力边界条件与直角坐标系下具有相同形式。
即
( r )s l1 (r )s l2 pr
( r )s l1 ( )s l2 p
同理可得各阶微分关系，如
2 x2
cos
r
sin
r
cos
r
sin
r
cos
r
cos
r
cos
r
sin r
sin r
cos
r
sin r
sin r
cos2
2 r 2
sin
cos
1 r2
1 r
2 r
sin r
sin
r
cos
2 r
sin r2
cos
sin
2 2
2 x2
cos2
2 r 2
2sin cos
r
2
r
sin2
r
r
2sin cos
r2
sin2
r2
2
2
2 y2
sin2
2 r 2
2sin cos
r
2
r
cos2
r
r
2sin cos
r2
cos2
r2
2
2
2 sin cos 2 cos2 sin2 2
xy
r 2
0
r
1 r
2 r
r
Fb
0
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系
类似体力分量的投影关系 2. 极坐标系下的应变分量
O
x
r
Pu
u
ur
v
r
y
将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
r
r
2 2 2 x2 y2
sin cos
r
r
cos2 sin2
r2
sin cos
r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2 r 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义，过P
点分别以 r 方向和 方向为法线的截面
cos3 r sin2 cos 2sin cos2 r
r
r
r
sin
r
r
cos2
2 r
sin
cos
当
x r
y
时
0
sin
r
sin2
2 r
sin
cos
2 sin
r
r
sin
cos
r
cos 2
y
x
r
以此位置的直角坐标系， 建立平衡微分方程。即
同理
( r )s l1 (r )s l2 pr ( r )s l1 ( )s l2 p
(ur )s ur (u )s u
§6-6 平面问题在极坐标系下求解
一. 轴对称问题的应力与相应的位移
1.轴对称问题的特征
（1）截面的几何形状对称于中心轴，如圆环、圆盘、圆筒。
（2）荷载与约束对称于中心轴。 因此环向体力 Fb 0 ； 在边界上 ，环向的面力和位移为零；即 p 0 (u )s 0
可通过微分关系直接由直角坐标系下的几何方程得到。
同前分析，当 0 时，
所以
即
四. 极坐标系下的物理方程
因r、 方向正交，则物理方程与直角坐标系下具有相同形式。
即
当为平面应变问题时，E1E、1 。
五. 极坐标系下的相容方程
极坐标系下如果用应力函数表示相容方程，体力必须为零
或关于 (r ， ) 有势。
( r )rb 0 (r )rb 0
q0
O
r
x
r
l
y
P
M
O
x
r a
b
y
上端： 0，l1 0 ，l2 1
面力向形心简化
或向O简化
P
M
O
rx
r
a
b
y
（3） 半无限平面 当 r 0 时，上边
(r ) 0 0 ( ) 0 0
(r ) 0 ( ) 0
当 r 0 时，O点受集中力偶， 但无法使 用圣维南原理进行简化。 可使用截面法建立 外力与内力的关系，即O点的应力边界条件。