第八章多元函数微分法及其应用

第八章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

1、 平面点集、n 维空间、多元函数的概念，这些你如果不知道就看看。我下面的资料是从P7开始

的。

2、 在数轴上（一维空间），当0x x →时，只有两种趋近方式：一是x 从左边趋近于0x ，即0x x -

→；

二是x 从右边趋近于0x ，即0x x +

→。在平面直角坐标系中（二维空间），点(,)x y 趋近于点

00(,)x y 时，即00(,)(,)x y x y →的方式有无穷多种，例如，当(,)(0,0)x y →时，点(,)x y 既可

以沿x 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)

lim

(,)x y f x y →便可写成0

lim (,0)x f x +

→，也可以沿x 负半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)

lim

(,)x y f x y →便可写成0

lim (,0)x f x -

→；点(,)x y 既可以沿y 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0)

lim

(,)x y f x y →便可写成0

lim (0,)y f y +

→，也可以沿y 负半轴趋于点(0,0)——这时

(,)(0,0)

lim

(,)x y f x y →便可写成0

lim (0,)y f y -

→；同时点(,)x y 也可以沿直线3y x =趋于点(0,0)——这时

(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →便可以写成0

lim (,3)x f x x →；也可以沿正弦函数图象sin y x =趋于点

(0,0)——这时

(,)(0,0)

lim (,)x y f x y →便可以写成0

lim (,sin )x f x x →。我们应该意识到，点(,)x y 还可以

沿着一些不规则的路径趋于点(0,0)。这里说了这么多，就是要让你明白P7第二段中的“这里

0P P →表示点P 以任何方式趋于点0P ”这句话的涵义。

3、 对于多元函数的极限，特别是二元函数的极限，只需要了解它的定义，并且会求简单的二元函

数的极限，如本节例5、7、8这些题型。考研中，二元函数的极限的计算应该不会考到，重点是一元函数的极限的计算题。但是要会判断

(,)(0,0)

lim (,)x y f x y A →≠这类题型，就是通过找一条特

殊路径求出它的极限不等于A 。如P8页给出的那个例题：

22

22

22,00,0

(,){

xy

x y x y

x y f x y +≠++==

4、 了解多元函数（二元函数）连续性的定义，后面的间断点、最大值最小值定理、介值定理看看

就行了。

5、 习题8——1第

6、7题，结合答案看看就行了。

第二节 偏导数

1、 本节都是重点。

2、 由偏导数的定义，我们在求二元函数(,)f x y 在某一点00(,)x y 处对x 的偏导数时，可以先令二

元函数中的0y y =，则二元函数(,)f x y 则变为一元函数0(,)f x y ，再求该一元函数在点0x x =处的导数值，那么就有

000000|(,)(,)|x x x x x y y f d f x y f x y x dx

===∂'==∂。当然也可以先求出偏导（函）数

(,)x f

f x y x ∂'=∂，

再把00

x x y y ==带到该偏导函数中去，这种方法相对于上面那种来说，有点复杂。 3、 教科书上把偏导数写为(,)x f x y ，复习全书上是写为(,)x f x y '，这两种写法都可以，你不要纠

结于这种无关紧要的细节问题。

4、 偏导数的几何意义：对于二元函数(,)z f x y =，偏导数00(,)x f x y '就是一元函数0(,)z f x y =，

在点0x x =处的导数，也就是该点处的斜率。（该一元函数0(,)z f x y =中x 为自变量，z 为因变量，这里强调这一点是因为教科书上P15倒数第二段中的“切线0x M T 对x 轴的斜率”就是表达这个意思）。同理00(,)y f x y '也有相同的性质，我在这里不说了。

5、 强调偏导数的几何意义，主要是为了让你明确：对于二元函数(,)z f x y =来说，该函数在点

00(,)x y 处的连续性，与该点处偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '的存在与否，没有联系。回顾一

下一元函数，函数()y f x =在点0x x =的导数0()f x '如果存在，那么函数()y f x =在点0x x =处必然连续；反之，如果函数()y f x =在点0x x =处连续，那么0()f x '不一定存在。即

00()()f x y f x x x '⇒==存在在点处必然连续。对于二元函数的这种特殊性质的原因，书上

解释的有，它是从几何角度解释的，我在这里严格清晰地解释一遍，下面只是对00(,)x f x y '为例解释偏导存在性与函数连续性的关系，对00(,)y f x y '来说是一样的，我不再赘述。 因为00000000000

(,)(,)(,)(,)

(,)lim

lim x x x x f x x y f x y f x y f x y f x y x x x ∆→→+∆--'==∆-，所以当偏导数00(,)x f x y '存在时，极限0

0000

(,)(,)

lim

x x f x y f x y x x →--必然存在，又由于当0x x →时，该极限的分