导数与微分

导数和微分

问题 1.为什么用导数能研究函数的性态？

答：应用导数之所以研究函数的性态是因为函数 () f x

在点 0 x 导数 00 0 0 0 0 ()() '()lim

lim

x x x f x f x y f x x x x

®® - D == D - 本身蕴含了函数 () f x 在点 0 x 最本质的属性.为了说明这个事实，我们首先从比数

0 0 ()() f x f x y x x x

- D =

D - 说起，比数 y

x D D

对研究函数 () f x 在点 0 x 的性态有什么意义呢？ 我们知道，两个量a 与b 之比数 a

k

b = （或a kb = ）是一个抽象的数，称为率。

在数学中有很多的率。例如，圆周率，离心率，斜率，曲率等。在社会科学中， “率”就更多了，例如，增长率，出生率，利率等。率这个抽象的数k 给出了两 个量a 与b 之间的倍数关系，即a 与b 的k 倍，它能刻划事物内在的规律和属性。 例如，椭圆 22

22 1 x y a b += 的离心率 22

(01) a b

e e a - =

£< 描绘了椭圆的扁圆的程度：e 愈大，椭圆愈扁;e 愈小，椭

圆愈近似于圆。 由此可见， 椭圆的离心率e 对认识椭圆的几何性态是十分必要的。 这就是几何性质定量化，是“以数表性”的实例。同样，导数这个“率”也能够 以数表性（函数的性态），而应用的范围更为广泛。

设函数 () y f x = 在点 0 x 可导，任取一点 x ，有自变量的改变量 0 , x x x

D =- 相应函数 () y f x = 的改变量 0 ()(). y f x f x D =- 两者的比数为

0 0

()() '.

f x f x y k x x x - D == D - 用分析的语言说， ' k 是函数 () y f x

= 在 0 x 附近的平均变化率。用几何的语言说， ' k 是曲线 () y f x = 过点 00 (,()) x f x 与 (,()) x f x 的割线斜率。 当 x 很靠近 0 x 时 （或 x D 很小时），平均变化率 ' k 能够近似地描绘函数 () y f x = 在点 0 x 附近的性态。例如，

当 '0

y k x D => D 时，即 y D

与 x D 同号，函数 () y f x = 在 0 x 严格增加，而数 ' y

k x D =

D 愈大，函数增加愈快。

当 '0

y

k x D =< D 时，即 y D

与 x D 异号，函数 () y f x = 在点 0 x 严格减少，而数 |'||

| y

k x D = D 愈大，函数减少愈快。

由此可见，函数 () y f x

= 在点 0 x 附近的性态与平均变化率 ' y

k x D =

D 有密切 联系。因此，研究函数 () y f x = 在点 0 x 的性态，首先必须构造函数 () y f x = 在点 0 x 的平均变化率 ' y

k x D =

D 。

其次，研究函 () y f x

= 在点 0 x 的性态，仅有平均变化率 ' y

k x D =

D 还不够， 甚至是很不够的。因为当 x D

是很小的非零常数时，变化率 ' y

k x D =

D 只能是近似地 描绘了究函 () y f x

= 在点 0 x 的性态，它还不能真实精确地描绘究函 () y f x = 在点 0 x 的性态。不难看到，当 x 愈接近于 0 x 的性态。因此，只有当 x 无限趋近于

0 x (0) x D ® ，平均变化率 ' y k x D =

D 的极限，即导数

0 0 0 0 0

()() '()lim

lim

x x x f x f x y f x x x x D ®® - D == D - 才能真实精确地描绘函数 () f x

在 0 x 的性态。由此可见，导数确能起到“以数表 性”的作用。导数 0 '() f x

也称为函数 () y f x = 在点 0 x 的变化率。 这就是导数的构造性定义为什么先作比数 y

x D D ， 其次取极限 (0) x D ® 的道

理。 有了导数就为研究函数的性态添加了新方法， 从而一辟了研究函数的新领域。 因此导数在数学分析中处于十分重要的地位。

问题 2.函数 () f x

在连续点不可导有哪些类型？ 答： 极限

0 0 0 0 ()() lim

lim x x x f x f x y x x x D ®® - D = D - 不存在有几种类型，函数 () f x

在连续点 0 x 不可导也就有几种类型。 1）左、右导数存在，但不相等。

例如，函数 ()|| f x x =

在点0左、右导数不存在，但不相等。 2）左、右导数至少有一个不存在。

例如，函数 ( ) 1 sin

0, 00. x x f x x

x ì

> ï = í ï £ î 右导数 0 0

1

'(0)lim lim sin x x y f x x +

+ D ® D ® D == D D ，不存在。 左导数

'(0)lim 0 x y f x -

- D ® D == D ，存在。

3）左、右导数至少有一个是无限大。

例如，函数 3

() f x x = 在点0。

右导数

3

2 00 3

1 '(0)lim

lim . x x x f x

x +

+

+ D ®D ® D ===+¥ D D 左导数

3

2 00 3

1 '(0)lim

lim . x x x f x

x +

+

+ D ®D ® D ===+¥ D D 注：函数 3

() f x x = 在点0存在切线， 它的切线斜率是无穷大， 即切线是 y 轴 （一

般情况是平行 y 轴）。

问题 3 若函数 ( ) f x 在点 0

x 可导，试问 ( ) /

0 f x 与 ( ) ( ) /

0 f x 有何区别？ 答 ( ) / 0 f x 与 ( ) ( ) / 0 f x 的含义不同。 ( ) / 0 f x 是函数 ( ) f x 在点 0 x 的导数， 而 ( )

( ) /

0 f x 是常数 ( ) 0 f x 的导数，即为零，例如对于 ( ) 2

f x x = ，有

( ) / 36 f = ， ( ) ( ) /

30

f = 问题 4 试问函数 ( ) f x 在 0

x 处不通常通有几种情形？ 答（1）函数在这点不连续（例如在问题2中的例子）

（2）函数在这点的左、右导数中至少有一个不存在，例如：