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2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二(下)期末数学试卷及答案

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2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷

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2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. （ 4分）复数—（ i 是虚数单位）的虚部是1+12. ______________________________________ （ 4分）抛物线y = 2x 2的准线方程为 .3. （ 4分）在复平面上，复数z1= 1+2i 、z2= 3 - 4i 分别对应点A 、B, O 为坐标原点，贝U 也"M4.（4分）若一个圆锥的底面面积为_________ 9n,母线长为5，则它的侧面积为厂Oy — dL — 1 in 6 一k5. （ 4分）参数方程丿（B （R ）所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是 ________L y=cas 06. （ 4分）在平面几何中，以下命题都是真命题：① 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；② 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③ 平行于同一条直线的两直线平行；④ 垂直于同一条直线的两直线平行；⑤ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是__________ （写出所有符合要求的序号） 7. （ 5分）已知关于 x 的实系数方程 x 2+ax+b = 0有一个模为1的虚根，则a 的取值范围& （5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为正（主）视團侧（左）视廊9. （5分）已知地球的半径约为6371千米，上海的位置约为东经侗视图121 °、北纬31 °,开罗的位置约为东经31 °、北纬31 °,两个城市之间的距离为____________ （结果精确到1千米）.10. （5分）在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于贝U sin a=11. （5 分）若复数 z 满足 |z - 2|=|Rez+2|，则 |z - 3 - 2i|+|z - 2| 的最小值 12. （ 5 分）在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，AB =.二，BC = AA 1= 1,点m 与n 异面 m 与n 相交 m 与n 平行 m 与n 异面、相交、平行均有可能OM 的斜率为k ,则|k|的最小值为（C . 2三、解答题（本大题共 5题，共76分） 17 . （14分）如图，正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1的底面边长 AB = 2，若BD 1与底面ABCD所成的角的正切值为（1）求正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1的体积;a,M 为线段AB 1的中点，点P 为对角线AC i 上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点，则MP+PQ 的最小值二、选择题（本大题共 4题，每题5分, 20分）13. （5分）已知空间三条直线 I 、m 、n .I 与m 异面，且I 与n 异面,则（14. （5 分）若一个直三棱柱的所有棱长都为 1，且其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为（C .11兀15.（ 5 分）定义：复数 z 与i 的乘积zi 为复数z 的旋转复数”设复数 z = x+yi （x ，y€R ）对应的点（x, y ）在曲线 x 2- 2xy - y = 0上，则z 的"旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）2 A . y +2xy - x = 0 2 B . y - 2xy+x = 0 2 2C . y +2xy+x = 0D . y - 2xy - x = 016. （ 5分）已知直线I 与抛物线x 2 = 4y 交于 A 、B 两点，若四边形 OAMB 为矩形，记直线（2）求异面直线A1A与B1C所成的角的大小.218. （14分）设z+1为关于x的方程x+px+q= 0 （p, q駅）的虚根，i是虚数单位.（1 ）当z=- 1 + i时，求p、q的值；（2）若q = 1,在复平面上，设复数z所对应的点为M，复数2 -4i所对应的点为N,试求|MN|的取值范围.19. （14分）如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，BC、EF是底面圆0的两条互相垂直的直径，D为母线AC的中点，已知过EF与D 的平面与圆锥侧面的交线是以D为顶点、DO为对称轴的抛物线的一部分.（1 ）证明：圆锥的母线与底面所成的角为——；20. （16分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵：将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[bi e ndo].某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室ABC - A1B1C1 （图1）, A1ABB1是边长为2的正方形.(1 )若厶ABC是等腰三角形，在图2的网格中(每个小方格都是边长为1的正方形)画出堑堵的三视图；(2)若C1D丄A1B1, D在A1B1上，证明：C1D丄DB，并回答四面体DBB1C1是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论) ；若不是，请说明理由；(3)当阳马A1 - C1CBB1的体积最大时，求点B1到平面A1BC的距离.21. (18分)设点P (X0, y0)是抛物线r：y2= 4x上异于原点O的一点，过点P作斜率为k1、k2的两条直线分别交r于 A (x1, y1)、B (x2, y2)两点(P、A、B三点互不相同)(1)已知点Q (3, 0),求|PQ|的最小值；(2 )若y o= 6，直线AB的斜率是k3,求的值；k l W(3)若y0= 2，当■； = 0时，B点的纵坐标的取值范围.2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.z的虚部为-1故答案为：-1.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可.【解答】解：抛物线的方程可变为x2=其准线方程为故答案为【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为 =1，因看错方程形式马虎导致错误.（4分）在复平面上，复数z1= 1+2i、Z2= 3 - 4i分别对应点A、B, O为坐标原点，贝U M【分析】由条件得二应二」J,卞7；,然后计算两向量的数量积即可.【解答】解：由复数Z1= 1+2i、z2= 3- 4i分别对应点A、B, O 为坐标原点，得0A=（l, 2），5B=（3, -4），故答案为：-5.【点评】本题考查了复数与向量的关系和向量的数量积，属基础题. 第5页（共20页）2」2C1-L)1+1-2 4【解答】解：T1. （4分）复数,（i是虚数单位）的虚部是-11+12. （4分）抛物线y= 2x2的准线方程为二_匸3.4. （ 4分）若一个圆锥的底面面积为 9n,母线长为5，则它的侧面积为 15 n【分析】由已知中圆锥的底面面积及母线长，求出圆锥的底面半径，代入侧面积公式，可得答案.【解答】解：一个圆锥的底面面积为 9 n,母线长为5，可得圆锥的底面半径为： 3,周长为6 n,它的侧面积为：兀?5 = 15 n. 故答案为：15 n【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的底面半径和高，是解答的关键.【分析】取y = 0求得0,代入x = 4- sin 2 B 求得x 值，则答案可求. (0R )，取 y = 0，得 cos 0= 0,贝U 0=故答案为：（3, 0）.【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查由已知三角函数值求角，是基础题.6. （ 4分）在平面几何中，以下命题都是真命题：① 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；② 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③ 平行于同一条直线的两直线平行；④ 垂直于同一条直线的两直线平行；⑤ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是①③（写出所有符合要求的序号）【分析】利用平面直线与直线的位置关系以及点与直线的位置关系，判断空间点与直线,直线与直线的位置关系的真假即可.【解答】解：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；在空间内也成立；（4分）参数方程x-4-si n 6（0段）所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是（3, 0）【解答】解：对于* 2x = 4- sin 0= 4 -sin 2 = 3参数方程x=4-si n 2 0严匚g 日（0 R ）所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是（3, 0）.②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；在空间内，与经过这一点直线垂直的直线有无数条，所以不正确；③平行于同一条直线的两直线平行；这是平行公理，正确；④垂直于同一条直线的两直线平行；在空间中，不成立，因为转化两条直线可以是异面直线；所以不正确；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；可以是空间四边形，所以不正确. 故答案为：①③.【点评】本题考查平面内直线与直线的位置关系以及空间中直线与直线的位置关系的应用，是基本知识的考查.27. （5分）已知关于x的实系数方程x +ax+b = 0有一个模为1的虚根，则a的取值范围是（-2,2）.【分析】设出复数乙利用已知条件，结合韦达定理，及|z|= 1，求得b，在根据△< 0求出a的范围.【解答】解：设z= m+ni,则方程的另一个根为L = m - ni,方程有一个模为1的虚根， m2+n2= 1,由韦达定理有，丘工劭=异+门2=1,又厶=a2- 4b = a2- 4v 0, ?- 2v a v 2,a的取值范围为（-2, 2）.【点评】本题考查了实系数方程虚根成对定理和复数的运算性质，考查了方程思想和转化思想，属基础题.& （5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_ . ' _ _.正视團侧（左）视團【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形,第7页（共20页）对角线长是2,侧棱长是2,高是血匚下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 2,高是2, 组合体的体积包括两部分，写出公式得到结果.【解答】解：由三视图知几何体是一个简单组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是 2,侧棱长是2,高是：.?=.； F 面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 2, 高是2,组合体的体积是【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查圆柱的体积和四棱锥的体积，本题是一个基础题，题目只有四棱锥的高需要求出，运算量比较小. 9. （ 5分）已知地球的半径约为 6371千米，上海的位置约为东经121 °、北纬31 °,开罗的位置约为东经31 °、北纬31 °,两个城市之间的距离为6571 （结果精确到1千米）.【分析】根据题意画出图形，结合图形求出球面上两点间的距离即可. 【解答】解：如图所示，设地球的半径为只，则厶AO ' B 中，/ AO ' B = 121 °- 31 °= 90°,AB = .「AO '=二 R ,/ AOB = 1.0314,「= |o|R = 1.0314X 6371~ 6571 （千米）, 即上海和开罗两个城市之间的距离为6571千米.+ nX 12 X 2 =故答案为:2<3△ AOB 中，cos / AOB OA 2^OB 2-AB22OA-OBA0'= B0'= Rcos30°【点评】本题考查了球面上两点之间的距离计算问题，是基础题.10. （5分）在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于贝U sin a= 丄__—3 —【分析】棱A 1A , A 1B 1, A 1D 1与平面AB 1D 1所成的角相等，平面 AB 1D 1就是与正方体的 12条棱的夹角均为 0的平面.则/ A 1AO = 0,即可得出.【解答】解：I 棱A 1A , A 1B 1, A 1D 1与平面AB 1D 1所成的角相等, ?平面AB 1D 1就是与正方体的12条棱的夹角均为 0的平面.则/ A 1AO = 0,【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.11. （5 分）若复数 z 满足 |z - 2|=|Rez+2|，则 |z - 3 - 2i|+|z - 2| 的最小值5a,故答案为：比.【分析】设z= x+yi, x, y€R.由满足|z- 2|= |Rez+2|,可得&直-2)'十丫"= |x+2|，化为: y2= 8x.可得F (2, 0) , Q ( 3, 2),抛物线的准线I: x=- 2 .过点P作PH丄I，垂足为H .可得z-3 - 2i|+|z- 2|= |PF|+|PQ|> |QH|.【解答】解：设z= x+yi, x, y€R.满足z-2|=瓏乙+2|,.?.，」| 「==|x+2|,化为：y2= 8x.可得F (2, 0) , Q (3 , 2),抛物线的准线I: x=- 2.过点P作PH丄l,垂足为H.则|z- 3-2i|+|z- 2|= |PF|+|PQ|> |QH|= 5,当且仅当三点Q , P , H 三点共线时取等号.故答案为：5.H0k F x【点评】本题考查了复数的几何意义、抛物线的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12. （5 分）在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AB = '! , BC=AA1= 1 ,点M 为线段AB1 的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点，贝U MP + PQ的最小值为3_ 7—.【分析】画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP + PQ的最小值.【解答】解：由题意，要求MP + PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1, 在同一个平面上，如图，MP + PQ的最小，最小值易知/ B1AC1=/ C1AC= 30 ° ,，可知MQ丄AC时,为=亍故答案为二.4【点评】本题考查最小值的求解，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大.、选择题（本大题共4题，每题5分，共20 分）13. （5分）已知空间三条直线I、m、n.若I与m异面，且I与n 异面，则（）A . m与n异面B . m与n相交C. m与n平行D . m与n异面、相交、平行均有可能【分析】可根据题目中的信息作图判断即【解答】解：空间三条直线I、m、n.若I与m异面，且I与n 异面，/ m与n可能异面（如图3）,也可能平行（图1），也可能相交（图2）,故选：D.为（） A . n【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积.【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为1的正三棱柱,CiOEA 1 中, OE =二，°A ：■「汀:I L 1 ?球的表面积为S = "?—-丄", 故选：B.14. （ 5分）若一个直三棱柱的所有棱长都为 1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积C .11兀设上下底面中心连线 EF 的中点0,则0就是球心，其外接球的半径为 OA 1,设D 为A 1C 1中点，在直角三角形 EDA 1中，EA 1A]D sin60°在直角三角形由勾股定理得想，属于基础题.【点评】本题考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力，是中档题.15. （5分）定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的旋转复数”设复数 z = x+yi （x , y€R ）对应的点（x, y ）在曲线x 2- 2xy - y = 0上，则z 的"旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）2 2 2 2A . y +2xy - x = 0B . y - 2xy+x = 0C . y +2xy+x = 0D . y - 2xy - x = 0【分析】根据题意求出旋转复数 zi =- y+xi （x , y€R ）对应的点（-y , x ）,再根据复数 z = x+yi （x , y €R ）对应的点（x , y ）在曲线x 2- 2xy - y = 0上求出结论即可.【解答】解：复数z = x+yi （x , y€R ）对应的点（x , y ）在曲线x 2 - 2xy - y = 0 上, ?复数z 的旋转复数zi =- y+xi （x , y€R ）对应的点（-y , x ）, 令 x ，= - y , y '= x ,则，x = y ', y =- x ，即，y ' 2- 2y ，（- x ）-（ - x '）= 0 故，y 2+2xy+x = 0 故选：C .【点评】本题考查复数运算以及点的轨迹方程，难度较易.16. （5分）已知直线I 与抛物线x 2 = 4y 交于A 、B 两点，若四边形 OAMB 为矩形，记直线 OM 的斜率为k ,则|k|的最小值为（）A . 4B . 2 二C . 2D .一】【分析】先设出AB 的方程为y = mx+ n ,与抛物线联立方程组，根据矩形 OABM 的特征求出n 的值，然后建立|k|表达式，求出其最小值.【解答】解：设AB 的方程为y = mx+n ，则?刁得x - 4mx - 4n = 0,设 A (X 1, y 1) , B (x 2, y 2),贝x 1+x 2= 4m , x 1x 2= — 4n , y 1 +y 2 = m (x 1+x 2) +2n ,Hi严y 1y 2=( mx 1+n ) (mx 2+ n )= 伽(疋］+x ?〕+阻 =因为四边形OAMB 为矩形，所以| '■ 11,解之得n = 4或n=0 （舍去），因为OM 过AB 的中点P，则|k|“OP|訂寿|訂塔坦2 2 2 2 -4m n+4m n+n =n .当且仅当m2= 2，即皿=±血时，取得等号；第13页（共20页）故选：B.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题目.三、解答题（本大题共5题，共76分）17. （14分）如图，正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面边长AB= 2，若BD1与底面ABCD所成的角的正切值为一】.（1，求正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的体积；（2，求异面直线A1A与B1C所成的角的大小.【分析】（1 ）利用直线与平面所成角，求解侧棱的长度，然后求解体积.（2）说明/ CB1B是异面直线A1A与B1C所成的角，由此能求出异面直线A1A与B1C所成的角的大小.【解答】解：（1）：正四棱柱ABCD - A1B1C1D1的底面边长为2,AA1丄平面ABCD , BD1与底面ABCD所成的角的正切值为持打.BD = 2 :？,所以AA1 = 4,正四棱柱ABCD - A1B1C1D1 的体积：2 X 2 X 4= 16.(2)T A1A // B1B ,/ CB1B是异面直线A1A与B1C所成的角,由(1 )知AA1 = 4, ? BC = 2,4tan/ CB1B = -- - 7;异面直线A1A与B1C所成的角的大小为arctan2.【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.218. （14分）设z+1为关于x 的方程x+px+q = 0 （ p , q 駅）的虚根，i 是虚数单位.（1 ）当z =- 1 + i 时，求p 、q 的值；（2）若q = 1,在复平面上，设复数 z 所对应的点为 M ，复数2 -4i 所对应的点为N ,试求|MN|的取值范围.【分析】（1）由条件知方程只+px+q = 0的两根分别为i ,- i ，然后利用根与系数的关系可得p , q 的值；（2 ）根据条件，令 a+1 = cos B , b = sin 0 , 0（［0 , 2n ）,然后由 |MN | =血二灵匚乔忑;6石畀可得|MN |的范围.【解答】解：(1)v z =- 1+i , z+1 = i ,则方程x '+px+q = 0的两根分别为i ，- i .(2)设z = a+bi (a , b€R ),贝U z+l = 3+l+bi = a+1 - bi . 由题意可得：(z+1) . =( a+1) 2+b 2= 1.令 a+1 = cos 0, b = sin 0,, 2 n).复数z 所对应的点为 M ，复数2 - 4i 所对应的点为N , ? |MN=G泸十(“门8 十4)* = V10si 口十G) +2E €[4, 6].【点评】本题考查实系数一元二次方程的根与系数的关系、共轭复数的性质、三角函数求值、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属中档题. 19. （14分）如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，BC 、EF 是底面圆0的两条互相垂直的由根于系数的关系有直径，D 为母线AC 的中点，已知过 EF 与D 的平面与圆锥侧面的交线是以 D 为顶点、DO 为对称轴的抛物线的一部分.(1 )证明：圆锥的母线与底面所成的角为可(2)若圆锥的侧面积为 8n,求抛物线焦点到准线的距离.解：(2)°.?圆锥的侧面积为 8 n, ? url = 8 n, ? r = 2, BC 、EF 是底面圆O 的两条互相垂直的直径， D 为母线AC 的中点, OD =l = 2r .即可求得圆锥的母线与底面(2(由nr l = 8 n?r = 2在过EF 与D 的平面内，以 D 为原点，直线DO 为x 轴，建立空间直角坐标系，可设抛物线方程为 y 2= 2px ,点F(1, 2)在物线y 2= 2px 上，求得p即可.【解答】证明：(1)设圆锥底面半径为r ，母线为l . 圆锥的展开侧面图是一个半圆,一■一 _，? l = 2r.圆锥的母线与底面所成的角为a.圆锥的母线与底面所成的角为l .可得所成的角为&在过EF与D的平面内，以D为原点，直线DO为x轴，建立空间直角坐标系，可设抛物线方程为y2= 2px,点 F (1, 2)在物线y2= 2px上，? p= 2抛物线焦点到准线的距离为p = 2.【点评】本题考查了圆锥的性质，抛物线的方程及性质，属于中档题.20. (16分)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵：将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[bi e ndo].某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室ABC - A1B1C1 (图1), A1ABB1是边长为2的正方形.(1 )若厶ABC是等腰三角形，在图2的网格中(每个小方格都是边长为1的正方形)画出堑堵的三视图；(2)若C1D丄A1B1, D在A1B1上，证明：C1D丄DB，并回答四面体DBB1C1是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论) ；若不是，请说明理由；(3)当阳马A1 - C1CBB1的体积最大时，求点B1到平面A1BC的距离.【分析】(1 )△ ABC是等腰三角形，由AB= 2，得AC= BC = . 1,由AA1= 2,点C到直线AB 的距离为1，由此在图2的网格中画出堑堵的三视图.(2)由平面A1B1C1丄平面ABB1A1，且平面A1B1C1 n平面ABB1A1 = A1B1，得C1D丄平面ABB1A1，从而C1D丄DB，四面体DBB1C1是鳖臑，由此能求出结果.(3)当阳马A1 - C1CBB1的体积最大时，AC丄BC,且AC = BC= ?，以C为原点，CA 为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B1到平面A1BC的距离.【解答】解：(1)解：△ ABC是等腰三角形，由AB = 2,得AC = BC =.f,。

高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

高二数学下学期期末考试试题理(含解析)

2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据复数的除法法则求解可得结果．详解：∵，∴．故选C．点睛：本题考查复数的除法运算，考查学生的运算能力，解题时根据法则求解即可，属于容易题．2.2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】分析：根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，得大前提错误.详解：因为根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，所以如果f ' (x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，即大前提错误.选A.点睛：本题考查极值定义以及三段论概念，考查对概念理解与识别能力.3.3.在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（）A. 越小B. 越大C. 可能大也可能小D. 以上都不对【答案】A【解析】分析：根据的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．详解：用相关指数的值判断模型的拟合效果时，当的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大．故选A．点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案．4.4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，第1个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第2个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第3个“金鱼”需要火柴棒的根数为，构成首项为，公差为的等差数列，所以第个“金鱼”需要火柴棒的根数为，故选C.5.5.如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A正确考点：函数导数与单调性及函数图像6.6.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：根据以上数据可得回归直线方程，其中，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则，的值为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于，的方程组，解方程组可得所求．详解：由题意得，又回归方程为，由题意得，解得．故选C．点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点．7.7.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项. 详解：因为，所以当，当，所以由变到时增加的项数为.点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．8.8.如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率.考点：独立事件的概率.9.9.设复数，若，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若则，则的概率为：作出如图，则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：10.10.设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据的定义求出的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．详解：由题意可得，当时，，即．所以．故选D．点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．11.11.已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：二项式展开中常数项肯定不含，所以为，所以原二项式展开中的常数项应该为，即，则，故本题的正确选项为C.考点：二项式定理.12.12.已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由，得，∴，设（为常数），∵，∴，∴，∴，∴，∴当x=0时，；当时，，故当时，，当时等号成立，此时；当时，，当时等号成立，此时．综上可得，即函数的取值范围为．故选B．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.13.已知随机变量服从正态分布，若，则等于__________．【答案】0.36【解析】.14.14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）【答案】660【解析】【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.15.15.的展开式中的系数是__________．【答案】243【解析】分析：先得到二项式的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数．详解：二项式展开式的通项为，∴展开式中的系数为.点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况．16.16.已知是奇函数，当时，，（），当时，的最小值为1，则的值等于__________．【答案】1【解析】试题分析：由于当时，的最小值为，且函数是奇函数，所以当时，有最大值为-1，从而由，所以有；故答案为：1．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的导数与最值．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.17.复数，，若是实数，求实数的值.【答案】【解析】分析：由题意求得，进而得到的代数形式，然后根据是实数可求得实数的值．详解：.∵是实数，∴，解得或，∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的有关概念，解题的关键是求出的代数形式，然后根据该复数的实部不为零虚部为零得到关于实数的方程可得所求，解题时不要忽视分母不为零的限制条件．18.18.某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次0 1 2 3 4数保费设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次0 1 2 3 4数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率.【答案】（1）0.55（2）【解析】分析：（1）将保费高于基本保费转化为一年内的出险次数，再根据表中的概率求解即可．（2）根据条件概率并结合表中的数据求解可得结论．详解：（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故．（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故．又，故，因此其保费比基本保费高出的概率为．点睛：求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．19.19.在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列（）.（1）求，，及，，；（2）根据计算结果，猜想，的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1) ，，，，， (2) 猜想，，证明见解析【解析】分析：（1）根据条件中，，成等差数列，，，成等比数列及所给数据求解即可．（2）用数学归纳法证明．详解：（1）由已知条件得，，由此算出，，，，，.（2）由（1）的计算可以猜想，，下面用数学归纳法证明：①当时，由已知，可得结论成立.②假设当（且）时猜想成立，即，.则当时，，，因此当时，结论也成立.由①②知，对一切都有，成立．点睛：用数学归纳法证明问题时要严格按照数学归纳法的步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时可能要取两个(或两个以上)初始值进行验证，初始值的验证是归纳假设的基础；第二步的证明是递推的依据，证明时必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．20.20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平不满合计对教师管理水平好评意对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；②求的数学期望和方差.0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（，其中）【答案】(1) 可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关. (2) ①见解析②，【解析】分析：（1）由题意得到列联表，根据列联表求得的值后，再根据临界值表可得结论．（2）①由条件得到的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，由此可得分布列．②由于，结合公式可得期望和方差．详解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评120 60 180对教师教学水平不满意105 15 120合计225 75 300由表中数据可得，所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，所以的分布列为：0 1 2 3 4②由于，则，.点睛：求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，对于二项分布的均值和方差可根据公式直接计算即可．21.21.已知函数，（为自然对数的底数，）.（1）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围．详解：（1）∵，∴，∴.又，∴曲线在点处的切线方程为．由得.故，所以当，即或时，切线与曲线有两个公共点；当，即或时，切线与曲线有一个公共点；当，即时，切线与曲线没有公共点.（2）由题意得，由，得，设，则.又，所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以.又，，结合函数图象可得，当时，方程有两个不同的实数根，故当时，函数有两个零点．点睛：函数零点个数（方程根的个数、两函数图象公共点的个数）的判断方法：（1）结合零点存在性定理，利用函数的性质确定函数零点个数；（2）构造合适的函数，判断出函数的单调性，利用函数图象公共点的个数判断方程根的个数或函数零点个数．请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的直角坐标为，曲线的极坐标方程为，直线过点且与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若，求直线的直角坐标方程.【答案】(1) (2) 直线的直角坐标方程为或【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求．（2）根据题意设出直线的参数方程，代入圆的方程后得到关于参数的二次方程，根据根与系数的关系和弦长公式可求得倾斜角的三角函数值，进而可得直线的直角坐标方程．详解：（1）由，可得，得，∴曲线的直角坐标方程为.（2）由题意设直线的参数方程为（为参数），将参数方程①代入圆的方程，得，∵直线与圆交于，两点，∴．设，两点对应的参数分别为，，则，∴，化简有，解得或，∴直线的直角坐标方程为或.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义解题时，要注意使用的前提条件，只有当参数的系数的平方和为1时，参数的绝对值才表示直线上的动点到定点的距离．同时解题时要注意根据系数关系的运用，合理运用整体代换可使得运算简单．23.23.已知函数的定义域为.（1）若，解不等式；（2）若，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】分析：（1）由可得，然后将不等式中的绝对值去掉后解不等式可得所求．（2）结合题意运用绝对值的三角不等式证明即可．详解：（1），即，则，∴，∴不等式化为．①当时，不等式化为，解得；②当时，不等式化为，解得.综上可得．∴原不等式的解集为.（2）证明：∵，∴.又，∴.点睛：含绝对值不等式的常用解法（1）基本性质法：当a>0时，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a．（2）零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．（3）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．（4）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．。

上海市高二数学下学期期末试卷(共3套,含参考答案)

上海市高二数学下学期期末试卷(共3套,含参考答案)

上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2p x的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．；二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？；20．设直线 y= x +2 与双曲线﹣ =1 交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，求：（1）以线段 AB 为直径的圆的标准方程；（2）若 OA 、OB 所在直线的斜率分别是 k OA 、k OB ，求 k OA •k OB 的值．21．已知复数 α 满足（2﹣i ）α=3﹣4i ，β=m ﹣i ，m ∈R ． （1）若|α+β|＜2| |，求实数 m 的取值范围；（2）若 α+β 是关于 x 的方程 x 2﹣nx +13=0（n ∈R ）的一个根，求实数 m 与 n 的值．22．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，PA ⊥底面 ABCD ，E 为 BC 的中点，PC 与平面 PAD 所成的角为 arctan．（1）求证：CD ⊥PD ；（2）求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）（3）若直线 PE 、PB 与平面 PCD 所成角分别为 α、β，求的值．23．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到定点 F （0，﹣1）的距离与 P 到定直线 y=﹣2 的距离的比为 ，动点 P 的轨迹记为 C ． （1）求轨迹 C 的方程；（2）若点 M 在轨迹 C 上运动，点 N 在圆 E ：x 2+（y ﹣0.5）2=r 2（r ＞0）上运动，且总有|MN |≥0.5， 求 r 的取值范围；（3）过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 交轨迹 C 于 A 、B 两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点 T ，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ？若存在，求出点 T 的坐标．若不存在，请说明理由．上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2p x的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2p x的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．=．∴圆锥的体积V=故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为：+1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos （结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④C．①②④D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C 的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真命题是①③④．故选：B．； （三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是 3 米，底面的边长是 8 米： （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计） （2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】 1）求出正四棱锥形的体积即可； （2）求出斜高，在计算侧面积．【解答】解：（1）V= S正方形 ABCDh= =64．∴正四棱锥形冷水塔的容积为 64 立方米．（2）取底面 ABCD 的中心 O ，AD 的中点 M ，连结 PO ，OM ，PM ． 则 PO ⊥平面 ABCD ，PM ⊥AD ，∴PO=h=3，OM=，∴PM==5，∴S △PAD == =20．∴S 侧面积=4S △PAD =80．∴制造这个冷水塔的侧面需要 80 平方米的钢板．（ （20．设直线 y= x +2 与双曲线﹣ =1 交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，求：（1）以线段 AB 为直径的圆的标准方程；（2）若 OA 、OB 所在直线的斜率分别是 k OA 、k OB ，求 k OA •k OB 的值．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】 1）联立方程组，消去 y 得关于 x 的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求 出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线 y= x +2 代入设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则 x 1+x 2=4，x 1x 2=﹣14，则 AB 的中点 C 的横坐标 x=|AB |=则半径 R=，则圆的标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=﹣ =1 得 x 2﹣4x ﹣14=0，，纵坐标 y== =．，即圆心 C （2，3），=3 ，（2）若 OA 、OB 所在直线的斜率分别是 k OA 、k OB ，则 k OA = ，k OB =，则 k OA •k OB == = = =﹣．21．已知复数 α 满足（2﹣i ）α=3﹣4i ，β=m ﹣i ，m ∈R ． （1）若|α+β|＜2| |，求实数 m 的取值范围；（2）若 α+β 是关于 x 的方程 x 2﹣nx +13=0（n ∈R ）的一个根，求实数 m 与 n 的值． 【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算． 【分析】 1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出； （2）根据韦达定理即可求出．；（【解答】解：（1）∵（2﹣i ）α=3﹣4i ，∴a==2﹣i ，∴α+β=2+m ﹣2i ， ∵|α+β|＜2| |，∴（2+m ）2+4＜4（4+1）， 解得﹣6＜m ＜2，∴m 的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β 是关于 x 的方程 x 2﹣nx +13=0（n ∈R ）的一个根， 则 2+m +2i 也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面是边长为 2 的正方形，PA ⊥底面 ABCD ，E 为 BC 的中点，PC 与平面 PAD 所成的角为 arctan．（1）求证：CD ⊥PD ；（2）求异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）（3）若直线 PE 、PB 与平面 PCD 所成角分别为 α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角． 【分析】 1）由 PA ⊥平面 ABCD 得出 PA ⊥CD ，又 CD ⊥AD 得出 CD ⊥平面 PAD ，故而 CD ⊥PD ；（2）以 A 为坐标原点激励空间直角坐标系，求出 ， 的坐标，计算 ， 的夹角即可得出答案； （3）求出平面 PCD 的法向量 ，则 sin α=|cos ＜ ， ＞|，sin β=|cos ＜ ， ＞|． 【解答】证明：（1）∵PA ⊥平面 ABCD ，CD ⊂ 平面 ABCD ， ∴PA ⊥CD ．∵四边形 ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ．又 PA ⊂ 平面 P AD ，AD ⊂ 平面 PAD ，PA ∩AD=A ， ∴CD ⊥平面 P AD ，∵PD ⊂ 平面 P AD ，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面P AD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴P A==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos （3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则∴，令z=1得=（0，1，1）．．=（﹣2，0，2），，=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．∴=1，=2．∴cos＜∴sinα=∴=＞==，cos＜＞==．，sinβ=．．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为动点P的轨迹记为C．5（ 过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 的方程为：y=k （x + ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．与椭圆方程化为： 18+9k 2），化为：x 2+∪（1）求轨迹 C 的方程；（2）若点 M 在轨迹 C 上运动，点 N 在圆 E ：x 2+（y ﹣0.5）2=r 2（r ＞0）上运动，且总有|MN |≥0.5， 求 r 的取值范围；（3）过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 交轨迹 C 于 A 、B 两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点 T ，使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ？若存在，求出点 T 的坐标．若不存在，请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】 1）设点 P （x ，y ），由题意可得： = = ，化简即可得出．（2）E （0， ）．分类讨论：①r ≥+ ，根据|MN |≥0.5，可得 r ≥ + + ．②0＜r ＜ + ，设M ，|MN |=|EN |﹣r ，解得 r ≤|EN |﹣ 的最小值，即可得出 r 的取值范围．（3）把 x=﹣ 代入椭圆的方程可得：+ =1，解得 y=± ．取点 T （1，0）时满足 =0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点 T （1，0），使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T （1，0）．设（x 2+6k 2x +k 2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+=0．即可证明．【解答】解：（1）设点 P （x ，y ），由题意可得： = ==1．（2）E （0， ）．分类讨论：①r ≥+ ，∵总有|MN |≥0.5，∴r ≥+ + = +1．②0＜r ＜ + ，设 M，|MN |=|EN |﹣r∴，解得 r ≤|EN |﹣ =．﹣ = ﹣ ，综上可得：r 的取值范围是．（3）把 x=﹣ 代入椭圆的方程可得：+ =1，解得 y=± ．取 A ，B ．取点 T （1，0）时满足 =0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点 T （1，0），使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ．（x 1+x 2）+1+﹣×设过点 Q （﹣ ，0）的动直线 l 的方程为：y=k （x + ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立，化为：（18+9k 2）x 2+6k 2x +k 2﹣18=0，∴x 1+x 2= 则，x 1x 2= ．=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2=（x 1﹣1）（x 2﹣1）+=（1+k 2）x 1x 2+=（1+k 2）×+1+ =0．∴在此坐标平面上存在一个定点 T （1，0），使得无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T ．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°△，则F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|P A|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C（）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当=3时，求实数m的值．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=3+5i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±的顶点和焦点，，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=10．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离：=5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°△，则F1PF2的面积是1．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，PF2=90°，∵∠F1∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2PF2的面积为xy=1∴△F1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的范围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|P A|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|P A|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|P A|+|PB|=2a（a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3B．b=﹣2，c=3C．b=﹣2，c=﹣1D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．R【分析】由题意，将根代入实系数方程 x 2+bx+c=0 整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数 a ，b 的方程组 ，解方程得出 a ，b 的值即可选出正确选项【解答】解：由题意 1+ i 是关于 x 的实系数方程 x 2+bx+c=0 ∴1+2 i ﹣2+b+ bi+c=0∴，解得 b=﹣2，c=3故选 B16．对于抛物线 C ：y 2=4x ，我们称满足 y 02＜4x 0 的点 M （x 0，y 0）在抛物线的内部．若点 M （x 0，y 0）在 抛物线内部，则直线 l ：y 0y=2（x+x 0）与曲线 C （ ）A ．恰有一个公共点B ．恰有 2 个公共点C ．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D ．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去 y ，进而根据 y 02＜4x 0 判断出判别式小于 0 进而判定直线与抛物线 无交点．【解答】解：由 y 2=4x 与 y 0y=2（x+x 0）联立，消去 x ，得 y 2﹣2y 0y+4x 0=0， ∴△=4y 02﹣4×4x 0=4（y 02﹣4x 0）． ∵y 02＜4x 0，∴ ＜△0，直线和抛物线无公共点． 故选 D三、解答题（共 5 小题，满分 52 分）17．已知直线 l 平行于直线 3x+4y ﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求直线 l 的方程． 【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线 l 的方程为：3x+4y+m=0，分别令 x=0，解得 y=﹣ ；y=0，x=﹣ ．利用 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，可得=24，解得 m 即可．【解答】解：设直线 l 的方程为：3x+4y+m=0，分别令 x=0，解得 y=﹣ ；y=0，x=﹣ ．∵l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，∴=24，解得 m=±24．∴直线 l 的方程为 3x+4y ±24=0．18．设复数 z 满足|z|=1，且（3+4i ）•z 是纯虚数，求 ． 【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数 z ，|z|=1 可得一个方程，化简（3+4i ）•z 是纯虚数，又得到一个方程，求得 z ，然后求 ．【解答】解：设 z=a+bi ，（a ，b ∈ ），由|z|=1 得 ；。

上海市高二数学下学期期末试卷(共3套,含答案)

上海市高二数学下学期期末试卷(共3套,含答案)

上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V==．故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为： +1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，b ≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos （结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10] ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列命题中，正确的命题是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真命题是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C 的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真命题是①③④．故选：B．三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）求出正四棱锥形的体积即可；（2）求出斜高，在计算侧面积．【解答】解：（1）V=S 正方形ABCD •h==64．∴正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米．（2）取底面ABCD 的中心O ，AD 的中点M ，连结PO ，OM ，PM ．则PO ⊥平面ABCD ，PM ⊥AD ，∴PO=h=3，OM=，∴PM==5， ∴S △PAD ===20． ∴S 侧面积=4S △PAD =80．∴制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板．20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线y=x+2代入﹣=1得x2﹣4x﹣14=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=﹣14，则AB的中点C的横坐标x=，纵坐标y=，即圆心C（2，3），|AB|====3，则半径R=，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=．（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，则k OA=，k OB=，则k OA•k OB=====﹣．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【解答】解：（1）∵（2﹣i）α=3﹣4i，∴a==2﹣i，∴α+β=2+m﹣2i，∵|α+β|＜2||，∴（2+m）2+4＜4（4+1），解得﹣6＜m＜2，∴m的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，则2+m+2i也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，又CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，故而CD⊥PD；（2）以A为坐标原点激励空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角即可得出答案；（3）求出平面PCD的法向量，则sinα=|cos＜，＞|，sinβ=|cos＜，＞|．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴PA==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos．（3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴=（﹣2，0，2），=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（0，1，1）．∴=1，=2．∴cos＜＞==，cos＜＞==．∴sinα=，sinβ=．∴=．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化简即可得出．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，根据|MN|≥0.5，可得r≥++．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣的最小值，即可得出r的取值范围．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x1﹣1）（x2﹣1）+ =0．即可证明．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化为：x2+=1．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，∵总有|MN|≥0.5，∴r≥++=+1．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣=﹣=﹣，∴．综上可得：r的取值范围是∪．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取A，B．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，∴x1+x2=，x1x2=．则=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+=（1+k2）x1x2+（x1+x2）+1+=（1+k2）×﹣×+1+=0．∴在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是．4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是．9．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是米．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣116．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．19．已知圆C和y轴相切，圆心在直线x﹣3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为，求圆C的方程．20．已知F1，F2为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M，设|MF2|=d．（1）证明：b2=ad；（2）若M的坐标为（，1），求椭圆C的方程．21．已知双曲线C1：．（1）求与双曲线C1有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C2的标准方程；（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，求实数m的值．2015-2016学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则抛物线x2=﹣8y的准线方程即可得到．【解答】解：由于抛物线x2=﹣2py的准线方程为y=，则有抛物线x2=﹣8y的准线方程为y=2．故答案为：y=2．2．如果直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，则系数a=．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出．【解答】解：由ax+y+1=0得y=﹣ax﹣1，直线3x﹣y﹣2=0得到y=3x﹣2，又直线ax+y+1=0与直线3x﹣y﹣2=0垂直，∴﹣a•3=﹣1，∴a=，故答案为：3．双曲线9x2﹣4y2=﹣36的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可．【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x4．已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=10．【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的平方等于复数的模的乘积，直接计算即可．【解答】解：复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=|3+i||3+i|==10．故答案为：10．5．已知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），则以线段AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=29．【考点】圆的标准方程．【分析】由点A和点B的坐标，利用中点坐标公式求出线段AB的中点C的坐标，因为线段AB为所求圆的直径，所以求出的中点C的坐标即为圆心坐标，然后由圆心C的坐标和点A的坐标，利用两点间的距离公式求出|AC|的长即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为C（1，﹣3），即圆心的坐标为C（1，﹣3）；，故所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．故答案为：（x﹣1）2+（y+3）2=29．6．设复数z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），则z=3+5i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i，然后化简，即可求出复数z．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位），所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i），即5z=15+25i，z=3+5i．故答案为：3+5i．7．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【考点】椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：8．一动点在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是x2+y2﹣3x+2=0．【考点】轨迹方程；中点坐标公式．【分析】设出中点坐标，利用中点坐标公式求出与之有关的圆上的动点坐标，将圆上的动点坐标代入圆的方程，求出中点轨迹方程．【解答】解：设中点坐标为（x，y），则圆上的动点坐标为（2x﹣3，2y）所以（2x﹣3）2+（2y）2=1即x2+y2﹣3x+2=0故答案为：x2+y2﹣3x+2=09．若复数z满足|z+3i|=5（i是虚数单位），则|z+4|的最大值=10．【考点】复数求模．【分析】由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，由此可得|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5．【解答】解：由|z+3i|=5，所以复数z对应的点在以（0，﹣3）为圆心，以5为半径的圆周上，所以|z+4|的最大值是点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离加上半径5，点（0，﹣3）与点（﹣4，0）的距离：=5．|z+4|的最大值：5+5=10故答案为：10．10．设F1和F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是1．【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质．【分析】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x﹣y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2求得xy，进而可求得△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y）根据双曲线性质可知x﹣y=4，∵∠F1PF2=90°，∴x2+y2=20∴2xy=x2+y2﹣（x﹣y）2=4∴xy=2∴△F1PF2的面积为xy=1故答案为：1．11．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水的宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是4米．【考点】双曲线的标准方程．【分析】以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，由此能求出当水面上升米后，水面的宽度．【解答】解：以拱顶为坐标原点，拱的对称轴为y轴，水平轴为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：x2=ay，由x=4，y=﹣2，解得a=﹣8，当水面上升米后，y=﹣2+=﹣，x2=（﹣8）•（﹣）=12．解得x=2，或x=﹣2，∴水面宽为4（米）．故答案为：4．12．已知圆x2+y2+2x﹣4y+a=0关于直线y=2x+b成轴对称，则a﹣b的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心，由题意圆心在直线上，求出a，b的关系，然后确定a﹣b的范围．【解答】解：圆的方程变为（x+1）2+（y﹣2）2=5﹣a，∴其圆心为（﹣1，2），且5﹣a＞0，即a＜5．又圆关于直线y=2x+b成轴对称，∴2=﹣2+b，∴b=4．∴a﹣b=a﹣4＜1．故答案为：（﹣∞，1）二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．直线倾斜角的范围是（）A．（0，]B．[0，]C．[0，π）D．[0，π]【考点】直线的倾斜角．【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可．【解答】解：直线倾斜角的范围是：[0，π），故选：C．14．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数）成立是定值．若动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a （a＞0，且a为常数），当2a≤|AB|，此时的轨迹不是椭圆．∴甲是乙的必要不充分条件．故选：B．15．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=﹣2，c=3 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=2，c=﹣1【考点】复数相等的充要条件．【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【解答】解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0∴，解得b=﹣2，c=3故选B16．对于抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M（x0，y0）在抛物线的内部．若点M（x0，y0）在抛物线内部，则直线l：y0y=2（x+x0）与曲线C （）A．恰有一个公共点B．恰有2个公共点C．可能有一个公共点，也可能有两个公共点D．没有公共点【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把直线与抛物线方程联立消去y，进而根据y02＜4x0判断出判别式小于0进而判定直线与抛物线无交点．【解答】解：由y2=4x与y0y=2（x+x0）联立，消去x，得y2﹣2y0y+4x0=0，∴△=4y02﹣4×4x0=4（y02﹣4x0）．∵y02＜4x0，∴△＜0，直线和抛物线无公共点．故选D三、解答题（共5小题，满分52分）17．已知直线l平行于直线3x+4y﹣7=0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．利用l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，可得=24，解得m即可．【解答】解：设直线l的方程为：3x+4y+m=0，分别令x=0，解得y=﹣；y=0，x=﹣．∵l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴=24，解得m=±24．∴直线l的方程为3x+4y±24=0．18．设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．【考点】复数的基本概念；复数求模．【分析】设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．【解答】解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得；。

2017-2018学年上海市奉贤区高二下学期期末调研测试数学卷-解析版

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绝密★启用前2017-2018学年上海市奉贤区高二下学期期末调研测试数学卷-解析版一、单选题1．若，则下列结论中不恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析两数可以是满足，任意数，利用特殊值法即可得到正确选项．详解：若，不妨设a代入各个选项，错误的是A、B，当时，C错．故选：D．点睛：利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．2．给定空间中的直线及平面，条件“直线上有两个不同的点到平面的距离相等”是“直线与平面平行”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】分析：利用直线与平面平行的定义判断即可.详解：直线上有两个不同的点到平面的距离相等，如果两点在平面同侧，则；如果两点在平面异侧，则与相交：反之，直线与平面平行，则直线上有两个不同的点到平面的距离相等.故条件“直线上有两个不同的点到平面的距离相等”是“直线与平面平行”的必要非充分条件.故选B.点睛：明确：则是的充分条件，，则是的必要条件．准确理解线面平行的定义和判定定理的含义，才能准确答题．3．已知曲线的参数方程为：，且点在曲线上，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子，的形式可以联想成在单位圆上动点P与点C （0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵即其中由题意作出图形，，令，则可看作圆上的动点到点的连线的斜率而相切时的斜率，由于此时直线与圆相切，在直角三角形中，，由图形知，的取值范围是则的取值范围是．故选：C．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．4．已知椭圆，对于任意实数，椭圆被下列直线所截得的弦长与被直线所截得的弦长不可能相等的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：当过点时，直线和选项A中的直线重合，故不能选A．当l过点（1，0）时，直线和选项D中的直线关于y轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，当k=0时，直线l和选项B中的直线关于x轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同．排除A、B、D．详解：由数形结合可知，当过点时，直线和选项A中的直线重合，故不能选A．当过点（1，0）时，直线和选项C中的直线关于轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选C．当时，直线和选项B中的直线关于轴对称，被椭圆E所截得的弦长相同，故不能选B．直线l斜率为，在y轴上的截距为1；选项D中的直线斜率为，在轴上的截距为2，这两直线不关于轴、轴、原点对称，故被椭圆E所截得的弦长不可能相等．故选：C．点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知集合，且，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：求出，由，列出不等式组能求出结果．详解：根据题意可得，，由可得即答案为.点睛：本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．6．（题文）若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是__________．【答案】【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r,母线长为l，由题意r=l，∴考点：本题考查了圆柱展开图的性质点评：掌握圆柱的性质是解决此类问题的关键，属基础题7．抛物线上一点到焦点的距离为，则点的横坐标为__________．【答案】【解析】分析：根据题意，设的坐标为，求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义可得M到准线的距离也为1，则有，解可得的值，将的坐标代入抛物线的方程，计算可得的值，即可得答案．详解：根据题意，设的坐标为抛物线y=4x2，其标准方程为，其准线方程为若到焦点的距离为，到准线的距离也为1，则有解可得又由在抛物线上，则解可得故答案为：．点睛：本题考查抛物线的性质以及标准方程，关键是掌握抛物线的定义．8．若，则__________．【答案】0【解析】分析：利用排列数公式和组合数公式性质求解即可.详解：由排列数公式和组合数公式性质可得.即答案为0.点睛：本题考查排列数公式和组合数公式性质，属基础题.9．已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值为__________．【答案】【解析】分析：作出不等式对应的平面区域，利用的几何意义，即可求解．详解：作出不等式组对应的平面区域如图：由，得表示，斜率为-1纵截距为z的一组平行直线，平移直线，当直线经过点B时，直线的截距最小，此时最小，由，解得，此时．故答案为.点睛：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．10．关于的方程的两个根，若，则实数__________．【答案】【解析】分析：根据所给的方程，当判别式不小于0时和小于0时，用求根公式表示出两个根的差，根据差的绝对值的值做出字母p的值．详解：当，即或，由求根公式得，得当，即，由求根公式得|得综上所述，或．故答案为：．点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题解题的关键是对于判别式与0的关系的讨论，方程有实根和没有实根时，两个根的表示形式不同，本题是一个易错题．11．若一个直六棱柱的三视图如图所示，则这个直六棱柱的体积为．【答案】4【解析】试题分析：由题意12211242S=⨯⨯⨯+⨯=底，414V S h==⨯=底．考点：三视图与体积．12．颜色不同的个小球全部放入个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的方法有__________．（用数值回答）【答案】36【解析】分析：利用挡板法把4个小球分成3组，然后再把这3组小球全排列，再根据分步计数原理求得所有的不同放法的种数．详解：在4个小球之间插入2个挡板，即可把4个小球分成3组，方法有种．然后再把这3组小球全排列，方法有种．再根据分步计数原理可得所有的不同方法共有种，故答案为：36．点睛：本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，利用挡板法把4个小球分成3组，是解题的关键，属于中档题13．设复数，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：复数分别对应点经过A,B的直线方程为设复数,则复数对应的点的轨迹为圆，其方程为，判断选择和圆的位置关系可得到的最小值.详解：复数分别对应点经过A,B的直线方程为设复数,则复数对应的点的轨迹为圆，其方程为，圆心到直线的距离为即直线和圆相切，则的最小值即为线段AB的长，即答案为.点睛：本题考查复数的几何意义，直线和圆的位置关系，属中档题..14．小明和小刚去上海迪士尼游玩，他们约定游玩飞越地平线、雷鸣山漂流、创极連光轮等个游戏，并且各自独立地从个游戏中任选个进行游玩，每个游戏需要小时，则最后小时他们同在一个游戏游玩的概率是__________．【答案】【解析】分析：利用分步计数原理求出小明和小刚最后一小时他们所在的景点结果个数；利用古典概型概率公式求出值．详解：小明和小刚最后一小时他们所在的景点共有中情况小明和小刚最后一小时他们同在一个景点共有种情况由古典概型概率公式后一小时他们同在一个景点的概率是点睛：本题考查利用分步计数原理求完成事件的方法数、考查古典概型概率公式．15．设，其中实数，则__________．【答案】【解析】分析：由题，利用二项展开式即可求得.详解：根据题意，则即答案为.点睛：本题考查二项展开式及展开式的系数，属中档题.16．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则__________．【答案】【解析】试题分析：如图所示，设双曲线的右焦点为，连接，，，则，在中，，，所以，又是线段的中点，为中点，所以，所以即，故应填入.考点：1.双曲线的定义；2.直线与圆相切；3.数形结合的应用.三、解答题17．已知，且满足.（1）求；（2）若，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义即可解出；（2）利用复数模的计算公式即可证明．详解：（1）设，则由得利用复数相等的定义可得，解得或．或．（2）当时，当时，|综上可得：.点睛：熟练掌握复数模的定义、互为共轭复数的意义及复数相等的定义是解题的关键．18．已知集合，设，判别元素与的关系.【答案】当，且时，；当或时，.【解析】分析：对变形并对分类讨论即可.详解：根据题意，故当，且时，；当或时，.点睛：本题考查集合与元素的关系，解题的关键在于正确的分类讨论.19．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，梯形面积为.（1）当，时，求梯形的周长(精确到)；（2）记，求面积以为自变量的函数解析式，并写出其定义域.【答案】（1）周长是；（2），定义域.【解析】分析：（1）以下底所在直线为轴，等腰梯形所在的对称轴为轴，建立直角坐标系，可得椭圆方程为，由题，，则代入椭圆方程得，可求，由此可求求梯形的周长.（2）由题可得，，由此可求，进而得到定义域.详解：（1）以下底所在直线为轴，等腰梯形所在的对称轴为轴，建立直角坐标系，可得椭圆方程为，，，∴代入椭圆方程得，∴，所以梯形的周长是；（2）得，∴，，定义域.点睛：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了求函数定义域的问题，是综合性题目．20．如图所示，球的表面积为，球心为空间直角坐标系的原点，且球分别与轴的正交半轴交于三点，已知球面上一点.（1）求两点在球上的球面距离；（2）过点作平面的垂线，垂足，求的坐标，并计算四面体的体积；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】分析：（1）根据题意求出，即可得到两点在球上的球面距离；（2）根据题意，可证与重合，利用向量可求，求出的面积，即可得到四面体的体积；（3）利用空间向量可求面与平面所成锐二面角的大小..详解：（1），，，∴∴，∴，两点在球上的球面距离；（2），面，，，∴，∴，∴与重合，∴，的面积，则四面体的体积.（3）设平面的法向量，得得平面的法向量，设两法向量夹角，，所以所成锐二面角的大小为.点睛：本题考查球面距离，几何体的体积，利用空间向量求二面角的大小，属中档题. 21．双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.（1）求双曲线的方程；（2）双曲线上有两个点，直线和的斜率之积为，判别是否为定值，；（3）经过点的直线且与双曲线有两个交点，直线的倾斜角是，是否存在直线（其中）使得恒成立？（其中分别是点到的距离）若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）8；（3）存在且【解析】分析：（1）根据题意，双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为.易求求双曲线的方程；（2）设直线的斜率，显然，联立得，求出，，可证；（3）设直线方程，联立，（*），∵，方程总有两个解，设，得到，根据得，整理得，由，则符合题目要求，存在直线．详解：（1）双曲线；（2）设直线的斜率，显然，联立得，，，；（3）设直线方程，联立，（*），∵，方程总有两个解，设，，根据得，整理得，∵，∴符合题目要求，存在直线．点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题.。

2017-2018学年上海市闵行区高二(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市闵行区高二(下)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结1．（4分）若z＝﹣2+3i（其中i为虚数单位），则z的虚部是．2．（4分）已知复数z满足（z﹣2）i＝1+i，则z＝．3．（4分）椭圆（θ为参数）的焦距为．4．（4分）在复平面上，复数z对应的点为A（﹣2，1），则|z+1|＝．5．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线BD1与CC1所成角的大小为．6．（4分）已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则其焦点到准线的距离为．7．（5分）各棱长均相等的正三棱锥，其任意两个相邻的面所成的二面角的大小为．8．（5分）某旋转体的三视图如图所示，则该旋转体的侧面积是．9．（5分）湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24厘米，深为8厘米的空穴，则这个球的半径为厘米．10．（5分）过双曲线C：﹣＝1的右焦点F作一条垂直于x轴的垂线交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为．11．（5分）若z是关于x的方程x2﹣2x+m2﹣8＝0（m∈R）的一个虚数根，则|z+1|的取值范围是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两坐标轴的距离之和等于它到定点A（1，1）的距离，记点P的轨迹为Γ，给出下列四个结论①Γ关于原点对称；②Γ关于直线y＝x对称；③直线y＝1与Γ有无数个公共点；④在第一象限内，Γ与x轴和y轴所围成的封闭图形的面积小于．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则（）A．b＝2，c＝3B．b＝2，c＝﹣1C．b＝﹣2，c＝﹣1D．b＝﹣2，c＝3 14．（5分）关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（）A．平行直线的斜二测图仍是平行直线B．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C．正三角形的直观图一定为等腰三角形D．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同15．（5分）已知双曲线﹣＝1的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．16．（5分）已知直线l、直线m和平面α，它们的位置关系同时满足以下三个条件：①l⊊α；②m∥α；③l与m是互相垂直的异面直线若P是平面α上的动点，且到l、m的距离相等，则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝4，BC＝4．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V；（2）若点M是棱AC的中点，求直线B1M与平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知复数z 1＝1+（10﹣a2）i，z2＝（2a﹣5）i（a＞0），+z2∈R．（1）求实数a的值；（2）若z∈C，且|z﹣z2|＝2，求|z|的取值范围．19．（14分）已知圆柱的底面半径为r，上底面和下底面的圆心分别为O1和O，正方形ABCD 内接于下底面圆O，O1A与母线所成的角为30°．（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱的体积为9π，求点D到平面O1AB的距离．20．（16分）某海湿地如图所示，A、B和C、D分别是以点O为中心在东西方向和南北方向设置的四个观测点，它们到点O的距离均为4公里，实线POST是一条观光长廊，其中，PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．（1）求观光长廓PQST所在的曲线的方程；（2）在观光长廊的PQ段上，需建一服务站M，使其到观测点A的距离最近，问如何设置服务站M的位置？21．（18分）平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的动直线l交Γ于M、N两点．（1）若l垂直于x轴，且线段MN的长为1，求Γ的方程；（2）若p＝2，求线段MN的中点P的轨迹方程；（3）求tan∠MON的取值范围．2017-2018学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结1．（4分）若z＝﹣2+3i（其中i为虚数单位），则z的虚部是3．【解答】解：z＝﹣2+3i（其中i为虚数单位），则z的虚部是3，故答案为：32．（4分）已知复数z满足（z﹣2）i＝1+i，则z＝3﹣i．【解答】解：（z﹣2）i＝1+i，则（z﹣2）i•（﹣i）＝﹣i（1+i），可得z＝2﹣i+1＝3﹣i．故答案为：3﹣i．3．（4分）椭圆（θ为参数）的焦距为2．【解答】解：根据题意，椭圆的参数方程为（θ为参数），则其标准方程为+y2＝1，其中a＝，b＝1，则c＝＝1，则椭圆的焦距2c＝2；故答案为：2．4．（4分）在复平面上，复数z对应的点为A（﹣2，1），则|z+1|＝．【解答】解：由已知可得，z＝﹣2+i，则z+1＝﹣1+i，∴|z+1|＝．故答案为：．5．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线BD1与CC1所成角的大小为．【解答】解：如图，连接D1B1；∵CC1∥BB1；∴BD1与CC1所成角等于BD1与BB1所成角；∴∠B1BD1为异面直线BD1与CC1所成角；∴在Rt△BB1D1中，cos∠B1BD1＝；∴异面直线BD1与CC1所成角的大小为．故答案为：．6．（4分）已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则其焦点到准线的距离为．【解答】解：由题意可知：由焦点在x轴上，若C经过点M（1，3），则图象经过第一象限，∴设抛物线的方程：y2＝2px，将M（1，3）代入9＝2p，解得：p＝，∴抛物线的标准方程为：y2＝9x，由焦点到准线的距离d＝p＝，故答案为：．7．（5分）各棱长均相等的正三棱锥，其任意两个相邻的面所成的二面角的大小为arccos．【解答】解：取AB中点D，连结SD、CD，∵三棱锥S﹣ABC是各棱长均相等的正三棱锥，∴SD⊥AB，CD⊥AB，∴∠SDC是二面角的平面角，设棱长SC＝2，则SD＝CD＝＝，∴cos∠SDC＝＝＝，∴∠SDC＝arccos．故各棱长均相等的正三棱锥任意两个相邻的面所成的二面角的大小为arccos．故答案为：arccos．8．（5分）某旋转体的三视图如图所示，则该旋转体的侧面积是．【解答】解：由已知有可得：该几何体是一个圆锥，底面直径为2，底面半径r＝1，高为3，故母线长l＝＝，故圆锥的侧面积S＝πrl＝，故答案为：9．（5分）湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24厘米，深为8厘米的空穴，则这个球的半径为13厘米．【解答】解：设球的半径为Rcm，由将球取出，扭留下空穴的直径为24cm，深8cm则截面圆的半径r＝12cm，球心距d＝（R﹣8）cm，由R2＝r2+d2得：R2＝144+（R﹣8）2，即208﹣16R＝0解得R＝13故答案为：13cm10．（5分）过双曲线C：﹣＝1的右焦点F作一条垂直于x轴的垂线交双曲线C的两条渐近线于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为8．【解答】解：双曲线C：﹣＝1的b＝2，c2＝a2+4，（a＞0），设F（c，0），双曲线的渐近线方程为y＝±x，由x＝c代入可得交点A（c，），B（c，﹣），即有△OAB的面积为S＝c•＝2•＝2（a+）≥4＝8，当且仅当a＝2时，△OAB的面积取得最小值8．故答案为：8．11．（5分）若z是关于x的方程x2﹣2x+m2﹣8＝0（m∈R）的一个虚数根，则|z+1|的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：由△＝4﹣4（m2﹣8）＜0，解得m2＞9．设z＝a+bi（a，b∈R），则2a＝2，a＝1，a2+b2＝m2﹣8，即b2＝m2﹣9．∴|z+1|＝|（a+1）+bi|＝|2+bi|＝＝∈（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两坐标轴的距离之和等于它到定点A（1，1）的距离，记点P的轨迹为Γ，给出下列四个结论①Γ关于原点对称；②Γ关于直线y＝x对称；③直线y＝1与Γ有无数个公共点；④在第一象限内，Γ与x轴和y轴所围成的封闭图形的面积小于．其中正确的结论是②③④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：动点P（x，y）到两坐标轴的距离之和等于它到定点A（1，1）的距离，可得|x|+|y|＝，平方化为|xy|+x+y﹣1＝0，当xy≥0，可得xy+x+y﹣1＝0，即y＝，即y＝﹣1+，当xy＜0时，﹣xy+x+y﹣1＝0，即有（1﹣x）y＝1﹣x．画出动点P的轨迹为右图：①Γ关于原点对称，不正确；②Γ关于直线y＝x对称，正确；③直线y＝1与Γ有无数个公共点，正确；④在第一象限内，Γ与x轴和y轴所围成的封闭图形的面积小于，正确．故答案为：②③④．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则（）A．b＝2，c＝3B．b＝2，c＝﹣1C．b＝﹣2，c＝﹣1D．b＝﹣2，c＝3【解答】解：∵1﹣i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴，解得b＝﹣2，c＝3．故选：D．14．（5分）关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（）A．平行直线的斜二测图仍是平行直线B．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C．正三角形的直观图一定为等腰三角形D．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同【解答】解：对于A，平行直线的斜二测图仍是平行直线，A正确；对于B，斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变，B正确；对于C，正三角形的直观图不一定为等腰三角形，如图所示；∴C错误；对于D，画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同，D正确．故选：C．15．（5分）已知双曲线﹣＝1的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的左顶点（﹣a，0）与抛物线y2＝2px（p ＞0）的焦点F（，0）的距离为4，∴+a＝4；又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），∴渐近线的方程应是y ＝x，而抛物线的准线方程为x＝﹣，因此﹣1＝×（﹣2），﹣2＝﹣，联立得，解得a＝2，b＝1，p＝4．故双曲线的标准方程为：．故选：C．16．（5分）已知直线l、直线m和平面α，它们的位置关系同时满足以下三个条件：①l⊊α；②m∥α；③l与m是互相垂直的异面直线若P是平面α上的动点，且到l、m的距离相等，则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【解答】解：设直线m在平面α的射影为直线n，则l与n相交，不妨设l与n垂直，设直线m与平面α的距离为d，在平面α内，以l，n为x轴，y轴建立平面坐标系，则P到直线l的距离为|y|，P到直线n的距离为|x|，∴P到直线m的距离为，∴|y|＝，即y2﹣x2＝d2，∴P点轨迹为双曲线．故选：D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝4，BC＝4．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V；（2）若点M是棱AC的中点，求直线B1M与平面ABC所成的角的大小．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝60°，BB1＝3，AB＝4，BC＝4．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V＝＝12．（2）点M是棱AC的中点，B1M在平面ABCh的射影为直线MB，则∠B1MB就是直线B1M与平面ABC所成的角的大小，tan∠B1MB＝＝＝，∴∠B1MB＝arctan．∴直线B1M与平面ABC所成的角的大小为arctan．18．（14分）已知复数z 1＝1+（10﹣a2）i，z2＝（2a﹣5）i（a＞0），+z2∈R．（1）求实数a的值；（2）若z∈C，且|z﹣z2|＝2，求|z|的取值范围．【解答】解：（1）由z1＝1+（10﹣a2）i，z2＝（2a﹣5）i（a＞0），可得+z 2＝1﹣（10﹣a2）i+（2a﹣5）i＝1+（a2+2a﹣15）i，∵+z 2∈R，∴a2+2a﹣15＝0，即a＝﹣5（舍）或a＝3；（2）由（1）知，z2＝i，由|z﹣z2|＝2，可知z在复平面内对应的点在以（0，1）为圆心，以2为半径的圆上，如图：由图可知，|z|的取值范围为[1，3]．19．（14分）已知圆柱的底面半径为r，上底面和下底面的圆心分别为O1和O，正方形ABCD 内接于下底面圆O，O1A与母线所成的角为30°．（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱的体积为9π，求点D到平面O1AB的距离．【解答】解：（1）∵O1A与母线所成的角为30°，AO＝r，所以O1O＝r，圆柱的表面积S＝2πr2+2＝2（+1）πr2．（2）∵圆柱的体积为9π，∴，∴r＝．＝××＝3．＝，＝，∴，20．（16分）某海湿地如图所示，A、B和C、D分别是以点O为中心在东西方向和南北方向设置的四个观测点，它们到点O的距离均为4公里，实线POST是一条观光长廊，其中，PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．（1）求观光长廓PQST所在的曲线的方程；（2）在观光长廊的PQ段上，需建一服务站M，使其到观测点A的距离最近，问如何设置服务站M的位置？【解答】解：（1）①由题意知，QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等，QS的轨迹为圆的一部分，其中r＝4，圆心坐标为O，即x≥0、y≥0时，圆的方程为x2+y2＝16；②PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里，PQ的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，即x＜0、y＞0时，双曲线方程为﹣＝1；③ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里，ST的轨迹为双曲线的一部分，且c＝4，a＝4，即x＞0、y＜0时，双曲线方程为﹣＝1；综上，x≥0、y≥0时，曲线方程为x2+y2＝16；x＜0、y＞0时，曲线方程为﹣＝1；x＞0、y＜0时，曲线方程为﹣＝1；[注]可合并为+＝1；（2）由题意设点M（x，y），其中﹣＝1，其中x≤0，y≥0；则|MA|2＝+y2＝+x2+16＝2+32；当且仅当x＝﹣2时，|MA|取得最小值为＝4；此时y＝4×＝2；∴点M（﹣2，2）．21．（18分）平面直角坐标系xOy中，抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F的动直线l交Γ于M、N两点．（1）若l垂直于x轴，且线段MN的长为1，求Γ的方程；（2）若p＝2，求线段MN的中点P的轨迹方程；（3）求tan∠MON的取值范围．【解答】解：（1）由题意，（，±）在抛物线上，代入可求出p＝，∴Γ的方程为y2＝x，（2）抛物线Γ：y2＝4x，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）∴，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1+x2），∴k＝＝＝，于是l为y﹣y0＝（x﹣x0），又l过点F（1，0），∴﹣y0＝（1﹣x0），即y02＝2（x0﹣1），故线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝2（x﹣1）（3）抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），设l：x﹣＝my，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0，则y2﹣2my﹣p2＝0，∴y1+y2＝2mp，y1y2＝﹣p2，则tan∠MON＝tan（∠MOF+∠NOF）＝，＝＝，＝，＝，＝，＝﹣≤﹣，故tan∠MON的取值范围是（﹣∞，﹣]。

七宝中学高二期末综合复习一及答案

七宝中学高二期末综合复习一及答案

高二期末综合复习一一、填空题1、直线013=+-y x 的倾斜角 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为__________________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 ________ _.4已知()2f z i z z i +=+-，求(12)f i +的值 ___________ _.5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 ________ _.6、已知z 为虚数，且有||5z =，如果22z z +为实数，若z 为实系数一元二次方程20x bx c ++=的根，则此方程为______________ ____.7、已知方程 221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为________________ . 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 ________________ _.9、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 ________ .10、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 __________ .11、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是；②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x ④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥； ⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ； 正确的是_______ _____ _.12、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（ ）（A ）相交 （B ）平行 （C ）重合 （D ）由m 决定13、二次方程2330x ix --=的根的情况为…………………………( )（A ）有两个不相等的实根 （B ）有两个虚根（C ）有两个共轭虚根 （D ）有一实根和一虚根14、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求（1） BC 边所在直线的一般式方程；（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程.15、已知：21,.(1)34,||b z i a R z z ωω=+∈=+-、若求；221z az b z z ++-+(2)若=1-i ，求a 、b 的值.16、已知双曲线1C ：2214y x -=（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。

上海市闵行区2017-2018学年高二下学期期末数学试卷 Word版含解析

上海市闵行区2017-2018学年高二下学期期末数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______．6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______．7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为______．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______．11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______．13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称17．下列中，正确的是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=018．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米：（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）；（2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．2015-2016学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是平行或异面．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据直线a，b是否共面得出结论．【解答】解；当a，b在同一个平面上时，a，b平行；当a，b不在同一个平面上时，a，b异面．故答案为：平行或异面．2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，由题意可得﹣=﹣2，即可解得p的值．【解答】解：抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，由题意可得﹣=﹣2，解得p=4．故答案为：4．3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为14．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20，结合P到其焦点F1的距离为6，可求P 到另一焦点F2的距离．【解答】解：根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=20∵P到其焦点F1的距离为6，∴|PF2|=20﹣6=14即P到另一焦点F2的距离为14故答案为：14．4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为2π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系，代入侧面积公式即可得出答案．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的轴截面面积为2rh=2，∴rh=1．∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π．故答案为：2π．5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据渐近线相同，利用待定系数法设出双曲线方程进行求解即可．【解答】解：与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线的方程可设为线﹣y2=λ，（λ≠0），∵双曲线过点（﹣2，2），∴λ=，即﹣y2=﹣2，即，故答案为：6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域②z为目标函数纵截距四倍③画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过（0，2）点时z有最大值8故答案为87．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长为圆锥底面周长得出圆锥底面半径，从而得出圆锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V==．故答案为：．8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第一象限，则实数a的值为+1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把直线和圆的参数方程都化为普通方程，由直线与圆相切d=r，切点在第一象限，求出a的值．【解答】解：圆的参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣1）2+y2=1，直线的参数方程（t为参数）化为普通方程是x+y=a；直线与圆相切，则圆心C（1，0）到直线的距离是d=r，即=1；解得|1﹣a|=，∴a=+1，或a=1﹣；∵切点在第一象限，∴a=+1；故答案为： +1．9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】求出球心角，然后A、B两点的距离，即可求出两点间的球面距离．【解答】解：地球的半径为R，在北纬45°，而AB=R，所以A、B的球心角为：，所以两点间的球面距离是：；故答案为：．10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=2．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意，可设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m 与n为实数，b≠0．由根与系数的关系得到a，b的关系，上α，β，0对应点构成直角三角形，求得到实数m的值【解答】解：设α=a+bi，则由实系数一元二次方程虚根成对定理可得β=a﹣bi，且m与n 为实数，n≠0．由根与系数的关系可得α+β=2a=﹣2，α•β=a2+b2=m．∴m＞0．∴a=﹣1，m=b2+1，∵复平面上α，β，0对应点构成直角三角形，∴α，β在复平面对应的点分别为A，B，则OA⊥OB，所以b2=1，所以m=1+1=2；，故答案为：211．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是acrcos（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个向量数量积的定义求得，由=（）•（）求得，求得cos＜＞=，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos．【解答】解：=4×4cos＜＞=32cos＜＞．又=（）•（）=+++=4×4cos120°+0+0+4×4=8．故有32cos＜＞=8，∴cos＜＞=，∴＜＞=arccos，故异面直线AB1与BC1所成的角是arccos，故答案为arccos．12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10] ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，结合图形可求．【解答】解：复数z满足|z|=3，表示以原点为圆心，以3为半径的圆，则|z+4|+|z﹣4|的表示圆上的点到（﹣4，0）和（4，0）的距离，由图象可知，当点在E，G处最小，最小为：4+4=8，当点在D，F处最大，最大为2=10，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是[8，10]，故答案为[8，10]13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为10．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y ﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，相减，整理可得（x﹣u）+3（y﹣v）=10．设x﹣u=m，y﹣v=n，∴m+3n=10．T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy=（x﹣u）2+（y﹣v）2=m2+n2，∵（m2+n2）（1+9）≥（m+3n）2，∴m2+n2≥10，∴T的最小值为10．故答案为：10．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T，都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有①③⑤（写出所有曲线的序号）①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0．【考点】曲线与方程．【分析】由曲线的定义可知，具备曲线的条件是对于任意的P1（x1，y1）∈T，都存在P2（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．然后逐个验证即可得到答案．【解答】解：对于任意P1（x1，y1）∈T，存在P2（x2，y2）∈T，使x1x2+y1y2=0成立，即OP1⊥OP2．对于①2x2+y2=1，∵2x2+y2=1的图象关于原点中心对称，∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故2x2+y2=1为曲线；对于②x2﹣y2=1，当P1（x1，y1）为双曲线的顶点时，双曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故x2﹣y2=1不是曲线；对于③y2=2x，其图象关于y轴对称，OP1的垂线一定与抛物线相交，故y2=2x为曲线；对于④，当P1（x1，y1）为（1，0）时，曲线上不存在点P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故④不是曲线；对于⑤，由（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0可得2x﹣y+1=0或点（1，2），∴对于任意P1（x1，y1）∈C，存在P2（x2，y2）∈C，使OP1⊥OP2．故（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0为曲线．故答案为：①③⑤．二、选择题15．“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的一个（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假且q⇒p为真，则p是q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故选：B．16．曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1（）A．关于x轴对称B．关于原点对称，但不关于直线y=x对称C．关于y轴对称D．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称【考点】曲线与方程．【分析】由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，x，y互换，方程不变；以﹣x代替y，以﹣y代替x，方程不变，∴曲线Γ：2x2﹣3xy+2y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：D．17．下列中，正确的是（）A．若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1＞z2B．若z∈R，则z•=|z|2不成立C．z1、z2∈C，z1•z2=0，则z1=0或z2=0D．z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0【考点】复数的基本概念．【分析】由已知条件利用复数的性质及运算法则直接求解．【解答】解：在A中，若z1、z2∈C，z1﹣z2＞0，则z1的实数大于z2的实部，z1与z2的虚部相等，z1与z2不能比较大小，故A错误；在B中，若z∈R，当z=0时，z•=|z|2成立，故B错误；在C中，z1、z2∈C，z1•z2=0，则由复数乘积的运算法则得z1=0或z2=0，故C正确；在D中，令Z1=1，Z2=i，则Z12+Z22=0成立，而Z1=0且Z2=0不成立，∴z1、z2∈C，z12+z22=0，则z1=0且z2=0不成立，故D错误．故选：C．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个：①点P在直线BC1上运动，三棱锥A﹣D1PC的体积不变②点P在直线BC1上运动，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变③点P在直线BC1上运动，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变④点P是平面ABCD上到点D和C1距离相等的动点，则P的轨迹是过点B的直线．其中的真是（）A．①③B．①③④ C．①②④ D．③④【考点】棱柱的结构特征．【分析】①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，可得直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而△AD1C的面积不变，即可判断出结论．②由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP的大小在改变，可得直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，即可判断出正误．③由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，即可判断出二面角P﹣AD1﹣C的大小是否改变．④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，设P（x，y，0），利用|PD|=|PC1|，利用两点之间的距离公式化简即可得出．【解答】解：①由正方体的性质可得：BC1∥AD1，于是BC1∥平面AD1C，因此直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，点P在直线BC1上运动，又△AD1C的面积不变，因此三棱锥A﹣D1PC的体积=不变．②点P在直线BC1上运动，由①可知：直线BC1上的点到平面AD1C的距离不变，而AP 的大小在改变，因此直线AP与平面ACD1所成角的大小改变，故不正确．③点P在直线BC1上运动，由①可知：点P到平面AD1C的距离不变，点P到AD1的距离不变，可得二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，正确；④如图所示，不妨设正方体的棱长为a，D（0，0，0），C1（0，a，a），设P（x，y，0），∵|PD|=|PC1|，则=，化为y=a，因此P的轨迹是过点B的直线，正确．其中的真是①③④．故选：B．三、解答题19．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是3米，底面的边长是8米： （1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积（冷水塔的厚度忽略不计）； （2）制造这个冷水塔的侧面需要多少平方米的钢板？【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）求出正四棱锥形的体积即可； （2）求出斜高，在计算侧面积． 【解答】解：（1）V=S 正方形ABCD •h==64．∴正四棱锥形冷水塔的容积为64立方米．（2）取底面ABCD 的中心O ，AD 的中点M ，连结PO ，OM ，PM ． 则PO ⊥平面ABCD ，PM ⊥AD ， ∴PO=h=3，OM=，∴PM==5， ∴S △PAD ===20． ∴S 侧面积=4S △PAD =80．∴制造这个冷水塔的侧面需要80平方米的钢板．20．设直线y=x+2与双曲线﹣=1交于A、B两点，O为坐标原点，求：（1）以线段AB为直径的圆的标准方程；（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，求k OA•k OB的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）联立方程组，消去y得关于x的一元二次方程，利用中点坐标公式以及两点间的距离公式求出半径和圆心即可得到结论．（2）求出对应的斜率，结合根与系数之间的关系代入进行求解即可．【解答】解：（1）将直线y=x+2代入﹣=1得x2﹣4x﹣14=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=﹣14，则AB的中点C的横坐标x=，纵坐标y=，即圆心C（2，3），|AB|====3，则半径R=，则圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=．（2）若OA、OB所在直线的斜率分别是k OA、k OB，则k OA=，k OB=，则k OA•k OB=====﹣．21．已知复数α满足（2﹣i）α=3﹣4i，β=m﹣i，m∈R．（1）若|α+β|＜2||，求实数m的取值范围；（2）若α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，求实数m与n的值．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的混合运算．【分析】（1）根据复数的混合运算和复数模的即可求出；（2）根据韦达定理即可求出．【解答】解：（1）∵（2﹣i）α=3﹣4i，∴a==2﹣i，∴α+β=2+m﹣2i，∵|α+β|＜2||，∴（2+m）2+4＜4（4+1），解得﹣6＜m＜2，∴m的取值范围为（﹣6，2），（2）α+β是关于x的方程x2﹣nx+13=0（n∈R）的一个根，则2+m+2i也是方程的另一个根，根据韦达定理可得，解的或22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，E为BC 的中点，PC与平面PAD所成的角为arctan．（1）求证：CD⊥PD；（2）求异面直线AE与PD所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；（3）若直线PE、PB与平面PCD所成角分别为α、β，求的值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD，又CD⊥AD得出CD⊥平面PAD，故而CD⊥PD；（2）以A为坐标原点激励空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角即可得出答案；（3）求出平面PCD的法向量，则sinα=|cos＜，＞|，sinβ=|cos＜，＞|．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD．（2）由（1）可知CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成的角．∴tan∠CPD=，∴PD=2．∴PA==2．以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，1，0），P（0，0，2），D（0，2，0）．∴=（2，1，0），=（0，2，﹣2）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴异面直线AE与PD所成的角为arccos．（3）∵C（2，2，0），B（2，0，0），∴=（﹣2，0，2），=（﹣2，﹣1，2），=（﹣2，0，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（0，1，1）．∴=1，=2．∴cos＜＞==，cos＜＞==．∴sinα=，sinβ=．∴=．23．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（0，﹣1）的距离与P到定直线y=﹣2的距离的比为，动点P的轨迹记为C．（1）求轨迹C的方程；（2）若点M在轨迹C上运动，点N在圆E：x2+（y﹣0.5）2=r2（r＞0）上运动，且总有|MN|≥0.5，求r的取值范围；（3）过点Q（﹣，0）的动直线l交轨迹C于A、B两点，试问：在此坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化简即可得出．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，根据|MN|≥0.5，可得r≥++．②0＜r ＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣的最小值，即可得出r的取值范围．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得=（x1﹣1）（x2﹣1）+=0．即可证明．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得：==，化为：x2+=1．（2）E（0，）．分类讨论：①r≥+，∵总有|MN|≥0.5，∴r≥++=+1．②0＜r＜+，设M，|MN|=|EN|﹣r，解得r≤|EN|﹣=﹣=﹣，∴．综上可得：r的取值范围是∪．（3）把x=﹣代入椭圆的方程可得： +=1，解得y=±．取A，B．取点T（1，0）时满足=0．下面证明：在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．设过点Q（﹣，0）的动直线l的方程为：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（18+9k2）x2+6k2x+k2﹣18=0，∴x1+x2=，x1x2=．则=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+=（1+k2）x1x2+（x1+x2）+1+=（1+k2）×﹣×+1+=0．∴在此坐标平面上存在一个定点T（1，0），使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T．2016年9月27日。

上海市上海中学2017-2018学年高二下学期期末数学试题(解析版)

上海市上海中学2017-2018学年高二下学期期末数学试题(解析版)

2018年上海中学高二下期末数学试卷一、填空题（36分）：1. 关于x 的方程222424x x C C =的解为_________. 【答案】0或2或4【解析】【分析】因为222424x x C C =，所以：22x x =或2224x x +=，解方程可得． 【详解】解：因为222424x x C C =， 所以：22x x =或2224x x +=，解得：0x =，2x =，4x =，6x =-（舍）故答案为：0或2或4【点睛】本题考查了组合及组合数公式．属于基础题．2. 从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则总体方差的估计值是____________.【答案】2【解析】【分析】先求出样本平均数，由此能求出样本方差，由此能求出总体方差的估计值．【详解】解：从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9， 样本平均数为1(56789)75x =++++=， ∴样本方差2222221[(57)(67)(77)(87)(97)]25S =-+-+-+-+-=， ∴总体方差的估计值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查总体方差的估计值的求法，考查平均数、总体方差等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3. 5(31)x -的展开式中，设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则a b=________. 【答案】1【解析】【分析】分别求得各项系数和a 与各项的二项式系数和b ，从而求得a b的值． 【详解】解：在5(31)x -的展开式中，令1x =可得设各项的系数和为5232a ==，而各项的二项式系数和为5232b ==， ∴1a b=， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题． 4. 从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为_______. 【答案】12【解析】试题分析：这是的道古典概率题，其基本事件有()()()()2,3,5,2,3,6,2,5,6,3,5,6共4个，由于是任意选取的，所以每个基本事件发生的可能性是相等的，记事件A 为“所选三条线段能构成三角形”，则事件A 包含()()2,5,6,3,5,62个基本事件，根据概率公式得：()2142P A ==． 考点：古典概率的计算5. 从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为___【答案】76【解析】【分析】确定系统抽样间隔16k =，根据样本中含编号为28的产品，即可求解，得到答案． 【详解】由系统抽样知，抽样间隔80165k ==， 因为样本中含编号为28的产品，则与之相邻的产品编号为12和44，故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，76，即最大编号为76．【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的方法，确定好抽样的间隔是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6. 如果三个球的表面积之比是1:2:3，那么它们的体积之比是__________．【答案】1:【解析】∵三个球的表面积之比是1:2:3，∴三个球的半径之比是∴三个球的体积之比是1:7. 北纬45︒圈上有A ，B 两点，该纬度圈上劣弧AB R （R 为地球半径），则A ，B 两点的球面距离为________. 【答案】3R π 【解析】【分析】先求出北纬45︒圈所在圆的半径，是A 、B 两地在北纬45︒圈上对应的圆心角，得到线段AB 的长，设地球的中心为O ，解三角形求出AOB ∠的大小，利用弧长公式求A 、B 这两地的球面距离．【详解】解：北纬45︒圈所在圆的半径为2R (R R 为地球半径），∴(R θθ=是A 、B 两地在北纬45︒圈上对应的圆心角）， 故2πθ=，∴线段AB R =，3AOB π∴∠=，A ∴、B 这两地的球面距离是3R π， 故答案为：3R π． 【点睛】本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于基础题．8. 一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为_________． 【答案】25【解析】试题分析：口袋中五个球分别记为1,2,,,a b c 从中摸出两球的方法有：1,2;1,;1,;1,;2,;2,;2,;,;,;,a b c a b c a b a c b c 共10种，其中颜色相同的有1,2;,;,;,a b a c b c 共四种，有古典概率的求法可知42105P ==． 考点：古典概率的求法．9. 设n A 为1(1)n x ++的展开式中含1n x -项的系数，n B 为1(1)n x -+的展开式中二项式系数的和，则能使n n A B ≥成立的n 的最大值是________．【答案】4【解析】【分析】由题意可得，A n ＝11n n C -+＝21n C +，12n n B -=，若使得A n ≥B n ，即n （n+1）≥2n ，可求n .【详解】∵（1+x ）n+1的展开式的通项为T r+11r r n C x +=，由题意可得，A n ＝11n n C -+＝21n C +，又∵n B 为1(1)n x -+的展开式中二项式系数的和，∴12n n B -=， ∵A n ≥B n ，∴2112n n C -+，即n （n+1）≥2n当n ＝1时，1×2≥2，满足题意；当n ＝2时，2×3≥22，满足题意；当n ＝3时，3×4≥23，满足题意；当n ＝4时，4×5≥24，满足题意；当n ＝5时，5×6＜25，不满足题意，且由于指数函数比二次函数增加的快，故当n≥5时，n （n+1）＜2n ，∴n ＝4. 故答案为4【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式的应用，二项展开式的性质应用及不等式、指数函数与二次函数的增加速度的快慢的应用，属于中档题．10. 将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________． 【答案】49【解析】试题分析：将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，每个小球有3种不同的放法，共有4381＝种放法，每个盒子中至少有1个小球的放法有12234236C C C =种，故所求的概率P =3681=49. 考点：1、排列组合；2、随机变量的概率.11. 若对于任意实数x ，都有1021001210(2)(2)(2)xa a x a x a x =+++++++，则3a 的值为_________.【答案】15360-【解析】【分析】 根据题意，分析可得1010[(2)2]x x =+-，求出其展开式，可得3a 为其展开式中含3(2)x +项的系数，由二项式定理求出3(2)x +项，分析可得答案．【详解】解：根据题意，1010[(2)2]x x =+-，其展开式的通项为10110(2)(2)r r r r T C x -+=+⨯-， 又由1021001210(2)(2)(2)x a a x a x a x =+++++⋯++，则3a 为其展开式中含3(2)x +项的系数，令7r =可得：7373810(2)(2)15360(2)T C x x =+⨯-=-+； 即315360a =-；故答案为：15360-．【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．12. 校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）【答案】528【解析】(1)当三辆车都不相邻时有3348192A ⨯=(种)(2)当两辆车相邻时有33333333333424242434288A A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(种)(3)当三辆车相邻时有334248A ⨯=(种)则共有19228848528++=(种)点睛：本题考查了排列组合问题，由于本题里是三辆车有六个位置，所以情况较多，需要逐一列举出来，注意当三辆车都不相邻时的情况要考虑周全，容易漏掉一些情况，然后利用排列组合进行计算即可．二、选择题（16分）：13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 43π+B. 23π+C. 43π+D. 423π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为21122ππ⨯⨯⨯=，四棱锥体积为144133⨯⨯=，所以该几何体体积为43π+，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.14. 设A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生；（Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生；（Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；其中相互为对立事件的是（ ）A. Ⅰ和ⅡB. Ⅱ和ⅢC. Ⅲ和ⅣD. Ⅳ和Ⅰ【答案】B【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【详解】解：A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生；（Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生（Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；在A 中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故A 中的两个事件不能相互为对立事件；在B 中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故B 中的两个事件相互为对立事件；在C 中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故C 中的两个事件不能相互为对立事件；在D 中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故D 中的两个事件不能相互为对立事件．故选：B ．【点睛】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15. 由曲线24x y =，24x y =-，4x =，4x =-围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V ，满足2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋一周所得旋转体的体积为2V ，则（ ） A. 1212V V = B. 1223V V = C. 12V V =D. 122V V =【答案】C【解析】【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．【详解】解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间， 用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，所得截面面积21(44||)S y π=-， 22222(4)[4(2||)](44||)S y y y πππ=----=-12S S ∴=，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C ．【点睛】本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．16. a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴选择，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④ 【答案】C【解析】【分析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，||1AC =，||2AB =斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】解：由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =，||2AB =斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1D ，0，0)，(0A ，0，1)，直线a 的方向单位向量(0a =，1，0)，||1a =，直线b 的方向单位向量(1b =，0，0)，1b ||=，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标(cos B θ'，sin θ，0)，其中θ为B C '与CD 的夹角，[0θ∈，2)π，AB ∴'在运动过程中的向量，(cos AB θ'=，sin θ，1)-，||2AB '=， 设AB '与a 所成夹角为[0α∈，]2π， 则2cos |||sin |[012αθ==∈⨯，2]， [4πα∴∈，]2π，∴③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为[0β∈，]2π，2cos |||cos |12βθ==⨯， 当AB '与a 夹角为60︒时，即3πα=， 22|sin |cos 2cos 3πθα===， 22cos sin 1θθ+=，21cos |cos |22βθ∴==， [0β∈，]2π，3πβ∴=，此时AB '与b 的夹角为60︒，∴②正确，①错误．故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．三、解答题（48分）17. 已知矩形ABCD 内接于圆柱下底面的圆O ，PA 是圆柱的母线，若6AB =，8AD =，异面直线PB 与CD 所成的角为2arctan ，求此圆柱的体积.【答案】300π【解析】【分析】根据底面圆的内接矩形的长和宽求出圆的半径，再由母线垂直于底面和“异面直线PB 与CD 所成的角为2arctan ”求出母线长，代入圆柱的体积公式求出值．【详解】解：设圆柱下底面圆O 的半径为r ，连AC ，由矩形ABCD 内接于圆O ，可知AC 是圆O 的直径， ∴2226810r AC ==+=，得=5r ，由//AB CD ，可知PBA ∠就是异面直线PB 与CD 所成的角，即arctan2PBA ∠=，tan 2PBA ∴∠=．在直角三角形PAB 中，tan 12PA AB PBA =∠=，∴圆柱的体积22512300V r PA πππ==⨯⨯=．【点睛】本题考查了圆柱的体积求法，主要根据圆内接矩形的性质、母线垂直于底面圆求出它的底面圆半径和母线，即关键求出半径和母线长即可．18. 求二项式500(12)x +的展开式中项系数最大的项的系数.【答案】3333335002C ⋅或3343345002C ⋅【解析】【分析】根据题意，求出500(12)x +的展开式的通项，求出其系数，设第1r +项的系数最大，则有11500500115005002222r r r r r r r r C C C C --++⎧⎨⎩，解可得r 的值，代入通项中计算可得答案．【详解】解：根据题意，500(12)x +的展开式的通项为1500(2)r r r T C x +=，其系数为5002r r C ⨯，设第1r +项的系数最大，则有11500500115005002222r r r r r r r r C C C C --++⎧⎨⎩， 即11500499(5001)500499(5002)22!(1)!500499(5001)500499(500)22!(1)!r r r r r r r r r r r r -+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⎧⎪-⎪⎨⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-⎪⎪+⎩解可得：333334r ，故当333r =或334r =时，展开式中项系数最大，则有4334334333355002T C x =，3333333333345002T C x =； 即系数最大的项的系数为3335003332C 或4335004332C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意项的系数与二项式系数的区别，属于基础题．19. 如图，弧AEC 是半径为r 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，线段ED 与弧EC 交于点G ，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，2FC r =.（1）求异面直线ED 与FC 所成角的大小；（2）将FCG ∆（及其内部）绕FC 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积.【答案】（1）90︒；（2）3415r π； 【解析】【分析】 （1）由FC ⊥平面BED ，利用线面垂直的性质定理可得FC ED ⊥，即可得到异面直线ED 与FC 所成角的大小为90︒．（2）连接GC ，在BGC ∆中，利用余弦定理得：2222222cos 5CG r r r CBG r =+-∠=，由题设知，所得几何体为圆锥，分别计算其其底面积及高为F ，即可得到该圆锥的体积V ．【详解】解：（1）FC ⊥平面BED ，ED ⊂平面BED ，FC ED ∴⊥，∴异面直线ED 与FC 所成角的大小为90︒．（2）连接GC ，在BGC ∆中，由余弦定理得：2222222cos 5CG r r r CBG r =+-∠=， 由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为2225CG r ππ=，高为2FC r =． 该圆锥的体积为2312423515V r r r ππ=⨯⨯=． 【点睛】熟练掌握线面垂直的性质定理、余弦定理、圆锥的体积计算公式是解题的关键．20. 老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共7人要排成一排拍散伙纪念照.（1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？（2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？（3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？【答案】（1）26261440A A =；（2）52563600A A =；（3）2222352116720C A A A A =； 【解析】【分析】（1）利用捆绑法即可求出，（2）利用插空法即可求出，（3）利用捆绑和插空法，即可求出．【详解】解：（1）首先把两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，和另外5人全排列，故有26261440A A =种，（2）将老王与老况插入另外5人全排列所形成的6个空的两个，故有52563600A A =种，（3）先安排老王与老况，在形成的3个空中选2个插入小郭与小周，在形成的5个空中选1个插入老顾，最后将两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，选1个位置插入到其余5人形成的6个空中故有2222352116720C A A A A =种． 【点睛】本题考查了简单的排列组合，考查了相邻问题和不相邻问题，属于中档题.21. 在一个圆锥内作一个内接等边圆柱（一个底面在圆锥的底面上，且轴截面是正方形的圆柱），再在等边圆柱的上底面截得的小圆锥内做一个内接等边圆柱，这样无限的做下去.（1）证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的37，求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比. 【答案】（1）证明见解析；（2）38 【解析】【分析】（1）求出第一个等边圆柱的体积，设第n 个等边圆柱的底面半径为a ，其外接圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积3322()2n rh V a r h ππ==+，进一步求得第1n +个等边圆柱的体积，作比可得这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）由这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的37可得r 与h 的关系，则答案可求． 【详解】（1）证明：如图，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，内接等边圆柱的底面半径为a ，则由三角形相似可得：2a r a h r -=，可得2rh a r h=+． 其体积233222()2rh V a a a r h πππ===+． 设第n 个等边圆柱的底面半径为a ，其外接圆锥的底面半径为r ，高为h ， 则其体积3322()2n rh V a r hππ==+，再设第1n +个等边圆柱的底面半径为b ，则其外接圆锥的底面半径为2rh a r h =+， 高为22ah h r r h =+， 则第1n +个等边圆柱的体积223331222222()()2(2)22n rh h rh r h r h V b rh h r h r h r h ππ+++===++++． ∴31()2n n V h V r h +=+为定值， 则这些等边圆柱的体积从大到小排成一个以312()2rh V r h π=+为首项，以3()2h r h +为公比的等比数列； （2）解：原来圆锥的体积为213r h π， 这些等边圆柱的体积之和为32312232()214631()2rh V r h r h h q r rh h r h ππ+==-++-+． 由232223146373r h r h r rh h ππ=++，得222320r rh h +-=， 2h r ∴=．则最大的等边圆柱的体积为34r π，圆锥的体积为323r π，体积之比为38．【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积的求法，考查等比数列的确定及所有项和公式的应用，是中档题．。

2017-2018年上海市宝山区高二下期末数学试卷及答案

2017-2018年上海市宝山区高二下期末数学试卷及答案

宝山区2017学年第二学期期末 高二年级数学学科教学质量监测试卷（120 分钟，150 分） 2018.6一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分。

1、 在复数范围内，方程x 2+x+\=0的根为 ________________2、 若直线/经过点A （-1,1）,且一个法向量为；=（3,3）,则直线/的方程是 _____________2-3 03、 行列式3 67的第2行第3列元素的代数余子式的值为 ______________ 1 454、点，5、7. 若不论斤为何实数，直线y =总+1与曲线疋+）,2一2宀+ °2一2°一4 = 0恒有公共点，则实数"的取值范围是 ____________8、已知线段A3长为3, A 、B 两点到平面a 的距离分别为1与2,则力3所在直线与平而a 所成角的大小为 _________9、若|^-2/| + |z-z 0| = 4表示的动点的轨迹是椭圆，则閱的取值范用是.(2 4、= A + B ，其中 AeS,, BwS-那么 3 =16 8； 1 12、一只洒杯的轴截而是抛物线的一部分，它的函数解析式y = ^（0<y<20）,在杯内放一个玻璃球,2\(a /^|{ ui.b.c.d e R.b = c ” S 严ua.b.c.d e R 、a = d =Z? + c = 0> 肛〃丿1■那么，这个大铅球的表而积是,已知矩阵11.设亠= 在直角 A4BC 中，ZC =90°, ZA = 30°, BC=1, D 为斜边 43 的 [W]则AB ・CD = __________执行右图的程序框图，如果输入i = 6,则输岀的S 的值为 6、在数列｛%｝中,a n =$（"是奇数）-9 ，$2“=绚+冬+・・・+知，则一名，（〃是偶数） In10、将一个半径为1和2的两个铅球，溶成一个大铅球,/彎S/n < / ■址要使球触及洒杯底部，则玻璃球的半径尸的取值范围是 _____________ 二、选择题（本大题满分20分），本大题共有4题，每题5分13、 下列四个命题中真命题是（ ）A. 垂直于同一直线的两条直线互相平行：B. 底而各边相等、侧而都是矩形的四棱柱是正四棱柱；C. 过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D. 过球面上任意两点的大圆有且只有一个一14、 设耐=尸+^+广+….+严18, N = j2.j3.『.…严8, i 为虚数单位，则M 与N 的关系是（） A. M + N = OB. M<NC. M 〉ND. M = N15、 设二恳均是非零向量，且a =2b ,若关于x 的方程x 2+ax + a-b= 0有实根，则：与了的夹角的取值范围为（）r l r ll ■小兀7r 龙2/r n 0,— B. —, 7tC. —、—D.—、兀6」L3」L3 3」|_6」16、泄义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列 叫做等差向量列，这个常向疑叫做等差向量列的公差。

2017学年第二学期上海市七宝中学高二期末考试数学试题

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2017学年第二学期七宝中学高二期末考试数学试题一、填空题1.将三份录取通知书投入四个邮筒共有_______种不同的投递方式。

2.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为____。

3.已知空间向量，如(21,3,0),(1,,3)(,)a x x b y y x y R =+=-∈果存在实数λ使得a b λ=成立，则x y +=_______.4.在6(2)x x+展开式中，常数项为_______。

（用数字作答） 5.从一堆苹果中任取6个，称得它们的质量如下（单位：克）：125，124，121，123，127，则该样本标准差s =______克。

6，在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有____种。

7.若在1()n x x-展开式中，若奇数项的系数之和为32，则含4x 的系数是______。

8，已知实数,x y 满足不等式组340210380x y x y x y -+≥+-≥+-≤，若目标函数z x ay =+恰好仅在点(2,2)处取得最大值，则实数a 的取值范围为_______.9.在9()a b c ++的展开式中，含432a b c 项的系数为______（用数字作答）10．已知,x y 满足组合数方程21717x yC C =，则xy 的最大值是_______.11.设集合{1,2,3,4,5}I =，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有______种。

12．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2,2,,EC c AB BC AC CD a a c =+=+=且其中,为常数，则四面体ABCD 的体积最大值是_______.二、选择题13．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．2π+11111左视图主视图B．4π+ C．2π+D．43π+14．从2018名学生志愿者中选取50名学生参加活动，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每人入选的概率（ ）A ．不全相等 B.均不相等 C ．都相等，且为140 D.都相等，且为25100915．为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、……，第五组，右图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．6 B. 8 C.12 D.1816.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，期中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也；又以高乘之。

精品解析：上海市七宝中学高二下学期期末数学试题解析版

精品解析：上海市七宝中学高二下学期期末数学试题解析版
则 ，设抛物线方程为 ，将 代入可得 ，则抛物线的焦点到其准线的距离为
故答案为
【点睛】本题考查圆锥中具体线段的求解，抛物线解析式的求法，数形结合的思想，属于中档题
二．选择题
13.若变量x,y满足约束条件 则目标函数 取值范围是
A.[2,6]B.[2,5]C.[3,6]D.[3,5]
【答案】
【解析】
【分析】可将椭圆的标准式转化为参数方程，再由点到直线距离公式求解即可
【详解】由 对应参数方程为： ，由点到直线距离公式得 ，当 时，
故答案为
【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，点到直线的距离公式，属于中档题
3. 除以5的余数是______
【答案】3
【解析】
【详解】试题分析： ，它除以5余数为3．
【详解】在 中，
从第一项到最后一项分别表示：
从装有 个白球， 个黑球的袋子里，
取出 个球的所有情况取法总数的和，
故从装有 球中取出 个球的不同取法数 .
故答案为：
【点睛】本题结合考查推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．
【详解】 ，
或 ，
，
设上式中有 个 ，则有 个 ，
，解得： ，
这样的数列个数有 .
故答案为：495
【点睛】本题以数列递推关系为背景，本质考查组合知识的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意确定数列中 的个数是关键.
12.如图，在底面半径和高均为 的圆锥中， 是底面圆 的两条互相垂直的直径， 是母线 的中点，已知过 与 的平面与圆锥侧面的交线是以 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为______________．

2018-2019学年上海市闵行区高二(下)期末数学试卷

2018-2019学年上海市闵行区高二(下)期末数学试卷

2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1．（4分）复数（i是虚数单位）的虚部是．2．（4分）抛物线y＝2x2的准线方程为．3．（4分）在复平面上，复数z1＝1+2i、z2＝3﹣4i分别对应点A、B，O为坐标原点，则＝4．（4分）若一个圆锥的底面面积为9π，母线长为5，则它的侧面积为5．（4分）参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是6．（4分）在平面几何中，以下命题都是真命题：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两直线平行；④垂直于同一条直线的两直线平行；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是（写出所有符合要求的序号）7．（5分）已知关于x的实系数方程x2+ax+b＝0有一个模为1的虚根，则a的取值范围是．8．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．9．（5分）已知地球的半径约为6371千米，上海的位置约为东经121°、北纬31°，开罗的位置约为东经31°、北纬31°，两个城市之间的距离为（结果精确到1千米）．10．（5分）在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α，则sin α＝．11．（5分）若复数z 满足|z ﹣2|＝|Rez+2|，则|z ﹣3﹣2i|+|z ﹣2|的最小值．12．（5分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝，BC ＝AA 1＝1，点M 为线段AB 1的中点，点P 为对角线AC 1上的动点，点Q 为底面ABCD 上的动点，则MP+PQ 的最小值为．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知空间三条直线l 、m 、n ．若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（）A ．m 与n 异面B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能14．（5分）若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A ．πB ．C ．D ．5π15．（5分）定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的旋转复数”设复数z ＝x+yi （x ，y ∈R ）对应的点（x ，y ）在曲线x 2﹣2xy ﹣y ＝0上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）A ．y 2+2xy ﹣x ＝0B ．y 2﹣2xy+x ＝0C ．y 2+2xy+x ＝0D ．y 2﹣2xy ﹣x ＝016．（5分）已知直线l 与抛物线x 2＝4y 交于A 、B 两点，若四边形OAMB 为矩形，记直线OM 的斜率为k ，则|k|的最小值为（）A ．4B ．2C ．2D ．三、解答题（本大题共5题，共76分）17．（14分）如图，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长AB ＝2，若BD 1与底面ABCD所成的角的正切值为．（1）求正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积；（2）求异面直线A 1A 与B 1C 所成的角的大小．18．（14分）设z+1为关于x 的方程x 2+px+q ＝0（p ，q ∈R ）的虚根，i 是虚数单位．（1）当z ＝﹣1+i 时，求p 、q 的值；（2）若q ＝1，在复平面上，设复数z 所对应的点为M ，复数2﹣4i 所对应的点为N ，试求|MN |的取值范围．19．（14分）如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，BC 、EF 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，D 为母线AC 的中点，已知过EF 与D 的平面与圆锥侧面的交线是以D 为顶点、DO 为对称轴的抛物线的一部分．（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为；（2）若圆锥的侧面积为8π，求抛物线焦点到准线的距离．20．（16分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵：将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[bi ēn ào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室ABC﹣A1B1C1（图1），A1ABB1是边长为2的正方形．（1）若△ABC是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；（2）若C1D⊥A1B1，D在A1B1上，证明：C1D⊥DB，并回答四面体DBB1C1是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（3）当阳马A1﹣C1CBB1的体积最大时，求点B1到平面A1BC的距离．21．（18分）设点P（x0，y0）是抛物线Γ：y2＝4x上异于原点O的一点，过点P作斜率为k1、k2的两条直线分别交Γ于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（P、A、B三点互不相同）．（1）已知点Q（3，0），求|PQ|的最小值；（2）若y0＝6，直线AB的斜率是k3，求的值；（3）若y0＝2，当＝0时，B点的纵坐标的取值范围．2018-2019学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1．（4分）复数（i是虚数单位）的虚部是﹣1．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．（4分）抛物线y＝2x2的准线方程为．【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．【解答】解：抛物线的方程可变为x2＝y故p＝其准线方程为故答案为【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p ＝1，因看错方程形式马虎导致错误．3．（4分）在复平面上，复数z1＝1+2i、z2＝3﹣4i分别对应点A、B，O为坐标原点，则＝﹣5【分析】由条件得，，然后计算两向量的数量积即可．【解答】解：由复数z1＝1+2i、z2＝3﹣4i分别对应点A、B，O为坐标原点，得，，∴＝3﹣8＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了复数与向量的关系和向量的数量积，属基础题．4．（4分）若一个圆锥的底面面积为9π，母线长为5，则它的侧面积为15π【分析】由已知中圆锥的底面面积及母线长，求出圆锥的底面半径，代入侧面积公式，可得答案．【解答】解：一个圆锥的底面面积为9π，母线长为5，可得圆锥的底面半径为：3，周长为6π，它的侧面积为：＝15π．故答案为：15π．【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的底面半径和高，是解答的关键．5．（4分）参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是（3，0）【分析】取y＝0求得θ，代入x＝4﹣sin2θ求得x值，则答案可求．【解答】解：对于（θ∈R），取y＝0，得cosθ＝0，则θ＝，k∈Z．∴x＝4﹣sin2θ＝4﹣＝3．∴参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查由已知三角函数值求角，是基础题．6．（4分）在平面几何中，以下命题都是真命题：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③平行于同一条直线的两直线平行；④垂直于同一条直线的两直线平行；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；则在立体几何中，上述命题仍为真命题的是①③（写出所有符合要求的序号）【分析】利用平面直线与直线的位置关系以及点与直线的位置关系，判断空间点与直线，直线与直线的位置关系的真假即可．【解答】解：①过一点有且仅有一条直线与已知直线平行；在空间内也成立；②过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；在空间内，与经过这一点直线垂直的直线有无数条，所以不正确；③平行于同一条直线的两直线平行；这是平行公理，正确；④垂直于同一条直线的两直线平行；在空间中，不成立，因为转化两条直线可以是异面直线；所以不正确；⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形；可以是空间四边形，所以不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查平面内直线与直线的位置关系以及空间中直线与直线的位置关系的应用，是基本知识的考查．7．（5分）已知关于x的实系数方程x2+ax+b＝0有一个模为1的虚根，则a的取值范围是（﹣2，2）．【分析】设出复数z，利用已知条件，结合韦达定理，及|z|＝1，求得b，在根据△＜0求出a的范围．【解答】解：设z＝m+ni，则方程的另一个根为＝m﹣ni，∵方程有一个模为1的虚根，∴m2+n2＝1，由韦达定理有，，又△＝a2﹣4b＝a2﹣4＜0，∴﹣2＜a＜2，∴a的取值范围为（﹣2，2）．【点评】本题考查了实系数方程虚根成对定理和复数的运算性质，考查了方程思想和转化思想，属基础题．8．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是2，侧棱长是2，高是下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，高是2，组合体的体积包括两部分，写出公式得到结果．【解答】解：由三视图知几何体是一个简单组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是2，侧棱长是2，高是＝下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，高是2，∴组合体的体积是×+π×12×2＝，故答案为：，【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查圆柱的体积和四棱锥的体积，本题是一个基础题，题目只有四棱锥的高需要求出，运算量比较小．9．（5分）已知地球的半径约为6371千米，上海的位置约为东经121°、北纬31°，开罗的位置约为东经31°、北纬31°，两个城市之间的距离为6571（结果精确到1千米）．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出球面上两点间的距离即可．【解答】解：如图所示，设地球的半径为R，则△AO′B中，∠AO′B＝121°﹣31°＝90°，AO′＝BO′＝Rcos30°＝R，∴AB＝AO′＝R，△AOB中，cos∠AOB＝＝＝；∴∠AOB＝1.0314，∴＝|α|R＝1.0314×6371≈6571（千米），即上海和开罗两个城市之间的距离为6571千米．【点评】本题考查了球面上两点之间的距离计算问题，是基础题．10．（5分）在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α，则sinα＝．【分析】棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面．则∠A1AO＝θ，即可得出．【解答】解：∵棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，∴平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面．则∠A1AO＝θ，设棱长为：1，A1O＝，AO＝＝，∴sinα＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11．（5分）若复数z满足|z﹣2|＝|Rez+2|，则|z﹣3﹣2i|+|z﹣2|的最小值5．【分析】设z＝x+yi，x，y∈R．由满足|z﹣2|＝|Rez+2|，可得＝|x+2|，化为：y2＝8x．可得F（2，0），Q（3，2），抛物线的准线l：x＝﹣2．过点P作PH⊥l，垂足为H．可得|z﹣3﹣2i|+|z﹣2|＝|PF|+|PQ|≥|QH|．【解答】解：设z＝x+yi，x，y∈R．∵满足|z﹣2|＝|Rez+2|，∴＝|x+2|，化为：y2＝8x．可得F（2，0），Q（3，2），抛物线的准线l：x＝﹣2．过点P作PH⊥l，垂足为H．则|z﹣3﹣2i|+|z﹣2|＝|PF|+|PQ|≥|QH|＝5，当且仅当三点Q，P，H三点共线时取等号．故答案为：5．【点评】本题考查了复数的几何意义、抛物线的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，BC＝AA1＝1，点M为线段AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点，则MP+PQ的最小值为．【分析】画出图形，利用折叠与展开法则同一个平面，转化折线段为直线段距离最小，转化求解MP+PQ的最小值．【解答】解：由题意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形ACC1与三角形AB1C1，在同一个平面上，如图，易知∠B1AC1＝∠C1AC＝30°，AM＝，可知MQ⊥AC时，MP+PQ的最小，最小值为：＝．故答案为．【点评】本题考查最小值的求解，考查空间想象能力以及学生的计算能力，难度比较大．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）A．m与n异面B．m与n相交C．m与n平行D．m与n异面、相交、平行均有可能【分析】可根据题目中的信息作图判断即可．【解答】解：∵空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，∵m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2），故选：D．【点评】本题考查平面的基本性质，着重考查学生的理解与转化能力，考查数形结合思想，属于基础题．14．（5分）若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πB．C．D．5π【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为1的正三棱柱，设上下底面中心连线EF的中点O，则O就是球心，其外接球的半径为OA1，设D为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，EA1＝＝，在直角三角形OEA1中，OE＝，由勾股定理得OA1＝，∴球的表面积为S＝4π?．故选：B．【点评】本题考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力，是中档题．15．（5分）定义：复数z与i的乘积zi为复数z的旋转复数”设复数z＝x+yi（x，y∈R）对应的点（x，y）在曲线x2﹣2xy﹣y＝0上，则z的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（）A．y2+2xy﹣x＝0B．y2﹣2xy+x＝0C．y2+2xy+x＝0D．y2﹣2xy﹣x＝0【分析】根据题意求出旋转复数zi＝﹣y+xi（x，y∈R）对应的点（﹣y，x），再根据复数z＝x+yi（x，y∈R）对应的点（x，y）在曲线x2﹣2xy﹣y＝0上求出结论即可．【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R）对应的点（x，y）在曲线x2﹣2xy﹣y＝0上，∴复数z的旋转复数zi＝﹣y+xi（x，y∈R）对应的点（﹣y，x），令x′＝﹣y，y′＝x，则，x＝y′，y＝﹣x′即，y′2﹣2y′（﹣x）﹣（﹣x′）＝0故，y2+2xy+x＝0故选：C．【点评】本题考查复数运算以及点的轨迹方程，难度较易．16．（5分）已知直线l与抛物线x2＝4y交于A、B两点，若四边形OAMB为矩形，记直线OM的斜率为k，则|k|的最小值为（）A．4B．2C．2D．【分析】先设出AB的方程为y＝mx+n，与抛物线联立方程组，根据矩形OABM的特征求出n的值，然后建立|k|表达式，求出其最小值．【解答】解：设AB的方程为y＝mx+n，则得x2﹣4mx﹣4n＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝4m，x1x2＝﹣4n，y1+y2＝m（x1+x2）+2n，y1y2＝（mx1+n）（mx2+n）＝＝﹣4m2n+4m2n+n2＝n2．因为四边形OAMB为矩形，所以，解之得n＝4或n ＝0（舍去），因为OM过AB的中点P，则＝，当且仅当m2＝2，即时，取得等号；故选：B．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题目．三、解答题（本大题共5题，共76分）17．（14分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若BD1与底面ABCD 所成的角的正切值为．（1）求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积；（2）求异面直线A1A与B1C所成的角的大小．【分析】（1）利用直线与平面所成角，求解侧棱的长度，然后求解体积．（2）说明∠CB1B是异面直线A1A与B1C所成的角，由此能求出异面直线A1A与B1C所成的角的大小．【解答】解：（1）∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，AA1⊥平面ABCD，BD1与底面ABCD所成的角的正切值为．BD＝2，所以AA1＝4，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积：2×2×4＝16．（2）∵A1A∥B1B，∴∠CB1B是异面直线A1A与B1C所成的角，∵由（1）知AA1＝4，∴BC＝2，∴tan∠CB1B＝，∴异面直线A1A与B1C所成的角的大小为arctan2．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（14分）设z+1为关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的虚根，i是虚数单位．（1）当z＝﹣1+i时，求p、q的值；（2）若q＝1，在复平面上，设复数z所对应的点为M，复数2﹣4i所对应的点为N，试求|MN|的取值范围．【分析】（1）由条件知方程x2+px+q＝0的两根分别为i，﹣i，然后利用根与系数的关系可得p，q的值；（2）根据条件，令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π），然后由|MN|＝可得|MN|的范围．【解答】解：（1）∵z＝﹣1+i，∴z+1＝i，则方程x2+px+q＝0的两根分别为i，﹣i．∴由根于系数的关系有，∴p＝0，q＝1；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），则＝＝a+1﹣bi．由题意可得：（z+1）＝（a+1）2+b2＝1．令a+1＝cosθ，b＝sinθ，θ∈[0，2π）．∵复数z所对应的点为M，复数2﹣4i所对应的点为N，∴|MN|＝＝∈[4，6]．【点评】本题考查实系数一元二次方程的根与系数的关系、共轭复数的性质、三角函数求值、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属中档题．19．（14分）如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，BC、EF是底面圆O的两条互相垂直的直径，D为母线AC的中点，已知过EF与D的平面与圆锥侧面的交线是以D为顶点、DO为对称轴的抛物线的一部分．（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为；（2）若圆锥的侧面积为8π，求抛物线焦点到准线的距离．【分析】（1），设圆锥底面半径为r，母线为l．可得l＝2r．即可求得圆锥的母线与底面所成的角为；（2（由πrl＝8π？r＝2 在过EF与D的平面内，以D为原点，直线DO为x轴，建立空间直角坐标系，可设抛物线方程为y2＝2px，点F（1，2）在物线y2＝2px上，求得p 即可．【解答】证明：（1）设圆锥底面半径为r，母线为l．∵圆锥的展开侧面图是一个半圆，∴2πr＝，∴l＝2r．圆锥的母线与底面所成的角为α．cos∴圆锥的母线与底面所成的角为；解：（2）∵圆锥的侧面积为8π，∴πrl＝8π，∴r＝2，∵BC、EF是底面圆O的两条互相垂直的直径，D为母线AC的中点，∴OD＝＝1，OF＝2在过EF与D的平面内，以D为原点，直线DO为x轴，建立空间直角坐标系，可设抛物线方程为y2＝2px，点F（1，2）在物线y2＝2px上，∴p＝2∴抛物线焦点到准线的距离为p＝2．【点评】本题考查了圆锥的性质，抛物线的方程及性质，属于中档题．20．（16分）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵：将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biēnào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室ABC﹣A1B1C1（图1），A1ABB1是边长为2的正方形．（1）若△ABC是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图；（2）若C1D⊥A1B1，D在A1B1上，证明：C1D⊥DB，并回答四面体DBB1C1是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（3）当阳马A1﹣C1CBB1的体积最大时，求点B1到平面A1BC的距离．【分析】（1）△ABC是等腰三角形，由AB＝2，得AC＝BC＝，由AA1＝2，点C到直线AB的距离为1，由此在图2的网格中画出堑堵的三视图．（2）由平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，且平面A1B1C1∩平面ABB1A1＝A1B1，得C1D⊥平面ABB1A1，从而C1D⊥DB，四面体DBB1C1是鳖臑，由此能求出结果．（3）当阳马A1﹣C1CBB1的体积最大时，AC⊥BC，且AC＝BC＝，以C为原点，CA 为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B1到平面A1BC的距离．【解答】解：（1）解：△ABC是等腰三角形，由AB＝2，得AC＝BC＝，又AA1＝2，点C到直线AB的距离为1，在图2的网格中画出堑堵的三视图，如图所示．（2）证明：如图 2 所示，由平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，且平面A1B1C1∩平面ABB1A1＝A1B1，C1D?平面A1B1C1，C1D⊥A1B1，∴C1D⊥平面ABB1A1，又BD?平面ABB1A1，∴C1D⊥DB；四面体DBB1C1是鳖臑，△BDB1中，∠BB1D是直角，△BB1C1中，∠BB1C1是直角，△B1C1D中，∠B1DC1是直角，△BC1D中，∠BDC1是直角；（3）当阳马A1﹣C1CBB1的体积最大时，AC⊥BC，且AC＝BC＝，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（0，，2），A1（，0，2），B（0，，0），C（0，0，0），＝（0，），＝（），＝（0，），设平面A1BC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（），∴点B1到平面A1BC的距离：d＝＝＝．【点评】本题考查三视图、鳖臑、阳马、点到平面的距离等知识点，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（18分）设点P（x0，y0）是抛物线Γ：y2＝4x上异于原点O的一点，过点P作斜率为k1、k2的两条直线分别交Γ于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（P、A、B三点互不相同）．（1）已知点Q（3，0），求|PQ|的最小值；（2）若y0＝6，直线AB的斜率是k3，求的值；（3）若y0＝2，当＝0时，B点的纵坐标的取值范围．【分析】（1）由|PQ|＝＝，可得|PQ|的最小值；（2）设AP或BP的方程为y＝k（x﹣9）+6，求得A（（，），B（（）2，）．可得＝＝．＝3；（3）同理（2）可得y，＝1，，结合k1?k3＝﹣1?，（k1≠1 ），即可得的范围，从而求得B点的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）|PQ|＝＝．∵x0＞0，∴当x0＝1时，|PQ|的最小值2；（2）可得P（9，6）设AP或BP的方程为y＝k（x﹣9）+6，由?ky2﹣4y+24﹣36k＝0．?6+y＝?y＝，x＝（）2，∴A（（，），B（（）2，）．∴＝＝．∴＝3；（3）y0＝2时，P（1，2）．直线P A方程为y＝k（x﹣1）+2?ky2﹣4y+8﹣4k＝0△＝16﹣4k（8﹣4k）＞0?k≠1，同理（2）可得y，＝1，∴，∵k1?k3＝﹣1，?∵k1≠1，∴k1+＞2或k1+＜﹣2．∴＞3，或∴的取值范围为（10，+∞）∪（﹣∞，﹣6）．∴当＝0时，B点的纵坐标的取值范围为（10，+∞）∪（﹣∞，﹣6）．．【点评】本题考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于难题．。

2017-2018学年上海市七宝中学高二下学期期末考试数学试题

2017-2018学年上海市七宝中学高二下学期期末考试数学试题

2017-2018学年七宝中学高二期末数学试卷一. 填空题 1. 将参数方程122x ty t =+⎧⎨=-⎩（t R ∈，t 为参数）化为普通方程2. 已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是3. 123101011111111111392733C C C C -+-+-⋅⋅⋅-+除以5的余数是 4. 如右图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm5. 甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是6. 在侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中，40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=，若过点A 的截面AEF ，交VB 于E ，交VC 于F ，则截面AEF 周长的最小值是7. 长方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且2AB BC ==，122AA =，则A 、B 两点之间的球面距离为8. 已知从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球，0m n <<，,m n ∈N ，共有1m n C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球全部为白球，另一类是取出1个黑球和(1)m -个白球，共有01111m m n n C C C C -+种取法，即有等 式11m m mn n n C C C -++=成立，试根据上述思想，化简下列式子：1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---+++⋅⋅⋅+= (1k m n ≤<≤，,,)k m n ∈N9. 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ︒∠=，60BAA DAA ︒''∠=∠=，则AC '的长为10. 某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段， 在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大 值为11. 数列{}n a 共有13项，10a =，134a =，且1||1k k a a +-=， 1,2,,12k =⋅⋅⋅，满足这种条件不同的数列个数为12. 如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底 面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知 过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线 的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为二. 选择题13. 若x 、y 满足约束条件2,22x y x y ≤≤⎧⎨+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5] 14. 某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：① 从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；② 从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况； 则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是（ ）A. ①用系统抽样，②用随机抽样B. ①用系统抽样，②用分层抽样C. ①用分层抽样，②用系统抽样D. ①用分层抽样，②用随机抽样15. 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A. 2283C PB. 2686C PC. 2286C PD. 2285C P16. 如图，E 、F 分别为棱长为1的正方体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为面对角线AC 和棱1AA 上的动点，则下列关于四面体E FGH -的体积正确的是（ ）A. 该四面体体积有最大值，也有最小值B. 该四面体体积为定值C. 该四面体体积只有最小值D. 该四面体体积只有最大值三. 简答题17. 有8名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果. （1）甲不在两端； （2）甲、乙相邻；（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；（4）甲不在排头，乙不在排尾. 18. 在二项式3121(2)x x+的展开式中. （1）求该二项展开式中所有项的系数和的值； （2）求该二项展开式中含4x 项的系数； （3）求该二项展开式中系数最大的项.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ︒∠=，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求异面直线PQ 与1B C 所成角的大小； （2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为12， 求四棱锥1C BAPB -的体积.20. 如图，圆锥的轴截面为等腰Rt △SAB ，Q 为底面圆周上一点.（1）若QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，求证：OH ⊥平面SBQ ；（2）如果60AOQ ︒∠=，QB =（3）若二面角A SB Q --大小为，求AOQ ∠.21.（1）集合12{|(,,,)n Q x x x x x ==⋅⋅⋅，0i x =或1}，对于任意x Q ∈，定义1()ni i f x x ==∑，对任意{0,1,2,,}k n ∈⋅⋅⋅，定义{|(),}k A x f x k x Q ==∈，记k a 为集合k A 的元素个数，求122n a a na ++⋅⋅⋅+的值；（2）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，是否存在正整数b ， 使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中，若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由； （3）已知当1||2x <时，有21124(2)12n x x x x =-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+，根据此信息，若对任 意1||2x <，都有20123(1)(12)n n x a a x a x a x x x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-+，求10a 的值.参考答案一. 填空题1. 250x y +-=2.5 3. 3 4. 4π 5. 166. 67. 23π 8. mn k C + 9. 10. 4 11. 495 12.2二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. D三. 解答题17.（1）77630240P ⋅=；（2）77210080P ⋅=； （3）535614400P P =；（4）876876230960P P P -+=；18.（1）123；（2）841227920C =；（3）339324121(2)()112640C x x x=；19.（1）2π；（2）14； 20.（1）略；（2）83π；（3）3π；21.（1）k k n a C =，11222n n a a na n -++⋅⋅⋅+=⋅；（2）b 为正偶数；（3）455-；。

2017-2018学年上海市闵行区高二(下)期末数学试卷及答案

2017-2018学年上海市闵行区高二(下)期末数学试卷及答案

2017-2018学年上海市闵行区高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结1．（4分）若z ＝﹣2+3i （其中i 为虚数单位），则z 的虚部是．2．（4分）已知复数z 满足（z ﹣2）i ＝1+i ，则z ＝．3．（4分）椭圆（θ为参数）的焦距为．4．（4分）在复平面上，复数z 对应的点为A （﹣2，1），则|z+1|＝．5．（4分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝BC ＝1，AA 1＝，则异面直线BD 1与CC 1所成角的大小为．6．（4分）已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点M （1，3），则其焦点到准线的距离为．7．（5分）各棱长均相等的正三棱锥，其任意两个相邻的面所成的二面角的大小为．8．（5分）某旋转体的三视图如图所示，则该旋转体的侧面积是．9．（5分）湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24厘米，深为8厘米的空穴，则这个球的半径为厘米．10．（5分）过双曲线C ：﹣＝1的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为．11．（5分）若z 是关于x 的方程x 2﹣2x+m 2﹣8＝0（m ∈R ）的一个虚数根，则|z+1|的取值范围是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P （x ，y ）到两坐标轴的距离之和等于它到定点A （1，1）的距离，记点P 的轨迹为Γ，给出下列四个结论①Γ关于原点对称；②Γ关于直线y ＝x 对称；③直线y ＝1与Γ有无数个公共点；④在第一象限内，Γ与x 轴和y 轴所围成的封闭图形的面积小于．其中正确的结论是．（写出所有正确结论的序号）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）若1﹣i （i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程x 2+bx+c ＝0的一个复数根，则（）A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝2，c ＝﹣1C ．b ＝﹣2，c ＝﹣1D ．b ＝﹣2，c ＝314．（5分）关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（）A ．平行直线的斜二测图仍是平行直线B ．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C ．正三角形的直观图一定为等腰三角形D ．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同15．（5分）已知双曲线﹣＝1的左顶点与抛物线y 2＝2px（p ＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．16．（5分）已知直线l 、直线m 和平面α，它们的位置关系同时满足以下三个条件：①l?α；②m ∥α；③l 与m 是互相垂直的异面直线若P 是平面α上的动点，且到l 、m 的距离相等，则点P 的轨迹为（）A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17．（14分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝60°，BB 1＝3，AB ＝4，BC ＝4．。

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2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期末数学试卷一、填空题1．（5分）将三份录取通知书投入四个邮筒共有种不同的投递方式．2．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为．3．（5分）已知空间向量，如＝（2x+1，3x，0），＝（1，y，y﹣3）（x，y∈R）果存在实数λ使得＝λ成立，则x+y＝．4．（5分）二项式的展开式的常数项为．5．（5分）从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差s＝（克）（用数字作答）．6．（5分）在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有种．7．（5分）若在展开式中，若奇数项的系数之和为32，则含x4的系数是．8．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z＝x+ay恰好仅在点（2，2）处取得最大值，则实数a的取值范围为．9．（5分）在（a+b+c）9的展开式中，含a4b3c2项的系数为（用数字作答）10．（5分）已知x，y满足组合数方程，则xy的最大值是．11．（5分）集合I＝{1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中的最小数大于A中的最大数，则不同的选择方法有种．12．（5分）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2，若AD＝2c，且AB+BD ＝AC+CD＝2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是．二、选择题13．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．14．（5分）从2018名学生志愿者中选取50名学生参加活动，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样从2018人中剔除18人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2018人中，每人入选的概率（）A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为D．都相等，且为15．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6B．8C．12D．1816．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．三、解答题17．（14分）毕业季有6位好友欲合影留念，现排成一排，如果：（1）A、B两人不排在一起，有几种排法？（2）A、B两人必须排在一起，有几种排法？（3）A不在排头，B不在排尾，有几种排法？18．（14分）已知在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中系数最大的项；19．（14分）已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α＝时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．20．（14分）将4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球．（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少种不同的取法；（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不少于5分，则有多少种不同的取法；（3）若将取出的4个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球的概率．21．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝4，AB＝2，以AC的中心O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N．（1）求证：AM⊥平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成角的大小；（3）求点N到平面ACM的距离．2017-2018学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，将三份录取通知书投入四个邮筒，每份通知书有4种投放方法，则3份通知书有4×4×4＝64种投放方法；故答案为：64．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意题目的限制条件，属于基础题．2．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则：πR＝2πr，∴R＝2r，∵一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，∴S＝πRr＝2πr2＝2π，解得r＝1．故答案为：1．【点评】本题考查圆锥的底面半径的求法，考查圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．【考点】M5：共线向量与共面向量．【解答】解：∵＝（2x+1，3x，0），＝（1，y，y﹣3）（x，y∈R）存在实数λ使得＝λ成立，∴，解得y＝3，x＝λ＝﹣1，则x+y＝3﹣1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了向量共线定理、向量相等、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：设二项式的展开式的通项为T r+1，则T r+1＝•（2x）6﹣r•＝•26﹣r•，令6﹣r＝0得：r＝4，∴二项式的展开式的常数项为T5＝•22＝15×4＝60．故答案为：60．【点评】本题考查二项式定理的应用，突出考查二项展开式的通项公式，属于中档题．5．【考点】BC：极差、方差与标准差．【解答】解：∵＝（125+124+121+123+127）＝124，∴S2＝[（125﹣124）2+（124﹣124）2+（121﹣124）2+（123﹣124）2+（127﹣124）2]＝4，∴S＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，是基础题，解题时要注意方差公式的灵活运用．6．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科任选3门，有C63＝20种选取方法，其中全部为文科科目、即没有理科科目的选法有1种，则至少选择一门理科学科的选法有20﹣1＝19种；故答案为：19．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意利用间接法分析，避免分类讨论．7．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：在展开式中，若奇数项的系数之和为2n﹣1＝32，求得n＝6，则通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝4，求得r＝1，故含x4的系数是•（﹣1）＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题主要考查二项式系数的性质，二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．8．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：画出已知约束条件的可行域为△ABC内部（包括边界）如图，易知当a＝0时，不符合题意；当a＞0时，由目标函数z＝x+ay得y＝﹣x+，则由题意得﹣3＝k AC＜﹣＜0，故a＞．综上所述，a＞．故答案为：（，+∞）．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．由于线性规划的介入，借助于平面区域，可以研究函数的最值或最优解；借助于平面区域特性，我们还可以优化数学解题，借助于规划思想，巧妙应用平面区域，为我们的数学解题增添了活力．9．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（a+b+c）9表示9个因式（a+b+c）的乘积，故其中有4个因式取a，3个因式取b，剩下的2个因式取c，可得含a4b3c2项，故含a4b3c2项的系数为••＝1260，故答案为：1260．【点评】本题主要考查乘方意义，排列组合的知识，属于基础题．10．【考点】D5：组合及组合数公式．【解答】解：∵x，y满足组合数方程，∴2x＝y，0≤x≤8或2x+y＝17，∴xy＝2x2∈[0，128]，或2xy≤（）2＝，即xy≤．综上，当2x＝y＝16时，xy取最大值128．故答案为：128．【点评】本题考查两数积的最大值的求法，考查组合数公式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11．【考点】16：子集与真子集；D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52＝10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53＝10种选法，再分成1一个元素一组、2个元素一组，有两种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10＝20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54＝5种选法，再分成1个元素一组、3三个元素一组；2个元素一组、2个元素一组；3个元素一组、1一个元素一组，共三种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5＝15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选法，再分成1个元素一组、4个元素一组；2个元素一组、3个元素一组；3个元素一组、2个元素一组；4个元素一组、1两个元素一组组，有四种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1＝4种方法；总计为10+20+15+4＝49种方法．故答案为：49【点评】本题考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是理解题意，能够看懂使B中的最小数大于A中的最大数的意义，本题是一个难题也是一个易错题，需要认真解答．12．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD＝AC+CD＝2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE＝CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD＝AC+CD＝2a，∴AB＝a，所以EB＝，EF＝，所以几何体的体积为：×＝．故答案为：．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．二、选择题13．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图得，该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，并且圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，体积为＝，所以该几何体的体积为2π+．故选：C．【点评】本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．14．【考点】B4：系统抽样方法．【解答】解：∵在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，∴每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，∴每人入选的概率p＝＝，故选：D．【点评】本题考查了简单随机抽样与系统抽样方法的应用问题，也考查了概率的意义问题，是基础题目．15．【考点】B8：频率分布直方图．【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．16．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L＝2πr，∴＝（2πr）2h，∴π＝．故选：B．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．三、解答题17．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：（1）将A、B两人插入到其余4人所形成的5个空中，故有A44A52＝480种，（2）将A、B两人捆绑在一起看做一个复合元素和其余4人去安排了，故有A22A55＝240种，（3）根据题意，分2种情况讨论：①若A在排尾，则剩下的5人全排列，故有A55＝120种排法，②若A不在排尾，在A有4个位置可选，B有4个位置可选，将剩下的4人全排列，安排在其他4个位置即可，此时有C41C41A44＝384种排法，则一共有120+384＝504种不同的排法；【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．18．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（1）二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列，可得2•＝+•，解得n＝1（舍去），或n＝8；（2）第r+1项的二项式系数为T r+1＝，故第5项的二项式系数最大，此时，r＝4；（3）由，解得2≤r≤3．∴系数最大的项为第三项或第四项．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数、二项式的系数的定义和性质，属于中档题．19．【考点】J3：轨迹方程；JE：直线和圆的方程的应用；Q4：简单曲线的极坐标方程；QJ：直线的参数方程；QK：圆的参数方程．【解答】解：（Ⅰ）当α＝时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2＝1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为x sinα﹣y cosα﹣sinα＝0①．则OA的方程为x cosα+y sinα＝0②，联立①②可得x＝sin2α，y＝﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．20．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【解答】解：（1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有4红和3红1白和2红2白三类，其中：4红有：＝1种不同的取法；3红1白有：＝24种不同的取法；2红2白有：＝90种不同的取法；故共有115种不同的取法；（2）若取出4个球的总分不少于5分，则有4红和3红1白，2红2白，1红3白四类，其中：4红有：＝1种不同的取法；3红1白有：＝24种不同的取法；2红2白有：＝90种不同的取法；1红3有：＝80种不同的取法；故共有195种不同的取法；（3）若将取出的4个球放入一箱子中，记“从箱子中任意取出2个球，然后放回箱子中”为一次操作，如果操作三次，共有：＝144种不同情况；恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球共有：1+2+1+2＝6种情况，故恰有一次取到2个红球且有一次取到2个白球的概率P＝＝【点评】本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，第三问难度均大21．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】（1）证明：依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC．∵P A⊥平面ABCD，则P A⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面P AD，则CD⊥AM，∴A M⊥平面PCD；（2）解：由（1）知，AM⊥PD，又P A＝AD，则M是PD的中点可得AM＝2，MC＝，则AM•MC＝2．设D到平面ACM的距离为h，由V D﹣ACM＝V M﹣ACD，得2h＝8，可求得h＝，设直线CD与平面ACM所成角的大小为θ，则sinθ＝，∴θ＝arcsin；（3）解：由已知求得PC＝6．∵AN⊥NC，由，得PN＝＝．∴．故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的．又∵M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为．【点评】本题考查直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．。

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