概率论与数理统计课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

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习题答案

第1章 三、解答题

1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.

2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：因为)()()()(B A P B P A P AB P -+≤， 又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以

(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P ==0.6.

(2)

1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.

3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) = p ，试求P (B )．

解：因为)()(B A P AB P =，

即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ，

所以

.1)(1)(p A P B P -=-=

4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．

解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)(=-=AB P AB P .

5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有410C n

=种，以下求至少有两只配成一双的取法k ： 法一：分两种情况考虑：15C k

=24C 212

)(C +25C 其中：2

122

41

5)(C C C 为恰有1双配对的方法数

法二：分两种情况考虑：!

21

61815

C C C k ⋅⋅=+2

5C

其中：!

216

1815

C C C ⋅⋅

为恰有1双配对的方法数

法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k

-=+25C

1

1

图？

11．随机地向半圆220x ax y -<<

（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求

原点和该点的连线与x 轴的夹角小于

4

π

的概率． 解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，θ表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 Ω={(x ，y )：220,20x ax y a x -<<<<

}

事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4

π” ={(x ，y )：4

0,20,202π

θ<

<-<<<

因此

2112

14121)(222+=+=Ω=πππa a

a A A P 的面积的面积．

12．已知2

1

)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：,12

1

3141)()()(=⨯==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷==

B A P AB P B P

.3

11216141)()()()(=-+=

-+=AB P B P A P B A P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；

321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ，15

2

)(21024==C C B P ，

5

132/152)()()()()|(====

A P

B P A P AB P A B P

14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？

解：设A =“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则

52

)(,5

3)(151

2===A P C C A P ，由全概率公式得

,45

23

5253)|()()|()()(191

41915=⨯+⨯=+=C C C C A B P A P A B P A P B P