高中数学选修2-1精品教案1：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标：

掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．

教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．

教学难点：理解空间向量基本定理．

教学过程：

一.复习引入

平面向量基本定理及应用

二.思考分析

在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．

问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？

提示：能．

问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？

提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.

三.抽象概括

1．空间向量基本定理

定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

2．空间向量的正交分解及其坐标表示

(1)单位正交基底

三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．

(2)空间向量的坐标表示

以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.

对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP―→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．

(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．

(2)0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着

它们都不是0.

(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 四.例题分析及练习

[例1] 若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．

[思路点拨] 判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．

[精解详析] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .

∵{a ，b ，c }为基底．∴a ，b ，c 不共面．

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.

此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． ∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．

[感悟体会] 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． 训练题组1

1．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组：

①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }， ③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．

其中可以作为空间的基底的向量组有________个．

解析：如图所设a ＝AB ，b ＝1AA ，c ＝AD ，则x ＝1AB ，y ＝1AD ，z ＝1AC ，a ＋b ＋c ＝1AC .由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．

答案：3

2．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB ＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC }能否作为空间的一个基底？

解：假设OA ，OB ，OC 共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y 使OA ＝x OB →

＋y OC 成立．

∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)．＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面，∴⎩⎪⎨⎪

⎧

－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，

2x －y ＝－1.

此方程组无解，

即不存在实数x ，y 使OA ＝x OB ＋y OC .∴OA ，OB ，OC 不共面． 故{OA ，OB ，OC }能作为空间的一个基底.

[例2] 四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC .设OA ＝a ，

OC ＝b ，OP ＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF ，BE ，AE ，EF .

[思路点拨] 结合已知和所求，画出图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．

[精解详析] 连接BO ，

则BF ＝12BP ＝12(BO ＋OP )＝12(BA ＋AO ＋OP )＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋1

2

c .

BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋12CP ＝－a ＋12(CO ＋OP )＝－a －12b ＋1

2c .

AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋12(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋1

2c . EF ＝1

2CB ＝1

2OA ＝1

2a .

[感悟体会] 用基底表示空间向量一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法则． 训练题组2

3．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1.若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则(x ，y ，z )为( ) A ．(14，14，14) B ．(34，34，34)C ．(13，13，1

3

)

D ．(23，23，2

3

)

解析：∵OG ＝341OG ＝34(OA ＋1OG )＝34OA ＋34×23[1

2(AB ＋AC )]

＝34OA ＋14[(OB －OA )＋(OC －OA )]＝14OA ＋14OB ＋1

4

OC ，