“点面距离”的常用解法(文科)

“点面距离”常见求法（文科）

------南安新营中学李志参

背景: 在学生全面复习点、线、面的关系下讲，也是其它距离的基础，求点到平面的距离是立体几何教学中一个非常重要的基本问题，也是近几年文科高考的热点、难点。

教学目标：掌握点面距离常见求法

教学重、难点：点面距离的定义，求点面距离几种常见方法的综合运用

教学过程：

一：复习求点面距离常见求法

1：直接法（本质特征是证线面垂直，步骤是：找------证------求）

2：间接法（1）线面法 （2）等体积法（3）比例法 （4）面面法

二：典例分析

已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC=2，求

（1）点E 到平面CHG 的距离（2）点O 到平面EFG 的距离.

（3）点B 到平面EFG 的距离.（4）点A 到平面EFG 的距离.

解： （1） 直接法：证EH ⊥平面CHG 即可，∴EH 为 点E 到平面CHG 的距离，易求EH=2

（2） 直接法：∵ EG=FG ， ∴ GH ⊥EF.

又ABCD 是正方形，故BD ⊥AC ，从而EF ⊥AC.

所以EF ⊥平面GHO.

在平面GHO 内，过点O 作OK ⊥GH 于点K ，则由EF ⊥平面GHO 得EF ⊥OK ，从而OK ⊥平面EFG ， ∴OK 为点O 至平面E FG 的距离

在△GHO 中，OH ×GC=GH ×OK ，

得即点O 到平面EFG 的距离为

（3）

解法1：（线面法） ∵ EF ∥BD ， ∴ BD ∥平面EFG ，

∴ 点B 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离，由上知为

解法2：（等体积法） 设四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，则H 是EF 的中点.

C G A

B D E F H O

又因为EG=FG ，所以GH ⊥EF ，

记点B 到平面EFG 的距离为h

故点B 到平面EFG 的距离为：

（4）（比例法）∵AH=HO ，∴点A 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离 三：课堂小结: 求点面距离的方法大致有如下几种：

1．直接法：步骤是“一作，二证，三计算”，即先作出表示距离的线段；再证明它就是所要求的距离；

然后再计算，特别要注意第二步的证明。

2．间接法：包括等体积法和转化法，转化法即点面距离转化为线面距离（面面距离）；点面距离之间

转化，直到求出为止。 四：课堂练习与作业：（至少用二种方法求解） 如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′的距离

分析:（法１）在正方体ABCD--A ′B ′C ′D ′中, ∵A ′B ′= A ′D ′= A ′A,∴点A ′在

平面AB ′D ′的射影是等边△AB ′D ′的外心,连接A ′C ′、B ′D ′交点E ，连接

AE ，则A ′在平面AB ′D ′的射影H 在中线AE 上，由于等边三角形

的“五心”合一，即H 是重心，在AE 的三等分点且靠近E 点，

在等边三角形AB ′D ′中，AE=a 223⋅，AH=ａ３ＡＥ＝３２6在直角三角形A ′ＨＡ中，A ′Ｈ＝a AH 33A A'22=- 即A ′到平面AB ′D ′的距离为a 3

3 （法２）由A ′C 在平面A ′B ′C ′D ′的射影为A ′C ′，而A ′C ′⊥D ′B ′，由三垂线定理（及逆定理）可知A ′C ⊥D ′B ′，同理可证A ′C ⊥AB ′、A ′C ⊥AD ′ 。于是A ′C ⊥面AD ′B ′ 即面A ′ACC ′⊥面AB ′D ′ 连接A ′C 与AE 交H 点，由面面垂直的性质定理可知A ′H 的长即为所求。求解略。

(法3)：等体积法 利用''''''''D B A A D AB A V

V --=即可

五：教学反思 Ｄ′ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ

Ａ′ Ｂ′ Ｃ′ Ｅ Ｈ