“点面距离”的常用解法(文科)
求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法求点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。
在实际应用中，我们经常需要计算一个点到一个平面的距离，这个距离可以用来判断点是否在平面上，或者用来计算点到平面的投影等。
下面介绍几种常用的求点到面距离的方法：1. 点到平面的投影点到平面的投影是求点到面距离的一种常用方法。
它的基本思想是将点沿着法向量投影到平面上，然后计算投影点到原点的距离。
具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
2. 点到平面的距离公式点到平面的距离公式是另一种常用的求点到面距离的方法。
它的基本思想是将点到平面的距离分解为点到平面法向量的投影和平面法向量的长度两部分，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
3. 点到三角形的距离点到三角形的距离是求点到面距离的一种特殊情况。
它的基本思想是将点到三角形所在平面的距离和点到三角形的距离两部分相加，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是三角形所在平面上的任意一点，n是三角形所在平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
求点到面距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择不同的方法来求解点到面的距离，以满足不同的需求。
“点面距离”的常用解法(文科)
“点面距离”常见求法（文科）------南安新营中学李志参背景: 在学生全面复习点、线、面的关系下讲，也是其它距离的基础，求点到平面的距离是立体几何教学中一个非常重要的基本问题，也是近几年文科高考的热点、难点。
教学目标：掌握点面距离常见求法教学重、难点：点面距离的定义，求点面距离几种常见方法的综合运用教学过程：一：复习求点面距离常见求法1：直接法（本质特征是证线面垂直，步骤是：找------证------求）2：间接法（1）线面法 （2）等体积法（3）比例法 （4）面面法二：典例分析已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC=2，求（1）点E 到平面CHG 的距离（2）点O 到平面EFG 的距离.（3）点B 到平面EFG 的距离.（4）点A 到平面EFG 的距离.解： （1） 直接法：证EH ⊥平面CHG 即可，∴EH 为 点E 到平面CHG 的距离，易求EH=2（2） 直接法：∵ EG=FG ， ∴ GH ⊥EF.又ABCD 是正方形，故BD ⊥AC ，从而EF ⊥AC.所以EF ⊥平面GHO.在平面GHO 内，过点O 作OK ⊥GH 于点K ，则由EF ⊥平面GHO 得EF ⊥OK ，从而OK ⊥平面EFG ， ∴OK 为点O 至平面E FG 的距离在△GHO 中，OH ×GC=GH ×OK ，得即点O 到平面EFG 的距离为（3）解法1：（线面法） ∵ EF ∥BD ， ∴ BD ∥平面EFG ，∴ 点B 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离，由上知为解法2：（等体积法） 设四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，则H 是EF 的中点.C G AB D E F H O又因为EG=FG ，所以GH ⊥EF ，记点B 到平面EFG 的距离为h故点B 到平面EFG 的距离为：（4）（比例法）∵AH=HO ，∴点A 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离 三：课堂小结: 求点面距离的方法大致有如下几种：1．直接法：步骤是“一作，二证，三计算”，即先作出表示距离的线段；再证明它就是所要求的距离；然后再计算，特别要注意第二步的证明。
点与平面的距离与角度计算
点与平面的距离与角度计算在数学几何学中，点与平面的距离与角度计算是一项重要的任务。
这些计算可以帮助我们理解点和平面之间的关系，并用于解决许多实际问题。
本文将介绍点与平面的距离计算以及点与平面之间的夹角计算方法。
一、点与平面的距离计算1. 点到平面的距离公式设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，点P(x0, y0, z0)为平面外一点。
点P到平面的距离公式如下：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，|Ax0 + By0 + Cz0 + D|表示点到平面的有向距离，即考虑了点在平面的上方或下方。
2. 示例假设平面方程为2x - 3y + 4z - 5 = 0，点P(1, 2, 3)为平面外一点。
根据距离公式，我们可以计算点P到平面的距离。
代入平面方程和点P的坐标：d = |2*1 - 3*2 + 4*3 - 5| / √(2^2 + (-3)^2 + 4^2)= |2 - 6 + 12 - 5| / √(4 + 9 + 16)= 3 / √29因此，点P到平面的距离为3 / √29。
二、点与平面的角度计算1. 点与平面的夹角公式设平面法线向量为N(A, B, C)，向量OP(r, θ, φ)为由原点O指向点P 的向量。
点与平面的夹角θ计算公式如下：cosθ = |A * r + B * θ + C * φ| / √(A^2 + B^2 + C^2) * √(r^2 + θ^2 + φ^2)其中，|A * r + B * θ + C * φ|表示点向量在平面法线向量上的投影的长度，考虑了点在平面的上方或下方。
2. 示例设平面法线向量为N(1, -2, 3)，点向量OP(1, 1, 1)。
根据夹角公式，我们可以计算点P与平面的夹角。
代入法线向量和点向量的坐标：cosθ = |1 * 1 + (-2) * 1 + 3 * 1| / √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) * √(1^2 + 1^2 + 1^2)= |1 - 2 + 3| / √(1 + 4 + 9) * √3= 2√3 / √14 * √3因此，点P与平面的夹角θ为arccos(2√3 / √14 * √3)。
点到面距离求解技巧
点到面距离求解技巧点到面的距离是计算计算机图形学中常见的问题之一，它用于确定给定点与给定平面之间的最短距离。
在本文中，我们将介绍如何计算点到平面的距离，并提供一些求解技巧。
1.点到平面的距离公式点到平面的距离可以通过向量运算来计算。
给定平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是平面的系数。
点P(x0, y0, z0)到平面的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|Ax0 + By0 + Cz0 + D|是点P到平面的有向距离，√(A^2 + B^2 + C^2)是平面法向量的长度。
2.点到平面距离的向量推导我们可以将点到平面的距离表示为该点到平面投影点的距离。
设点Q(x, y, z)为点P(x0, y0, z0)在平面上的投影点，那么向量PQ与平面的法向量垂直，也就是说，它们的点积为零。
根据向量点积的定义，我们可以得到：(A, B, C)·((x - x0, y - y0, z - z0)) = 0展开上述式子并整理，得到：Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0这就是点到平面的投影点的坐标。
接下来，我们可以计算点P到平面的有向距离d。
根据直线的距离公式，我们有：d = |PQ| = √((x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2)将上述公式展开并整理后，可以得到点到平面距离的公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)3.点到平面距离的应用点到平面的距离在计算机图形学和几何学中有广泛的应用。
例如，在三维计算机图形中，我们可以使用点到平面距离来实现碰撞检测、裁剪算法和视景体计算等。
同时，点到平面的距离也可以用于优化算法，例如最小二乘法中的参数估计和误差优化。
4.求解技巧求解点到平面距离的过程中，有一些技巧可以加速计算。
(高三文科)今日作业：求点到平面的距离常用方法2015-11-17
今日作业：求点到平面的距离常用方法2015-11-17
1.定义法：过点找到平面的垂线，从而求出距离。
2.转移法：分为平行转移和按比例转移两种方法，转化成其它点到面的距离：
3.等体积法：利用三棱锥的体积不变，换底求高。
例１．如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，
求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′的距离
变式：在棱长为1的正方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD 中,
点P在棱
1
CC上，且
1
CC=4CP,求点P到平面
1
ABD距离。
例2．如图PA⊥正方形ABCD所在的平面,且PA=AB=4,
E、F分别是AB、PC中点，求B到平面DEF距离。
例3．已知，如图正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，
E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。
例4.如图，三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱
A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.
1)求点A到平面B1BCC1的距离；
2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.
，
C
A A。
高中数学总结归纳 点面距离的几种求法
1点面距离的几种求法立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考.一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度. 例1 如图1,PA 垂直于边长为4的正方形ABCD 所在的平面求点A 到平面PBD 的距离.解析:连结AC 、BD 交于点O,连结PO,则AC ⊥BD.又PA ⊥面则PA ⊥BD,BD ⊥面PAO.过A 作AH⊥PO 于H,则BD ⊥AH,AH ⊥面即AH 就是点A 到平面PBD 的距离.在Rt △PAO 中,PA=3,AO=22,则PO=17,∴AH=1734617223=⋅=⋅PO AO PA ,即点A 到平面PBD 的距离为17346.二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法.例2 如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求点A 1到面AB 1D 1的距离. 解析: ∵AB 1=B 1D 1=AD 1=2a , ∴=∆11D AB S 2223)2(43a a =⋅. 由111111D AB A B AA D V V --=,易得A 1到面AB 1D 1a 33. 例3 如图3,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA 1⊥A 1C,AA 1=A 1C. (1)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小; (2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小;2(3)求CC 1到侧面A 1ABB 1的距离.解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC 1∥面A 1ABB 1 ,所以CC 1到面A 1ABB 1的距离就等于点C 到面A 1ABB 1的距离.由B AA C ABCA V V 11--=,可得点C 到面A 1ABB1的距离为3,所以CC 1到侧面A 1ABB 1的距离为3.总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.。
求“点面距离”常用的几种基本方法
易得 A1 E = 2． 所 以 由 OK · A1 E = OE · A1 O，OE = 1，
A1
O
=
槡3，OK
=
槡3 2
．
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法二（ 等体积法） ： 欲求 C 点到平面 A1 ABB1 的距离， 只需求出三棱锥 C － A1 AB 的高即可．
数学学习与研究 2019. 9
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法三 （ 直 接 法 ） ： 直 接 找 出 C 点 到 平 面 A1 ABB1 的 距离．
如图 4 所 示，过 B 作 BF ∥ A1 E 交 A1 B1 于 F，连 接 CF，则：
} } AB⊥A1 E，AB⊥BF，
AB⊥平面 BCF，
由 AB⊥BC，
A1 ACC1 ⊥底面 ABC 交于 ACA1 O⊥平面 ABC． 所以∠A1 AO 为 A1 A 与面 ABC 所成的角． 因为 AA1 ⊥A1 C，AA1 = A1 C，所以 ∠A1 AO = 45°．
图3
图4
（ Ⅱ） 如图 4 所示，过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 A1 E，则由 A1 O⊥平面 ABCA1 E⊥AB． 所以∠A1 EO 是侧面 A1 ACC1 与 底面 ABC 所成二面角的平面角． 由 AB⊥BCEO∥BC，又因
（ a）
（ b）
图1
（ 3） 如图 1 （ b） 所示，M 为线段 AB 的中点，M∈α，A，B
两点分别在平面 α 的异侧，则 A，B 两点分别到平面 α 的距
离 AO，BO1 相等，即 AO = BO1 ． 所以 A，B 两点到平面 α 的距 离可以相互转化．
三、等体积法
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法一、五种方法1.定义法对于求点到面的距离问题,首先是根据点到面的距离的定义来求，过该点直接作平面的垂线,再在构造的直角三角形中,求出这条垂线段的长度.2.平移转化点到面的距离不好求时,可以通过求过该点且平行于平面的直线上另外一点(这个点到平面的距离比较好求)到该平面的距离,来解决问题.3.垂面法在用定义法求点到面的距离,垂足往往比较特殊，很难直接找到，此时就需要借助面面垂直的性质来完成，如图，过A 向平面β作垂线，可以先找到一个过点A 且垂直于面β的平面α，于是只需过A 向交线做垂线，垂足为B ，则AB 即为点A 到面β的距离，这种做点到面距离的方法具有很强的操作性，经常使用.4．等体积法利用体积公式求出距离.5．向量法如图，已知平面α的法向量为→n ，α⊥PQ ，垂足为Q ，A 为平面α内任一点，则平面外一点P 到平面α的距离为：||||||→→→→⋅=n n AP PQ,二、例题分析例1．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4．当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为（）．A．4πB．6πC．8πD．10π解析：如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以π4PMA ∠=，因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，注意1AB =，3AD =，记点M 的轨迹为圆弧EF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，由AF、BF 在面ABCD 内，则π2PAF PBF ∠=∠=，三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点.因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()24π28πS ==.故选：C例2．如图．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，平面1A BC ⊥平面11ABB A ．(1)求点A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，求平面ABD 与平面CBD 夹角的正弦值．解析（1）方法1：垂面法：由于平面1A BC ⊥平面11ABB A ，而B A 1为交线，故过A 向B A 1作垂线，垂足为E ，显然2=AE 方法2：等体积法：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，取1A B 的中点E ，连接AE，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，则有⊥AE平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，即有AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则1AA BC ⊥，因为11,,AA AE A AA AE =⊂ 平面11ABB A ，于是BC ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，因此BC AB ⊥，1111142223323A ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，111112332A A BC A BC V S h h -=⋅=⨯⨯⨯，又11A ABC A A BC V V --=，解得h ，所以点A 到平面1A BC例3．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，2PD DC ==，AD =为BC 的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值.解析：（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又2PD DC ==，AD =M 为BC 的中点，所以(0,0,0)D，A，2,0)M ，(0,0,2)P ，所以2)PA =-，2,2)PM =-，DA = 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z = ，所以()()()),,220,,2,2220n PA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩ ，取1x =，解得z =，2y =，所以2n = ，所以D 到平面APM 的距离为DA n n ⋅ （2）所以平面ABD与平面CBD .例4.如图,长方体111l ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形,4l AA =,点E 为棱l AA 的中点.(1)求证:BE ⊥平面11EB C ;(2)求点A 到平面1CEB 的距离.解析：(2)方法一：取1CB 的中点,F BC 的中点P ,连接1,,,,EF AP PF PB PE ,可得//AE PF ,且AE PF =,则四边形APFE 为平行四边形,可得//AP EF ,又因为AP 平面1,CEB EF ⊂平面1CEB ,所以//AP 平面1CEB ,所以点A 到平面1CEB 的距离等于点P 到平面1CEB 的距离,易知11P CEB E PCB V V --=,在1CEB ∆中,2222222112223,222,4225CE EB CB =++==+=+,所以22211CE EB CB +=,从而1CEB ∆为直角三角形.设点P 到平面1CEB 的距离为dP ,所以111133CEB P PCB S d S AB ∆∆⨯⨯=⨯⨯,即1111321423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯,解得63P d =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63;方法二：等体积法设点P 到平面1CEB 的距离为h ,因为112,5,3B E B C CE ===,所以三角形1CEB 是直角三角形,1126,2CEB AEB S S ∆∆==,而11A CEB C AEB V V --=,可得11262233h ⨯=⨯⨯,解得63h =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63.例5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:∵1A C ⊥面,ABC BC ⊂面ABC ∴1A C BC ⊥，∵90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥,且1,A C AC ⊂面111,ACC A A C AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A ,∵BC ⊂面11BCC B ∴面11ACC A ⊥面11BCC B ,过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于点O ,且面11ACC A ⋂面111BCC B CC =,∴1A O ⊥面11BCC B ,∵1A 到面11BCC B 的距离为11,1A O ∴=,在Rt 11A CC ∆中,111111,2,A C A C CC AA A C AC ⊥===,设CO x =,则2212,11(2)4C O x x x =-+++-=,解得:1x =,∴1112AC A C A C ===,∴1A C AC =.（2）11113cos cos ,13||n AB n AB n AB θ⋅∴===。
点到面的空间距离公式
点到面的空间距离公式在空间几何中，点到面的空间距离是指从一个点到一个平面的最短距离。
这个距离的计算可以用到向量和线性代数的知识。
我们先来看一下点到平面的空间距离公式。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)，那么点到平面的距离公式可以表示为：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，| | 表示取绝对值，√ 表示开方。
这个公式的推导可以通过向量的方法来得到。
设平面上的一个点为P0(x0, y0, z0)，平面上一点为P(x, y, z)。
则向量P0P可以表示为P0P = (x - x0, y - y0, z - z0)。
又设平面的法向量为n(A, B, C)。
由于点到平面的距离是垂直于平面的最短距离，所以向量P0P垂直于平面的法向量n。
根据向量的内积公式，可以得到P0P与n的内积为0，即(n·P0P) = 0展开后可得A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0整理后即可得到点到平面的距离公式。
点到面的空间距离公式在几何学和物理学中有广泛的应用。
在几何学中，可以用来计算点到平面的距离，从而判断点在平面的哪一侧。
在物理学中，可以用来计算物体在重力场中的高度，或者计算电荷在电场中的势能。
除了点到平面的距离公式，还有其他的空间距离公式。
例如，点到直线的距离公式，点到点的距离公式等等。
这些距离公式在解决空间几何问题中起到了重要的作用。
总结一下，点到面的空间距离公式是通过向量和线性代数的知识推导而来的，用来计算点到平面的最短距离。
它在几何学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们解决空间几何问题。
点到面的距离如何算
点到面的距离如何算在几何学中，我们经常会遇到求点到面的距离的问题。
点到面的距离是指从给定的点到最近的面的距离，它是一个重要的几何概念，广泛应用于计算机图形学、机器人技术、三维建模等领域。
本文将介绍几种常见的计算点到面距离的方法。
1. 点到平面距离的概念首先，让我们定义点到平面距离的概念。
考虑一个平面，假设平面上有一点P，其坐标为(xp, yp, zp)，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0。
那么点P到平面的距离就是点P到平面的垂直距离，即点P到平面的最短距离。
2. 点到平面距离的计算方法接下来，我们将介绍几种常见的计算点到平面距离的方法。
2.1 平面法向量法计算距离首先，我们可以使用平面的法向量来计算点到平面的距离。
平面的法向量可以通过平面方程的系数得到，即法向量为(Nx, Ny, Nz) = (A, B, C)。
对于给定的点P(xp, yp, zp)，我们可以使用以下公式来计算点P到平面的距离：distance = |Axp + Byp + Czp + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，|Axp + Byp + Czp + D|为平面方程的值，sqrt(A^2 + B^2 + C^2)为法向量的模长。
2.2 点到平面的投影距离另一种常见的方法是计算点到平面的投影距离。
我们可以首先计算点P在平面上的投影点Q(xq, yq, zq)。
通过将点P投影到平面的垂直方向上，我们可以得到点Q。
然后，我们可以计算点P到点Q的距离，这个距离就是点P到平面的距离。
2.3 点到三角形面的距离当我们需要计算点到三角形面的距离时，可以使用以下方法。
首先，将这个问题转化为点到平面的距离问题，即计算点到平面的距离。
然后，我们需要判断点P是否在三角形的投影内部。
通过判断点P在三角形投影内的位置，我们可以得到点P到三角形的距离。
这个过程涉及到一些几何计算，包括点的投影计算、点在多边形内的判断等。
数学技巧篇30点直线平面之间距离的计算方法
数学技巧篇30点直线平面之间距离的计算方法直线和平面的距离是解析几何中的一个重要概念。
在三维空间中，直线和平面可以有不同的位置关系，包括直线与平面相交、直线在平面上、直线平行于平面等。
本文将介绍几种常见的计算直线与平面之间距离的方法。
1.点法式计算法点法式是一种表示平面的方法，用平面上一点和垂直于平面的法向量共同确定一个平面。
根据点法式，平面方程可表示为Ax+By+Cz+D=0，其中(A,B,C)是法向量的坐标。
直线与平面的距离可以用直线上一点到平面的距离来表示。
设直线上一点为P(x1,y1,z1)，直线的方向向量为V(a,b,c)。
则直线到平面的距离可以通过公式d=，Ax1+By1+Cz1+D，/√(A^2+B^2+C^2)计算。
2.两平面夹角计算法对于两平面夹角α，可以用两平面的法向量之间的夹角来表示。
设两平面的法向量分别为(A1,B1,C1)和(A2,B2,C2)。
平面到原点的距离可以用公式d=，A1x1+B1y1+C1z1，/√(A1^2+B1^2+C1^2)和d=，A2x1+B2y1+C2z1，/√(A2^2+B2^2+C2^2)来计算，其中P(x1,y1,z1)是平面上一点。
3.向量法计算法向量法是一种比较直观的计算直线与平面距离的方法。
设直线L上一点为P(x1,y1,z1)，直线的方向向量为V(a,b,c)。
则过P点到L直线的垂线为Q。
连接Q点和L直线的垂线的交点为R，则直线到平面的距离可以用向量RP的模长来计算。
4.投影计算法将直线的方向向量投影到平面的法向量上，得到直线在平面上的投影向量。
设直线 L 的方向向量为 V(a, b, c)，平面的法向量为 N(A, B, C)。
则直线在平面上的投影向量为 V' = V - proj_N(V)，其中 proj_N(V) = (Aa + Bb + Cc)N / (A^2 + B^2 + C^2)。
直线到平面的距离可以用投影向量的模长来计算。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法计算点到平面的距离是几何学中常见的问题，可以通过不同的方法来解决。
下面将介绍五种常用的计算点到平面距离的方法。
方法一：点法式方程点法式方程是计算点到平面距离最常见的方法之一、给定点P(x₁,y₁,z₁)和平面Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量，D为平面的常数项，可以通过以下公式计算点到平面的距离d：d=，Ax₁+By₁+Cz₁+D，/√(A²+B²+C²)方法二：投影平面上任意一点Q(x₂,y₂,z₂)，可以通过计算点P在平面上的投影点R(x,y,z)来得到点到平面的距离。
首先，计算向量PQ和平面法向量N的点积，再将点积除以平面法向量N的长度，即可得到点P到平面的距离d。
d=，PQ·N，/，N方法三：三角形法可以利用点P与平面上三个点构成的三角形PQR，通过计算三角形PQR的面积来求点到平面的距离。
假设PQ=a，QR=b，RP=c，计算三角形PQR的半周长s：s=(a+b+c)/2然后，使用海伦公式计算三角形PQR的面积S：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))利用面积S和边长a、b、c，通过以下公式计算点到平面的距离d：d = 2S / bas方法四：垂足法垂足法是通过计算点到平面的垂直距离来求得点到平面的距离的方法。
首先，计算点P到平面上一点A的距离AP，然后计算点P到平面法向量N的距离PN，利用勾股定理计算垂直距离PH：PH=√(AP²-PN²)最后，通过计算PH的值即可得到点到平面的距离d。
方法五：向量法通过计算点P到平面的投影向量P'和点P与投影点P'之间的距离，可以得到点到平面的距离。
首先，计算P到平面的单位法向量N，再计算点P到平面的投影向量P'：P'=P-(P·N)N其中，P·N为点P与单位法向量N的点积。
最后，通过计算点P到投影点P'的距离即可得到点到平面的距离d。
立体几何中点面距离的求法
立体几何中点面距离的求法作者：罗明铁来源：《理科考试研究·高中》2014年第06期空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离.在这些距离当中，点到平面的距离显得尤为重要，在高考中也经常出现，并且线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解.因此，点面距离就成了这一类距离问题的交汇点.下面举例谈谈点面距离的求法：一、直接法即直接作出点到平面的垂线段，然后求出垂线段的长度.而在作点面垂直时，通常先找面面垂直，然后作两个面交线的垂线，利用面面垂直的性质，即可找出垂线段.例1如图1，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为.分析要作出A1到平面AB1D1的垂线段，只要找到一个经过A1且与面AB1D1垂直的平面即可.显然对角面AA1C1C符合条件，过A1作交线OA的垂线，垂足为H，则A1H⊥面AB1D1.解连结A1C1，AC，易证面AB1D1⊥面AA1C1C.过A1作A1H⊥AO，由面面垂直的性质知A1H⊥面AB1D1，A1O=12A1C1=2，OA=32.在Rt△A1AO中，利用面积相等可求得A1H=43.二、等体积法通过三棱锥模型，把点面距离看成棱锥的顶点到对面三角形所在平面的距离，在三棱锥体积易求的前提下，实现等体积转化，求出点到平面的距离.例2如图2，已知正方体AC1的棱长为a，E、F分别是A1B1、CD的中点，求点B到平面AEF的距离.分析因B点在平面AEF上的射影位置不易确定，所以不考虑直接作出点面距离，而在三棱锥B—AEF中利用等体积转化来求.解连结BF、BE，易求AE=AF=52a.取C1D1中点G，连FG、EG，则FG⊥面A1C1，所以FG⊥EG.在Rt△EFG中，EF=2a.过A作AH⊥EF，垂足为H，故AH=AE2-EH2=32a，所以S△AEF=12·2a·32a=64a2S△AEB=12a2.设B点到面AEF的距离为h，由VB-AEF=VF-ABE，可得13·64 a2·h=13·12a2·a,所以h=63a，即点B到平面AEF的距离为63a.三、平行转化法当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离相等.在某点到平面的距离易求的前提下实行平行转化，将较难的点到平面的距离转化为较易求的另外一点到平面的距离.例3如图3，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB、AD的中点，GC垂直于平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.分析点B在平面EFG上的射影位置不易确定，故直接作出垂线段比较困难.而BD∥面EFG，因此直线BD上任意一点到平面EFG的距离都相等.由于AC与BD的交点O到平面EFG的距离可以作出来，故将B点到平面EFG的距离转化为O点到平面EFG的距离比较方便.另外，本题也可利用等体积法来求.解连结AC，BD交于O点，AC与EF交于P，由EF∥BD可得BD∥面EFG，故O点到平面EFG的距离等于B点到平面EFG的距离.因为GC⊥在ABCD，所以GC⊥BD.又BD⊥AC，所以BD⊥面GPC.又BD∥EF，所以EF⊥面GPC.过O作OM⊥GP于M，则EF⊥OM,所以OM⊥面EFG.在Rt△GPC中，PC=32，OP=2，GC=2，GP=22，由Rt△OPM∽Rt△GPC知OMGC=OPGP,所以OM=GC·OPGP=2×222=21111.四、比例转化法通过线面相交模型，利用平行线段分直线对应成比例，把点面距离通过比例转化为另一点到平面的距离.如图4、图5，AC与α相交于B，过A和C分别作AD⊥α于D，CE⊥α与E，则ADCE=ABCB.例4如图6，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠BAD = 60°，又PC⊥面ABCD，PC = a，E是PA上一点，且PEPA=13，求点E到平面PBC的距离.分析E点在平面PBC上的射影不易确定，并且三棱锥E－PBC的体积也难以求出，若想直接作出点面距离或用等体。
点到面的距离求解技巧
点到面的距离求解技巧点到面的距离，是在三维空间中计算点到一个平面的距离。
这个问题常见于几何学、计算机图形学和计算机视觉等领域。
本文将介绍一些点到面距离求解的技巧，包括点到平面的公式推导、向量法求解和最小二乘法求解等。
一、点到面距离的公式推导设平面的法向量为n，平面上的一个点为p0，点p到平面的距离为d，可以通过以下公式求解：d = |(p - p0) · n| / |n|其中，“.”表示点乘操作，“| |”表示向量的模，p 表示点p的坐标。
公式的推导如下：1. 将点p表示为p = p0 + u * n + v * m，其中u和v是固定的系数。
2. 将点p代入平面的方程（n·(p - p0) = 0）中，可得：n · (p0 + u * n + v * m - p0) = 0等式化简后，可得：u * (n · n) + v * (n · m) = n · (p - p0)3. 因为n · n = |n|^2 = 1，所以上述等式可进一步化简为：u = n · (p - p0)即：p = p0 + n * (n · (p - p0))这个表达式表示点p可以由点p0和平面的法向量n 表示。
4. 点p到平面的距离d等于点p和平面上的任意一点p'的距离，即：d = |p - p'| = |p - p0 - n * (n · (p - p0))|利用向量的模的性质和分配律，可以进一步化简上述等式为：d = |(p - p0) - (n · (p - p0)) * n| = |(p - p0) · n|最后，再除以法向量的模即可得到点到面的距离。
二、向量法求解通过公式推导，我们可以看出点到面的距离与向量的点乘和模有关。
因此，我们可以通过向量法来求解点到面的距离。
具体方法如下：1. 根据给定的点坐标p和平面的法向量n，计算向量v = p - p0，其中p0是平面上的一个点。
人教版高中数学选修一空间向量的点到面的距离
人教版高中数学选修一空间向量的点到面的距离
空间中一点P到一个平面的距离可以通过以下方法计算：
1. 首先，我们需要确定平面的方程。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0。
其中A、B、C为平面的法向量的坐标，D 为平面方程的常数项。
2. 接下来，我们将点P的坐标代入平面方程，得到点P到平面的距离公式：
d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
其中，d为点P到平面的距离。
需要注意的是，上述方法适用于平面与z轴不平行的情况。
若平面与z轴平行，则可以采用类似二维平面的方法，将点P关于平面投影到平面上，然后计算点P到投影点的距离作为点P 到平面的距离。
(文科)立几难点3：点面距离
2016年高考数学（文）难点突破——立几难点3：点面距离问题一、考点分析1．考点在全国卷中的呈现年份 试卷类型 题型 题号 分值 相关内容2015年 课标卷Ⅰ解答题1812四棱锥与三棱锥（有直观图），已知三棱锥体积求三棱锥的侧面积. 课标卷Ⅱ 解答题 19 12 长方体（有直观图），求几何体体积的比. 2104年课标卷Ⅰ 解答题 19 12 斜三棱柱（有直观图）. 求三棱柱的高. 课标卷Ⅱ 解答题 18 12 四棱锥（有直观图），求点到面的距离。
2013年课标卷Ⅰ解答题 19 12 三棱柱（有直观图）。
求三棱柱的体积。
课标卷Ⅱ 解答题 18 12 直三棱柱与三棱锥（有直观图）. 求三棱锥的体积.大纲卷 解答题 16 5 四棱锥（有直观图），求点到面的距离。
2012年 课标卷 解答题 8 5 棱柱（有直观图），求体积的比. 2011年课标卷 解答题 18 12 四棱锥（有直观图），求点到面的距离。
2010年大纲丙卷解答题1812四棱锥（有直观图），求四棱锥的体积。
2．考点的难点分析纵观近几年全国高考数学题中的《立体几何》综合题，呈现这样的规律：第一问为位置关系的论证；第二问为求距离或体积，其实求体积大部分还是转化为求高（即为求点到平面的距离），距离问题是《立体几何》中的重要问题，也是难点问题。
突破的方法有三：第一、直接法：通过论证或通过面面垂直作出辅助线，核心就是考查面面垂直的性质定理。
第二、转化法：通过平行线（面）或共线线段成比例转移至已知点面距离。
三、等体积法。
二、题型示例 例1、（2011全国课标卷）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形。
60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD 。
（I ）证明：PA BD ⊥（II ）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高。
分析1：要直接作出点D 到平面PBC 的高（距离）,只需找一过点D 的平面垂直于平面PBC 即可，由图可考虑平面PBD 。
主题19 空间点线面位置关系及点到面的距离(文)-2019年高考数学二轮透析23题对对碰 Word版含解析
20019届二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】 第三篇主题19 空间点线面位置关系及点到面的距离（文）【主题考法】本主题的考题形式为解答题，以棱柱、棱锥、棱台等多面体或以圆柱、圆锥体等旋转体为载体考查对线线、线面与面面平行和垂直证明、体积计算及利用体积考查点到面的距离，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，难度为中档题，分值为12分．【主题考前回扣】1.空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．2.异面直线所成的角（1）定义：已知b a ,是异面直线，O 是空间任意一点，过O 作b b a a //,//''，则b a '',所成的锐角或直角叫异面直线b a ,所成的角. （2）范围：]2,0(π.15.【2019年陕西省咸阳市模拟（二)】如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若异面直线与所成角为，求直三棱柱的体积.【解析】（1）证明：由，得，而平面平面，平面平面，平面. 又平面，平面平面.（2）解：连接，由知是异面直线与所成角,，易知是正三角形，依题意得，，三棱柱的体积为.16.【2019届河南省新乡市二模】在三棱锥，，，是边长为的等边三角形.（1）证明：.（2）当平面平面，求点到平面的距离.【解析】（1）证明：设为中点，连结，.因为，所以.又因为是等边三角形，所以.又，故平面.所以.（2）因为平面平面，且相交于，又，所以平面.所以,可得面，所以，有...设点到平面的距离为，由，得，解得，所以点到平面的距离为.17.【2019届江西省吉安市期末】如图在四边形PBCD中，，，，，，沿AB把三角形PAB折起，使P，D两点的距离为10，得到如图所示图形．Ⅰ求证：平面平面PAC；Ⅱ若点E是PD的中点，求三棱锥的体积．【解析】Ⅰ由已知在图中，，，，，，，平面ABCD，，，，由平面几何知识得，，，，平面PAC，平面PCD，平面平面PAC．解：Ⅱ由Ⅰ知平面ABCD，平面平面ABCD，，且平面PAD与平面ABCD的交线为AD，平面PAD，又，平面PAD，三棱锥的体积：．18.【2019届河南省洛阳市第二次统考】已知平面多边形中，，，，，，为的中点，现将三角形沿折起，使.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【解析】（1）取的中点，连.∵为中点，∴为的中位线，∴.又，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面.（2）由题意知为等腰直角三角形，为直角梯形. 取中点，连接，，∵，∴，∵，，，∴平面，∴平面，∵平面，∴.∴在直角三角形中，，，∴，∴三角形为等边三角形.取的中点，则，，，∴平面，，∵为的中点，∴到平面的距离等于到平面的距离的一半，∴.19.【2019届河南省名校联考（四)】如图，在四棱锥中，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，，，，点为的中点，求平面切割三棱锥得到的上下两个几何体的体积之比.【解析】（Ⅰ）取的中点，连接，.∵，∴，∵，∴.∵，∴，∵，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（Ⅱ）取的中点，连接，，易知，故点，，，共面.过作于.设，故，解得. 又，，，∴平面.∴，. ∴，∴.20.【2019届湖北云阳一中模拟（二)】如图，四棱锥中，，，，，．（Ⅰ）求异面直线AB与PD所成角的余弦值；（Ⅱ）证明：平面平面PBD；（Ⅲ）求直线DC与平面PBD所成角的正弦值．【解析】（Ⅰ），是异面直线AB与PD所成角或所成角的补角，，，，平面，取的中点，连结，则为正方形，，，中，，，中，，．异面直线AB与PD所成角的余弦值为．（Ⅱ）证明：中，，由勾股定理得，又，，平面P AD，又平面PBD，平面平面PBD．（Ⅲ），直线DC与平面PBD所成角即为AB与平面PBD所成角，过点A作，交PD于点H，连结BH，由（Ⅱ）知平面平面，平面平面，又平面，平面，为斜线AB在平面PBD内的射影，是直线AB与平面PBD所成角，中，，故中，，直线DC与平面PBD所成角的正弦值为．。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典范求法目次1.引言……………………………………………………………………………… (1)2.准备常识………………………………………………………………………………13.求点到平面距离的若干求法 (3)3.1界说法求点到平面距离 (3)3.2转化法求点到平面距离 (5)3.3等体积法求点到平面距离 (7)3.4应用二面角求点到平面距离 (8)3.5向量法求点到平面距离 (9)3.6最值法求点到平面距离 (11)3.7公式法求点到平面距离 (13)1．引言求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热门题型之一,也是学生较难精确掌控难点问题之一.点到平面的距离的求解办法是多种多样的,本讲将侧重介绍了几何办法（如体积法,二面角法）.代数办法（如向量法.公式法）及经常应用数学思维办法（如转化法.最值法）等角度等七种较为典范的求解办法,以达到秒杀得分之功能.2．准备常识(1)正射影的界说:(如图1所示)从平面外一点P向平面α引垂线,垂足为P',则点P'叫做点P在平面α上的正射影,简称为射影.同时把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段.图1(2)点到平面距离界说:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离,也即点与平面间垂线段的长度.(3) 四面体的体积公式个中V暗示四面体体积,S.h分离暗示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高.(4)直线与平面垂直的剖断定理:一条直线与一个平面内的两条订交直线垂直,则该直线与此平面垂直.(5)三垂线定理:在平面内的一条直线,假如它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线也垂直.(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分,个中的每一部分都叫做半平面,从一条直线动身的两个半平面所构成的图形,叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.图2所示为平面α与平面β所成的二面角,记作二面角l αβ--,个中l 为二面角的棱.如图在棱l 上任取一点O ,过点O 分离在平面α及平面β上作l 的垂线OA .OB ,则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角,AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小.在许多时刻为了轻便论述,也把AOB ∠称作α与平面β所成的二面角.图2(7)空间向量内积:代数界说: 设两个向量111(,,)a x y z =,222(,,)b x y z =,则将两个向量对应分量的乘积之和界说为向量a 与b 的内积,记作a b ,依界说有a b =121212x x y y z z ++ 几何界说: 在欧几里得空间中,将向量a 与b 的内积直不雅地界说为||||cos ,a b a b a b =<>,这里||a .||b 分离暗示向量a .b 的长度,,a b <>暗示两个向量之间的夹角. 向量内积的几何意义为一个向量的模与另一个向量在这个向量正偏向上投影向量模的乘积.当0,90a b <>=,即a b ⊥时,0||||cos ,||||cos900a b a b a b a b =<>==.下面解释这两种界说是等价的.如图3所示,设O .P .Q 为空间的三点,令a OP =,b OQ =,c PQ =图3由余弦定理 222||||||2||||cos ,c a b a b a b =+-<>再设111(,,)a x y z =,222(,,)b x y z =,则212121(,,)c x x y y z z =---从而有222212121()()()x x y y z z -+-+-=2222221112222||||cos ,x y z x y z a b a b +++++-<>即这就证得了两个界说是等价的.3求点到平面距离的若干求法界说法求点到平面距离(直接法)界说法求点到平面距离是根据点到平面的界说直接作出或者查找出点与平面间的垂线段,进而根据平面几何的常识盘算垂线段长度而求得点与平面距离的一种经常应用办法.界说法求点到平面距离的症结在于找出或作出垂线段,而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段,应而这种办法往往在许多时刻须要找出或作出点在平面的射影.以下几条结论经常作为查找射影点的根据:(1)两平面垂直的性质定理:假如两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面.(2) 假如一个角地点平面外一点到角的双方的距离相等,那么这个点在该平面内的射影在这个角的角等分线地点的直线上.(3)经由一个角的极点引这个角地点平面的斜线.设斜线和已知双方的夹角为锐角且相等,则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角等分线.(4)若三棱锥的三条棱长相等,则极点在底面上的射影是底面三角形的外心. 例 如图4所示,所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ,求点A '到平面AB D ''的距离.(注:本文所有解法均应用本例)图4解法一(界说法):如图5所示,连交友B D ''于点E ,再贯穿连接AE ,过点A '作A H '垂直于AE ,垂足为H ,下面证实A H '⊥平面AB D ''.图5AA '⊥平面A B C D ''''又在正方形A B C D ''''中,对角线B D A C ''''⊥,且AA A C A ''''=AA '⊂平面AA E ', A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的剖断定理知道B D ''⊥平面AA E 'A H '⊂平面AA E '又由A H '的作法知道A H '⊥AE ,且有B D ''AE E =,B D ''⊂平面AB D '',AE ⊂平面AB D '' ∴由线面垂直的剖断定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离界说,A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离,下面求A H '的长度.AB D ''∆中,轻易得到AB B D D A ''''===,从而AB D ''∆为正三角形,060AB D ''∠=.进而在Rt AB E '∆中,0sin sin 60AE AB AB D '''=∠==. 由1122AA E S AA A E AE A H '∆'''=⨯=⨯得到从而A '到平面AB D ''. 转化法求点到平面距离 有时刻限于几何体的外形,不轻易直接查找出点在平面的射影,或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不轻易盘算其长度,此时转化法不掉为一种有用的办法.转化法等于将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的办法.转化法根据重要有以下两点：(1)若直线l //平面α,则直线l 上所有点到平面α的距离均相等.(2)若直线AB 与平面α交于点M ,则点A .B 到平面α的距离之比为:AM BM .特殊地,当M 为AB 中点时,A .B 到平面α的距离相等.下面用转化法重解上面例题解法二(转化法)如图6所示,贯穿连接AC .A C '.A C ''.A B '.AB ',A C ''交B D ''于点E ,连交友AE AC 于点H ,延伸A C ''至点G 使得12C G A C '''=,贯穿连接CG .图6CB ⊥平面AA B B ''∴从而斜线A C '在平面AA B B ''的射影为A B ' A B '.AB '为正方形AA B B ''对角线∴AB A B ''⊥,∴由三垂线定理知道AB A C ''⊥同理可以得到AD A C ''⊥ 又AB AD A ''=,AB '⊂平面AB D '',AD '⊂平面AB D ''∴A C '⊥平面AB D ''∴A H '⊥平面AB D '',即点H 为A '在平面AB D ''的射影,A H '的长度为所求//AC A C ''即//AC EG ,且1122EG EC C G A C A C A C AC ''''''''=+=+== ∴四边形ACGE 为平行四边形 在A CG '∆由等比性质有而在正方体ABCD A B C D ''''-中对角线A C '==在本例中,未直接盘算垂线段A H '的长度,而是找出了其与正方体ABCD A B C D ''''-中对角线A C '的数目关系,从而转化为求正方体ABCD A B C D ''''-对角线A C '长度,而A C '长度是极易盘算的,故用这种转化办法下降了运算量.本例应用的转化办法与根据(2)相似,都是追求所请求的垂线段与某一已知或易求线段的数目关系,从而简化盘算.等体积法求点到平面距离用等体积法求点到平面的距离主如果一个转换的思惟,即要将所请求的垂线段置于一个四面体中,个中四面体的一个极点为所给点,别的三点位于所给点射影平面上,这里无妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形.先用简略的办法求出四面体的体积,然后盘算出底面三角形的面积,再根据四面体体积公式13V Sh =求出点到平面的距离h .在通例办法不克不及轻松获得成果的情形下,假如能用到等体积法,则可以很大程度上进步解题效力,达到事半功倍的后果.特殊是碰到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时,首选此办法.下面用等体积法求解上面例子.解法三(等体积法):如图7所示,作A H '垂直于平面AB D ''于点H ,则AB D ''长度为所求.对于四面体A AB D ''',易见底面AB D ''的高为A H ',底面A B D '''的高为AA '.对四面体A AB D '''的体积而言有：图7即有: 1133A B D AB D AA S A H S '''''∆∆''⨯=⨯也即: A B D AB D AA S A H S '''∆''∆'⨯'=由AB B D D A ''''===,从而AB D ''∆为正三角形,060AB D ''∠=,进而可求得又易盘算得到Rt A B D '''∆的面积为212A B D S a '''∆=所以212A B D AB D a a AA S A H S '''∆''∆⨯'⨯'=== 我们在应用等体积法求点到平面距离时应用的点与平面间的垂线段只是概念上的,其实不一定要知道点在平面射影的具体地位,从而也就不须要应用几何办法查找或者求作垂线段,垂线段的长度在这种办法上只是作为几何体高的意义而消失的.应用二面角求点到平面距离如图8所示,l 为二面角l αβ--的的棱,AOB ∠为二面角l αβ--的一个平面角.下面斟酌点B 到平面α的距离.作BH OA ⊥,垂足为H ,下面证实BH ⊥平面α.图8AOB ∠为二面角l αβ--的一个平面角∴OA l ⊥.OB l ⊥又OA OB O =∴l ⊥平面AOB又BH ⊂平面AOB又 BH OA ⊥,=OA l O ,OA ⊂平面α,l ⊂平面α∴BH ⊥平面α在Rt OBH ∆中,有sin BH OB BOH =∠ .....................①这个公式就树立点到平面距离与二面角的一个数目关系.从而假如能将点与平面置于一个二面角中,则可应用经由过程所给点关于平面的一条斜线及二面角盘算点与平面间的距离.下面应用二面角法求解上面例子.解法四(二面角法):如图9所示,贯穿连接A B '.AB ',A B '与AB '订交于点O ,贯穿连接D O '.A B '与AB '为正方形ABB A ''的对角线∴A B 'AB '⊥（即A O 'AB '⊥）,O 为AB '中点图9又AB D ''∆中AD B D '''=∴A OD ''∠为二面角A AB D '''--的平面角设A '到平面AB D ''的距离为d ,OA '是过点A '的关于平面AB D ''的一条斜线,又上面得到的公式 ①有易见,D A ''⊥平面ABB A '',从而.D A OA '''⊥在Rt A OD ''∆中有从而点A '到平面AB D ''的距离为向量法求点到平面的距离向量法求点到平面的距离主如果根据如下结论: 点到平面的距离等于这个与平面上任一点所衔接的向量与该平面法向量偏向上的单位向量数目积的绝对值.证实:如图10所示,P 为平面α外一点,Q 为平面上随意率性一点,PO ⊥平面α于点O ,n 为平面α的单位法向量.图10即||||PO PQ n = .....................②这个公式将点到平面的距离转化为了过所给点的随意率性斜线上的起点和终点分离在所给点及所给平面上一点的向量与平面法单位法向量的内积.下面用向量法从新求解上面例子解法五(向量法) 如图11所示以D 点为原点,DA ,DC ,DD '地点的正偏向分离x ,y ,z 轴的正偏向树立空间直角坐标系.图11由所给前提知道坐标点(,0,0)A a .(,0,)A a a ',(,,)B a a a ',(0,0,)D a ',从而有(0,,)AB a a '=,(,0,)AD a a '=-,(0,0,)AA a '=.设平面AB D ''的随意率性一个法向量为0(,,)n x y z =,则有0n AB '⊥,0n AD '⊥, 即代入已知得到这是一个关于,,x y z 的不定方程,为了便利起见,无妨设1z =,如许上式变成 解该式得到1,1x y ==-如许就得到平面AB D ''的一个法向量为1(1,1,1)n =-,将其单位化得到平面AB D ''的一个单位法向量为111(,||3n n n ==.设点A '到平面AB D ''的距离为d ,联合②式所给出的结论有 即点A '到平面AB D ''的距离为3. 用向量法求解点到平面的距离比之前面供给的几种几何办法而言,这种办法不须要大量的几何证实,而主如果较为机械地进行代数运算.因而在现实应用这种办法时,第一步树立空间直角坐标系经常成为最为症结的步调,假如所树立的坐标系不克不及肯定所给几何图形中症结点（所给平面外点及所给平面上不共线的随意率性三个点）在树立的坐标系的坐标,则无法进行后续步调;假如所树立的坐标系固然可以或许暗示的症结点的坐标,但在所树立的坐标系中得到症结点坐标的盘算进程庞杂,或者得到的症结点坐标表达式庞杂,都将会导致繁琐的的盘算.是以,选择适当的直角坐标系对于应用本办法及简化盘算都是相当重要的.应用最值求点到平面距离在介绍最值法之前,先介绍一个简略的常识,即点到平面的距离是点与平面上随意率性点连线的最小值.以下对这点做扼要解释.如图12所示,平面α外一点P 在平面α的射影为点P ',Q 为平面α上随意率性一点.图12若Q 不与P '重合,则0P Q '≠,PP Q '构成三角形.因PP '⊥平面α,P Q '⊂平面α,PP P Q ''⊥,三角形PP Q '为直角三角形,从而由勾股定理有如许就证得了却论.有了上面这个结论,那么只要找到平面外一点到平面上随意率性一点的距离的函数暗示,再求出该函数的最小值,则由上面结论即可知该最小值即为点到平面的距离.一般结构函数没有肯定的办法,不合的角度结构出的函数暗示很可能是不一样的,不过这其实不影响最终成果.下面用经常应用的向量结构办法结构函数求解上面例子中点到平面的距离.解法六（最值法）如图13所示,E 为平面AB D ''上随意率性一点,以D 点为原点,DA ,DC ,DD '地点的正偏向分离x ,y ,z 轴的正偏向树立空间直角坐标系.图13由所给前提知道(,0,0)A a .(,0,)A a a ',(,,)B a a a ',(0,0,)D a '从而有(0,,)AB a a '=(,0,)AD a a '=-,(0,0,)A A a '=-.设点E 在所树立的坐标系下的坐标为(,,)E x y z ,因E 在平面AB D ''上,从而向量(,,)AE x a y z =-可由订交向量AB '.AD '线性暗示,无妨设AE AB AD λμ''=+ （,R λμ∈）则是以33a ≤ （当且仅当13λμ==时取等号） 从而A '到平面AB D ''上点的距离最小值为33a ,也即点A '到平面AB D ''的距离3. 最值办法供给了求解点到平面距离的一种较为新鲜的办法,同时这种办法是树立在对点到平面距离的深刻懂得的基本上的,也有助于加深懂得点到平面距离的概念.不过这种办法对应用者的代数常识素养请求较高,要将几何图形中的几何干系转化为代数关系,结构出平面外点到平面上点的函数关系,并且对函数最值的求法也须要较高的变形技能,不然即使结构出平面外点到平面上点的函数关系也难求出函数最值,故一般这种办法对程度较高的读者比较实用.应用点到平面的距离公式求点到平面的距离点到平面的距离公式主如果应用解析几何的常识,将所给点及平面均赐与代数表式,从而用代数办法得到的点与平面距离的同一的代数暗示.点到平面的距离公式的推导办法有相当多,如直接用两点间距离公式推导.应用直线参数方程中参数的几何性质推导.应用球的切平面性质推导.应用极值法推导等等.公式法的本质是几何量代数化的成果,是以绝大多半求解点到平面距离的几何办法转化为代数说话都可以得到一般意义上的点到平面的距离公式.限于本文篇幅,就不合错误这些办法一一介绍了,下面仅从应用两点间距离公式的角度给出点到平面的距离公式一种推导.如图14所示,平面α外一点P 在平面α的射影为点P '.图14在某空间直角坐标系下,设平面α的代数方程为：0Ax By Cz D +++=,点P 的坐标为000(,,)P x y z .将平面α的方程改写为000000()()()()A x x B y y C z z Ax By Cz D -+-+-=-+++.....................③ 又由PP '⊥平面α及直线PP '过点000(,,)P x y z 知道直线PP '的方程为下面无妨设000x x y y z z t A B C---=== .....................④ 将④代入③中得到显然P '的坐标(,,)P x y z '在直线PP '上,从而知足④,即有进而根据两点间的距离公式即d = .....................⑤如许就得到了点与平面的距离公式,根据⑤式,只要知道在同一空间直角坐标系下所给点的坐标与平面的方程即可求得点与平面的距离.下面用公式法求解上面例子解法七（公式法）如图15所示,以D 点为原点,以向量DA ,DC ,DD '的正偏向分离x ,y ,z 轴的正偏向树立空间直角坐标系.由所给前提知道(,0,0)A a .(,0,)A a a ',(,,)B a a a ',(0,0,)D a '.设平面AB D ''在该空间直角坐标系下的方程为0Ax By Cz D +++=,因A ',B ',D '均在平面AB D ''上,从而知足平面方程,即有图15由这个方程组得到从而平面AB D ''的方程为设点A '到而平面AB D ''的距离为d ,由点到平面的距离公式有即点A '到而平面AB D ''. 有了⑤这个公式之后,求点与平面的距离将变得加倍简略,同时也变得加倍机械化.对于机械化的办法,一般都有较多的盘算进程,从而也使得在应用公式法时加倍重视运算效力,从而拔取适当坐标系以简化盘算特殊是求平面方程的盘算就显得尤为重要.一般地,假如所请求得距离在一个立方体中,则应起首斟酌以立方体三条互相垂直的棱作为坐标轴,在一般的几何体中树立坐标系时,也应选择互垂线条数多的作为坐标轴以达到简化的目标.总之,本质上来说,求解点到平面的距离每种解法都是特定的数学对象,都包涵了其所必须的前提及响应的程序进程 .这也就决议了点到平面的距离不消失一种广泛实用的解法,各类解法各有所长,各有其特定的实用规模.。
点面距公式范文
点面距公式范文点到平面的距离是指从点到平面上最近的点的距离。
在三维空间中，平面由法向量和平面上一点确定，我们可以使用向量的方法来推导点到平面的距离公式。
首先，让我们考虑一个三维空间中的平面，该平面由法向量N和平面上一点P0决定。
我们也有一个点P，我们要求点P到平面的距离。
我们可以从P0指向P的向量V，并将其投影到法向量N上。
这个投影的长度就是点P到平面的距离。
我们可以用V的长度与N的长度的比值来计算投影的长度。
向量V的长度可以使用向量的模来计算，即，V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)。
向量N的长度可以通过单位化N来计算，即，N， = sqrt(Nx^2 +Ny^2 + Nz^2)，其中Nx、Ny和Nz是N的分量。
单位化N可以使用以下公式：N'=N/，N，其中N'是单位化的N。
我们可以使用点乘来计算向量的投影，点乘定义为两个向量的数量积的乘积。
点乘的计算公式为：A·B=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz我们将点乘投影的长度得到：proj = ，V，* (V · N') / ，N'， = ，V， * ((Vx*N'x) +(Vy*N'y) + (Vz*N'z))将Vx、Vy、和Vz替换为P的坐标x、y和z，N'x、N'y和N'z替换为N的坐标Nx、Ny和Nz，我们可以得到点P到平面的距离公式：dist = ，V， * ((Px*Nx) + (Py*Ny) + (Pz*Nz) - (P0x*Nx) -(P0y*Ny) - (P0z*Nz)) / ，N这就是点到平面的距离公式。
这个公式首先计算点到平面的有向距离，所以结果可能是正数或者负数。
如果结果为正数，表示点在平面的一侧，如果结果为负数，表示点在平面的另一侧。
需要注意的是，我们还可以将公式简化为点P的坐标和平面上一个点P0的坐标之间的距离。
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“点面距离”常见求法（文科）
------南安新营中学李志参
背景: 在学生全面复习点、线、面的关系下讲，也是其它距离的基础，求点到平面的距离是立体几何教学中一个非常重要的基本问题，也是近几年文科高考的热点、难点。
教学目标：掌握点面距离常见求法
教学重、难点：点面距离的定义，求点面距离几种常见方法的综合运用
教学过程：
一：复习求点面距离常见求法
1：直接法（本质特征是证线面垂直，步骤是：找------证------求）
2：间接法（1）线面法 （2）等体积法（3）比例法 （4）面面法
二：典例分析
已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC=2，求
（1）点E 到平面CHG 的距离（2）点O 到平面EFG 的距离.
（3）点B 到平面EFG 的距离.（4）点A 到平面EFG 的距离.
解： （1） 直接法：证EH ⊥平面CHG 即可，∴EH 为 点E 到平面CHG 的距离，易求EH=2
（2） 直接法：∵ EG=FG ， ∴ GH ⊥EF.
又ABCD 是正方形，故BD ⊥AC ，从而EF ⊥AC.
所以EF ⊥平面GHO.
在平面GHO 内，过点O 作OK ⊥GH 于点K ，则由EF ⊥平面GHO 得EF ⊥OK ，从而OK ⊥平面EFG ， ∴OK 为点O 至平面E FG 的距离
在△GHO 中，OH ×GC=GH ×OK ，
得即点O 到平面EFG 的距离为
（3）
解法1：（线面法） ∵ EF ∥BD ， ∴ BD ∥平面EFG ，
∴ 点B 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离，由上知为
解法2：（等体积法） 设四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，则H 是EF 的中点.
C G A
B D E F H O
又因为EG=FG ，所以GH ⊥EF ，
记点B 到平面EFG 的距离为h
故点B 到平面EFG 的距离为：
（4）（比例法）∵AH=HO ，∴点A 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离 三：课堂小结: 求点面距离的方法大致有如下几种：
1．直接法：步骤是“一作，二证，三计算”，即先作出表示距离的线段；再证明它就是所要求的距离；
然后再计算，特别要注意第二步的证明。
2．间接法：包括等体积法和转化法，转化法即点面距离转化为线面距离（面面距离）；点面距离之间
转化，直到求出为止。
四：课堂练习与作业：（至少用二种方法求解） 如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′的距离
分析:（法１）在正方体ABCD--A ′B ′C ′D ′中, ∵A ′B ′= A ′D ′= A ′A,∴点A ′在
平面AB ′D ′的射影是等边△AB ′D ′的外心,连接A ′C ′、B ′D ′交点E ，连接
AE ，则A ′在平面AB ′D ′的射影H 在中线AE 上，由于等边三角形
的“五心”合一，即H 是重心，在AE 的三等分点且靠近E 点，
在等边三角形AB ′D ′中，AE=a 223⋅，AH=ａ３ＡＥ＝３２6在直角三角形A ′ＨＡ中，A ′Ｈ＝a AH 33A A'22=- 即A ′到平面AB ′D ′的距离为a 3
3 （法２）由A ′C 在平面A ′B ′C ′D ′的射影为A ′C ′，而A ′C ′⊥D ′B ′，由三垂线定理（及逆定理）可知A ′C ⊥D ′B ′，同理可证A ′C ⊥AB ′、A ′C ⊥AD ′ 。
于是A ′C ⊥面AD ′B ′ 即面A ′ACC ′⊥面AB ′D ′ 连接A ′C 与AE 交H 点，由面面垂直的性质定理可知A ′H 的长即为所求。
求解略。
(法3)：等体积法 利用''''''''D B A A D AB A V
V --=即可
五：教学反思 Ｄ′ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
Ａ′ Ｂ′ Ｃ′ Ｅ Ｈ。