波浪理论以及工程应用01

2.2 线性波理论
1. 线性化控制方程和边界条件 • 连续方程(线性)
0
2
(1)
• 力平衡方程(线性化)
V p Hale Waihona Puke Baidu gz 0 t 2
2
(2)
2.2 线性波理论
• 底部边界条件(线性)
z
0
z d
(3)
• 自由表面动力学边界条件(线性)
p x ,t 0 pat
流场计算数学模型推导
计算模型推导
速度项：水质点合速度 u2 w2 V 2 流体无旋有势
u x w z
2.1 流场计算数学模型推导
5. 计算模型推导
连续方程：Laplace 方程
2 2 2 0 2 x z
或
2 0
力平衡方程：对两个方程分别沿 x 和 z 向积分相加，
得到 Bernoulli 方程
1 2 p V gz 0 t 2
两个控制方程，解两个待定变量： ,
p
2.1 流场计算数学模型推导
5. 计算模型推导

Laplace方程为线性的偏微分方程。

Bernoulli 方程为非线性偏微分方程，V2 为速度势的 平方项，呈非线性。
流场计算数学模型推导 1. 物理模型
波型：余弦波
波高 H，波长 L (周期 T)，
瞬时升高
坐标系：二维 平面进行波
ox 静止水面，原点在波峰下，沿传播方向 oz 垂直向上
流场计算数学模型推导
1. 物理模型
水域：水深 d
水：无旋，无粘，不可压缩，密度
底部平行 ox 轴 (静止水面)，刚性，不可穿透
流场：重力场，重力加速度 g
水质点速度分量：水平u, 垂直 w; 压力 p
流场计算数学模型推导
控制方程
连续方程：
u w 0 x z

力平衡方程：
Du p Dt x Dw p g Dt z
3个待定变量(u,w,p)
无旋条件：
sh kd
sh kz
ch kz ch kd sh kz sh kd ch kd ch k z d ch kd
Z A1
A4 sin k x Ct
2.2 线性波理论
• 速度势函数的通解：
Z A1ch kz A2 sh kz
上述各式中的 C 为波速。两个二阶偏微分方程经积分 得到的解中含 4 个积分常数 A1，A2，A3，和 A4. 它们将 由流场中的力平衡条件和所有的边界条件来确定。
2.2 线性波理论
3. 确定积分常数与速度势函数
• 设定波为余弦波，即 t=0 和 x=0 时，为波峰位置。由力 平衡方程(2), 在自由表面有 p=pat-pat=0, 所以
H ch ks u cos x T sh kd
• 垂直速度分量：
H sh ks w sin z T sh kd
2.3 流场要素分析
• 水平加速度分量：
u 2 2 H ch ks sin 2 t T sh kd
2.2 线性波理论
1 H A cos k x Ct kC cos k x Ct g 2
2.2 线性波理论
• 波幅为：
gH A 2kC
• 于是，可以得到波浪作用下流场的速度势函数：
gH ch k z d sin k x Ct x, z , t 2kC ch kd
波浪理论及工程应用
船舶工程学院 钱昆
波浪理论及工程应用
主讲教师：钱昆 电话：84707334 - 8036
Email：qiankun@dlut.edu.cn
办公室：船池楼307 上课时间为1-16周， 2月13日开课，5月28日结课考试，
共32学时。
波浪理论及工程应用
主要内容： 主要讨论波浪运动及其与海洋结构物相互作用的力 学问题。模拟方法主要为势流理论方法。包括： 线性和非线性波浪流场计算 小尺度结构物上的波浪载荷计算
设计中关心的是海洋结构物在波浪中的运动和荷载。为此， 必须关注波浪作用下的流场，即波浪作用下水质点的运 动规律。 波浪流体力学理论是讨论在波浪作用下流场中水质点的运 动规律，即其速度(加速度)分量和压力。 进一步，可以计算得到水质点对于结构物的作用，包括力 (荷载)，以及因此导致的运动。

波浪作用下流场计算
6) 水深影响 • 对于深水：假定
2 kd 即 d L
L 所以 d 2
从速度势函数中的水深项可以看出，由于
1 kd sh kd ch kd e 2
有
和
th kd 1
ch kd
ch ks

ch kd ch kz sh kd sh kz ch kd
那么，唯有
A2 A1
才可以实现
ch kd
sh kd
A1sh kd A1
ch kd
sh kd
ch kd 0
2.2 线性波理论
• 于是，Laplace 方程通解的形式可进一步简化为：
Z A1ch kz A1 A1
ch kd
将上述两个方程线性化，得到相应的解析解； 对非线性项摄动展开，取有限阶数，得到相应的 数值解。
2.波浪作用下流场计算
2.2 线性波理论 线性波理论来自对于波浪作用下流场计算控制方程的简化, 在控制方程和自由表面运动学边界条件中忽略：
1 2 V , 2 x x
这一假定在什么样条件下成立？显然，唯有对微幅波才有 意义。通常，在 H/L<<0.1 和 d/L>1/20 条件下，可以接受 线性化的近似。 线性波理论称之为 Airy 波理论，微幅波理论，小波幅理论。
u w 0 z x
流场计算数学模型推导
边界条件 为确定特解，尚须给定初始条件和边界条件。对于定 常问题，只须给定边界条件。
底部条件： w z d 0 自由表面动力学边界条件：
p x ,t pat
自由表面运动学边界条件：
z
D u w u w z Dt t x z t x
自由表面动力学边界条件中
u x x x 为速度势的平方项，呈非线性。
2.1 流场计算数学模型推导

为求解波浪作用下的流场的速度势和压力项，须联立 求解Laplace方程和Bernoulli方程，并须同时满足底部 边界条件和自由表面静力学与运动学边界条件。
由于Bernoulli方程和自由表面动力学边界条件方程为 非线性的，为简化计算有两种途经可以应用：
边界单元（格林函数）法原理
波浪和结构物作用的频域分析方法 波浪和结构物作用的时域分析方法
波浪理论及工程应用
第一部分：
波浪作用下流场计算
波浪作用下流场计算

波浪运动是随机过程。根据目前的波浪理论，随机波由一 系列具有固定的波高和周期(或波长)的规则波组成。随机 波浪作用下的结构响应可由规则波作用下的结构响应根 据设计波法和谱分析方法得到。
2.3 流场要素分析
4) 水质点的运动参数
波浪作用下的流场速度势函数
gH ch ks sin 2 ch kd

其中
H ch ks
kT sh kd
sin
s zd
k x Ct kx t
2.3 流场要素分析
• 水平速度分量：
• 垂直加速度分量：
ww 2 HHsh ks 2 2 2 sh ks 2 2 cos cos tt T T sh kd sh kd
2.3 流场要素分析
• 水平位移分量：
H ch ks x x0 udt sin 0 2 sh kd
2.2 线性波理论
2. 解 Laplace 方程 • 分离速度势函数为沿x与z两个方向的函数积： 于是，Laplace方程也被分离成两式：
x, z , t x Ct , z x Ct Z z
2 2Z Z 2 0 2 x z
1 g t
由于波为余弦波，速度势函数只能是正弦函数，那么必 须有：
A3 cos k x Ct A4 sin k x Ct
A3 0
2.2 线性波理论
• 根据底部边界条件(3)，当 z=-d：
Z A1sh kd A2ch kd 0 z
其中：k 为波数。
2.波浪作用下流场计算
2.3 流场要素分析
kL 1) 波数：波传播一个波长，水质点震荡一周， 2 于是
2 k L
2) 波速：波峰传播的速度，
2 L k C T 2 k
其中： 为波数。

2.3 流场要素分析
3) 色散关系：根据自由表面动力学边界条件
t z
t
• 垂直位移度分量：
H sh ks z z0 wdt cos 0 2 sh kd
t
2.3 流场要素分析
5) 压力分布：
ch ks 1 p gz gz gH cos t 2 ch kd
2.3 流场要素分析
z
(4)
2.2 线性波理论
• 自由表面运动学边界条件(线性化)
t x x z
0
z x ,t 0
(5)
于是，求解Laplace方程(1)，并同时满足力平衡方程(2)， 和边界条件(3)，(4)与(5)，可以得到波浪作用下流场速 度势函数的解。
k 相应的波速可以记为
因为 C

g C th kd k
2
表达了不同水深处 波峰的传播速度。
2.3 流场要素分析
gH ch k z d sin k x Ct x, z , t 2kC ch kd
gH C / k gH gH 2 kgth( kd ) gH 2 2kC 2 2 2kgth(kd ) gH 2 ch(kd ) H ch(kd ) 2 T 2kg T sh (kd ) kT sh(kd )
0
z x ,t 0
和自由表面的Bernoulli方程
1 g t
可以得到
2 g 0 2 t z
为自由表面边界条件(静力学与运动学边界条件)。
2.3 流场要素分析
代入速度势函数，整理后得到
gkth kd
2
表达了不同水深处水质点的震荡圆频率。
2 2Z 2 2 Z k2 x z
2 2 x 2 k 0 2 Z k 2Z 0 z 2
2.2 线性波理论
• 两式的通解形式为：
A3 cos k x Ct A4 sin k x Ct
A1 A4
ch k z d ch kd
sin k x Ct
A1 A4 A 为波幅，由自由表面边界条件得出：
1 1 ch k z d cos k x Ct k C A z 0 g t g ch kd H cos k x Ct 2