微积分基础知识总结以及泰勒公式

§3.3 泰勒公式

常用近似公式

，将复杂函数用简单的一

次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当

较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化： 对复杂函数

，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望

尽可能多地反映出函数

所具有的性态 —— 如：在某点处的值与导

数值；我们还关心

的形式如何确定；

近似

所产生的误差

。

【问题一】

设

在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于

的 次多项式

近似

?

e x x x x x ≈+≈1,sin ()充分小

x f x ()p x n ()p x n ()

f x ()p x n ()

p x n ()

f x ()R x f x p x n n ()()()

=-f x ()x 0n +1()

x x -0n )

,,1,0()()()

1()()()()(0)(0)

(0202010n k x f x p x x a x x a x x a a x p k k n n

n n ==-++-+-+=且f x ()

【问题二】

若问题一的解存在，其误差

的表达式是什么?

一、【求解问题一】

问题一的求解就是确定多项式的系数

。

……………

上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

R x f x p x n n ()()()

=-a a a n

01,,, p x a a x x a x x a x x n n n ()()()()=+-+-++-0102020 ∴=a p x n 00()

'=+-+-++--p x a a x x a x x na x x n n n ()()()()1203020123 ∴

='a p x n 10()

''=⋅⋅+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-++⋅-⋅⋅--p x a a x x a x x n n a x x n n n ()()()()()213243123040202 ∴

⋅⋅=''2120a p x n ()

'''=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅⋅-++⋅-⋅-⋅⋅--p x a a x x a x x n n n a x x n n n ()()()()()()3214325431234050203 ∴⋅⋅⋅='''32130a p x n ()

于是，所求的多项式为：

(2)

二、【解决问题二】

泰勒(Tayler)中值定理

若函数

在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当

时，可以表示成

这里是

与之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

a p x f x a p x f x a p x f x a p x f x k k k a p x f x a f x a f x a n n n n k n k k 000100200300000010212132112211==⋅='='⋅⋅=''=''⋅⋅⋅='''='''--⋅⋅====

'=

()()()()()()()(),()()()()

,:

()

()!()

()

一般地有

从而得到系数计算公式''=

'''=

=f x a f x a f

x k k n k k ()!()!

()!

(,,,,)

()

030023012 p x f x f x x x f x k x x f x n x x n k k n n

()()()!()()!()()

!()()()

=+'-++-++-00000001 f x ()x 0(,)a b n +1x a b ∈(,)f x ()f x p x R x f x f x k x x f n x x n n k k n

k n n ()()()

()()!()()

()!()()()

=+=+⋅-++⋅-=++∑001

0101

1ξξ

x 0

x

这表明：

只要对函数

及 在与之间反

复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

【证明】 以

与为端点的区间

或

记为 ，

。

函数 在上具有直至 阶的导数，

且

函数 在上有直至阶的非零导数， 且

于是，对函数

及

在上反复使用 次柯西中值定理， 有

f x p x R x f x p x R x f n x x R x x x f n R x f x p x k n q t t x q n n n n n n n n n n k k n k n k ()()()

()()()()

()!()()()

()()!:()()()(,,,,)

()(),()()()()()

()=+⇔-==+-⇔-=+=-===-+++++101

01

100001110012ξξ注意到 ()(,,,,),

()()!(())

[()](())

()()(),()()

()()()()()()()()

()()

(x k n q t n q t t n p t p t t n R t f t p t R t f t R x R x q x q x R t q n n n n n n n n n n n n n n 011110010012110

==≡++≡=-=⇔--=++++++ 因是关于的次多项式因是关于的次多项式取则1)

()t t =ξ

R t f t p t n n ()()()

=-q t t x n ()()=-+01

x x 0n +1∀∈≠x a b x x (,)

0x 0

x [,]

x x 0[,]

x x 0I I a b ⊂(,)R t f t p t n n ()()()

=-I n +1R x R x R x R x n n n n n ()()()()()

00000

='="=== R t f t n n n ()()()()++=11q t t x n ()()=-+01I n +1q x q x q x q x n ()()()()()00000='=''=== q t n n ()()()!+=+11R t n ()

q t ()I n +1