时间响应分析

第三章 时间响应分析
基本要求
(1)了解系统时间响应的组成；
(2)了解时间响应分析中常用的典型输入信号及其特点；
(3)掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲 响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲 线的基本形状及意义。掌握线性系统中， 输 入 存 在 微 积 分 关 系 ， 其输出也存在微积分关系的基本结论；
（1）定义：
u(t
)
1 0
t0 t0
（2）L变换：
L[u(t)] 1 s
u (t) 1
t
3.单位斜坡函数
（1）定义：
xi
(t
)
t 0
t0 t0
（2）L变换：
L[ xi
(t )]
1 s2
r(t)
t
4.单位加速度函数
（1）定义：
xi
(t
)
t
2
2
0
（2）L变换：
t0 t0
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L[xi (t)]
1 s3
4
6
8
10
快速性能越好。
3. 一阶系统的单位脉冲响应
输出信号拉氏变换为：
Xo
(s)
G(s)X i
(s)
1 Ts 1
时间响应为：
xo
(t)
L1[ X
o
(s)]
L1[ 1 ] Ts 1
1 T
e
t T
(t 0)
单位脉冲响应曲线：
0.6
1
0.5
T
0.4
0.3
0.2
0.368 1 T
特点：
当T ↓，过渡过程持续时间变
3.1.2 典型输入信号
常用的输入信号:单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、 单位抛物线函数(单位加速度函数)、正弦函数和某些随机函数。
1.单位脉冲函数(δ函数) （1）定义：
(t)
(t)
0
t 0 ,
(t)dt 1
t 0
t
（2）L变换：
0
L[ (t)] 1
2.单位阶跃函数
Xi (s)
1 Xo(s) T s +1
G(s) Xo (s) 1 X i (s) Ts 1
T：一阶系统的时间常数
2. 一阶系统的单位阶跃响应
输出信号拉氏变换为：
Xo
(s)
G(s) X
i
(s)
1 Ts 1
1 s
时间响应为：
xo (t)
L1[X o
(s)]
L1[ 1 ] s(Ts 1)
1
e tT
本章难点
(1)二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其 与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与 系统特征参数之间的关系；
(2)系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。
3.1 时间响应的概念 3.1.1 时间响应及其组成
1、时间响应:系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过 程，即系统的时间响应。它由两部分组成： （1）瞬态响应:系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始 状态到稳定状态的响应过程。 （2）稳态响应：时间t趋于无穷大时，系统的输出稳定状态。
二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其典型环节是振荡环节。
1.传递函数：
Xi s
+-
2 n
s(s2 n )
X0s Xi s
2 n
s2
2 ns
2 n
X 0s
n为无阻尼固有频率 ， 为阻尼比。
2.特征方程特征根 ：
s2
2 n s
2 n
0
s1,2 n n 2 1
dt
dt
输出： 单位脉冲响应 = d 单位阶跃响应 = d 单位斜坡响应。
dt
dt
对于任意线性系统而言，若输入A是输入B的导函数，则输入A所引
起的输出就是输入B所引起输出的导函数；同样地，若输入A是输入B的 积分，则输入A所引起的输出就是输入B所引起输出的积分。
3.3 二阶系统的时间响应
3.3.1 二阶系统的数学模型
6
5
4
3
2 1
xo
(t)
t
T
Te
t T
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
(t 0)
5. 一阶系统典型信号输入与输出的关系
r(t) t 1 u(t)
u(t) (t)
xor (t) 1 e tT xou (t)
xo (t )
1 T
e
t T
w(t )
输入：
单位脉冲= d 单位阶跃= d 单位斜坡
短，表明系统惯性越小，系统的 快速性能越好。
0.1
0
0
2
4
6
8
10
4. 一阶系统的单位斜坡响应
输出信号拉氏变换为：
X
o
(s)
G(s)
X
i
(s)
1 Ts 1
1 s2
时间响应为： xo
(t)
L1[ X
o
(s)]
L1[
1
s 2 (Ts
] 1)
t
T
Te tT
单位斜坡响应曲线：
10
9
T=2s
T
8 7
xi (t) t
时间响应就是系统微分方程的全解。包含通解和特解两个部 分。通解完全由初始条件引起的，工程上称为自由响应，特解只 由输入决定，工程上称为强迫响应。
2、时间响应函数:时间响应（函数）等于传递函数与输入的拉氏变 换之积再取拉氏逆变换。
X o (s) G(s)X i (s)
两边取拉氏逆变换
xo (t) L1[G(s) X i (s)]
(4)掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲 线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之 间的对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参 数之间的关系；
(5)掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误 差及稳态误差的求法；能够分析系统的输入、系统的结构和参数 以及干扰对系统偏差的影响。
(t 0)
单位阶跃响应曲线：
1.2
特点：
1
(1)瞬态响应为
e
t T
，稳态值为1；
0.8
(2)单调上升的指数曲线；
0.6 0.4
x t T
1 et T
(3)T表示系统输出以最大初速达到
稳态值所需的时间 xo(T)=0.632
(4)当T ↓，过渡过程持续时间变
0.2
短，表明系统惯性越小，系统的
0
T
0
2
本章重点
(1)一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶 跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。
(2)二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位 阶跃响应曲线的基本形状及其与系统阻尼比之间的对应关系， 二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(3)系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差 的求法；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的 影响。
xi ( t)
t
0
5.正弦函数
（1）定义：
sint
xi
(t
)
X 0
i
sin
t
t 0 t0
0
t
（2）L变换：
L[ X i
sin
t]
X i s2 2
3.2 一阶系统的时间响应
1. 一阶系统的数学模型
一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其典型环节是惯性环节。
传递函数：
Xi ( s)
+-
1 Xo( s) Ts