管理类联考初数《整除》详解

管理类联考初数（一）整除

1、数的整除

整除的定义：当整数a 除以非零整数b ，商正好是整数而余数为零时，则称a 能被b 整除，或b

能整除a ，记作b ∣a 。

当b ∣a 时，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数）。

0能被任何整数整除，1能整除任何整数。

整除的性质：

1、传递性：若a ∣b ，b ∣c ，则a ∣c

2、可加可减性：若a ∣b ，a ∣c ，则a ∣（b ±c ）

3、可乘性，若a ∣b ，则a ∣m ×b

4、可拆性：若ab ∣c ，则a ∣c ，b ∣c

5、★互质可除性：若a ∣mb ，且（a ，m ）=1，则a ∣b

（注：（a ，m ）即两数的最大公因数，（a ，m ）=1代表两数互质。关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。）

例1：若a ∣b ，b ∣c ，则当m =（ ）时，m ∣c 。 （A ）b a ⨯（B ）a

b （C ）b a +（D ）a b -（E ）ab 解析：令）,(,正整数∈===N M MNa Nb

c Ma b

例2：14

n 是一个整数。 （1） n 是一个整数，且

314

n 也是一个整数； （2） n 是一个整数，且7n 也是一个整数。 解析：利用整除性质做题

条件（一）

314

n 是一个整数，14∣3n ，由于（14，3）=1，所以14∣n 条件（二）7n 是一个整数，n ∣7，根据整除性质无法推出n ∣14。

所以选（A ）

整除的特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数）

能被2/5整除的数：个位能被2/5整除；

能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除；

能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除；

能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除。

能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。

例3：数A 能被11整除。

（1）A 是形如abcabc 的数（a 是1~9的整数，b 、c 均为0~9的整数）；

（2）A=132323232

10

个 解析：直接利用整除特征做题

条件（1），利用末三位法，abc －abc =0，11∣0，所以abcabc 是11的倍数；

条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：3×10+1=31，偶数位之和2×10=20，差为31－20=11，是11的倍数，所以（2）也充分

答案选（D ）

例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则

这班的人数 （ ）

（A ）一定是4的倍数 （B ）不一定是4的倍数 （C ） 一定不是4的倍数

（D ） 一定是2的倍数，不一定是4的倍数 （E ）以上均不正确

解析：通过分析具体的情境判断数的性质

设有同学A 1，和他（她）同性的仍记为A 2，异性的记为B ，则A 两侧的排列应该是A 2A 1B 1B 2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。选A 。

连续n 个数乘积可被n 整除原则。连续n 个正整数之积一定是n 的倍数。

推广：连续n 个数乘积一定是n ！的倍数。

例5：若n 是一个大于100的整数，则n n -3

一定有约数 （ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （E ）以上均不正确

解析：利用连续n 个数乘积可被n ！整除原则。

n n -3

=()()11n n n -+，有定理：连续k 个数的乘积一定能被k 整除。所以()()11n n n -+既能被2整除，又能被3整除，故选B 。

练习题：

1.从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ）个。

（A ）64 （B ）48 （C ）56 （D ）46 （E ）55

2.如果m 2是3的倍数，m 3是2的倍数，那么m 必然是（ ）的倍数。

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （E ）9

3.n m =。

（1）,|n m 且m n |；

（2）n m ≥且m n ≥。

4.一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是（ ）

（A ）858 （B ）855 （C ）852 （D ）849 （E ）868

5.28

9a 是整数。 （1）若q p a =（p ，q 是互质的正整数），14

9a 是一个整数； （2）若q p a =

（p ，q 是互质的正整数），167a 是一个整数。 6、若)4)(2(--=n n n m ，则m （ ）

（A ）必然是2的倍数

（B ）必然是3的倍数

（C ）必然至少是6的倍数

（D ）必然不能被任何数整除

（E ）不一定是某个数的倍数

7、有（ ）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身。

（A ）10 （B ）7 （C ）8 （D ）5 （E ）6

8、下面说法中有（ ）是正确的。

（1）0可以被任何整数整除；

（2）如果b a c b c a ≠,|,|则c ab |；

（3）一个数是4的倍数，必然是2的倍数；

（4）如果1078是7的倍数，3647也是7的倍数，那么n m 36471078+必然也是7的倍数。（n m ,是正整数）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）4

练习题讲评：

1、前120个正整数中，能被3整除的数有40个，能被5整除的数有24个，能同时被3和5整除的数（即能被15整除）有8个。

根据容斥原理（后文将有介绍），要求的应该是40+24－8=56个。选（C ）

2、显然m 必然是2和3的倍数，即是6的倍数。选（C ）。

3、两个数互为倍数，这两个数必然相等，条件（1）充分；条件（2）显然也充分，选（D ）

4、17的两位数倍数最大是85，个位最大是8时，组成的三位数能被3整除。选（A ）

5、条件（1），当14=a 时，显然结论不成立，条件（1）不充分；条件（2），当16=a 时，显然结论不成立。

条件（1）（2）联合起来，p 既是14的倍数，又是16的倍数，q 既是9的约数又是7的约数，可见q =1，p 是112的倍数。显然a 是28的倍数。选（C ）

6、显然当n 为奇数时，m 是个奇数，不能被2整除。再看一下能否被3整除，此时n 除以3的结果只有三种可能：整除、余1、余2，逐一验证发现三种情况下，m 都能被3整除，选（B ）。

7、奇数共有1、3、5、7、9五个，无论选哪四个，都必然会有3或9，说明这个四位数必然能被3整除，则这四个数之和必然能被3整除。这样的四个数可以是1、3、5、9（大家可以验证其它都不可以）。由于有5存在，个位必须是5。前三位共有6种排法。选（E ）

8、（1）显然当除数为0时不成立；（2）当12,6,3===c b a 时，显然不成立。所以整除的可拆