管理类联考初数《整除》详解

管理类联考初数（一）整除1、数的整除整除的定义：当整数a 除以非零整数b ，商正好是整数而余数为零时，则称a 能被b 整除，或b能整除a ，记作b ∣a 。

当b ∣a 时，称a 是b 的倍数，b 是a 的约数（因数）。

0能被任何整数整除，1能整除任何整数。

整除的性质：1、传递性：若a ∣b ，b ∣c ，则a ∣c2、可加可减性：若a ∣b ，a ∣c ，则a ∣（b ±c ）3、可乘性，若a ∣b ，则a ∣m ×b4、可拆性：若ab ∣c ，则a ∣c ，b ∣c5、★互质可除性：若a ∣mb ，且（a ，m ）=1，则a ∣b（注：（a ，m ）即两数的最大公因数，（a ，m ）=1代表两数互质。

关于最大公因数和互质的知识将在后面介绍，如果同学们已经遗忘可以翻到相应篇章进行学习。

）例1：若a ∣b ，b ∣c ，则当m =（ ）时，m ∣c 。

（A ）b a ⨯（B ）ab （C ）b a +（D ）a b -（E ）ab 解析：令）,(,正整数∈===N M MNa Nbc Ma b例2：14n 是一个整数。

（1） n 是一个整数，且314n 也是一个整数； （2） n 是一个整数，且7n 也是一个整数。

解析：利用整除性质做题条件（一）314n 是一个整数，14∣3n ，由于（14，3）=1，所以14∣n 条件（二）7n 是一个整数，n ∣7，根据整除性质无法推出n ∣14。

所以选（A ）整除的特征（用处：快速判别某数能否被常用数整除或快速分解质因数）能被2/5整除的数：个位能被2/5整除；能被3/9整除的数：各数位数字之和必能被3/9整除；能被4/25整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被4/25整除；能被11整除的数：奇数位之和与偶数位之和的差能被11整除。

能被7、11、13整除的数（末三位法）：将后三位与前几位做差（大减小），判断差能否能被7/11/13整除。

例3：数A 能被11整除。

（1）A 是形如abcabc 的数（a 是1~9的整数，b 、c 均为0~9的整数）；（2）A=13232323210个 解析：直接利用整除特征做题条件（1），利用末三位法，abc －abc =0，11∣0，所以abcabc 是11的倍数；条件（2）利用奇偶数位和做差法，奇数位之和：3×10+1=31，偶数位之和2×10=20，差为31－20=11，是11的倍数，所以（2）也充分答案选（D ）例4：一个班的同学围成一圈，每位同学的一侧是一位同性同学，而另一侧是两位异性同学，则这班的人数 （ ）（A ）一定是4的倍数 （B ）不一定是4的倍数 （C ） 一定不是4的倍数（D ） 一定是2的倍数，不一定是4的倍数 （E ）以上均不正确解析：通过分析具体的情境判断数的性质设有同学A 1，和他（她）同性的仍记为A 2，异性的记为B ，则A 两侧的排列应该是A 2A 1B 1B 2，说明在这些同学中，任取相邻的四个人都是两男两女，所以必是四的倍数。

选A 。

连续n 个数乘积可被n 整除原则。

连续n 个正整数之积一定是n 的倍数。

推广：连续n 个数乘积一定是n ！的倍数。

例5：若n 是一个大于100的整数，则n n -3一定有约数 （ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 （E ）以上均不正确解析：利用连续n 个数乘积可被n ！整除原则。

n n -3=()()11n n n -+，有定理：连续k 个数的乘积一定能被k 整除。

所以()()11n n n -+既能被2整除，又能被3整除，故选B 。

练习题：1.从1到120的自然数中，能被3整除或被5整除的数的个数是（ ）个。

（A ）64 （B ）48 （C ）56 （D ）46 （E ）552.如果m 2是3的倍数，m 3是2的倍数，那么m 必然是（ ）的倍数。

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （E ）93.n m =。

（1）,|n m 且m n |；（2）n m ≥且m n ≥。

4.一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是（ ）（A ）858 （B ）855 （C ）852 （D ）849 （E ）8685.289a 是整数。

（1）若q p a =（p ，q 是互质的正整数），149a 是一个整数； （2）若q p a =（p ，q 是互质的正整数），167a 是一个整数。

6、若)4)(2(--=n n n m ，则m （ ）（A ）必然是2的倍数（B ）必然是3的倍数（C ）必然至少是6的倍数（D ）必然不能被任何数整除（E ）不一定是某个数的倍数7、有（ ）个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的各位数字都能整除它本身。

（A ）10 （B ）7 （C ）8 （D ）5 （E ）68、下面说法中有（ ）是正确的。

（1）0可以被任何整数整除；（2）如果b a c b c a ≠,|,|则c ab |；（3）一个数是4的倍数，必然是2的倍数；（4）如果1078是7的倍数，3647也是7的倍数，那么n m 36471078+必然也是7的倍数。

（n m ,是正整数）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）4练习题讲评：1、前120个正整数中，能被3整除的数有40个，能被5整除的数有24个，能同时被3和5整除的数（即能被15整除）有8个。

根据容斥原理（后文将有介绍），要求的应该是40+24－8=56个。

选（C ）2、显然m 必然是2和3的倍数，即是6的倍数。

选（C ）。

3、两个数互为倍数，这两个数必然相等，条件（1）充分；条件（2）显然也充分，选（D ）4、17的两位数倍数最大是85，个位最大是8时，组成的三位数能被3整除。

选（A ）5、条件（1），当14=a 时，显然结论不成立，条件（1）不充分；条件（2），当16=a 时，显然结论不成立。

条件（1）（2）联合起来，p 既是14的倍数，又是16的倍数，q 既是9的约数又是7的约数，可见q =1，p 是112的倍数。

显然a 是28的倍数。

选（C ）6、显然当n 为奇数时，m 是个奇数，不能被2整除。

再看一下能否被3整除，此时n 除以3的结果只有三种可能：整除、余1、余2，逐一验证发现三种情况下，m 都能被3整除，选（B ）。

7、奇数共有1、3、5、7、9五个，无论选哪四个，都必然会有3或9，说明这个四位数必然能被3整除，则这四个数之和必然能被3整除。

这样的四个数可以是1、3、5、9（大家可以验证其它都不可以）。

由于有5存在，个位必须是5。

前三位共有6种排法。

选（E ）8、（1）显然当除数为0时不成立；（2）当12,6,3===c b a 时，显然不成立。

所以整除的可拆性不可逆。

（3）根据整除的传递性，成立。

（4）根据整除的可乘可加性，成立。

选（C ）。

2.奇数和偶数概念与知识点偶数：能被2整除的整数叫做偶数（双数）。

如－2，0，2，4，6，…奇数：不能被2整除的整数叫做奇数（单数）。

如－1，1，3，23，…显然有：⎧⎨⎩奇数整数偶数 。

奇数与偶数的运算性质：奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数；奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数；奇数个奇数之和还是奇数，奇数个偶数之和还是偶数，偶数个奇数之和是偶数，偶数个偶数之和还是偶数。

奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数；在整数的加减运算中，加减号互变，结果的奇偶性不变。

一般设2n 是偶数，设（2n －1）或（2n +1）是奇数。

（n ∈Z ）两个相邻的数必定一奇一偶。

()⎩⎨⎧-=-是奇数是偶数n x n x x n n n,, n x ，当n 是奇数时，x 可以为任意实数；当n 是偶数时，x 只能是非负数。

体验奇偶数“交叉排列”的含义*。

基本做题思路：例1：有偶数位来宾。

（根据12年第20题改编）（1）聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围，且每位来宾与其邻座性别不同。

（2）所有来宾坐成一排，每位来宾与其邻座性别不同。

例2：m 为偶数（1）设n 为整数，m =n （n +1）（2）在1，2，3，……1988这1988个自然数中每相邻两个数之间任意添加一个加号或减号，设这样组成的运算式的结果是m 。

例3：象棋中的“马”每次走棋总是沿“日”字的对角线 进行，那么经过n 次过后，“马”有可能跳回到最初的位置。

（1）n=3（2）n=4例4：如果有理数m <0，则（ ）（A ）当n 为偶数时，()0112>⋅-+n n m（B ）当n 为奇数时，()011>⋅-+n n m（C ）当n 为任意自然数时，()0112>⋅-+n n m（D ）当n 为任意自然数时，()0112<⋅-+n n m（E ）当n 为偶数时，()011<⋅-+n n m练习题：1.已知m ，n 是正整数，则m 是偶数。

（12年第18题）（1）3m +2n 是偶数。

（2）3m 2+2n 2是偶数。

2.m 为偶数。

（1）一个三位数依次减去构成这个数的三个数字所得的差为m 。

（2）一个两位数，颠倒次序后形成一个新的两位数，将这两个两位数相加，所得的和为n ，再将n 所有数位上的数字相加，得m 。

3.一个转盘被平分成20小格，指针停到偶数号格，就可以得大奖，则小明有可能得到大奖。

（1）小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N，指针先指到N所在的位置，再继续向前转动2N格。

（2）小明先用骰子随意掷出一个6以内的整数N，指针先指到N所在的位置，再继续向前转动N格，再倒退一格。

4、m是偶数。

（1）若干个人相互各握手一次，每个人的握手次数之和为m；（2）若干个人相互各握手一次，握手次数为奇数的人数为m。

3.质数和合数概念与知识点质数（素数）：如果一个大于1的正整数，只有1和它本身两个约数，那么这个正整数就叫做质数。

合数：除了1和本身之外还有其他约数的正整数叫做合数。

最小的质数是2，质数中为偶数的数是2，最小的合数是4。

100以内的质数（25个，记住30以内的）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、2931、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97质数与合数判别法：对于一个不很大的自然数N（N>1，N为非完全平方数），从质数2开始用不同的质数试除N，如果能被某质数整除，则说明N是合数，否则继续用下一个质数试除；如果试到质数P，发现P2>N 时，无需再试，N为质数。

例1：三名小孩中有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数，且依次相差4岁，他们的年龄之和为（）（A）21 B）27 （C）33 （D）39 （E）51解析：考察30以内的具体质数最小的质数小于6，可能是2、3或者5，如果是2或5的话都不符合题意，答案只能是3、7、11。