圆锥曲线-面积问题(原题+答案)

直线与圆锥曲线的位置关系

专题一:面积问题

1、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3

π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

2121x x k AB -+=

]4))[(1(212212x x x x k -++=．

因为6=a ，3=b ，所以33=c ．

又因为焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为19

362

2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为 93+=x y ．

由直线方程与椭圆方程联立得

0836372132=⨯++x x ．

设1x ，2x 为方程两根， 所以13

37221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而13

48]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3

6短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2

3，求△AOB 面积的最大值。

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c

，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩

1b ∴=，∴所求椭圆方程为2

213

x y +=。 （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。

（1）当AB x ⊥

轴时，AB =

（2）当AB 与x 轴不垂直时，

设直线AB 的方程为y kx m =+。

2

=，得223(1)4m k =+。 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，

122631km x x k -∴+=+，21223(1)31

m x x k -=+。 22221(1)()AB k x x ∴=+-2222

2223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)

k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k

=+=+≠+=++⨯+++≤。 当且仅当2

219k k =

，即3k =±时等号成立。当0k =

时，AB = 综上所述max 2AB =。

∴当AB 最大时，AOB △

面积取最大值max 1222

S AB =⨯⨯=。 3、如图，直线y kx b =+与椭圆2

214

x y +=交于A 、B 两点，记ABC ∆的面积为S 。

（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （Ⅱ）当12==，S AB 时，求直线AB 的方程。

解：（Ⅰ）解：设点A 的坐标为()b x ,1，点B 的坐标为()b x ,2， 由14

22

=+b x ，解得22112b x -±=，， 所以212

1x x b S -⋅= 212b b -⋅=

，b b 112=-+≤ 当且仅当2

2=b 时，S 取到最在值1， （Ⅱ）解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14

,22y x b kx y 得 ，b k b x x k 01241222=-++⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+

，b k 1422+-=∆

2121x x k AB -⋅+=

2411412

222

=++-⋅+=k b k k 设O 到AB 的距离为d ，则

，AB

s d 12== 又因为，k

b

d 21+= 所以，k b 122

+=代入②式并整理，得 ，k k 04124=+

- 解得，，b k 23,2122==

代入①式检验，0 ∆。 故直线AB 的方程是

2

622,262226222622--=+-=-=+=x y x y ，x y ，x y 或或或。 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，2

2a 4c

=。 (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程。 解：设椭圆方程为).(0b a 1b

y a x 22

22>>=+

（I ）由已知得 2222c b a 4c 2a c

b +=== ⇒ 1

c 1b 2

a 222=== ∴所求椭圆方程为

.1y 2

x 22

=+

（II ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，

设直线l 的方程为2kx y +=，),(),,(2211y x B y x A

由 1y 2x 2

kx y 22

=++=消去y 得关于x 的方程：

068kx x 2k 122=+++)(

由直线l 与椭圆相交A 、B 两点，∴△02k 12464k 022>+-⇒>)(， 解得2

3k 2>， 又由韦达定理得 2212

212k 16x x 2k 18k

x x +=⋅+-

=+

212212212x 4x x x k 1x x k 1AB -++=-+=∴)(

24

16k 2k 1k 1222-++=. 原点O 到直线l 的距离2k 12

d +=

2222ADB

2k 132k 222k 12416k d AB 21S +-=+-=⋅=∴∆