圆锥曲线-面积问题(原题+答案)
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题(解析版)
微考点6-2 圆锥曲线中的弦长面积类问题（三大题型）直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离），设直线为斜截式m kx y +=.进一步，d AB S 21==20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.12PAB PQA PQB A B S S S PQ y y ∆∆∆=+=-=12PAB PQA PQB A B S S S PQ x x ∆∆∆=+=-=③坐标法：设),(),,(2211y x B y x A ，则||211221y x y x S AOB -=∆④面积比的转化：三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：1.两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比2.两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）3.利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比4.面积的割补和转化⑤四边形的面积计算在高考中，四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.⑥注意某条边过定点的三角形和四边形当三角形或者四边形某条边过定点时，我们就可以把三角形，四边形某个定顶点和该定点为边，这样就转化成定底边的情形，最终可以简化运算.当然，你需要把握住一些常见的定点结论，才能察觉出问题的关键.题型一：利用弦长公式距离公式解决弦长问题【精选例题】【例1】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，1F ，2F 分别为左右焦点，点(1P，2P -⎛⎝在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的离心率；(2)过左焦点1F 且不垂直于坐标轴的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，若AB 的中点为M ，O 为原点，直线OM交直线3x =-于点N ，求1ABNF 取最大值时直线l 的方程.则2222(2)(2)2x y x -+=-【跟踪训练】1.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，圆O ：22320x y x y ++--=，若圆O 过椭圆C 的左顶点及右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0作两条相互垂直的直线1l ，2l ，分别与椭圆相交于点A ，B ，D ，E ，试求AB DE +的取值范围．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.题型二：利用弦长公式距离公式解决三角形面积类问题【精选例题】圆心O 到直线CD 的距离为2||51m d k ==+联立22132y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2223k x ++()()()2226423360km k m ∆=-+->，可得设()11,A x y 、()22,B x y ，则12623km x x k -+=+()2222121236141k m AB kx x x x k=++-=+()()()(2222261322612k km k ⋅++-+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（首先建立目标函数，再求这个函数的最值，式长最值．P x y满足方程【例3】动点(,)【点睛】求解动点的轨迹方程，可通过定义法来进行求解型的轨迹的定义，由此来求得轨迹方程用不等式的性质、基本不等式等知识来进行求解【例4】已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为(1)求椭圆C的标准方程；【点睛】思路点睛：本题第二小问属于直线与圆锥曲线综合性问题，设出过点达定理可得12y y +，12y y ，可求出1142ABF S a r =⋅⋅△，由此可求得直线【跟踪训练】(1)求椭圆C的标准方程；(2)判定AOMV（O为坐标原点）与理由.【答案】(1)2212xy+=；(2)面积和为定值，定值为【分析】（1）根据题意求,a b）方程为22221x ya b+=，焦距为2c，则2221b a c=-=，的标准方程为221 2xy+=.()0,1A，()0,1B-，直线l：x(1)求椭圆C的方程；(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．△面积的最大值．②求AOD②设直线AD 恒过定点记为M 由上()222481224t m ∆=-+=⨯所以1222423t y y t +=+，122y y =）题型三：利用弦长公式距离公式解决定四边形面积问题【精选例题】(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD面积的最大值；(3)试判断直线AD与BC的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【答案】(1)2214xy+=；(2)4；(3)）当直线1l，2l中的一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为1AB CD=⨯⨯=.4122当直线1l，2l的斜率都存在且不为0时，【跟踪训练】2．已知焦距为2的椭圆M ：于A ，B 两点，1ABF V 的周长为(1)求椭圆M 的方程；F l）斜率不存在时.1l 方程为1x =，2l 方程为1134622ABCD S AB CD =⋅=⋅⋅=四边形斜率为0时.1l 方程为0y =，此时无法构成斜率存在且不为0时.设1l 方程为y =12．已知圆O ：224x y +=，点点P 的轨迹为E .(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m【点睛】方法点睛：设出直线的方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理结合弦长公式得出弦长3．已知椭圆2222:1(x yEa b+=()2,1T，斜率为k的直线l与椭圆(1)求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB的方程为6．已知椭圆(2222:1x y C a a b+=两点，且1ABF V 的周长最大值为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆C 上一动点（不与端点重合），则112AF AH AF AF +≤+=故当AB 过右焦点2F 时，ABF V 因为椭圆C 的离心率为c e a =22121,2A F a c A A a =-===则11214A PQ PA A S S =V V ，故PQ =设(,),(02)P P P P x y x <<，则又P 点在22143x y +=上，则又2(2,0)A ，所以直线2A P 的方程为）O 中，由OA l ⊥，2EOF EOA ∠=∠，则EOA V 中，cos 601OA OE =⋅=o ，则S 当直线l 的斜率不存在时，可得:1l x =±，代入方程可得：2114y +=，解得32y =±，可得MN 当直线l 的斜率存在时，可设:l y kx b =+，联立可得））得1(0,3)B ，2(1,0)F ，12B F k =所以直线MN 的斜率为33，所以直线()2231313x y =++=．消去y 并化简得13(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在实数λ，使椭圆若不存在，请说明理由；(3)椭圆E的内接四边形ABCD4t4t【点睛】方法点睛：本题（2圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值11．已知椭圆221:184x yC+=与椭圆(1)求椭圆2C的标准方程：不妨设P 在第一象限以及x 故000022AP AQ k y y k x x -+⋅=⋅=-由题意知直线AP 存在斜率，设其方程为若直线l ，m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线所以直线l 的斜率存在且不为零，设直线()()1122,,,A x y B x y ，()1y k x ⎧=+。
32个经典圆锥曲线问题
圆锥曲线32题1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．3. 已知椭圆的离心率为在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；（2）当的面积等于时，求的值．8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．11. 已知椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值?若是，求出该值；若不是，说明理由．12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，．14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，求直线的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3是一个定值．25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．35. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．36. 已知点为椭圆：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若的取值范围．圆锥曲线32题答案1. （1）由题设知：，即．将点代入椭圆方程得，解得．所以，故椭圆方程为．（2）由（）知，，所以，所以所在直线方程为，由得，设，，则，所以所以2. （1）因为椭圆的离心率为，所以．解得，故椭圆的方程可设为，则椭圆的左焦点坐标为，过左焦点且倾斜角为的直线方程为：．设直线与椭圆的交点为，，由消去，得，解得，．因为，解得．故椭圆的方程为．（2）①当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程，得消去并整理，得．因为直线和椭圆有且只有一个交点，所以．化简并整理，得．因为直线与垂直，所以直线的方程为．联立方程组解得所以把代入上式得②当切线的斜率为时，此时或，符合式．③当切线的斜率不存在时，此时或符合式．综上所述，点的轨迹方程为．3. （1）由题意得解得，．所以的方程为．（2）设直线（，），，，．将代入，得．故，．于是直线的斜率所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．4. （1）因为，且通过原点，所以所在直线的方程为．由得，两点坐标分别是，．所以．又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以，．（2）设所在直线的方程为，由得．因为，两点在椭圆上，所以，即．设，两点坐标分别为，，则，且，．所以又因为的长等于点到直线的距离，即所以．当时，边最长．（显然）．所以，所在直线的方程为．5. （1）由题意，知椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，由题意，知，，又，则，所以椭圆方程为．（2）设，，由题意，知直线的斜率存在，设其方程为，与椭圆方程联立，即消去，得，，由根与系数的关系，知又，即有，所以．则所以．整理，得，又时等式不成立，所以，得，此时．所以的取值范围为．6. （1）抛物线的准线为，所以，所以抛物线方程为．（2）由（1）知点的坐标是，由题意得，．又因为，所以．因为，所以所以的方程为的方程为由联立得所以的坐标为．7. （1）设圆心的坐标为，由题意，知圆心到定点和直线的距离相等，故圆心的轨迹的方程为．（2）由方程组消去，并整理得．设，，则设直线与轴交于点，则．所以因为，所以，解得．经检验，均符合题意，所以．8. （1）因为，所以设点的坐标为，点的坐标为由得则则，解得．（2）设点的坐标为，点的坐标为，由得，得，则．由得，解得，代入上式得：，则，，当且仅当时取等号，此时，又则，解得．所以，面积的最大值为，此时椭圆的方程为．9. （1）由题意可得，抛物线上点到点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义，即．（2）由（1）得，抛物线方程为，，可设，，．因为不垂直于轴，可设直线：，由消去得，故又直线的斜率为的斜为．从而得直线：，直线：．所以设，由，，三点共线得，于是所以或．经检验，或满足题意．综上，点的横坐标的取值范围是．10. （1）因为，所以．又点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为．由得，设，的坐标分别为，，的中点为，则因为是等腰的底边，所以．所以的斜率．此时方程为，解得，，所以，所以．此时，点到直线的距离，所以的面积11. （1）因为椭圆的离心率为，所以，．因为，解得，，所以椭圆的方程为．（2）法1：因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．设直线的斜率为，则直线的斜率为所以直线的方程为，直线的方程为．设点，，由消去，得因为点在椭圆上，所以是方程的一个根，则．所以．同理．所以．又．所以直线的斜率为所以直线的斜率为定值，该值为法2：设点，，则直线的斜率，直线的斜率．因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．所以，即因为点，在椭圆上，所以由得，得同理由得由得，化简得由得得．得，得所以直线的斜率为为定值．法3：设直线的方程为，点，，则，，直线的斜率，直线的斜率．因为的角平分线总垂直于轴，所以与所在直线关于直线对称．所以，即化简得．把，代入上式，并化简得由消去得则，，代入得，整理得，所以或．若，可得方程的一个根为，不合题意．若时，合题意．所以直线的斜率为定值，该值为．12. （1）由题意可知：，又，，所以，，所以椭圆的方程为：．（2）①若直线的斜率不存在，此时为原点，满足，所以，方程为．②若直线的斜率存在，设其方程为，，将直线方程与椭圆方程联立可得即，可得设，则，，由可知，解得或，将结果代入验证，舍掉．此时，直线的方程为．综上所述，直线的方程为或．13. （1）根据及题设知，．将代入，解得或故的离心率为（2）由题意，得原点为的中点，轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即由得设，由题意知，则即代入的方程，得将及代入得．解得，，故，．14. （1）据题意，为点到直线的距离，连接，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以所以点的轨迹是抛物线，焦点为，准线为直线所以曲线的方程为．（2）据题意，，过点的切线斜率存在，设为，则切线方程为：，联立抛物线方程可得，由直线和抛物线相切，可得，即因为，所以方程存在两个不等实根，设为，，因为，，由方程可知，所以切线，所以，结论得证．15. （1）由题意设双曲线方程为．由已知得，，再由，得．故双曲线的方程为．（2）设，，将代入，得．由题意知解得．所以的取值范围为．16. （1）因为抛物线上的点到轴的距离等于，所以点到直线的距离等于点到焦点的距离，得是抛物线的准线，即解得，所以抛物线的方程为；可知椭圆的右焦点，左焦点，由，得，又，解得，由椭圆的定义得，所以，又，得，所以椭圆的方程为．（2）显然，，由消去，得，由题意知，得，由消去，得，其中，化简得，又，得，解得，设，，则，由所以的取值范围是．17. （1）由题意可得：，又，解得．所以椭圆的方程为：．（2）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，由，解得．设，，，所以，，则直线的方程为：，令，可得所以直线与轴的交点为．18. （1）依题意，设抛物线的方程为．由抛物线且经过点，得，所以抛物线的方程为．（2）因为所以，所以，所以直线与的倾斜角互补，所以．依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为：，将其代入抛物线的方程，整理得．设，则，，所以．以替换点坐标中的，得．所以所以直线的斜率为19. （1）联立方程有，有，由于直线与抛物线相切，得，所以，所以．（2）假设存在满足条件的点，直线，有，设，，有，，，，，当，满足为定值，所以．20. （1）因为椭圆焦点在轴上，且过点，所以．设内切圆的半径为，点的坐标为，则的重心的坐标为，因为，所以．由面积可得即，则解得，，即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．（2）设，，，则切线，的方程分别为，．因为点在两条切线上，所以，．故直线的方程为．又因为点为直线上，所以，即直线的方程可化为，整理得，由解得因此，直线过定点21. （1）由题意可得：直线的斜率存在，设方程为：，设，，动点，由可得．可得．；；由可得即点的轨迹方程为（2）设直线的方程为：（且），由可得，可得，因为直线与抛物线相切，所以，可得，可得，又由可得可得，所以以线段为直径的圆过点．22. （1）由题意可知：，，椭圆的离心率，则，所以椭圆的标准方程：．（2）设直线的方程为．消去整理得：．设，，则，，所以为定值．23. （1）过，两点作准线的垂线，垂足分别为，，易知，，因为所以，所以为的中点，又是的中点，所以是的中位线，所以而，所以所以，，所以，而，所以；（2）因为为的中点，是的中点，所以，所以，所以，所以抛物线的方程为．24. （1）双曲线的，，可得双曲线的渐近线方程为，即为．（2）令可得，解得，（负的舍去），设，，由为的中点，可得，，解得，，即有，可得的斜率为，则直线的方程为，即为．（3）设，即有，设，，由为的中点，可得，，解得，，则为定值．25. （1）设所在直线的方程为，抛物线方程为，联立两方程消去得．设，，则．由题意知，，且，所以，所求抛物线的方程为．（2）由点为抛物线上的点，得．由题意知直线，的斜率均存在，且不为，设直线的方程为，则直线的方程为．由得，因而由得，因而从而直线的斜率26. （1）由题意可知：，，所以椭圆的标准方程：，设直线的方程，则整理得：，解得：，，则点坐标，故直线的斜率，直线的斜率所以所以；（2）由（Ⅰ）可知：四边形的面积，则三角形，，由，整理得：，则，所以，的最小值．27. （1）设，，由题知抛物线焦点为，设焦点弦方程为，代入抛物线方程得，有，解之得，由韦达定理：，所以中点横坐标：，代入直线方程，中点纵坐标：为，消参数，得其方程为：，当线段的斜率不存在时，线段中点为焦点，满足此式，故动点的轨迹方程为：．（2）设，代入，得，，联立，得，同理，，所以，又因为，故与的面积比为．28. （1）因为过点，所以，解得所以抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线为（2）设过点的直线方程为，，所以直线为，直线为：，由题意知，，由可得，所以，，所以，所以为线段的中点．29. （1）由题意可知：椭圆的离心率，则椭圆的准线方程，由由解得：，，则，所以椭圆的标准方程：．（2）方法一：设，时，与相交于点，与题设不符，当时，则直线的斜率的方程，直线的斜率，则直线的斜率，直线的方程，联立解得：则，由，在椭圆上，，的横坐标互为相反数，纵坐标应相等或相反，则或，所以或，则解得：则或无解，又在第一象限，所以的坐标为：．方法二：设，由在第一象限，则，，当时，不存在，解得：与重合，不满足题意，当时，，，由，，则，，直线的方程的方程联立解得：，则，由在椭圆方程，由对称性可得：，即，或，由，在椭圆方程，解得：或无解，又在第一象限，所以的坐标为：．30. （1）设中点为，中点为，以，所在的直线分别为轴，轴，为原点建立直角坐标系．因为，动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设其长、短半轴的长分别为，，半焦距为，则，，，所以曲线的方程为：．（2）直线的方程为，设，，由方程组得方程，，，故．35. （1）设，由题意知，点一定在椭圆上，则点也在椭圆上，分别将其代入，得，，解得，，所以的标准方程为．设，依题意知，点在抛物线上，代入抛物线的方程，得，所以的标准方程为．（2）设，，，由知，故直线的方程为，即，代入椭圆的方程，整理得，，，，所以设点到直线的距离为，则所以当且仅当时，取等号，此时满足．综上，面积的最大值为．36. （1）由题意，得，，则椭圆为．由得．因为直线与椭圆有且仅有一个交点，所以，所以椭圆的方程为．（2）由（1）得．因为直线与轴交于，所以当直线与轴垂直时，，所以当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由，依题意得，，且，所以所以，因为，所以．综上所述，的取值范围是．。
(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)
历年高考圆锥曲线2000年：（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直03422=+++x y x 线的方程是（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）x y 3=x y 3-=x 33x 33-（11）过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、，则等于（ ）p q qp 11+（A ）（B ）（C ） （D ）a 2a21a 4a4（14）椭圆的焦点为、，点P 为其上的动点，当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时，点P 横坐标的取值范围是________。
（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当时，求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。
e 2004年3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）032=+-y x A ．B ．C ．D ．12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆x 0443=++y x C 的方程为（ ）A ．B ．03222=--+x y x 0422=++x y x C ．D ．3222=-++x y x 0422=-+x y x 8．（理工类）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合，x y 42-= 则此椭圆方程为（ ）A ．B ．13422=+y x 16822=+y x C ．D ．1222=+y x 1422=+y x 22．（本小题满分14分）双曲线的焦距为2c ，直线过点（a ，0）和（0，b ），且点)0,1(12222>>=-b a by a x l （1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年：9．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为（x ）A ．B ．CD435310．设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C ．D 2121、（理工类）（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
第九讲 圆锥曲线中弦长和面积问题
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 2· －85t2－4×4（t25－1） ＝452· 5－t2， 当 t＝0 时，|AB|max＝4 510.故选 C.
变式训练. 过双曲线 x2－y22＝1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若 使得|AB|＝λ 的直线 l 恰有三条，则 λ＝ 44 ．
(2)若直线 l：y＝kx＋m(k，m 为常数，k≠0)与椭圆 Γ 交于不同的两点 M
和 N. (ⅰ)当直线 l 过 E(1，0)，且E→M＋2E→N＝0 时，求直线 l 的方程；
(ⅱ)当坐标原点 O 到直线 l 的距离为 23，且△ MON 的面积为 23时，求 直 线 l 的倾斜角．
解析 (1)∵A1(a，0)，B1(0，1)，
∴S△MON＝12×|MN|× 23＝
3 4
3（k2＋1）（9k 2＋1）
（3k 2＋1）2
.
∵△MON 的面积为 23，
由
3 4
3（k2（＋31k）2＋（19）k 22＋1）＝ 23，可得 k＝± 33，
设直线 l 的倾斜角为 θ，则 tan θ＝± 33， 由于 0≤θ＜π，∴θ＝π6或 θ＝56π.
解析 ∵使得|AB|＝λ 的直线 l 恰有三条． ∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直． 此时 A，B 的横坐标为 3，代入双曲线方程，可得 y＝±2，故|AB|＝4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4， ∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4， 综上可知，|AB|＝4 时，有三条直线满足题意．∴λ＝4.
[方法点拨] 求解弦长的 4 种方法 (1)当弦长的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点 间的距离公式求解． (3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于 x(或 y)的一元二次方程， 利用根与系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式求解． (4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))
圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ） 已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++， 当且仅当2t =2=，解得k =时取等号， 满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+． 【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-． （2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
圆锥曲线专题
圆锥曲线专题一、求面积问题方法：利用焦点三角形及定义1、已知椭圆14922=+y x 的左右焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点， （1）若∠F 1PF 2=900，求△F 1PF 2的面积（2）若∠F 1PF 2=600，求△F 1PF 2的面积2、已知双曲线14522=-y x 的左右焦点为F 1、F 2，P 为双曲线上一点， （1）若∠F 1PF 2=900，求△F 1PF 2的面积（2）若∠F 1PF 2=600，求△F 1PF 2的面积二、求轨迹方程（一）与两个定圆相切的圆心轨迹方程（用圆心距解题）1.一动圆与两圆：012812222=+-+=+x y x y x 和都外切，则动圆的圆心 的轨迹方程是什么？2. 一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
（二）用代入法求轨迹1.已知圆922=+y x ，从圆上任意一点P 向x 轴作垂线段/PP ，点M 在/PP 上，并且/2MP =，求点M 的轨迹。
2.双曲线2219x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程。
三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）常用方法：方程的根与系数关系；弦长公式；对焦点弦要懂得用焦半径公式（连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。
点差法； （一）求相交弦长1．已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长.2.求直线1y x =+被双曲线2214y x -=截得的弦长；变式：双曲线X 2-22y =1,截得直线Y=x+M 所得的弦长为求M 的（二）中点问题1.已知中点坐标：以定点为中点的弦所在直线的方程（1）过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
圆锥曲线的面积问题(含解析)
圆锥曲线的面积问题一、单选题1．已知12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且12:4:3PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ）A ．24B ．26C ．D ．2．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ ∆的面积为( )A ．B ．C ．D ．二、解答题3．已知动点P 与平面上两定点()A 、)B 连线的斜率的积为定值12-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若()11,0F -，21,0F 过1F 的直线l 交轨迹C 于M 、N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点1)P -是椭圆C 上一点，离心率为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ：y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且在y 轴上有一点(0,2)M m ，当ABM 面积最大时，求m 的值.5．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为()F ，过F 的直线交E 于A 、C 两点，AC 的中点坐标为⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程；（2）过原点O 的直线BD 和AC 相交且交E 于B 、D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值.6．已知椭圆()2222:10x yE a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为22，且122F F =．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆的下顶点为B ，过右焦点2F 作与直线2BF 关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求OMN 的面积．7．已知椭圆22:143x y C +=左，右焦点分别为1F ，2F ，S 为椭圆上任意一点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）当22AF F B =时，求SA SB ⋅的最大值；（2）点M 在线段AB 上，且2AM MB =，点B 关于原点对称的点为点P ，求BPM △面积的取值范围.8．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，6过点2F 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当点1F 到直线l 的距离取最大值时，256AF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若222BF F A =，求1F AB 的面积．9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，其长轴为43P 作圆222:O x y b +=的两条切线，切点分别为A B 、，直线AB 与,x y 轴的交点分别为,E Q .（1）求椭圆的方程；（2）求EOQ △面积的最小值.10．已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A 、B 和点D 、E ，求四边形ABDE 面积的最大值.11．已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ，求PBC面积的最小值.12．已知离心率为22的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点)2,1M．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0作斜率为2直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求||AB 的长； （3）过点()1,0的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求OAB 的面积的最大值．13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()11,0F -，左顶点为A ，上、下顶点分别为B ，C .（1）若直线1BF 经过AC 中点M ，求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1BF 的斜率为1，1BF 与椭圆的另一交点为D ，椭圆的右焦点为2F ，求三角形2BDF 的面积.14．已知1F ，2F 是椭圆22:142x y C +=的左、右焦点．（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆C 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，l 与椭圆的另一个交点为B ，求12F F B △的面积．15．已知抛物线2:2C y x =．（Ⅰ）写出抛物线C 的准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；（Ⅱ）过点()2,0且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ． （i ）求点M 的坐标；（ⅱ）求OAM △与OAB 面积之和的最小值．16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率M是椭圆上的一个点，且12MF MF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()02,P y 是椭圆C 上位于第一象限内一点，直线l 平行于OP （O 为原点）交椭圆C 于A 、B 两点，点D 是线段AB 上（异于端点）的一点，延长PD 至点Q ，使得3PD DQ =，求四边形PAQB 面积的最大值.17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12．圆1C ：()2224210x y kx y k R ++--=∈的圆心为点k A ．（1）求椭圆G 的方程． （2）求12k A F F 的面积18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右两个焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点为圆心，过1F ，2F的圆的内接正三角形的面积为2F 为焦点的抛物线()2:20M y px p =>的准线与椭圆C 的一个公共点为P，且2PF =（1）求椭圆C 和抛物线M 的方程；（2）过2F 作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C 于A ，B 两点，另一条交抛物线M 于G ，H 两点，求四边形AGBH 面积的最小值.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点2P ⎭. （1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q .（i ）证明：直线PQ 与坐标轴平行；（ii ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积20．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，离心率为12，长轴长为4.（1）求椭圆方程；（2）若直线l 过椭圆左焦点且倾斜角为4π，交椭圆与A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB的面积.一、单选题1．已知12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且12:4:3PF PF =，则12PF F △的面积等于（ ） A ．24 B ．26C．D．【答案】A 【分析】由椭圆的定义可得18PF =，26PF =，1210F F =，由勾股定理可得12PF PF ⊥，即可得解. 【详解】由题意，椭圆249a =，所以7a =，所以12214PF PF a +==， 又12:4:3PF PF =，所以128,6PF PF ==，因为1210F F ==，所以2221212PF PF F F +=，所以12PF PF ⊥， 故12PF F △的面积1211862422S PF PF =⋅=⨯⨯=. 故选：A. 【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.2．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，则PFQ ∆的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D 【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点Q 的坐标，再由定义求出点P 坐标，结合三角形面积公式可得出结果. 【详解】因为28x y =，所以其焦点()02F ，，准线为y 2=-,所以()0,2Q -设().P m n ,由6PF =得26n +=，所以4n =，所以m =±则11S 422PFQ FQ m ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.二、解答题3．已知动点P 与平面上两定点()A 、)B 连线的斜率的积为定值12-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若()11,0F -，21,0F 过1F 的直线l 交轨迹C 于M 、N 两点，且直线l 倾斜角为45︒，求2MF N 的面积.【答案】（1）(2212x y x +=≠；（2）43. 【分析】（1）设点(),P x y 12=-，化简可得所求轨迹方程；（2）由题意可得直线l 的方程为：1y x =+，再与椭圆方程联立方程求出交点坐标，从而可求出2MF N 的面积为121212F F y y ⋅-. 【详解】（1）设点(),P x y 12=-，整理得2212x y +=，由于x ≠所以所求动点P 的轨迹C 的方程为：(2212x y x +=≠.（2）直线l 的斜率tan 451k =︒=， 故直线l 的方程为：1y x =+，与椭圆方程联立，消去x 得：23210y y --=，∴1y =或13y =-. ∴2MF N 的面积为12121423F F y y ⋅-=. 【点睛】此题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点1)P -是椭圆C 上一点，离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l ：y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，且在y 轴上有一点(0,2)M m ，当ABM 面积最大时，求m 的值.【答案】（1）22184x y +=；（2）. 【分析】（1）根据点1)P -是椭圆C 上一点，，由c e a ==，且22611a b +=求解.（2 ）先求得(0,2)m 到直线l 的方程为y x m =+的距离，再将直线y x m =+代入椭圆方程，结合韦达定理，利用弦长公式求得||AB ，再利用1||2ABM S AB d =⋅△求解. 【详解】（1）由题意可得2c e a ==，且22611a b +=，222a c b -=，解得a =2b c ==，则椭圆的方程为22184x y +=；（2）由直线l 的方程为y x m =+，则(0,2)m 到直线l的距离d =， 将直线y x m =+代入椭圆方程可得2234280x mx m ++-=， 由判别式()22Δ1612280m m =-->，解得m -< 设()11A x y ，，()22B x y ，，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式可得||AB ===1||2ABM S AB d =⋅△，||3m =，=22122m m -+≤=，当且仅当m =时取得等号.即当ABM 面积最大时，m 的值为. 【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题． 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长公式为AB ===(k 为直线斜率)． 注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．5．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为()F ，过F 的直线交E 于A 、C 两点，AC 的中点坐标为33⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程；（2）过原点O 的直线BD 和AC 相交且交E 于B 、D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）32163x y +=；（2）【分析】（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，分别代入椭圆方程作差，结合平方差公式和直线的斜率公式、中点坐标公式，可得a ，b 的关系，再由a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线AC 的方程，联立椭圆方程，可得A ，C 的坐标.设()33,B x y ，()44,D x y ，且直线BD 的斜率存在，设方程为y kx =(14OC k k <=)，联立椭圆方程，可得B ，D 的横坐标，则()1212ABCD ABCACDS SSAC d d =+=⋅+，(1d ，2d 分别表示B ，D 到直线AC 的距离)，运用点到直线的距离公式和换元法､基本不等式可得所求最大值. 【详解】解：（1）设()11,A x y ，()22,C x y ，可得2211221x y a b +=，2222222x y a b +=，两式相减得2221222212y yb x x a -=--，将12x x +=12y y +=代入上式， 即2212AC b k a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，222a b ∴=，又c =2223a b c -==，226,3a b ∴==，则椭圆E 的方程为32163x y +=；（2）直线AC的方程为0x y -+=，联立220163x y xy⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， AC ∴=设()33,B x y ，()44,D x y ，且直线BD 的斜率存在，设方程为y kx =(44OC k k <=)，联立2226y kx x y =⎧⎨+=⎩，得()22126k x +=，则||x =， 设1d ，2d 分别表示B ，D 到直线AC 的距离， 所以()1212ABCD ABCACDS SSAC d d =+=⋅+343k x x k x =-⋅-=-⋅===令140t k =->，则1(1)4k t =-，故4ABCD S =≤= 当且仅当9t t =，即3t =，12k =-时，四边形ABCD 的面积取得最大值【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中四边形面积的最值问题，属于较难题.6．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且122F F =．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆的下顶点为B ，过右焦点2F 作与直线2BF 关于x 轴对称的直线l ，且直线l 与椭圆分别交于点M ，N ，O 为坐标原点，求OMN 的面积．【答案】（1）2212x y +=；（2）23.【分析】（1）依题意得到方程，即可求出a 、c ，再根据222a c b -=，即可求出b ，从而得解； （2）由题可知，直线l 与直线2BF 关于x 轴对称，所以20B l F k k +=，即可求出直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，设()11,M x y ，()22,N x y ，即可求出M 、N 的坐标，从而求出MN ，再利用点到直线的距离公式求出原点O 到直线l 的距离d ，最后根据12△=⨯⨯OMN S MN d 计算可得；【详解】解：（1）由题得，222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因为222a c b -=，所以1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=．（2）由题可知，直线l 与直线2BF 关于x 轴对称，所以20B l F k k +=．由（1）知，椭圆E 的方程为2212x y +=，所以()21,0F ，()0,1B -，所以210101BF k --==-，从而1l k =-，所以直线l 的方程为()011y x -=-⨯-，即10x y +-=．联立方程2221034012x y x x x y +-=⎧⎪⇒-=⎨+=⎪⎩，解得0x =或43x =．设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨取10x =，243x =，所以当10x =，11y =；当243x =，213y =-，所以()0,1M ，41,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2241420133MN ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设原点O 到直线l 的距离为d ，则2d =，所以1142222332OMN S MN d =⨯⨯=⨯⨯=△．【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.7．已知椭圆22:143x y C +=左，右焦点分别为1F ，2F ，S 为椭圆上任意一点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（1）当22AF F B =时，求SA SB ⋅的最大值；（2）点M 在线段AB 上，且2AM MB =，点B 关于原点对称的点为点P ，求BPM △面积的取值范围. 【答案】（1）274；（2）(]0,1. 【分析】（1）由22AF F B =时，2F 为线段AB 的中点，根据椭圆的对称性，可知AB x ⊥轴，所以AB 是通径，长度为223b a=，利用()()2222SA SB SF F A SF F B ⋅=+⋅+计算可得最大值．（2）首先设:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,P x y --，利用面积比得212121221133323BPM ABP AOB S S S OF y y y y ===⨯⋅-=-△△△，直线方程代入椭圆方程整理应用韦达定理得1212,y y y y +，面积S 表示为m的函数S =，设t =后变形再利用函数的单调性得取值范围．【详解】（1）当22AF F B =时，2F 为线段AB 的中点，根据椭圆的对称性，可知AB x ⊥轴，所以22632b AB a ===，所以()()2222222222327324SA SB SF F A SF F B SF F A ⎛⎫⋅=+⋅+=--=⎪≤⎝⎭，当点S 在椭圆的左顶点时，等号成立，故SA SB ⋅的最大值为274. （2）由题可知()21,0F ，设:1l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,P x y --， 由题意可知，212121221133323BPM ABP AOB S S S OF y y y y ===⨯⋅-=-△△△， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my ++-=，由根与系数的关系得122643my y m -+=+，122943y y m-=+， 所12y y -==243m ==+， 令)1t t =≥，则24413133BPMt S t t ===++△，因为()13f t t t=+在[)1,+∞上是增函数，所以()()14f t f ≥=， 所以BPM △面积的取值范围为(]0,1. 【点睛】本题考查直线与椭圆相交，考查椭圆中的面积问题，平面向量的数量积，解题方法是“设而不求”的思想方法．直线方程（设出）与椭圆方程联立消元后应用韦达定理，再代入其他条件求解．8．已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当点1F 到直线l的距离取最大值时，2AF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若222BF F A =，求1F AB 的面积．【答案】（1）22165x y +=；（2. 【分析】（1）由题意可得226b AF a ==，再由2222221c b e a a ==-=⎝⎭，求出26a =，25b =，即可求解.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将直线与椭圆方程联立消去x ，求出12,y y ，再由222BF F A =可得212y y =-求出m ，由121212S F F y y =⋅-即可求解. 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ，当点1F 到直线l 的距离取最大值时，l x ⊥轴，此时22b AF a ==又椭圆C 的离心率e =，所以22222216c b e a a ⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭， 解得26a =，25b =，所以椭圆C 的标准方程为22165x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+． 代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=，>0∆，解得m ∈R ，由韦达定理得1221056my y m -+=+，①1222556y y m -=+，②若222BF F A =，则()()22111,21,x y x y --=-， 所以212y y =-， 代入①②得121056m y m =+，21225256y m =+， 消去1y ，得222102525656m m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得m =，所以121335268y y y -==⨯=⨯+，所以1F AB 的面积为121211222S F F y y =⋅-=⨯=． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算能力，属于难题.9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，其长轴为4，离心率为2，过椭圆上一点P 作圆222:O x y b +=的两条切线，切点分别为A B 、，直线AB 与,x y 轴的交点分别为,E Q .（1）求椭圆的方程； （2）求EOQ △面积的最小值.【答案】（1）2214x y +=；（2）12. 【分析】（1）利用已知条件求出,a b ，即可得到结果；（2）设点椭圆上点P 坐标为00(,)x y ，切点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，利用0,0OA AP OB BP ⋅=⋅=，得到,A B 所在的直线方程，求出点,E Q 的坐标，即可得出EOQ △面积，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）依题意，24,a =得2,a =1.2c e c b a ==∴== ∴椭圆方程为2214x y +=； （2）设点椭圆上点P 坐标为00(,)x y ，切点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ， 直线,AP BP 为圆O 的两切线， 圆O 方程为：221x y +=.∴0OA AP ⋅=，010111(,),(,)AP x x y y OA x y =--=，∴101101()()0OA AP x x x y y y ⋅=-+-=，得到：221010111x x y y x y ⋅+⋅=+=，即10101x x y y ⋅+⋅=， 同理可得20201x x y y ⋅+⋅=，所以点1122(,),(,)A x y B x y 同时满足直线方程001x x y y ⋅+⋅=，即直线AB 方程为：001x x y y ⋅+⋅=. 令0,x =得Q 点坐标为01(0,)y ， 令0,y =得E 点坐标为01(,0)x ， 所以00112EOQ S x y =⋅△，因为P 在椭圆上，有022014x y +=，所以0220001,4x y x y =+≥⋅得001 1.x y ≥⋅ 即EOQ S △最小值为12，当00|2|||x y ==. 所以EOQ △面积的最小值为12. 【点睛】关键点点睛：把平面解析几何中的垂直问题转换为向量问题求解，进而求出直线的方程，得到交点坐标，利用面积公式以及基本不等式求解最值.属于中档题.10．已知定点()1,0M -，圆()22:116N x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A 、B 和点D 、E ，求四边形ABDE 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）6. 【分析】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，可得出4MP NP MN +=>，符合椭圆的定义，可知曲线C 是以M 、N 为焦点的椭圆，由此可得出曲线C 的方程；（2）设直线2l 的方程为1x ty =+，设点()11,D x y 、()22,E x y ，将直线2l 的方程与曲线C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出DE ，同理得出AB ，并计算出两平行直线1l 、2l 的距离，可得出四边形ABDE 的面积关于t 的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出四边形ABDE 面积的最大值. 【详解】（1）由中垂线的性质得PM PQ =，42MP NP PQ NP MN ∴+=+=>=， 所以，动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则2a =，b =，因此，曲线C 的方程为:22143x y +=；（2）由题意，可设2l 的方程为1x ty =+，联立方程得()2222134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩， 设()11,D x y 、()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩，所以()2212134t DE t +===+， 同理()2212134t AB t +=+，1l 与2l 的距离为d =，所以，四边形ABDE 的面积为22434S t =⨯+，u =，则1u ≥，得224241313u S u u u ==++，由双勾函数的单调性可知，函数13y u u=+在[)1,+∞上为增函数，所以，函数2413S u u=+在[)1,+∞上为减函数， 当且仅当1u =，即0t =时，四边形ABDE 的面积取最大值为6. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及椭圆的定义，同时也考查了直线与椭圆中四边形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查计算能力，属于中等题.11．已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ，求PBC面积的最小值.【答案】（1）22y x =（2）8 【分析】（1）求出抛物线的焦点，设出直线MN 的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得2a =，进而得到抛物线方程；（2）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ，不妨设b c >，直线PB 的方程为00y by b x x --=，由直线与圆相切的条件：d r =，化简整理，结合韦达定理以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为,04a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则过点F 且斜率为1的直线方程为4ay x =-， 联立抛物线方程2y ax =，消去y 得：2230216a ax x -+=，设()()1122,,,M x y N x y ，则1232a x x +=， 由抛物线的定义可得12||242aMN x x a =++==，解得2a =，所以抛物线的方程为2:2y x Γ=（2）设()00,P x y ，()0,B b ，()0,C c ， 不妨设b c >，00:PB y bl y b x x --=化简得：()0000y b x x y x b --+=， 圆心()1,0到直线PB 的距离为1，1=，即()()()222220000002y b x y b x b y b x b -+=-+-+，不难发现02x >，上式又可化为()2000220x b y b x -+-=，同理有()2000220x c y c x -+-=，所以,b c 可以看做关于t 的一元二次方程()2000220x t y t x -+-=的两个实数根，0022y b c x -⇒+=-，()()220002020042()22x y x x bc b c x x +--=⇒-=--， 由条件：2002y x =()2220042()22x x b c b c x x ⇒-=⇒-=-- ()()20000014()248222PBCx S b c x x x x ∆=-==-++≥--， 当且仅当04x =时取等号. ∴PBC 面积的最小值为8. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：d r =，以及基本不等式的运用，属于中档题.12．已知离心率为2的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点)M．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0作斜率为2直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求||AB 的长； （3）过点()1,0的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求OAB 的面积的最大值．【答案】（1）22142x y +=；（2；（3）2【分析】（1）由题意，可列出方程组得22222211c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，即可求出椭圆方程；（2）直线:22l y x =-，联立222422x y y x ⎧+=⎨=-⎩，整理得291640x x -+=，写出韦达定理，最后利用椭圆弦长公式能求出||AB 的长；（3）当直线l 的斜率不存在时，直线l x ⊥轴，分别求出A ，B 的坐标，根据12112S y y =-⨯求出OAB 的面积；当直线l 的斜率存在，且不为0时，可得直线l 的方程为：1x my =+，与椭圆的方程联立，得()222230m y my ++-=，写出韦达定理12y y +和12y y ，再根据12112S y y =-⨯=OAB 的面积，最后根据双勾函数的性质求出面积的取值范围，综合即可得出OAB 的面积的最大值. 【详解】解：（1）由题可知，椭圆C，且椭圆过点)M ，则222222211c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：24a =，222c b ==， 故椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）过点(1,0)作斜率为2直线l ，∴直线:22l y x =-，联立2214222x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得：291640x x -+=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12169x x +=，1249x x =， 2221212216164||()4535999AB x x x x ∴=+-=-=；（3）由于直线l 过点()1,0直线l ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l x ⊥轴，此时将1x =代入22142x y +=，解得：2y =±， 即A ，B的坐标分别为,1,⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 则OAB的面积为：1211122S y y =-⨯==当直线l 的斜率存在，且不为0时，可设直线l 的方程为：1x my =+，联立221421x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：()222230m y my ++-=， 则12122223,11m y y y y m m --+==++， 而OAB 的面积为：12112S y y =-⨯=即S ==221222m m ==⨯=++令t =>2246t m =+，得 2264t m -=，所以(224426224t t S t t t t t ====>-+++， 由于t >23t t +>=，则(422S t t t=<=>+ 所以综上得：2S ≤，所以OAB 的面积最大值为2【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，解题关键是根据离心率和椭圆的简单几何性质，找到关于,,a b c 的等量关系，考查椭圆弦长的求法以及根据直线与椭圆的位置关系和应用韦达定理求出12y y +和12y y ，从而解决椭圆中三角形面积的最值问题，考查分析解题能力和函数与方程的思想，属于难题.13．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()11,0F -，左顶点为A ，上、下顶点分别为B ，C .（1）若直线1BF 经过AC 中点M ，求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1BF 的斜率为1，1BF 与椭圆的另一交点为D ，椭圆的右焦点为2F ，求三角形2BDF 的面积. 【答案】（1）22198x y ；（2）43. 【分析】（1）由题意，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -，由左焦点为()11,0F -，得1c =，从而可得直线1BF ：y bx b =+，然后将点,22a b M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的坐标代入直线方程可求出3a =，再由22221a b c b =+=+可求出b 的值，从而可得椭圆方程；（2）由题意可得椭圆方程为2212x y +=，直线1BF ：1y x =+，两方程联立方程组可求得点41,33D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，从而可求得三角形2BDF 的面积为1212B D S F F y y =⋅-【详解】解：（1）由题意，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -，又()11,0F -，所以1c =，直线1BF ：y bx b =+. M 为AC 的中点，所以,22a b M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 代入直线1BF ：y bx b =+，则3a =，由22221a b c b =+=+，所以28b =，29a =， 所以椭圆E 的标准方程是22198x y .（2）因为直线1BF 的斜率为1，则1b c ==，a =M ：2212x y +=，又直线1BF ：1y x =+，由22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得0x =（舍），或43x =-，所以41,33D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因为()11,0F -，21,0F ，()0,1B ， 所以三角形2BDF 的面积为121114212233B D S F F y y ⎛⎫=⋅-=⨯⨯--= ⎪⎝⎭. 【点睛】此题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题14．已知1F ，2F 是椭圆22:142x y C +=的左、右焦点．（1）求椭圆C 的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆C 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，l 与椭圆的另一个交点为B ，求12F F B △的面积．【答案】（1）12(F F，e =（2【分析】（1）根据椭圆的方程求出2,a c ==C 的焦点坐标和离心率；； （2）先写出直线l 的方程，再与椭圆联立求出点B 的坐标，进而求出△12F F B 的面积． 【详解】（1）因为椭圆方程为22142x y +=，所以，2,a c =焦点坐标分别为12(F F ，离心率2c e a ==． （2）椭圆C 的左顶点为(2,0)A -，直线l 的方程为2y x =+，由222142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理可得：23840x x ++=，解得1222,3x x =-=-，所以点B 坐标为24(,)33-，所以12121414||23233F F BSF F =⨯⨯=⨯=． 【点睛】本题考查求椭圆的标准形式及直线与椭圆的综合，以及三角形的面积公式的应用，属于基础题．15．已知抛物线2:2C y x =．（Ⅰ）写出抛物线C 的准线方程，并求抛物线C 的焦点到准线的距离；（Ⅱ）过点()2,0且斜率存在的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点M ． （i ）求点M 的坐标；（ⅱ）求OAM △与OAB 面积之和的最小值．【答案】（Ⅰ）准线方程是12x =-，抛物线的焦点到准线的距离为1．（Ⅱ）（i ）(2,0)M -．（ii）【分析】（Ⅰ）根据抛物线的定义直接得出结论；（Ⅱ）（i ）设1122(,),(,)A x y B x y ，设AB l ：2x my =+，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AD 方程，求出它与x 轴的交点坐标即得；（ii ）由（i ）的结论计算三角形面积和OAM OAB S S +△△，结合基本不等式可得． 【详解】（Ⅰ）由题意22p =，1p =，所以准线方程是12x =-，抛物线的焦点到准线的距离（Ⅱ）（i ）令1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)D x y -，且令10y >， 令AB l ：2x my =+，由222x my y x=+⎧⎨=⎩，得2240y my --=， 所以122y y m +=，124y y =-， 则直线AD 的方程为21212111112121221()()()()2y y y y y y x x x x x y x x m y y y y ++-=-=-=----，当0y =时，21211()()2y y y x y --=-，所以122y y x =，又124y y =-，所以2x =-，即(2,0)M -． （ii ）1122OAM S y =⨯⋅△，12112222OAB S y y =⨯⋅+⨯⋅△， 则1121142OAM OAB S S y y y y y -+=++=+△△1142y y =+≥=当且仅当1142y y =，即1y =所以面积之和的最小值为． 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，考查了学生运算求解能力，属于中档题．16．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的离心率M是椭圆上的一个点，且12MF MF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()02,P y 是椭圆C 上位于第一象限内一点，直线l 平行于OP （O 为原点）交椭圆C 于A 、B 两点，点D 是线段AB 上（异于端点）的一点，延长PD 至点Q ，使得3PD DQ =，求四边形PAQB 面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）最大值为8.（1）利用椭圆的定义可求得a 的值，结合离心率可求得c 的值，根据a 、b 、c 的关系可求得b 的值，进而可求得椭圆C 的标准方程；（2）计算出点P 的坐标为()2,1，可得出直线OP 的斜率为12，可设点()11,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程()102y x t t =+≠，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理并求得AB ，求出点P 到直线l 的距离d ，由已知条件得出4PAB PAQB S S =△四边形，然后利用基本不等式可求得四边形PAQB 面积的最大值.【详解】（1）由椭圆的定义及1242MF MF +=，得242a =，即22a =. 设椭圆半焦距为c ，因为3c a =，所以36c a ==，则2222b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）将点P 的坐标代入椭圆C 的方程得2202182y +=，00y >，可得01y =，即点()2,1P ，所以12OP k =， 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线l 的方程()102y x t t =+≠，联立2212182y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理可得222240x tx t ++-=， 由()()2224424440t t t∆=-⋅-=->，又0t ≠，则204t<<，且122x x t +=-，21224x x t =-，所以弦长()()221212114544AB x x x x t =++-=-P 到直线AB 的距离为d，则d ==设Q 到直线AB 的距离为d '，由3PD DQ =得3PD DQ =，所以3d d '=， 所以113322QAB PAB S d AB d AB S '==⋅=△△，所以422PAB QAB PAB PAQB S S S S d AB ===+=△△△四边形224482t t +-=≤⨯=，当且仅当22t =时，等号成立， 因此，四边形PAQB 面积的最大值为8. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中四边形面积最值的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题.17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2，两个焦点分别为1F 和2F ，椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12．圆1C ：()2224210x y kx y k R ++--=∈的圆心为点k A ．（1）求椭圆G 的方程． （2）求12k A F F 的面积【答案】（1）221369x y +=；（2）12k A F F S =△． 【分析】（1）根据离心率以及椭圆定义求解出,a c 的值，即可求解出2b 的值，则椭圆G 方程可求；（2）将圆的一般方程化简为标准方程，即可求解出圆心k A 的坐标，根据121212k K A F F A S F F y ⨯⨯=△即可求解出12k A F F 的面积.【详解】（1）设椭圆G 的方程为：()222210x y a b a b+=>>，设半焦距为c，则212a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得6a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴22236279b a c =-=-=，所求椭圆G 的方程为：221369x y +=；（2）圆1C ：()2224210x y kx y k R ++--=∈，即()()222225x k y k ++-=+，则点k A 的坐标为(),2k -，则1212112222k A F F S F F ⨯⨯=⨯==△ 【点睛】本题考查椭圆方程的求解以及由圆的方程确定圆心，主要考查学生的基本计算能力，难度一般.18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右两个焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点为圆心，过1F ，2F的圆的内接正三角形的面积为2F 为焦点的抛物线()2:20M y px p =>的准线与椭圆C 的一个公共点为P，且2PF =（1）求椭圆C 和抛物线M 的方程；（2）过2F 作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C 于A ，B 两点，另一条交抛物线M 于G ，H 两点，求四边形AGBH 面积的最小值.【答案】（1）22:184x y C +=；2:8M y x =；（2）()minAGBHS =四边形.【分析】（1）根据三角形的面积求解出c 的值，从而抛物线方程可求，再求解出1PF 的长度，并根据椭圆的定义求解出a 的值，从而椭圆的方程可求；（2）分直线的斜率0k =和0k ≠讨论：当0k =时直接计算；当0k ≠时分别联立直线与椭圆、抛物线，利用弦长公式表示出,AB GH ，根据12AGBH S AB GH =四边形求解出四边形AGBH 面积的最小值. 【详解】（1）圆O 半径为c，故内接正三角形的面积为2324c c =⇒= ∴22p=，即2:8M y x =又2PF =124F F =，故1PF =∴122a PF PF a =+==2224b a c =-=∴椭圆22:184x y C +=. （2）由已知得直线AB 的斜率存在，记为k（i ）当0k =时，AB =8GH =，故AGBH S =四边形（ii ）当0k ≠时，设():2AB y k x =-，代入2228x y +=，得：()2222128880k xk x k +-+-=∴22112k AB k +==+.此时，()1:2GH y x k=--，代入28y x =得：()228440x k x -++=∴()281GH k ==+.∴()2242211121212AGBHk k SAB GH k k +⎫===+>⎪++⎭四边形综上，()minAGBH S =四边形.【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到椭圆和抛物线的方程求解、直线与圆锥曲线交点围成面积的最值，对学生的计算能力要求较高，难度一般.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点P ⎭. （1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q .（i ）证明：直线PQ 与坐标轴平行；（ii ）当AP BP ⊥时，求四边形APBQ 的面积【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）见解析，（ii ）85 【分析】（1）根据题意2a =，将点P ⎭代入椭圆方程即可求解.（2）（i ）利用分析法，只需证直线PQ的方程为x =或y =，只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可，设直线l ：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线与椭圆联立，消y ，利用韦达定理求出0PA PB k k +=即可证出；（ii ）可知直线AP和BP 的倾斜角应该分别为45︒，135︒，即斜率分别为1和-1，不妨令1PA k =，1PB k =-，求出直线PA 的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出点A 的坐标，同理求出点B ，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）解：2a =，将2P ⎭代入椭圆方程，得222214b ⎛ ⎝⎭+=， 解得1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）（i ）证明：∵PQ 平分APB ∠，欲证PQ 与坐标轴平行， 即证明直线PQ的方程为x2y =， 只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可. 当PA 或PB 斜率不存在时，即点A 或点B为2-⎭， 经检验，此时直线l 与椭圆相切，不满足题意，故PA ，PB 斜率都存在. 设直线l ：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立222214222012x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩， 2480m ∆=-+>，∴22m <，由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =-，12PA PBy y k k --+=((1221y x y x ⎛⎛+ =，((1221y x y x ⎛⎛+-⎝⎭⎝⎭))121212212x x y y x y x y =++++)121212************x x x m x m x x m x x m ⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++++⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭(()12122m x x x x =-+++(()222220m m m =-+-+-=，得证.（ii ）解：若AP BP ⊥，即90APB ∠=︒，则可知直线AP 和BP 的倾斜角应该分别为45︒，135︒， 即斜率分别为1和-1，不妨就令1PA k =，1PB k =-， 则PA l：y x -=y x =，22214520x y x y x ⎧+=⎪⎪⇒--=⎨⎪=⎪⎩，已知x =125=-，∴15x =-，∴510A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，同理，可得,510B ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，AB == 因为A P B x x x <<，故PQ 的方程只能是x .设直线l 的倾斜角为α，与PQ 所成角为θ，故90αθ+=︒， 而1tan 2α=，故tan2θ=，∴sin 5θ=，又PQ =1sin 2APBQ S AB PQ θ=⋅182555=⨯=. 【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的面积问题，考查了运算求解能力，属于难题.20．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，离心率为12，长轴长为4.（1）求椭圆方程；（2）若直线l 过椭圆左焦点且倾斜角为4π，交椭圆与A ，B 两点，O 为坐标原点，求AOB的面积.【答案】（1）22143x y +=；（2）7. 【分析】（1）根据题意，列出关于,,a b c 的方程组，求解从而求得椭圆的方程；（2）结合（1），写出椭圆的左焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，联立方程组，利用弦长公式求得247AB =，利用点到直线的距离求得2h =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】（1）由题，2221224c a a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴椭圆方程为22143x y +=.（2）由（1）知椭圆左焦点1(1,0)F -， 直线l 的斜率tan14πk ==，∴直线l 的方程为10x y -+=. 设()11,A x y ､()22,B x y ，联立椭圆和直线方程2214310x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩。
专题3-2 圆锥曲线中的三角形面积-(人教A版2019选择性必修第一册) (教师版)
圆锥曲线中的三角形面积圆锥曲线中三角形面积的求法①焦点三角形面积椭圆x 2a2+y2b2=1的焦点三角形∆PF1F2面积S=b2tan∠P2，双曲线x 2a2−y2b2=1的焦点三角形∆PF1F2面积S=b2tan∠P2(其中点P在椭圆或双曲线上).②直线与圆锥曲线中的三角形面积(以下以椭圆为例)(1)S∆=12×底×高，适合一切题型，属于通法，但计算量会大些，如图，S∆PAB=12∙AB∙PC(其中底为弦长AB，高为点P到直线AB的距离)(2)S∆=12absinC，适合边角已知的题型；(3) 拆补法，适合三角形某一顶点在坐标轴上的题型；情况1如图，点P在x轴上，直线AB交x轴于点C，当A,B是在x轴异侧时，S∆PAB=S∆PAC+S∆PBC=12∙PC∙|y A|+12∙PC∙|y B|=12∙PC∙|y A−y B|当A,B是在x轴同侧时，S∆PAB=S∆PAC−S∆PBC=12∙PC∙|y A|−12∙PC∙|y B|=12∙PC∙|y A−y B|注:不管A,B 在x 轴同侧还是异侧，公式S ∆PAB =12∙PC ∙|y A −y B |依然成立.若点P 在y 轴类似可得S ∆PAB =12∙PC ∙|x A −x B |. 情况2 如图，点P 在x 轴上，直线AB 的倾斜角为θ， 当AB 是在x 轴异侧时，S ∆PAB =S ∆PAC +S ∆PBC =12∙PC ∙AC ∙sin (π−θ)+12∙PC ∙BC ∙sin θ=12∙PC ∙AB ∙sin θ.当AB 是在x 轴同侧时，S ∆PAB =S ∆PAC −S ∆PBC =12∙PC ∙AC ∙sin θ−12∙PC ∙BC ∙sin θ=12∙PC ∙AB ∙sin θ.注:不管A,B 在x 轴同侧还是异侧，公式S ∆PAB =12∙PC ∙AB ∙sin θ依然成立.(点在y 轴类似)【典题1】设双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的左、右焦点分别为F 1 ,F 2，P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则离心率e = . 【解析】方法一 由题意可知a =1， 设|PF 2|=m ,|PF 1|=n ，可得|m －n|=2 ∵△PF 1F 2的面积为4 ∴12mn =4⇒mn =8(遇到焦点三角形△PF 1F 2，想到定义和解三角形的内容) ∵F 1P ⊥F 2P ∴m 2+n 2=4c 2∴(m −n )2+2mn =4c 2⇒4c 2=4+16=20⇒c =√5∴e =ca =√5.方法二 由双曲线焦点三角形面积公式S =b 2tan∠P 2，(椭圆焦点三角形面积公式S =b 2tan∠P 2)由题意可知b 2tan45°=4，∴b =2又∵a =1，∴c =√5， ∴e =c a=√5.【典题2】已知直线l 与双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的两条渐近线分别交于A (x 1 ,y 1)、 B(x 2 ,y 2)两点，且x 1x 2>0，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，且△AOB 的面积为2√3，则E 的离心率为 . 【解析】∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，S △AOB =2√3， ∴{OA ⋅OB ⋅cos∠AOB =−412OA ⋅OB ⋅sin∠AOB =2√3，∴tan∠AOB =−√3 , ∴∠AOB =120°， 故∠AOx =60° , 又直线OA 方程为y =ba x , ∴ba =tan60°=√3，即b =√3a ， ∴e =c a =2.【点拨】本题对“OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4”的处理是用数量积的定义得到OA ⋅OB ⋅cos∠AOB =−4， 而△AOB 的面积用到S △AOB =12⋅OA ⋅OB ⋅sin∠AOB 比较合理.【典题3】已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于√3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点． (1) 求双曲线的方程；(2) 若△F 1AB 的面积等于6√2，求直线l 的方程． 【解析】(1)过程略，x 2−y 23=1.(2) 方法一 设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)，当直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程x =2， 此时易得S △F 1AB =12≠6√2， 故可设直线l 的方程为y =k(x −2)，由{y =k(x −2)x 2−y 23=1，得(k 2−3)x 2−4k 2x +4k 2+3=0，∵有两个交点，∴k ≠±√3，且x 1+x 2=4k 2k 2−3,x 1x 2=4k 2+3k 2−3，∴|AB |=√1+k 2∙√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2∙6√k 2+1k 2−3=6(k 2+1)k 2−3, ∵F 1(−2 ,0)到直线l 的距离d =√1+k 2，∴△F 1AB 的面积S =12∙d ∙|AB |=12∙√1+k 2∙6(k 2+1)k 2−3=12|k |∙√k 2+1k 2−3=6√2，(利用三角形面积公式S ∆=12×底×高) ∴k 4+8k 2−9=0，解得k =±1， ∴所以直线l 的方程为y =±(x −2)． 方法二 设A(x 1 ,y 1) ,B(x 2 ,y 2)，同方法一可得：k ≠±√3，且x 1+x 2=4k 2k 2−3，x 1x 2=4k 2+3k 2−3，∴|y 1－y 2|=|k(x 1－x 2)|=|k |∙√(4k 2)2−4(k 2−3)(4k 2+3)|k 2−3|=6|k|∙√k 2+1|k 2−3|，∴△F 1AB 的面积S =12|F 1F 2||y 1－y 2|=12∙|k|∙√k 2+1|k 2−3|=6√2，(由于点F 1在x 轴，利用S =12|F 1F 2||y 1－y 2|)化简得k 4+8k 2－9=0，解之得k 2=1，∴k =±1， 得直线l 的方程为y =±(x －2). 【点拨】① 注意分类讨论直线l 的斜率是否存在；② 因为直线过双曲线内的点，故不要看判别式∆是否大于0，但要注意k 2－3≠0⇒k ≠±√3；③ 第二问方法一是利用三角形面积公式S ∆=12×底×高，得S =12∙|AB |∙d ，其中以弦长AB 为底，点F 1到直线AB 的距离为高；方法二利用分拆三角形的方法得S =12|F 1F 2||y 1－y 2|，此时要理解“不管AB 是在x 轴同侧还是异侧，公式依然成立”.【典题4】过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 且倾斜角为π3的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且|AF|=|FC| ,|BC|=2． (1)求抛物线C 的方程；(2)直线l 交抛物线C 于D 、E 两点，且这两点位于x 轴两侧，与x 轴交于点M , 若OD →•OE →=4，求S △DFO +S △DOE的最小值．【解析】(1)过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为A 1，过点B 作准线的垂线，垂足为 B 1， 设准线与x 轴交于点G ，如图所示，∵∠AFx =∠CBB 1=π3,BC =2，∴BB 1=1，∴BF =1，又点F 为AC 的中点， ∴AF =CF =BC +BF =3，∴|GF|=12|AA 1|=12|AF|=32，∴p =32，所以抛物线C 的方程为y 2=3x ．(注意抛物线定义和平几知识的运用) (2)设 D(x 1 ,y 1) ,E(x 2 ,y 2) , 设y 1>0 ,y 2<0， l DE ：x =my +t ，(这样设方程计算简便些)联立得方程组 {x =my +ty 2=3x ，得 y 2－3my －3t =0，∴{y 1+y 2=3m y 1y 2=−3t ， ∴OD →⋅OE →=x 1x 2+y 1y 2=y 123⋅y 223+y 1y 2=4，(曲线代换：利用抛物线方程消“x 1x 2”) ∴y 1y 2=3(舍去)或 y 1y 2=－12， ∴－3t =－12，∴t =4，即M(4 ,0)，∴S △DFO +S △DOE =12|OF|⋅y 1+12|OM|⋅(y 1−y 2)=38y 1+2(y 1−y 2)=198y 1+(−2y 2)⩾2√198×2|y 1y 2|=2√194×12=2√57，(当且仅当198y 1=−2y 2，即y 1=8√5719,y 2=−√572时，取到等号) ∴S △DFO +S △DOE 的最小值为2√57．【点拨】在抛物线上设直线方程为l DE ：x =my +t 较为常见，同时也配合上三角形面积S △DFO +S △DOE =12|OF|⋅|y 1|+12|OM|⋅|y 1−y 2|.【典题5】 已知A 、B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右顶点，B(2 ,0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆于点M ,N ，交直线x =4于点P ，且直线PA 、PF 、PB 的斜率成等差数列，R 和Q 是椭圆上的两动点，R 和Q 的横坐标之和为2，RQ 的中垂线交x 轴于T 点 (1)求椭圆C 的方程；(2)求△MNT 的面积的最大值.【解析】(1)由题意知a =2，A(−2 ,0)，设P (4 ,y 0) ,F(c ,0)，∴k PA =y 06 ,k PB =y 02 ,k PF =y 04−c, 依题意可知2y 04−c=y 06+y 02，解得c =1 ,∴b 2=a 2−c 2=3，∴椭圆C 的方程x 24+y 23=1.(2)设R (x 1 ,y 1) ,Q(x 2 ,y 2)，∵R 和Q 的横坐标之和为2 ， ∴x 1+x 2=2， ∵R 、Q 均在椭圆上， ∴x 124+y 123=1 ① x 224+y 223=1 ② (点差法)①−②得 y 1−y 2x 1−x 2=−32(y1+y 2)，设T(t ,0)，由中垂线性质得TR =TQ ，即√(t −x 1)2+y 12=√(t −x 2)2+y 22，化简得2t =2+y 12−y 22x 1−x 2=2+(y 1+y 2)y 1−y 2x 1−x 2=2−32=12，∴t =14， 即T(14,0). 设M (x 3 ,y 3) ,N(x 4 ,y 4)，直线MN:x =my +1与椭圆联立可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， ∴y 3+y 4=6m 3m 2+4 ,y 3y 4=−93m 2+4，(因为直线MN 过椭圆内一点F ，故m 可取全体实数R ，不需要考虑判别式∆>0) ∴|y 3−y 4|2=(y 3+y 4)2−4y 3y 4=36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=144m 2+1(3m 2+4)2，令n =m 2+1≥1，(使用换元法降次，化难为简，函数思想注意自变量的取值范围) 则|y 3−y 4|2=144∙n(3n+1)2=144∙19n+1n+6∵y =9n +1n 在[1 ,+∞)是递增的，∴y min =10，(由对勾函数图像易得，由于n ∈[1 ,+∞)不能用基本不等式) ∴|y 3−y 4|max 2=144∙110+6=9，即|y 3−y 4|max =3，故S max =12∙FT ∙|y 3−y 4|max =12×34×3=98. 【点拨】① “R 和Q 的横坐标之和为2”这条件可想到“中点弦问题”的点差法，避免设直线RQ 方程导致计算量增大； ② 本题最重要的想法是求△MNT 的面积，用到了公式S =12∙FT ∙|y 3−y 4|，同时设直线方程为MN:x =my +1，联立方程时消x 得到y 的一元二次方程较易得到|y 3−y 4|的表达式，大大减少了计算量，也避免直线斜率是否存在的分类讨论；④ 求函数形如y =a 1x 2+b 1x+c1a 2x 2+b 2x+c 2最值问题，其中涉及对勾函数或基本不等式、换元法等内容，同时要注意自变量的取值范围，这是常考的题型. 巩固练习1(★★) 设F 1 ,F 2是椭圆x 29+y 26=1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△F 1PF 2的面积等于 . 【答案】 2√3【解析】由|PF 1|+|PF 2|=6，且|PF 1|：|PF 2|=2：1， ∴|PF 1|=4,|PF 2|=2，又|F 1F 2|=2√9−6=2√3 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=42+22−(2√3)22×4×2=12，∴sin∠F 1PF 2=√32∴S F 1F 2P =12|PF 1||PF 2|sin∠F 1PF 2=2√32(★★) 过双曲线x 23−y 2=1的右焦点F ，作倾斜角为60°的直线l , 交双曲线的渐近线于点A 、B ，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 . 【答案】3√32【解析】不妨设点A 在第一象限，点B 在第四象限，因为∠OFB =60°, 双曲线x 23−y 2=1的渐近线方程：y =±√33x ， 所以∠AOF =30°，所以∠FOB =30°，所以∠OBA =∠OBF =90°，所以|OB|=|OF|cos30°=√3．又∠AOB =60°，则∠OAB =30°，所以|OA|=2|OB|=2√3，所以|AB|=3， 从而△OAB 的面积为：12⋅|OA||OB|sin60°=3√32． 故选：C ．3 (★★) 抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ,N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，且NM →⋅NF →=0，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为 . 【答案】 6√2【解析】由抛物线C ：y 2=8x 可得焦点F(2,0)，准线方程为x =－2 由题意设N(－2,m)，M(0,n),设n >0，MF 的中点E(1，n2)，因为E 在抛物线C 上，所以n 24=8×1，所以n =4√2，① 因为：NM →=(2,n －m)，NF →=(4,－m)，又NM →⋅NF →=0，所以2×4－m(n －m)=0，即m(n －m)=8②， ① 代入②可得m =2√2，所以S △NMF =S △MFO +S 梯形NN ′OM －S △NN ′F=12×2×4√2+12(4√2+2√2)×2−12×4×2√2=6√24 (★★) 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0 ,b >0)的离心率为√5，虚轴长为4． (1)求双曲线的标准方程；(2)过点(0 ,1)，倾斜角为45°的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求∆OAB 的面积． 【答案】 (1) x 2−y 24=1 (2) 43【解析】(Ⅰ)依题意可得{ca=√5 2b=4c2=a2+b2，解得a=1,b=2,c=√5，∴双曲线的标准方程为x2−y24=1．(Ⅰ)直线l的方程为y=x+1设A(x1,y1),B(x2,y2)由{y=x+1x2−y24=1可得3x2−2x−5=0，由韦达定理可得x1+x2=23,x1x2=−53即|AB|=√1+k2∙√(x1+x2)2−4x1x2=√2∙√49+203=8√23原点到直线l的距离为d=√22于是S∆OAB=12∙|AB|∙d=12∙8√23∙√22=43∴∆OAB的面积为43.5(★★) 椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(1 ,32)，离心率为12，左、右焦点分别为F1 ,F2，过F1的直线交椭圆于C ,D两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当△F2CD的面积为12√27时，求直线的方程．【答案】(1)x24+y23=1(2)x－y+1=0或x+y+1=0【解析】(1)∵椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(1,32)，∴1a2+94b2=1①，又∵离心率为12，∴ca=12, ∴b2a2=34②，联立①②得a2=4,b2=3．∴椭圆的方程为：x24+y23=1(2)①当直线的倾斜角为π2时，取C(−1,32),D(−1,−32)．S△ABF2=12|CD|•|F1F2|=12×3×2≠12√27，不适合题意．②当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程l：y=k(x+1)，代入x 24+y23=1得：(4k2+3)x2+8k2x+4k2－12=0设C(x1,y1),D(x2,y2)，则x1+x2=−8k24k2+3，x1x2=4k2−124k2+3，∴|CD|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k2)[64k4(4k2+3)2−4(4k2−12)4k2+3]=12(1+k2)4k2+3．点F2到直线l的距离d=√1+k2∴S△ABF2=12|AB|•d=12|k|√1+k24k2+3=12√27，化为17k4+k2－18=0，解得k2=1，∴k=±1，∴直线方程为：x－y+1=0或x+y+1=0．6(★★★)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1 ,F2，线段OF1 ,OF2的中点分别为B1 ,B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P ,Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．【答案】(1)e=25,x220+y24=1(2)169√10【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，F2(c,0)∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=|AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即b=c2∵c2=a2－b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴e=ca =25√5在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=12|B1B2||OA|=c2⋅b=b2∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为x220+y24=1；(Ⅰ)由(Ⅰ)知B1(－2,0)，B2(2,0)，由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my－2代入椭圆方程，消元可得(m2+5)y2－4my－16=0①设P(x1,y1)，Q(x2,y2)∴y1+y2=4mm2+5，y1y2=−16m2+5∵B 2P →=(x 1−2,y 1)，B 2Q →=(x 2−2,y 2) ∴B 2P →⋅B 2Q →=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=−16m 2−64m 2+5∵PB 2⊥QB 2，∴B 2P →⋅B 2Q →=0 ∴−16m 2−64m 2+5=0，∴m =±2当m =±2时，①可化为9y 2±8y －16=0， ∴|y 1－y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=89√10 ∴△PB 2Q 的面积S =12|B 1B 2||y 1－y 2|=12×4×89√10=169√10．7 (★★★) 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 是椭圆的焦点， 点A(0 ,－2)，直线AF 的斜率为2√33，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A 的直线与C 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【答案】(1)x 24+y 2=1 (2) y =±√72x －2【解析】(1)设F(c,0)，由题意k AF =2c =2√33， ∴c =√3，又∵离心率ca =√32，∴a =2，∴b =√a 2−c 2=1，椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，方程为y =kx －2， 联立直线与椭圆方程：{x 24+y 2=1y =kx −2，化简得：(1+4k 2)x 2－16kx +12=0，由△=16(4k 2－3)>0,∴k 2>34，设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，则 x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，∴|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅4√4k 2−31+4k 2，坐标原点O到直线的距离为d=√k2+1S△OPQ=12√1+k2∙4√4k2−31+4k2∙√k2+1=4√4k2−31+4k2，令t=√4k2−3(t>0)，则S△OPQ=4tt2+4=4t+4t，∵t+4t ≥4，当且仅当t=4t，即t=2时等号成立，∴S△OPQ≤1，故当t=2，即√4k2−3=2，k2=74>34，∴k=±√72时，△OPQ的面积最大，此时直线的方程为：y=±√72x－2．8(★★★★) 已知双曲线C的一个焦点为(−√5 ,0)，且过点Q(2√5 ,2)．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P(x0 ,y0)(y0≥1)在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M(m ,0)(−√5<m<√5)、N，设过点F1 ,N的直线l与C交于D ,E两点．(1) 求C的标准方程；(2) 求△F2DE的面积最大值．【答案】(1)x24−y2=1(2) 4√30【解析】(Ⅰ)知双曲线的左、右焦点分别为F1(−√5,0)，F2(√5,0)，又∵双曲线过点Q(2√5,2)，∴2a=||QF1|−|QF2||=√(2√5+√5)2+(2−0)2−√(2√5−√5)2+(2−0)2=4，解得a=2,b=√5−4=1,则双曲线C的标准方程为x 24−y2=1；(Ⅰ)由F1、F2为C 的左右焦点，F1(−√5,0),F2(√5,0)，直线PF1方程为y=0x+√5+√5)，直线PF2方程为y=0x−√5−√5)，即直线PF1方程为y0x－(x0+√5)y+√5y0=0，直线PF2方程为y0x－(x0−√5)y−√5y0=0,由点M(m,0)在∠F1PF2的平分线上，则点M到直线PF1与到直线PF2的距离相等，故0√5y0√y02+(x0+√5)2=0√5y0√y02+(x0−√5)2由−√5<m <√5，y 0≥1，以及y 02=14x 02－1，解得x 0≥2√2，∴y 02+(x 0+√5)2=54x 02+2√5x 0+4=(√52x 0+2)2，∴√5+m √52x 0=√5−m √52x 0m =4x 0，即M(4x 0,0)，直线PM 的方程为：y −y 0−0x 0−4x 0(x −4x 0)，令x =0，得y =−4y 0x 02−4=−1y 0，故点N(0,−1y 0)，∴k NF 1=0+1y 0−√5=√5y 0由{y =√5y +√5)x 2−4y 2=4，消去x 得(5y 02－4)y 2+10y 0y +1=0,设D(x 1,y 1),E(x 2,y 2),则y 1+y 2=−10y 05y2−4,y 1y 2=15y2−4,∴|y 1－y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4√5y 02+1|5y 02−4|，∴△F 2DE 的面积S =S △F 1EF 2−S △F 1DF 2=12|F 1F 2|×|y 1－y 2|=12×2√5×4√5y 02+1|5y 02−4|=4√5√t +5t，设5y 02－4=t,∵y 0≥1 ∴t ≥1，则△F 2DE 的面积S =4√5•√t+5t=4√5×√5t 2+1t =4√5×√5(1t +110)2−120，∴t =1时，即P 为(2√2,1)时，△F 2DE 的面积最大值为4√30．。
全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案#(精选.)
高二数学专题学案圆锥曲线部分高考试题汇编(椭圆部分)1、(2016全国I卷)(20)(本小题满分12分)设圆x2 + y2 + 2x—15 = 0的圆心为4直线l过点B (1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA| + |EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于PQ两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.x2 y22、（2015全国I卷）（14）一个圆经过椭圆7十一二1的三个顶点，且圆心在乂轴上，则该圆的标准方程16 4为。
3、（2014全国I卷）20.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：上+ y2= 1（a > b > 0）的离心率为3，，F是椭圆a2 b2 2的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.（I）求E的方程；（II）设过点A的直线l与E相交于P, Q两点，当A OPQ的面积最大时，求l的方程.4、（2016山东卷）（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系g中，椭圆C：：喙=1（a>b>°）的离心率是浮，抛物线E3x=2'的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点6，记^PFG的面积为S j ^PDM的面积为S2，求S-的最大值及取得最大值2时点P的坐标.八- x 2 Y 2 一，，〜5、（2015山东卷）（20）（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：— + ） =1（a > b > 0）a 2 b2的离心率为*，左、右焦点分别是F , F ，以F 为圆心，以3为半径的圆与以F 为圆心，以1为半径的 2 1212圆相交，交点在椭圆C 上. （I ）求椭圆C 的方程；x 2 y 2（H ）设椭圆E ：江+而二1，P 为椭圆C 上的任意一点,过点P的直线厂"m 交椭圆E 于A,B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q.圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）1、（2016全国I 卷）（5）已知方禾m 2+n--就工=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的i ）求|OQ | | OP |的值；（ii ）求A ABQ 面积最大值.取值范围是（2、（2015全国I 卷）（5）已知M （x 0 丫0）是双曲线C ： --W= 1上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若西 • MF 2 <0,则y 0的取值范围是（2J3(D )(一二33、（2014全国I 卷）4.已知F 是双曲线C ： x 2 - my 2 = 3m （m > 0）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ） A . <3B .3C . <3mD . 3mx 2 y 24、（2016山东卷）（13）已知双曲线E_,： ---= 1 （a >0, b >0）,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上， 1a 2b 2AB , CD 的中点为E 的两个焦点，且21AB |=3|BC |,则E 的离心率是.x 2 y 25、（2015山东卷）（15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C : 一--—= 1（a > 0,b > 0）的渐近线与抛物线1a 2 b2C : x 2 = 2py （p > 0）交于点O , A , B ，若A OAB 的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为. 2 21x 2 y 2 x 2 y 26、（2014山东卷）（10）已知a > b ，椭圆C 的方程为—+ -- = 1 ,双曲线C 的方程为——^- = 1, C1 a2 b 2 2 a 2 b 2 1与C 的离心率之积为二，则C 的渐近线方程为（）222（A ） x 土 <2y = 0 （B ） J2x 土 y = 0 （C ） x 土2y = 0 （D ） 2x 土 y = 0圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）(A )(-1,3)(B )(-1八”)(C )(0,3)(D )(0,\与)2<2 (C )(-—— 32<31、（2016全国I卷）（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A, B两点，交C的准线于D, E两点.已知| AB | = 4"；2 , | DEI= 2d5，则C的焦点到准线的距离为（）（A）2 （B）4 （C）6 （D）82、（2015全国I卷）（20）（本小题满分12分）x2在直角坐标系xoy中，曲线C：y =—与直线y = kx + a（a >0）交与M,N两点，（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（II）y轴上是否存在点R使得当k变动时，总有N OPM =Z OPN ?说明理由。
圆锥曲线之面积问题
圆锥曲线之面积问题例题1、已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c aa ⎧=⎪⎨⎪⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥轴时，AB =。
（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤。
当且仅当2219k k=，即k =时等号成立。
当0k =时，AB =，综上所述max 2AB =。
∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=。
2、已知椭圆C:2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意3c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB =．（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+2=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即3k =±时等号成立．当0k =时，AB =max 2AB =．∴当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 3、已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． 解：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+22212221(1)()4BD xx k x x x x⎡=-=++-=⎣； 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2222111)12332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S ．综上，四边形ABCD的面积的最小值为96 25．。
圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
高考数学一轮复习专题03 圆锥曲线面积问题(解析版)
F 2F 1OyxBA解析几何专题三：圆锥曲线面积问题一、知识储备 1、三角形面积问题直线AB 方程：y kx m =+ 0021kx y md PH k-+==+00002211122'2'1ABP kx y m kx y mS AB d k A A k ∆-+∆-+∆=⋅=+⋅=+2、焦点三角形的面积直线AB 过焦点21,F ABF ∆的面积为 112121212'ABF c S F F y y c y y A ∆∆=⋅-=-= 2222222222222224()11||S =||d 22AOB a b a A b B C C AB A B a A b B A B∆+-=+++2222222222()C ab a A b B C a A b B+-=+注意：'A 为联立消去x 后关于y 的一元二次方程的二次项系数3、平行四边形的面积直线AB 为1y kx m =+，直线CD 为2y kx m =+ 1221m m d CH k-==+222222121212''11()41()41'''B C AB k x x k x x x x k k A A A ∆=+-=++-=+--⋅=+1212221''1ABCDm m m m SAB d k A A k -∆-∆=⋅=+⋅=+注意：'A 为直线与椭圆联立后消去y 后的一元二次方程的系数. 4、范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数CDHOyxBA均值不等式 222(,)a b ab a b R +≥∈变式：2,);()(,)2a b a b a b R ab a b R ++++≥∈≤∈ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）2226464t S t t t==++（注意分0,0,0t t t =><三种情况讨论）（2）224222121212333196123696k AB t k k k=+=+≤+++⨯+++ 当且仅当2219k k =时，等号成立 （3）222002200259342593464925y x PQ x y =+⋅+⋅≥+= 当且仅当22002200259259925y x x y ⋅=⋅时等号成立. （4）2282m m S -+===当且仅当228m m =-+时，等号成立(5)2221121k m m S -++==≤=当且仅当221212k m +=时等号成立. 二、例题讲解1．（2022·广东高三月考）已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>，且过点()3,1．（1）求椭圆G 的方程；（2）斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()3,2P -，求PAB ∆的面积．【答案】（1）221124x y +=；（2）92.【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，AB ：y x b =+，其线段AB 中垂线为1y x =--，联立椭圆方程并应用韦达定理求12x x +、12x x ，进而可得12y y +，由AB 中点在中垂线上代入求参数b ，进而求||AB 、P 到AB 的距离，即可求△PAB 的面积． 【详解】（1）由题意，22222911a b a b c c e a ⎧==⎪⎪⎪+⎨==+⎪⎪⎪⎩，解得22124a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆G 的方程221124x y+=.（2）令AB 为y x b =+，则AB 中垂线方程为(3)21y x x =-++=--， 联立AB 与椭圆方程得：223()12x x b ++=，整理得22463120x bx b ++-=， 若1122(,),(,)A x y B x y ，则1232b x x +=-，2123124b x x -=， △121222by y x x b +=++=，又1212(,)22x x y y ++在AB 中垂线上，△3144b b-=，可得2b =，即123x x +=-，120x x =，△||AB == 又()3,2P -到AB的距离d △19||PABSAB d =⋅=. 2．（2022·全国高三模拟预测）已知双曲线C ：22221x ya b -=()0,0a b >>的左､右焦点分别为1F ，2F ，虚轴上､下两个端点分别为2B ，1B ，右顶点为A ，且双曲线过点，22213B F B A ac a ⋅=-.（1）求双曲线1C 的标准方程；（2）设以点1F 为圆心，半径为2的圆为2C ，已知过2F 的两条相互垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与双曲线交于P ，Q 两点，直线2l 与圆2C 相交于M ，N 两点，记PMN ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求12S S +的取值范围.【答案】（1）2213y x -=；（2）[)12,+∞.【分析】（1）由22213B F B A ac a ⋅=-得223a b =，由双曲线过点得22231a b -=，两个方程联立求出a 和b ，可得双曲线1C 的标准方程；（2）设直线1l ：2x my =+，根据垂直关系得直线2l ：()2y m x =--，求出弦长||MN 和||PQ ，求出121||||2S S MN PQ +=，再根据参数的范围可求出结果. 【详解】（1）由双曲线的方程可知(),0A a ，()10,B b -，()20,B b ，()2,0F c ， 则()22,B F c b =-，()1,B A a b =.因为22213B F B A ac a ⋅=-，所以223ac b ac a -=-，即223a b =.①又双曲线过点，所以22231a b -=.② 由①②解得1a =，b = 所以双曲线1C 的标准方程为2213y x -=. （2）设直线1l ：2x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则由21l l ⊥，得直线2l ：()2y m x =--，即20mx y m +-=. 因为圆心()12,0F -到直线MN的距离d ==所以MN =2d <，故2103m ≤<. 联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22311290m y my -++=， ()222144363136(1)0m m m ∆=--=+>，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，所以()22126113m PQ y m +=-=-，则1212S S PQ MN +=⋅=， 又2103m ≤<，所以[)1212,S S +∈+∞. 即12S S +的取值范围为[)12,+∞. 【点睛】关键点点睛：设直线1l ：2x my =+，用m 表示||MN 和||PQ 是本题的解题关键.3．（2022·浙江高三开学考试）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F 右侧的点，点A 为抛物线C在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（1（2）16.【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出p 的值，可得出抛物线C 的方程，设点()2,2A t t ，可知0t >，求出M 、N 的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出1AM MN k k ⋅=-，可得出关于t 的方程，解出正数t 的值，进而可求得直线AF 的斜率；（2）求出点M 、N 的坐标，求得AM 以及点N 到直线AM 的距离d ，可求得AMN 的面积关于t 的表达式，利用基本不等式可求得AMN 面积的最小值. 【详解】（1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-， 进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444A M M N A M M N AM MN A M M N A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴==（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t tt+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---= 所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++==+，()332331122216AMN t S t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．1．（2022·江苏南京·高三月考）已知抛物线1G ：24y x =与椭圆2G ：22221x y a b+=（0a b >>）有公共的焦点，2G 的左、右焦点分别为1F ，2F ，该椭圆的离心率为12． （1）求椭圆2G 的方程；（2）如图，若直线l 与x 轴，椭圆2G 顺次交于P ，Q ，R （P 点在椭圆左顶点的左侧），且1PFQ ∠与1PF R ∠互补，求1F QR ∆面积S 的最大值．【答案】（1）22143x y +=．（2【分析】（1）由已知条件推导出1c =，结合12e =和隐含条件222a b c =+，即可求出椭圆标准方程； （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，可得110QF RF k k +=，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解． 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，∴椭圆的半焦距1c =，又椭圆的离心率为12，∴12c e a ==，即2a =， 222a b c =+，222413b a c ∴=-=-=，即b =∴椭圆2C 的方程为22143x y +=． （2）设1(Q x ，1)y ，2(R x ，2)y ，(1,0)F -，1PFQ ∠与1PF R ∠互补，∴110QF RF k k +=， ∴1212011y yx x +=++，化简整理，可得1222110x y y x y y +++=①， 设直线PQ 为(0)x my n m =+≠，联立直线与椭圆方程22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简整理，可得222(34)63120m y mny n +++-=，∆222224364(34)(312)0b ac m n m n =-=-+->，可得2234n m <+②，由韦达定理，可得21212226312,3434mn n y y y y m m -+=-=++③， 将11x my n =+，22x my n =+代入①，可得12122(1)()0my y n y y +++=④， 再将③代入④，可得2226(4)6(1)3434m n mn n m m -+=++，解得4n =-，PQ ∴的方程为4x my =-，由点(1,0)F -到直线PQ的距离d =，11||2F QRSQR d =⋅= 由②可得，23416m +>，即24m >，设()f m =24m t -=，0t >，()f t ∴= 由均值不等式可知，25625692996t t t t+⋅=， 当且仅当2569t t =时，即163t =，等号成立，当2569t t+取最小值时，()f t 取最大值，即1FQR 面积S 最大，∴()18max f t =， ∴△1FQR 面积S2．（2022·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为点与右焦点的连线构成正三角形． （△）求椭圆C 的标准方程；（△）设过点(0,2)P -的动直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，当OMN ∆的面积最大时，求l 的方程． 【答案】（△）2214x y +=；（△）2y -或2y =-． 【分析】（△）由题意知，c =c a =222b a c =-，即可求得椭圆的方程； （△）设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=，利用韦达定理，弦长公式结合OMN的面积公式得到OMNS =，利用换元结合基本不等式求解. 【详解】（△）由题意知，c =cos 6c a π==， 2a ∴=，2221b a c =-=所以椭圆的方程为2214x y +=．（△）当l x ⊥轴时不合题意，由题意设直线:2l y kx =-，()11,M x y ，()22,N x y ． 联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221416120k x kx +-+=． 当()216430k ∆=->，即234k >，且1221614k x x k +=-+，1221214x x k =+．从而12||MN x-=．又点O 到直线MN的距离d =所以OMN 的面积1||2OMNSd MN =⋅=t ，则0t >，24444OMNt St t t==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =，即2k =±时等号成立，且满足0∆>． 所以，当OMN 的面积最大时，直线l的方程为2y x =-或2y x =-． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2022·全国高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别是()1F和)2F ，点Р在椭圆E 上，且12PF F △的周长是4+ （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知、、A B C 为椭圆E 上三点，若有0OA OB OC ++=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）2214x y +=；（2【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到12124PF PF F F ++=+124PF PF +=，得到2a =，进而求得21b =，即可求得椭圆的方程；()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，联立方程组求得1212,x x x x +，根据0OA OB OC ++=，求得2282(,)1414km m C k k -++，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得3332ABCOABS S=⋅=；当直线AB 斜率不存在时，得到直线AB 方程为1x =±，求得332ABCABOS S==. 【详解】（1）由题意，双曲线2222:1xy E a b+=的焦点()1F 和)2F ，可得12F F =因为12PF F △的周长是4+12124PF PF F F ++=+所以124PF PF +=，即24a =，可得2a =，又由222431b a c =-=-=， 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.()2当直线AB 斜率存在时，设AB 方程为：y kx m =+，()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2221484()40k x kmx m +++-=，则22212122284416(41)0,,1414km m k m x x x x k k -∆=-+>+=-=++ 由0OA OB OC ++=，可得12312300x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，又由122814kmx x k +=-+，可得()12121222214m y y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 所以332282,1414km m x y k k ==-++， 将()33,x y 代入椭圆方程可得222282441414km m k k ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得22414m k =+， 又O 到直线AB的距离为d =则()2112OABSk =⋅+= 又由0OA OB OC ++=，可得点O 为ABC 的重心，所以3332ABCOABS S=⋅=； 当直线AB 斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB 方程为1x =±，可得AB112ABOS ==所以13312ABC ABOSS==⨯综上可得：ABC S △. 【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．4．（2022·榆林市第十中学高三月考（理））已知1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左，右焦点，126F F =，当P 在E 上且1PF 垂直x 轴时，217PF PF =.（1）求E 的标准方程；（2）A 为E 的左顶点，B 为E 的上顶点，M 是E 上第四象限内一点，AM 与y 轴交于点C ，BM 与x 轴交于点D .（i ）证明：四边形ABDC 的面积是定值. （ii ）求CDM 的面积的最大值.【答案】（1）221123x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii ）())max 31CDM S =△.【分析】（1）由通径长公式得21b PF a=，结合椭圆定义可得,a b 关系，再由3c =求得,a b ，得椭圆方程；（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，由三点共线把,s t 用,m n 表示，然后计算四边形面积可得结论；（ii ）由（i ）只要ABM 面积最大即可，求出椭圆的与AB 平行的切线方程，切点即为M （注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值． 【详解】解：（1）由题意知21b PF a=，212PF PF a +=，217PF PF =，则182PF a =，得2a b =，又3c =，222a b c =+，解得2a b == 所以E 的标准方程是221123x y +=.（2）（i ）由题意知()A -，(B ，设(),M m n ，()0,C t ，(),0D s ，因为A ，C ，M 三点共线，则AC AM λ=，解得t =B ，D ，M 三点共线，则BD BM μ=，解得s =，AD s =+BC t =，221123m n +=，66AD BC st ⋅--+==6612m n +==. 162ABDC S AD BC =⋅=. （ii ）因为CDM ABM ABDC S S S =-四边形△△， 所以当ABM S △最大时，CDMS 最大.1:2AB l y x =AB 平行的直线()1:02l y x p p =+<， 与221123x y +=联立，消y 得222260x px p ++-=，()2244260pp ∆=--=，解得p =p =（舍去），两平行线AB l ，l间的距离25d =，())max1312ABM S AB d =⋅=△，则())max 31CDM S =△.5．（2022·山西祁县中学高三月考（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0)F ，动点P 到直线6x =的距离等于2||2PF +.动点P 的轨迹记为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）已知(2,0)A ，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记AOB ∆和AOD ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S +的最大值．【答案】（1）221123x y +=；（2）3.【分析】（1）设点P (x ，y )，再根据动点P 到直线x ＝6的距离等于2|PF |＋2列出方程化简即可；（2）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与（1）中所得的椭圆方程，得出韦达定理，再得出S 1＋S 2＝12|OA ||y 1－y 2|关于m 的表达式，换元求解最值即可 【详解】(1)设点P (x ，y )，当6x ≥时，P 到直线x ＝6的距离显然小于PF ，故不满足题意； 故()62,6x x -=<，即4x -=整理得3x 2＋4y 2＝12，即24x ＋23y ＝1.故曲线C 的方程为24x ＋23y ＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，Δ>0显然成立， 所以y 1＋y 2＝－2634m m +，y 1y 2＝－2934m +， 所以|y 1－y 2|故S 1＋S 2＝12|OA ||y 1|＋12|OA ||y 2|＝12|OA ||y 1－y2|.设t t ≥1，则m 2＝t 2－1，则S 1＋S 2＝21231tt +＝1213t t+. 因为t ≥1，所以3t ＋1t≥4(当且仅当t ＝1时，等号成立)．故S 1＋S 2＝1213t t+≤3， 即S 1＋S 2的最大值为3.6．（2022·西藏拉萨中学高三月考（理））（1）一动圆过定点(1,0)A ，且与定圆22:(1)16C x y ++=相切，求动圆圆心的轨迹E 的方程．（2）直线l 经过点A 且不与x 轴重合，l 与轨迹E 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【分析】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．由与定圆22:(1)16C x y ++=相切，且点A 的圆C 内，由||44||MC R MA =-=-，即||||4MC MA +=，利用椭圆的定义求解；（2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=，由121||2CPQSCA y y =⋅-，结合韦达定理求解. 【详解】（1）设动圆圆心为(),M x y ，半径为R ．定圆C 的圆心(1,0)C -，半径为4. 点A 的圆C 内．||44||||||4MC R MA MC MA ∴=-=-∴+=，且4AC > ，∴轨迹E 是以C 、A 为焦点，长轴长为4的椭圆，所以椭圆方程为：22143x y +=. （2）设l 的方程为：1x my -=，代入22143x y +=， 得()2234690m y my ++-=，设()()1122,,P x y Q x y ⋅， 则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，121||2CPQSCA y y =⋅-，=令21(1)t m t =+，则1212CPQS=1()9f t t t=+在[1,)+∞为增函数1t ∴=，即0m =时，CPQ S △取最大值3.7．（2022·山东高三模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30o ． （1）求双曲线C 的方程；（2）经过点F 的直线与双曲线的右支交与,A B 两点，与y 轴交与P 点，点P 关于原点的对称点为点Q ，求证：QABS>【答案】（1）2213x y -=；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意可得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+可求出22,a b ，从而可求出双曲线C 的方程； （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，可得()02P k -，，()02Q k ，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系，从而可表示出()()2222248131QABk k Sk +=-，再由直线与双曲线的右支交与,A B 两点，可得231k >，则2310t k =->，代入上式化简可求得结果 【详解】解：（1）由题意得2c =，o tan 30b a ==222c a b =+ 解得2231a b ==，所以双曲线C 的方程为：2213x y -=（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：()2y k x =-，得()02P k -，，()02Q k ，， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立()22132x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，整理可得()222231121230k x k x k --++=21221231k x x k +=-，212212331k x x k +⋅=- 所以1212QABQPB QPASSSPQ x x =-=-122k x x =- 所以()()2222221212224123124443131QABk k Sk x x x x k k k ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢⎥=+-=- ⎪⎣⎦--⎢⎥⎝⎭⎣⎦2()()222248131k k k+=-直线与双曲线右支有两个交点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++=>⋅=>-- 所以231k >，设2310t k =->，()2221111645334813QABt t St t t ++⎛⎫⋅+⎪⎛⎫⎝⎭==++ ⎪⎝⎭2641564251633383643t ⎛⎫=+->⨯-=⎪⎝⎭所以QAB S >【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出()()2222248131QABk k S k+=-，再结合231k >，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题 8．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点分别为()12,0F -，()22,0F，点(P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，若OAB ∆的面积为求直线l 的方程．【答案】（1）22122x y -=；（2）2y =+和2y =+． 【分析】（1）根据焦点坐标，可得2c =，所以224a b +=，代入双曲线方程，可得()222221044x y a a a-=<<-，将P 点坐标代入，即可求得a 值，即可得答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，与双曲线C 联立，可得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，代入弦长公式，即可求得AB ，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l 的距离d ，代入面积公式，结合题意，即可求得k 的值，即可得答案. 【详解】（1）依题意，2c =，所以224a b +=，则双曲线C 的方程为()222221044x y a a a-=<<-，将点P 代入上式，得22252314a a -=-， 解得250a =(舍去)或22a =， 故所求双曲线的方程为22122x y -=．（2）依题意，可设直线l 的方程为2y kx =+，代入双曲线C 的方程并整理，得()221460k x kx ---=．因为直线l 与双曲线C 交于不同的两点,A B ，所以()22210(4)2410k k k ⎧-≠⎪⎨-+->⎪⎩，解得1k k ≠±⎧⎪⎨<⎪⎩(*) 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122246,11k x x x x k k +==---，所以||AB =又原点O 到直线l 的距离d =所以11||22OABSd AB =⋅==．又OABS=1=，所以4220k k --=，解得k =(*)．故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为2y =+和2y =+． 【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k 值，需检验是否满足判别式0∆>的条件，考查计算化简的能力，属中档题.9．（2022·全国高三专题练习）已知双曲线22:1164x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ． （1）求与双曲线C 有共同渐近线且过点()2,3的双曲线标准方程； （2）若P 是双曲线C 上一点，且12150F PF ∠=︒，求12F PF △的面积．【答案】（1）221832y x -=；（2）8-【分析】（1）根据题意，设所求双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠，代入点()2,3，求得k 值，即可得答案； （2）不妨设P 在C 的右支上，根据双曲线定义，可得1228PF PF a -==，根据方程可得12F F 的值，在12F PF △中，利用余弦定理可得12PF PF 的值，代入面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为所求双曲线与22:1164x y C -=共渐近线，所以设该双曲线方程为22(0)164x y k k -=≠， 又该双曲线过点()2,3， 所以49164k -=，解得k =-2， 所以所求双曲线方程为：221832y x -=（2）不妨设P 在C 的右支上，则1228PF PF a -==，122F F c == 在12F PF △中，2222121212121212()280cos15022PF PF F F PF PF PF PF PF PF PF PF +--+-︒===解得1232PF PF =- 所以12F PF △的面积1212111sin (328222F P S F PF PF ∠==⨯-⨯=-【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与22221x y a b-=共渐近线的方程可设为：2222(0)x y k k a b -=≠；与22221x y a b -=共焦点的方程可设为：22221x y a b λλ-=+-，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.10．（2022·浙江高三开学考试）已知抛物线T ：()22y px p N +=∈和椭圆C ：2215x y +=，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N 两点．（1）若F 恰是椭圆C 的焦点，求p 的值；（2）若MN 恰好被AB 平分，求OAB 面积的最大值． 【答案】（1）4p =；（2【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据F 恰是椭圆C 的焦点，即可得出答案；（2）设直线l ：2p x my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，求得AB 的中点坐标，根据因为MN 恰好被AB 平分，则直线MN 的斜率等于m -，再根据点差法求得直线MN 的斜率，求得2m ，根据由AB 的中点在椭圆内，求得p 的最大值，从而可求得OAB 面积的最大值． 【详解】解：（1）在椭圆中，2224c a b =-=，所以2c =， 因为F 恰是椭圆C 的焦点， 所以22p=，所以4p =； （2）设直线l ：2px my =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ， 联立222p x my y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=， 则212122,y y mp y y p +=⋅=-，则2122x x m p p +=+，故AB 的中点坐标为2,2p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又因为MN 恰好被AB 平分，则2342x x m p p +=+，342y y mp +=，直线MN 的斜率等于m -，将M 、N 的坐标代入椭圆方程得：223315x y +=，224415x y +=， 两式相减得：()()()()3434343405x x x x y y y y +-++-=， 故234342110y y m x x m-+=--， 即直线MN 的斜率等于22110m m+-， 所以22110m m m+-=-，解得218m =， 由AB 的中点在椭圆内，得2222()15p m p mp ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+<，解得26413p <， 因为p Z ∈，所以p 的最大值是2，12y y -== 则OAB面积212122p S y y p =⨯-==≤， 所以，当2p =时，OAB ． 11．（2022·普宁市第二中学高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4．【分析】（1）由焦点在y 轴正半轴上，且2p =，即可得准线方程；（2）设直线AB 方程为y kx b =+，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得b 的值，即可得所过的定点；（3）设1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求M 、N 两点坐标，由两点间距离公式求FM 、FN 的长，再计算12FMN SFM FN ，由基本不等式求最值即可求解.【详解】 （1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-，（2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y=+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-， 即2440b b -+=，解得：2b =所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0，设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-，所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k + 用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMN S FM FN ====224≥=⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
高三数学圆锥曲线试题答案及解析
高三数学圆锥曲线试题答案及解析1.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）A．圆或椭圆B．抛物线或双曲线C．椭圆或双曲线D．以上均有可能【答案】D【解析】以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.【考点】圆锥曲线的性质.2.已知点是双曲线右支上一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线:求直线与渐近线的交点,解得：是的中点，利用中点坐标公式，得,在双曲线上，所以代入双曲线方程得：,整理得,解得.故选D.【考点】1.双曲线的几何性质；2.双曲线的方程.3.已知椭圆的焦点重合，则该椭圆的离心率是．【答案】【解析】抛物线的焦点为,椭圆的方程为：,所以离心率.【考点】1、椭圆与抛物线的焦点；2、圆的离心率.4.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.5.已知动点到定点和的距离之和为.（Ⅰ）求动点轨迹的方程；（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.【解析】本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．由，得．故曲线的方程为． 5分（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得． 7分设，，，．从而．11分当直线的斜率不存在时，得，得．综上，恒有． 12分【考点】1.三角形面积公式；2.余弦定理；3.韦达定理；4.椭圆的定义.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由条件得：，即，而，渐近线为，在上，所以，得，所以双曲线方程为.【考点】1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.7.已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.（1）求椭圆的标准方程；（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，则，，故椭圆的标准方程为 5分（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，又圆与轴相切，故点的坐标为，不妨设点位于第一象限，因为，所以， 7分代入椭圆的方程，可得，因为，解得， 10分所以圆的圆心为，半径为，其方程为 12分因为圆心到直线的距离 14分故圆被直线截得的线段长为 16分【考点】椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理8.已知为抛物线的焦点，抛物线上点满足（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点的坐标为(,)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于、两点，、两点的横坐标均不为，连结、并延长交抛物线于、两点，设直线的斜率为,问是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义得到，再得到方程；（Ⅱ）利用点的坐标表示直线的斜率，设直线的方程，通过联立方程，利用韦达定理计算的值.试题解析：（Ⅰ）由题根据抛物线定义，所以，所以为所求． 2分（Ⅱ）设则，同理 4分设AC所在直线方程为，联立得所以， 6分同理 (8分)所以 9分设AB所在直线方程为联立得， 10分所以所以 12分【考点】抛物线标准方程，直线与抛物线位置关系的应用.9.极坐标系中椭圆C的方程为以极点为原点，极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度. （Ⅰ）求该椭圆的直角标方程；若椭圆上任一点坐标为，求的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦交于点，且直线与的倾斜角互补，求证:.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】将椭圆的极坐标方程转化为一般标准方程，再利用换元法求范围，利用参数方程代入，计算得到结果.试题解析：(Ⅰ)该椭圆的直角标方程为， 2分设，所以的取值范围是 4分（Ⅱ）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），（5分）代入得：即 7分同理 9分所以（10分）【考点】极坐标、参数方程，换元法应用.10.已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（）A．12B．C．D．【答案】B【解析】设、，所以、．所以．故选B．【考点】两点之间的距离点评：主要是考查了两点之间的距离的运用，属于基础题。
圆锥曲线.03圆锥曲线地弦长面积问题.知识讲解及练习(最新整理)
9 x02
25 y02
（4） S 1 12 3 m2 m 1 1 m2 (m2 8) 1 1 m2 m2 8 2
2
2
3 22
22
2
当且仅当 m2 m2 8 时，等号成立
（5） S 2 2 1 k 2
2k 2 m12 1 2m1 4 2
1 2k 2
1 k2
(2k 2 m12 1)m12 4
1 k2 A x a
或 AB
1
1 k2
A y1
y2
1
1A k2
y1
y2 4 y1 y2
1 1 A y k2 a
文档
y
P O
A
x H
B
实用标准文案
题型二：面积问题
1. 三角形面积问题
直线 AB 方程： y kx m
d PH kx0 y0 m 1 k2
SABP
1 2
AB
d
1 2
1 k2
1 k2
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2 1 k 2
x a
SA ABCD AB d 1 k 2
x m1 m2 a 1 k2
x m1 m2 a
题型三：范围问题
首选均值不等式或对勾函数，其实用二次函数配方法，最后选导数思想 均值不等式 a2 b2 2ab(a,b R) 变式： a b 2 ab(a,b R ); ab ( a b)2 (a,b R )
文档
实用标准文案
【例4】 已知椭圆 C : x2 y2 1，过点 M 0 ，3 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A 、 B ．
4 （Ⅰ）若 l 与 x 轴相交于点 N ，且 A 是 MN 的中点，求直线 l 的方程；
圆锥曲线中求三角形面积取值范围问题
圆锥曲线中求三角形面积取值范围问题1、已知为坐标原点，定点，点分别在,轴上运动且.动点满足.设点的轨迹为曲线.直线交曲线于另外一点.（1）求曲线的方程, (2)求面积的最大值．解：的轨迹方程即为曲线整理可得：，相关点法求解析式、、设点C y x y x AB y n x m y n y x m x y n x PB y m x AP y x P n B m A 19256496425648)(3858)(5353),(),,(),(),0()0,()1(2222=+=+∴=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-∴--=-=∴ )37116195.72418024169211619(1161911801161991180259190225910081368164812259)259(814722)1(25981,2597208172)259(19254)1(2)(4214),,(),,()2(222222222222222222221221222221212211”成立时“即当且仅当，式可得：带入联立的面积方程为：设直线设点=±=+=+=≤=⨯≥++++++⨯=++++⨯=++⨯⨯=+⨯+⨯+⨯⨯=++⨯⨯+⨯=+-=⋅+-=+∴=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+⨯⨯=∆∴+=k k k k k k k k k k k k k k k k k k S k y y k k y y ky y k y x ky x y y y y S OPQ ky x PM y x Q y x P求面积最值问题，需要先把面积表示出来，之后就可以看出如何计算更加简洁。
此题列出式子后可以看出直线反设O )0,4(M B A ,x y 8=AB P →→=PB AP 53PC PM C Q C OPQ ∆会更加简单，另外计算时数字比较大，但是找出公因数再计算就会非常简单，切忌硬来。
2、在平直角坐标系中，已知椭圆的离心率,且椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值。
圆锥曲线中面积型问题
圆锥曲线中面积型问题
圆锥曲线中的面积型问题通常涉及到计算某个特定区域的面积，这些区域可能是由圆锥曲线（如椭圆、双曲线或抛物线）和直线或其他曲线围成的。
解决这类问题的一般步骤包括：
1.确定相关方程：需要明确给定的圆锥曲线和其他相关曲线的方程。
这些方程是解决问题的基础。
2.找出交点：接下来，找出这些曲线之间的交点。
这些交点通常是计算面积的关键点。
3.确定积分区间：根据交点，确定需要积分的区间。
对于二维问题，这通常是一个或多个区间；对于三维问题，则可能是一个区域。
4.进行积分计算：使用适当的积分公式或技巧，计算相关区域的面积。
这可能涉及到定积分、二重积分或三重积分，具体取决于问题的维度。
5.简化结果：最后，对计算出的结果进行简化，得出最终答案。
例如，在椭圆中，可能需要计算椭圆与某条直线围成的区域的面积。
需要找出椭圆和直线的交点，然后确定需要积分的区间，接着使用定积分或二重积分进行计算，最后简化结果。
需要注意的是，圆锥曲线中的面积型问题可能比较复杂，需要综合运用数学知识进行分析和计算。
在实际解题过程中，还需要注
意选择合适的计算方法和技巧，以提高解题效率和准确性。
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直线与圆锥曲线的位置关系
专题一:面积问题
1、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3
π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
2121x x k AB -+=
]4))[(1(212212x x x x k -++=．
因为6=a ，3=b ，所以33=c ．
又因为焦点在x 轴上， 所以椭圆方程为19
362
2=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为 93+=x y ．
由直线方程与椭圆方程联立得
0836372132=⨯++x x ．
设1x ，2x 为方程两根， 所以13
37221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而13
48]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB 2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,3
6短轴一个端点到右焦点的距离为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2
3，求△AOB 面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩
1b ∴=，∴所求椭圆方程为2
213
x y +=。
（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，。
（1）当AB x ⊥
轴时，AB =
（2）当AB 与x 轴不垂直时，
设直线AB 的方程为y kx m =+。
2
=，得223(1)4m k =+。
把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，
122631km x x k -∴+=+，21223(1)31
m x x k -=+。
22221(1)()AB k x x ∴=+-2222
2223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)
k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k
=+=+≠+=++⨯+++≤。
当且仅当2
219k k =
，即3k =±时等号成立。
当0k =
时，AB = 综上所述max 2AB =。
∴当AB 最大时，AOB △
面积取最大值max 1222
S AB =⨯⨯=。
3、如图，直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A 、B 两点，记ABC ∆的面积为S 。
（Ⅰ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （Ⅱ）当12==，S AB 时，求直线AB 的方程。
解：（Ⅰ）解：设点A 的坐标为()b x ,1，点B 的坐标为()b x ,2， 由14
22
=+b x ，解得22112b x -±=，， 所以212
1x x b S -⋅= 212b b -⋅=
，b b 112=-+≤ 当且仅当2
2=b 时，S 取到最在值1， （Ⅱ）解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14
,22y x b kx y 得 ，b k b x x k 01241222=-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
，b k 1422+-=∆
2121x x k AB -⋅+=
2411412
222
=++-⋅+=k b k k 设O 到AB 的距离为d ，则
，AB
s d 12== 又因为，k
b
d 21+= 所以，k b 122
+=代入②式并整理，得 ，k k 04124=+
- 解得，，b k 23,2122==
代入①式检验，0 ∆。
故直线AB 的方程是
2
622,262226222622--=+-=-=+=x y x y ，x y ，x y 或或或。
4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，2
2a 4c
=。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程。
解：设椭圆方程为).(0b a 1b
y a x 22
22>>=+
（I ）由已知得 2222c b a 4c 2a c
b +=== ⇒ 1
c 1b 2
a 222=== ∴所求椭圆方程为
.1y 2
x 22
=+
（II ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为2kx y +=，),(),,(2211y x B y x A
由 1y 2x 2
kx y 22
=++=消去y 得关于x 的方程：
068kx x 2k 122=+++)(
由直线l 与椭圆相交A 、B 两点，∴△02k 12464k 022>+-⇒>)(， 解得2
3k 2>， 又由韦达定理得 2212
212k 16x x 2k 18k
x x +=⋅+-
=+
212212212x 4x x x k 1x x k 1AB -++=-+=∴)(
24
16k 2k 1k 1222-++=. 原点O 到直线l 的距离2k 12
d +=
2222ADB
2k 132k 222k 12416k d AB 21S +-=+-=⋅=∴∆
解法1：对222k
12416k S +-=两边平方整理得： 024S k 4S 4k 4S 22242=++-+)( （*）
0S ≠ ，
∴ 04S 24S 0S S -40
24S 4S 44S 162
22
2
2222>+>≥+⨯--)()( 整理得：.2
1S 2≤ 又0S >，
2
2S 0≤<∴. 从而AOB S ∆的最大值为22S =
， 此时代入方程（*）得
214k 0
4928k 4k 24±=∴=+-
所以，所求直线方程为： 042y x 14=+-±.
解法2：令)(0m 32k m 2>-=
， 则3m 2k 22+=，
222m
4m 224m m 22S 2≤+=+=∴. 当且仅当m 4m =
即2m =时， 2
2S max =
此时2
14k ±=. 所以，所求直线方程为 042y x 14=+-±.
解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零.
设直线l 的方程为2kx y +=，)(11y ,x A ，)(22y ,x B
则直线l 与x 轴的交点),(0k
2D - 由解法一知：23k 2>且 2212212k 16x x 2k 18k
x x +=⋅+-
=+
解法1：2kx 2kx k
221y y OD 21S 2121AOB --+⋅=-⋅=
∆ 222
22
12212
12k 132k 222k 12416k x 4x x x x x +-=+-=-+=-=)(
下同解法一
解法2：PO A PO B AO B S S S ∆∆∆-=
2
212122k 132k 22x x x x 22
1+-=-=-⨯⨯=
下同解法一
5、已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为2
2，21,F F 为其焦点，一直线过点1F 与椭圆相交于B A ,两点，且AB F 2∆的最大面积为2，求椭圆的方程。
解：由e ＝2
2得1:1:2::=c b a ，所以椭圆方程设为22222c y x =+ 设直线c my x AB -=:，由⎩⎨⎧=+-=22222c
y x c my x 得：02)2(222=--+c mcy y m 0)1(8)22(4)2(4422222222>+=+=++=∆m c m c m c c m 设),(),,(2211y x B y x A ，则21,y y 是方程的两个根 由韦达定理得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222221221m c y y m m c y y 所以21224)(222122121++=-+=-m m c y y y y y y c c y y F F S ABF 222121212∙=-=∆2
122++m m ＝22222221221
1122c c m m c =∙≤+++ 当且仅当0=m 时，即x AB ⊥轴时取等号 1,222==∴c c
所以，所求椭圆方程为12
22
=+y x。