2012中科大线性代数与解析几何真题
中国科学技术大学2013年线性代数与解析几何考研试题及解答
00
1 0
2 2
03 ,
x(x − 1)(x − 2)(x − 3).
0001
0003
5. {λ − 1, λ − 1, λ − 1, λ + 3}.
6. 先算对应矩阵的特征值, 然后结果为 y12 + y22 − y32 − y42.
7. 设旋转曲面上一点 (x, y, z) 对应于 x 轴上一点 (x0, 0, 0), 则 (x − x0, y, z) 垂直于 (1, 1, 1), 并 且对应的两点到旋转轴的距离相等, 特别地, 两者到点 (0, 0, 1) 的距离相等, 因此 x20 + 1 = x2 + y2 + (z − 1)2. 由前面式子整理可得 (x + y + z)2 + 1 = x2 + y2 + (z − 1)2 为旋转面的一般 方程.
√
计算到公垂线的投影长度即为距离
17 5
.
2. 4ac − b2 > 0.
3. AA∗ = |A|E = E, 于是 A∗ = A−1. 特征多项式为 (λ − 1)4, 再结合 rank(A − E) = 3, 因此
Jordan 标准型为
11
1
1 1
1 .
1
4.
1111
0100
00
1 0
2 1
33 ,
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中国科学技术大学 2013 年线性代数与解析几何考研真题参考解答
小花爱数学
中国科学技术大学
2013 年线性代数与解析几何考研真题参考解答
1.
找直线的方向向量然后算出夹角为
arccos
4 21
中科大历年考研数学真题
直线 l1, l2 平行，且 π 与 l1 的距离是 91, 求 π 的方程。
3. 设 A : U → V 为数域 F 上的线性空间 U 到 V 上线性映射. 证明：
dim KerA + dim Im A = dim U
2 −1 1 4. 设 A = 2 2 −1 , 求方阵 P , 使得 P −1AP 为 A 的 Jordan 标准形。
··· ···
(α1, αn)
(α2, αn) ...
,
其中 (αi, αj) 是 V 的内积.
(αn, α1) (αn, α2) · · · (αn, αn)
求证:G 正定的充分必要条件是 α1, · · · , αn 线性无关。
5. 设 A 是无限维线性空间 V 的线性变换，B 是 A 在 ImA 上的限制变换. 求证：
.
a2x1 + x2 + x3 = 1
5.
使线性方程组
x1 + ax2 + x3 = a x1 + x2 + x3 =a2
有解的实数 a 的取值范围是
.
6.
已知实方阵 A 的伴随矩阵 A∗
2.
以曲线
y = x2 z=2
为准线，原点为顶点的锥面方程为
.
3. 以 xOy 平面上的权限 f (x, y) = 0 绕 x 轴旋转所得的旋转面的方程是
.如
果曲线方程是 x2 − y2 − 1 = 0, 由此得到的曲面类型是
.
4. 设 α1, α2α3α4 是线性空间 V 中 4 个线性无关的向量,
为 α1 = (1, 0, −1), α2 = (?, ?, ?), 求矩阵 A 以及使 A 对角化的矩阵 P 7. A 是复方阵，线性变换 T → AX + XA, 证明：如果 A 可对角化，那么 T 也可以对
2012年高考真题理科数学解析汇编立体几何参考答案2
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案2则B (2， 0, 0），C (2, 22,0），E (1， 2， 1）,)1,2,1(=AE ,)0,22,0(=BC设AE 与BC 的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ,θ=4π.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二］取PB 中点F ,连接EF 、AF ，则EF ∥BC ,从而∠AEF （或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π。
因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π1.解(1）1111224ABC S ∆=⨯⨯=,又1CC 为三棱锥1C MBC-的高,11111123346C MBC ABC V S CC -∆∴=⋅=⨯⨯= (2)//CD AB ，所以1C MB ∠或其补角为导面直线CD 与1MC 所成的角.连接1,BC AB ⊥平面11,BCC B AB BC ∴⊥,在1Rt MBC ∆中,11415,2BC MB =+==15tan 2512C MB ∠==,故1arctan 25C MB ∴∠=,即异面直线CD 与1MC 所成的角为arctan 252.解析:(1)证法一 如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线,,,a b c n 的方向向量分别是,,,a b c n ，则,,b c n 共面，根据平面向量基本定理，存在实数,λμ使得c b n λμ=+ABCD P EF则()()()a c a b n a b a n λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅ 因为a b ⊥，所以0a b ⋅= 又因为aπ,n π⊥，所以0a n ⋅=故0a c ⋅=，从而a c ⊥证法二 如图,记c b A ⊥=,P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO π⊥，垂足为O ，则O c ∈ ∵PO π⊥，a π，∴直线PO a ⊥又a b ⊥，b平面PAO ,POb P =∴a ⊥平面PAO ，又c 平面PAO ，∴a c ⊥（2）逆命题:a 是平面π内一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a c ⊥，则a b ⊥. 逆命题为真命题. 3. 解析：（Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,由余弦定理可知202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=,即AD CD BD 33==，在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,则ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.又AE⊥BD,⊂AD 平面AED ，⊂AE 平面AED ，且A AE AD = ，故BD⊥平面AED ； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知CB AC ⊥,设1=CB ,则3==BD CA ，建立如图所示的空间直角坐标系，)0,21,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ，向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量.设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-002323z y y x , 取1=y ，则1,3==z x ,则)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量.zx y5551,cos ==⋅>=<nm n m n m ，而二面角F —BD —C 的平面角为锐角，则 二面角F-BD-C 的余弦值为55. 解法二:取BD 的中点G ，连接1,CG FG ，由于CB CD =，因此CG BD ⊥， 又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥ 由于,,FC CG C FC CG ⋂=⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG故BD FG ⊥，所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形BCD 中，由于120BCD ∠=︒，因为12CG CB=,又CB CF=，所以225GF CG CF CG =+=，故5cos 5FGC ∠=，因此二面角F BD C --的余弦值为55。
线性代数期末试卷及解析(4套全)2013科大
线性代数期末试卷一一、填空题（每小题3分）（4）设A 为n 阶矩阵，*||0,≠A A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则*2()+A E 必有特征值__________.解：2||1⎛⎫+ ⎪⎝⎭A λ.设0x ≠，使x x λ=A . 由*||⋅=A A A E 知，***||()x x x x ===A A A A A λλ. 由||0≠A 知≠λ0.**2**2||||,()()()x x x x x ===A A A A A A λλ，*22||[()][()1]x x ==+A A E λ，*2()+A E 有一特征值 2||1+A λ.二、选择题（每小题3分）（4）设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---.（A ）相交于一点； （B ）重合； （C ）平行但不重合； （D ）异面。
解：（A ）正确记 1111{,,}a b c =α 1111(,,)a b c =A 2222{,,}a b c =α 2222(,,)a b c =A 3333{,,}a b c =α 3333(,,)a b c =A因为矩阵111222333a b c a b c a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，故123,,ααα线性无关，所以112223,s s =-=-r r αααα线性无关，12//s s r r且23,,A A A 三点不共线，确定一平面π，记 1l 为直线333121212,x a y b z c a a b b c c ---==--- 2l 为直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---，则 1l 为过3A ，且平行12A A 的直线，所以1l π∈， 2l 为过1A ，且平行23A A 的直线，所以2l π∈，因为12//s s r r，12//l l ∴，且同在π上，故相交，所以（A ）正确，当然（B ）、（C ）、（D ）不正确.三、（本题满分5分） 求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程，并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.解：将l 的标准方程改为一般方程为 1010x y y z --=⎧⎨+-=⎩过l 的平面束方程为：1(1)0x y y z --++-=λ 由投影关系1(1)20--+=λλ，解之2=-λ 所以过l 且垂直平面π的方程为 3210x y z --==故0l 的方程为2103210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩设点(,,)M x y z 为直线上的点111(,,)M x y z 所旋转而成的曲面上的点，则1y y =且= 即 222211x z x z +=+ （1） 由1M 在0l 上，故111210x y z -+-= （2） 1113210x y z --+= （3） （2）、（3）联立，将11,x z 由1y 表出有11112211(1)(1)22x y yz y y ==⎧⎪⎨=-=-⎪⎩ 代入（1）得： 222214(1)4y y x z +-=+ 所求曲面为2224174210x y z y -++-= 为单叶双曲面. 十、（本题满分6分） 已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++= 可以经过正交变换x y P z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξηζ化为椭圆柱面方程2244+=ηζ，求,a b 的值和正交矩阵P .解：由111111b b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 与014⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭相似得11111114b b a------=-----λλλλλλ，解之得到3, 1.a b ==对应于特征值10=λ的单位特征向量为T1x =；对应于特征值11=λ的单位特征向量为T2x =；对应于特征值34=λ的单位特征向量为T3x =；因此P ⎛=⎝.十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵，若存在正整数k ，使线性方程组0k x =A 有解向量α，且10k -≠A α. 证明：向量组1,,,k -A A L ααα是线性无关的. 解：设有常数12,,,k L λλλ，使得112,k k -+++=A A L λαλαλα0则有1112(),k k k --+++=A A A L λαλαλα0从而有11.k -=A λα0由于10k -≠A α，所以1.=λ0类似可证得 230,k ====L λλλ因此向量组1,,,k -A A L ααα线性无关.十二、（本题满分5分） 已知线性方程组（I ）1111221,222112222,221122,220,0,0.n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的一个基础解系为T T T 11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,)n n n n n n b b b b b b b b b L L L L . 试写出线性方程组（II ）1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L的通解，并说明理由.解：（II ）的通解为T T111121,2221222,2(,,,)(,,,)n n y c a a a c a a a =++L L L T 12,2(,,,)n n n n n c a a a +L ，其中12,,,n c c c L 为任意常数.理由：方程组（I ）、（II ）的系数矩阵分别记为,A B ，则由（I ）的已知基础解系可知T=AB 0，于是T T ()==BA AB 0，因此可知A 的n 向个向量的转置向量为（II ）的n 个解向量.由于B 的秩为n ，故（II ）的解空间维数为2n n n -=，又A 的秩为2n 与（I ）的解空间维数之差，即为n ，故A 的n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（II ）的一个基础解系，于是得到（II ）的上述通解。
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(11 解析几何初步)
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（11解析几何初步）一、选择题：1.(2012安徽文)若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 取值范围是（ ） ()A [3,1]-- ()B [1,3]- （C ） [3,1]- ()D (,3][1,)-∞-+∞ 【解析】选C圆22()2x a y -+=的圆心(,0)C a 到直线10x y -+=的距离为d则 1231d r a a ≤=⇔≤⇔+≤⇔-≤≤2. (2012福建文)直线x+y 2-2=0与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于A. B C.D.13. (2012广东文)在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y += 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于A. B. C.D . 13. B. 圆心(0,0)到直线3450x y +-=的距离1d ==，则222()32AB r d =-=，即AB =4. (2012湖北文)过点P （1,1）的直线，将圆形区域{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A. x+y-2=0B. y-1=0C. x-y=0D. x+3y-4=05.A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y .故选A.【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.5、(2012江西理)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222||||||PA PB PC +=（ ）A ．2B ．4C ．5D ．105. D 【解析】本题主要考查两点间的距离公式，以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想.不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令4AC BC ==,则AB =,CD =12AB =,1||2PC PD CD ===PA PB ====,所以222||||101010||2PA PB PC ++==. 【点评】对于非特殊的一般图形求解长度问题，由于是选择题，不妨尝试将图形特殊化，以方便求解各长度，达到快速求解的目的.体现考纲中要求掌握两点间的距离公式.来年需要注意点到直线的距离公式.6.(2012辽宁文) 将圆x 2+y 2 -2x-4y+1=0平分的直线是（ ）（A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=0 【答案】C【解析】圆心坐标为（1，2），将圆平分的直线必经过圆心，故选C 【点评】本题主要考查直线和圆的方程，难度适中。
华中科技大学2011-2012学年期末线性代数课程考试A卷
∗ 的特征值为 3
1
−1
1
−2
−2
取3 ，4 位自由变量得X = 3 [ ] + 4 [ ] + [ 1 ]
1
0
0
0
1
0
（3）当3×3 的特征值为 3 时，
∗ 的特征值为 2。
∴通解为X = 1 [1, −2,1,0] + 2 [1, −2,0,1] + [−1,1,0,0] ,
（3）方程组由无穷多解时，
∴ a = 1 且 b = −1
3
⋮ 0
⋮ 1]
⋮ 1
⋮ −1
华中科技大学 2011-2012 学年第二学期《线性代数》课程考试试卷 A 卷
此时{
1 + 2 + 3 + 4 = 0
= −1 + 3 + 4
⇒{ 1
2 + 23 + 24 = 1
2 = 1 − 23 − 24
1
[− − ] = [ 0 −1 −1] → [0
0 −1 −1
0
0 0
1 1]，
0 0
1
0
1
0 −
4
0
⋯
→ 0
⋯ −1
1
2
1
1
0
2
[
0
得3 = −1对应的线性无关的特征向量3 = [0,1, −1] 。因此可取
1 0
P = [1 , 2 , 3 ] = [0 1
0 1
0
1 ],则−1 =
（
）1.若 n 阶方阵 A 的行向量组与列向量组不等价，则|A|＝0。
1 0 1
2.设 A=[0 2 0]，对正整数n ≥ 2,则 − 2−1 =_______。
2012中科大数学分析硕士研究生入学考试试题(回忆版)
������
1 ������ − 1 ln ( ) ⅆ������， (������ > 1) ������ 32
2012 中科大数学分析考研试题 ������ − ������ 2 ⅈ(������ ) = . / 2 展开成以2������为周期的 Fourier 级数； （2）利用上面的级数计算下面级数的和 ∑
������������ ������������ ∞ ������=1
∞
������ ������ ⅇ −������������ 在(0, ∞)上一致收
2
+
������������ ������������
+
������������ ������������
= ⅈ，且
2012 中科大数学分析考研试题 ∬
2012 中科大数学分析考研试题
中国科学技术大学
2012 年硕士学位研究生入学考试试题 数学分析（回忆版） 1、 （15 分）回答下列问题，如果结论是肯定的，请举例说明：如果 结论是否定的，请给出证明。 （1）是否存在两个发散的正数列，而它们的和是一个收敛数列？ （2）是否存在,������, ������-上的不恒为 0 的连续函数ⅈ(������ )，使它在,������, ������-中 的有理点处的取值为 0？ (3) 是否存在数列*������������ +，使
������2n−1 = ������ ������→∞ 2������ − 1 ������������������
������1 + ������2 + ⋯ + ������������ ������ + ������ = ������→∞ ������ 2 ������������������ 3、函数 ⅈ(������ ) = ∫ 在何处取得最小值？ 4、已知函数ⅈ(������ )可微，且ⅈ ′ (������ ) = 0(������ )，(������ → +∞)，证明： ⅈ(������ ) = 0(������ 2 )，(������ → +∞) (注：0代表有界量)。 5、 （1）将函数 1
(理科)(大纲版)2012年全国统一高考数学试卷答案与解析
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2014•大庆二模）复数=（）的分子分母都乘以分母的共轭复数，得=或．C D．轴上，且椭圆的方程为4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=2，，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的C DEC=×××BD=2BE=DE==2×=2×h=5．（5分）（2014•重庆三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为．C D．=∴==6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）．C D．，进而可求，从而可求与解：∵•=0∵||=1||=2AB=∴∴∴7．（5分）（2014•宜春模拟）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）D．=，两边平方得：=﹣，）×8．（5分）（2014•闸北区三模）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=．C D．，==9．（5分）（2014•湖北）已知x=lnπ，y=log52，，则（），＞，即可得到答案．5=，=＞，即（311．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的CG=DH=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．解：作出不等式组14．（5分）（2014•武汉模拟）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．﹣cosx cosx=2sinx cosx﹣﹣＜，=，x=．故答案为：）15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．解：由题意可得，此时系数为16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．=，，，∵∴（）﹣++=|==|===＜，=所成角的余弦值为三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．，sinAsinC=①sinC=18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．，（2），﹣∴2，（，（）∴=﹣=0•=0），（的法向量为，则，=，则，﹣），∴•﹣b=∴，，（﹣，﹣＜，==19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．1，根据120．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．，构造函数）x；②≤﹣时，∵，即x时，有时，，当时，≤≤21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．，到该切线的距离为，建立方程，求得，的斜率×=r=|MA|=到该切线的距离为∴﹣﹣﹣的距离为22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．的方程为时，可得，可得，可得是以﹣为首项，的方程为时，∴的方程为时，∴，∴，可得，∴∴∴是以﹣为首项，∴∴∴。
线性代数期终考试试题(B)
国防科技大学2011 —2012 学年秋季学期《线性代数》考试试卷（B ）卷注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效．2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记．一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1．设4阶矩阵1101,,0100⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B A BC C 00，且整数2n ≥，则n =A _ ． 2．设矩阵300140003⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，则1(2)--=A E ． 3．设行列式4531235708002222D =---，则21222324M M M M +-+= ． 4．设n 阶矩阵A 的特征值互不相等，且0=A ，则rank =A ．5．若1031012t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 是正定矩阵，则t 的取值范围是 ． 6．3 中的向量T (1,1,1)=α在基T 1(1,2,2)=α，T 2(2,1,2)=α，T 3(2,2,1)=α下的坐标为 ．学号： 姓名： 学院： 年级： 专业：------------------------------------------------- 密 － 封 － 线 ---------------------------------------------------二、单选题（共6小题，每小题3分，共18分）1．设A 是三阶矩阵，将A 的第二行加到第一行上得到矩阵B ，将B 的第一列的-1倍加到第二列上得到矩阵C ，若1-=C P AP ，则=P 【 】 (A) 110010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． (B) 100110001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦． (C) 110010001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． (D) 100110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 2．设n 阶矩阵,A B 的伴随矩阵分别为,**A B ，则分块矩阵⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B 00的伴随矩阵为 【 】 (A) **⎡⎤⎢⎥⎣⎦A A B B 00． (B) **⎡⎤⎢⎥⎣⎦B B A A 00． (C) **⎡⎤⎢⎥⎣⎦A B B A 00． (D) **⎡⎤⎢⎥⎣⎦B A A B 00． 3．设三阶矩阵,A B 满足2--=A B A B E ，若101020201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，则B 等于 【 】 (A) 12-． (B) 12． (C) 1-． (D) 1．4．设A 是n 阶矩阵，b 是n 维列向量，若T rank rank ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A b A b 0，则 【 】 (A) =Ax b 有无穷多个解． (B) =Ax b 有唯一解．(C) T⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b x b y 00有非零解． (D) T ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A b x b y 00仅有零解． 5．设n 维列向量组12(I):,,,m ααα 线性无关，且m n <，则n 维列向量组12(II):,,,m βββ 线性无关的充要条件是 【 】 (A) 向量组(I)可由向量组(II)线性表示．(B) 向量组(II)可由向量组(I)线性表示．(C) 向量组(I)与向量组(II)等价． (D) 矩阵12[]m ααα 与12[]m βββ 等价． 6．设12,λλ是n 阶矩阵A 的两个特征值，12,p p 分别为它们对应的特征向量，且 120λλ=-≠，则 【 】 (A) 12+p p 是A 的特征向量． (B) 12-p p 是A 的特征向量． (C) 12+p p 是2A 的特征向量． (D) 12+p p 不是2A 的特征向量．三、（10分）计算4阶行列式1111234549162560403024A ．号： 姓名： 学院： 年级： 专业： ----------------------------------------------- 密 － 封 － 线 -----------------------------------------------------四、（10分）设100011110,101111110⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B，E是三阶单位矩阵，解矩阵方程+=++AXA BXB AXB BXA E．学号： 姓名： 学院： 年级： 专业：------------------------------------------------- 密 － 封 － 线 ------------------------------------------------------五、（10分）设n 阶实矩阵A 有n 个两两正交的特征向量，证明A 是对称矩阵．问,a b 为何值时，(1) β不能由123,,ααα线性表示；(2) β能由123,,ααα唯一线性表示，并求出其表达式；(3) β能由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一，并求出一般表达式．六、(10分) 设123120347110,,,011234b a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααβ．学号： 姓名： 学院： 年级： 专业：------------------------------------------------- 密 － 封 － 线 ------------------------------------------------------七、（12分）设3阶实对称矩阵A 的秩为2，126λλ==是A 的二重特征值，T 1(1,1,0)=α，T 2(2,1,1)=α都是对应于特征值6的特征向量． (1) 求A 的另一特征值及其对应的特征向量；(2) 求矩阵A ．八、（12分）设n阶矩阵A满足，且234A A E，证明+=(1) rank(4)rank()nA E A E；++-=(2) A可对角化；(3) 2+A E逆，并求其逆．。
最新线性代数与解析几何试题(附解析)-中国科技大学
中 国 科 学 技 术 大 学 2005—2006学年第2学期考试试卷考试科目:线性代数 得分: 学生所在系:姓名:学号:一、判断题（30分，每小题6分）。
判断下列命题是否正确，并简要说明理由。
1. 三维空间向量c b,a,共面的充要条件是0det =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅c c b c a c c b b b a b c a b a a a 。
2. 设A 为n 阶实正交方阵，I 为n 阶单位阵，则I A 2-为可逆方阵。
3. 设n m ⨯阶非零实矩阵A 和B 满足0='B A ，则A 的行向量线性相关，并且B 的行向量也线性相关。
4. 设)(R M n 是n 阶实方阵全体按矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，则满足0tr =A 的n 阶实方阵A 的全体构成)(R M n 的子空间。
5. 设B A ,为方阵，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛B A 是实正定对称方阵，则B A ,也是实正定对称方阵。
二、计算题（62分）。
1. （15分）b a ,为何值时，下列线性方程组有解？当有解时，求出该方程组的通解。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 54321543254321543213345362232312.3. （15分）设n 阶实方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=2112112O O A n ，求n A det 和14-A 。
4. （17分）设V 是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。
在定义内积Y X Y X '=tr ),(后，V 成为一个欧氏空间。
现定义V 上的变换X X X '+ : A 。
（1）证明： A 是一个线性变换；（2）求 A 在基⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000,0100,0010,0001下的表示矩阵；（3）求 A 的所有特征值与特征向量；（4）求V 的一组标准正交基，使得 A 在此基下的表示矩阵为对角阵。
中国科学院大学2012年高等代数及其试题答案
T2 (k ) 0 ，而 T3 (k ) kT3 ( ) T3 ( ) T3 ( ) 0 ，得证。
注 1： 根据证明， 对任意有限多个线性变换， 结论同样成立， 而不仅限于 n 个 线性变换； 注 2： 一些教科书中有结论： 设 V1 , V2 , , Vs 是 n 维线性空间的 s 个非平凡子空 间，则有向量 ，使得 Vi 。如果利用该结论的话，可以不妨设诸 Ti 既非零变 换，又非可逆变换，构造子空间 Vi ker Ti Ti ( ) 0 ，即得。
T 1 1 A 1
T A1 0 A I 1 T A1 T 1 0 1 A T A1 1 A1 T A1 A 1 T A1 I 0 T A1 0 1 T 1 1 A A （1）由 T
f ( x) p ( x)u ( x) f ( x) g1 ( x)[ p ( x)q ( x) r ( x)] r ( x) g1 ( x) p ( x) f1 ( x)
于是
f ( x) f ( x) r ( x) k k 1 1 g ( x) p ( x) p ( x) g1 ( x)
1 n c 0， n!
得 c 0 ，即 f (0) 0 ，矛盾。 2．分析：只需证明 f ( x) r ( x) g1 ( x) p ( x) f1 ( x) 证明 由 ( p ( x), g1 ( x)) 1 ，得 p ( x)u ( x) g1 ( x)v( x) 1 ，则
K n ，由 ( A ) A ，其中 A V1 ， A V2 ，
故 K n V1 V2 ， 故有 K n V1 V2 ， 至于 V1 V2 V1 V2 ， 很容易证明 V1 V2 0 ， 或者利用幂等矩阵的性质 rank ( A) rank ( I A) n ，得
2012考研真题及答案
2012考研真题及答案2012年的考研真题是许多考生备战考研的重要资料，了解这些真题并熟悉其中的答案对于备考考研的同学来说是至关重要的。
在本文中，将为您介绍2012年的考研真题及其答案。
第一部分：数学一2012年的考研数学一科目主要涵盖了数学分析、高等代数和概率论等内容。
以下是部分考题及其答案的概要。
题一：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
解析：根据罗尔定理，由于f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]上有f(a)=f(b)。
根据拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(a,b)，使得f' ( ξ )=(f(b)-f(a))/(b-a)。
所以，f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
题二：已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-3^n+4^n-5^n，求证数列{a_n}是等差数列。
解析：我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。
当n=1时，a_1=2-3+4-5=-2。
当n=k时，假设a_k=2^k-3^k+4^k-5^k成立。
当n=k+1时，我们需要证明a_(k+1) =2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)也成立。
根据等差数列的性质，我们有a_(k+1)-a_k = (2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)) - (2^k-3^k+4^k-5^k)。
化简后可得a_(k+1)-a_k= -2 × 3^k + 3^(k+1) -2 × 5^k + 5^(k+1)。
通过整理和变换，我们得到a_(k+1)-a_k = -3^k (2-3) + 5^k (5-2) = 0。
因此，数列{a_n}是等差数列。
通过以上两道题目，我们可以看出2012年考研数学一科目的难度适中，考察了数学分析和代数的基本概念和推导方法。
2012年高考数学试题解析 分项版之专题17 矩阵与变换、行列式、极限 学生版选修 文.pdf
专题复习(三) 函数的应用函数是初中数学的重点内容之一也是初高中数学联系的纽带它与方程、不等式、几何等知识有密切的联系主要考查学生的数学建模能力、阅读理解能力、分析和解决问题的能力．解函数应用题第一步由实际问题抽象出数学问题；第二步解决数学问题从而使实际问题得到解决．如2012年一次函数与反比例函数的综合应用问题；2013年利用二次函数的性质求网店获得的利润最大问题；2014年考查的是二元一次方程与一次函数相结合的实际应用题年考查了二次函数在几何图形中的实际应用问题这部分题目一般以解答题出现分值在10～12分预计2016年安徽中考本部分的内容依然是必考的内容．类型一 一次函数与反比例函数的综合应用 (2012·安徽)甲、乙两家商场进行促销活动甲商场采用“买200减100”的促销方式即购买商品的总金额满200元但不足400元少付100元；满400元但不足600元少付200元；…乙商场按顾客购买商品的总金额打6折促销．(1)若顾客在甲商场购买了510元的商品付款时应付多少钱？(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400≤x＜600)元优惠后得到商家的优惠率为p(p＝)写出p与x之间的函数关系式并说明p随x的变化情况；(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品在甲、乙两商场的标价都是x(200≤x＜400)元你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由．【思路点拨】 (1)根据题意直接列出算式510－200即可；(2)根据商家的优惠金额即可列出p与x之间的函数关系式并能得出p随x的变化情况；(3)x元(200≤x＜400)得出甲商场需花x－100元乙商场需花0.6x元然后分三种情况讨论即可．【解答】 (1)根据题意得：510－200＝310(元)．答：顾客在甲商场购买了510元的商品付款时应付310元．(2)p与x之间的函数关系式为p＝随x的增大而减小．(3)设购买商品的总金额为x元(200≤x＜400)则甲商场需花y＝x－100元乙商场需花y＝0.6x元．在同一坐标系下画出两函数x－100＝得两函数图象交点的横坐标为：x＝250.由图象知当250＜x＜400时乙商场花钱较少；当200≤x＜250时甲商场花钱较少；当x＝250时两家商场花钱一样多． 解决这类问题应注意审清题目理清步骤：先根据点的坐标确定解析式再根据一次函数图象直观地解决实际问题．本题用到的知识点是反比例函数的性质、一次函数与一元一次不等式的关系等关键是根据题意求出函数的解析式． (2013·玉林、防城港)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序即需要将材料煅烧到然后停止煅烧进行锻造操作．第8 时材料温度降为600 煅烧时温度y()与时间x()成一次函数关系；锻造时温度y()与时间x()成反比例关系(如图)已知该材料初始温度是32 (1)分别求出材料煅烧和锻造时y与xx的取值范围； (2)根据工艺要求当材料温度低于480 时须停止操作那么锻造的操作时间有多长？(1)设锻造时的函数关系式为y＝则600＝＝4 800.锻造时解析式为y＝(x≥6)．当y＝800时＝解得x＝6.点B坐标为(6)．设煅烧时的函数关系式为y＝kx＋b则解得煅烧时解析式为y＝128x＋32(0≤x≤6)．当y＝480时＝＝10－6＝4.答：锻造的操作时间有4分钟． 初中学习网，资料共分享！我们负责传递知识！。
2012年高考真题理科数学解析汇编立体几何参考答案2
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案2则B (2, 0, 0),C (2, 22,0),E (1, 2, 1),)1,2,1(=AE ,)0,22,0(=BC设AE 与BC 的夹角为θ,则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BCAE θ,θ=4π.由此可知,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二]取PB 中点F ,连接EF 、AF ,则EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角在AEF ∆中,由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π1.解(1)1111224ABCS ∆=⨯⨯=,又1CC 为三棱锥1C MBC -的高,11111123346C MBC ABC V S CC -∆∴=⋅=⨯⨯= (2)//CD AB ,所以1C MB ∠或其补角为导面直线CD 与1MC 所成的角.连接1,BC AB ⊥平面11,BCC B AB BC ∴⊥,在1Rt MBC ∆中,11415,2BC MB =+==15tan 2512C MB ∠==,故1arctan 25C MB ∴∠=,即异面直线CD 与1MC 所成的角为arctan 25 2.解析:(1)证法一 如图,过直线b 上任一点作平面π的垂线n ,设直线,,,a b c n 的方向向量分别是,,,a b c n ,则,,b c n 共面,根据平面向量基本定理,存在实数,λμ使得c b n λμ=+则()()()a c a b n a b a n λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅ 因为a b ⊥,所以0a b ⋅=又因为a πÜ,n π⊥,所以0a n ⋅= 故0a c ⋅=,从而a c ⊥证法二 如图,记c b A ⊥=,P 为直线b 上异于点A 的任意一点,过P 作PO π⊥,垂足为O,则O c ∈ ∵PO π⊥,a πÜ,∴直线PO a ⊥ 又a b ⊥,b Ü平面PAO ,POb P =ABCD P EF∴a ⊥平面PAO ,又c Ü平面PAO ,∴a c ⊥(2)逆命题:a 是平面π内一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线b 在π上的投影,若a c ⊥,则a b ⊥. 逆命题为真命题.3. 解析:(Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD,由余弦定理可知202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=,即AD CD BD 33==,在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,则ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.又AE⊥BD,⊂AD 平面BD⊥平面AED,⊂AE 平面AED,且A AE AD = ,故AED;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知CB AC ⊥,设1=CB ,则3==BD CA ,建立如图所示的空间直角坐标系,)0,21,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ,向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量.设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-002323z y y x , 取1=y ,则1,3==z x ,则)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量.5551,cos ==⋅>=<nm n m n m ,而二面角F-BD-C 的平面角为锐角,则 二面角F-BD-C 的余弦值为55. 解法二:取BD 的中点G ,连接1,CG FG ,由于CB CD =,因此CG BD ⊥, 又FC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥ 由于,,FC CG C FC CG ⋂=⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG故BD FG ⊥,所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形BCD 中,由于120BCD ∠=︒,因为12CG CB =,又CB CF =,所以225GF CG CF CG =+=, 故5cos 5FGC ∠=,因此二面角F BD C --的余弦值为55. 4. 【答案及解析】(1) 证明:取''A B 中点P,连结MP,NP,而M,N 分别是A 'B 与'B 'C 的中点,所以,MP∥A 'A ,PN∥'A 'C ,所以,MP∥平面'A AC 'C ,PN∥平面'A AC 'C ,又MP NP p ⋂=,因此平面MPN∥平面'A AC 'C ,而MN ⊂平面MPN,所以,MN∥平面'A AC 'C , 【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定,借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法,并利用法向量判定平面的垂直关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中.第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明. 5. 【解析】解:(1)证明:连接AO ,在1AOA 中,作1OE AA ⊥于点E ,因为11//AA BB ,得1OE BB ⊥,因为1AO ⊥平面ABC ,所以1A O BC ⊥,因为,AB AC OB OC ==, 得AO BC ⊥,所以BC ⊥平面1AA O ,所以BC OE ⊥, 所以OE ⊥平面11BB C C , 又2211,5AO AB BO AA =-==,得2155AO AE AA ==(2)如图所示,分别以1,,OA OB OA 所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0), C(0,-2,0), A 1(0.0,2),B(0,2,0) 由(1)可知115AE AA =得点E 的坐标为42(,0,)55,由(1)可知平面11BB C C 的法向量是42(,0,)55,设平面11A B C 的法向量(,,)n x y z =,由10n AB n A C ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩,得200x y y z -+=⎧⎨+=⎩,令1y =,得2,1x z ==-,即(2,1,1)n =-所以30cos ,10||||OE n OE n OE n ⨯<>==⨯ 即平面平面11A B C 与平面BB 1C 1C 夹角的余弦值是3010. 【点评】本题考查线面垂直,二面角、向量法在解决立体几何问题中的应用以及空间想象的能力. 高考中,立体几何解答题一般有以下三大方向的考查.一、考查与垂直,平行有关的线面关系的证明;二、考查空间几何体的体积与表面积;三、考查异面角,线面角,二面角等角度问题.前两种考查多出现在第1问,第3种考查多出现在第2问;对于角度问题,一般有直接法与空间向量法两种求解方法.6. 【答案】证明:(1)∵111ABC A B C -是直三棱柱,∴1CC ⊥平面ABC .又∵AD ⊂平面ABC ,∴1CC AD ⊥.ByOC AEzA 1B 1C 1x又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E =，,∴AD ⊥平面11BCC B .又∵AD ⊂平面ADE ,∴平面ADE ⊥平面11BCC B . (2)∵1111A B AC =,F 为11B C 的中点,∴111A F B C ⊥.又∵1CC ⊥平面111A B C ,且1A F ⊂平面111A B C ,∴11CC A F ⊥. 又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ,1111CC B C C =,∴1A F ⊥平面111A B C .由(1)知,AD ⊥平面11BCC B ,∴1A F ∥AD .又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ,∴直线1//A F 平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系.【解析】(1)要证平面ADE ⊥平面11BCC B ,只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可.它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD DE ⊥证得.(2)要证直线1//A F 平面ADE ,只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可.7. 【解析】 解法1(Ⅰ如图(1)),连接AC,由AB=4,3BC=,90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又E 是CD 的中点,所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD⊥平面PAE. (Ⅱ)过点B 作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接 由(Ⅰ)CD⊥平面PAE 知,BG⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角,且BG AE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知,PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意,知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形,故 3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中,4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以于是85.5PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为 解法2:如图(2),以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为:(Ⅰ)易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知,,CD AP 分别是PAE 平面,ABCD 平面的法向量,而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等,所以由(Ⅰ)知,(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-由(4,0,),PB h =-故解得855h =. 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=,所以四棱锥P ABCD -的体积为 118512851633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高,由13V S PA =⨯⨯算得体积,或者建立空间直角坐标系,求得高几体积.8.考点分析:本题考察立体几何线面的基本关系,考察如何取到最值,用均值不等式和导数均可求最值.同时考察直线与平面所成角.本题可用综合法和空间向量法都可以.运用空间向量法对计算的要求要高些. 解析:(Ⅰ)解法1:在如图1所示的△ABC 中,设(03)BD x x =<<,则3CD x =-.由AD BC ⊥,45ACB ∠=知,△ADC 为等腰直角三角形,所以3AD CD x ==-. 由折起前AD BC ⊥知,折起后(如图2),AD DC ⊥,AD BD ⊥,且BD DC D =, 所以AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=,所以11(3)22BCD S BD CD x x ∆=⋅=-.于是 312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦, 当且仅当23x x =-,即1x =时,等号成立,故当1x =,即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大. 解法2:同解法1,得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+.令321()(69)6f x x x x =-+,由1()(1)(3)02f x x x '=--=,且03x <<,解得1x =.ABC D PE图 ②xy z 345h当(0,1)x ∈时,()0f x '>;当(1,3)x ∈时,()0f x '<. 所以当1x =时,()f x 取得最大值.故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大. (Ⅱ)解法1:以D 为原点,建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -. 由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,2AD CD ==.于是可得(0,0,0)D ,(1,0,0)B ,(0,2,0)C ,(0,0,2)A ,(0,1,1)M ,1(,1,0)2E ,且(1,1,1)BM =-.设(0,,0)N λ,则1(,1,0)2EN λ=--. 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ⋅=,即11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=,故12λ=,1(0,,0)2N .所以当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时,EN BM ⊥. 设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ,由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 及1(1,,0)2BN =-,得2,.y x z x =⎧⎨=-⎩ 可取(1,2,1)=-n . 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ,则由11(,,0)22EN =--,(1,2,1)=-n ,可得1|1|32sin cos(90)2||||262EN EN θθ--⋅=-===⋅⨯n n ,即60θ=. 故EN 与平面BMN 所成角的大小为60. 解法2:由(Ⅰ)知,当三棱锥A BCD -的体积最大时,1BD =,2AD CD ==. 如图b ,取CD 的中点F ,连结MF ,BF ,EF ,则MF ∥AD .由(Ⅰ)知AD ⊥平面BCD ,所以MF ⊥平面BCD . 如图c ,延长FE 至P 点使得FP DB =,连BP ,DP ,则四边形DBPF 为正方形,所以DP BF ⊥. 取DF 的中点N ,连结EN ,又E 为FP 的中点,则EN ∥DP , 所以EN BF ⊥. 因为MF ⊥平面BCD ,又EN ⊂面BCD ,所以MF EN ⊥. 又MF BF F =,所以EN ⊥面BMF . 又BM ⊂面BMF ,所以EN BM ⊥. 因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥,而点F 是唯一的,所以点N 是唯一的.即当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点),EN BM ⊥. 连接MN ,ME ,由计算得52NB NM EB EM ====, 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形,如图d 所示,取BM 的中点G ,连接EG ,NG ,则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中,过点E 作EH GN ⊥于H , 则EH ⊥平面BMN .故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角.在△EGN 中,易得22EG GN NE ===,所以△EGN 是正三角形, 故60ENH ∠=,即EN 与平面B M N 所成角的大小为60.C AD B 图aE Mx y z图b C AD BEF MN 图c BDP C F N EBG M N E H图d N9. 解析:(Ⅰ)因为PC ⊥平面BDE ,BD ⊂平面BDE ,所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面平面ABCD ,所以PA BD ⊥.而PC PA P =,PC ⊂平面PAC ,PA ⊂PAC ,所以BD ⊥平面PAC .(Ⅱ)由(Ⅰ)可知BD ⊥平面PAC ,而AC ⊂平面PAC ,所以BD AC ⊥,而ABCD 为矩形,所以ABCD 为正方形,于是2A B A D ==.间直角法1:以A 点为原点,AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴,建立空坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ,于是()0,2,0BC =,()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ,则0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ,从而2020y x z =⎧⎨-=⎩,令1x =,得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =-.所以二面角B PC A --的余弦值为210cos ,10522⋅<>==⨯121212=n n n n n n ,于是二面角B PC A --的正切值为3. 法2:设AC 与BD 交于点O ,连接OE .因为PC ⊥平面BDE ,OE ⊂平面BDE ,BE ⊂平面BDE ,所以PC OE ⊥,PC BE ⊥,于是OEB ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为BD ⊥平面PAC ,OE ⊂平面PAC ,所以O E B ∆是直角三角形.由OEC ∆∽PAC ∆可得O E P AO C P C=,而2AB AD ==,所以22AC =,2OC =,而1PA =,所以3PC =,于是12233PA OE OC PC =⨯=⨯=,而2OB =,于是二面角B PC A --的正切值为3OBOE=. 10. 【考点定位】本题考查直线与直线、直线与平面以及二面角等基础知识、考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归的思想. 解:(1)以点A 为原点建立空间直角坐标系,设AB a =,则11011(1)102aAD B E ⋅=-⨯+⨯+-⨯=,故11B E AD ⊥(2)假设在棱上存在一点(0,0,)P t ,使得//DP 平面1B AE ,则(0,1,)DP t =-设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =,则有100002ax z n AB ax y n AE +=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪⋅=⎩⎩,取1x =,可得(1,,)2a n a =--,要使//DP 平面1B AE ,只要DP n ⊥1022a at t ∴-=⇒=,又DP ⊄平面1B AE ,∴存在点P 使//DP 平面1B AE ,此时12AP =.(3)连接11,A D B C ,由长方体11AA AD ==,得11A D AD ⊥11//B C A D ,11AD B C ∴⊥,由(1)知11B E AD ⊥,故1AD ⊥平面11DCB A .1AD 是平面11DCB A 的法向量,而1(0,1,1)AD =,则二面角是30︒,所以,即2AB =11. 【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用.从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度,并加以证明和求解. 解:设ACBD O =,以O 为原点,OC 为x 轴,OD 为y 轴建立空间直角坐标系,则(2,0,0),(2,0,0),(2,0,2),A C P --设(0,,0),(0,,0),(,,)B a D a E x y z -.(Ⅰ)证明:由2PE EC =得22(,0,)33E , 所以(22,0,2)PC =-,22(,,)33BE a =,(0,2,0)BD a =,所以22(22,0,2)(,,)033PC BE a ⋅=-⋅=,(22,0,2)(0,2,0)0PC BD a ⋅=-⋅=.所以P C ⊥,PC BD ⊥,所以PC ⊥平面BED ;(Ⅱ) 设平面PAB 的法向量为(,,n x y z =,又(0,0,2),(2,,0)AP AB a ==-,由0,0n AP n AB ⋅=⋅=得2(1,,0)n a =,设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =,又(2,,0),(22,0,2)BC a CP ==-,由0,0m BC m CP ⋅=⋅=,得2(1,,2)m a =-,由于二面角A PB C --为90,所以0m n ⋅=,解得2a =.所以(2,2,2)PD =-,平面PBC 的法向量为(1,1,2)m =-,所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为||12||||PD m PD m ⋅=⋅,所以PD 与平面PBC 所成角为6π.【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题和相似,底面也是特殊的菱形,一个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点E 的位置的选择是一般的三等分点,这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的,因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.12. 【考点定位】此题第二问是对基本功的考查,对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答.第三问的创新式问法,难度非常大.解:(1)CD DE ⊥,1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1ACD , 又1A C ⊂平面1ACD , 又1AC CD ⊥, ∴1A C ⊥平面BCDE(2)如图建系C xyz -,则()200D -，，,()0023A ，，,()030B ，，,()220E -，， zyxA 1 (0,0,23)D (-2,0,0)E (-2,2,0)B (0,3,0)C (0,0,0)M∴()10323A B =-，，,()1210A E =--，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，,则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()123n =-，，又∵()103M -，，∴()103CM =-，，∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ⋅+====⋅++⋅+⋅∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒(3)设线段BC 上存在点P ,设P 点坐标为()00a ，，,则[]03a ∈，则()1023A P a =-，，,()20DP a =，， 设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，,则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1363n a a =-，，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直,则10n n ⋅=,∴31230a a ++=,612a =-,2a =- ∵03a << ∴不存在线段BC 上存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直13. 【解析】(I)取11,BC B C 的中点为点1,O O ,连接1111,,,AO OO AO AO则AB AC AO BC =⇒⊥,面ABC ⊥面11BB C C AO ⇒⊥面11BB C C 同理:11A O ⊥面11BB C C 得:1111//,,,AO AO A O A O ⇒共面 又11,OO BC OO AO O ⊥=⇒BC ⊥面111AOO A AA BC ⇒⊥(Ⅱ)延长11A O 到D ,使1O D OA = 得:11////O D OA AD OO ⇒1OO BC ⊥,面111A B C ⊥面11BB C C 1OO ⇒⊥面111A B C ⇒AD ⊥面111A B C (Ⅲ)11,AO BC AO BC AOA ⊥⊥⇒∠是二面角1A BC A --的平面角 在11Rt OO A ∆中,222211114225A O OO AO =+=+=在1Rt OAA ∆中,22211115cos 25AO AO AA AOA AO AO +-∠==-⨯ 得:二面角1A BC A --的余弦值为55-.。