特级教师高考数学首轮复习第17讲-函数综合应用
2020届高中高三数学一轮复习总结导数及其应用第17课时导数的综合应用无答案.doc
第 17 课时导数的综合应用一、考要求要求内容B CA数的合用√二、知点三、知梳理1、曲 y=ln(2x-1)上的点到直2x-y+3=0 的最短距离.2、一列沿直道前，从刹开始到停段内，得刹后ts 内列前的距离s=27t － 0.45t 2m，列刹后________s 停下来，期列前了________m.3、已知函数f(x)=e x－2x＋a有零点， a 的取范是 ________.4、已知点 P 在曲y 4 上，曲在点 P 切的斜角，的取范是.e x 15、已知函数 f(x) 的定域 R，f(1)=2. 任意 x∈ R，f ′ (x)<1 ，不等式 f(2x)<2x ＋ 1 的解集________．6、（四川高考理科·Ｔ9）已知 f ( x) ln(1 x) ln(1 x) ， x ( 1,1) ，有下列命：①；②2x；③ f (x) 2 x .其中的所有正确命的序号f ( x)f ( x) f ( 1x2) 2 f (x)是________．四、典例精例1、某建筑公司要在一大的矩形地面( 如所示 ) 上行开建，阴影部分一公共施建不能开，且要求用隔开(要求在一直上) ，公共施界曲f(x)=1－ax2(a＞0)的一部分，与矩形区域的界交于点M、N，切曲于点P， P(t ，f(t))．(1)将△ OMN(O坐原点 ) 的面 S 表示成 t 的函数 S(t) ；1(2)若在t=2，S(t)取得最小，求此 a 的及 S(t) 的最小．例 2、函数 f(x)=ax3＋bx2－3x(a，b∈R)在点(1，f(1))的切方程y＋2=0.(1) 求函数 f(x)的解析式；(2)若于区[－2,2]上任意两个自量的x1， x2，都有 |f(x1)－f(x2)|≤ c，求数小；(3)若点M(2，m)(m≠2)可以作曲y=f(x)的三条切，求数m的取范．式 2：π 周率 ,e=2.71828 ⋯自然数的底数.(1)求函数 f(x)=ln x的区 . x(2) 求 e3,3 e,e π , πe,3 π , π3 6 个数中的最大数与最小数.五、反1、已知直 y=kx ＋1 与曲 y=x 3＋ ax＋ b 切于点 (1,3) ， b=________.2、函数 f(x)= x(e x 1)1x2，f(x)的增区.23、已知函数y x3 3x c 的像与x恰有两个公共点，c＝.4、函数 f(x)=x 2－ alnx ， g(x)=x 2－ x. 若 x∈ (1 ，＋∞ ) ，恒有函数 f(x) 的象位于 g(x)上方，数 a 的取范是 ________．5、若函数f ( x)e x2 (a 0) R上的函数， a 的取范.1 ax6 、函数 f (x) e2 x21, g(x)e2x, 任意 x1 , x2 ( 0, ), 不等式g(x1 ) fx e x k k 立，正数 k 的取范是____________.六、小反思第 66 课时简单的复合函数的导数2020 届高三数学主备人崔志荣审核人刘兵一轮复习学案一、考纲要求要求内容B CA简单的复合函数的导数√二、知识点归纳三、知识梳理1、设 y=e x sin2x + x lnx则y'=.2、y(x23x 2)sin 3x 的导数是.3、曲线y＝ e－2x＋ 1 在点 (0,2)处的切线与直线y＝0和 y＝ x 围成的三角形的面积为_______．4、已知函数 f ( x) (2 x a)2 e x在x 2 处取极小值，则实数a____________.四、典例精讲例 1、求下列复合函数的导数( 理科 ) ：(1)y ＝(2x － 3)5 ；(2)y ＝3－ x；(3)y ＝ln(2x ＋ 5) ．例 2、已知常数a 0 ，函数 f (x) ln(1 ax)2x，讨论 f ( x) 在区间 (0, ) 的单调性.x 2五、反馈练习1、若函数f ( x) ( x2bx b) 1 2x(b R) 在区间(0,1)上单调递增，则 b 的取值范围2是____________.2、(2020 ·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T12) 设函数 f(x)= 3 sinx. 若存在 f(x) 的m2x02 2x0满足x0 + f <m, 则 m的取值范围是 ____________.3、已知曲线y ln xx2 1在点 A 处的切线与曲线2 2x2 2y sin 2x , 在点 B 处的切线相同,求的值 .2 2六、小结反思。
高考数学一轮复习第17讲 导数的综合应用
第17讲 导数的综合应用激活思维1.已知函数f (x )＝a x－1＋lnx ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤0有解，则实数a 的取值范围是( )A. (2，＋∞)B. (－∞，3)C. (－∞，1]D. [3，＋∞)2. 若函数f (x )＝x e x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a|－1e <a<0B. ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a|a>－1eC. {}a|－e<a<0D. {}a|0<a<e3. 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2，若对任意的x∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (－2,0)B. (0，e)C. (0，＋∞)D. [－2，＋∞)4. (多选)已知定义在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2上的函数f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，且cos xf ′(x )＋sin xf (x )＜0恒成立，则( )A. f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＞2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4B.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 C. f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3 D. 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＞3f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4 知识聚焦1. 利用导数证明不等式 (1)构造法：证明f (x )<g (x )，x∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果F ′(x )<0，则F (x )在(a ，b )上是减函数，则只需F (a )≤0，由减函数的定义可知，x ∈(a ，b )时，有F (x )<0，即证明了f (x )<g (x )．(2)最值比较法：证明f (x )<g (x )，x∈(a ，b )时，若构造函数F (x )＝f (x )－g (x )后，F (x )的单调性无法确定，可考虑f (x )的最大值与g (x )的最小值，如果f (x )max <g (x )min ，则可得f (x )<g (x )．2. 利用导数解决不等式的恒成立(能成立)问题“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题，一般都可通过求相关函数的最值来解决，如：当f (x )在x ∈D 上存在最大值和最小值时，若f (x )≥g (a )对于x∈D 恒成立，应求f (x )在x∈D 上的最小值，将原条件转化为g (a )≤f (x )min ；若f (x )≤g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )在x ∈D 上的最大值，将原条件转化为g (a )≥f (x )max ；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )在x∈D 上的最大值，将原条件转化为g (a )≤f (x )max ；若存在x∈D ，使得f (x )≤g (a )成立，应求f (x )在x ∈D 上的最小值，将原条件转化为g (a )≥f (x )min .3. 利用导数研究函数零点(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；(2) 根据函数f(x)的性质作出图象；(3) 判断函数零点的个数．第1课时导数与不等式证明分类解析目标1 构造函数证明不等式(2021·赣州模拟)已知函数f(x)＝1－lnxx，g(x)＝aeex＋1x－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．(1) 求a，b的值；(2) 求证：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥2 x.(2020·深圳二模节选)已知函数f(x)＝a e x＋2x－1(其中常数e＝2.718 28…是自然对数的底数)，求证：对任意的a≥1，当x>0时，f(x)≥(x＋a e)x.目标2 分析最值证明不等式已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1) 讨论函数f(x)的单调性；(2) 当a＝e时，求证：xf(x)≤e x－2e x.目标3 放缩法证明不等式(2020·惠州三模节选)设函数f(x)＝e x＋a·sinx＋b(a，b为实数)，且曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为x－y－1＝0.(1) 求a，b的值；(2) 求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＞ln x.课堂评价1. 设a＝e636，b＝e749，c＝e864，则a，b，c的大小关系为( )A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b2. (2021·洛阳期中)若a＞b＞1，P＝a e b，Q＝b e a，则P，Q的大小关系是( )A. P＞QB. P＝QC. P＜QD. 不能确定3. 设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1) 求f(x)的单调区间与极值；(2) 求证：当a>ln2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.第2课时导数与不等式恒成立(能成立)问题分类解析目标1 f(x)<g(x)型若对任意x∈(0，＋∞)，不等式2x＋ln x≤a(x2＋x)恒成立，求实数a的取值范围．若对任意x∈(0，＋∞)，不等式2x ln x≥－x2＋ax－3恒成立，求实数a的取值范围．目标2 f(x 1)<g(x 2)型已知函数f(x)＝ln x －ax ＋1－ax －1(a ∈R )．(1) 当a ≤12时，讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝x 2－2bx ＋4，当a ＝14时，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围．(2021·济宁期中)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )．(1) 若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2) 求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝x 2－2x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．目标3 f(x 1，x 2)<g(x 1，x 2)型已知函数f(x)＝x －1－a ln x(a∈R )，若a <0，且对任意x 1，x 2∈(0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x1－1x2，求实数a 的取值范围．已知f (x )＝13x 3－ax lnx ，若对于任意x 1，x 2∈[1,2]，x 1≠x 2，都有f ′(x 1)－f ′(x 2)x 1－x2>a 恒成立，求a 的取值范围．课堂评价 1.已知函数f (x )＝x 2e x ，当x∈[－1,1]时，不等式f (x )<m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞B. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e ，＋∞C. [e ，＋∞)D. (e ，＋∞)2.(2021·姜堰中学)已知函数f (x )＝ln x －ax，若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0，e)C. (1，＋∞)D. [－1，＋∞)3. 已知函数f (x )＝ax －e x(a ∈R )，g (x )＝lnxx.(1) 求函数f (x )的单调区间；(2) 若存在x ∈(0，＋∞)，使不等式f (x )≤g (x )－e x 成立，求a 的取值范围．第3课时导数与函数零点分类解析目标1 求函数零点的个数给出定义在(0，＋∞)上的两个函数f(x)＝x2－a ln x，g(x)＝x－a x.(1) 若f(x)在x＝1处取最值，求a的值；(2) 在(1)的条件下，试确定函数m(x)＝f(x)－g(x)－6的零点个数，并说明理由．设函数f(x)＝e2x－a ln x，讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数．目标2 根据函数零点求参数(2020·晋城一模)已知函数f (x )＝ln x －ax 2－2x .(1) 若f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14，2上单调递减，求实数a 的取值范围； (2) 当a ＝－14时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．(2021·漳州期中)若已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1) 当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．课堂评价1. 函数f(x)＝ln x－x的零点个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 02. 若函数f(x)＝ax－aex＋1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为________．3. (2021·株洲期中)若函数f(x)＝a(x＋1)－2ln(x＋1)(a为常数，且a>0)在x＝1处取得极值．(1) 求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)若关于x的方程f(x)＋x2＋b＝6x＋1－8ln(x＋1)在[1,2]上恰有1个实数根，求实数b的取值范围．。
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数【教学目标】1．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；2．整理初中已学过的函数正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，特别是二次函数；3．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
【教学重点】基础知识整理【教学难点】题型分类解析【教学方法】引导学生自主学习法教学过程：【知识回顾】1．正比例函数的定义是：；图象是：2．反比例函数的定义是：；图象是：3．一次函数的定义: ；图象是：4．二次函数解析式的三种形式：①一般式、②两根式、③顶点式5．二次函数的图象和性质，通常抓住以下三方面：①对称轴②单调性、③最值 .【基础练习】1．函数y=x2+bx+c(x≥0)是单调函数的充要条件是f x=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t ),则f(1)、f(2)、2．若函数()f(4)的大小关系是：3．关于x的不等式－mx2－8mx－21>0的解为：－7<x<－1则m的值为f x的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则4．二次函数()f(x)= ．5．两个不同函数()f x =x 2+ax+1和g(x)=x 2+x+a (a 为常数)定义域都为R ，若()f x 与g(x)的值域相同，则a= . 6．函数()f x =2x 2－mx+3当x∈(－∞,－1)时是减函数，当x∈(－1,＋∞)时是增函数，则f(2)= . 7．实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件是 ，有两正根的充要条件是 ；有两负根的充要条件是 .8．已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(2,4),A B -（如图），则能使12y y >成立的x 的取值范围是_______．参考答案： 1． b≥ 02． f(2)<f(1)<f(4) 3． 34． 2)4(81-x5． 5-或16． 197． ;000;02121⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆<x x x x ac ;0002121⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆x x x x(A （第8题）8． x<-2 ,x>8【典型例题】1．正比例函数、反比例函数、一次函数的图象、性质、应用 例1．已知正比例函数(21)y m x =-的图象上两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，当12x x <时，有12y y >，那么m 的取值范围是_______． 答案：12m <例2．（1）已知函数)0()(<+=a xax x f ,请写出它的单调区间，你能画出它的简图吗？（2）请画出函数)0()(>+=a xax x f 的图象,并写出它的单调区间. 答案：（1）在)0,(-∞、),0(+∞上为增函数（2）),[],,(+∞--∞a a 增函数；],0(),0,[a a -减函数2．求二次函数的解析式例1．分别求满足下列条件的二次函数的解析式：①过点（0，2），（1，-1），（-2，20） ②过点（-1，0），（-4，0），（2，-36）③图象的顶点是(1,2)-，且经过原点答案：①2522+-=x x y ；②81022---=x x y ；③x x y 422--=例2．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维分析：恰当选择二次函数的解析式法一：利用一般式设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+--=++84411242a bac c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=744c b a ∴f(x)= - 4x 2+4x+7法二：利用顶点式∵f(2)= f(-1) ∴对称轴212)1(2=-+=x 又最大值是8 ∴可设)0(8)21()(2<+-=a x a x f ，由f(2)= -1可得a= - 47448)21(4)(22++-=+--=∴x x x x f法三：由已知f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax 2-ax-2a-1,又84)12(482max=---=aa a a y 即得a= - 4或a=0(舍)∴f(x)= - 4x 2+4x+7例3．已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c 满足下列条件：(1)图象过原点，(2)f(－x+2002)=f(x －2000)，(3)方程f(x)=x 有重根； 试确定此二次函数． 解：由(1)得：c=0,由(2)对称轴1220002002=-++-=x x x 可确定12=-ab， 由(3) f(x)=x 即ax 2+（b-1）x+c=0有重根 .2110)1(:))1(0(02-==∴=-==∆a b b c 从而得由x x x f +-=∴221)(3．二次函数在给定区间上的最值问题 例1．（1）已知f(x)=－x 2+2x+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大（小）值；（2）已知f(x)=－x 2+5x+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大（小）值． 答案：（1）大6，小3；（2）大449，小12；例2．已知f(x)=－x 2+ax+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大值答案：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤+<+=).6(,33);64(,424);4(,22)(2maxa a a a a a x f例3．已知y=f(x)=x 2－2x+3,当x ∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值． 答案：32,2,12min 2max +-=+=>t t y t y t 时2,2,121min 2max =+=≤<y t y t 时 2,32,210min 2max =+-=≤<y t t y t 时2,32,02min 2max +=+-=≤t y t t y t 时例4．已知函数f(x)= －x 2+2ax+1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值． 思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论 解：f(x)= -(x-a)2+a 2-a+1(0≤x ≤1),对称轴x=a 10 a<0时，121)0()(max -=∴=-==a a f x f20 0≤a≤1时)(25121)()(2max舍得±==+-==aaaafxf30 a>1时，22)1()(max=∴===aafxf综上所述：a= - 1或a=24．一元二次方程根的分布的讨论例1．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围．(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围．思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴abx2-=与区间相对位置．解：设f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图216556)1(2)1(12)0(-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+>=-<+=⇔mmffmf（2）2121100)1(0)0(0-≤<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆⇔m m f f例2．方程k x x =-232在（－1，1）上有实根，求k 的取值范围． 分析：宜采用函数思想，求)11(23)(2<<--=x x x x f 的值域．答案：)25,169[-∈k5．函数应用题：例．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租的车将会增加一辆，租出的车每辆需要维护费150元，未租的车每辆每月需要维护费50元， （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？思维分析：应用问题的数学建模，识模—建模—解模—验模 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-∴租出100-12=88辆。
高三数学一轮复习 导数及其应用 第17课时 导数的综合应用
卜人入州八九几市潮王学校第17课时导数的综合应用一、考纲要求内容 要求A B C 导数的综合应用√二、知识点归纳 三、知识梳理1、曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短间隔为.2m ，那么列车刹车后________s 车停下来，期间列车前进了________m.3、函数f(x)=e x－2x ＋a 有零点，那么a 的取值范围是________.4、点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处切线的倾斜角，那么α的取值范围是.5、函数f(x)的定义域为R ，f(1)=2.对任意x ∈R ，f ′(x)<1，那么不等式f(2x)<2x ＋1的解集为________．6、〔高考理科·Ｔ9〕)1ln()1ln()(x x x f --+=，)1,1(-∈x ①)()(x f x f -=-；②)(2)12(2x f x x f =+；③x x f 2)(≥ 是________．四、典例精讲例1、某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如下列图)上进展开发建立，阴影局部为一公一共设施建立不能开发，且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上)，公一共设施边界为曲线f(x)=1－ax 2(a ＞0)的一局部，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，切曲线于点P ，设P(t ，f(t))．(1)将△OMN(O 为坐标原点)的面积S 表示成t 的函数S(t)； (2)假设在t=处，S(t)获得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值． 例2、函数f(x)=ax 3＋bx 2－3x(a ，b∈R )在点(1，f(1))处的切线方程为y ＋2=0.(1)求函数f(x)的解析式；(2)假设对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤c ，务实数c 的最小值； (3)假设过点M(2，m)(m ≠2)可以作曲线y=f(x)的三条切线，务实数m 的取值范围．变式2：π…为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=的单调区间.(2)求e 3,3e,e π,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.五、反响练习1、直线y=kx ＋1与曲线y=x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，那么b=________.2、设函数f(x)=21(1)2xx ex --，那么f(x)的单调增区间为.3、函数c x x y +-=33的图像与x 轴恰有两个公一共点，那么c ＝.4、设函数f(x)=x 2－alnx ，g(x)=x 2－x.假设x ∈(1，＋∞)，恒有函数f(x)的图象位于g(x)图象的上方，那么实数a 的取值范围是________．5、假设函数2()(0)1xe f x a ax =>+为R 上的单调函数，那么a 的取值范围为.6、设函数,)(,1)(222x exe x g x x e xf =+=对任意),,0(,21+∞∈x x 不等式1)()(21+≤k x f k xg 恒成立，那么正数k 的取值范围是____________.六、小结反思第66课时简单的复合函数的导数主备人崔志荣审核人刘兵一、考纲要求内容要求ABC2021届高三数学 一轮复习学案三、知识梳理1、设y=e xsin2x+xlnx 那么'y =.2、2(32)sin 3y x x x =-+的导数是.3、曲线y ＝e －2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为_______．4、函数2()(2)x f x x a e =-在2x =处取极小值，那么实数a =____________.四、典例精讲例1、求以下复合函数的导数(理科)： (1)y ＝(2x －3)5； (2)y ＝； (3)y ＝ln(2x ＋5)． 例2、常数0a>，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+，讨论()f x 在区间(0,)+∞的单调性. 五、反响练习1、假设函数2()()f x x bx b b R =++∈在区间1(0,)2上单调递增，那么b 的取值范围是____________.2、(2021·全国卷Ⅱ高考理科数学·T12)设函数sinxmπ.假设存在f(x)的极值点 x 0满足20x +()20fx ⎡⎤⎣⎦<m 2,那么m 的取值范围是____________.3、曲线()21ln 2222x y x x =++++在点A 处的切线与曲线 ()sin 2,22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在点B 处的切线一样,求ϕ的值.六、小结反思。
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用导数的应用导数与函数的综合问题最值教学案理解析版
利用导数解决不等式的有关问题►考法１证明不等式【例１】（２0１8·郑州二模）已知函数f（x）＝ln x—２ax＋１（a∈R）．（１）讨论函数g（x）＝x２＋f（x）的单调性；（２）若a＝错误!，证明：|f（x）—１|＞错误!＋错误!.[解] （１）由题意知函数y＝g（x）的定义域为（0，＋∞），g（x）＝x２＋ln x—２ax＋１，则g′（x）＝错误!＋２x—２a＝错误!（x＞0），记h（x）＝２x２—２ax＋１，１当a≤0时，因为x＞0，所以h（x）＞0，故函数g（x）在（0，＋∞）上递增；２当0＜a≤错误!时，因为Δ＝４（a２—２）≤0，所以h（x）≥0，故函数g（x）在（0，＋∞）上递增；３当a＞错误!时，由g′（x）＜0，解得x∈错误!，所以函数g（x）在区间错误!上递减，同理可得函数g（x）在区间错误!，错误!上递增．（２）证明：当a＝错误!时，设H（x）＝f（x）—１＝ln x—x，故H′（x）＝错误!，故H′（x）＜0，得x＞１，由H′（x）＞0，得0＜x＜１，所以H（x）m ax＝f（１）—１＝—１，所以|H（x）|min＝１．设G（x）＝错误!＋错误!，则G′（x）＝错误!，由G′（x）＜0，得x＞e，由G′（x）＞0，得0＜x＜e，故G（x）m ax＝G（e）＝错误!＋错误!＜１，所以G（x）m ax＜|H（x）|min，所以|f（x）—１|＞错误!＋错误!.►考法２由不等式恒（能）成立求参数的范围【例２】已知函数f（x）＝错误!.（１）如果当x≥１时，不等式f（x）≥错误!恒成立，求实数k的取值范围；（２）若存在x0∈[１，e]，使不等式f（x0）≥错误!成立，求实数k的取值范围．[解] （１）当x≥１时，k≤错误!恒成立，令g（x）＝错误!（x≥１），则g′（x）＝错误!＝错误!.再令h（x）＝x—ln x（x≥１），则h′（x）＝１—错误!≥0，所以h（x）≥h（１）＝１，所以g′（x）＞0，所以g（x）为增函数，所以g（x）≥g（１）＝２，故k≤２，即实数k的取值范围是（—∞，２]．（２）当x∈[１，e]时，k≤错误!有解，令g（x）＝错误!（x∈[１，e]），由（１）题知，g（x）为增函数，所以g（x）m ax＝g（e）＝２＋错误!，所以k≤２＋错误!，即实数k的取值范围是错误!.[规律方法] １．利用导数证明含“x”不等式方法，即证明：f x＞g x.,法一：移项，f x—g x＞0，构造函数F x＝f x—g x，转化证明F x min＞0，利用导数研究F x 单调性，用上定义域的端点值.,法二：转化证明：f x min＞g x m ax.,法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二.２．利用导数解决不等式的恒成立问题的策略,１首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参数不等式，从而求出参数的取值范围.,２也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.３２（１）如果存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（２）如果对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．[解] （１）存在x１，x２∈[0,２]使得g（x１）—g（x２）≥M成立，等价于[g（x１）—g（x２）]m ax≥M.由g（x）＝x３—x２—３，得g′（x）＝３x２—２x＝３x错误!.令g′（x）＞0得x＜0，或x＞错误!，令g′（x）＜0得0＜x＜错误!，又x∈[0,２]，所以g（x）在区间错误!上递减，在区间错误!上递增，所以g（x）min＝g错误!＝—错误!，又g（0）＝—３，g（２）＝１，所以g（x）m ax＝g（２）＝１．故[g（x１）—g（x２）]m ax＝g（x）m ax—g（x）min＝错误!≥M，则满足条件的最大整数M＝４．（２）对于任意的s，t∈错误!，都有f（s）≥g（t）成立，等价于在区间错误!上，函数f（x）min≥g （x）m ax，由（１）可知在区间错误!上，g（x）的最大值为g（２）＝１．在区间错误!上，f（x）＝错误!＋x ln x≥１恒成立等价于a≥x—x２ln x恒成立．设h（x）＝x—x２ln x，h′（x）＝１—２x ln x—x，令m（x）＝x ln x，由m′（x）＝ln x＋１＞0得x＞错误!.即m（x）＝x ln x在错误!上是增函数，可知h′（x）在区间错误!上是减函数，又h′（１）＝0，所以当１＜x＜２时，h′（x）＜0；当错误!＜x＜１时，h′（x）＞0．即函数h（x）＝x—x２ln x在区间错误!上递增，在区间（１,２）上递减，所以h（x）m ax＝h（１）＝１，所以a≥１，即实数a的取值范围是[１，＋∞）．利用导数解决函数的零点问题►考法１判断、证明或讨论函数零点的个数【例３】设f（x）＝错误!x２—m ln x，g（x）＝x２—（m＋１）x.当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图像的交点个数．[解] 令F（x）＝f（x）—g（x）＝—错误!x２＋（m＋１）x—m ln x，x＞0，问题等价于求函数F（x）的零点个数．当m＝0时，F（x）＝—错误!x２＋x，x＞0，有唯一零点；当m≠0时，F′（x）＝—错误!，当m＝１时，F′（x）≤0，函数F（x）为减函数，注意到F（１）＝错误!＞0，F（４）＝—ln ４＜0，所以F（x）有唯一零点．当m＞１时，0＜x＜１或x＞m时，F′（x）＜0；１＜x＜m时，F′（x）＞0，所以函数F（x）在（0,１）和（m，＋∞）上递减，在（１，m）上递增，注意到F（１）＝m＋错误!＞0，F（２m＋２）＝—m ln（２m＋２）＜0，所以F（x）有唯一零点．当0＜m＜１时，0＜x＜m或x＞１时，F′（x）＜0；m＜x＜１时，F′（x）＞0，所以函数F（x）在（0，m）和（１，＋∞）上递减，在（m,１）上递增，易得ln m＜0，所以F（m）＝错误!（m＋２—２ln m）＞0，而F（２m＋２）＝—m ln（２m＋２）＜0，所以F （x）有唯一零点．综上，函数F（x）有唯一零点，即两函数图像有一个交点．►考法２已知函数的零点个数求参数的范围【例４】已知函数f（x）＝２ln x—x２＋ax（a∈R）．（１）当a＝２时，求f（x）的图像在x＝１处的切线方程；（２）若函数g（x）＝f（x）—ax＋m在错误!上有两个零点，求实数m的取值范围．[解] （１）当a＝２时，f（x）＝２ln x—x２＋２x，则f′（x）＝错误!—２x＋２，切点坐标为（１,１），切线的斜率k＝f′（１）＝２，则函数f（x）的图像在x＝１处的切线方程为y—１＝２（x—１），即y＝２x—１．（２）g（x）＝f（x）—ax＋m＝２ln x—x２＋m，则g′（x）＝错误!—２x＝错误!，∵x∈错误!，∴由g′（x）＝0，得x＝１．当错误!≤x＜１时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，当１＜x≤e时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，故当x＝１时，函数g（x）取得极大值g（１）＝m—１，又g错误!＝m—２—错误!，g（e）＝m＋２—e２，∴g（x）＝f（x）—ax＋m在错误!上有两个零点需满足条件错误!解得１＜m≤２＋错误!.故实数m的取值范围是错误!.►考法３与函数零点有关的证明问题【例５】（２0１9·武汉模拟）已知a为实数，函数f（x）＝e x—２—ax.（１）讨论函数f（x）的单调性；（２）若函数f（x）有两个不同的零点x１，x２（x１＜x２），（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）证明：x１＋x２＞２．[解] （１）f′（x）＝e x—２—a.当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上递增．当a＞0时，由f′（x）＝e x—２—a＝0，得x＝２＋ln a.若x＞２＋ln a，则f′（x）＞0，函数f（x）在（２＋ln a，＋∞）上递增；若x＜２＋ln a，则f′（x）＜0，函数f（x）在（—∞，２＋ln a）上递减．（２）（ⅰ）由（１）知，当a≤0时，f（x）在R上递增，没有两个不同的零点．当a＞0时，f（x）在x＝２＋ln a处取得极小值，所以f（２＋ln a）＝e ln a—a（２＋ln a）＜0，得a＞错误!，所以a的取值范围为错误!.（ⅱ）由e x—２—ax＝0，得x—２＝ln（ax）＝ln a＋ln x，即x—２—ln x＝ln a.所以x１—２—ln x１＝x２—２—ln x２＝ln a.令g（x）＝x—２—ln x（x＞0），则g′（x）＝１—错误!.当x＞１时，g′（x）＞0；当0＜x＜１时，g′（x）＜0．所以g（x）在（0,１）上递减，在（１，＋∞）上递增，所以0＜x１＜１＜x２.要证x１＋x２＞２，只需证x２＞２—x１＞１．因为g（x）在（１，＋∞）上递增，所以只需证g（x２）＞g（２—x１）．因为g（x１）＝g（x２），所以只需证g（x１）＞g（２—x１），即证g（x１）—g（２—x１）＞0．令h（x）＝g（x）—g（２—x）＝x—２—ln x—[２—x—２—ln（２—x）]＝２x—２—ln x＋ln （２—x），则h′（x）＝２—错误!.因为错误!＋错误!＝错误![x＋（２—x）]错误!≥２，当且仅当x＝１时等号成立，所以当0＜x＜１时，h′（x）＜0，即h（x）在（0,１）上递减，所以h（x）＞h（１）＝0，即g（x１）—g（２—x１）＞0，所以x１＋x２＞２得证．[规律方法] 利用导数研究方程根的方法１研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.２根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极最值的位置.３可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.（１）求f（x）的单调区间和极值；（２）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（１，错误!]上仅有一个零点．[解] （１）由f（x）＝错误!—k ln x（k＞0），得x＞0且f′（x）＝x—错误!＝错误!.由f′（x）＝0，解得x＝错误!（负值舍去）．f（x）与f′（x）在区间（0，＋∞）上的变化情况如下表：x（0，错误!）错误!（错误!，＋∞）f′（x）—0＋f（x）↘错误!↗f（x）在x＝错误!处取得极小值f（错误!）＝错误!.（２）证明：由（１）知，f（x）在区间（0，＋∞）上的最小值为f（错误!）＝错误!.因为f（x）存在零点，所以错误!≤0，从而k≥e，当k＝e时，f（x）在区间（１，错误!）上递减，且f（错误!）＝0，所以x＝错误!是f（x）在区间（１，错误!]上的唯一零点．当k＞e时，f（x）在区间（0，错误!）上递减，且f（１）＝错误!＞0，f（错误!）＝错误!＜0，所以f（x）在区间（１，错误!]上仅有一个零点．综上可知，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（１，错误!]上仅有一个零点．１．（２0１8·全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝e x—ax２.（１）若a＝１，证明：当x≥0时，f（x）≥１；（２）若f（x）在（0，＋∞）只有一个零点，求a.[解] （１）证明：当a＝１时，f（x）≥１等价于（x２＋１）e—x—１≤0．设函数g（x）＝（x２＋１）e—x—１，则g′（x）＝—（x２—２x＋１）e—x＝—（x—１）２e—x.当x≠１时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，＋∞）递减．而g（0）＝0，故当x≥0时，g（x）≤0，即f（x）≥１．（２）设函数h（x）＝１—ax２e—x.f（x）在（0，＋∞）只有一个零点当且仅当h（x）在（0，＋∞）只有一个零点．（ⅰ）当a≤0时，h（x）＞0，h（x）没有零点；（ⅱ）当a＞0时，h′（x）＝ax（x—２）e—x.当x∈（0,２）时，h′（x）＜0；当x∈（２，＋∞）时，h′（x）＞0．所以h（x）在（0,２）递减，在（２，＋∞）递增．故h（２）＝１—错误!是h（x）在（0，＋∞）的最小值．１若h（２）＞0，即a＜错误!，h（x）在（0，＋∞）没有零点；２若h（２）＝0，即a＝错误!，h（x）在（0，＋∞）只有一个零点；３若h（２）＜0，即a＞错误!，由于h（0）＝１，所以h（x）在（0,２）有一个零点．由（１）知，当x＞0时，e x＞x２，所以h（４a）＝１—错误!＝１—错误!＞１—错误!＝１—错误!＞0，故h（x）在（２,４a）有一个零点．因此h（x）在（0，＋∞）有两个零点．综上，f（x）在（0，＋∞）只有一个零点时，a＝错误!.２．（２0１7·全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝x—１—a ln x.（１）若f（x）≥0，求a的值；（２）设m为整数，且对于任意正整数n，错误!错误!·…·错误!＜m，求m的最小值．[解] （１）f（x）的定义域为（0，＋∞），１若a≤0，因为f错误!＝—错误!＋a ln ２＜0，所以不满足题意．２若a>0，由f′（x）＝１—错误!＝错误!知，当x∈（0，a）时，f′（x）<0；当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>0．所以f（x）在（0，a）递减，在（a，＋∞）递增．故x＝a是f（x）在（0，＋∞）的唯一最小值点．因为f（１）＝0，所以当且仅当a＝１时，f（x）≥0，故a＝１．（２）由（１）知当x∈（１，＋∞）时，x—１—ln x>0．令x＝１＋错误!，得ln错误!＜错误!，从而ln错误!＋ln错误!＋…＋ln错误!＜错误!＋错误!＋…＋错误!＝１—错误!＜１．故错误!错误!·…·错误!＜e.而错误!错误!错误!＞２，所以m的最小值为３．。
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用函数的单调性与最值教学案理解析版
[考纲传真] １．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.２．会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．１．函数的单调性（１）单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f（x）的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x１，x２∈A当x１＜x２时，都有f（x１）＜f（x２），那么就说函数f（x）在区间A上是增加的当x１＜x２时，都有f（x１）＞f（x２），那么就说函数f（x）在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的如果函数y＝f（x）在区间A上是增加的或减少的，那么称A为单调区间．２．函数的最值前提函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足条件（１）对于任意的x∈D，都有f（x）≤M；（２）存在x0∈D，使得f（x0）＝M（３）对于任意的x∈D，都有f（x）≥M；（４）存在x0∈D，使得f（x0）＝M结论M为函数y＝f（x）的最大值，记作y max＝f（x0）M为函数y＝f（x）的最小值，记作y min＝f（x0）１．对任意x１，x２∈D（x１≠x２），错误!＞0⇔f（x）在D上是增函数，错误!＜0⇔f（x）在D上是减函数．２．对勾函数y＝x＋错误!（a＞0）的增区间为（—∞，—错误!]和[错误!，＋∞），减区间为[—错误!，0）和（0，错误!]．３．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．４．函数f（g（x））的单调性与函数y＝f（u）和u＝g（x）的单调性的关系是“同增异减”．５．函数最值存在的两条结论（１）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．（２）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数y＝错误!的递减区间是（—∞，0）∪（0，＋∞）．（）（２）若定义在R上的函数f（x）有f（—１）＜f（３），则函数f（x）在R上为增函数．（）（３）函数y＝f（x）在[１，＋∞）上是增函数，则函数的递增区间是[１，＋∞）．（）（４）闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）√２．下列函数中，在区间（0，＋∞）上为增函数的是（）Ａ．y＝ln（x＋２）Ｂ．y＝—错误!Ｃ．y＝错误!xＤ．y＝x＋错误!A[y＝ln（x＋２）在（—２，＋∞）上是增函数，故A正确．]３．若函数f（x）＝ax＋１在R上递减，则函数g（x）＝a（x２—４x＋３）的递增区间是（）Ａ．（２，＋∞）Ｂ．（—∞，２）Ｃ．（—２，＋∞）Ｄ．（—∞，—２）B[由题意可知a＜0，而函数g（x）＝a（x２—４x＋３）＝a（x—２）２—a，∴g（x）＝a（x２—４x＋３）的递增区间为（—∞，２）．]４．若函数f（x）是R上的减函数，且f（a２—a）＜f（a），则a的取值范围是（）Ａ．（0,２）Ｂ．（—∞，0）∪（２，＋∞）Ｃ．（—∞，0）Ｄ．（２，＋∞）B[由题意得a２—a＞a，解得a＞２或a＜0，故选Ｂ．]５．（教材改编）已知函数f（x）＝错误!，x∈[２,6]，则f（x）的最大值为________，最小值为________．２错误![易知函数f（x）＝错误!在x∈[２,6]上为减函数，故f（x）max＝f（２）＝２，f（x）min＝f（6）＝错误!.]确定函数的单调性（区间）【例１】（１）（２0１9·石嘴山模拟）函数y＝ln（—x２＋２x＋３）的减区间是（）Ａ．（—１,１] Ｂ．[１,３）Ｃ．（—∞，１] Ｄ．[１，＋∞）（２）试讨论函数f（x）＝错误!（a≠0）在（—１,１）上的单调性．（１）B[令t＝—x２＋２x＋３，由t＞0得—１＜x＜３，故函数的定义域为（—１,３），要求函数y＝ln（—x２＋２x＋３）的减区间，由复合函数单调性可知，只需求t＝—x２＋２x＋３在（—１,３）上的减区间，即[１,３）．]（２）[解] 法一：设—１＜x１＜x２＜１，f（x）＝a错误!＝a错误!，f（x１）—f（x２）＝a错误!—a错误!＝错误!，由于—１＜x１＜x２＜１，所以x２—x１＞0，x１—１＜0，x２—１＜0，故当a＞0时，f（x１）—f（x２）＞0，即f（x１）＞f（x２），函数f（x）在（—１,１）上递减；当a＜0时，f（x１）—f（x２）＜0，即f（x１）＜f（x２），函数f（x）在（—１,１）上递增．法二：f′（x）＝错误!＝错误!＝—错误!.当a＞0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（—１,１）上递减；当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（—１,１）上递增．[规律方法] １求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.２１函数单调性的判断方法有：a.定义法；b.图像法；c.利用已知函数的单调性；d.导数法.,２函数y ＝f g x的单调性应根据外层函数y＝f t和内层函数t＝g x的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.Ａ．y ＝错误! Ｂ．y ＝sin xＣ．y ＝２—xＤ．y ＝log 错误!（x ＋１）（２）y ＝—x ２＋２|x |＋３的递增区间为________．（１）A （２）（—∞，—１]，[0,１] [（１）A 项是[—１，＋∞）上的增函数，B 项不是单调函数，C 项是R 上的减函数，D 项是（—１，＋∞）上的减函数． （２）由题意知，当x ≥0时，y ＝—x ２＋２x ＋３＝—（x —１）２＋４；当x＜0时，y ＝—x ２—２x ＋３＝—（x ＋１）２＋４，二次函数的图像如图． 由图像可知，函数y ＝—x ２＋２|x |＋３的递增区间为（—∞，—１]，[0,１]．]求函数的最值【例２】 （１）若函数f （x ）＝错误!的最小值为f （0），则实数a 的取值范围是（ ） Ａ．[—１,２] Ｂ．[—１,0] Ｃ．[１,２]Ｄ．[0,２]（２）函数f （x ）＝错误!x—log ２（x ＋２）在区间[—１,１]上的最大值为________． （３）函数y ＝错误!—x （x ≥0）的最大值为________．（１）D （２）３ （３）错误! [（１）当x ＞0时，f （x ）＝x ＋错误!＋a ≥２＋a ，当且仅当x ＝错误!，即x ＝１时，等号成立．故当x ＝１时取得最小值２＋a ，∵f （x ）的最小值为f （0）， ∴当x ≤0时，f （x ）＝（x —a ）２递减，故a ≥0， 此时的最小值为f （0）＝a ２， 故２＋a ≥a ２得—１≤a ≤２． 又a ≥0，得0≤a ≤２．故选Ｄ．（２）∵f （x ）＝错误!x —log ２（x ＋２）在区间[—１,１]上是递减，∴f （x ）max ＝f （—１）＝３—log ２１＝３．（３）令t ＝错误!，则t ≥0，所以y ＝t —t ２＝—错误!２＋错误!，当t ＝错误!，即x ＝错误!时，y max ＝错误!.][规律方法] 求函数最值值域的常用方法及适用类型１单调性法：易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值值域.２图像法：能作出图像的函数，用图像法，观察其图像最高点、最低点，求出最值值域.３基本不等式法：分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量如x，y的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值值域.４导数法：若f x是三次、分式以及含e x，ln x，sin x，cos x结构的函数且f′x可求，可用导数法求函数的最值值域.（２）对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝错误!设函数f（x）＝—x＋３，g（x）＝log２x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________．（１）8 （２）１[（１）f（x）＝错误!＝错误!＝（x—１）＋错误!＋２≥２错误!＋２＝8，当且仅当x—１＝错误!，即x＝４时，f（x）min＝8．（２）法一：在同一坐标系中，作函数f（x），g（x）图像，依题意，h（x）的图像如图所示．易知点A（２,１）为图像的最高点，因此h（x）的最大值为h（２）＝１．法二：依题意，h（x）＝错误!当0＜x≤２时，h（x）＝log２x是增函数，当x＞２时，h（x）＝３—x是减函数，所以h（x）在x＝２时取得最大值h（２）＝１．]函数单调性的应用►考法１比较大小【例３】已知函数f（x）的图像向左平移１个单位后关于y轴对称，当x２＞x１＞１时，[f（x２）—f（x）]（x２—x１）＜0恒成立，设a＝f错误!，b＝f（２），c＝f（３），则a，b，c的大小关系为（）１Ａ．c＞a＞bＢ．c＞b＞aＣ．a＞c＞bＤ．b＞a＞cD[根据已知可得函数f（x）的图像关于直线x＝１对称，且在（１，＋∞）上是减函数．所以a＝f错误!＝f错误!，f（２）＞f（２．５）＞f（３），所以b＞a＞c.]►考法２解抽象不等式【例４】f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，满足f（xy）＝f（x）＋f（y），f（３）＝１，则不等式f（x）＋f（x—8）≤２的解集为________．（8,9] [因为２＝１＋１＝f（３）＋f（３）＝f（9），由f（x）＋f（x—8）≤２可得f[x（x—8）]≤f（9），f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，所以有错误!解得8<x≤9．]►考法３求参数的取值范围【例５】已知f（x）＝错误!满足对任意x１≠x２，都有错误!＞0成立，那么a的取值范围是（）Ａ．（１,２）Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[由已知条件得f（x）为增函数，所以错误!解得错误!≤a＜２，所以a的取值范围是错误!.故选Ｃ．][规律方法] 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略１比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.２解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.３利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.２（）Ａ．（—∞，２] Ｂ．[２，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由题意可知错误!即—错误!＜a≤２．故选Ｄ．]１．（２0１7·全国卷Ⅱ）函数f（x）＝ln（x２—２x—8）的递增区间是（）Ａ．（—∞，—２）Ｂ．（—∞，１）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（４，＋∞）D[由x２—２x—8>0，得x>４或x<—２．设t＝x２—２x—8，则y＝ln t为增函数．要求函数f（x）的递增区间，即求函数t＝x２—２x—8的递增区间．∵函数t＝x２—２x—8的递增区间为（４，＋∞），∴函数f（x）的递增区间为（４，＋∞）．故选Ｄ．]２．（２0１５·全国卷Ⅱ）设函数f（x）＝ln（１＋|x|）—错误!，则使得f（x）>f（２x—１）成立的x 的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!∪（１，＋∞）Ｃ．错误!Ｄ．错误!∪错误!A[∵f（—x）＝ln（１＋|—x|）—错误!＝f（x），∴函数f（x）为偶函数．∵当x≥0时，f（x）＝ln（１＋x）—错误!，在（0，＋∞）上y＝ln（１＋x）递增，y＝—错误!也递增，根据单调性的性质知，f（x）在（0，＋∞）上递增．综上可知：f（x）>f（２x—１）⇔f（|x|）>f（|２x—１|）⇔|x|>|２x—１|⇔x２>（２x—１）２⇔３x２—４x＋１<0⇔错误!<x<１．故选Ａ．]。
最新高考一轮复习金榜聚焦： 函数的概念及其性质经典回顾 精品讲义
函数的概念及其性质经典回顾主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师开篇语函数是高中数学的重要内容之一，也是每年高考必考的重点内容之一．在历年的高考中，就模块１单一的内容来讲，主要围绕函数的定义域和值域、最大值和最小值、函数的图象和性质、指数函数、对数函数与幂函数的图象和性质、函数的解析式与抽象函数、函数的零点等知识进行考查．此外，函数还经常和数列、不等式、导数结合，构成重要的知识网络交汇点，以此考查学生的数学综合能力．本讲作为第一轮复习，主要围绕模块１内知识，选配相关的问题进行分析和研究，以帮助同学们落实双基、逐步提高相关的数学能力．开心自测 题一：函数y =的定义域为（ ）．（A ）(4,1)-- （B ）(4,1)- （C ）(1,1)- （D ）(1,1]-题二：设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ （b 为常数），则(1)f -=（ ）． （A ） ３ （B ） １ （C ）1- （D ）3-题三：如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(, 4)-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）．（A ）3a ≤- （B ）3a ≥- （C ）5a ≤ （D ）3a ≥考点梳理１．函数定义设A ，B 是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 ()()y f x x A =∈．其中x 叫自变量，x 取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域．显然值域是集合B 的子集．２．函数的奇偶性奇函数：如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，则称()f x 为这一定义域内的奇函数．偶函数：如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=则称()f x 为这一定义域内的偶函数．奇函数、偶函数的图象特征：函数()f x 是奇函数⇔ 函数()y f x =的图象关于原点对称．函数()f x 是偶函数⇔函数()y f x =的图象关于y 轴对称．３．函数的单调性设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x < ，那么就说()f x 在这个区间上是增函数；如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数．函数的单调区间：如果函数()y f x =在某个区间上是增函数（或减函数）就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间．４．指数函数定义：函数xy a =(0,a >且1)a ≠叫做指数函数，函数的定义域是实数集R ，值域是(0, )+∞． 性质：（１）图象过点(0, 1)，即0x =时，1y =；（２）当1a >时，函数在R 上是增函数；当01a <<时，函数在R 上是减函数．５．对数函数定义：函数log a y x =(0,a >且1)a ≠叫做对数函数，函数的定义域是(0,)+∞．值域是(, )-∞+∞． 性质：（１）图象过点(1, 0)，即1x =时，0y =；（２）当1a >时，函数在R 上是增函数；当01a <<时，函数在R 上是减函数．6．幂函数定义：函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 我们只讨论11, 2, 3, , 12α=-五种情况． 性质：图象通过点(1,1)；函数31,,,y x y x y x -===是奇函数，函数2y x =是偶函数；在第一象限内，函数1232,,,y x y x y x y x ====都是增函数，函数1y x -=是减函数； 在第一象限内，函数1y x -=的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近．7．函数的零点对于函数()y f x =，使方程()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．函数的零点的性质：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根． 金题精讲题一：设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为 （ ）．（A ）1 （B ）1- （C ）251-- （D ）251+- 题二：设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（ ）． （A ） {|24}x x x <->或 （B ） {|04}x x x <>或（C ） {|06}x x x <>或 （D ） {|22}x x x <->或题三：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，２]上是增函数，若方程() (0)f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=题四：已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R 都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+．（Ⅰ）求(0), (1)f f 的值；（Ⅱ）判断的()f x 的奇偶性，并证明你的结论．题五：函数()f x 对任意的, m n R 都有()()()1f m n f m f n ，并且当0x 时，()1f x . （Ⅰ）求(0)f ；（Ⅱ）求证：()f x 在R 上是增函数.名师寄语要点小结与建议：在模块１中，函数的概念、函数的图象和性质、函数的最大值和最小值、指数函数和对数函数以及幂函数的图象和性质、函数的零点、函数的解析式与抽象函数等知识，是函数的重点内容．本讲通过具体例子，揭示了上述内容在高考中的相应考法．为此，在高三复习中，我们应当认真把握上述核心知识，善于提炼函数与方程的思想，逐步落实双基，培养相关能力．开心自测题一：C 题二：D 题三：A金题精讲题一：B 题二：B 题三：—8 题四：（Ⅰ）(0)0f =，(1)0f =；（Ⅱ）()f x 是奇函数 题五：（Ⅰ）(0)1f =；（II ）证明略。
《高考直通车》2021届高考数学一轮复习备课手册：第17课函数模型及其应用
第17课 函数模型及其应用一、教学目标1．能依据实际问题情境建立合理的函数模型；2．初步运用函数思想，理解和处理现实生活中的简洁问题； 二、学问梳理1．在解决某些应用问题时，通常要用到一些函数模型，它们主要是：一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分式函数模型、分段函数模型等．我们要生疏这些函数的图象与性质，以便利用它们来解决一些非基本函数的问题．2．利用函数模型解决实际问题的方法步骤(四步法)：(1)读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系； (2)建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； (3)求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调整，最终将结果应用于现实，作出解释或验证． 三、诊断练习1、教学处理：在讲解例题前由同学完成这4道热身练习题，目的让同学生疏常见的一些函数模型，另外，对同学生疏的实际背景，如存款问题，适当予以复习和补充．2、诊断练习点评题1 某种细胞分裂时，由l 个分裂成2个，2个分裂成4个，… ，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是____________________．题2 某人若以每股17．25元购迸股票一万股，一年后以每股18．96元抛售，该年银行月复利率为0．8％，按月计算．为猎取最大利润，此人应将钱__________ ． (填“购买股票”或“存人银行”)．【分析与点评】 指数函数模型多为增长率问题，在实际问题中，有细胞分裂、银行利率、人口增长等，增长率问题常可以用指数函数模型表示，可以表示为(1)x y N P （其中N 为基础数,P 为增长率，x 为时间）的形式．题3为了保证信息平安,传输必需使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:明文−−−→加密密文−−−→发送密文−−−→解密明文。
已知加密为2y ax =-(x 为明文，y 为密文)，假如明文“3”通过加密后得到密文为6，再发送，接收方通过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是______ 【分析与点评】依题意2y ax =-中,当x=3时,y=6，故a=2，所以加密为22y x =-.因此,当y=14时,解得4x =。
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用定积分与微积分基本定理教学案理解析版
[考纲传真] １．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.２．了解微积分基本定理的含义．１．定积分的概念与几何意义（１）定积分的定义如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点δi（i＝１,２，…，n），作和式s′＝f（δ１）Δx１＋f（δ２）Δx２＋…＋f（δi）Δx i＋…＋f（δn）Δx n.当每个小区间的长度Δx趋于0时，s′的值趋于一个常数Ａ．我们称常数A叫作函数f（x）在区间[a，b]上的定积分，记作错误!f（x）dx，即错误!f（x）dx＝Ａ．在错误!f（x）dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式．（２）定积分的几何意义图形阴影部分面积S＝错误!f（x）dxS＝—错误!f（x）dxS＝错误!f（x）dx—错误!f（x）dxS＝错误!f（x）dx—错误!g（x）dx＝错误![f（x）—g（x）]dx２．定积分的性质（１）错误!１dx＝b—a；（２）错误!k f（x）dx＝k错误!f（x）dx（k为常数）；（３）错误![f１（x）±f２（x）]dx＝错误!f１（x）dx±错误!f２（x）dx；（４）错误!f（x）dx＝错误!f（x）dx＋错误!f（x）dx（其中a<c<b）．３．微积分基本定理如果连续函数f（x）是函数F（x）的导函数，即f（x）＝F′（x），那么错误!f（x）dx＝F（b）—F （a），这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．通常称F（x）是f（x）的一个原函数．为了方便，常把F（b）—F（a）记作F（x）|错误!，即错误!f（x）dx＝F（x）|错误!＝F（b）—F（a）．错误!函数f（x）在闭区间[—a，a]上连续，则有（１）若f（x）为偶函数，则错误!—af（x）dx＝２错误!f（x）dx.（２）若f（x）为奇函数，则错误!—af（x）dx＝0．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则错误!f（x）dx＝错误!f（t）dt. （）（２）定积分一定是曲边梯形的面积．（）（３）若错误!f（x）dx＜0，那么由y＝f（x）的图像，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．（）[答案] （１）√（２）×（３）×２．错误!e x dx的值等于（）Ａ．eＢ．１—eＣ．e—１Ｄ．错误!（e—１）C[错误!e x dx＝e x错误!＝e—１．]３．（教材改编）已知质点的速率v＝１0t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是（）Ａ．１0t错误!Ｂ．５t错误!Ｃ．错误!t错误!Ｄ．错误!t错误!B[S＝∫t00v dt＝∫t00１0tdt＝５t２|t00＝５t错误!.]４．（教材改编）曲线y＝x２与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．错误![如图，阴影部分的面积即为所求．由错误!得A（１,１）．故所求面积为S ＝错误!（x —x ２）dx ＝错误!错误!错误!＝错误!.] ５．错误!错误!dx ＝________.错误! [错误!错误!dx 表示曲线y ＝错误!与直线x ＝—１，x ＝１及x 轴围成的曲边梯形的面积，故错误!错误!dx ＝错误!.]定积分的计算１．（２0１9·玉溪模拟）计算错误!错误!dx 的值为（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误!＋ln ２ Ｃ．错误!＋ln ２Ｄ．３＋ln ２B [错误!错误!dx ＝错误!错误!错误!＝２＋ln ２—错误!＝错误!＋ln ２．故选 Ｂ．]２．（２0１8·吉林三模）错误!|x —１|dx ＝（ ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３Ｄ．错误!D [错误!|x —１|dx ＝错误!（１—x ）dx ＝错误!错误!错误!＝１—错误!＝错误!.] ３．设f （x ）＝错误!则错误!f （x ）dx 等于（ ） Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．不存在C [如图，错误!f （x ）dx ＝错误!x ２dx ＋错误!（２—x ）dx ＝错误!x ３错误!＋错误!错误!错误! ＝错误!＋错误!＝错误!.]４．错误!（sin x —cos x ）dx ＝________.２ [错误!（sin x —cos x ）dx ＝（—cos x —sin x ）|错误!＝１+１＝２．] [规律方法] １．运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 （１）对被积函数要先化简，再求积分．（２）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．（３）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．（４）注意用“F′（x）＝f（x）”检验积分的对错．２．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．定积分的几何意义【例１】（１）（２0１9·皖南八校联考）用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f（x）＝min错误!错误!，则由函数f（x）的图像，x轴与直线x＝错误!和直线x＝２所围成的封闭图形的面积为________．（２）（２0１9·黄山模拟）已知曲线y＝x２与直线y＝k x（k＞0）所围成的曲边图形的面积为错误!，则k＝________.（１）错误!＋ln２（２）２[（１）由题意，围成的封闭图形如图中阴影部分，由题意，S＝错误!错误!错误!dx＋错误!错误!dx＝错误!x错误!１错误!＋ln x错误!＝错误!错误!＋ln２＝错误!＋ln２，故答案为错误!＋ln２．（２）由错误!得错误!或错误!则曲线y＝x２与直线y＝k x（k＞0）所围成的曲边梯形的面积为错误!（k x—x２）dx＝错误!|错误!＝错误!—错误!k３＝错误!，即k３＝8，所以k＝２．][规律方法] 利用定积分求平面图形面积的步骤１根据题意画出图形.２借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限.３把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和.４计算定积分，写出答案.易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.（２）如图所示，由抛物线y＝—x２＋４x—３及其在点A（0，—３）和点B（３,0）处的切线所围成图形的面积为________．（１）错误!（２）错误![（１）如图所示，由y＝错误!及y＝—x＋２可得交点横坐标为x＝１．由定积分的几何意义可知，由y＝错误!，y＝—x＋２及x轴所围成的封闭图形的面积为错误!错误!dx＋错误!（—x＋２）dx＝错误!x错误!|错误!＋错误!|错误!＝错误!.（２）由y＝—x２＋４x—３，得y′＝—２x＋４，∴y′|x＝0＝４，y′|x＝３＝—２，∴抛物线在A点处的切线方程为y＝４x—３，在B点处的切线方程为y＝—２x＋6，联立方程错误!解得错误!∴两切线交点的横坐标为错误!，定积分在物理中的应用【例２】（１）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t ＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln５Ｂ．8＋２５ln错误!Ｃ．４＋２５ln５Ｄ．４＋５0ln２（２）（２0１9·渭南模拟）一物体在变力F（x）＝５—x２（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成３0°方向作直线运动，则由x＝１运动到x＝２时，F（x）做的功为（）Ａ．错误!JＢ．错误!JＣ．错误!JＤ．２错误!J（１）C（２）C[（１）由v（t）＝7—３t＋错误!＝0，可得t＝４错误!，因此汽车从刹车到停止一共行驶了４s，此期间行驶的距离为错误!v（t）dt＝错误!错误!dt＝错误!|错误!＝４＋２５ln５．（２）变力F在位移方向上的分力为Fcos３0°，故F（x）做的功为W＝错误!（５—x２）cos３0°dx ＝错误!错误!（５—x２）dx＝错误!５x—错误!x３错误!＝错误!.][规律方法] 定积分在物理中的两个应用１求物体变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v t，那么从时刻t＝a 到t＝b所经过的路程s＝错误!v t dt.２变力做功，一物体在变力F x的作用下，沿着与F x相同方向从x＝a运动到x＝b时，力F x所做的功是W＝错误!F x dx.２线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方５m处以v＝１0t（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.１３0 [设A追上B时，所用的时间为t0，则S A＝S B＋５，即∫t00（３t２＋１）dt＝∫t00（１0t）dt＋５，∴（t３＋t）t00＝５t错误!＋５∴t错误!＋t0＝５（t错误!＋１）即t0＝５，∴S A＝５t错误!＋５＝５×５２＋５＝１３0（m）．]。
江苏省2019高考数学二轮复习第17讲导数的综合应用课件
当x变化时,u'(x),u(x)变化情况如下表:
x u'(x) (x0,3) 3 0 (3,+∞) +
u(x)
↘
极小值
↗
1 ∴u(x)min=u(x)极小=u(3)=- . 3 e 1 1 故2c≤u(x)min=- 3 ,即c≤- 3. e 2e 1 ②当0<x<x0时,h'(x)=1+ 2 -2cx,当c≤0时,h'(x)>0在(0,x0)上恒成立. x 1 综合(1)(2)知, 实数c的取值范围是c≤- 3. 2e
【核心归纳】 对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数
学思想来求解.这类问题求解的通法: ①构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其定义域;②求导数,得单 调区间和极值点;③画出函数草图;④数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象 与x轴的交点情况进而求解.
题型三 导数中的探索性问题
据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大
小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
题型二 导数与函数、方程的综合应用
例2
x2 (2018江苏扬州中学高三第四次模拟)已知函数f(x)= x, e
(1)求函数f(x)的单调区间;
x2 4 (2)当0<m< 时,判断函数g(x)= -m(x≥0)有几个零点,并证明你的结论; 2 x e e 1 1 1 1 2 x f ( x ) x f ( x ) (3)设函数h(x)= cx ,若函数h(x)在(0,+∞)上为增函 2 x x 2
所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的x0∈(1,2),使F(x0)=0, ∴x∈(0,x0),F(x)>0;x∈(x0,+∞),F(x)<0.
函数专题突破讲义精简版
函数专题突破2 2.1函数概念与表示题型1：函数概念例1．（1）设函数).89(,)100()]5([)100(3)(f x x f f x x x f 求⎩⎨⎧<+≥-=（2）请设计一个同时满足下列两个条件的函数y = f （x ）：①图象关于y 轴对称；②对定义域内任意不同两点12x x 、, 都有1212()()2()2x x f x f x f ++<答： .变式题：（2007山东 文2）设1232,2()((2))log (1) 2.x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3例2．（2007安徽 文理15） （1）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-()()5f f =__________； 题型二：判断两个函数是否相同题型三：函数定义域问题例4．求下述函数的定义域：（1）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=； （2）).lg()lg()(22a x ka x x f -+-=例5．已知函数()f x 定义域为(0，2)，求函数的定义域： g(x)=2()23f x +. 变式题：已知函数f （x ）=31323-+-ax ax x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ＞31 B ．－12＜a ≤0C ．－12＜a ＜0D ．a ≤31题型四：函数值域问题例5．求下列函数的值域：（补充题另附）（1）232y x x =-+；（2）265y x x =---；（3）312x y x +=-； （4）41y x x =+-；（5）21y x x =+-；（6）|1||4|y x x =-++；（7）22221x x y x x -+=++；（8）2211()212x x y x x -+=>-；（9）1sin 2cos x y x -=-。
特级教师高考数学首轮复习第17讲-函数综合应用
特级教师高考数学首轮复习第17讲-函数综合应用一、知识结构二、重点叙述1. 函数综合应用的重点函数的综合应用重点解决好四个问题:①准确深刻地理解函数的有关概念;②揭示函数与其他数学知识的内在联系;③把握数形结合的思想和方法;④认识函数思想的实质,强化应用意识。
①准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础,函数概念是数学中最主要的概念之一,函数概念贯穿在中学代数的始终。
数、式、方程、不等式、初等函数、数列、极限、导数、微积分等都是以函数为中心的代数。
②揭示函数与其他数学知识的内在联系。
函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理数式、方程、不等式、数列、曲线与方程、导数、微积分等内容。
所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑。
在利用函数和方程的思想进行思维中,动与静、变量与常量生动的辩证统一,揭示了函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式。
③把握数形结合的思想和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的思想与方法,因此,既要从定形、定性、定理、定位等方面精确地观察图形、绘制简图,又要熟练地掌握函数图象的常规变换,体现了“数”变换与“形”变换的辩证统一。
④认识函数思想的实质,强化应用意识函数思想的实质就是应用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数模型,求得问题的解决。
函数思想方法的应用不但重要,而且广泛,必须强化函数建模思想的应用,学会运用函数建模的思想方法解决实际问题。
2. 应用：Ⅰ、函数图象、性质与最值的综合应用:Ⅱ、函数与方程、不等式的综合应用:Ⅲ、函数模型的综合实际应用三、案例分析案例1：定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)其中成立的是( )D.②与④A.①与④ B.②与③ C.①与③【答案】C分析：用图象法或特殊函数特殊值法解之。
江苏省淮安市清江中学高三数学函数的综合应用预习学案 人教版
江苏省淮安市清江中学高三数学函数的综合应用预习学案【知识梳理】1、用函数的观点分析问题，注意函数与方程不等式的关系解题。
2、注意函数的性质的应用：如奇偶性，单调性，周期性，对称性等3、学会数形结合的思想，分类讨论的方法处理问题4、注意知识的联系，系统的理解知识的各个环节，才能把握问题的关键。
【基础训练】1、关于x 的方程11()21lg x a=-有正根，则实数a 的取值范围是 。
2、偶函数f(x)在(,0)-∞内是减函数，若f(-1)<f(lgx), 则实数x 的取值范围是 。
3、在区间[12，2]上函数f(x)=x 2+px+q 与g(x)=x 2-2x 在同一x 处取得的最小值，f(x)min =3,那么f(x) 在区间[12，2]上的最大值是 （ ） A.54 B. 134 C.4 D.84、为奇函数，则a=5、对于每一个实数x ，f(x)是y=2-x 2和y=x 这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为 。
6、已知y=lg(10x +1)将此函数写成一个奇函数与一个偶函数的和的形式为7、已知函数y=x 2+(a+2)x+3,x [,]a b ∈上的图关于直线x=1对称，则b=8、已知函数在R 上有定义，满足：f(x)+xf(1-x)=x（1）求f(x)的表达式 （2）求y=f(x)的值域。
9、函数f(x)=log2(1+x)+alog2(1-x) (a R∈)的图象关于原点对称，(1) 求a的值。
(2)解不等式：f(x)>110、已知奇函数f(x) 满足f(x+2)=f(-x),且当x∈(0,1]时f(x)=2x(1)求f(2log3)的值。
（2）写出函数f(x)在x∈[1,3]上的解析式。
函数的综合应用【典型例题：】1、已知函数11()lg11xf xx x-=+++，（1）判断函数f(x)的单调性；（2）解关于x不等式f[x(x-1)]<12、f(x)=lg(a x -b x ) (a>1>b>0)(1)求f(x)的定义域（2）在函数f(x)的图上是否存在不同的两点，使过两点的直线平行于x 轴？（3）当a 、b 满足什么条件时，f(x)在区间（1，+∞）上恒为正值。
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特级教师高考数学首轮复习第函数综合应用-讲17．一、知识结构二、重点叙述函数综合应用的重点1.①准确深:函数的综合应用重点解决好四个问题②揭示函数与其他数;刻地理解函数的有关概念③把握数形结合的思想和方学知识的内在联系; 强化应用意识。
,法;④认识函数思想的实质①准确、深刻理解函数的有关概念函数概念是数学中最主要的,概念是数学的基础数、,函数概念贯穿在中学代数的始终。
概念之一式、方程、不等式、初等函数、数列、极限、导数、微积分等都是以函数为中心的代数。
②揭示函数与其他数学知识的内在联系。
是变量函数是研究变量及相互联系的数学概念,利用函数观点可以从较高的角度处数学的基础,理数式、方程、不等式、数列、曲线与方程、导数、微积分等内容。
所谓函数观点,实质是将问题放到动态背景上去加以考虑。
在利用函数和方程的思想进行思维中,动与静、变量与常量生动的辩证统一,揭示了函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式。
③把握数形结合的思想和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的思想与方法,因此,既要从定形、定性、定理、定位等方面精确地观察图形、绘制简图,又要熟练地掌握函数图象的常规变换,体现了“数”变换与“形”变换的辩证统一。
④认识函数思想的实质,强化应用意识函数思想的实质就是应用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数模型,求得问题的解决。
函数思想方法的应用不但重要,而且广泛,必须强化函数建模思想的应用,学会运用函数建模的思想方法解决实际问题。
2. 应用：Ⅰ、函数图象、性质与最值的综合应用: :Ⅱ、函数与方程、不等式的综合应用．Ⅲ、函数模型的综合实际应用三、案例分析案例1：定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)其中成立的是( )D.②与④ C. ①与④B.②与③①与③A.C【答案】图象分析：用图象法或特殊函数特殊值法解之。
C法：如图，①与③正确，选．解：特殊函数特殊值法：，则设，，∴。
，对任意实数R：设函数案例2f(x)的定义域为＜f(x)0，＞都有x、yf(x+y)=f(x)+f(y)，当x 。
－0，且f(3)=4 （1）求证：f(x)为奇函数；. 的最值］上，求，）在区间［－（299f(x)最小值为最大值为;(2) 12,证明略【答案】(1) 。
-12分析：本题涉及抽象函数，赋值法是基本方法，关键是如何赋值，要注重目标达成的赋值设计，上在达到证明函数在区间R上是奇函数，是减函数，利用单调性求函数最值。
．（1）证明：令x=y=0,得f(0)=0令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)∴f(x)在R上是奇函数。
（2）解：任取实数x1 、x2 ∈［－9,9］，且x1＜x2 ，这时，x2 －x1 ＞0，f(x1 )－f(x2 )=f［(x1 －x2 )+x2 ］－f(x2 )=f(x1 －x2 )+f(x2 )－f(x2 )=－f(x2 －x1 ))f(x2 －)0，1 f(x，∴x1 因为x2 －＞，＞0 ∴f(x)在［－9，9］上是减函数。
最小值为－9)，f(9)f(故函数f(x)的最大值为－f(－9)=12∵f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－，f(9)=12.，最，∴f(x)在区间［－99］上的最大值为12 12小值为－。
最小值为;(2) 证明略最大值为12,(1)【答案】。
-12分析：本题涉及抽象函数，赋值法是基本方法，关键是如何赋值，要注重目标达成的赋值设计，上在区间上是奇函数，R在达到证明函数．是减函数，利用单调性求函数最值。
（1）证明：令x=y=0,得f(0)=0令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)∴f(x)在R上是奇函数。
（2）解：任取实数x1 、x2 ∈［－9,9］，且x1＜x2 ，这时，x2 －x1 ＞0，f(x1 )－f(x2 )=f［(x1 －x2 )+x2 ］－f(x2 )=f(x1 －x2 )+f(x2 )－f(x2 )=－f(x2 －x1 ))f(x2 －)1 0－x1 ＞，f(x，∴因为x2＞0， 9］上是减函数f(x)∴在［－9，。
f(x)故函数的最大值为f(－9)，最小值为f(9)－∵f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12，9)=f(－f(9)=12.，最129，9］上的最大值为在区间［－∴f(x) 12小值为－。
f(x)=x）已知函数辽宁·理3案例：（200921 －ax+(a－1)。
， 1（）讨论函数的单调性；，有。
xx，x，x）证明：若，则对任意2（．单调性，(1)小题用导数法讨论函数分析：第的零点a，其导数函数含参数的分a，注意零点相对位置而致参数a也含参数类讨论；时，证明的结第(2)小题由于，不防设论等价于数明化为证函数函构造于是转，在上是增函数。
（2）证明略。
）解：（1的定义域为，单，则，故,即在①若调递增。
时，，故，则当②若，而；当时，及，单调减少，在单调增加。
故在；,③若,即当时，当时，及，单调减少，在故在单调增加。
在单调减少，时，函数综上所述，当单调增加；当在单调时，在递增；在单调减少，在当时，单调增加。
）证明：考虑函数 2（则在(4, +∞)单1由于，故5＜a＜g(x)，即调增加，时，有从而当，，故即。
时，有所以当四川·理200822）案例4：（已知是函数的一个极值点。
（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调区间；求的取3个交点，（Ⅲ）若直线与函数的图象有值范围。
的极值点，即分析：第(Ⅰ)小题是函数，可求得a的值；小题用导数法求函数的单调区间，即求(Ⅱ)第导、因式分解、零点分区间、判断导数正负、确定函数的单调区间；与函小题求第(Ⅲ)的取值范围，使得“直线个交点”，等价转化为函数数3的图象有直线，在三个单调区间，内，的图象各有一个交点，那么当且仅当有，从而使问题解决。
，（Ⅰ）因为解：。
由，因此。
所以，（Ⅱ）∵。
∴时，当当时，的单调增区间是，所以的单调减。
区间是内单调减（Ⅲ）由在内单调增加，在少，在上单调增加，且当。
或时，为的值为值以所小，极极大。
因此个交3与函数的图象有所以“直线在三个单调区间，，点”，即函数内，直线有的图象各有一个交点，，即。
当且仅当的取值范围为。
因此所求上的函数满足：①对任，：定义在5(－11)案例∈(－1)，都有1，y意x、 1，0)时，有。
求证：(；②当x∈－（1）函数是奇函数； 12（）函数在(－，1)上是减函数；）（3，分析：题设是抽象的函数方程常用的方法是赋值法，如何赋值才能揭示函数在定义域上是奇函数、单调递减函数，值得研究与总结。
，第（1）令，小题，令得，得，证得函数在定义域上是奇函数。
第（2是奇函数，且，）小题，由于函数因此只要证明函数0)1(在－，上是减函数即可。
根据减函数的定义，设－1＜x1 ＜x2＜0，，即证得证得。
．，)f(x2 )=f(x1 )+f(－x2 )=f(∵f(x1 )－只要证明，只要证明，由，容易证得x1 ＜x2 。
＜0－1＜）小题，不等式左边呈抽象函数的数列求第（2，须考虑用阶差求和和的特点，右边是常数项住通用的方法解决，要抓，利进行变换，令，则有把何关键是如的，于是问题即可。
变换为，中的令y，，证明：（1）对x=y=0x 得f(0)=0；－即f(x)+f(－再令y=x，又得－x)=f(0)=0，f( x)=上是奇函数。
，－x∈(11)在，∴－f(x)f(x)－，＜＜－设1x1 ＜x2 0则)f(x1 ）（2－f(x2 )=f(x1 )+f(x2 )=f(，)x2 x2 1 ∴0x2 x1 1∵－＜＜＜，x－＜－10，x1，0＜。
∴0＞－f(x1 )0，从而于是由条件②知f()＞f(x2 )，f(x1 )＞0，即＞f(x2 )上是单调递减函数。
故∈(－1,0)在x在由于上是奇函数，所以(x∈－1，1)在上仍是递减函数，且(0,1)x∈。
所以函数，－(11)上是减函数。
在在）3（，故命题成立。
四、总评函数的综合应用涉及求函数的解析式、函数(1)图象与性质、函数的极值与最值、函数与方程、其概念彼,函数与不等式、函数建模等重要方面．重,方法涉及彼多,综合面彼广,深浅变化彼大,高考命题彼热,必须充分重视,力求比较熟练把握,方可得心应手,敢于面对。
(2)函数的综合应用除了函数自身的综合外,还要注意与数列、三角函数、解析几何、立体几何等知识方法的结合,其关键点是把相关的问题转化为函数问题解决,化归转化是重要的解题途径。
(3)函数方程思想、数形结合思想、化归转化思想,逻辑划分思想、函数建模思想是函数综合应用的重要思想方法,贯穿函数综合应用的全过程,要比较深刻理解这些思想方法的内涵与特点,以把握解题的过程。