信息光学 常用函数

P
1.2.2

函数的性质
0,
筛选性质
f x, y x x

y y0 dxdy f x0 , y0
函数f(x,y)在(x0，y0)点连续
坐标缩放性质
ax, ay
1 x, y | ab |
奇偶性？
a,b为实常数 可分离变量性
1.3.1 傅里叶级数
1 一个周期函数f(t)，周期 ，且满足狄里赫利条件,则 v a 三角级数形式 f t 0 an cos 2 nvt bn sin 2 nvt 2 n 1 2 a f t d t 0 0 其中傅里叶系数为 2 a f t cos 2 nvt d t n 0 2 bn 0 f t sin 2 nvtdt 或者
二维矩形函数可以用来描述不透明屏上矩形孔的透过系数； 快门; 单缝, 矩孔,区域限定
定义
sinc(x) 图像
x x0 sin ( ) x x a 0 sin c x x0 a ( ) a 在x＝x0处有极大值为1,主瓣宽度为2|a|
极大值1 x0=0，a=1
E.G：某孔径的一半嵌有π位相板，可用sgn函数描述此孔径的复 振幅透过率
1.1.5 阶跃函数
定义 图像
1, step x 0, x0 x0
作用
开关作用，无穷大半平面屏
阶跃函数与符号函数的关系？
与 Step函数的关系: Sgn(x)=2 Step (x)-1
1.1.6 圆域函数(柱函数)
一般来说，这些信号都很复杂，直接处理比较困难。 如果能把一个复杂信号分解许多简单分量，显然将大大 简化信号的处理。
1.3.1 傅里叶级数
1 一个周期函数 f(t)，周期 ，且在一个周期内满足狄里赫利 v 条件, 则可以Fra Baidu bibliotek函数分解为：
f t 0 t C11 t Cnn t
1.1.2 sinc函数
主瓣宽度为2 单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是sinc函数
sin(x) 原型 : sinc( x) , x
sinc(x) 1
x x0 标准型 : sinc( ) a
1
a+x0 x
-1
0
1
x
特点: 最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0
x
x0 -a+x0
0, x 0, y 0, 类似普通函数形式的定义 x, y , x y 0, x , y dxdy 1,
说明 1. 函数的定义表明在一个很小很小的范围内它不为0，而它 在在这个范围内的形状却没有规定。 2. 积分限不一定为（-∞，+∞）,只要把函数不为0的关键点包 括在内即可。
附: sinc2函数 sinc2(x)=[sinc(x)]2
sin2(x) (x)2
sinc (x) sinc2(x) 1 0
-1
1
x
二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)
1.1.3 三角函数
定义
x , x 1 a a 0, x a 其他
x
1.3 二维傅里叶变换 （2-D Fourier Transformation）
光学系统和电气系统一样，都是以信息为对象，研究 信息的传递和变换，只是信息的形式不同。电气系统所 处理的是以时间为变量的信息，而光学系统则是空间变 量的信息。不管什么形式的信息它们都存在于信号之中。 一个电信号可以用一个时间域的函数描述，而一副透明 的图片，则可以用各点的光强或光振幅透过率来描述。
即，可以将周期函数（信号）做上述分解处理，但必须解决 两个问题：
（1）选择合适的
t ；
n
（2） Cn 很方便求出！
利用数学上的“按正交函数展开”的方法，可以圆满解决上述问 题。 光学中常用的正交函数系：1）三角函数系；2）复指数函数系。
在这两个函数系上按上述方法展开得到的函数项级数，就是大家熟悉的 傅里叶级数。它是Fourier和Euler分别在18世纪末和19世纪初提出的。
x x0 comb( )? b

画图？
间隔为的脉冲系列:
1 x 1 x ( x n ) ( n) comb( ) n n
1.2.3 梳状函数（抽样函数）
一维梳状函数定义
comb x
n
x n
n
可以利用梳状函数对普通函数做等间隔抽样，因此又称抽 样函数，是十分有用的
1.2.3 梳状函数（抽样函数）
利用梳状函数与普通函数的乘积:
f ( x) comb( ) f ( x) ( x n )
1
x



n
n
f (n ) ( x - n )

1.2.1 函数的定义(3)
函数的图形表示 函数的物理意义: 表示一种脉冲状态的物理量。 如：平行光通过透镜后焦面上的照度分布 后焦面上照度：
F
, A x, y 0,

x 0, y 0 x 0, y 0
A x, y dxdy count
1.1.1 矩形函数(1)
一维定义
宽度 中心 高度
图像
中心在x=x0，宽度为a，高度为1
1.1.1 矩形函数(1)
一维定义
图像
应用
截取作用
当自变量x代表时间变量时，光学中可以用它来描写照相机快门 当自变量x代表空间变量时，无限大不透明屏上的单缝的透过率
1.1.1 矩形函数(2)
二维定义
图像
x x0 rect a y y0 rect b
定义
底半径
x2 y 2 circ a
1, 0,
x2 y 2 a 其他
直角坐标系 柱坐标系
r 1, circ a 0,
ra ra
图像
描写无限大不透明屏上圆孔的透过率函数
高斯函数
定义
Gaus x exp x 2
图像
Gaus(x)
x
0
Gaus(0) = 1 S=1 是非常平滑的函数,即各阶 导数均连续
2 2 x y 二维： Gaus x Gaus y exp


可代表单模激光束的光强分布
注 意
以上定义的函数,其宗量均无量纲. 在处理实际问 题时,要根据所取的单位采用适当的缩放因子。 例: 以 rect(x) 代表单缝. 若x单位为cm, 则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝.若x单位为mm,则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝.
1 a

梳状函数性质：
比例变化特性 周期性 奇偶性 周期抽样特性
n x a n comb x m comb x comb ax
comb x comb x
comb x f x f n x n
中心在x0处底边宽2|a| ，高1，面积为a的三角形
图像
a=1
它和矩形函 数的关系?
二维三角函数可以用来表示矩形光瞳非相干成像系统的光学传递函数
1.1.4 符号函数
定义
图像
，x 0 1 sgn x ＝ 0, x 0 -1, x 0
应用
改变正负。代表“π”相移器、反相器
练习：计算
1. sinc(x) (x)
3. sinc(x) (x-1)
2. sinc(x) (x-0.5)
4. (3x+5) (x+3)
1.2.3
梳状函数（抽样函数）
间隔为1的函数的无穷序列
comb x
一维梳状函数定义
n
x n

表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列 一维梳状函数图像
x, y x y
f x, y x x0, y y0 f x0 , y0 x x0, y y0
与普通函数乘 积的性质 抽样特性
1.2.2 函数的性质
与普通函数乘 积的性质 抽样特性 说明 一个连续函数与函数的乘积，其结果只能抽取该函数在函 数所在点处的函数值。 推论
曲线下面积: S=1，偶函数 0点位置:x=n (n=1, 2, 3…)等间隔 两个一级0点之间的主瓣宽度=2
I sin c 2 x
单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是sinc函数
Sinc函数的重要性:
数学上,sinc函数和rect函数 互为傅里叶变换 物理上,单一矩形脉冲rect(t) 的频谱是sinc函数;单缝的夫 琅和费衍射花样是sinc函数
n
常用的序列函数表现形式
g n x, y dxdy 1, lim g n x, y 0, x 0, y 0, n

2 2 2 x, y lim n 2 exp n x y n x, y lim n 2 rect nx rect ny n n
可见： 1.描写光栅透过率时，梳状函数是十分有用的。 2.comb函数用于对连续函数进行定点抽样，使其离散化，以 便于计算和处理。
1.2.3 梳状函数（抽样函数）
间隔为1的函数的无穷序列 一维梳状函数定义
comb x
n
x n

表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列 一维梳状函数图像
f x, y x x0, y y0 f x0 , y0 x x0, y y0
f x, y x, y x, y x x0, y y0 x, y x, y 无定义
3. 函数是奇异函数，本身没有确定的值，但作为被积函数中 的一个乘积因子，其积分结果具有明确的值。
-函数的图示:
1
( x)
x
(x,y)
1
y x
0
0
(x,y)
0
1
y
(x0,y0) x
1.2.1 函数的定义(2)
普通函数序列极限形式的定义
任意满足条件 的函数序列
x, y lim g n x, y
x, y lim n 2 sin c nx sin c ny
1 ( x)
0

x
1.2.1 函数的定义(3)
广义函数形式的定义
x, y x, y dxdy 0, 0


不同形式的函数，只要它在积分中的作用与上式相同，就 可认为它们与函数相同
利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样: f ( x) 0 x comb(x)
.
0
x =
0
x
1.2.3 梳状函数（抽样函数）
一维梳状函数定义 一维梳状函数图像
comb x
n
x n

1.2.3 梳状函数（抽样函数）
二维梳状函数定义 comb x, y comb x comb y y
练习: 画出rect(x), 10rect(10x), sinc(x), 10sinc(10x) 的示意图.
1.2 函数
用来描述物理量在空间或时间上高度集中的 物理模型的数学工具
如：单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光 源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等.
1.2.1 函数的定义(1)
Chapter 1 线性系统分析
1.几个常用的非初等函数
2.函数
3.二维傅里叶变换； 4.卷积与相关；
5.傅里叶变换的基本性质和有关定理；
6.线性系统分析; •二维光场分析 本部分是整个课程的数学基础，其中有关数学 公式的理解和众多定理的灵活运用将是难点
1.1 几个常用函数
希望有关数学概念和运算的引入能密切结合光学现 象，这样有利于大家能较快地运用这些数学工具来 处理光学问题。