信息光学 常用函数
信息光学总复习
线性系统
若系统对几个激励的线性组合的整体响应，等于单个激 励所产生的响应的线性组合，则该系统称为线性系统。 系统对输入的脉冲函数产生的输出称为脉冲响应. 若输入脉冲发生位移时, 线性系统的响应函数形式 不变，仅造成响应函数相应的位移，即：
{d(x-x, y-h)}=h (x-x, y-h)
这样的系统称为线性空不变系统。
x y U ( x, y ) c t ( x0 , y0 ) exp j 2 f x0 f y0 dx0 dy0
c
t ( x0 , y0 ) f
x
x y , fy f f
用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在 透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦 面称为频谱面。
振幅谱 位相谱
线性系统的定义: 设: g1(x2, y2) =ℒ {f1(x, y)}， g2(x2, y2) = ℒ {f2(x, y)}, 且对于 任意复常数a1 和a2，有： ℒ {a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) } = a1 g1 (x2, y2) + a2 g2 (x2, y2) 则称该系统 ℒ 为线性系统。
衍射受限系统—— 线性空不变的成像系统
1
~ h xi ,yi
2
3
P(d i ~, d i ~) x y
若成像系统的像质仅受有限大小光瞳的衍射效应所限制, 则称为 “衍射受限”系统 (diffraction-limited system )
衍射受限的相干成像系统点扩展函数是光瞳函数的傅里叶变换
{h(x,y)}
x
x f y y )]dxdy
=
信息光学 中常用函数
令 ，则称G(ω)是f(x)的傅立叶变换（也称G(ω)是f(x)的频谱函数、象函数），傅立叶积分（也叫傅氏逆变换）和傅立叶变换构成了傅立叶变换对：
第一章：数学预备知识
为了方便后面的学习，我们复习一下有关的数学知识。
§1-1 几个常用函数
一、矩形函数（rectangle function）
1、一维矩形函数
表达式为：
其函数图形为：
当x0=0，a=1时，矩形函数为： [此时rect(x)=rect(-x)]
其图形为
2、二维矩形函数
表达式为：
其函数图形为：
常用的傅立叶变换对见表1-2（P.35）。下面给出几个傅立叶变换的例子。
推广是这样来进行的：若存在一个函数序列gn(x,y)，其傅立叶变换存在，对应的傅立叶变换——即频谱函数序列为Gn(ωx,ωy)。函数g(x,y)虽然不存在傅立叶变换，但是g(x,y)却是gn(x,y)当n→∞的极限，则定义当n→∞时Gn(ωx,ωy)的极限为g(x,y)的广义傅立叶变换。
四、傅立叶变换的性质
因为
当N→∞时，根据δ函数的定义
其表示的物理意义就是只有在ω0处有一无限高的谱线。
三、广义傅立叶变换
一个非周期函数能进行傅立叶变换的条件是：①f(x，y)在任一有限区域上满足狄氏(Dirichlet)条件（有限个间断点、有限个极大极小点、没有无穷大间断点）；②f(x,y)在整个平面上绝对可积 。但是当光学现象用理想化的数学模型来描述时，不少有用的函数是不能满足上述条件的，为此，我们把傅立叶变换的定义进行推广。
信息光学公式整理1
信息光学公式 1·矩形函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-其它,021,100a x x a x x rectF { a sinc(a x ) } = rect(f /a )F ⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ=b f b 1(bx)}{sinc22·inc s 函数()()a x x a x x a 000sin x x sinc --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ 3·三角形函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ其它,0,1a x a xa x4·符号函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x5·阶跃函数()⎩⎨⎧<>=0,00,1x x x step6·圆柱函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+其它,0,12222ayx a y x circ极坐标内⎩⎨⎧><=⎪⎭⎫ ⎝⎛ar o a r a r ,,1circ7·δ函数的定义 普通函数形式的定义()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⎩⎨⎧==∞≠≠=∞∞-⎰⎰1,0,0,0,0,dxdy y x y x y x y x δδ广义函数形式的定义()()()0,0,,φφδ=∞∞-⎰⎰dxdy y x y x其中()y x ,φ在原点处连续 δ函数的性质设函数()y x f ,在()00,y x 点出连续，则有 筛选性质()()()y x f dxdy y y x x y x f ,,,00=--∞∞-⎰⎰δ坐标缩放性质 ()()y x abby ax ,1,δδ=可变性 ()()()y x y x δδδ=, 8·梳状函数性质()()()∑∑∞-∞=∞∞-=-=m nx j m x x πδ2exp comb()∑∞∞-∆-∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x m x x x x δcomb()∑∞-∞=⎪⎭⎫⎝⎛∆-∆=∆m xm x x δ1xx comb ()()ξcomb x comb −−→←ℑ()ξx comb x x comb ∆∆−−→←⎪⎭⎫ ⎝⎛∆ℑx ()()()y x comb comb y x,comb =9·傅里叶变换()()(){}dxdy y x j y x f F ηξπηξ+-=∞∞-⎰⎰2exp ,, ()()()[]ηξηξπηξd d y x j F y x f +=∞∞-⎰⎰2exp ,,10·阶跃函数step(x)的傅里叶变换(){}(){}()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+=ℑℑπξξδj 21x sgn 121x step11·卷积的定义()()()()()x h x f d x h f x g *=-=⎰∞∞-ααα定义()x f 和()x h 的二维卷积：()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,*,,,,=--=⎰⎰∞∞-βαβαβα卷积的几个重要性质： 线性性质：{),(),(),(),(),()},(),(y x g y x bh y x g y x af y x g y x bh y x af *+*=*+卷积符合交换律：,(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*卷积符合结合律：[][]),(),(),(),(),(),(y x g y x h y x f y x g y x h y x f **=**卷积的坐标缩放：若),(),(),(y x g y x h y x f =*，则),(1),(),(by ax g abby ax h by ax f =*（a,b 均不等于0）卷积位移不变性：若),(),(),(),(y x f y x h y x h y x f *=*，则),(),(),(),(),(000000y y x x g y y x x h y x f y x h y y x x f --=--*=*--函数),(y x f 与δ函数的卷积： ),(),(),(0000y y x x f y y x x y x f --=--*δ12·米尔对称性()()ηξηξ--=*,,FF13·卷积定理()()()x rect x rect *=Λx(){}(){}(){}()ξ2sinc x rect x rect ==Λℑℑℑx()(){}()()()ξξξrect rect rect sin x sinc ==*ℑx c()()(){}()x sinc rect sinc sinc 1==*-ℑξx x14·线性平移不变系统()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,,,,,*=--=∞∞-⎰⎰βαβαβα15·函数变换输入函数 ()()y x y x f 002cos ,ηξπ+= 其频谱函数()()()[]0000,,21,ηηξξδηηξξδηξ-++--=F16·单色光波场的复振幅复振幅 ()()r k j ra P U *=exp 0光强 *==UU UI 217·X 方向的空间频率的相关公式等相线位方程 c kx =αcos λπ2=k αλc o s =X X 方向的空间频率λαξcos 1==X 18·整个空间的空间频率()()[]z y x j a Z Y X U ζηξπ++=2exp ,, 221λζηξ=++2219·泰伯效应()()jkz d n c n nG exp ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∞-∞=ξδξ 泰伯距离 λ22dz T =20·相干截止频率 f D λρ2c =非相干截止频率 f D λρρ22c oc == 21·相干面积 ()()SSC A Z A Ω≈=λλ2第二章2·1夫琅禾费近似()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=y y x x z k j y x z k j zj jkz y x y x h 002200exp 2exp exp ,,λ； 2·2菲涅尔衍射()()()()()0020200002exp ,exp ,dy dx z y y x x jk y x U zj jkz y x U ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=∞∞-⎰⎰λ傅里叶变换()()()()()()00002020000222exp 2exp ,2expexp1,dy dx y y xx z jy x z k j y x Uy x z k j jkz zj y x U ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞∞-⎰⎰λπλ2·3透镜系统（1）输入平面位于透镜前焦面 这时f d =0得 ()()000000exp ,,dy dx f y y x x jk y x t c y x U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-'=∞∞-⎰⎰ （2）输入面紧贴透镜 这时00=d 得 ()()00000022exp ,2exp ,dy dx q y y x x jk y x t qy x jk c y x U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+'=∞∞-⎰⎰ （3）物在透镜后方()()()0000000022exp ,2exp ,dy dx d q y y x x jk y x t d q y x jk c y x U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+'=∞∞-⎰⎰ 4·1希尔伯特变换可看成是一个线性平移不变系统，该系统的脉冲响应为t t h π1)(-= 而 )()()(t u t j t t u r *⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=πδ脉冲响应对应的传递函数为()()νπνn j t F H sg 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4·2互相干函数时间的平均值⎰-∞→=TTT dt t f Tt f )(21lim)(光场的互相干函数())(,),(),(),(12**2*12211ττΓ=+--t P u t P u t t P u t t P u *＝光场的自相干函数)(),(),(111*1ττΓ+＝t P u t P u复相干度()()()()()21122/122111212]00[I I τττγΓ=ΓΓΓ=Q 点的光强为()()()()(){}τγ122121Re 2)(I Q I Q I Q I Q I Q ++=干涉条纹的可见度为min ma x m i n m a x I I I I +-=V ()()()()()τγ1221212Q I Q I Q I Q I +=Imax 和Imin 是Q 点附近干涉条纹的极大值和极小值()()()()()()()()Q I Q I Q I Q I I Q I Q I Q I Q I I 2121min 2121max 22-+=++=光源的光谱密度分布 ()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→∞→2T 2T2*,lim ,,lim v P v P v P v T T TTT U U UG相干时间vc ∆=1τ 相干长度c c c l τ= 时间延迟t ＝2h/c4·3确定像点坐标：i z 为正表示发散球面波，i z 为负表示会聚球面波1012121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±=z z z z r p i λλλλ p pi r i i i x z zx z z x z z x +±=2120012λλλλp pi r i i i y z z y z z y z z y +±=2120120λλλλ4.4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-±-⎰∞∞-A B AC A dx C Bx Ax 22exp 2exp π积分公式：4·5 范西泰特——策尼克定理()()()()[]()()()()βαβαβαβαλπβαψd d I d d y x z j I j y x I y x I y xy x y xy x J u ,2exp ,exp ,,,;,,;,221122112211∞∞-∞∞-⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+∆-==4·6 傅里叶透镜的截止频率、空间带宽积和视场 1. 截止频率 传播方向角u 最大为 ()()fD D fD D u 22211-=-≈相应的空间频率 f D D uuλλλξ2sin 1-=≈=传播方向角u 最小为 ()()fD D f D D v 22211+=+≈相应的空间频率 fD D v vλλλξ2sin 1+=≈=2.空间带宽积δξξ单频线宽频带宽度信息容道∆=NfD D λξξ12-==∆11D =δξ SW N =∆=δξξSW 就是空间带宽积3.视场 21DD =4正弦条件 ηλf u f h ==sin。
信息光学(1)02-常用函数、傅立叶变换;03-相关、卷积、线性系统、二维光场-66精讲
傅里叶变换的意义
傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种 看待问题的角度：一个连续的信号可以看作是一个个 小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成 原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 时阈信号：将信号从时间角度的分割和叠加。
傅里叶变换：将信号从频率的角度叠加。
傅里叶变换的意义
傅立叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波 （或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可 以合成任何所需要的信号。
逆变换
f x, y
F ( , ) exp j 2 ( x y)d d
把非周期函数分解为复指数函数 在整个连续频率区间上的积分和
极坐标下的傅里叶变换
G( , ) g (r , )
2 0 0 2
rg (r , ) exp[ j 2 r cos( )]drd
信 息 光 学
南京邮电大学 光电工程学院
几个常用非初等函数
矩形函数（ Rectangle function ）
x x0 1 1 x x0 1, x 1, rect( x) ) a 2 2 , 标准型 : rect( a 其它 0, 其它 0,
特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数
n
exp( j 2 nx)
comb x comb( )
原函数
缝函数
频谱函数
asinc( af )
absinc(af x )sinc(bf x )
aJ 1 ( 2a f x f y )
2 2
傅 里 叶 变 换 对
二维矩形函数
x2 y2 1 ) 圆函数 circ( a 0
信息光学
例：
a x 0
rect
x rect rect a
x a
x x rect a a
x
a
2
d a x a 1 a a
2
x
0 x a
rect
2 x x x rect d a x a 1 a a a x a
现，光学系统的成像过程是二次傅里叶变换的过程。
一幅图像，可以看成是一个平面光场分布。用傅里叶分析(变换） 的观点，可以把任何二维平面(图像)上的任何复杂光场分布看成是各种 空间频率的正弦分布光场迭加的结果。 因此，可把光学系统成像过程归结为对不同空间频率正弦光场分布 的成像特性。图像（空域）和它的付里叶变换频谱（频域）有着对应的 关系，只要知道其中的一个信息，就等于知道了另一个。 进一步，根据需要，可以对任一个光场平面从空域和频域两个方 面来分析，以全面理解光的分布性质。
常用的傅里叶变换对
傅里叶变换应用举例：
卷积的定义： 函数f（x)和h(x),其卷积运算用符号f(x)* h(x)表示,定义为如 下积分：
卷积积分操作：将曲线h()绕纵轴翻转180°便得到h(-)曲线，然后对 于一个x值，只要将h(-)沿x轴平移x便得到h(x-)曲线，最后计算不同 的x被积函数f( )*h(x-)所对应的曲线与横坐标所围成的面积。
第一章 线性光学系统
本章主要介绍信息光学的数学基础。 1、常用函数及其性质 2、傅里叶变换 3、卷积和相关 4、线性系统性质
1、常用函数及其性质
2、傅里叶变换
“信息光学”来自于早期的“傅里叶变换光学”，主要是因为人们发
信息光学复习提纲--重点
信息光学复习提纲信息光学的特点Ch1. 线性系统分析1.矩形函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数2.sinc函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数3.三角函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数4.符号函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数5.阶跃函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数6.余弦函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数7. 函数：①三种定义②四大性质③作用8.梳状函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数9.高斯函数：①定义②图像③作用④傅里叶变换谱函数10.傅里叶变换（常用傅里叶变换对）11.卷积：四大步骤，两大效应12.互相关、自相关的定义、物理意义13.傅里叶变换的基本性质和有关定理14.线性系统理论15.线性不变系统的输入输出关系，脉冲响应函数，传递函数16.抽样定理求抽样间隔Ch2. 标量衍射理论1. 标量衍射理论成立的两大条件2.平面波及球面波表达式:exp[(cos cos cos )]A ik x y z αβγ++（求平面波的空间频率）)](2exp[]exp[22y x zik ikz z A + 3.惠更斯——菲涅耳原理：()⎰⎰∑=dsrikr K P U cQ U )exp()()(0θ 4.基尔霍夫衍射理论： ⎰⎰∑-=dsrikr r n r n r ikr a j Q U )exp(]2),cos(2),cos([)exp(1)(0000λ令()()θλK rikr j Q P h )exp(1,=所以()⎰⎰∑=ds Q P hP UQ U ,)()(0当光源足够远，且入射光在孔径平面上各点的入射角都不大时，(),1,cos 0≈r n(),1,cos ≈r n ().1≈∴θK故()z ikr j Q P h )exp(1,λ=，]})()[(211{20020zy y z x x z r -+-+≈ 5. 菲涅耳衍射——近场衍射：0000202000022)](2exp[)](2exp[),()](2exp[)exp(),(dy dx yy xx zj y x z jk y x U y x zjkz j jkz y x U +-++=⎰⎰∞∞-λπλ6. 夫琅禾费衍射——远场衍射：（根据屏函数求衍射光强分布）000000022)](2exp[),()](2exp[)exp(),(dy dx yy xx zj y x U y x zjkz j jkz y x U +-+=⎰⎰∞∞-λπλ 7.衍射的角谱理论：（角谱的传播，求角谱分布）Ch.3 光学成像系统的频率特性1.透镜的傅里叶变换性质： ①相位变换作用：)](2exp[),(),(22y x f jky x p y x t +-=（二次位相因子）②透镜的傅里叶变换特性：（满足条件？什么情况下实现准确傅立叶变换） a. 物在透镜前b.物在透镜后 2. 衍射受限系统的点扩散函数：⎰⎰∞∞--+--=--yd x d y y y x x x j y d x d P d K y y x x h i i i i ii i ~~]}~)~(~)~[(2exp{)~,~()~,~(002200πλλλ 光瞳相对于i d λ足够大时，理想情况：点物成点像)~,~()~,~(22o i o i i o i o i y y x x d K y y x x h --≅--δλ3. 相干照明下衍射受限系统的成像规律：),(),(~),(i i g i i i i i y x U y x h y x U *=其中，)]~,~([),(~y d x d P F y x h i i i i λλ=，),(1),(0My M x U M y x U i i i i g =4.衍射受限系统的相干传递函数（CTF ）：()()ηλξληξi i d d P H ,,=（坐标轴反演）5. 截止频率：圆形光瞳：o c oc i c d DM d D λρρλρ2,2=== 正方形光瞳：不同方向的截止频率不同，45度时最大)22max ic d aλρ= 6. 衍射受限系统的非相干传递函数（OTF ） 7. OTF 与CTF 的关系Ch.4 光学全息1. 普通照相与全息照相的比较2. 全息照相的核心：波前记录和再现①方法：干涉法（标准方法，即将空间相位调制→空间强度调制） ②特点：全息图实际上就是一幅干涉图 ③全息图的分类：a 。
信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场
一般情况下,相关运算与卷积运算的区别:
f(x)要取复共轭；运算时 f(x) 不需折叠
2.互相关不满足交换律
相 关 运 算（correlation）
2. 自相关 auto-correlation
rff (x)
f (x)★f (x)
f ( ) f *( x)d
互相关在两函数有相似性时出现峰值， 自相关则在位移到重叠时出现极大值
相 关 运 算（correlation）
1. 互相关 cross correlation
rfg (x)
f (x)★g(x)
f *( )g(x )d
与卷积的关系：
rfg ( x) f * ( x)g( )d g( x) f * ( x)
1. 当且仅当 f*(-x)=f(x) ，相关才和卷积相同。
三角形函数
原型
:
tri ( x)
1
0,
x,
x 1 其它 ,
标准型
:
tri
(
x
a
x0
)
1 0,
x x0 , a
x x0 1 a 其它
tri(x) 1
1
-1 0 1 x
-a+x0
x x0 a+x0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
2024/10/1
H仅依赖于观察点与脉冲输入点坐标在x和y方向
的相对间距 ( x )和 ( y ) ，与坐标本身的绝
对数值无关。
叠
加
g( x, y) f ( , )h( x , y )dd
积
分
f ( x, y) h( x, y)
信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场
1807年－《热的传播》推导出热传导方程 ，提出任一函数 都可以展成三角函数的无穷级数。
1822年－《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固 体中分布传播问题
频域
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
时域：
频域：
傅里叶级数
傅里叶级数
周期为 1 的函数 f (t)可以展开为三角级数
aJ1( 2a f x 2 f y 2 ) fx2 fy2
(
f
)
1( 2
f
f0)
1( 2
f
f0)
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
函数 (x)
1
常数
1
傅里叶变换的意义
三角形函数
原型
:
tri ( x)
1
0,
x,
x 1 其它 ,
标准型
:
tri
(
x
a
x0
)
1 0,
x x0 , a
x x0 1 a 其它
tri(x) 1
1
-1 0 1 x
-a+x0
x x0 a+x0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
x
曲线下面积 S=1； 0点位置 x=n (n=1, 2, 3…)等间隔； 偶函数
Sinc 函数
二维sinc函数:
sinc(x)sinc(y)
Sinc函数的重要性: 数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换
物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;
单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数
傅里叶变换
信息光学知识点Word
[]{}{}{}{}{}{}),(),(),(),(),(),(),(),()2()()]()([212sin )](exp[)](exp[)]()([212cos )()()()(),()](2exp[)(sin )(sin )()(1),()(sin )(sin )()()](2exp[),()()(),()()(11)()(),(),(),(),()(),(1),(),(),(),(1),(000),(1)2(),()(),(01)(exp ),(exp 01)()(),()()(sin sin Sinc )()(),(021)(11110002222000220000000000222212222212222222222000200ηεηεηεηερπρδδπππδδπδπδπδτδτδτττδδδδδδδδδδδππππππG b F a bG aF y x g b y x f a y x bg y x af J r circ f f f f jx f f f y x f f f f xf f comb f comb y comb x comb f f f f y f x f j f c f c y tri x tri y x f c f c y rect x rect b f a f j b y a x y Comb x Comb y x Comb n x n x x Comb y x y x y y x x y x f y y x x xy f y x abby ax y x f dxdy y y x x y x f dxdy y x y x y x y x y x N J N y x f y x N Circ N y x f a y x a y x Circ y x N N y x f a x a x Gaus ax a x a x a x Tir Ny Sinc Nx Sinc N y x f a x x ax x a x x c Ny rect Nx rect N y x f a x x a x x rect x x y x x x y x b y a x b a y x y x y x n n N NN N N ---∞-∞=∞-∞=∞+∞-∞+∞-+=++=+---+-+--+---++---=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=--==--⎪⎩⎪⎨⎧=≠≠=++=+=⎪⎩⎪⎨⎧≤+=++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎩⎪⎨⎧≤-=∧==--=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤-=-∑∑⎰⎰⎰⎰F F FF F F 频谱函数原函数频谱函数原函数，梳状函数：分离性质：相乘性质：比例性质：筛选性质：函数的定义及性质：贝塞尔函数：，其它）（）（圆域函数：，）（）（高斯函数：其它）（）（三角函数：，）（函数：，其它矩形函数：线性关系。
信息光学-1.1常用函数
七、圆域函数 Circular Function
1, 2 2 定义: circ(r) = circ( x y ) 0,
circ函数是不可分离变量的二元函数
x2 y 2 1 其它
描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率
1 y
0
x
原型特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1
1 -1/2 rect(x) x 0 1/2
快门; 单缝, 矩孔,区域限定
四、三角形函数 Triangle Function
x - x0 1 - x , x 1 x - x0 , 1 原型 : tri( x) , 标准型 : tri( ) a a 其它 0, 0,
tri(x) -1 0 1 1 x 1 -a+x0 x0 x a+x0
x - x0 1 a 其它
底宽:2|a|, 面积: S= |a| 底宽: 2 最大值：tri(0)=1 又写成：L(x) 曲线下面积: S=1 非相干成像系统光学OTF
五、sinc函数
sin( px) 原型 : sinc ( x) , px
二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)
六、高斯函数 Gaussian Function
Gaus(x) = exp(-px2) Gaus(0) = 1 S=1 是非常平滑的函数,即各阶导数均连续.
二维情形:
0
Gaus(x)Gaus(y)=exp[- p(x2+y2)]
常用来描述激光器发出的高斯光束
定义: Sgn(x)=
{
1 , x>0 0, x=0 -1, x<0
原型
1 0 Sgn(x) x
信息光学第一章常用函数
ab
L
b
x
0
x0
图8 一般形式的矩形函数
19
第19页，本讲稿共32页
例1、画出函数 fne(w x)2ste(x p13)1的图形。
解：为了说明各个参数的作用，作图可分为几步完成
2ste(xp3) 2
2
2step( x 3) 1
1
1
x
x
4 3 2 1 0 1 2 3 4
4 3 2 1 0 1 2 3 4
，可以使运算过程简化。
二维物理量可以在不同的坐标系中来描述，而选择坐标系 的原则是有利于简化运算，即：
描写二维某物理量的二维函数→可分离变量函数，
非对称性的物理量通常在直角坐标系中描述；而具有圆 对称分布的物理量则最好在极坐标系中描述。
例如，rect(x，y) →rect (r，θ)
22
第22页，本讲稿共32页
1
x0
step ( x ) 1 / 2
x0
0
x0
step(x)
1
0
x
图4 step(x)的图形
在光学上，常用阶跃 函数表示刀口或直边衍 射物体；
在电子学中，则经常用 来表示一个开关信号。
9
第9页，本讲稿共32页
5．sinc函数
sinc函数记为sinc(x)
其定义为：
sinc(x)sinx() x
f(x，y)=step(x)
step(x, y)
1 y
0
x
图13
在光学问题中，常用二维阶跃函数表示无穷大半平面的振幅 透射系数或刀口滤波器函数。
25
第25页，本讲稿共32页
2、极坐标系中的二维非初等函数
信息光学归纳
光学信息一、基本概念:1. 傅里叶变换，傅里叶逆变换；正变换 dx πux j x g u G ⎰∞∞--=]2[exp )()( 逆变换u ux j u x g d ]2exp[)G()(⎰∞∞-=πμ，ν— 空间频率 G(μ，ν) — 频谱 ，傅里叶谱，角谱物理意义： 1.一个空间函数 g(x ，y) ，可视为向前传播的一列光波。
2.它可分解为无穷多个传播方向不同的平面波。
3.某一方向传播的平面波可视为一个空间单频信号。
4.每个空间单频信号可看作原函数 g(x ，y) 的傅里叶分量，其振幅是该频率的函数 G(μ，ν)。
5.原函数 g(x ，y) 可看作是所有傅里叶分量的加权的迭加， G(μ，ν) 是其权重 。
2.频谱, 空间频率；空间频率：沿某一特定方向传播的平面波具有单一的空间频率 。
定义为:其中:cos α 、cos β为平面波的方向余弦。
空间频谱 ：一般情况下可视为各平面波分量的振幅分布函数，高频分量的振幅较小，低频分量的振幅较大。
3.脉冲响应，传递函数传递函数 ：改写为：()()()νμνμνμ,,,,,0H z A z A z ∙=其中()]cos cos 1exp[,22βανμ--=jkz H 表征光的传播在频域中的特性。
脉冲响应：惠更斯—菲涅尔原理：普通光源可看作若干个单个球面波照明的集合。
h 称为脉冲响应函数它表示当P 处有一点源时，在观察点Q 处接收到的复振幅分布。
y ) 也称为 点扩展函数。
4. 空间滤波, 高通滤波, 低通滤波, 带通滤波，振幅滤波, 位相滤波；空间滤波：利用透镜的傅里叶变换特性，把透镜作为频谱分析仪，改变物体的频谱结构从而改变像的结构。
高通滤波： 通高频信号阻低频信号，滤除频谱中的低频部分，增强模糊图像的边缘，提高对图像的识别能力，实现衬度反转；能量损失较大，输出结果一般较暗。
低通滤波：通低频信号阻高频信号，用于消除图像中的高频噪声和周期性网格。
带通滤波：利用信号能量集中的频带不同，选择某些频谱分量通过，阻挡另一些分量。
信息光学：1-1常用函数
一幅图像由缓慢变化的背景、粗的轮廓等比较低 的“空间频率”成分和急剧变化的细节等比较高 的“空间频率”成分构成。
5
学完本课程后要对光学现象有一个新的认识：
1、衍射场的计算； 2、透镜成像的本质； 3、光学成像系统的传递函数； 4、光学全息技术与应用； 5、光学信息处理的理论基础及应用；
Step(x)
0
x
11
第一章 §1.1 常用函数 阶跃函数
标准型:
x0 是间断(跃变)点
Step( x-x0 ) =
1 , x > x0 1/2, x = x0 0, x < x0
Step(x)
1
0
x0
x
12
第一章 §1.1 常用函数 阶跃函数
阶跃函数的性质
与函数相乘
f（x）
Step( x-x0 ) ·f（x）=
0ay xb
20
第一章 §1.1 常用函数 矩形函数
标准型
rect x x0 • rect y y0
a
b
（x0 、y0 ）是对称中心
一维情况
二维情况
rect(x/a) 1
rect(x,y)
0 x0 x
0 y0
x0
ay
x
b
21
第一章 §1.1 常用函数 矩形函数 光学意义
一维矩形函数
单缝 的 透过率函数
Sgn(x) = 2 Step (x) － 1
16
第一章 §1.1 常用函数 符号函数
符号函数的性质 与函数相乘
f（x） Sgn( x-x0 ) ·f（x）= 0
- f（x）
信息光学复习考点.doc
Rect函数物理意义：用来描述无限大不透明屏上矩形孔的透过率。
Sine函数：与矩形函数（单缝、矩孔的透过率）之间的这种紧密联系，致使他们在傅里叶光学中经常被用到。
阶跃函数：描述光学直边（或刀口）的透过率。
符号函数：描述孔径的复振幅透过率。
三角形函数：表示一个光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数。
高斯函数：在统计学领域内经常遇到。
在光学领域小，描述激光器发出的高斯光束，有时也用于光学信息处理中的“切趾术”。
圆域函数：描述无限大不透明屏上圆孔的透过率。
§函数:在物理学和工程技术中常用来描述一个极限状态，描述脉冲状态这一类的物理现象。
互相关是两个信号间存在多少相似性或关联性的量度。
自相关是两个相同函数图像重叠程度的量度。
位相调制作用：不改变振幅，只改变位相。
相干、非相干成像系统是广场复振幅变换的线性空间不变系统。
F(/v , f y ) = F{/(x, y)} = J L /(x, y)e~l27r(flX+f )y)dxdy基尔霍夫积分定理:X ））= 士"咕云仏 +九）.才｛“ 3，x ）｝5诂你唱-嚎心已 cos(n, &)一 cos(〃, ©)菲涅尔衍射积分公式:夫琅禾费衍射公式:卷积物理意义:光学系统像平面上的光强分布是物的光强分布与单位强度点光源对应的像强度分布的卷积。
几何意义：1、置换变量：将f(X)与h (x) >p的自变量X换成积分变量;2、折叠：将h ()绕轴旋转180度，构成对称于纵轴的镜像h (-)；3、位移：将曲线h (-) 移动距离x,得到h(X-)；4、相乘：将位移后的函数h (x-)乘以f (),得到f ()h(x-)；5、积分：f () h (x-)曲线下的面积即为给定于x值得卷积值。
线性系统：设函数于= 代表对系统的激励，函数/=!果在激励与响应之间成立关系匕(兀2，丿2)=必(坷」)}'&(%2，)‘2)= £纟心2』2)代表系统相应的响应，勺是任意复常数，(p{ }表示系统算符。
信息光学复习重要知识点
信息光学复习重要知识点1.常用的非初等函数：矩形函数、Sinc函数、三角形函数、符号函数、阶跃函数、圆柱函数。
2.δ函数的定义：a.类似普通函数定义b.序列极限形式定义c.广义函数形式定义δ函数的性质：a.筛选性质b.坐标缩放性质c.可分离变量性d.与普通函数乘积性质4.卷积，性质：线性性质、交换律、平移不变性、结合律、坐标缩放性质5.互相关，两个函数f(x,y）和g(x,y)的互相关定义为含参变量的无穷积分6.惠更斯-菲涅尔原理：光场中任意给定曲面上的诸面元可以看作是子波源，如果这些子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任意一点处的光振动都可看作是子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。
7.基尔霍夫理论：在空域中光的传播，把孔径平面上的光场看作点源的集合，观察平面上的场分布则等于他们所发出的带有不同权重的因子的球面子波的相干叠加。
8.角谱理论：孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。
9.点扩散函数：面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，这个像场分布函数叫做~。
10.菲涅尔衍射成立的充分条件：传递函数：11.泰伯效应：当用单色平面波垂直照明一个具有周期性透过率函数的图片时，发现在该透明片后的某些距离上出现该周期函数的现象，这种不用透镜就可以对周期物体成像的现象称为~。
12.夫琅禾费衍射：13.衍射受限系统：不考虑系统的几何像差，仅仅考虑系统的衍射限制。
14.单色信号的复表示：去掉实信号的负频成分，加倍实信号的正频成分。
多色信号的复表示：16.如果两点处的光扰动相同，两点间的互相干函数将变成自相干函数。
18.光学全息：利用干涉原理，将物体发出的特定光波以干涉条纹的形式记录下来，使物光波前的全部信息都储存在记录介质中，做记录的干涉条纹图样被称为“全息图”，当用光波照射全息图时，由于衍射原理能能重现出原始物光波，从而形成与原物体逼真的三维像，这个波前记录和重现的过程成为~19.+1级波（虚像），-1级波（实像），±1级波（赝像）20.从物光与参考光的位置是否同轴考虑：同轴全息、离轴全息。
信息光学 中常用函数
④朱自强等，现代光学教程，四川大学出版社，1990
⑤卞松玲等，傅立叶光学，兵器工业出版社，
⑥蒋秀明等，高等光学，上海交大出版社
⑦M.波恩，E.沃耳夫，光学原理，科学出版社，1978
⑧吕乃光等，傅立叶光学基本概念和习题
⑨谢建平等，近代光学基础，中国科技大学出版社，1990
2、卷积的性质
1）卷积符合交换律
2）卷积满足分配律
3）卷积的位移性质
若f(x,y)*g(x,y)=h(x,y)，则f(x-x0,y-y0)*g(x,y)=h(x-x0,y-y0) (证略)
4）结合律
3、相关函数的定义
§1-4Fourier级数
Fourier分析方法是研究振动和波动现象的重要工具。其在物理上说明：任意波形总能进行谱分解——即表示为不同频率、不同振幅的简谐波的叠加。上世纪六十年代发展了快速Fourier变换（FFT），为Fourier分析在实际中广泛应用创造了条件。现在的有关数值计算程序，如Fortran、Matlab、Mathcad等都加挂了FFT程序模块，为实际应用提供了方便。
对一个非周期函数，可以看成是某一周期函数T→∞时转化而来（如图），即
这样非周期函数f(x)的傅立叶级数就可以写为
当n取一切整数时， 所对应的点便能均匀地分布在整个数轴上。记两点之间的距离为
则
因为T→∞， →0，而n可以取一切整数，因此 可以取任何数，就象一个变量一样，我们记为 =ω，根据积分的定义，则上述傅立叶级数可以写为
常用的傅立叶变换对见表1-2（P.35）。下面给出几个傅立叶变换的例子。
，
所以
从而
由于上式与φ无关，所以圆对称函数 的傅立叶变换 也是圆对称函数。这一变换使用频繁，我们给它一个专门的名称——傅立叶-贝塞尔变换，记为 。所以
信息光学线性系统分析
3. 极坐标系内的二维傅里叶变换 定义 xy面的极坐标r，θ；频谱面η、ξ上极坐标为ρ、ϕ。有以下关 系 x = r cos θ , y = r sin θ ξ = ρ cos ϕ ,η = ρ sin ϕ 代入直角坐标下的定义式得
F (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = ∫
∞ 0
证明：设 t ' = at , 则有 t =
t' 1 , dt = dt ', a a
当 a > 0 时，利用检验函数f(t) ,
1 t' dt ' ∫−∞ δ ( at ) φ ( t ) dt = ∫−∞ a δ ( t ') φ a ∞ 1 1 1 ∞ = = φ ( 0) δ ( t ) φ= ( t ) dt ∫−∞ [ δ ( t )] φ ( t ) dt ∫ −∞ a a a ∴ δ (at ) = 1 δ (t ) |a|
Gaus ( x ) = e
性质
−π x 2
用于表示激光光束光强分布, 高斯函数非常光滑， 可以无穷次求导。
1.2 δ函数 1.2.1 δ函数定义 1. 类似普通函数形式的定义 一维坐标
x≠0 x=0 时 时
δ( x ) = 0 δ( x ) = ∞
∫
∞
−∞
δ ( x )dx = 1
二维坐标
δ( x , y ) =
G( ρ = ,ϕ )
∫
0
rg (r )
{∫
2π
0
exp[− j 2πρ r cos(θ − ϕ )]dθ dr
}
利用贝塞尔函数关系
∫
2π
0
exp[ − ja cos(θ − ϕ )]dθ = 2πJ 0 (a )
信息光学总复习1
意义：衡量同一函数不同点之间的相关程度。
应用：自相关测量
自相关的运算性质：
1、厄米特对称：
e ff ( x ) f ( x ) ★ f ( x ) f ( x ) ★ f ( x )
若f(x)为实函数，则自相关函数为偶函数。
2、自相关函数的模在原点处有极大值。即
e ff ( x ) f ( x ) ★ f ( x ) e ff (0 ) f (0 ) ★ f (0 )
f ( , ) ( x x 0 , y y 0 )d d
任一函数与函数卷积运算的结果只是将该函数在坐标上平
移x0, y0，函数值分布不变，曲线形状不变。
证 明 2 ： f ( x, y ) ( x x0 , y y0 )
T
* 各个梳之间等间距；
* 每个梳具有 函数性质。
二维： comb ( x , y ) comb
( x ) comb ( y )
( x n, y m )
n , m
梳状函数与普通函数的乘积：
f ( x )co m b ( x x0 ) x0
m
2 自相关
定义：
e ff ( x ) f ( x ) ★ f ( x )
f ( ) f ( x ) d
f ( x ) f ( ) d
性质：
e ff ( x ) f ( x ) ★ f ( x ) f ( x ) ★ f ( x ) e ff ( x )
应用：矩形光瞳的非相干成像系统光学传递函数。
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1.几个常用的非初等函数
2.函数
3.二维傅里叶变换； 4.卷积与相关；
5.傅里叶变换的基本性质和有关定理；
6.线性系统分析; •二维光场分析 本部分是整个课程的数学基础，其中有关数学 公式的理解和众多定理的灵活运用将是难点
1.1 几个常用函数
希望有关数学概念和运算的引入能密切结合光学现 象，这样有利于大家能较快地运用这些数学工具来 处理光学问题。
练习：计算
1. sinc(x) (x)
3. sinc(x) (x-1)
2. sinc(x) (x-0.5)
4. (3x+5) (x+3)
1.2.3
梳状函数（抽样函数）
间隔为1的函数的无穷序列
comb x
一维梳状函数定义
n
x n
表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列 一维梳状函数图像
1.1.2 sinc函数
主瓣宽度为2 单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是sinc函数
sin(x) 原型 : sinc( x) , x
sinc(x) 1
x x0 标准型 : sinc( ) a
1
a+x0 x
-1
0
1
x
特点: 最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0
x
x0 -a+x0
1.2.1 函数的定义(3)
函数的图形表示 函数的物理意义: 表示一种脉冲状态的物理量。 如：平行光通过透镜后焦面上的照度分布 后焦面上照度：
F
, A x, y 0,
x 0, y 0 x 0, y 0
A x, y dxdy count
n
可以利用梳状函数对普通函数做等间隔抽样，因此又称抽 样函数，是十分有用的
1.2.3 梳状函数（抽样函数）
利用梳状函数与普通函数的乘积:
f ( x) comb( ) f ( x) ( x n )
1
x
n
n
f (n ) ( x - n )
中心在x0处底边宽2|a| ，高1，面积为a的三角形
图像
a=1
它和矩形函 数的关系?
二维三角函数可以用来表示矩形光瞳非相干成像系统的光学传递函数
1.1.4 符号函数
定义
图像
，x 0 1 sgn x ＝ 0, x 0 -1, x 0
应用
改变正负。代表“π”相移器、反相器
即，可以将周期函数（信号）做上述分解处理，但必须解决 两个问题：
（1）选择合适的
t ；
n
（2） Cn 很方便求出！
利用数学上的“按正交函数展开”的方法，可以圆满解决上述问 题。 光学中常用的正交函数系：1）三角函数系；2）复指数函数系。
在这两个函数系上按上述方法展开得到的函数项级数，就是大家熟悉的 傅里叶级数。它是Fourier和Euler分别在18世纪末和19世纪初提出的。
1.3.1 傅里叶级数
1 一个周期函数f(t)，周期 ，且满足狄里赫利条件,则 v a 三角级数形式 f t 0 an cos 2 nvt bn sin 2 nvt 2 n 1 2 a f t d t 0 0 其中傅里叶系数为 2 a f t cos 2 nvt d t n 0 2 bn 0 f t sin 2 nvtdt 或者
定义
底半径
x2 y 2 circ a
1, 0,
x2 y 2 a 其他
直角坐标系 柱坐标系
r 1, circ a 0,
ra ra
图像
描写无限大不透明屏上圆孔的透过率函数
高斯函数
定义
Gaus x exp x 2
附: sinc2函数 sinc2(x)=[sinc(x)]2
sin2(x) (x)2
sinc (x) sinc2(x) 1 0
-1
1
x
二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)
1.1.3 三角函数
定义
x , x 1 a a 0, x a 其他
利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样: f ( x) 0 x comb(x)
.
0
x =
0
x
1.2.3 梳状函数（抽样函数）
一维梳状函数定义 一维梳状函数图像
comb x
n
x n
1.2.3 梳状函数（抽样函数）
二维梳状函数定义 comb x, y comb x comb y y
x x0 comb( )? b
画图？
间隔为的脉冲系列:
1 x 1 x ( x n ) ( n) comb( ) n n
1.2.3 梳状函数（抽样函数）
一维梳状函数定义
comb x
n
x n
E.G：某孔径的一半嵌有π位相板，可用sgn函数描述此孔径的复 振幅透过率
1.1.5 阶跃函数
定义 图像
1, step x 0, x0 x0
作用
开关作用，无穷大半平面屏
阶跃函数与符号函数的关系？
与 Step函数的关系: Sgn(x)=2 Step (x)-1
1.1.6 圆域函数(柱函数)
一般来说，这些信号都很复杂，直接处理比较困难。 如果能把一个复杂信号分解许多简单分量，显然将大大 简化信号的处理。
1.3.1 傅里叶级数
1 一个周期函数 f(t)，周期 ，且在一个周期内满足狄里赫利 v 条件, 则可以把函数分解为：
f t 0 t C11 t Cnn t
x
1.3 二维傅里叶变换 （2-D Fourier Transformation）
光学系统和电气系统一样，都是以信息为对象，研究 信息的传递和变换，只是信息的形式不同。电气系统所 处理的是以时间为变量的信息，而光学系统则是空间变 量的信息。不管什么形式的信息它们都存在于信号之中。 一个电信号可以用一个时间域的函数描述，而一副透明 的图片，则可以用各点的光强或光振幅透过率来描述。
曲线下面积: S=1，偶函数 0点位置:x=n (n=1, 2, 3…)等间隔 两个一级0点之间的主瓣宽度=2
I sin c 2 x
单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是sinc函数
Sinc函数的重要性:
数学上,sinc函数和rect函数 互为傅里叶变换 物理上,单一矩形脉冲rect(t) 的频谱是sinc函数;单缝的夫 琅和费衍射花样是sinc函数
图像
Gaus(x)
x
0
Gaus(0) = 1 S=1 是非常平滑的函数,即各阶 导数均连续
2 2 x y 二维： Gaus x Gaus y exp
可代表单模激光束的光强分布
注 意
以上定义的函数,其宗量均无量纲. 在处理实际问 题时,要根据所取的单位采用适当的缩放因子。 例: 以 rect(x) 代表单缝. 若x单位为cm, 则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝.若x单位为mm,则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝.
0, x 0, y 0, 类似普通函数形式的定义 x, y , x y 0, x , y dxdy 1,
说明 1. 函数的定义表明在一个很小很小的范围内它不为0，而它 在在这个范围内的形状却没有规定。 2. 积分限不一定为（-∞，+∞）,只要把函数不为0的关键点包 括在内即可。
P
1.2.2
函数的性质0,源自筛选性质 f x, y x x
y y0 dxdy f x0 , y0
函数f(x,y)在(x0，y0)点连续
坐标缩放性质
ax, ay
1 x, y | ab |
奇偶性？
a,b为实常数 可分离变量性
可见： 1.描写光栅透过率时，梳状函数是十分有用的。 b函数用于对连续函数进行定点抽样，使其离散化，以 便于计算和处理。
1.2.3 梳状函数（抽样函数）
间隔为1的函数的无穷序列 一维梳状函数定义
comb x
n
x n
表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列 一维梳状函数图像
练习: 画出rect(x), 10rect(10x), sinc(x), 10sinc(10x) 的示意图.
1.2 函数
用来描述物理量在空间或时间上高度集中的 物理模型的数学工具
如：单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光 源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等.
1.2.1 函数的定义(1)
x, y x y
f x, y x x0, y y0 f x0 , y0 x x0, y y0
与普通函数乘 积的性质 抽样特性
1.2.2 函数的性质
与普通函数乘 积的性质 抽样特性 说明 一个连续函数与函数的乘积，其结果只能抽取该函数在函 数所在点处的函数值。 推论
1.1.1 矩形函数(1)
一维定义
宽度 中心 高度
图像
中心在x=x0，宽度为a，高度为1
1.1.1 矩形函数(1)
一维定义
图像
应用
截取作用
当自变量x代表时间变量时，光学中可以用它来描写照相机快门 当自变量x代表空间变量时，无限大不透明屏上的单缝的透过率