八年级下平行四边形章末复习讲义
北师大版八年级数学下册第六章平行四边形章末复习课件(共59张)
DF. 求证：四边形MENF 是平行四边形 .
证明 ∵在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD. 又∵BN＝DM，BE＝DF，∴△BNE≌△DMF， ∴EN＝FM，∠BEN＝∠DFM，从而∠FEN＝∠EFM， ∴EN∥FM， ∴四边形MENF是平行四边形．
章末复习
例1 如图 6 - Z - 1 , 在 ABCD 中 , 延长 AD 到点 E, 延长 CB 到点 F, 使得DE = BF, 连接 EF, 分别交 AB, CD 于点 M, N, 连接 AN, CM. (1) 求证： △ DEN ≌ △ BFM ； (2) 试判断四边形 ANCM 的形状 , 并说明理由 .
章末复习
解: (1)证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AE ∥ CF, ∠ ADC =∠ ABC, ∴∠ E =∠ F, ∠ EDN =∠ FBM. 在 △ DEN 和 △ BFM 中 , ∵ ∠ E =∠ F, DE = BF, ∠ EDN =∠ FBM, ∴△ DEN ≌ △ BFM ( ASA ) .
章末复习
专题二 巧构平行四边形解题
【要点指点】 平行四边形是一种特殊的四边形 , 它具有一些特殊的 性质 . 在解一些几何题时 , 通过添加适当的辅助线巧构平行四边形 , 并利用平行四边形的性质 , 可使问题化难为易 , 迅速获解 .
章末复习
例3 已知如图 6 - Z - 7 , 在 △ ABC 中 , AB = AC, D 为 AB延长线上的一点 , 且 BD = AB, E 为 AB 的中点 . 求证：CD = 2 CE.
章末复习
当添加条件 ∠ AEB =∠ CFD 时 , 四边形 AECF 是平行四边形 ( 如图6 - Z - 5) . 证明如下： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形 , ∴ AD ∥ BC, ∴∠ AEB =∠ EAF. 又 ∵∠ AEB =∠ CFD, ∴∠ CFD =∠ EAF, ∴ AE ∥ CF. 又 ∵ AF ∥ EC, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 .
人教版八年级数学下册期末复习课件：平行四边形 (共47张PPT)
论的个数是
()
• A．2
• B．3
• C．4
• D．5
7．如图，在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥
AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为
(D )
A．54
B．45
C．53
D．65
8．如图，ABCD 是正方形，E、F 分别是 DC 和 CB 的延长
∠CBF，∴BF平分∠ABC．
• (3)解：△BEF是等腰三角形．理由如下：过 点F作FG⊥BE于点G.∵AD∥BC，FG⊥BE，
BE⊥AD，∴FG∥AD∥BC．∵F为CD的中点，
∴EG＝BG，∴EF＝BF，∴△BEF是等腰三
• ★集训2 特殊平行四边形的性质与判定的相 关计算与证明
• 7．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相A 交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是 ()
D．4 个
(B )
• 二、填空题(每小题5分，共20分)
• 9．已知一个菱形的两条对角线的长分别为 5210和24，则这个菱形的周长为______.
• 10．【湖北武汉中考】以正方形ABCD的边 A30D°或作15等0°边△ADE，则∠BEC的度数是 _______________.
• 11．如图，矩形ABCD的对角2线0 BD的中点为 O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知 AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为 ______.
• 4．如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、
DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE 相41交于点Q.若S△APD＝16 cm2，S△BQC＝25 cm2，则图中阴影部分的面积为______cm2.
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形性质与判定专题复习辅导讲义
辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科老师：授课类型T 平行四边形的概念、性质T 平行四边形的断定C中位线定理授课日期时段教学内容一、同步学问梳理学问点1：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD，记作ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．留意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．学问点2：平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．邻角互补（3）对角线：平行四边形的对角线相互平分对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；二、同步题型分析题型1：平行四边形的边、角例1：已知，如图1，四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB－BC＝3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析：由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB＋BC＝23 cm，解方程组即可求出各边的长．解：由平行四边形的对角相等，∠A＋∠C＝80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D及∠A为同旁内角互补，∴∠D＝180°－∠A＝180°－40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD＝BC．因周长为46 am，因此AB＋BC＝23 cm，而AB－BC＝3 cm，得AB＝13 cm，BC＝10 cm，∴CD＝13 am．AD＝10 cm．题后反思：留意充分利用性质解题．例2：如图2，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE＝BF，你认为AE＝CF吗？试说明理由．分析：本题主要考察平行四边形的性质．要证明AE＝CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等．解：AE＝CF．理由：在平行四边形ABCD中，∵AB＝CD且AB∥CD．∴∠ABE＝∠CDF．∵DE＝BF，∴ DE＋BD＝BF＋BD，即BE＝DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE＝CF题后反思：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等学问，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．题型2：平行四边形的周长例1：如图3，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，作OE⊥BD于O，交CD于E，连接BE，若△BCE的周长为6，则平行四边形ABCD的周长为（ B ）图3A. 6B. 12C. 18D. 不确定分析：本题主要考察平行四边形的性质:对角线相互平分。
八年级数学下册平行四边形全章复习与巩固(学生版)
（提高）平行四边形全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】 要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；知识点对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：宽＝长矩形⨯S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.类型一、平行四边形例1、如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=α，D 是BC 边上一点，以AD 为边作△ADE ，使AE=AD ，∠DAE+∠BAC=180°．（1）直接写出∠ADE 的度数（用含α的式子表示）； （2）以AB ，AE 为边作平行四边形ABFE ，①如图2，若点F 恰好落在DE 上，求证：BD=CD ； ②如图3，若点F 恰好落在BC 上，求证：BD=CF ．典型例题举一反三：【变式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积．类型二、矩形例2、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF ＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．举一反三：【变式】在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．例3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4．过点A作AE⊥AB且AB=AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC=5，求四边形ABDE的周长．类型三、菱形例4、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD 相交于点O，将直线AC 绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．举一反三：【变式】已知:如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:四边形BFDE是菱形.例5、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．（1）求证：EF=BF；（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG：GD=3：1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG 的形状，并证明你的结论．类型四、正方形例6、正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．（1）求证：EF＝FM；（2）当AE＝1时，求EF的长．举一反三：【变式】如图（1），正方形ABCD和正方形CEFG有一公共顶点C，且B、C、E在一直线上，连接BG、DE．（1）请你猜测BG、DE的位置关系和数量关系？并说明理由．（2）若正方形CEFG绕C点向顺时针方向旋转一个角度后，如图（2），BG和DE是否还存在上述关系？若存在，试说明理由；若不存在，也请你给出理由．一.选择题1. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的( )A. B. C. D.2. 顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3. 已知平行四边形的一条边长为10cm.其两条对角线长可能是（）A.6cm ,12cmB. 8cm,10cmC. 10cm,12cmD. 8cm,12cm4. 如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上的动点,点R是CD边上的定点。
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中心对称图形知识点1:平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，AB〃DC, AD〃BC,那么四边形ABCD是平行四边形。
定义的作用：（1）给出一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形；（2）给出了平行四边形的一个重要性质：两组对边分别平行。
知识点2：平行四边形的性质（1）定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。
（2）性质:A、平行四边形的对角相等。
B、平行四边形的对边相等。
C、平行四边形的对角线互相平分。
（3）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕英对角线的交点旋转180后，与自身重合，我们说平行四边形是屮心对称图形，对称屮心为对角线的交点。
注意：边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。
知识点3：平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形形形。
③是中心对称图形又是轴对称图__________________ I 形。
I ______________________________ 题型1:平行四边形的性质与判定例1：如图，oABCD +，ZB、ZC的平分线交于点O , BO和CD的延长线交于E ,求证：BO=OE例2：已知：如图，OABCD的对角线AC、BD相交于点0, EF过点0与AB、CD分別相交于点E、F.求证：OE = OF, AE=CF, BE=DF.例3：如图，CJ ABCD中，AE丄BD于E, CF丄BD于F, G、H分别为AD、. BC的中点，求证：EF和GH互相平分.B H C例4：如图，已知在"BCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC 的延长线上，且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG.(1)求证：四边形GEHF是平行四边形;(2)若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，贝I」(1)中的结论是否成立？(不用说明理由)例5：如图，在口4BCQ中，点E在上，连接BE, DF〃BE交BC予点、F, AF与BE交与点M, CE 与DF交于点、N.求证：四边形MFNE是平行四边形.题型2：矩形性质与判定例1：如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折柱，使点B落到点B，的位-置，AB与CD交于点E.(1)试找出一个与AAED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB=8, DE=3, P为线段AC上的任意一点，PG丄AE于G, PH丄EC于H,试求PG+PH的值，并说明理由.例2：如图，矩形MCD中，AB=2, BC=3,对角线的垂直平分线分别交D, BC于点E、F,连结CE,则CE的长__________A E D例3：已知：如图，D ABCD屮,4C与BD交于0点,ZOAB=ZOBA.(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)作BELAC 于E, CF丄BD 于F,求证：BE=CF.例4：如图，在△初C中，D是3C边上的一点，E是/D的中点，过点力作的平行线交BE的延长线于F,且连结CF.(1)求证：D是3C的中点；(2)如果试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论A F题型3：菱形性质与判定例1：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是M、/C的中点，如果EF=2,那么菱形MCD 的周长是().(A)4 (B)8 (C)12 (D)16例2：如图，在菱形ABCD中，E是的中点，且DE丄4B, AB=4.求：(l)ZMC的度数；(2)菱形的面积.例3：如图，四边形ABCD +，AB//CD, /C 平分ABAD, CE//AD 交4B 于E.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是力3的中点，试判断MBC的形状，并说明理由.题型4：正方形性质与判定例1：如图，A. B、C三点在同一条直线上，AB二2BC,分别以MB, BC为边做正方形ABEF 和正方形BCMN,联结FN, EC.求证：FN二ECA B C例2：己知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在力从BC、/D边上，CE=MN, 乙MCE=35°,求ZANM的度数.。
八年级下平行四边形章末复习讲义
四边形章节复习一、本章知识构造图1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。
2．梯形 〔是否〕特殊平行四边形， 〔是否〕特殊四边形。
3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。
4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。
二、知识网络〔一〕知识要点1：平行四边形的性质及判定 1.平行四边形的性质：〔1〕从边看：对边 ，对边 ； 〔2〕从角看：对角 ，邻角 ； 〔3〕从对角线看：对角线互相 ； 〔4〕从对称性看：平行四边形是 图形。
2、平行四边形的判定：〔1〕判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。
〔定义〕 〔2〕判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。
〔3〕判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。
〔4〕判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。
OABCD〔5〕判定5：对角线互相的四边形是平行四边形。
【根底练习】1.如图1，中，对角线和交于点O，假设8，6，那么边长的取值范围是〔〕.A.1＜＜7B.2＜＜14C.6＜＜8D.3＜＜42.不能判定四边形为平行四边形的题设是〔〕∥∥∥3.在中，⊥于E，⊥于F，4，6，的周长为40，那么的面积是〔〕A、36B、48C、 40D、24【典型例题】例1、假设平行四边形的周长是20,△的周长比△的周长大6.求的长.【稳固】：1、如图，在△中，，点D在上，∥，∥，(1)求证： (2)假设6，试求四边形的周长。
例2、如图，四边形是平行四边形，∠的平分线交边于F，∠的平分线交边于G。
〔1〕求证：；FED CBA OAB CD〔2〕请你在条件的根底上再添加一个条件，使得△为等腰 直角三角形,并说明理由．【稳固】2、：E 、F 是平行四边形对角线上的两点，且，〔1〕试判断、的关系；〔2〕假设E 、F 成立吗？说明理由〔二〕知识要点2：特殊平行四边形的性质及判定 1．矩形：〔1〕性质：具有平行四边形的所有性质。
另外具有：四个角都是 ，对角线互相平分而且 ，也是 图形。
八年级数学下册_平行四边形总复习课件_人教版
(3).下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ C ）
(A)对角相等 (C )对角互补
(B)邻角互补 (D)内角和是360°
(4).下面判定四边形是平行四边形的方法中，
错误的是（ D ）。
(A)一组对边平行，另一组对边也平行； (B)一组对角相等，另一组对角也相等； (C )一组对边平行，一组对角相等； (D)一组对边平行，另一组对边相等
A
D
E
A 3x E 2x D x
2x
3x
3x
B
C
B
C
结束语
谢谢大家聆听！！！
23
F
A、６cm
B、12cm
E
C、18cm
D、24cm
B
D
C
（7）、平行四边形一边长为12cm，那么它的两条
对角线的长度可以是（ C ）
A、8cm和14cm
B、10cm 和14cm
C、18cm和20cm
D、10cm和34cm
（8）、四边形的四个内角的度数比是
2：2：3：1，则此四边形是( D )
A、任意四边形
B、任意梯形
C、等腰梯形
D、直角梯形
9.正方形具备而矩形不具备的特征是 （D）
A. 四个角都是直角
B.对角线互相平分
C. 对角线相等
D.对角线互相垂直
10. 若菱形的两条对角线的长分别为4cm和6cm，则它
的面积为（ C）
A. 3cm2 B. 6cm2 C. 12cm2 D. 24cm2
11.如图所示，在平行四边形ABCD中，DB＝DC，
八年级数学下册_平行四 边形总复习课件_人教版
平行四边形的对边平行 边
平行四边形的对边相等
八年级数学下册《平行四边形》全章复习与巩固知识讲解
平行四边形全章复习与巩固知识讲解平行四边形全章复习与巩固；【学习目标】；1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,了；2.探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有；些知识进行有关的证明和计算.；3.掌握三角形中位线定理.；【知识网络】；【要点梳理】；要点一、平行四边形；1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；2．性质：（1）对边平行且相等；；（2）对角相等；邻角互补；；（平行四边形全章复习与巩固【学习目标】1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.3. 掌握三角形中位线定理.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形.3．面积：S平行四边形?底?高4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等.要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：S矩形＝长?宽４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：S菱形＝底?高＝对角线?对角线24．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：S正方形=边长×边长＝1×对角线×对角线24．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、平行四边形1、如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD＝1AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（） 41313A．B．C．D．4554【答案与解析】解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，∵APBE，∴四边形APEB是平行四边形，∴PE∥AB，PE＝AB，∵四边形BDEF是平行四边形，∴EF∥BD，EF＝BD，即EF∥AB，∴P，E，F共线，1AB，∴PE＝AB＝4a，4则PF＝PE－EF＝3a，设BD＝a，∵BD＝∵PH∥BC，∴S△HBC?S△PBC，∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形，∴BH＝PF＝3a，∵S△HBC:S△ABC＝BH：AB＝3a：4a＝3：4，∴S△PBC:S△ABC＝3：4．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．举一反三：【变式】已知△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，分别以AB、AC、BC为一边在BC边同侧作正△ABD、正△ACE和正△BCF，求以A、E、F、D四点为顶点围成的四边形的面积．【答案】证明：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴∠BAC＝90°∵△ABD、△ACE和△BCF为正三角形，∴AB＝BD＝AD，AC＝AE＝CE，BC＝BF＝FC ,∠1＋∠FBA＝∠2＋∠FBA＝60°∴∠1＝∠2易证△BAC≌△BDF（SAS），∴DF＝AC＝AE＝4，∠BDF＝90°同理可证△BAC≌△FEC∴AB＝AD＝EF＝3∴四边形AEFD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∵DF∥AE，DF⊥BD延长EA交BD于H点，AH⊥BD，则H为BD中点∴平行四边形AEFD的面积＝DF×DH＝4×类型二、矩形3＝6. 22、如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝0B＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即：OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；（2）解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC，∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°，又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD，∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，?∴矩形ABCD的面积＝4×?．【总结升华】本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．举一反三：【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？说明理由．2【答案】解：（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG是△ABC的中位线；∴DG∥BC，且DG＝1BC； 21BC；2同理可证：EF∥BC，且EF＝∴DG∥EF，且DG＝EF；故四边形DEFG是平行四边形；（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：连接OA；同（1）可证：DE∥OA∥FG；∵四边形DEFG是矩形，∴DG⊥DE；∴OA⊥BC；即O点在BC边的高上且A和垂足除外．。
人教版数学八年级下册第十八章-平行四边形-专题复习辅导讲义
辅导讲义是”；是平行四边形，可以记做“ABDC1题图2．如图所示，在ABCD所示，在ABCD125．在ABCD 中，∠B-∠A=30°，则∠A ，∠B ，∠C ，∠D 的度数是（ ）．A ．95°，85°，95°，85°B ．85°，95°，85°，95°C ．105°，75°，105°，75°D ．75°，105°，75°，105° 6．在ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的值可以是（ ）．A ．1：2：3：4B ．3：4：4：3C ．3：3：4：4D ．3：4：3：4 7．如图所示，如果ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，•那么图中的全等三角形有（ ）．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对8．如图所示，若平行四边形ABCD 的周长为22cm ，AC ，BD 相交于点O ，•△AOD 的周长比△AOB 的周长小3cm ，则AD=_______，AB=_______． 答案：4cm 7cm知识点3 平行四边形的面积 9．如图所示，ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，∠CAB=30°，AB 的长为6cm.求ABCD 的面积．答案：30cm 210．如图所示，在ABCD 中，AB=10cm ，AB 边上的高DH=6cm ，BC=6cm ，求BC 边上的高DF 的长．答案：10cm知识点4 平行四边形的判定11．1已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，求证：BE=DF ． 提示：证明DE ∥BF ，DE=BF12．1已知：如图，ABCD 中，E 、F 分别是AC 上两点，且BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ． 求证：四边形BEDF 是平行四边形． 提示：证明BE ∥DF ，BE=DF13．1已知：如图ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 是AC 上的两点，并且AE=CF ．求证：四边形BFDE 是平行四边形． 提示：证明OB=OD, OE=OF知识点5 三角形的中位线14．1如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找出AC 和BC 的中点M 、N ，如果测得MN=20 m ，那么A 、B 两点3题图 4题图7题图 8题图3的距离是 m ，理由是 ．答案：40 三角形两边的中点连线平行于第三边且等于第三边的一半15．1△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若DE ＝4，AD ＝3，AE ＝2，则△ABC 的周长为______． 答案：1816．1已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形． 提示：连结BD ，利用中位线定理得：EH BD ，GFBD知识点6 矩形的定义与性质 17．已知在四边形ABCD 中，AB CD ，请添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形，•加上的条件是_______．答案：AC=BD (答案不唯一) 18．如图所示，M 是ABCD 的边AD 的中点，且MB=MC ．求证：ABCD 是矩形．提示：证明△ABM ≌△DCM ，得到∠A=∠D ，又因为∠A+∠D=180°19．如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点D ，∠AOD=120°，AB=4cm ，求矩形的对角线的长．答案：8cm知识点7 直角三角形斜边中线的性质20．已知直角三角形两直角边的长分别为6cm 和8cm ，则斜边上的中线长 ． 答案：5cm21．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F•在BC 的延长线上，且∠CDF=∠A ．求证：四边形DECF 为平行四边形． 提示：AE=CE,得到角相等，推出DF ∥CE ，又DE ∥BF ，即证 22．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD=BD ，PE ⊥AC 于点E ，PF⊥BC 于点F ，求证：DE=DF ． 提示：连结CD ，证明△ADE ≌△CDF 知识点8 矩形的判定 23．下列说法中：（1）四个角都相等的四边形是矩形．（2）两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形． （3）对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形．B=AC，推出．如图所示，在菱形ABCD4如图，ABCD．对角线互相平分．若正方形的一条对角线长为，则它的边长是求∠AFD的度数．56提示：证明△ABE ≌△BCF知识点12 正方形的判定43．有下列命题，其中真命题有（ ）． ①四边都相等的四边形是正方形； ②四个内角都相等的四边形是正方形；③有三个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形； ④对角线与一边夹角为45°的四边形是正方形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 44．如图所示，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB. 求证：四边形BEDF 是正方形．提示：由角平分线的性质可推出：DE=DF ，又三个角为90°的四边形是矩形，所以推出四边形BEDF 是正方形．一、专题精讲专题1 动点问题例1 1如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点D 出发向点A 运动，同时点Q 从点B 出发向点C 运动，点P 、Q 的速度都是1cm/s ．(1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？(2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积．分析：（1）设经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形，根据菱形的四边相等列方程即可求得所需的时间．（2）根据第一问可求得菱形的边长，从而不难求得其周长及面积． 解答：解：（1）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形 ∴DP=xcm，AP=CP=AD-DP=（8-x ）cm ， ∵DP 2+CD 2=PC 2，∴16+x 2=（8-x ）2，解得x=3 即经过3秒后四边形是菱形．（2）由第一问得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（cm）菱形AQCP的面积=5×4=20（cm2）点评：此题主要考查菱形的性质及矩形的性质的理解及运用．ABC’D’是菱形，并请说8ABCFD ∴BC′=21AC ． 而∠ACB=30°， ∴AB=21AC ∴AB=BC′．∴四边形ABC′D′是菱形．点评：本题即考查了全等的判定及菱形的判定，注意对这两个判定定理的准确掌握．考查了学生综合运用数学的能力． 重合，点D 落到分析：（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA 判定△ABE≌△AD′F；（2）四边形AECF 是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证．∴△ABE≌△AD′F（ASA）．（2）解：四边形AECF是菱形．证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠5=∠6．∴∠4=∠6．∴AF=AE．∵AE=EC，∴AF=EC．又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．∵AF=AE，∴平行四边形AECF是菱形．点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握．分析：要证明HG与HB是否相等，可以把线段放在两个三角形中证明这两个三角形全等，或放在一个三角形中证明这个三角形是等腰三角形，而图中没有这样的三角形，因此需要作辅助线，构造三角形．910∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL），∴HG=HB．证法2：连接GB，∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴∠ABC=∠AGF=90°，由题意知AB=AG，∴∠AGB=∠ABG，∴∠HGB=∠HBG，∴HG=HB．点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．二、专题过关1. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论.分析：（1）根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证．（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证解答：（1）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO，同理，FO=CO ，∴EO=FO．（2）解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．∵EO=FO，点O 是AC 的中点．∴四边形AECF 是平行四边形，∵C F 平分∠BCA 的外角，∴∠4=∠5，又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4=21×180°=90°． 即∠ECF=90度，∴四边形AECF 是矩形．点评：本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．12图3【解法指导】欲证两条线段之和等于第三条线段，可通过截长补1415 分析：过F 作AB 、CD 的平行线FG ，由于F 是AD 的中点，那么G 是BC 的中点，即Rt△BCE 斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG ，即△GEF、△BEG 都是等腰三角形，因此求∠B 的度数，只需求得∠B EG 的度数即可；易知四边形ABGF 是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG 的度数，即可得到∠AEG 的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG 的值，由此得解．解答：解：过F 作FG∥AB∥CD，交BC 于G ；则四边形ABGF 是平行四边形，所以AF=BG ，即G 是BC 的中点；连接EG ，在Rt△BEC 中，EG 是斜边上的中线，则BG=GE=FG=21BC ； ∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°-108°=72°．故选D ．点评：此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．17。
人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》单元复习课件
第5题图
6.(人教8下P62改编)如图，在△ABC中，中线BD，CE相交
于O，F，G分别为BO，CO的中点，则四边形EFGD的形状
是 平行四边形
.
第6题图
7.【例1】(全国视野)(2022丹东模拟)如图，在▱ABCD中，点
O是AD的中点，连接CO并延长交BA的延长线于点E，连接
AC，DE.求证：四边形ACDE是平行四边形.
AF于点G.
(1)求证：四边形ABCF是矩形；
(2)若EA＝EG，求证：ED＝EC.
或对角线相等.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE，DF是△ABC
的中位线，连接EF，CD.求证：EF＝CD.
证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF
是矩形，
∴EF＝CD.
知识点三：菱形
(1)菱形的特殊性质：菱形的四条边相等、对角线互相垂直
＝
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
＝
∴△ABG≌△AFG(HL).
(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG，
设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，
∵E为CD的中点，∴CE＝EF＝DE＝3，
∴EG＝3＋x，∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，
解得x＝2，∴BG＝2.
的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点
G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长.
(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，
∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
北师大版八下第六章平行四边形复习讲义
一、平行四边形的定义及性质知识点1平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形是平行四边形知识点2 平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）（1）边的性质：平行四边形的对边相等平行四边形的对边平行（2）角的性质：平行四边形的对角相等（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分（4）平行四边形是中心对称图形二、平行四边形的判定:知识点1 平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（注意：①必须是同一组对边平行且相等，也就是一组对边平行，另一组对边相等时，不一定是平行四边形。
②有两条边相等，并且另外两条边相等的四边形不一定是平行四边形）知识点2 两条平行线间的距离的定义若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离，实际上平行线间的距离处处相等三、三角形的中位线1、三角形中位线的定义：连接三角线两边中点的线段叫做三角形的中位线2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角线的第三边，且等于第三边的一半（要区别三角形中位线和中线不要搞混淆了，说的是中位线与第三边的位置关系，中位线与第三边的数量关系）四、多边形的内角与外角和知识点一、多边形及正多边形1、多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形2、多边形的分类：多边形按组成它的线段的条数分为三边形（三角形）、四边形、五边形……由n 条线段组成的多边形叫做n边形3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线B C 4、正多边形：在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形知识点二、多边形的内角和与外角和1、多边形的内角和：n 变形的内角和等于（n-2）*180°（n ≥3）2、多边形的外角和：多边形的外角和等于360°3.多边形的对角线有： (3)2n n【巩固训练】一、平行四边形的概念及性质1. （2012浙江杭州3分）已知平行四边形ABCD 中，∠B=4∠A，则∠C=【 】A ．18°B ．36°C ．72°D ．144°2. （2012四川自贡3分）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=5，AB=3，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC 的长度分别为【 】A ．2和3B ．3和2C ．4和1D ．1和43. （2012山东泰安3分）如图，在平行四边形ABCD 中，过点C 的直线CE⊥AB，垂足为E ，若∠EAD=53°，则∠BCE 的度数为【 】A ．53°B ．37°C ．47°D ．123°4. （2012广西南宁3分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是【 】A ．2cm ＜OA ＜5cmB ．2cm ＜OA ＜8cmC ．1cm ＜OA ＜4cmD ．3cm ＜OA ＜8cm5. （2012湖南永州3分）如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AB≠AD，过O 作OE⊥BD 交BC 于点E ．若△CDE 的周长为10，则平行四边形ABCD 的周长为 ．6. （2012山东烟台3分）ABCD 中，已知点A （﹣1，0），B （2，0），D （0，1）．则点C 的坐标为 ．7、（2010青海西宁）在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果AC=14，BD=8，AB=x ，那么x 的取值范围是 .8、（2010辽宁铁岭）.如图所示，平行四边形ABCD 的周长是18 cm ，对角线AC 、BD 相交于点O,若△AOD 与△AOB的周长差是5 cm ，则边AB 的长是________ cm.9. 如图2，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误．．的是（ ） A BCD C ．AB =CDD ． AC ⊥BD10．（2013黑龙江省哈尔滨市，7）如图，在ABCD 中，AD=2AB ，CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ， 且AE=3，12 A BC 图2则AB的长为( )．(A)4 (B)3 (C) 52(D)211、（2012四川巴中3分）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是【】A. 两组对边分别平行B. 一组对边平行，另一组对边相等C. 一组对边平行且相等D. 两组对边分别相等12 （2012四川广元3分）若以A（-0.5，0），B（2，0），C（0，1）三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在【】A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限13．(2013湖北荆门，7，3分)四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC②AD＝BC ③OA＝OC④OB＝OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A．3种 B．4种 C．5种 D．6种14、（2013四川泸州，6，2分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．AB//DC，AD//BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AO＝CO，BO＝DO D．AB//DC，AD＝BC15. （2012广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质），则这个图形一定是【】A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形16 （2012湖南怀化3分）如图，在ABCD中，AD=8，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF= . 17．（2013江苏扬州，6，3分）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（）．A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形18（2013广东湛江，5，4分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形19、（2013四川雅安，2，3分）五边形的内角和为（）A．720°B．540°C．360°D．180°20．（2013·泰安，8，3分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC 的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于（）A．90°B．180°C．210°D．270°，这个多边形的边数是．22．（2013湖南娄底，16，4分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．23（2013湖南长沙，8， 3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形24、（2013·鞍山，22，6分）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．25、（2013湖南郴州，23，8分）如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．求证：AE=CF ．27．(2012湖北孝感8分)我们把依次连接任意四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH ．(1)这个中点四边形EFGH 的形状是 ；(2)证明你的结论．28、（08湖北恩施)如图，在平行四边形ABCD 中,∠ABC 的平分线交CD 于点E,∠ADC 的平分线交AB 于点F.试证明四边形DFBE 为平行四边形.29、（2010江苏宿迁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 是对角线AC 上两点，且AE=CF ．求证：∠EBF=∠FD（对角线互相平分的四边形为平行四边形）30 （2010•滨州）如图，四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、 DA 的中点． 请判断四边形EFGH 的形状？并说明为什么；31、已知平行四边形ABCD 的周长为36cm ，过D 作AB ，BC 边上的高DE 、DF ，且ABCD 的面积．cm ，，求平行四边形32、（2009•永州）如图，平行四边形ABCD ，E 、F 两点在对角线BD 上，且BE=DF ，连接AE ，EC ，CF ，FA ． 求证：四边形AECF 是平行四边形．33、（2011•泸州）如图，已知D 是△ABC 的边AB 上一点，CE ∥AB ，DE 交AC 于点O ，且OA=OC ，猜想线段CD 与线段AE 的大小关系和位置关系，并加以证明．34、（2011•徐州）如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，BF=DE ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若AC 与BD 交于点O ，求证：AO=CO ．35、（2010湖南株洲）．（本题满分6分）如图，已知平行四边形ABCD ，DE 是ADC ∠的角平分线，交BC 于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若BE CE =，80B ∠=︒，求DAE ∠的度数．。
北师大版八年级数学下册第六章平行四边形章节复习课课件
章节复习课
本章知识梳理
1.了解多边形（本标准中多边形指凸多边形）（新增） 的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线；探 索并掌握多边形内角和与外角和公式. 2.理解平行四边形的概念；了解四边形的不稳定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
3.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对 边相等、对角相等、对角线互相平分.探索并证明平行 四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4.理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线 之间的距离. 5.探索并证明三角形的中位线定理.
八年级数学下册 第六章 平行四边形总复习课件
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随堂检测
1．下列说法错误的是( ) D A．对角线互相平分(píngfēn)的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是 平行四边形
2．下面给出四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD
（2）若AC=2OE，试判断四边形AECF的形状(xíngzhuàn)，并说明理由．
（2）四边形AECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD OA=OC= AC
1
∵BE=DF
2
∴OB-BE=DO-DF
∴OE=OF
又∵OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形.
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D．(2，－3)
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随堂检测
7．如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足(chuí zú)分别为点E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N.
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形； (2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
∴CD∥AB. ∴CM∥AN. ∵AM⊥BD，CN⊥BD， ∴AM∥CN.
又∵CM∥AN，
∴四边形CMAN是平行四边形．
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随堂检测
7．如图，▱ABCD中，BD是它的一条(yī tiáo)对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F， 延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N.
平行四边形单元整体分类总复习 专题突破八年级数学下学期重难点及章节分类精品讲义
第6讲 平行四边形单元整体分类总复习考点一 多边形的内角和、外角和知识点睛：1. n 边形的内角和为()()31802≥︒⨯-n n ，外角和为360°，反过来，已知一些内、外角的度数或数量关系也能确定多边形的边数2. 对角线公式从n 边形的一个顶点可引出（n-3）条对角线，将n 边形分成（n-2）个三角形，n 边形的对角线共有()23-n n 条 类题训练1．（2022•九龙坡区校级开学）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）A ．十边形B ．十一边形C ．十二边形D ．十三边形【分析】设这个多边形为n 边形，根据多边形的内角和公式及外角和定理即可求解．【解答】解：设这个多边形为n 边形，它的外角分别为x 1，x 2，⋯，x n ，则对应的内角分别为4x 1+30°，4x 2+30°，⋯，4x n +30°，根据题意得，x 1+x 2+⋯+x n ＝360°，（4x 1+30°）+（4x 2+30°）+⋯+（4x n +30°）＝（n ﹣2）×180°，∴4×（x 1+x 2+⋯+x n ）+30°n ＝（n ﹣2）×180°，∴4×360°+30°n ＝（n ﹣2）×180°，∴1440°+30°n ＝180°n ﹣360°，∴150°n ＝1800°，∴n ＝12，故选：C ．2．（2021秋•黄冈期末）一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条【分析】首先计算出多边形的边数，再根据n 边形从一个顶点出发可引出（n ﹣3）条对角线可得答案．【解答】解：多边形的边数：360°÷40°＝9，从一个顶点出发可以引对角线的条数：9﹣3＝6（条），故选：D ．3．（2021秋•海阳市期末）小东在计算多边形的内角和时不小心多计算一个内角，得到的和为1350°，则这个多边形的边数是（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列方程即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，多加的内角度数为α，则（n﹣2）•180°＝1350°﹣α，∵0°＜α＜180°，∴（1350﹣180）÷180＜n﹣2＜1350÷180，∴6＜n−2＜7，∵n为正整数，∴n＝9，∴这个多边形的边数n的值是9．故选：C．4．（2021秋•丹东期末）如果过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，则该多边形是（）A．九边形B．八边形C．七边形D．六边形【分析】根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为n﹣3计算即可．【解答】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有5条，∴多边形的边数为5+3＝8，故选：B．5．（2021秋•天元区期末）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（）A．36°B．72°C．108°D．144°【分析】由l1∥l2，得∠2＝∠BMD．由∠1＝∠BMD﹣∠MBC，得∠BMD＝∠1﹣∠MBC，那么∠1﹣∠2＝∠MBC．欲求∠1﹣∠2，需求∠MBC．由正五边形的性质，得∠MBC＝72°，从而解决此题．【解答】解：如图，AB的延长线交l2于点M，∵五边形ABCDE是正五边形，∴正五边形ABCDE的每个外角相等．∴∠MBC＝＝72°．∵l1∥l2，∴∠2＝∠BMD，∵∠1＝∠BMD+∠MBC，∴∠BMD＝∠1﹣∠MBC，∴∠1﹣∠2＝∠MBC＝72°．故选：B．6．（2021春•浦江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝110°，与∠BAD，∠ABC相邻的外角都是110°，则∠ADC的外角α的度数是（）A．90°B．85°C．80°D．70°【分析】根据多边形外角和为360°，进行求解即可．【解答】解：∵在四边形ABCD中，∠C＝110°，∴∠C相邻的外角度数为：180°﹣110°＝70°，∴∠α＝360°﹣70°﹣110°﹣110°＝70°．故选：D．考点二平行四边形的性质知识点睛：1.平行四边形的性质定理∶（1）平行四边形的对边平行且相等.（2）平行四边形的对角相等，邻角互补.（3）平行四边形的对角线互相平分.2.利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.类题训练1．（2021秋•任城区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列判断错误的是（）A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∠DAC＝∠ACD 【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，故A正确；∴AD∥BC，故B正确；∴AD＝BC，故C正确；故选：D．2．（2021秋•鄞州区校级期末）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠BAD＝120°，则∠BCE的度数为（）A．30°B．20°C．40°D．35°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠BAD＝180°，可得∠B的度数，由直角三角形的两上锐角互余得出∠BCE＝90°﹣∠B即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；故选：A．3．（2022春•秀英区校级月考）如图，在▱ABCD中，AD＝8，AB＝5，AE平分∠BAD交边BC于点E，DF平分∠ADC交边BC于点F，则EF＝（）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．【解答】解：在▱ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，∴AB＝BE，CF＝CD，∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8，∴EF＝2；故选：A．4．（2021秋•绵阳期末）如图，在平行四边形OABC中，对角线相交于点E，OA边在x轴上，点O为坐标原点，已知点A（4，0），E（3，1），则点C的坐标为（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）【分析】分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，由平行四边形的性质可得CG＝2EF，AG＝2AF，结合A，E两点坐标可求解CG，OG的长，进而求解C 点坐标．【解答】解：分别过E，C两点作EF⊥x轴，CG⊥x轴，垂足分别为F，G，∴EF∥CG，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE＝CE，∴AG＝2AF，CG＝2EF，∵A（4，0），E（3，1），∴OA＝4，OF＝3，EF＝1，∴AF＝OA﹣OF＝4﹣3＝1，CG＝2，∴AG＝2，∴OG＝OA﹣OG＝4﹣2＝2，∴C（2，2）．故选：D．5．（2022•越秀区校级开学）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（）A．+1B．C．D．【分析】依据含30°角的直角三角形的性质可求解AO＝1，BO＝2，利用三角形的面积公式计算△ABO的面积，结合平行四边形的性质可得DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，即可得到OE+2EF的值．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．6．（2021秋•九江期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC长为8cm，∠BAC＝30°，AB ＝5cm，则它的面积为．【分析】根据S▱ABCD＝2S△ABC，所以求S△ABC可得解．作BE⊥AC于E，在直角三角形ABE中求BE从而计算S△ABC．【解答】解：如图，过B作BE⊥AC于E．在直角三角形ABE中，∠BAC＝30°，AB＝5cm，∴BE＝AB•sin∠CAB＝5×＝2.5（cm），S△ABC＝AC•BE÷2＝10（cm2），∴S▱ABCD＝2S△ABC＝20cm2．故答案为：20cm2．7．（2021秋•鄞州区校级期末）平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC＝10，BD＝6，AB＝m，那么m的取值范围是．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA与OB的值，然后根据三角形三边关系，即可求得m的取值范围．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC＝×10＝5，OB＝OD＝BD＝×6＝3，∵OA﹣OB＜AB＜OA+OB，∴5﹣3＜m＜5+3，∴m的取值范围是：2＜m＜8．故答案为：2＜m＜8．8．（2021秋•桓台县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，则图中阴影部分的面积是．【分析】作AM⊥BC于M，如图所示：根据直角三角形的性质得到BM＝AB＝×2＝1，根据勾股定理得到AM＝＝＝，得到S平行四边形ABCD＝BC•AM ＝3，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，BO＝DO，根据全等三角形的性质得到S＝S△DOF，于是得到结论．△BOE【解答】解：作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝×2＝1，在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，∴AM＝＝＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴S△BOE＝S△DOF，∴图中阴影部分的面积＝▱ABCD的面积＝，故答案为：．9．（2022•海曙区校级开学）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点．（1）求证：AF＝CE；（2）若四边形AECF的周长为10，AF＝3，AB＝2，求平行四边形ABCD的周长．【分析】（1）根据平行四边形ABCD的对边平行得出AD∥BC，又AE＝CF，利用有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证得四边形AECF为平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证得结论；（2）根据平行四边形的性质和平行四边形的周长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥CF，又∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AE＝AD，CF＝BC，∴AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF＝CE；（2）解：∵四边形AECF的周长为10，AF＝3，∴AE+CF＝10﹣2×3＝4，∵点E，F分别是边AD，BC的中点，∴AD+BC＝2（AE+CF）＝8，∵AB＝2，∴平行四边形ABCD的周长＝8+2×2＝12．10．（2021秋•海曙区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点F是AD中点，连接CF 并延长交BA的延长线于点E．（1）求证：AB＝AE．（2）若BC＝2AE，∠E＝31°，求∠DAB的度数．【分析】（1）由题意易得AB＝CD，AB∥CD，进而易证△AFE≌△DFC，则有CD＝AE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得AF＝AE，则∠AFE＝∠E＝31°，然后根据三角形外角的性质可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，∴∠E＝∠DCF，∵点F是AD中点，∴AF＝DF，∵∠EF A＝∠CFD，∴△AFE≌△DFC（AAS），∴CD＝AE，∴AB＝AE；（2）解：由（1）可得AF＝DF，BC＝AD，∵BC＝2AE，∴AE＝AF，∵∠E＝31°，∴∠AFE＝∠E＝31°，∴∠DAB＝2∠E＝62°．11．（2021秋•桓台县期末）已知，如图在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，可证∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，然后通过SAS即可证得△ADE≌△CBF；（2）证出四边形AHCG是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADE＝∠CBF，∵OE＝OF，∴DE＝BF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BCA，∵△ADE≌△CBF，∴∠DAE＝∠BCF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥HC，∵AH∥CG，∴四边形AHCG是平行四边形，∴AH＝CG．考点三平行四边形的判定知识点睛：1.平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
人教版八年级数学下册第18章平行四边形 知识要点总结
人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结第18章平行四边形复习平行四边形知识点一、平行四边形定义：二、平行四边形的性质边：1.两组对边互相平行且相等；符号语言：角：2.两组对角分别相等；符号语言：对角线：3.对角线互相平分。
符号语言：对称性：中心对称图形但不一定是轴对称图形平行线之间的距离：平行线间的距离都相等符号语言：∵AE∥BF且AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF∴AB＝CD＝EF三、平行四边形的判定边：1. 两组对边分别平行．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：2. 两组对边分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：3. 一组对边平行且相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：角：4. 两组对角分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：对角线：5.对角线互相平分的四边形是平行四边形；符号语言：四、平行四边形的面积公式S□ABCD=ah(a是边,h是这个边的高）；五、与三角形有关的知识点1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．．叫做三角形的中位线。
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半符号语言：3.取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 如：已知□ABCD 两对角线的长分别为6和8，则较短边长x 的取值范围为1<x<7.4.直角三角形性质定理（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且AD ＝CD∴ BD=AD=CD（2）直角三角形中，30°角所对应的直角边等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且∠A=30°∴BC=12AC 或 2BC=AC特殊的平行四边形知识点—矩形一、矩形的定义：二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的四个角都是直角； 符号语言：3.矩形的对角线平分且相等。
符号语言：三、矩形判定1.有一个角是直角的平行四边形．．．．．叫做矩形。
浙教版八年级数学下册平行四边形全章复习讲义
浙教版八年级数学下册平行四边形全章复习讲义(总29页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平行四边形全章复习巩固讲义1．平行四边形的概念定义：两组对边分别__________的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是性质，又是判定．（1）由定义知平行四边形的两组对边分别平行；（2）由定义可以得出只要四边形中的两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．平行四边形的基本元素：边、角、对角线．典型例题(2019秋﹒新泰市期末）如图，在平行四边形ABCD中,AB⊥AC,若AB＝8,AC＝12，则BD的长是（）A．22 B．16 C．18 D．20【考点】平行四边形的性质．平行四边形【专题】计算题；运算能力；推理能力．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA的长，然后由AB⊥AC,AB＝8,OA＝6，根据勾股定理可求得OB的长，继而求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，∴OA＝12AC＝6,BD＝2OB,∵AB⊥AC,AB＝8，∴OB＝8＋6＝10，∴BD＝2OB＝20．故选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用．熟记握平行四边形的对角线互相平分这一性质是解题的关键．2．平行四边形的性质（1）平行四边形的对边相等；（2）平行四边形的对角__________；（3）平行四边形的对角线互相__________．【归纳】(1）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了新的理论依据；（2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等，相邻两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差；（3)利用对角线互相平分可以解决对角线或边的取值范围问题，在解答时应联系“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”来解决．典型例题(2019秋﹒新泰市期末）如图，在平行四边形ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论，其中正确的有（）个①DE＝DF；②AG＝GF：③AF＝DF：④BG＝GC；⑤BF＝EF,【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．平行四边形【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF,得出对应边相等AF＝DF,BF＝EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB＝CD，即AB∥CE,∴∠ABF＝∠E，∵DE＝CD，∴AB ＝DE ，在△ABF 和△DEF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABF ＝∠E∠AFB ＝∠DFE AB ＝DE， ∴△ABF ≌△DEF (AAS ), ∴AF ＝DF ,BF ＝EF ； 可得③⑤正确， 故选：B ．【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．3．两条平行线之间的距离定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．性质：（1）两条平行线之间的距离处处__________； （2）夹在两条平行线间的平行线段相等． 4．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且__________的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．【注意】（1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据．（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形．（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形．（4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形．5．三角形的中位线及其定理定义：连接三角形两边中点的线段（任意一个三角形都有三条中位线）．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的__________．【注意】（1）三角形有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相应的位置关系与数量关系．三角形的中位线定义为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了一个重要依据．（2）三角形的中位线与中线的区别：三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段．（3）当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法就是我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，知道三角形的中位线也就等于知道了三角形两边的中点．知识参考答案：1．平行 2．相等；平分 3．相等 4．相等 5．一半一、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．【例1】将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为__________．【答案】3【解析】如图所示：可以拼成3个平行四边形．分别是：DBCA，BACF，AECB．故答案为：3．二、平行四边形的性质平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分．【例2】如图，在平行四边形ABCD中，AE垂直于CD，E是垂足．如果∠B=55°，那么∠DAE的角度为A．25°B．35°C．45°D．55°【答案】B【解析】∵平行四边形ABCD，∴∠D=∠B=55°，∵AE⊥CD，∴∠AED=90°，∴∠DAE=90°–55°=35°.故选B．【名师点睛】本题主要利用平行四边形对角相等解题．【例3】在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是A．2cm<OA<5cm B．2cm<OA<8cmC．1cm<OA<4cm D．3cm<OA<8cm【答案】C【解析】∵AB=3，BC=5，∴2<AC<8．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=12AC，∴1<OA<4．故选C．【例4】如图，在ABCD中，AB=4，BC=5，对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，且OE=，则四边形EFCD的周长为A．10 B．12 C．14D．16【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF=OE=，CF=AE．故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=12．故选B．三、两条平行线之间的距离两条平行间的距离处处相等．【例5】如图，已知l1∥l2，AB∥CD，CE⊥l2，FG⊥l2，下列说法错误的是A．l1与l2之间的距离是线段FG的长度B．CE=FGC．线段CD的长度就是l1与l2两条平行线间的距离D．AC=BD【答案】C【解析】A、∵FG⊥l2于点G，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段FG的长度，故本选项正确；B、∵l1∥l2，CE⊥l2于点E，FG⊥l2于点G，∴CE∥FG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴CE=FG，故本选项正确；C、∵CE⊥l2于点E，∴l1与l2两平行线间的距离就是线段CE的长度，故本选项错误；D、∵l1∥l2，AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC=BD，故本选项正确；故选C．四、平行四边形的判定平行四边形的判定有：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【例6】如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列不能判断四边形ABCD是平行四边形的条件是A．OA=OC，AD∥BC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC C．AB=DC，AD=BC D．∠ABD=∠ADB，∠BAO=∠DCO 【答案】D五、平行四边形性质与判定的综合平行四边形的性质的条件和结论正好与判定的条件和结论相反，它们构成互逆的关系．由平行四边形这一条件，得到边、角或对角线的关系，这是平行四边形的性质；反之，由边、角或对角线的关系，得到平行四边形的结论，这是平行四边形的判定．【例7】如图，在ABCD中，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接AF，CE.求证：四边形AECF为平行四边形．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠ABC=∠ADC，∴∠ABD=∠CDB，又∵AM⊥BC，CN⊥AD，∴∠BAM=∠DCN，∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．六、三角形的中位线及其定理利用三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系．【例8】如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．请判断△PMN的形状，并说明理由．【解析】△PMN是等腰三角形．理由如下：∵点P是BD的中点，点M是CD的中点，∴PM=12 BC，同理：PN=12 AD，∵AD=BC，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．基础1．在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则ABCD的面积为A．6 B．9 C．12 D．182．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是A．90°B．60°C．120°D．45°3．如果四边形ABCD是平行四边形，AB=6，且AB的长是四边形ABCD周长的316，那么BC的长是A．6 B．8 C．10 D．164．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是A．AD=BC B．OA=OCC．AB=CD D．∠ABC+∠BCD=180°5．如图，AB∥CD，AD不平行于BC，AC与BD相交于点O，写出三对面积相等的三角形是__________．6．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22 m，则AB=__________m．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点．若AB=23BC=3DE=12，DG=12AB，求四边形DEFG的周长．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C 出发沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．能力9．已知ABCD的对角线AC，BD的长分别为10，6，则AB长的范围是A．AB>2 B．AB<8 C．2<AB<8 D．2≤AB≤810．平行四边形ABCD与等边三角形AEF按如图所示的方式摆放，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是A．75°B．80°C．100°D．120°11．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADC–∠DCE；④S△EDF=S△BCF，其中正确的结论是A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④12．如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点．点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对于下列各值：①线段MN 的长；②△PMN 的面积；③△PAB 的周长；④∠APB 的大小；⑤直线MN ，AB 之间的距离．其中会随点P 的移动而不改变的是A ．①②③B ．①②⑤C ．②③④D ．②④⑤13．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是边AB 的中点，将△ABC 沿着AB 平移到△DEF 处，那么四边形ACFB 的面积等于__________．14．如图，DE 是ABC △的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，:DMN CEM S S △△等于_________．15．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA =5cm ，E ，F 为直线BD 上的两个动点（点E ，F 始终在ABCD 的外面），且DE =12OD ，BF =12OB ，连接AE ，CE ，CF ，AF ． （1）求证：四边形AFCE 为平行四边形．（2）若DE =13OD ，BF =13OB ，上述结论还成立吗由此你能得出什么结论（3）若CA 平分∠BCD ，∠AEC =60°，求四边形AECF 的周长．真题16．（2019·贵州黔东南、黔南、黔西南）如图在ABCD 中，已知AC =4 cm ，若△ACD 的周长为13 cm ，则ABCD 的周长为A ．26 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．18 cm17．（2019·甘肃兰州）如图，将ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若48ABD ∠=︒，40CFD ∠=︒，则E ∠为A ．102︒B ．112︒C ．122︒D ．92︒18．（2019·黑龙江绥化）下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是A ．AD BC ∥，AB CD ∥ B ．AB CD ∥，AB CD =C ．AD BC ∥，AB DC = D ．AB DC =，AD BC =19．（2019·内蒙古呼和浩特）顺次连接平面上A 、B 、C 、D 四点得到一个四边形，从①AB ∥CD ②BC =AD ③∠A =∠C ④∠B =∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有 A ．5种B ．4种C ．3种D ．1种20．（2019·广西玉林）在四边形ABCD 中：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB =CD ；④AD =BC ，从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有 A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种21．（2019·四川德阳）如图，四边形AOEF 是平行四边形，点B 为OE 的中点，延长FO 至点C ，使3FO OC =，连接AB 、AC 、BC ，则在ABC ∆中::ABO AOC BOC S S S △△△A ．621∶∶B ．321∶∶C ．632∶∶ D ．432∶∶ 22．（2019·安徽）ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF 一定为平行四边形的是 A ．BE =DF B ．AE =CF C ．AF ∥CED ．∠BAE =∠DCF23．（2019·广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC =6 cm ，则DE 的长度是__________cm ．24．（2019·湖北十堰）如图，已知ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD的周长为__________．25．（2019·江苏泰州）如图，ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC的周长为__________．26．（2019·辽宁抚顺）如图，ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是__________．学科=网27．（2019·山东淄博）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．28．（2019·福建）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．29．（2019·广西梧州）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．30．（2019·辽宁大连）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．∥，31．（2019·湖北孝感）如图，B，E，C，F在一条直线上，已知AB DE∥，AC DF ，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．BE CF32．（2019·江苏无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF=∠CDE．33．（2019·湖北恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．34．（2019·浙江衢州）如图，在ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．35．（2019·江苏宿迁）如图，在ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG=CH．36．（2019·青海）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：AD BF；（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．37．（2019·云南曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．38．（2019·黑龙江大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．参考答案1．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB．∵△AOB的面积为3，∴ABCD的面积为4×3=12．故选C．2．【答案】B【解析】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B∶∠C=1∶2，∴∠B=13×180°=60°，故选B．3．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵AB=6，且AB的长是四边形ABCD周长的316，∴四边形ABCD周长为：6÷316=32，∴AB+BC=12×32=16，∴BC=10．故选C．5．【答案】△ADC和△BDC；△ADO和△BCO；△DAB和△CAB【解析】根据AB∥CD可得：△ABC和△ABD的面积相等，△ACD和△BCD的面积相等，则△ACD的面积减去△OCD的面积等于△BCD的面积减去△OCD的面积，即△AOD和△BOC的面积相等．6．【答案】44【解析】∵E、F是AC，CB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，∵EF=22m，∴AB=44m，故答案为44．7．【解析】∵AB=23BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4，∴DG=12AB=6，∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，∴FG=12BC=9，EF=12AB=6，∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25．8．【解析】（1）作AM⊥BC于M，如图所示：∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM=12BC=5，∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°，∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN=AP=t，CE=NE=5–t，∵CE=CQ–QE=2t–2，∴5–t=2t–2，解得：t=73，BQ=BC–CQ=10–2×71633；（2）存在，t=4；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP=BE，∴t=10–2t+2，解得：t=4，∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4．9．【答案】C【解析】如图，在平行四边形ABCD中，AO=CO=5，BO=DO=3，∴2<AB<8．故选C．10．【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD=180°–∠B=180°–45°=135°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF=60°，∴∠BAE=∠BAD–∠EAF=75°．故选A．11．【答案】D【解析】∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠A=∠BCD，∴∠ABC=∠ADC，∵∠A=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴①正确；∵∠A=∠ABD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴②正确；∵∠A=∠ABD，四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠ADC=∠ADB+∠BDC，∴∠ADC=∠DBC+∠BCD，∴∠ADC–∠DCE=∠DBC+∠BCD–∠DCE=∠DBC+∠BCF，∵∠DFC=∠DBC+BCF，∴∠DFC=∠ADC–∠DCE；∴③正确；∵AB∥CD，∴△BED的边BE上的高和△EBC的边BE上的高相等，∴由三角形面积公式得：S△BED=S△EBC，都减去△EFB的面积得：S△EDF=S△BCF，∴④正确；综上得①②③④都正确，故选D．12．【答案】B【解析】∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=12AB，即线段MN的长度不变，故①正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故②正确；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故③错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故④错误．直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故⑤正确；综上所述，随点P的移动而不变化的是①②⑤．故选B．13．【答案】9【解析】∵将△ABC沿AB方向向右平移到△DEF，∴四边形ADFC是平行四边形，四边形ACFB是是梯形．∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴5AB=．∵点D是边AB的中点，∴AD=BD=15522⨯=，∴CF=AD=12AB52=，设AB边上的高为x．∵AB=5，AC=3，BC=4，AB边上的高为x，∴12AC·BC=12AB·x，∴125x =．∴S梯形ACFB=1512(5)9225⨯+⨯=．14．【答案】1∶3【解析】如图，作EF AD ∥，M 是DE 的中点，则△DMN ≌△EMF ，得MN =MF ，E 是AC 的中点，则FC =NF ，所以13MF MC =，得13FEM CEM S S =△△，得:DMN CEM S S △△=1∶3．16．【答案】D【解析】∵AC =4 cm ，若△ADC 的周长为13 cm ，∴AD +DC =13-4=9（cm ）．又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AD =BC ，∴平行四边形的周长为2（AB +BC ）=18 cm ．故选D ． 17．【答案】B【解析】∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠，由折叠可得ADB BDF ∠=∠，∴DBC BDF ∠=∠，又∵40DFC ∠=︒，∴20DBC BDF ADB ∠=∠=∠=︒，又∵48ABD ∠=︒，∴ABD △中，1802048112A ︒︒-︒∠=-=︒，∴112E A ∠∠==︒，故选B ．18．【答案】C【解析】A 、由AD BC ∥，AB CD ∥可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意；B 、由AB CD ∥，AB CD =可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意；C 、由AD BC ∥，AB DC =不能判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项符合题意； D 、由AB DC =，AD BC =可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意，故选C ． 19．【答案】C【解析】当①③时，四边形ABCD 为平行四边形；当①④时，四边形ABCD 为平行四边形；当③④时，四边形ABCD 为平行四边形，故选C ． 20．【答案】B【解析】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定； （2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；（3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定，共4种组合方法，故选B ． 21．【答案】B【解析】如图，连接BF ．设平行四边形AFEO 的面积为4m ．∵FO ：OC =3：1，BE =OB ，AF ∥OE ，∴S △OBF =S △AOB =m ，S △OBC =13m ，S △AOC =23m ，∴S △AOB ∶S △AOC ∶S △BOC =m ∶23m ∶13m =3∶2∶1，故选B ． 22．【答案】B【解析】A 、如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ，∵BE =DF ，∴OE =OF ，∴四边形AECF 是平行四边形，故不符合题意；B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF∥CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF，∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，故选B．23．【答案】3【解析】∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=162=3cm，故答案为：3．24．【答案】14【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD的周长=5+4+5=14，故答案为：14．25．【答案】14【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，故答案为14．26．【答案】10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，∴AD=BC=3，CD=AB=7，∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，故答案为：10．27．【答案】10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=2，由折叠，∠DAC=∠EAC，∵∠DAC=∠ACB，∴∠ACB=∠EAC，∴OA=OC，∵AE过BC的中点O，∴AO=12BC，∴∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，由折叠，∠ACD=90°，∴E、C、D共线，则DE=4，∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10，故答案为：10．28．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，OAE OCF OA OCAOE COF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．29．【解析】∵ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，EAO FCO AO OCAOE COF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．31．【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，B DEF BC EFACB F∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．32．【解析】在ABCD中，AD=BC，∠A=∠C，∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴AF=CE，在△ABF与△CDE中，AB CDA C AF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴∠ABF=∠CDE．33．【解析】如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，ABC DEF BC EFACB DFE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．34．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°．在△ABE与△CDF中，AEB CFDBAE DCF AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴得△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．35．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∠A =∠C ， ∴∠E =∠F ， 又∵BE =DF ， ∴AD +DF =CB +BE ， 即AF =CE ，在△CEH 和△AFG 中，E F EC FA C A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEH ≌△AFG ， ∴CH =AG ．36．【解析】（1）∵E 是AB 边上的中点，∴AE BE =， ∵AD BC ∥， ∴ADE F ∠=∠，在ADE △和BFE △中，ADE F ∠=∠，DEA FEB ∠=∠，AE BE =， ∴ADE △≌BFE △， ∴AD BF =．（2）如图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，∵AB ∥DC ，∴DM 同时也是平行四边形ABCD 的高，∴11113282244AED S AB DM AB DM =⋅⋅=⋅=⨯=△，∴32824EBCD S =-=四边形．37．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AFN=∠CEM，∵FN=EM，AF=CE，∴△AFN≌△CEM（SAS）．（2）∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF=∠ECM，∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，∴107°=72°+∠ECM，∴∠ECM=35°，∴∠NAF=35°．38．【解析】（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥F C．BC=2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．（2）∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25 cm，AC的长5 cm，∴BC=25-AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25-AB）2+52，解得AB=13 cm．30。
浙教版初中数学八年级下册《平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《平行四边形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.2.理解平行四边形的概念.了解四边形的不稳定性.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.了解两条平行线之间的距离的意义，能度量两条平行线之间的距离.3.掌握三角形的中位线的性质.4.了解中心对称的概念，了解平行四边形是中心对称图形.了解中心对称的性质，会作与已知图形关于已知点成中心对称的图形.会在直角坐标系中求已知点关于原点对称的点的坐标.5.体会反证法的含义.6.会综合运用本章知识解决有关作图、计算和证明问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、多边形内角和定理、外角定理n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn°；多边形的外角和为360°．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 要点二、平行四边形的性质和判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：（1）边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；（2）角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；（3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行线的性质（1）夹在两条平行线间的平行线段相等；（2）夹在两条平行线间的垂线段相等.要点三、中心对称中心对称图形：如果一个图形绕着一个点旋转180°，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫对称中心．关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点四、三角形的中位线三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点五、反证法在证明一个命题时，先假设命题不成立，然后从这个假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.要点诠释：反证法也称归谬法，是一种间接证明的方法，一般适用于直接证明有困难的命题．一般证明步骤如下：（1）假定命题的结论不成立；（2）从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，以证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果；（3）由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的.定理：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【典型例题】类型一、多边形1、（2016春•耒阳市校级期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【思路点拨】连接ED，由三角形内角和外角的关系可知∠A+∠B=∠BED+∠ADE，由四边形内角和是360°，即可求∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F=360°．【答案与解析】解：如图，连接ED．∵∠1=∠A+∠B，∠1=∠BED+∠ADE，∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F=∠BED+∠ADE+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F=∠DEF+∠EDC+∠C+∠F．又∵∠DEF+∠EDC+∠C+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠BEF+∠F=360°．【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，涉及到四边形内角和定理与三角形外角的性质，比较简单．举一反三：【变式】若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A；解：设边数为n，根据题意得（n－2）•180°＜360°解之得n＜4．∵n为正整数，且n≥3，∴n＝3．故选A．类型二、平行四边形2、如图，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交与点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．【答案与解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形.∴AD＝BC，AD∥BC（平行四边形的对边相等且平行）又∵DF∥BE（已知）∴四边形BEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∴DE＝BF（平行四边形的对边相等）∴AD－DE＝BC－BF，即AE＝CF又∵AE∥CF∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴AF∥CE∴四边形MFNE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）【总结升华】要证明一个四边形是平行四边形首先要根据已知条件选择一种合理的判定方法，如本题中已有一边平行，只须说明另一边也平行即可，故选用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明.举一反三：【变式】（2015•河南模拟）如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥DC，∴∠ABE=∠CDF，∵AG=CH，∴BG=DH，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS）；（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），∴∠BEG=∠DFH，EG=FH，∴∠GEF=∠HFB，∴GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形．3、如图，已知口ABCD 中，F 是BC 边的中点，连接DF 并延长，交AB 的延长线于点E ． 求证：AB ＝BE ．【思路点拨】根据平行四边形性质得出AB ＝DC ，AB∥CD，推出∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E，证△CDF≌△BEF，推出BE ＝DC 即可．【答案与解析】证明：∵F 是BC 边的中点，∴BF＝CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝DC ，AB∥CD，∴∠C＝∠FBE，∠CDF＝∠E，∵在△CDF 和△BEF 中C FBE CDF E CF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDF≌△BEF（AAS ），∴BE＝DC ，∵AB＝DC ，∴AB＝BE ．【总结升华】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，关键是推出△CDF≌△BEF．类型三、中心对称4、下列说法中，正确的是（ ）A. 形状和大小完全相同的两个图形成中心对称B. 成中心对称的两个图形必重合C. 成中心对称的两个图形形状和大小完全相同D. 旋转后能重合的两个图形成中心对称【答案】C ；【解析】解：A、成中心对称的两个图形，形状和大小完全相同，但形状和大小完全相同的两个图形不一定成中心对称，故错误；B、成中心对称的两个图形不一定重合，故错误；C、正确；D、旋转180°，能重合的两个图形成中心对称，故错误．故选C．【总结升华】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．举一反三：【变式】下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A；类型四、三角形的中位线5、已知，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，求四边形EFGH的周长．【思路点拨】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．【答案与解析】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6+5=11．【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．类型五、反证法6、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A. 有一个内角大于60°B. 有一个内角小于60°C. 每一个内角都大于60°D. 每一个内角都小于60°【思路点拨】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可．【答案与解析】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选C．【总结升华】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．举一反三：【变式】对于命题“如果a＞b＞0，那么2a＞2b．”用反证法证明，应假设（）A. 2a＞2bB. 2a＜2bC. 2a≥2bD. 2a≤2b【答案】D.。
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八年级下册章末复习讲义---平行四边形一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明.二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。
三、本章知识结构图1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。
2．梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。
3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。
4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。
四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定1.平行四边形的性质：（1）从边看：对边 ，对边 ；（2）从角看：对角 ，邻角 ；（3）从对角线看：对角线互相 ； （4）从对称性看：平行四边形是 图形。
2、平行四边形的判定：（1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。
（定义）（2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。
（3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。
（4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。
（5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。
【基础练习】1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____．2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __.3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值围是（ ）.A.1＜AB ＜7B.2＜AB ＜14C.6＜AB ＜8D.3＜AB ＜44.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ）A.AB=CD,AD=BCB.AB CDC.AB=CD,AD ∥BCD.AB ∥CD,AD ∥BC 5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是 （ ） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24【典型例题】 例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长.F DA O A BC D OA BC DD C A BEF M N B E F C A D 例2、 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G 。
（1）求证：AF=GB ；（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形,并说明理由．【课堂练习】：1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，(1)求证：FD=FC (2)若AC=6cm ，试求四边形AEDF 的周长。
2、已知：E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，且AE=CF ，（1）试判断BE 、CF 的关系；（2）若E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 延长线上的两点，上述结论还成立吗？说明理由3、如图，四边形ABCD 为平行四边形，M,N 分别从D 到从B 到C 运动，速度相同，E,F 分别从A 到B ，从C 到D 运动，速度相同，它们之间用绳子连紧。
（1）没有出发时，这两条绳子有何关系？（2）若同时出发，这两条绳子还有（1）中的结论吗？为什么？（二）知识要点2：特殊平行四边形的性质与判定1．矩形：（1）性质：具有平行四边形的所有性质。
另外具有：四个角都是 ，对角线互相平分而且 ，也是 图形。
（2）判定：从角出发：有 个角是直角的平行四边形或有 个角是直角的四边形。
从对角线出发：对角线 的平行四边形或对角线 且互相 的四边形。
2．菱形：（1）性质：具有平行四边形的所有性质。
另外具有：四条边都 ，对角线互相 且 每一组对角，也是 图形。
（2）判定：FED C AA B C D E 从边出发：一组 边相等的平行四边形或有 条边相等的四边形。
从对角线出发：对角线互相 的平行四边形或对角线互相 且 的四边形。
3．正方形：（1）性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质（2）判定方法步骤：四边形正方形【基础练习】 1、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOD=120，AC=12cm ，则AB 的长__ __2、菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是_____.3、若菱形的周长为16 cm ，一个角为60°，则菱形的面积为______cm 2。
4、两直角边分别为12和16的直角三角形,斜边上的中线的长是 。
5、下列条件中，能判定四边形是菱形的是（ ）．A.两组对边分别相等B.两条对角线互相平分且相等C.两条对角线相等且互相垂直D.两条对角线互相垂直平分6、在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AO=CO ，BO=DO ，增加一个条件 可以判定四边形是矩形；增加一个条件 可以判定四边形是菱形。
7、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，能判定它是正方形的是（ ）.A.AO ＝OC ，OB ＝ODB.AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDC.AO ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BDD.AO ＝OC ＝OB ＝OD8、如图，E 是正方形ABCD 一点，如果△ABE 为等边三角形，则∠DCE= °.【典型例题】例3：如图，BD ，BE 分别是∠ABC 与它的邻补角∠ABP 的平分线，AE ⊥BE ，AD ⊥BD ，E ，D 为垂足．求证：四边形AEBD 是矩形．例4：正方形ABCD 中，点E 、F 为对角线BD 上两点，DE=BF 。
试解答：（1）四边形AECF 是什么四边形？ 为什么？（2）若EF=4cm ，DE=BF=2cm ，求四边形AECF 的周长。
证明 O BC例5：如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF . AE 与BF 相等吗？为什么？ AE 与BF 是否垂直？说明你的理由。
【课堂练习】1、如图，矩形ABCD 中(AD ＞2)，以BE 为折痕将△ABE 向上翻折，点A 正好落在DC 的A ′点，若AE =2，∠ABE =30°，则BC =_________.2.如图2，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=45°，则点D•的坐标为____．1 题图 2题图3、如右上图，正方形ABCD 中，∠︒=25DAF ，AF 交对角线BD 于点E ，那么∠BEC 等于 .4.在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，连结DE 、DF ，当△ABC 满足条件_________时，四边形AEDF 是菱形(填写一个你认为恰当的条件即可).5、如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于点E 、F ，试说明四边形AFCE 是菱形.6、如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 为一边向外画正方形AEDB 和正方形ACFG ，连接CE ，BG.试判断CE 、BG 的关系.GC B ED A F A D EF A B CDO E F练习题：1.平行四边形ABCD的周长32,5AB=3BC,则对角线AC的取值围为（）A.6<AC<10B.6<AC<16C.10<AC<16D.4<AC<162.如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC 边上的点E，使DE=5，这痕为PQ，则PQ的长为（）A.12B.13C.14D.153.在ΔABC中D、K分别是AB、AC的中点，延长DE到F，使EF=DE，若AB=10，BC=8，则四边形BCFD是四边形，其周长等于4.如图，在平行四边形ABCD中，AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，∠MAN=45°，且AM+AN=20，则平行四边形ABCD 的周长是5.如图先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图①所示），•再将此矩形在坐标平面按逆时针方向绕原点旋转30°（如图②所示），若AB=4，BC=3，则图①中点B 的坐标为_________，点C的坐标为________;图②中，点B的坐标为_________，点C的坐标为________．6.如图，四边形ABCD是矩形，△EAD是等腰直角三角形，△EBC是等边三角形. 已知AE=DE=2，求AB的长.7.如图，ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE,从E作EH⊥AC交AC于H.（1）判断四边形ACED是什么图形，并加以证明；（2）若AB=8，AD=6，求DE的长；（3）四边形ACED中，比较AE＋EC与AC＋EH的大小并说明理由。
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D、E分别是边AC、AB的中点,过点B作BF⊥DE,交线段DE的延长线于为点F,过点C作CG⊥AB，交BF于点G，AC=2BC.求证：（1）四边形BCDF是正方形；（2）AB=2CG．9.已知:如图,矩形ABCD,P为矩形外一点，PA PC⊥.求证：PDPB⊥.10.已知：如图，E、F为△ABC的边AB、BC的中点，在AC上取G、H两点，使AG=GH=HC，连结EG、FH，并延长交于D点。
求证：四边形ABCD是平行四边形。
11.如图正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过A作AF⊥BE，交CD边于F，M是AD边上一点，且有BM=DM＋CD．⑴求证：点F是CD边的中点；⑵求证：∠MBC＝2∠ABE．12.如图，M为正方形ABCD一点，MA=2，MB=4，∠AMB=135°，计算MC的长。
13.如图，已知：正方形ABCD，BE∥AC，且AE=AC交BC于F,求证CF=CE.14.已知：如图，在△ABC 中,AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，CE 是AB 边上的中线。
求证:CECD =12.15.在正方形ABCD 中，直线EF 平行于对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ，在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ，若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
16.M 、N 为∆ABC 的边AB 、AC 的中点，E 、F 为边AC 的三等分点，延长ME 、NF 交于D 点，连结AD 、DC ，求证：⑴BFDE 是平行四边形，⑵ABCD 是平行四边形。
17.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ，AC 为邻边作平行四边形ACED ，延长线交BE 于F ， 求证：F 是BE 的中点。