傅里叶变换、数字滤波器设计、标准表插值算法
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周期函数匚⑴可表示为:
a0
f T (t) 一' (a n cos n t b n sinn，t)
2 n4
其中:
T
2 2 a。f T(t)dt
T
T
~2
T
2 2
a n f T(t) cosn tdt
T
T
~2
T
2 2
b n f T(t)sin n tdt
T
T
~2
傅里叶变换
周期函数仲⑴的周期为T
1 2TT
频率f二〒，角频率•二〒，n为正整数。
周期函数匚⑴的直流分量
T
d吕J f T(t)dt o f n = nf为各次谐波的
2 T T
"2
频率。
周期函数匸⑴可化为：(三角函数公式：cos(A B) = cosAcosB —sin Asin B)
■bo
f T (t)二 ' A n cos(n t n) d
n T
其中:
即周期函数f T(t)可表示为不同频率成分的正弦函数的和。其中频率f
为基波的频率
根据欧拉公式eF = cosv isinv ，有:
cos V
sin-3
2i
所以周期函数 f T (t )可表示为：
a °严 e 叱+e 』M e 吨-e 』05
f T (t)
八 G
b n
)
2
nm
2
2i
= a
十孑(
a
—
ib
g
n OJ 十 a +
ib
T T
2
2
J f f T (t)cosn ^tdt —i f f T (t)sinn 豹tdt
J J 丄
-2 2
一
T
1 1 2
= f T (t)(cosn t -isinn t)dt T T
_
2
1 丄
2
2
f f T (t)cosnotdt+i Jf T (t)sin n 豹tdt
2 2 T
1 2
=
f T (t)(cosn 「t isinn t)dt
T T
~2
T
=-
.f T
(t)e
in t
dt
T T
a
n
"b n _ —
2 ~T
T
=-f T(t)e» pt
T T
_2
a n i
b n 1
2 =T
C o 二 T 1
. f T （t ）dt
T
~2
T
. f T （t ）e J
n l
dt T
T
T
1
f T （t ）e in
Pt T T
"2
f T （t ）=c°+瓦 Ge 叱+c 』e 皿）
n 取整数时，c 可以合写为一个式子
n 为正整数
C_n
C n
1
f T
（n = 0, 土 1 ,± 2,...）
所以有
n 为整数
非周期函数f(t),
所以 -He
从而 T ，当 T 一；-七时，二-n > 0。
称式(1)中函数FC-)为函数f(t)的傅里叶变换，式⑵中函数f(t)为函数
FC)的傅里叶逆变换。函数F(「)即为函数f(t)的频谱。
图1是函数y1和y2的函数图。其中
y1=s in(t)。
y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。 y1是标准的正弦函数，y2中加入了高次谐波分量。
亦即
令
则
因此有
1 氐 _ 4=c
f ⑴=如0石二”仲
F( n ) =」(t)e 」nt dt
e i wi t Aco
1说
f(t)=lim L 、F( F)d“t. ： '
二丄"F ( n )e i nt d 2蔥f
二丄：
F( )e i t
d ■ 2 二
F(「)= ,_.;f(t)e 4 t dt
(1)
f(t)
二+ _F ( )e r t
d ■ ■；
f f T (t)e 」Edt d
图1谐波分量图图2是偶次谐波的函数图。
图2偶次谐波图
图3是偶次谐波的频谱图
图3偶次谐波频谱图
图4是偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图
图4偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图
傅里叶分析在电路上的应用
函数f(t)的傅里叶变换记为F,函数g(t)的傅里叶变换记为F
g(t),即F()= F lf(t) 1 G(.)=F g(t)L 则有
傅里叶变换的线性性质
F f (t) g(t)l 二：F( ) - G()
傅里叶变换的微分性质
df(t)
F
F II dt 二i F(•)
傅里叶变换的积分性质
t
F J(t)dt 二丄F()
- 」i O
电路上的一个例子。
有一段RLC电路如图5所示