人教A版高中数学选修4-4导学案
高中数学 第二讲《参数方程》全部教案 新人教A版选修4-4
曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
3．会进行参数方程和普通方程的互化。
教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
参数方程和普通方程的互化。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
参数方程和普通方程的等价互化。
教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。
)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。
（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。
例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。
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新课标人教A 版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案§4.1.1—第一课 平面直角坐标系本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.一、 温故而知新1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹方程.二、 重点、难点都在这里【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）（详解见课本）练一练：3．有三个信号检测中心A 、B 、C ，A 位于B 的正东，相距6千米，C 在B 的北偏西300，相距4千米.在A 测得一信号，4秒后B 、C 同时测得同一信号.试求信号源P 相对于信号A 的位置（假设信号传播速度为1千米/秒）.【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.三、 懂了，不等于会了4．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹.5．求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标.7．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 是 .8．已知A （-3，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94，则 点M 的轨迹方程是 .平面直角坐标系中的伸缩变换【基础知识导学】1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。
人教A版高中数学选修4-4 导学案1.2.2.极坐标与直角坐标的互化
1.2.2.极坐标与直角坐标的互化【学习目标】1.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式；2.会实现极坐标和直角坐标之间的互化.【重点难点】重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 难点：互化关系式的掌握.【学习过程】一.课前预习1.复习相关知识：设角α终边上任意一点的坐标为),(y x ，它与原点的距离为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan .2. 阅读课本1211~P P ,自主解决下列问题（1）平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？（2）设点P 对应的复数为i 33+-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（） A.(23，π43) B.(π45) C.(3，π45) D.(3，π43)二．课堂学习与研讨（一）知识梳理1.设点M 的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ， 则由三角函数的定义可以得关系=x ；=y ； =2ρ ；=θtan .上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式.2.互化公式的三个前提条件：（1）极点与直角坐标系的 重合； （2）极轴与直角坐标系的 的正半轴重合；（3）两种坐标系的 相同.（二）例题分析例1．（1）把点M 的极坐标32,8(π化成直角坐标； （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标.练习1.1.已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标.)6,3(πA )2,2(πB )2,1(π-C )4,23(πD 2.已知点的直角坐标, 求它们的极坐标(0ρ≥，0θ≤<π2).)3,3(-A )3,1(B )0,5(C )2,0(-D例2.在极坐标系中,已知两点(6,)6A π，2(6,)3B π.求线段AB 中点的极坐标.练习2. 在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -，判断P N M ,,三点是否在一条直线上.三．达标检测A 基础巩固1.点M 的极坐标是)32,5(π,则点M 的直角坐标为 . 2.取直角坐标系的原点为极点，x 轴为正半轴为极轴，则点)3,1(--M 的极坐标为( ) A.(2,)3π- B.2(2,)3π C.)34,2(π D.(2,)3π 3.在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππ-P N M ，则P N M ,,三点是否线.B 提升练习4. 已知三点(5,)2A π，5(8,)6B π，7(3,)6C π，则ABC ∆形状为 （ ） A.直角三角形 B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5. 在极坐标系中，极轴上的点P 和)4,24(πA 的距离为5，则点P 的极坐标为 .四．拓展延伸与巩固6.已知两点)3,2(π，)2,3(π,求两点间的距离.7.若(3,)3A π，(4)6B π-，，求：||AB 的长及三角形ABC 的面积，（其中O 是极点）.。
高中数学人教A版选修4-4 2-2-1 椭圆的参数方程 导学案 精品
2.2.1 椭圆的参数方程学案【学习目标】：1. 知识与技能：了解椭圆的参数方程及参数的的意义2. 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程3. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识【学习重点】：椭圆参数方程的定义和方法【学习方法】：分组讨论学习法、探究式；【学习过程】：一、课前准备复习1：圆的参数方程及参数的几何意义是什么?圆x 2+y 2=r 2(r>0)的参数方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的参数方程:其中参数的几何意义为:复习2：圆的参数方程是怎样推导出来的呢?二、新课导学学习探究探究任务一：圆的参数方程问题1：你能仿此推导出椭圆的参数方程吗？问题2：你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗？提问3：把下列普通方程化为参数方程,把参数方程化为普通方程.194)1(22=+y x 116)2(22=+y x【典型例题】12222=+a y b x 为参数）ϕϕϕ(sin 5cos 3)3(⎩⎨⎧==y x 为参数）ϕϕϕ(sin 10cos 8)4(⎩⎨⎧==y x【例1】：如下图，以原点为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.反思： 椭圆 的参数方程为的几何意义是什么？知识点小结：1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的 和 . （其中a>b ）2.ϕ称为离心角，规定参数ϕ的取值范围是3. 当焦点在X 轴时椭圆的参数方程为： 当焦点在Y 轴时椭圆的参数方程为： 知识归纳名称参数方程各元素的几何意义圆椭圆)0(12222>>=+b a b ya x 其中为参数)(sin cos ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ϕ,,b a【例2】：设P 是椭圆223641y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。
高中数学人教A版选修4-4课件：1.2极坐标系
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二 极坐标系
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高中数学选修4-4全套教案（PDF）
高中数学选修4-4全套教案第一讲坐标系一平面直角坐标系课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定三、讲解新课：1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
*变式训练如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？例2已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗?*变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程例3已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）*变式训练用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A版选修4-4
2019-2020年高中数学 2.2 圆锥曲线的参数方程教案 新人教A 版选修4-41．椭圆的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t ∈R ，t 为参数)．(2)参数t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．1．椭圆的参数方程中，参数φ是OM 的旋转角吗？【提示】 椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．2．双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？【提示】 sec φ＝1cos φ，其中φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠32π.3．类比y 2＝2px (p >0)，你能得到x 2＝2py (p >0)的参数方程吗？【提示】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt ，y ＝2pt 2.(p >0，t 为参数，t ∈R )椭圆的参数方程及应用将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ(θ为参数)化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标．【思路探究】 根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质．【自主解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝3sin θ得⎩⎨⎧cos θ＝x 5，sin θ＝y 3，两式平方相加，得x 252＋y 232＝1.∴a ＝5，b ＝3，c ＝4.因此方程表示焦点在x 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(4,0)和F 2(－4,0)．椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ，(θ为参数，a ，b 为常数，且a >b >0)中，常数a 、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上．若本例的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，(θ为参数)，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标？【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝5sin θ，化为⎩⎨⎧x3＝cos θ，y5＝sin θ，两式平方相加，得x 232＋y 252＝1.其中a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以方程的曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，焦点坐标为F 1(0，－4)与F 2(0,4)．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t y ＝3＋sin t ，(t 为参数)，曲线C 2：x 264＋y 29＝1.(1)化C 1为普通方程，C 2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：x －2y －7＝0距离的最小值．【思路探究】 (1)参数方程与普通方程互化；(2)由中点坐标公式，用参数θ表示出点M 的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于θ的函数，转化为求函数的最值．【自主解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos t ＝x ＋4，sin t ＝y －3. ∴曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆．曲线C 2：x 264＋y 29＝1表示中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)(2)依题设，当t ＝π2时，P (－4,4)；且Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)．又C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|＝55|5cos(θ＋φ)－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中φ由sin φ＝35，cos φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d 取得最小值855.1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性．2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M 的轨迹上的点到直线C 3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数θ的函数的最小值．(xx·开封质检)已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．【解】 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0,2π)． 又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22|sin θ＋π4|5.所以，当sin(θ＋π4)＝1，即θ＝π4时，d 取得最大值2105.双曲线参数方程的应用 求证：双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值．【思路探究】 设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算．【自主解答】 由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，得两条渐近线的方程是：bx ＋ay ＝0，bx －ay ＝0， 设双曲线上任一点的坐标为(a sec φ，b tan φ)， 它到两渐近线的距离分别是d 1和d 2，则d 1·d 2＝|ab sec φ＋ab tan φ|b 2＋a 2·|ab sec φ－ab tan φ|b 2＋－a 2＝|a 2b 2sec 2 φ－tan 2 φ|a 2＋b 2＝a 2b 2a 2＋b2(定值)．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec 2 φ－tan 2 φ＝1的应用．如图2－2－1，设P 为等轴双曲线x 2－y 2＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，证明：|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.图2－2－1【证明】 设P (sec φ，tan φ)，∵F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴|PF 1|＝sec φ＋22＋tan 2φ＝2sec 2φ＋22sec φ＋1，|PF 2|＝sec φ－22＋tan 2φ＝2sec 2φ－22sec φ＋1， |PF 1|·|PF 2|＝2sec 2φ＋12－8sec 2φ＝2sec 2φ－1. ∵|OP |2＝sec 2φ＋tan 2φ＝2sec 2φ－1， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|OP |2.抛物线的参数方程设抛物线y 2＝2px 的准线为l ，焦点为F ，顶点为O ，P 为抛物线上任一点，PQ ⊥l 于Q ，求QF 与OP 的交点M 的轨迹方程．【思路探究】 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．【自主解答】 设P 点的坐标为(2pt 2,2pt )(t 为参数)，当t ≠0时，直线OP 的方程为y ＝1tx ，QF 的方程为y ＝－2t (x －p2)，它们的交点M (x ，y )由方程组⎩⎨⎧y ＝1txy ＝－2t x －p2确定， 两式相乘，消去t ，得y 2＝－2x (x －p2)，∴点M 的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0(x ≠0)．当t ＝0时，M (0,0)满足题意，且适合方程2x 2－px ＋y 2＝0. 故所求的轨迹方程为2x 2－px ＋y 2＝0.1．抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，参数t 为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ，若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ，所以y 2M ＝6p ，所以E (－p 2，±6p )，F (p 2，0)，所以p2＋3＝p 2＋6p ，所以p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2(负值舍去)．【答案】 2(教材第34页习题2.2，第5题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上任意一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别与x轴交于P 、Q 两点，O 为椭圆的中心．求证：|OP |·|OQ |为定值．(xx·徐州模拟)如图2－2－2，已知椭圆x24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点．图2－2－2求证：|OP |·|OQ |为定值． 【命题意图】 本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)(φ为参数)， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|·|2cos φ1－sin φ|＝4.因此|OP |·|OQ |＝4(定值).1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1 B ．x 2＋y 22＝1C ．y 2＋x 24＝1D ．y 2＋x24＝1【解析】 易知cos θ＝x ，sin θ＝y2，∴x 2＋y24＝1，故选A.【答案】 A2．方程⎩⎪⎨⎪⎧x cos θ＝a ，y ＝b cos θ，(θ为参数，ab ≠0)表示的曲线是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．双曲线的一部分【解析】 由x cos θ＝a ，∴cos θ＝ax，代入y ＝b cos θ，得xy ＝ab ，又由y ＝b cos θ知，y ∈[－|b |，|b |]， ∴曲线应为双曲线的一部分． 【答案】 D3．(xx·陕西高考)圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________．【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)4．(xx·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________. 【解析】 将曲线C 1与C 2的方程化为普通方程求解．∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，消去参数t 得2x ＋y －3＝0. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，消去参数θ得x 2a 2＋y 29＝1.方程2x ＋y －3＝0中，令y ＝0得x ＝32，将(32，0)代入x 2a 2＋y 29＝1，得94a 2＝1.又a >0，∴a＝32. 【答案】32(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝5sin φ，(φ为参数)的离心率为( )A.23B.35C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1，∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4，因此e ＝c a ＝23.【答案】 A2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α2＋cos α2y ＝2＋sin α，(α为参数)的普通方程是( )A ．y 2－x 2＝1B ．x 2－y 2＝1C ．y 2－x 2＝1(1≤y ≤3)D ．y 2－x 2＝1(|x |≤2)【解析】 因为x 2＝1＋sin α，所以sin α＝x 2－1. 又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)， 所以y 2－x 2＝1.∵－1≤sin α≤1，y ＝2＋sin α， ∴1≤y ≤ 3.∴普通方程为y 2－x 2＝1，y ∈[1，3]． 【答案】 C3．点P (1,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝2t (参数t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2【解析】 d 2＝(x －1)2＋y 2＝(t 2－1)2＋4t 2＝(t 2＋1)2， 由t 2≥0得d 2≥1，故d min ＝1. 【答案】 B4．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ≤π)上的一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点的坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 【解析】 由题意知，3cos θ＝4sin θ， ∴tan θ＝34，又0≤θ≤π，则sin θ＝35，cos θ＝45，∴x ＝3×cos θ＝3×45＝125， y ＝4sin θ＝4×35＝125， 因此点P 的坐标为(125，125)． 【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos t y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝2 3. 得点M 的坐标为(1,23)．直线OM 的斜率k ＝231＝2 3. 【答案】 236．(xx·江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.【答案】 ρcos 2θ－sin θ＝0三、解答题(每小题10分，共30分)7．(xx·平顶山质检)如图2－2－3所示，连接原点O 和抛物线y ＝12x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图2－2－3【解】 抛物线标准方程为x 2＝2y ，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ，y ＝2t 2.得M (2t,2t 2)．设P (x ，y )，则M 是OP 中点．∴⎩⎨⎧2t ＝x ＋02，2t 2＝y ＋02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t y ＝4t 2(t 为参数)， 消去t 得y ＝14x 2，是以y 轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．8．(xx·龙岩模拟)已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数)，求直线l 和椭圆C 相交所成弦的弦长．【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：x ＋y －1＝0，①x 24＋y 2＝1，② ①②联立，消去y 得：5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85. 设直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 两点直角坐标分别为(0,1)，(85，－35)，则|AB |＝－35－12＋852＝825. 故所求的弦长为825. 9．(xx·漯河调研)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos αy ＝sin α (α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．【解】 (1)把极坐标系下的点P (4，π2)化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos α＋π6＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 教师备选10．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．【解】 设椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝b sin θ，其中，a >b >0,0≤θ<2π. 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－(b a )2可得b a ＝1－e 2＝12即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2cos 2θ＋(b sin θ－32)2 ＝a 2－(a 2－b 2)sin 2θ－3b sin θ＋94＝4b 2－3b 2sin 2θ－3b sin θ＋94＝－3b 2(sin θ＋12b)2＋4b 2＋3， 如果12b >1即b <12，即当sin θ＝－1时，d 2有最大值，由题设得(7)2＝(b ＋32)2，由此得b ＝7－32>12，与b <12矛盾． 因此必有12b≤1成立， 于是当sin θ＝－12b时，d 2有最大值， 由题设得(7)2＝4b 2＋3，由此可得b ＝1，a ＝2.所求椭圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ.由sin θ＝－12，cos θ＝±32可得，椭圆上的点(－3，－12)，点(3，－12)到点P 的距离都是7..。
2020高考数学文科大一轮复习导学案：选修4-4 坐标系与参数方程4.4.1 Word版含答案
姓名，年级：时间：选考部分选修4－4 坐标系与参数方程第一节错误!知识点一平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：错误!的作用下，点P（x，y)对应到点P′(x′，y′），称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．1．（选修4－4P4例题改编）设平面内伸缩变换的坐标表达式为错误!则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变为y＝3sin2x.解析：由已知得错误!代入y＝sin x,得错误!y′＝sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sin x的方程变为y＝3sin2x。
知识点二极坐标系1．极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做极点,从O 点引一条射线Ox，叫做极轴,再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就确定了一个极坐标系．如图，设M是平面内一点,极点O与点M的距离OM叫做点M 的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ。
有序数对（ρ,θ）叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ）．2．极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y)，极坐标为（ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝错误!.2．（选修4－4P11例4改编）点P的直角坐标为（1,－错误!),则点P的极坐标为错误!.解析：因为点P(1，－错误!)在第四象限，与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为－π3，所以点P的极坐标为错误!.3．（选修4－4P15T3)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1）的极坐标方程为( A )A．ρ＝错误!，0≤θ≤错误!B．ρ＝错误!，0≤θ≤错误!C．ρ＝cosθ＋sinθ,0≤θ≤错误!D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤错误!解析：∵y＝1－x(0≤x≤1），∴ρsinθ＝1－ρcosθ（0≤ρcosθ≤1,0≤ρsinθ≤1）；∴ρ＝错误!错误!.知识点三常见曲线的极坐标方程4．（选修4－4P15T4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( B )A。
极坐标系(4-4)
=0，可以取任意实数
8
思考探究：
你能在极坐标系中找到下列各点吗？
5 A( 2, ) 6
4 B(5, ) 3
5 C (4, ) 3
9
思考探究：
5 A( 2, ) 6
2
4
4 B(5, ) 3 5 C (4, ) 3
5 6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
( 5 ,0 )
(1, ) 2
( 3 ,1)
直角坐标 (3, 3 ) 极坐标
5 (2 3 , ) 6
15
7 ( 2, ) 6
(5,0)
思考探究：
在极坐标系中,点A的极坐标是(ρ,θ),
π≤θ＜π (规定:ρ＞0, -0≤θ＜2π )则
( , ) ( ,2 ) ; (1)点A关于极轴对称的点的极坐标是
再选定一个长度单位 O
X
和角度单位(弧度)及其正方向(逆时针)
这样就建立了一个极坐标系
6
在极坐标系OX中, 如何确定任意一点A A (,) 的位置呢？
用表示线段OA的长度， 表示以极轴Ox为始边，O 射线OA为终边的角xOA.
X
有序数对（，）就叫做点A的极坐标 叫做点A的极径 叫做点A的极角
A
F D O B C G E X
4 3
5 3
10
你能从中体会:
极坐标与直角坐标的区别吗？
平面直角坐标系 外在形式 定位方式 点与坐标 本 质
极
坐
标
原点，x，y轴
横坐标、纵坐标
极点，极轴 极径、极角
点与坐标一一对应 点与极坐标不一一对应 两线相交定点 圆与射线相交定点
高中数学 第二章 参数方程 2.3.1 椭圆的参数方程教学设计 新人教A版选修4-4-新人教A版高二
椭圆的参数方程一、知识回顾（4’）以设问的方式进行复习回顾：1、当焦点在x轴上时椭圆的普通方程:2、相关知识点：（1）焦点，顶点(), ()；（2）（3）；（4）；3、辅助角公式：学生跟着老师的思路进行复习回顾，并能较为准确回答出老师所问问题。
为接下来的新知识做铺垫。
明确相关知识便于学生理解下面的新知识，加深了学生对单一函数的认识及应用二、新课引入（3’）对椭圆的普通方程进行换元可得到椭圆的参数方程。
对学生提出思考：上节课圆的参数方程中，参数的几何意义是圆的旋转角，那么椭圆的参数方程中参数的几何意义是什么？学生认真记录笔记，并根据老师所提出的思考题进行思考，并忆起圆的参数方程中参数的几何意义。
利用学生熟悉的三角函数公式进行换元，通过换元法进行引入。
然后对参数进行设问，引导学生合作探究。
三、探究参数（14’）设椭圆上任一动点M 坐标为()，则：探究1：参数是椭圆的旋转角吗？不是，因为x=，不是定值。
探究2：从参数方程出发（即M的坐标点）根据圆的参数方程寻找的意义：建立以a为半径的圆，过M作垂线交圆于A，点A的横坐标与M的横坐标一样为(为∠AOx)；再建立以b为半径的圆交线段OA于B，而B点纵坐标为，恰与M的纵坐标一样，即BM∥x轴。
因此，椭圆的参数方程中参数的几何意义并非旋转角，而是椭圆的离心角。
探究3：当椭圆的焦点在y轴上时的参数方程是什么样子的，其参数是否满足探究2中的几何意学生之间先进行探究一的讨论，发现不是椭圆的旋转角，然后再自己原有讨论的基础上跟着老师一起探究参数的几何意义，得出原来参数的几何意义是椭圆的离心角。
探究3让学生自主探究，发现不论椭圆的焦点在哪，其参数的几何意义仍是椭圆的离心角。
探究1：类比圆的参数方程中参数的几何意义，猜想椭圆参数方程中参数的几何意义，引导发现不相同之处，否定原有猜想。
探究2：从所设M点的坐标出发，通过数形结合思想，引导学生从已知点坐标出发，进行探究，思考椭圆的参数方程中参数的几何意义。
高中数学人教A版选修4-4学案：第二讲 一 2. 圆的参数方程含答案
2．圆的参数方程[对应学生用书P17]圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝yr ，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos ωty ＝r sin ωt (t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时间．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．[对应学生用书P17]求圆的参数方程[例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 根据圆的特点，结合参数方程概念求解． [解] 如图所示，设圆心为O ′，连O ′M ，∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ. ∴⎩⎨⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎨⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ，(θ为参数)这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.圆的参数方程的应用[例2] 若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．[思路点拨] (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．[解] 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．已知圆C ⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1. 解得1－2≤a ≤1＋ 2.法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin(θ＋π4)． ∵－1≤sin(θ＋π4)≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.[对应学生用书P19]一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：将⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．答案：D2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ，故直线与圆相交，有两个公共点．答案：C3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.答案：D4．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值为36. 答案：A 二、填空题5．x ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点坐标是________． 解析：圆x 2＋y 2＝4的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，令2cos θ＝1得cos θ＝12，∴sin θ＝±32.∴交点坐标为(1，3)和(1，－3)． 答案：(1，3)；(1，－3)6．参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆7．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ三、解答题8．P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程；②当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：①如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.②设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， 因Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ.9．(新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.10．已知直线C 1：⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。
2021学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A版选修4_4
四 渐开线与摆线学习目标 1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．知识点一 渐开线思考 把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．假设要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．答案 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，如下图．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )．显然，点M 由角φ惟一确定．梳理 圆的渐开线及其参数方程 (1)定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆． (2)参数方程设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ是参数)．知识点二 摆线思考 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？ 答案 摆线．梳理 摆线及其参数方程 (1)定义当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线． (2)参数方程设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ是参数)．类型一 圆的渐开线例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．解 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧0AM 的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，那么|AM |＝0AM ＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA →＝(4cos θ，4sin θ)． 由几何知识知，∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得OM →＝OA →＋AM →＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))． 又OM →＝(x ，y )， 因此所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).反思与感悟 圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．跟踪训练1 圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin30°＋φsin φsin30°，y ＝sin φcos60°－φcos φcos60°(φ为参数)，那么该基圆半径为________，当圆心角φ＝π时，曲线上点A 的直角坐标为________． 答案 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin 30°＋φsin φsin 30°，y ＝sin φcos 60°－φcos φcos 60°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(cos φ＋φsin φ)，y ＝12(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．∴基圆半径r ＝12.当φ＝π时，x ＝－12，y ＝π2，∴A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2. 类型二 平摆线例2 一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为________．答案10解析 由圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ知，圆的方程为x 2＋y 2＝9，∴圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3，∴圆上定点M 的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＝3π2－3，y ＝3×(1－0)＝3，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝(－3)2＋12＝10.反思与感悟 (1)摆线的参数方程摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，其中r ：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M 绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM .(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．跟踪训练2 一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，那么该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________． 答案 6 6π解析 当φ＝π时，y ＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x ＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π答案 C2．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)答案 C3.如下图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线〞，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，那么曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π答案 C解析 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14AEFGH 的长是5π. 4．一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解 首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4， 所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．1．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．3．由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示．一、选择题1．圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，那么此渐开线对应的基圆的周长是( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π答案 B2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)答案 A3．给出以下说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比拟麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点． 其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①③④答案 C 4．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos t ＋t sin t )，y ＝2(sin t －t cos t )(t 为参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案 A5．圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ) (φ为参数)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0是此渐开线上的一点，那么渐开线对应的基圆的周长是( ) A.32π B ．3π C ．4π D ．6π答案 B解析 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0在渐开线上， 得⎩⎪⎨⎪⎧32＝r (cos φ＋φsin φ)，0＝r (sin φ－φcos φ)，易知φ＝0，那么r ＝32，故基圆的周长为3π.6．圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( ) A ．(－2,2π) B ．(－2，π) C ．(4,2π) D ．(－4,2π)答案 A解析 将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2×(－1＋π×0)，y ＝2×[0－π×(－1)]，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2π.二、填空题7．基圆直径为10，那么其渐开线的参数方程为__________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(cos φ＋φsin φ)，y ＝5(sin φ－φcos φ)(φ为参数)8．有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22mm ，那么齿廓所在的摆线的参数方程为__________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)解析 因为基圆直径为22 mm ， 所以基圆半径为11 mm ，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)．9．圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos t ＋t sin t )，y ＝6(sin t －t cos t )(t 为参数)，那么该渐开线的基圆的半径为________，参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是_______________________________________． 答案 6 (－3＋23π，33＋2π)解析 由参数方程，得基圆的半径rt ＝2π3代入参数方程，得⎩⎨⎧x ＝－3＋23π，y ＝33＋2π，即参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是(－3＋23π，33＋2π)． 10．圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，那么点P 的坐标为________． 答案 (π，2)解析 由题意知，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)．三、解答题11．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程． 解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系． 又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．12．圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，求此圆的摆线中，参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离．解 由圆的参数方程，得圆的半径r ＝3，那么其摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．把φ＝π2代入摆线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，故点A 与点B 之间的距离 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋3－3π22＋(2－3)2＝10.13．一个圆的平摆线方程是x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标． 解 由平摆线方程知，圆的半径为2，φ＝π时，y 有最大值4，平摆线具有周期性，周期为4π.∴平摆线上最高点的坐标为(2π＋4k π，4)(k ∈Z )． 四、探究与拓展14.如图，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线〞，其中弧CD ，弧DE ，弧EF …的圆心依次按A ，B ，C 循环，它们依次相连接，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π答案 C解析 ∵∠CAD ，∠DBE ，∠ECF 是等边三角形的外角， ∴∠CAD ＝∠DBE ＝∠ECF ＝120°. 又AC ＝1，∴BD ＝2，CE ＝3， ∴弧CD 的长＝13×2π×1，弧DE 的长＝13×2π×2，弧EF 的长＝13×2π×3，∴曲线CDEF 的长＝13×2π×1＋13×2π×2＋13×2π×3＝4π.15．渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标． 解 由渐开线方程可知，基圆的半径为6，那么圆的方程为x 2＋y 2＝36. 把横坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1， 对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．。
最新人教A版高中数学选修4-4导学案
1二中高二数学选修4-4导学案 编号：15-12-11-6031新课标人教A 版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案2 §4.1.1—第一课 平面直角坐标系3本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标4 法解决实际问题与几何问题. 5一、温故而知新61．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？7 89 2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹方程.1011 12 1314 二、 重点、难点都在这里15【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正16 北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点17 到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各18 观测点均在同一平面上.）（详解见课本）19 2021 22 23 24 2526课前小典型问22728 【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中29 线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.30 3132 33 34 3536 三、懂了，不等于会了374．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹.38 39 40 41 42 4344 5．求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标. 45 46 4748 49 5051 6．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 52是 .538．已知A （-3，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94，则 54技能训点M的轨迹方程是 .5556575859606162636465666768697071727374757677787980818283二中高二数学选修4-4导学案编号：84平面直角坐标系中的伸缩变换85【基础知识导学】861、坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
高中数学人教A版选修4-4《椭圆的参数方程》(第一课时)教学设计
《椭圆的参数方程》（第一课时）教学设计一、教学内容分析教科书通过推广前一节例4，得出椭圆的参数方程（与椭圆的标准方程相对应）．这个参数方程实际上是通过纯粹的代数和三角变换得到的，参数ϕ的几何意义并不明确．为此，教科书利用“思考”，引导学生类比圆的参数方程中参数的几何意义，探究椭圆参数方程中参数的几何意义．参数ϕ不是x轴正半轴沿逆时针方向旋转到OM的位置时所转过的角度(称为OM的旋转角)，这一点与圆的参数方程中的参数有着显著差异．离心角ϕ容易与点M和中心O连∠混淆．线的倾斜角xOM应当说，由学生独立获得椭圆参数方程中参数的几何意义是困难的，因此教科书采用了直接讲解的方法．二、学情分析学生是在学习了选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》、选修4-4《第一讲坐标系》2．平面直角坐标系中的伸缩变换与《第二讲参数方程》1．参数方程的概念、2．圆的参数方程等知识之后，自然而然地要研究椭圆的参数方程，而前面知识就作了相应的知识基础准备．其次，教学对象是我们学校高2013级的A层次的班级2班，学生的学习习惯较好，有较强的动手操作能力，有一定的自主学习基础与能力，也善于合作研究、讨论学习．这为学习新知提供了一定的能力基础．三、学习目标1．通过类比圆的参数方程，选择参数写出椭圆的参数方程，理解参数的几何意义．2．体会参数法的应用，能用椭圆参数方程解决一些简单问题，建立椭圆参数方程与代数变换、三角函数之间的联系．3．进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，从不同的角度认识椭圆的几何性质．四、教学重点和难点重点：根据问题的条件（椭圆的几何性质）引进适当的参数，写出椭圆的参数方程，体会参数的意义、椭圆参数方程的应用；难点：根据椭圆的几何性质选取恰当的参数，建立椭圆的参数方程以及椭圆的参数方程中参数的几何意义．1/ 72 / 7五、教学基本流程六、教学情景设计3/ 74/ 75/ 76/ 7（3）在椭圆中，还可以选取其它变量作为参数吗？请将你选取的参数与离心角作为参数进行比较．七、板书设计八、课后反思1．椭圆的参数方程一、1．圆的参数方程2．椭圆的参数方程参数的几何意义θM0rM(x, y)yxOMBAOyx三、课堂小结与作业布置三、应用举例[例]已知椭圆C的方程为22194x y+=．若2392z x y=+-，其中(),x y是椭圆C上的点．求z的最大值和最小值．xy23O7/ 7。
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二中高二数学选修4-4导学案 编号：15-12-11-603新课标人教A 版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案§4.1.1—第一课 平面直角坐标系本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.一、 温故而知新1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹方程.二、 重点、难点都在这里【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）（详解见课本）【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.三、 懂了，不等于会了4．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹.5．求直线0532=+-y x 与曲线xy 1=的交点坐标.6．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 是 .8．已知A （-3，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为94，则 点M 的轨迹方程是 .二中高二数学选修4-4导学案 编号：平面直角坐标系中的伸缩变换【基础知识导学】1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。
3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。
知识要点归纳】思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?坐标压缩变换：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来 1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ⎩⎨⎧==y y x x 3''通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。
思考3：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换⎩⎨⎧>=>=)0(,)0(,:''y y y x x μλλϕ的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换。
【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。
将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，分析：设变换为⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得42=-y x μλ，与22=-y x 比较，将其变成,442=-y x 比较系数得.4,1==μλ【解】(1)⎩⎨⎧='='yy xx 4，直线22=-y x 图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线42='-'y x 。
达标检测A1.求下列点经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 3'2'后的点的坐标：（1） （1，2）； （2） （-2，-1）A2．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy xx 3'21'后的点的坐标是（-2，6），则=x ，=y ； A3．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==yy x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x xA4．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .B6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧==y y xx 3'2'后的图形：（1）032=+y x ；（2）122=+y x .二中高二数学选修4-4导学案 编号：1.2.1极坐标系的的概念学习目标1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.学习过程一、学前准备情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 二、新课导学◆探究新知（预习教材P 8～P 10，找出疑惑之处）1、如右图，在平面内取一个 O ，叫做 ； 自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ）及其 （通常取方向），这样就建立了一个 。
2、设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的 ，记为 ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 ，记为 。
有序数对 叫做点M 的 ，记作 。
3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？ ___________________________________________. ◆应用示例例题1：(1)写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标)20,0(πθρ<≤>.（2）：思考下列问题，给出解答。
①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ ⑤本题点G 的极坐标统一表达式。
答：◆反馈练习在下面的极坐标系里描出下列各点),(θρM●ρθOx(3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,)3A B C D E F G ππππππ小结：在平面直角坐标系中，一个点对应 个坐标表示，一个直角坐标对应 个点。
极坐标系里的点的极坐标有 种表示，但每个极坐标只能对应 个点。
三、总结提升1．本节学习了哪些内容？答：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1．已知5,3M π⎛⎫⎪⎝⎭，下列所给出的能表示该点的坐标的是 A ．⎪⎭⎫⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．55,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭2、在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )A 、),(θρB 、),(θρ-C 、),(πθρ+D 、),(θπρ-3、设点P 对应的复数为-3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（ ） A.(23，π43) B. (π45) C. (3，π45) D. (3，π43) 4、（课本习题1.2第二题）二中高二数学选修4-4导学案 编号：1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化学习目标1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式。
2. 会实现极坐标和直角坐标之间的互化。
学习过程一、学前准备情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便。
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？二、新课导学◆探究新知（预习教材P 11～P 11，找出疑惑之处）直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：{θρθρsin cos ==y x { xy y x =+=θρtan 222说明：1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ<π2。
3、互化公式的三个前提条件（1）. 极点与直角坐标系的原点重合;（2）. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; （3）. 两种坐标系的单位长度相同. ◆应用示例例1．将点M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标。
（教材P 11例3） 解：例2．将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标（教材P 11例4） 解：◆反馈练习1．点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 2．点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈三、总结提升1．本节学习了哪些内容？答：极坐标和直角坐标之间的互化。
课后作业1.若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB|=___5____，ABO S ∆=_6_________。
（其中O 是极点）2.已知点的极坐标分别为)4,3(π，)32,2(π，)2,4(π，),23(π，求它们的直角坐标。
3.已知点的直角坐标分别)3,3(，)35,0(-，)0,27(，)32,2(--，为求它们的极坐标。
4.在极坐标系中，已知两点)3,3(π-A ，)32,1(πB ，求B A ,两点间的距离。
二中高二数学选修4-4导学案 编号：圆的极坐标方程本课提要：本节课的重点是掌握一些特殊位置下的圆（如过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程.一、 温故而知新1．圆122=+y x 的极坐标方程是 .2．曲线θρcos =的直角坐标方是 . 二 重点、难点都在这里【问题1】：求以点)0)(0,(>a a C 为圆心，a 为半径的圆C 的极坐标方程.3．求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程.4．求以)2,4(π为圆心，4为半径的圆的极坐标方程.【问题2】：已知圆心的极坐标为),(00θρM ，圆的半径为r ，求圆的极坐标方程.【问题3】：已知一个圆的极坐标方程是θθρsin 5cos 35-=，求圆心的极坐标与半径.三练习 5．在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：（1）圆心在)4,1(πA ，半径为1的圆；（2）圆心在)23,(πa ，半径为a 的圆.6．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）2=ρ；（2）θρcos 5=.7．求下列圆的圆心的极坐标：（1）θρsin 4=；（2）)4cos(2θπρ-=.8．求圆05)sin 3(cos 22=-+-θθρρ的圆心的极坐标与半径.四、试试你的身手呀9．设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是),4(π，则这个圆的极坐标方程是 .10．两圆θρcos 2=和θρsin 4=的圆心距是 .11．在圆心的极坐标为)0)(0,(>a a ，半径为a 的圆中，求过极点的弦的中点的轨迹.二中高二数学选修4-4导学案 编号：直线的极坐标方程本课提要：本节课的重点是掌握一些特殊位置下的直线（如过极点或垂直于极轴的直线）的极坐标方程.一、 温故而知新1．直线1=+y x 的极坐标方程是 . 2．曲线1cos =θρ的直角坐标方程是 . 二、典型例题【问题1】：求经过极点，从极轴到直线l 的夹角是4π的直线l 的极坐标方程. 练一练：3．经过极点，且倾斜角是6π的直线的极坐标方程是 . 4．直线)(43R ∈=ρπρ的直角坐标方程是 . 【问题2】：设点P 的极坐标为),(11θρ，直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程.三、技能训练 懂了，不等于会了5．在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程： （1）过极点，倾斜角是3π的直线；（2）过点)3,2(π，并且和极轴垂直的直线.6．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）2sin =θρ；（2）θρsin 2=. 7．求下列直线的倾斜角：（1）)(65R ∈=ρπθ；（2）1)4sin(=-πθρ.8．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，求点)47,2(πA 到这条直线的距离.四、变式训练试试你的身手呀9．过点）（42,π，且平行于极轴的直线的极坐标方程为 . 10．直线2cos =θρ关于直线4πθ=对称的直线的极坐标方程为________________六、课后作业11． 直线αθ=和直线1)sin(=-αθρ的位置关系是 ．12．在极坐标系中，点)3,4(πM 到直线4)sin cos 2(:=+θθρl 的距离=d .13．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线θρcos =于A 、B 两点，则=AB ．二中高二数学选修4-4导学案 编号：柱坐标系与球坐标系简介本课提要：本节课的重点是了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化.一、课前小测 温故而知新 1．如何确定一个圆柱侧面上的点的位置？ 2．如何确定一个球面上的点的位置？ 二、典型例题 重点、难点都在这里【问题1】：（1）点A 的柱坐标是)7,6,2(π，则它的直角坐标是 ； （2）点B 的直角坐标是)4,3,1(，则它的柱坐标是 .3．点P 的柱坐标是)2,3,4(-π，则它的直角坐标是 .4．点Q 的直角坐标是)2,3,1(-，则它的柱坐标是 .【问题2】：（1）点A 的球坐标是)4,4,2(ππ，则它的直角坐标是 ； （2）点B 的直角坐标是)222,2(，-，则它的球坐标是 . 【问题3】：建立适当的球坐标系，表示棱长为2的正方体的顶点.三、 懂了，不等于会了5．将下列各点的柱坐标化为直角坐标：)3,32,4(),1,6,2(-ππQ P .6．将下列各点的球坐标化为直角坐标：)23,,5(),35,2,4(ππππB A .7．将下列各点的直角坐标化为球坐标：)24,0,24(),6,1,1(--N M .8．建立适当的柱坐标系与球坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点.四、 试试你的身手呀9．设M 的球坐标为)45,4,2(ππ，则它的柱坐标为 .10．在球坐标系中， )4,6,3(ππP 与)43,6,3(ππQ 两点间的距离是 .11．球坐标满足方程3=r 的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程.12．点A 的柱坐标是)4,6,2(-，则它的直角坐标是 .13．点M 的球坐标是)65,3,8(ππ，则它的直角坐标是 .二中高二数学选修4-4导学案1.1.1参数方程的概念学习目标1．通过分析抛射物体运动中时间与物体位置的关系，了解一般曲线的参数方程，体会参数的意义 学习过程一、学前准备复习：在直角坐标系中求曲线的方程的步骤是什么？二、新课导学◆探究新知（预习教材P 21～P 22，找出疑惑之处）问题1：由物理知识可知，物资投出机舱后，它的运动是下列两种运动的合成：问题2：由方程组210015002x t y g t =⎧⎪⎨=-⎪⎩，其中是g 重力加速度（29.8/g m s =） 可知，在 t 的取值范围内，给定 t 的一个值，由方程组可以 确定,x y 的值。