线面垂直习题精选

线面垂直的证明中的找线技巧

◆

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -

中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面MBD ．

证明：连结MO ，1A M

，∵DB ⊥

1A A ，DB ⊥AC ，1A A

AC A =，

∴DB ⊥平面

11A ACC ，而1

AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O ． 设正方体棱长为a ，则22132A O a =，2

234MO a =．

在Rt △11A C M 中，2

21

94

A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1AO OM ⊥． ∵OM

∩DB =O ，∴ 1A O ⊥平面MBD ．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． ◆

利用面面垂直寻求线面垂直

2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．

证明：在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D ．

因为平面PAC ⊥平面PBC ，且两平面交于PC ，

AD ⊂平面PAC ，且AD ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PBC ． 又∵BC ⊂平面PBC ，

∴AD ⊥BC ．

∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC ． ∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．

（另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PAC ）．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直−−−→←−−−判定性质

线面垂直−−−→←−−−

判定性质

面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明

问题．下面举例说明．

3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过

A 且垂直于SC 的平面分别交S

B S

C S

D ，，于

E

F

G ，，．求证：AE SB ⊥，

AG SD ⊥．

证明：∵SA ⊥平面ABCD ，

∴SA BC ⊥．∵AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SBC ．∴AE SB ⊥．同理可证AG SD ⊥．

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，

作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵AC

BC =，∴CF AB ⊥．

∵AD BD =，∴DF AB ⊥．

又CF DF F =，∴AB ⊥平面CDF ． ∵CD ⊂平面CDF ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =， ∴CD ⊥平面ABE ，CD AH ⊥．

∵AH CD ⊥，AH BE ⊥，CD BE E =，

∴ AH ⊥平面BCD ．

评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA⊥平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴AC BC

⊥．

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA BC

⊥．∴BC⊥平面APC．

∵BC⊂平面PBC，

∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，

∴AE⊥平面PBC．

∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD

A

D

B O

C

证明：过A作AO⊥平面BCD于O

AB CD CD BO

⊥∴⊥

，

同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心于是BD CO BD AC

⊥⇒⊥

7. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

D1C1

A1B1

D C

A B

证明：连结AC

BD AC

⊥

AC为A1C在平面AC上的射影

∴⊥

⊥⎫

⎬

⎭

⇒⊥

BD A C

A C BC A C BC D

1

1111

同理可证

平面

8. 如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN AB

⊥

P

N

D C

A B

M

. 证：取PD中点E，则EN DC

//1

2