数值计算方法复习题9

习题九

1. 取步长h = 0.1，分别用欧拉法与改进的欧拉法解下列初值问题

（1）；（2）

准确解：（1）；（2）；

欧拉法：，，，

改进的欧拉法：，，，

2. 用四阶标准龙格—库塔法解第1题中的初值问题，比较各法解的精度。，，，

3. 用欧拉法计算下列积分在点处的近似值。

0.5000,1.1420,2.5011,7.2450

4. 求下列差分格式局部截断误差的首项，并指出其阶数。

（1），2

（2），3；

（3），4

（4），4

5.用Euler法解初值问题取步长h=0.1，计算到x=0.3(保留到小数点后4位).

解: 直接将Eulerr法应用于本题，得到

由于，直接代入计算，得到

6.用改进Euler法和梯形法解初值问题取步长

h=0.1,计算到x=0.5，并与准确解相比较.

解：用改进Euler法求解公式，得

计算结果见下表

用梯形法求解公式，得

解得

精确解为

7.证明中点公式(7.3.9)是二阶的，并求其局部截断误差主项.

证明根据局部截断误差定义，得

将右端Taylor展开，得

故方法是二阶的，且局部截断误差主项是上式右端含h3的项。

8.用四阶R-K方法求解初值问题取步长

h=0.2.

解直接用四阶R－K方法

其中

计算结果如表所示：

9.对于初值问题

解因f'(y)=-100，故由绝对稳定区间要求(1)用Euler法解时，

(2)用梯形法解时，绝对稳定区间为，由因f 对y是线性的，故不用迭代，对h仍无限制。(3)用四阶R-K方法时，

10. (1) 用Euler法求解，步长h应取在什么范围内计算才稳定?(2) 若用梯形法求解，对步长h有无限制? (3) 若用四阶R-K方法求解，步长h如何选取?

解：用四阶显式Adams公式先要算出，而，其余3点可用四阶R-K方法计算。由，得

由计算得

再由四步四阶Adams显式方法得

11.用四步四阶的Adams显式方法

求解初值问题取h=0.1.(1)用形如

的线性二步法解

(2)试确定参数，使方法具有尽可能高的阶数，并求出局部截断误差主项.

解本题仍利用局部截断误差的Taylor展开，

要确定参数，可令

解得而方法得局部截断

故所求方法是二阶方法，局部截断误差主项为