微分方程数值解(学生复习题)
数值分析复习题(下)
线性代数方程组直接法题1.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----710413221232321x x x 程组用直接三角分解法解方2.21,,4321A A A A ∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=，求设 3.用顺序高斯消去法解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛565331743532321x x x4.用列主元高斯消去法解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20111.0310********x x x5.用直接三角分解法解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7173530103421101002014321x x x x6.用追赶法求解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x7.试用平方根法解下列对称正定方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--103422484548416321x x x8.用高斯-若当消去法求下列矩阵的逆⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=112221111A作业1.用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中A=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------2100012100012100012100012,b=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00001 作业2.用改进的平方根法解方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---654131*********x x x 作业3.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3.01.05.06.0,计算21A A A ，，∞ 作业4.设A 为非奇异矩阵，求证：∞∞≠∞-=yAy Ay 01min1作业5.下述矩阵能否分解为LU （其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么分解是否是唯一？⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=461561552621,133122111,764142321C B A解线性方程组的迭代法1.设方程组Ax=b,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=122111221A ，试讨论解此方程组的J 法和GS 法的收敛性。
《微分方程数值解法》复习、练习题
《微分方程数值解法》复习、练习题第一章复习题1、建立差分格式的三个主要步骤（三个离散化）。
2、差分格式的相容性、收敛性概念。
3、Poisson 方程的5点菱形差分格式，矩形、非矩形区域情形边界条件的处理（离散化）。
4、对长方形区域作正方形网格剖分，求解Poisson方程边值问题的五点菱形差分格式，按什么顺序对节点编号，可使差分方程带宽更窄？（按短方向排）5、差分方程有哪些共同特性，求解选用哪类方法？（大型稀疏，带状，主对角占优等，一般采用迭代法）多重网格等略。
6、极值原理。
7、5点菱形差分格式求解Poisson 方程第一边值问题的收敛性。
第一章练习题1、设有边值问题取h=0.1的正方形网格。
（1）用5点菱形格式在内点建立差分格式；（2）用截断误差为的方法离散化第三边界条件（有两种方式）；（3）写出整理后的差分方程的矩阵形式2、定义方形算子如下：试讨论5点方形差分方程逼近微分方程的截断误差是几阶？3、设有，取h=1/3，列出5点方形差分格式所得的差分方程。
第二章复习题1、差分格式稳定性与收敛性的定义。
2、有关求特征值的几个结论。
3、判断稳定性的矩阵法和Fourier分析法（Von-Neumann条件）的应用。
4、显隐格式在一般情况下的优缺点。
5、熟悉古典显、隐格式，六点对称隐格式（C-N格式）。
6、叙述Lax等价定理。
7、高维抛物型方程的ADI格式的优点。
8、了解非线性方程差分格式的建立，讨论稳定性的冻结系数法。
第二章练习题1、设有求解抛物型方程组的初值问题的差分格式试写出用Fourier分析法讨论稳定性时的增长矩阵。
2、对上题考虑另一个差分格式试讨论该格式的稳定性。
3、对抛物型方程，考虑著名的Du Fort-Frankel（1953）格式(1)推导该格式是否满足稳定性的Von-Neumann条件？(2)该格式与Richardson格式有什么关系？4、讨论求解的古典显格式的稳定性。
5、写出逼近的古典显格式。
【复习题】数值分析复习题及答案65177
【关键字】复习题数值分析复习题一、选择题1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和42. 已知求积公式，则＝（）A． B．C．D．3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（）A．＝0，B．＝0，C．＝1，D．＝1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。
A．超线性B．平方C．线性D．三次5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）.A．B．C． D．二、填空1. 设，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商，则二阶差商3. 设, 则，。
4．求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5．解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝。
7、设，则和。
8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。
10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。
11. 设, 则， .12. 一阶均差13. 已知时，科茨系数，那么14. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。
15. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.16.设是真值的近似值，则有位有效数字。
17. 对, 差商( )。
18. 设, 则。
19.牛顿—柯特斯求积公式的系数和。
20. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.21. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则( ).22. 设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ).23. 迭代公式收敛的充要条件是。
24. 解线性方程组Ax=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。
25、数值计算中主要研究的误差有和。
26、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则；。
微分方程数值解习题(李立康)
常微分方程习题 《李立康》习题1.用Euler 方法求初值问题⎩⎨⎧=-='0)0(21u tuu 在1=t 时的近似解（取41=h ）。
2.初值问题1300u u u()⎧⎪'=⎨⎪=⎩ 有解3223/u(t )t ⎛⎫= ⎪⎝⎭。
但若用Euler 方法求解，对一切N T ,和HTh =,都只能得到N t u t , (2)1,0==，试解释此现象产生的原因。
3.用Euler 方法计算⎩⎨⎧=='1)0(u uu 在1=t 处的值，取161和41=h ，将计算结果与精确值e =）1（u 相比较。
4.设),(u t f 满足定理2.1的条件，对改进Euler 法（2.10）式证明： （1）其局部截断误差为)()(1243h O t u h -'''-；（2）当1<hL 时，其整体截断误差满足：)1(22--≤Lt n lT m e hLRe εε （3）方法具有二阶收敛速度且稳定。
5.导出用改进Euler 法求解⎩⎨⎧=='1)0(u uu 计算公式mmh h u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=22 取41=h 计算)1(u 的近似值，并与习题3的结果比较。
6.就初值问题⎩⎨⎧=+='0)0(u bat u 分别导出用Euler 方法和改进Euler 法求近似解的表达式，并与真解bt t au +=22相比较。
7.证明改进Euler 法的绝对稳定区域是整个左半平面0)Re(<h 。
8.对初值问题⎩⎨⎧=-='1)0(2u u u 用41=h 的Euler 方法求解，求出实际计算值t u 与真解tu +=11在)1(u 处的误差，并将它与定理2.3的估计式（2.22）式相比较。
9.证明：Runge-Kutta 方法中);,(h u t ϕ关于u 或t 满足Lipschitz 条件的充分条件是),(u t f 关于t 或u 满足Lipschitz 条件。
微分方程数值解法(戴嘉尊_第二版)习题讲解
电子文档制作：成都信息工程学院数学学院杨韧吴世良，2010年4月
第二章抛物型方程的差分方法..............................................................8
第三章椭圆型方程的差分方法............................................................16
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微分方程数值解
习题解答Байду номын сангаас
杨韧吴世良(编)
成都信息工程学院
数学学院
二O一O年四月编写
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第一章常微分方程数值解......................................................................3
偏微分方程数值解期末试题及参考答案
《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
微分方程数值解法答案
微分⽅程数值解法答案包括基本概念，差分格式的构造、截断误差和稳定性，这些内容是贯穿整个教材的主线。
解答问题关键在过程，能够显⽰出你已经掌握了书上的内容，知道了解题⽅法。
这次考试题⽬的类型：20分的选择题，主要是基本概念的理解，后⾯有五个⼤题，包括差分格式的构造、截断误差和稳定性。
习题⼀1．略2． y y x f -=),(，梯形公式：n n n n n n y hh y y y h y y )121(),(2111+-+=+-=+++，所以0122)1(01])121[()121()121(y hh y h h y h h y hhn h h n n n +--+--+-+=+-+==+-+= ，当0→h 时，x n e y -→。
同理可以证明预报-校正法收敛到微分⽅程的解.3．局部截断误差的推导同欧拉公式;整体截断误差:++++++-++≤1),())(,(11111n nx x n n n n n n n dx y x f x y x f R εε11)(++-++≤n n n y x y Lh R ε，这⾥R R n ≤ ⽽111)(+++-=n n n y x y ε，所以 R Lh n n +=-+εε1)1(，不妨设1()]11111[1111101---++-+-+-≤≤-+-=n n n n Lh Lh Lh R Lh Lh R Lh εεε ]1[2)(02)(00-+≤--x X L x X L eLh R eε4．中点公式的局部截断误差： dx x y x f hx y h x f x y x f yx y n n x x n n n n n n))](,(2)(,2())(,([)(11*1?+++-=-++dx x y x f hx y h x f h x y h x f h x y x y dxx y x f hx y h x f hx y h x f h x y h x f x y x f n n n n x x n n n n n n n x x n n n n n n n n))](,(2)(,2())2(,2([)]2()([))](,(2)(,2())2(,2())2(,2())(,([11++-++++'-'=++-+++++-=??++所以上式为+--+''=?++dx hx x x y e n nx x n n n )2()(11θdx x y x f h x y h x f h x y h x f n n n n x x n n n n))](,(2)(,2())2(,2([1++-++?+ 3218)(LMh h x y Lh e n n ≤+''≤+?中点公式的整体截断误差：dx y x f hy h x f x y x f y x y y x y n n x x n n n n n n n n)],(2,2())(,([)()(111?+++-+-=-++dxy x f hy h x f x y x f h x y h x f x y x f hx y h x f x y x f y x y n n n n n n n n x x n n n n n n n n))],(2,2()))(,(2)(,2()))(,(2)(,2())(,([)(1++-+++++-+-=?+因⽽n n n L h Lh R εεε)21(1+++≤+，R L h Lh n n +++≤-122)21(εε≤≤])21()21(1[2)21(1222222022-+++++++--+++n nL h Lh L h Lh Lh Lh RL h Lh ε )1(00-+≤--x X L x X L e LhR eε 5．略 6．略 7．略8．（1）欧拉法：2.0≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：278.0≤h （2）欧拉法：3 54≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：3556.5≤h（3）欧拉法：1≤h ；四阶Runge-Kutta ⽅法：278.0≤h 9．略 10．略习题21．略 2．略 3．略4．差分格式写成矩阵形式为：n n M n M n n n M n M n n e u u u u r t r r r t r r r t r r r t u u u u +?--------= --+-+-++12211221121212121 αβαααβαααβαααβ矩阵的特征值为：)cos(221Mj r r t j πααβλ+-?-=，要使格式稳定，则特征值须满⾜t c j ?+≤1λ，即21≤r α5．利⽤泰勒展式可以得到古典隐式差分格式的截断误差为)(2h t O +?。
微分方程数值解(学生复习题)
一．填空1.Euler 法的一般递推公式为，整体误差为 ，局部截断误差为：.，改进Euler 的一般递推公式 整体误差为，局部截断误差为：。
2.线性多步法绝对稳定的充要条件是。
3.当，则单步法1(,,)0,1,2,,n n n n Tu u h t u h n hϕ+=+=，稳定。
4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在。
5. 若，则多步法是相容的。
6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是。
7.刚性方程是：8．Runge-Kutta 法的特征值为 ，相容的充要条件为：8.二阶常微分方程边值问题：22,(), ()d uLu qu f a x bdxu a u b αβ⎧=-+=<<⎪⎨⎪==⎩ 的中心差分格式为：P i 的四个相邻点均属于h G ，则称P i 为。
10.逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为。
逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为。
12.SOR 收敛当且仅当松弛因子0,2ω∈（），且Jacobi 迭代收敛。
最佳松弛因子是。
二．判断τ和空间步长h 无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。
2.单参数的PR 迭代格式的收敛速度与SOR 最佳超松弛法的收敛速度同阶。
3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。
4、一级Runge-Kutta 法的绝对稳定域（-2，0）5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。
6、Euler 法非A 稳定。
7．对任意网比0r >，六点对称格式的解有收敛阶22()O h τ+ 8.对任意网比12r ≤，向前差分格式的解有收敛阶2()O h τ+。
9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。
三．选择1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（）A 绝对稳定B 无条件稳定C 条件稳定D 非条件稳定 2.von Neumann 条件是差分格式稳定的（）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既非充分也非必要条件 3．实系数二次方程20b c λλ--=的根按模小于或者等于1的充要条件是（） A 12b c ≤-≤ B 1+2b c ≤≤ C 12c b ≤-≤ D 12c b ≤+≤ 4.若线性多步法A 稳定，则有（ ），其中1,2,,i i k λ=（）为()()0h ρλσλ-=的根。
数值分析复习题
数值分析复习题⼀、填空1.近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2.设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的⽜顿迭代格式为 .3.对f(x)=x 3+3x 2-x+5,差商f[0,1,2,3,4]= .4.⽅阵A 的谱半径是指 .5.求积分?ba dx x f )(的近似值，其⾟⼘⽣公式为 .⼆、已知观测数据（1，-5），（2，0），（4，5），（5，6），试⽤最⼩⼆乘法求形如xb ax x +=)(?的经验公式。
（10分）三、求⼀个次数不⾼于4的多项式p 4(x)，满⾜下列插值条件 x 0 1 2f(x) 0 1 1)(x f '0 1四、写出计算线性⽅程组=+-=+-=+-272135223121321x x x x x x x 的⾼斯⼀赛德尔迭代格式，并分析此格式的敛散性.五、⽤预估⼀校正法求初值问题=≤≤-='1)0(102y x y x y y在x=0.2处的数值解，步长取h=0.1。
（要求保留⼩数点后4位）六、把区间分成两等份，⽤复化⾟⼘⽣公式计算dxx+1七、在求⾮线性f(x)=0根的近似值时，论证简单迭代法⼀般为线性收敛，⽽⽜顿迭代法为平⽅收敛.⼀填空1．近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有位有效数字.2．设643()35f x x x x =-+-，则差商[0,1,2,3,4,5,6]f = 3．求积分()ba f x dx ?的近似值，其复化梯形公式为4．5点⾼斯求积公式，其代数精度为5．设f(x)可微，则求⽅程x 2=f(x)根的近似值的⽜顿迭代格式为 6．利⽤⼆分法求()0f x =在[,]a b 上根的近似值，误差限为 7．⽅阵A 的谱半径是指 8．矩阵A 的条件数是指 9．能⽤⾼斯消元法求解A x b =的充要条件是 10．设215314278A -??=，则1||||A = ⼆给定线性⽅程组1231232231242122316x x x x x x x x x -++=??-++=??++=? 1. ⽤列主元消元法求解所给线性⽅程组。
微分方程数值解问题复习题
dy = λ y 运用这些格式。作为课程设计问题之一，具体的步 dx
骤已经在上课的时候讲过，请自己写上。例如，对于经典四级四阶 Runge-Kutta 格式，我们如此求其绝对稳定区域。 经典四级四阶 Runge-Kutta 格式为
1 ⎧ ⎪ yn +1 = yn + 6 h( K1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 ) ⎪ ⎪ K1 = f ( xn , yn ) ⎪ 1 1 ⎪ ⎨ K 2 = f ( xn + h, yn + hK1 ) 2 2 ⎪ 1 1 ⎪ ⎪ K 3 = f ( xn + 2 h, yn + 2 hK 2 ) ⎪ ⎪ ⎩ K 4 = f ( xn + h, yn + hK 3 )
3
⎧ ⎧ ⎪1 − c1 − c2 = 0 ⎪c1 + c2 = 1 ⎪ ⎪ 1 ⎪1 ⎪ 3 根据 en +1 = O(h ) ，必须 ⎨ − a2 c2 = 0 ，也就是 ⎨a2 c2 = 。 2 ⎪2 ⎪ 1 ⎪1 ⎪ − c2b21 = 0 b21c2 = ⎪ ⎪ ⎩2 2 ⎩
1 令 c1 = c2 = , a2 = b21 = 1 ，就得到了预报-校正格式： 2 1 ⎧ ⎪ yn +1 = yn + 2 h( K1 + K 2 ) ⎪ ⎨ K1 = f ( xn , yn ) ⎪ K = f ( x + h, y + hK ) n n 1 ⎪ 2 ⎩ 6.求二级二阶，三级三阶，四级四阶 Runge-Kutta 格式的绝对稳定区域。(分别选
⎛t ⎞ ⎛ t ⎞ t (t − 1) ⋅⋅⋅ (t − j + 1) ⎛t ⎞ ，特别地， ⎜ ⎟ = 1 ， ⎜ ⎟ = t 。 ⎜ ⎟= j! ⎝0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ j⎠ a j = (−1) j ∫ −t (−t − 1) ⋅⋅⋅ (−t − j + 1) 1 1 dt = ∫ t (t + 1) ⋅⋅⋅ (t + j − 1)dt 0 j! j! 0
第六章_常微分方程初值问题的数值解法_习题课
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) ， y ( x n 1 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ，对 y ( x n 1 ) 也在 x n 处作 Talor 展开， y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 h h h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 2 2 12 h3 y ( x n ) O(h 4 ) O(h 3 ) 12 h3 所以，梯形公式是 2 阶方法，其截断误差的主项是 y ( x n ) 。 12 y ( x n ) hy ( x n )
y k (0.9 0.1y k sin x k ) 0.1( y k 1 y k 1 sin x k 1 )
2
当 k=0，x0=1, y0=1 时，x1=1.2，有 y y (. . y sin x ) (. sin ) .
y f ( x, y ) 3.求解初值问题 欧拉法的局部截断误差是( y ( x ) y 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( ). (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
4. 改进欧拉法的平均形式公式是( ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (B) y c y k hf ( x k , y p ) .(A) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c ) y k ( y p y c ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (C) y c y k hf ( x k , y p ) (D) y c y k hf ( x k , y p ) y k h ( y p y c ) y k ( y p y c ) (D) 答案：
微分方程数值解法(戴嘉尊)习题解答
+
R Lh
(eL( X
− x0 )
−1)
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11、解：令 f(x,y)=-y+x+1
y y y x y x y x = + h(− + +1) = (1− h) + h( +1) = 0.9 + + 0.1
0.0988*1.0e-3
0.9
0.4973
0.4972
0.0640*1.0e-3
1
0.5002
0.5000
0.1773*1.0e-3
2．解：显然， y = e−x 是原初值问题的准确解。 由梯形公式得
整理可得: 于是：
yn+1
=
yn
+
h 2
[
f
(
xn
,
yn
)
+
f
(xn+1, yn+1)]
=
yn
+
h 2
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微分方程数值解 习题解答
杨韧 吴世良(编)
成都信息工程学院 数学学院
二 O 一 O 年四月编写
电子文档制作：成都信息工程学院 数学学院 杨韧 吴世良，2010 年 4 月
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第一章 常微分方程数值解 ......................................................................3 第二章 抛物型方程的差分方法 ..............................................................8 第三章 椭圆型方程的差分方法 ............................................................16 第四章 双曲型方程的差分方法 ............................................................25
数值分析复习题
一、判断题1. 区间[a,b]上，若f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。
2. 22/7作为π=3.1415926……近似值，它有3位有效数字。
3. 设P(x)和Q(x)都是n 次多项式，如果在n +1 个不同的节点x i 上都有P(x i )＝Q(x i )，则P(x)≡Q(x) 。
4. 取节点01231, 0, 2 ,4x x x x =-===作2()f x x =的插值多项式()p x ，则()p x 次数为2，插值基函数的次数为3。
5. 插值多项式严格通过所有的节点(x i ，y i )。
6. 若k<=n ，P(x)和Q(x)分别是 x k的通过n +1 个不同的节点的牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式则P(x)≡Q(x)≡x k。
7. 插值多项式次数越高，逼近效果越好。
8. 任何一组互异数据，逼近它们的多项式插值函数仅有一个。
9. 插值多项式次数与拟合曲线都严格通过所给定的数据点。
10. 求积公式：⎰30)(dx x f ≈。
f f f f 是插值型的)]3()2(3)1(3)0([83+++11. 牛顿-科特斯求积公式中的求积节点是等分的。
12. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的单根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
13. 高斯型求积公式是插值型的。
14. 一阶亚当姆斯格式是单步法。
15. 显式的亚当姆斯公式：+-=+-()n n n n h y y f f 1132是单步法。
16. 求初值问题数值解的四阶亚当姆斯公式是多步法。
17. 如果有一常微分方程数值解法的局部截断误差3111()()n n n T y x y O h +++=-=，则该方法是3阶的。
18. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，如其迭代过程()1k k x x ϕ+=发散，则方程()0f x = 的无解。
19. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
数值分析复习题答案
数值分析复习题一、填空Chapterl 绪论近似数x*=0.4231关于真值x=0.4229有3 位有效数字.用1000.1近似真值1000时，其有效数字有4 位，已知准确值X*与其有t位有效数字的近似值兀=°“冬…6 xlO' （q H 0）的绝对误差为|x*-x| <^-xlO J_/设F = 2.40315是真值x = 2.40194的近似值，则F有3位有效数字。
J_xl0-4 = -xl0-4设一近似数x*=2.5231具有5位有效数字，则其相对误差限是2x2 4,其-xlO-4绝对误差限是2 oyJx+l — \/x = / --- 7=当X很大时，为防止损失有效数字，应该使V A +1+V.VChapter2插值方法设几丫) = 3十 + 6〒一5亍+ 1,则亢—3,-2,- 1,0丄2,3]= 3。
若f(x) = 2x4+x~ ・3,则f[l,2,3,4,5,6] = °对f(x)=x3+3x2-x+5 商f[0J ,2,3,4]= 0 .设/⑴二十一3疋+疋一5,则差商/[0丄2,3,4,5,6]= }已知尸f（x）的均差 /[ v o^2，x i] = 5 , /[兀，兀入]=9,幷x4, x3, x2]=14, ffxO, x3, x2]=8，.那么均差f{x4, x2, x0]= 9 o （交换不变性）x -1 1 2设有数据，° 3 2则其2次Laiange插值多项式为-3 2——（x + l）（x 一2） + —（x+l）（x -1）2 3 , 2次拟合多项式为（最佳平方逼近可求）。
？？？以n + 1个整数点k （k =0JZ…，n）为节点的Lagrange插值基函数为y则有拉格朗口插值公式: (k=0丄2,…则k・o ??（注：(x) = ^y k l k (x) k-0科特斯公式满足)？ ？i3 11f(x)dx = -f(-) + -f(l)姒诅卒协公八'434的代数精度为：2次代数精度° (依次将函数l,x,x',…代入验证是否满足，可得代数精度)「f\x)clx Q 丄［2/(丄)-/(-) + 2/(-)］ 求积公式3 4 24」的代数精度为：3次代数精度。
最新偏微分方程数值解试题参考答案
偏微分方程数值解一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使)(min )(0x J x J n Rx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax = 解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)()(),,(|{11==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u ∈,使)(m in )(10*u J u J H u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
(完整版)微分方程试题及部分应用题答案整理版
第十章 微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、 微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、 微分方程0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、 微分方程0d d d d 22=++s x sx s 的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0d d =+y x y的通解是 .1-7-46、方程y e y x='的通解是 . 1-8-47、 方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程xy x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为21221,(C C e C e C y xx +=为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y -=2'满足条件00==x y 的特解是 .1-19-59、方程0dy 1dx 2=-+x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'=的通解是1-21-61、 方程x y xy x y x y d d d d 22=+化为齐次方程是1-22-62、 若t y ωcos =是微分方程09''=+y y 的解, 则=ω .1-23-63、若ktCe Q =满足Qdt dQ03.0-=, 则=k .1-24-64、y y 2'=的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x -1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、 圆222r y x =+满足的微分方程是1-27-67、 axae y =满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q y x P x =+的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221-==r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y =是微分方程y xy 2'=的 解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与 之和. 1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''=++qy py y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dx dy=的通解是 ( )A.2x y = B. 25x y = C. 2Cx y = D.Cx y =2-2-57、 微分方程0dy 1dx 2=-+x xy 的通解是 ( ) A.21x ey -= B.21x Cey -= C.x C y arcsin = D. 21x C y -=2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2=--x y x B. 0dy dx =-x y C. 0dy )(1dx )1(=-++xy y xy D.0dy dx )(22=++xy y x 2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( )A.x x e e 32,B.x x 2sin ,2cosC. x x x sin cos ,2sinD.2ln ,ln x x2-5-60、方程03'2''=--y y y 的通解是 ( )A.x x e C e C y 321--+=B. x x e C e C y 321+=C. x x e C e C y 321-+=D. x x e C e C y 321+=-2-6-61、方程0''=+y y 的通解是 ( ) A.x C y sin = B.x C y cos = C.x C x y cos sin += D.x C x C y cos sin 21+=2-7-62、 下列方程中是可分离变量的方程是 ( )A. xy y x -=33dx dyB.0dy 2dx )3(2=++xy y e x C. 234dx dy xy y x += D.y x xy y 321dx dy ++= 2-8-63、 微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc =2-9-64、已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'=-y y 的通解是 ( )A.C x y +=2sinB.C e y x +=24C.x Ce y 2=D. xCe y =2-11-66、方程xy 2dx dy=的通解是 ( )A.C e x +2B.Cxe+2C. 2Cx eD. 2)(C x e +2-12-67、 xe y -=''的通解为=y ( )A.x e --B. xe - C. 21C x C ex++- D. 21C x C e x ++--2-13-68、微分方程xe 21dx dy -=满足10-==x y 的特解为 ( )A.1221+-=-x ey B. 3221-=-x ey C. C ey x +-=-212 D.212121--=-xe y2-14-69、微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.C y x =-2422B. C y x =+2422C. 02422=-y xD. 12422=+y x2-15-70、 微分方程0ydy -dx 3=x 的通解是 ( )A.222=+y xB. 933=+y xC. 133=+y x D. 13333=+y x2-16-71、 过点,0()2-的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32-=x yB. 52+=x yC.53-=x e yD.5-=x Ce y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy =化为可分离变量的方程, 应作变换 ( ) A. 2ux y = B. 22x u y = C. ux y = D.33x u y =2-18-73、 设方程)()('x Q y x P y =+有两个不同的解21,y y ,若21y y βα+也是方程的解,则( )A.βα=B. 0=+βαC. 1=+βαD. βα,为任意常数2-19-74、 方程dx 2dx dy y x x =+的通解是 ( )A.x Cx y +=2B. x x C y +=2sinC. C x y +=2cosD.C x y +=22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.x y xy =+2' B .x xy y sin '=+ C .x yy =' D .xy y -=2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y x y -=' B. y x y =' C. x y y -=' D. x y y ='2-22-77、方程2)3(,0'==+y y y 的解是 ( )A.x e y -=32B. x e y --=32C. 32-=x e yD. 32--=x e y2-23-78、 微分方程x y y ln '=的通解是 ( )A.x x e y ln =B. x x Ce y ln =C. x x x e y -=lnD. x x x Ce y -=ln2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''=的解 ( )A. x e y 22=B. x e y 2=C. x e y 2-=D. x e y 2=2-25-80、方程0sin '''653)4(=-+++y y y y x xy y 的阶是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2-，则这条曲线是( )A. 椭圆B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A. xy y x dx dy-=33 B.02)3(2=++xydy dx y e x C. xy yx dx dy += D.y x xy y dx dy 321++= 2-28-83、微分方程0cot '=-x y y 的通解是 ( ) A. x C y cos = B. x C y sin = C. x C y tan = D. x C y csc = 2-29-84、 已知微分方程0''=+-p y y 的通解为)(212x C C e y x +=,则p 的值( )A. 1B. 0C. 21D. 41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22=+y x y x y x 3-2-53、 0ln '=-y y xy3-3-54、0d sec )2(d tan 32=-+y y e x y e x x 3-4-55、y x y y x x y 22222')1(=-+- 3-5-56、 y xe y e x dx dy +-=- 3-6-57、 0)1()1(=-++xdy y ydx x3-7-58、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-8-59、0)0(,02')1(22==+-y xy y x 3-9-60、 1)(,ln 2'==e y x y y3-10-61、 x x y y y x d sin cos d sin cos =,4|0π==x y3-11-62、 0y)dx -(x dy )(=++y x3-12-63、 )ln (ln dx d x y y yx-=3-13-64、0)2(22=+-dy x dx xy y 3-14-65、x yx y xy tan'=-3-15-66、x yx y x y xy ++=-ln)('3-16-67、dx dy xy dx dy x y =+223-17-68、x y y x y +=', 2|1==x y3-18-69、x y x y y +=', e y e x ==|3-19-70、2|,'122=-=-=x y y x y xy3-20-71、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-21-72、x e x y x y 43'=-3-22-73、 342'x xy y =-3-23-74、x y x y ln 11'=-3-24-75、x e y x x y x 21'=-+ 3-25-76、 x x y y sec tan '=-,|0==x y3-26-77、x x y x y sin 1'=+, 1|==πx y 3-27-78、22112'x y x xy +=+-, 0|0==x y3-28-79、x xy xy ln '=-, e y e x ==|3-29-80、 22d dyxxe xy x -+=3-30-81、)sin (cos d dy2x x y y x -=+ 3-31-82、5d dyxy y x =- 3-32-83、02d dy4=++xy xy x3-33-84、4)21(3131d dy y x y x -=+3-34-85、xy xy x 2d dy 2-= 3-35-86、x y y +='''3-36-87、01)'(''2=++y yy 3-37-88、01''3=+y y3-38-89、y y 3''=, 1|0==x y , 2|'0==x y3-39-90、223''yy =, 1|3==x y , 1|'3==x y3-40-91、02''=+y y 3-41-92、013'4''=++y y y 3-42-93、0'2''=+-y y y 3-43-94、04'5''=+-y y y 3-44-95、04'3''=--y y y ,|0==x y ,5|'0-==x y 3-45-96、029'4''=++y y y , 0|0==x y ,15|'0==x y3-46-97、0'4''4=++y y y , 2|0==x y , 0|'0==x y 3-47-98、0'4''4=++y y y ,2|0==x y ,|'0==x y 3-48-99、013'4''=+-y y y , 0|0==x y , 3|'0==x y3-49-100、04'4''=+-y y y ,|0==x y ,1|'0==x y3-50-101、xe y y y 2'''2=-+3-51-102、x e y y x cos ''+=+ 3-52-103、x e x y y y 3)1(9'6''+=+-3-53-104、'''22xy y y e --=3-54-105、123'2''+=--x y y y 3-55-106、''sin 20y y x ++=, 1|==πx y , 1|==πx y3-56-107、52'3''=+-y y y ,1|0==x y ,2|'0==x y3-57-108、xe y y y 29'10''=+-,76|0==x y ,733|'0==x y 3-58-109、xxe y y 4''=-, 0|0==x y , 1|'0==x y 3-59-110、xxe y y y 26'5''=+-四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知⎰--=+xx x y t t y t t 03231d )(12, 求函数)(x y4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x =2.4-4-14、试求x y =''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12+=xy 相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x ϕ满足⎰+=+xx t t t x x 01d sin )(2cos )(ϕϕ, 求)(x ϕ.4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22p Ep EQ-=, 最大需求量为1000=Q , 求需求函数)(p f Q =.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰,又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为L , 且AL <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31. 设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''=++y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w -==证明: )(x w 满足方程0)('=+w x p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x =+的3个相异特解,证明 1213y y y y --为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE E ωsin 0=, 在时刻0=t 时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E , ω为常数).解. 设)(t i i =, 由回路电压定律tE dt diLRi ωsin 0=+, 即t L E L R dt di ωsin 0=+∴⎰+⎰⎰=-]sin [)(0C dt te L E e t i t dt LR L Rω=⎰+-]sin [0C dt te L E ett L R LR ω=)cos sin (2220t L t R L R E Cet LR ωωωω-++-将|0==t i 代入通解得2220L R LE C ωω+=∴)cos sin ()(2220t L t R Le L R E t i t LR ωωωωω-++=-488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系 解：.物体重力为mg w =, 阻力为kv R -=, 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dt dv m-=,从而得线性方程g v m kdt dv =+, 0|0==t v∴ ⎰--+=+⎰⎰=t m kdt dt Ce g k m C dt ge e v km m k ][, 将0|0==t v 代入通解得 g k m C -=∴ )1(tm k e g k m v --=, 再积分得122C ge k m gt k m S t m k++=-,将0|0==t S 代入求得g k m C 221-=∴ )1(22-+=-t m ke g k m gt k m S489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y =, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x y t v y --=1'0, 又弧OP 的长度为⎰=-xtv dx y 0022'1,从以上两式消去tv 0得''121''')1(2y y y y x -+=--, 即2'121'')1(y y x +=-根据题意, 初始条件为0)0(=y , 0)0('=y令p y =', 原方程化为2121')1(p p x +=-, 它是可分离变量得方程,解得21)1(112--=++x C p p , 即21)1('1'12--=++x C y y 将0)0('=y 代入上式得11=C , 故21)1('1'2--=++x y y而21)1(''1'1'122--=-+=++x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y -+-=-积分得22321)1(31)1(C x x y +-+--=, 将0)0(=y 代入上式得322=C , 所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321+-+--=x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系 )(ddL L A k x -=，（其中0,0>>A k ）, 若不做广告, 即0=x 时纯利润为0L , 且A L <<00, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL-=,00|LL x ==, 解可分离变量得微分方程, 得通解 kx Ce A L -+=, 将00|L L x ==代入通解, 得A L C -=0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxe A L A x L --+=)()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy 的31.设0=t 时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:y S 101=, dt dy I ⋅=31, 解之得通解t Ce y 103=, 将5|0==t y 代入通解得5=C , 所以国民收入函数为te y 1035=492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型. 解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dt dp-=,0)0(pp =, 其中p 为0=t 时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kp r p f +-=),(, d cp p g +=)(, 则方程为)()(d b k p c k k dt dp-++=,0)0(pp =, 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为c k db ec kd b p t p t c k k +-++--=+-)(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(=-p g r p f , 即d p c b p k +=+-,则c k db p +-=, 从而价格函数p e p p t p c k k +-=+-)(0)()(,取极限: p t p t =∞→)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p =0 , 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于t c k k e c k k p p dt dp )(0)()(+-+-=, 所以当p p >0时, 0<dt dp, )(t p 单调下降向p靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。
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一．填空
1. Euler 法的一般递推公式为 ，整体误差为 ，局部截断误差为： .，改进Euler 的一般递推公式 整体误差为 ，局部截断误差为： 。
2. 线性多步法绝对稳定的充要条件是 。
3.当 ，则单步法1(,,)0,1,2,,n n n n T u u h t u h n h
ϕ+=+= ，稳定。
4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在 。
5. 若 ，则多步法是相容的。
6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是 。
7.刚性方程是：
8．Runge-Kutta 法的特征值为 ，
相容的充要条件为：
8.二阶常微分方程边值问题：22,(), ()d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ⎧=-+=<<⎪⎨⎪==⎩
的中心差分格式为：
9.若内点P i 的四个相邻点均属于h G ，则称P i 为 。
10.逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为 。
逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为 。
11.线性多步法A 稳定的充要条件是 。
12. SOR 收敛当且仅当松弛因子0,2ω∈（）
，且Jacobi 迭代收敛。
最佳松弛因子是 。
二．判断
1.当时间步长τ和空间步长h 无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。
2.单参数的PR 迭代格式的收敛速度与SOR 最佳超松弛法的收敛速度同阶。
3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。
4、一级Runge-Kutta 法的绝对稳定域（-2，0）
5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。
6、Euler 法非A 稳定。
7．对任意网比0r >，六点对称格式的解有收敛阶22()O h τ+
8. 对任意网比12
r ≤，向前差分格式的解有收敛阶2()O h τ+。
9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。
三．选择
1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（）
A 绝对稳定
B 无条件稳定
C 条件稳定
D 非条件稳定
2.von Neumann 条件是差分格式稳定的（）
A 充分条件
B 必要条件
C 充要条件
D 既非充分也非必要条件
3．实系数二次方程20b c λλ--=的根按模小于或者等于1的充要条件是（） A 12b c ≤-≤ B 1+2b c ≤≤ C 12c b ≤-≤ D 12c b ≤+≤
4.若线性多步法A 稳定，则有（ ），其中1,2,,i i k
λ= （）为()()0h ρλσλ-=的根。
A Re 01,1,2,,i h i k λ<⇒>= B 1Re 0i h λ≥⇒≥ C Re 01,1,2,,i h i k λ≤⇒≤= D 1Re 0i h λ<⇒<
5.一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在（）
A 下半平面
B 上半平面
C 左半平面
D 右半平面
6．线性多步法稳定的充要条件是（）
A 第一特征式()ρλ满足根条件
B 第一特征式()ρλ严格满足根条件
C ()()0h ρλσλ-=满足根条件
D ()()0h ρλσλ-=严格满足根条件
7. P 阶K 步法的局部截断误差的阶为（ ）
A p O h （）
B 1p O h +（）
C 1k O h +（）
D 1k O h +（）
8. 线性多步法绝对稳定的充要条件是（ ）
A 第一特征式()ρλ满足根条件
B 第一特征式()ρλ严格满足根条件
C ()()0h ρλσλ-=满足根条件
D ()()0h ρλσλ-=严格满足根条件
9.Euler 法的整体误差为( )
A O h （）
B 2O h （）
C 1O h -（）
D 1O （）
四．计算
1.试求差分方程初值问题：
21012320n n n u u u u u ++--=⎧⎨==⎩
的解。
2.已知显式方法
[]2110110n n n n n u u u h f f ααββ+++++=+
（1） 取1α为参数，确定001αββ，，，使方法至少是二阶的；
（2） 当1α取何值时，方法满足根条件；
3. k 步线性法：[]2
n k n n k n hk u u f f ++=++，证明其A 稳定。
4.证明11n n n u u hf ++=+对所有的(),0h ∈-∞都绝对稳定。
5.由待定系数法构造边值问题：
,()()0u f a x b u a u b ''=<<⎧⎨==⎩ 的中心差分格式。
6.求正三角网上的差分格式。
7.用有限体积法推导五点格式。
8.写出扩散方程22u u a t x
∂∂=∂∂的向前，向后差分方程（中心差分格式，用第n 层计算第n+1层），并把有限差分方程改写成便于计算的迭代格式（矩阵形式），2
a r h τ
=为网比。
9.计算差分格式()11-1n n n n j j j j u u r u u ++=--，（其中,0a r a h
τ=>）的增长因子，并根据von Neumann 条件给出差分格式稳定性条件。
10. 已知线性多步法：
212412+333
n n n n h u u u f +++-= 试求它的阶及误差常数。
11.计算向前，向后等差分格式的增长因子，并给出稳定性条件。
12. Adams 二步外插法：2113122n n n n u u h f f +++⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦
，试求其绝对稳定域。
五．证明题
1.将三层差分格式改写为改写成等价的二层差分格式，写出其增长矩阵，并由 von Neumann 条件证明该格式是否稳定。
其他例子关于证明差分格式稳定或者不稳定（参考书上的课后习题及例题）。
2. 求N 阶三角阵：
01101101C=10110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 或者111-111-11C=1-1111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
的特征值和特征向量，并证明矩阵是病态的。
3. 证明Euler 向后公式A 稳定：11n n n u u hf ++=+。
4. 证明：梯形公式：[]112n n n n h u u f f ++=+
+，证明其A 稳定。