微分方程数值解(学生复习题)

一．填空

1. Euler 法的一般递推公式为 ，整体误差为 ，局部截断误差为： .，改进Euler 的一般递推公式 整体误差为 ，局部截断误差为： 。

2. 线性多步法绝对稳定的充要条件是 。

3.当 ，则单步法1(,,)0,1,2,,n n n n T u u h t u h n h

ϕ+=+= ，稳定。 4. 一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在 。

5. 若 ，则多步法是相容的。

6．所有内点，界点的差分方程组成一个封闭的线性代数方程组，其系数矩阵是 。

7.刚性方程是：

8．Runge-Kutta 法的特征值为 ，

相容的充要条件为：

8.二阶常微分方程边值问题：22,(), ()d u Lu qu f a x b dx u a u b αβ⎧=-+=<<⎪⎨⎪==⎩

的中心差分格式为：

9.若内点P i 的四个相邻点均属于h G ，则称P i 为 。

10.逼近泊松方程的五点差分格式的截断误差的阶为 。逼近泊松方程的九点差分格式的截断误差的阶为 。

11.线性多步法A 稳定的充要条件是 。

12. SOR 收敛当且仅当松弛因子0,2ω∈（）

，且Jacobi 迭代收敛。最佳松弛因子是 。

二．判断

1.当时间步长τ和空间步长h 无限缩小时，差分格式的解是否逼近到微分方程问题的解，这就是差分格式的收敛性问题。

2.单参数的PR 迭代格式的收敛速度与SOR 最佳超松弛法的收敛速度同阶。

3、对称矩阵的普条件数与条件数相同。

4、一级Runge-Kutta 法的绝对稳定域（-2，0）

5、若差分方程满足相容条件，且按右端稳定，则差分解收敛至波动方程的解。

6、Euler 法非A 稳定。

7．对任意网比0r >，六点对称格式的解有收敛阶22()O h τ+

8. 对任意网比12

r ≤，向前差分格式的解有收敛阶2()O h τ+。 9、相容，稳定的多步法一定绝对稳定。

三．选择

1.抛物型方程的加权隐式差分格式的稳定性为（）

A 绝对稳定

B 无条件稳定

C 条件稳定

D 非条件稳定

2.von Neumann 条件是差分格式稳定的（）

A 充分条件

B 必要条件

C 充要条件

D 既非充分也非必要条件

3．实系数二次方程20b c λλ--=的根按模小于或者等于1的充要条件是（） A 12b c ≤-≤ B 1+2b c ≤≤ C 12c b ≤-≤ D 12c b ≤+≤

4.若线性多步法A 稳定，则有（ ），其中1,2,,i i k

λ= （）为()()0h ρλσλ-=的根。 A Re 01,1,2,,i h i k λ<⇒>= B 1Re 0i h λ≥⇒≥ C Re 01,1,2,,i h i k λ≤⇒≤= D 1Re 0i h λ<⇒<

5.一个相容，稳定的多步法若绝对稳定，则绝对稳定域在（）

A 下半平面

B 上半平面

C 左半平面

D 右半平面

6．线性多步法稳定的充要条件是（）

A 第一特征式()ρλ满足根条件

B 第一特征式()ρλ严格满足根条件

C ()()0h ρλσλ-=满足根条件

D ()()0h ρλσλ-=严格满足根条件

7. P 阶K 步法的局部截断误差的阶为（ ）

A p O h （）

B 1p O h +（）

C 1k O h +（）

D 1k O h +（）

8. 线性多步法绝对稳定的充要条件是（ ）

A 第一特征式()ρλ满足根条件

B 第一特征式()ρλ严格满足根条件

C ()()0h ρλσλ-=满足根条件

D ()()0h ρλσλ-=严格满足根条件

9.Euler 法的整体误差为( )

A O h （）

B 2O h （）

C 1O h -（）

D 1O （）

四．计算

1.试求差分方程初值问题：

21012320n n n u u u u u ++--=⎧⎨==⎩

的解。

2.已知显式方法

[]2110110n n n n n u u u h f f ααββ+++++=+

（1） 取1α为参数，确定001αββ，，，使方法至少是二阶的；

（2） 当1α取何值时，方法满足根条件；

3. k 步线性法：[]2

n k n n k n hk u u f f ++=++，证明其A 稳定。 4.证明11n n n u u hf ++=+对所有的(),0h ∈-∞都绝对稳定。

5.由待定系数法构造边值问题：

,()()0u f a x b u a u b ''=<<⎧⎨==⎩ 的中心差分格式。

6.求正三角网上的差分格式。

7.用有限体积法推导五点格式。

8.写出扩散方程22u u a t x

∂∂=∂∂的向前，向后差分方程（中心差分格式，用第n 层计算第n+1层），并把有限差分方程改写成便于计算的迭代格式（矩阵形式），2

a r h τ

=为网比。

9.计算差分格式()11-1n n n n j j j j u u r u u ++=--，（其中,0a r a h

τ=>）的增长因子，并根据von Neumann 条件给出差分格式稳定性条件。

10. 已知线性多步法：

212412+333

n n n n h u u u f +++-= 试求它的阶及误差常数。