天津市高一下学期期末数学试卷
天津市武清区2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析
天津市武清区2024届高一数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A ．B ．2C ．3D ．2．化简()1111232240,0a b a b a b ⎛⎫⎛⎫÷>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结果为（ ） A ．a B ．b C ．abD ．b a3．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）A ．34k ≥或 4k ≤- B ．34k ≥或 14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 4．若平面α∥平面β，直线l ⊂平面α，直线n ⊂平面β，则直线l 与直线n 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．异面 C ．相交D ．平行或异面5．已知5a =，3b =，且12a b ⋅=-，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．-4B ．4C ．125-D ．1256．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．π7．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．过点（1，0）且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ）A ．210x y ＝B ．210x y ＝C ．210x y +-＝D ．220x y ＝9．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为5:3:2，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从丙层中抽取的个体数为（ ） A ．20B ．40C ．60D ．10010．一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ） A ．简单随机抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法D ．分层抽样法二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市南开区2024届高一数学第二学期期末达标测试试题含解析
天津市南开区2024届高一数学第二学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．2B ．23+C ．32+D ．122．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为： A ．52B ．51C ．50D ．493．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1，3， 6，10记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225B ．1275C ．2017D ．20184．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12-，则m 的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,66ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭5．为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数2sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移724πB ．向右平移724π C ．向左平移712πD ．向右平移712π6．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 7．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2=NB PN ，则三棱锥-N PAC 与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:3D ．1:68．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形9．函数3()arctan f x x x =+的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若10091a =-，m =12320162017()()()()()f a f a f a f a f a +++++，则（ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0d >时，m 恒为正数；当0d <时，m 恒为负数D ．当0d >时，m 恒为负数；当0d <时，m 恒为正数10．点M(4，m ）关于点N （n, － 3）的对称点为P （6，-9）则（ ） A ．m ＝－3,n ＝10 B ．m ＝3,n ＝10 C ．m ＝－3, n ＝5D ．m =3, n = 5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年天津市河西区、四十一中高一下学期期末考试数学试题(解析版)
天津市河西区、四十一中2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限〖解 析〗实部为2-，虚部为1的复数所对应的点的坐标为(2,1)-，位于第二象限． 〖答 案〗B2．在频率分布直方图中，各个长方形的面积表示( ) A ．落在相应各组的数据的频数 B ．相应各组的频率C ．该样本所分成的组数D ．该样本的样本容量〖解 析〗频率分布直方图中，各个长方形的面积表示相应数据的频率， 它等于这组的频数除以样本容量的值， 小长方形的个数表示该样本所分成的组数． 〖答 案〗B3．已知(5,2)a =-，(4,3)b =--，(,)c x y =，若230a b c -+=，则(c = ) A ．8(1,)3B ．138(,)33C ．134(,)33D ．134(,)33-- 〖解 析〗由题意可得：23(133,43)0a b c x y -+=++=， 所以1330x +=，并且430y +=，所以133x =-，43y =-． 〖答 案〗D4．将无盖正方体纸盒展开如图，则直线AB 、CD 在原正方体中的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交成60︒D ．异面〖解 析〗将正方体还原得到A ，B ，C ，D 的位置如图因为几何体是正方体，所以连接AC ，得到三角形ABC 是等边三角形，所以60ABC ∠=︒；〖答 案〗C5．已知||4a =，e 为单位向量，当向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，则向量a 在向量e 上的投影向量为( ) A ．2eB ．2e -C ．3eD ．3e -〖解 析〗||4a =，e 为单位向量，向量a 与e 的夹角θ等于150︒时，∴||||cos15041(a e a e ⋅=︒=⨯⨯=-∴向量a 在向量e 上的投影||a ee ⋅为-a 在向量e 上的投影向量为3e -． 〖答 案〗D6．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．则下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品B ．至少有1件次品和全是次品C ．至少有1件正品和至少有1件次品D ．至少有1件次品和全是正品〖解 析〗从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，∴在A 中，恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同时发生，但能同时不发生， ∴恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件但不是对立事件，故A 成立；在B 中，至少有1件次品和全是次品，能同时发生， ∴至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有1件正品和至少有1件次品能同时发生， ∴至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故C 不成立；在D 中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，也不能同时不发生， ∴至少有1件次品和全是正品是对立事件，故D 不成立．〖答 案〗A7．两条异面直线与同一平面所成的角，不可能是( ) A ．两个角均为锐角 B ．一个角为0︒，一个角为90︒ C ．两个角均为0︒D ．两个角均为90︒〖解 析〗两条异面直线与同一平面所成的角，两个角均为锐角，所以A 正确， 如果异面直线互相垂直时，一条直线与平面平行，另一条直线与平面垂直， 满足一个角为0︒，一个角为90︒，所以B 正确；如果两条异面直线都与平面平行，此时两条异面直线与同一平面所成的角两个角均为0︒，所以C 正确；如果两个角均为90︒，则两条直线与平面垂直，两条直线是平行线，所以D 不正确． 〖答 案〗D8．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则( ) A ．P （A ）P =（B ） B ．2P （A ）P =（B ）C ．P （A ）2P =（B ）D ．3P （A ）P =（B ）〖解 析〗袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2个球．基本事件总数246n C ==， 设A = “两个球颜色相同”， B = “两个球颜色不同”，则A 中包含的基本事件个数221222m C C =+=，B 中包含的基本事件个数112224m C C ==， P ∴（A ）2163==，P （B ）4263==，2P ∴（A ）P =（B ）． 〖答 案〗B9．如图，圆柱OO '中，AA '是侧面的母线，AB 是底面的直径，C 是底面圆上一点， 则( )A ．BC ⊥平面A AC 'B ．BC ⊥平面A AB 'C ．AC ⊥平面A BC 'D ．AC ⊥平面A AB '〖解 析〗C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，且AB 是圆柱底面圆的直径，BC AC ∴⊥，AA '⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AA BC '∴⊥，AA AC A '=，AA '⊂平面AA C '，AC ⊂平面AA C '，BC ∴⊥平面A AC '．〖答 案〗A二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10．已知i 是虚数单位，若复数z 满足(1)2i z +=，则z 的虚部为 ；z = ． 〖解 析〗(1)2i z +=，22(1)11(1)(1)i z i i i i -∴===-++-， 故z 的虚部是1-，1z i =+． 〖答 案〗1-，1i +11．某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为 ． 〖解 析〗分层抽样的抽取比例为701350050=， 总体个数为350015005000+=，∴样本容量1500010050n =⨯=． 〖答 案〗10012．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为 ．〖解 析〗由题意可知四棱锥111A BB D D -的底面是矩形，边长：1四棱锥的高：1112AC =．则四棱锥111A BB D D -的体积为：11133⨯=．〖答 案〗1313．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是 ． 〖解 析〗从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数共有2510C =种情况， 和为5的有(1，4)(2，3)两种情况，故所求的概率为：20.210=． 〖答 案〗0.214．已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题： ①若//a b ，//b c ，则//a c ； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥；④若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直． 其中真命题是 （写出所有正确命题的序号） 〖解 析〗已知a ，b ，c 是直线，给出下列命题：①若//a b ，//b c ，根据平行线的传递性可得：//a c ，正确； ②若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 平行、相交或为异面直线，因此不正确； ③若//a b ，b c ⊥，则a c ⊥，正确；④若a 与b 异面，则有无数条直线与a ，b 都垂直，因此不正确． 其中真命题是 ①③． 〖答 案〗①③15．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =．若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为 ． 〖解 析〗如图所示，ABC ∆中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =，2BD DC =，∴AD AB BD =+23AB BC =+2()3AB AC AB =+-1233AB AC =+，又()AE AC AB R λλ=-∈，∴12()()33AD AE AB AC AC AB λ⋅=+⋅-221212()3333AB AC AB AC λλ=-⋅-+221212()32cos603243333λλ=-⨯⨯⨯︒-⨯+⨯=-， ∴1113λ=，解得311λ=． 〖答 案〗311三、解答题：本大题共5小题，共49分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（9分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F ，G 分别是AD ，BC 的三等分点1(3AF AD =，13BG BC =．设AB a =，AD b =．（1）用a ，b 表示EF ，EG ； （2）如果3||||2b a =，EF ，EG 有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 解：（1）11113232EF AF AE AD AB b a =-=-=-，1111122323EG EB BG AB AF AB AD a b =+=+=+=+， （2）EF EG ⊥，证明：由（1）得，1132EF b a =-，1132EG b a =+，∴2222111111191()()0323294944EF EG b a b a b a a a ⋅=-⋅+=-=⨯-=，∴EF EG ⊥，EF EG ∴⊥．17．（10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos()6b A a B π=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）设2a =，3c =，求b ． 解：（Ⅰ） 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，又sin cos()6b A a B π=-．可得sin cos()6B B π=-，1sin sin 2B B B ∴=+，则tan B ． 又(0,)B π∈，可得3B π=．（Ⅱ） 在ABC ∆中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，2222cos 49223cos73b ac ac B π∴=+-=+-⨯⨯⨯=，解得b =．18．（10分）为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况，现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本，其观测数据（单位：)cm 如下： 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 （1）计算女生身高的样本平均数；（2）若该学校男生平均身高为170.6cm ，试估计该校高一年级学生的平均身高； （3）根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数． 解：（1）根据题意，女生身高的样本平均数1(163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.027x =++++++++++ 154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0)160.6cm ++++++++++++++++≈，（2）根据题意，高一年级共712名学生，其中女生386名，则男生有712386326-=， 则高一年级学生的平均身高为386160.6326170.6165.2712cm ⨯+⨯=，（3）根据题意，女生身高从小到大排列为：148、149、154、154、155、155.5、157、157、158、159、161、161、162、162.5、162.5、163、163、164、164、164、165、170、171、172、172， 又由2775%20.25⨯=，则女生身高的第75百分位数为第21个数据，即164， 故该学校高一年级女生身高的第75百分位数为164cm ．19．（10分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14． （1）记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求0X =，1X =的概率； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：（1）由题意可知1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=． （2）两辆车共遇到1个红灯的概率为11111111142424448P =⨯+⨯=， 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148． 20．（10分）如图，在四面体ABCD 中，ABC ∆是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，2AB =，AD =90BAD ∠=︒．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，AD AB ⊥， 得AD ⊥平面ABC ，故AD BC ⊥；（Ⅱ）解：取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ，M 为棱AB 的中点，故//MN BC ，DMN ∴∠（或其补角）为异面直线BC 与MD 所成角，在Rt DAM ∆中，1AM =，故DM =，AD ⊥平面ABC ，故AD AC ⊥，在Rt DAN ∆中，1AN =，故DN ==在等腰三角形DMN 中，1MN =，可得12cos MNDMN DM ∠==．∴异面直线BC 与MD （Ⅲ）解：连接CM ，ABC ∆为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM AB ⊥，CM =又平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，则CDM ∠为直线CD 与平面ABD 所成角．在Rt CAD ∆中，4CD =，在Rt CMD ∆中，sin CM CDM CD ∠==．∴直线CD 与平面ABD ．。
2022-2023学年天津市部分区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣15．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3 C ．√3π2cm 3 D ．π3cm 37．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√38．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．5129．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥βB ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ ．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 ． 13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 ．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为 ．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |； （2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x1，x2，…，x n的平均数为x，它的方差为s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2] 18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；（3）求直线BE与平面DCE所成的角的正切值．2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变， 故选：C ．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形解：根据题意，依次分析选项：对于A ，正方形的直观图可以是平行四边形，A 错误； 对于B ，矩形的直观图可以是平行四边形，B 错误；对于C ，正方形是特殊的菱形，其直观图不是菱形，C 错误； 对于D ，平行四边形的直观图是平行四边形，D 正确． 故选：D ．3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）解：由a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，可得：a →⋅b →=−1×1+1×（﹣2）＝﹣3． 故选：A ．4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣1解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ．故选：B ．5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”， 事件A 与B 能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD 均错误； P （A ）＝P （B ）=12，故B 正确；事件A 与事件B 不是同一个事件，故C 错误． 故选：B ．6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3C ．√3π2cm 3D ．π3cm 3解：正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体， 则球的直径为1cm ，半径为12cm ，∴可能制作的最大零件的体积为43π×(12)3=16πcm 3．故选：A ．7．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√3解：因为b ＝2，A ＝45°，C ＝75°， 所以B ＝180°﹣A ﹣C ＝60°，由正弦定理a sinA =bsinB，可得a =b⋅sinA sinB =2×√22√32=2√63．故选：B ．8．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．512解：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得， 则所求概率是23（1−34）+34（1−23）=512，故选：D ．9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥β B ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β解：对于A ，若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β，故A 错误． 对于B ，若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β或n ⊂β，故B 错误； 对于C ，若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交，故C 错误；对于D ，若m ∥n ，n ⊥β，由直线与平面垂直的性质可得m ⊥β，故D 正确． 故选：D ．10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6解：∵BQ →=BA →+AQ →=(1−λ5)AC →−AB →，CP →=AP →−AC →=λAB →−AC →，AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cosA =2×3×12=3，∴BQ →⋅CP →=[(1−λ5)AC →−AB →]⋅(λAB →−AC →)=λ(1−λ5)AC →⋅AB →−(1−λ5)AC →2−λAB →2+AB →⋅AC → =3λ(1−λ5)−9(1−λ5)−4λ+3 =−35λ2+45λ−6 =−35(λ−23)2−8615，∵P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →， ∴{0≤λ≤10≤1−λ5≤1，∴0≤λ≤1，∴当λ=23时，BQ →⋅CP →有最大值为−8615．故选：A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ 0.8 ．解：∵事件A 与B 互斥，∴P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.5+0.3＝0.8． 故答案为：0.8．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 6 ． 解：∵a →=λb →，∴（4，2）＝（m λ，3λ），∴{mλ=43λ=2，解得{m =6λ=23． 故答案为：6．13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 55 ．解：长度在20mm 以下的频率为5×（0.02+0.04）＝0.3， 所以抽查的产品总数为300.3=100，所以长度在区间[20，30）内的产品个数为5×（0.08+0.03）×100＝55． 故答案为：55．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．解：连接AC ，则A 1C 1∥AC ，连接AE 、EC ，则异面直线A 1C 1与AE 所成的角的平面角为∠EAC ， 设AB ＝t ，又AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点， 则AE ＝AC ＝EC =√2t ， 则△AEC 为等边三角形， 即∠EAC =π3，即直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．故答案为：π3．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 2 ．解：根据题设，建立如图所示坐标系， 则A （0，0），B （0，3），C （√3，0）， 由CM →=2MB →，可得M （√33，2）， ∴AN →=λAC →+AB →=（√3λ，3）， 又AN →⋅AM →=8， 则（√3λ，3）•（√33，2）＝λ+6＝8， 解得λ＝2． 故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |；（2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围． 解：（1）当m ＝1时，z ＝﹣2+2i ， 所以|z|=√(−2)2+22=2√2；（2）若复数是纯虚数，则{m 2−3m =0m 2−5m +6≠0，解得{m =0或m =3m ≠2且m ≠3，所以m ＝0；（3）复数z 在复平面内对应的点位于第二象限 则{m 2−3m ＜0m 2−5m +6＞0；即{0＜m ＜3m ＜2或m ＞3，所以实数m 的取值范围是（0，2）．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，它的方差为s 2=1n[(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+(x n −x)2] 解：（1）根据题意，把甲的数据按从小到大排列如下：4 4 5 7 7 7 8 9 9 10， 则甲的数据里的众数是7，因为85%×10＝8.5，所以第9个数据是第85百分位数，即第85百分位数为9； （2）x 甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7， 则S 2甲=110[（7﹣7）2+…+（4﹣7）2]＝4；x 乙=110(5+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7， 则S 2乙=110[（9﹣7）2+…+（7﹣7）2]＝1.2； （3）由（2）结论：x 甲=x 乙＝7，但有S 2甲＞S 2乙，即甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小故乙的成绩较稳定，所以选乙参加比赛．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．解：（1）因为2a sin B=√3b，由正弦定理可得2sin A sin B=√3sin B，因为sin B≠0，所以sin A=√32，因为△ABC是锐角三角形，所以A=π3；（2）因为a=√7，c＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2ac cos A，整理可得：b2﹣2b﹣3＝0，解得b＝3，所以S△ABC=12bc sin A=12×3×2×√32=3√32．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．解：（1）记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，则P(A)=25，P(B)=35，又事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）P（B）=25×35=625；（2）从中摸两个球，所得样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，共包含10个样本点，满足条件y﹣x＞2的样本点有（1，4），（1，5），（2，5）共3个，满足条件y﹣x＞2的事件的概率为310．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；第11页（共11页） （3）求直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值．（1）证明：因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ，所以AD ∥平面BCEF ．（2）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以ED ⊥AD ，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ， 所以ED ⊥平面ABCD ，因为ED ⊂平面DEC ，所以平面DCE ⊥平面ABCD ．（3）解：连接BD ，设AB ＝1，因为∠BAD =90°，AB =AD =12BC ，所以BD =√2，∠ADB ＝45°，BC ＝2， 因为AD ∥BC ，所以∠DBC ＝45°，在△BCD 中，由余弦定理得，DC 2＝BD 2+BC 2﹣2BD ×BC ×cos45°＝2+4﹣2×√2×2×√22=2， 所以DC =√2，所以DC 2+BD 2＝BC 2，即BD ⊥DC ，由（2）知ED ⊥平面ABCD ，则BD ⊥ED ，而DE ∩DC ＝D ，所以BD ⊥平面DCE ，所以∠BED 就是直线BE 与平面DCE 所成的角，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD DE =√2，所以直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值为√2．。
天津市部分区2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析)
天津市部分区2021~2021度第二学期期末考试高一数学一、选择题1.下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C 【解析】 【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A 选项错误. 对于B 选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B 选项错误.对于C 选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C 选项正确.对于D 选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D 选项错误. 故选：C【点睛】本小题主要考查公理2的理解和运用，属于基础题. 2.复数42z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】求得z 对应的坐标，由此得出正确选项.【详解】复数42z i =-对应的坐标为()4,2-，在第四象限. 故选：D【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.3.用斜二测画法画边长为2的正方形ABCD 的直观图时，以射线AB ，AD 分别为x 轴、y 轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图A B C D''''，则该直观图的面积为（）B.2C.2D.2【答案】A【解析】【分析】根据原图和直观图面积关系，求得题目所求直观图的面积.【详解】设原图的面积为S，直观图的面积为'S，则''4S S S=⇒=.正方形ABCD的面积为224S=⨯=，所以其直观图的面积为'4S===故选：A【点睛】本小题主要考查斜二测画法有关的面积计算，属于基础题.4.一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中红球和白球各有1个的概率为（）A.45B.35C.25D.15【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率.【详解】依题意，这2个球中红球和白球各有1个概率为11322563105C CC==.故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.5.已知5a=，4b=，且10a b⋅=-，则向量a与b的夹角为（）A.6πB.3πC.23πD.56π【答案】C【解析】【分析】利用向量夹角公式求得向量a 与b 的夹角的余弦值，由此求得向量a 与b 的夹角. 【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，则101cos 542a b a bθ⋅-===-⨯⋅，由于[]0,θπ∈，所以23πθ=. 故选：C 【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，属于基础题.6.在ABC中，已知AC =3AB =，30A =︒，则BC =（ ）A. 4B. 2C. 3【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得BC 的值. 【详解】依题意BC==故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题. 7.已知向量()1,2a=-，则与a平行的单位向量的坐标为（ ）A.⎛⎝⎭B. ⎛ ⎝⎭或⎝⎭C. ⎝⎭D. ⎝⎭或⎛ ⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由单位向量的定义，计算a a±，即得．【详解】由已知21(a =+=，所以与a平行的单位向量为aa=或5(,55a a-=-． 故选：D ．【点睛】本题考查单位向量的概念，解题时要注意与与a 平行的单位向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向．8.四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） （注：一组数据12,,...,n x x x 的平均数为x ，它的方差为()()()2222121...n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦） A. 平均数为2，方差为2.4 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为3，中位数为2 D. 中位数为3，方差为2.8【答案】A 【解析】 【分析】假设出现6点，根据均值估计方差的大小，错误的可举反例说明． 【详解】若平均数2，若出现6点，则方差221(62) 3.25s >-=，不可能是2.4，因此A 中一定不会出现6点， 其它选项可各举一反例：如2,2,3,4,6，中位数是3，众数是2；如2,2,2,3,6，平均数为3，中位数为2； 如1,2,3,3,6，中位数为3，方差为2.8． 故选：A ．【点睛】本题考查样本数据特征，掌握均值，方差，中位数，众数等概念是解题基础．属于基础题．9.棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（ ）（注：球的体积343V R π=，其中R 为球的半径）B.3C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体的体对角线计算出球的直径，由此得到半径，进而求得球的体积.【详解】=设球的半径为R ，则2R R ==所以球的体积为334433R ππ⨯=⨯=.故选：C【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，属于基础题.10.已知ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .向量(),m a b c =+，()3sin cos ,1n C C =+-，若m n ⊥，则A =（ ）A.6πB.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，结合正弦定理进行化简，由此求得sin 6A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，进而求得A 的大小.【详解】由于m n ⊥，所以0m n ⋅=sin cos 0C a C b c +--=，由正弦定理得sin sin cos sin sin 0A C A C B C +--=，()sin sin cos sin sin 0A C A C A C C +-+-=，sin sin cos sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C +---=sin cos sin sin 0A C A C C --=，由于0C π<<，所以sin 0C >，cos 10A A ，12sin 1sin 662A A ππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于50,666A A ππππ<<-<-<， 所以,663A A πππ-==.故选：B【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示，考查正弦定理，考查两角和与差的正弦公式、辅助角公式，属于中档题. 二、填空题11.已知甲、乙两名射击运动员射击中靶的概率分别为0.7和0.8，且甲、乙两人射击的结果互不影响.若甲、乙两人各射击一次，则两人都中靶的概率为_______. 【答案】0.56 【解析】 【分析】利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】根据相互独立事件概率计算公式可知，两人都中靶的概率为0.70.80.56⨯=. 故答案为：0.56【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题. 12.已知四面体各棱的长均为1，则这个四面体的表面积为_______.【解析】 【分析】四个面均为正三角形，计算出三角形面积后可得四面体的表面积．【详解】由题意四面体的表面积为2141sin 602S =⨯⨯⨯︒=【点睛】本题考查正四面体的表面积，掌握表面积的概念是解题基础．本题属于基础题．13.已知1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =+，122b e ke =-.若a 与b 是共线向量，则实数k 的值为______. 【答案】4- 【解析】 【分析】根据向量共线定理求解．【详解】∵a 与b 是共线向量，∴存在实数m ，使得b ma =，即121222()e ke m e e +-=，∴22m k m =⎧⎨-=⎩，解得4k =-．故答案为：－4．【点睛】本题考查平面向量共线定理，属于基础题．14.在正方体1111D ABC A B C D -中，对角线1AC 与底面ABCD 所成角的正弦值为____________. 【答案】33【解析】分析：根据直线和平面所成角的定义即可得到结论． 详解：连结AC ，则AC 是A 1C 在平面ABCD 上射影，则∠A 1CA 即为直线A 1C 与平面ABCD 所成角正弦值， 设正方体的棱长为1， 则，则，点晴：本题需要先找出线面角所成角的平面角，然后放在三角形中进行解决即可15.已知ABC 中，D 为边BC 上的点，且2BD DC =，若(),AD mAB nAC m n R =+∈，则m n -=______. 【答案】13【解析】 【分析】以,AB AC 为基底表示出AD ，由此求得,m n ，进而求得m n -. 【详解】依题意()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+， 所以211,,333m n m n ==-=. 故答案为：13【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 三、解答题16.已知i 是虚数单位，131iz i-=+.（Ⅰ）求1z ；（Ⅱ）若复数2z 的虚部为2，且12z z 的虚部为0，求2z .【答案】（Ⅱ）242z i =-+. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用复数的四则运算求出1z 后可求其模.（Ⅱ）设()22z a i a R =+∈，利用复数的乘法计算出12z z 后再根据虚部为0求出a ，从而可得2z .【详解】解：（Ⅰ）()()()()131********i i i iz i i i i -+-+====+--+，所以1z ==，（Ⅱ）设()22z a i a R =+∈，则()()()()1222224z z i a i a a i =++=-++， 因为12z z 的虚部为0，所以，40a +=，即4a =-.所以242z i =-+.【点睛】本题考查复数的乘法和除法，前者运算时注意分子分母同乘以分母的共轭复数，另外，对于含参数的复数问题，我们常通过将复数设成(),a bi a b R +∈的形式将问题转化为实数问题.17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：[)40,50，[)50,60，...，[]90,100后，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.【答案】（Ⅰ）0.03a =；（Ⅱ）210. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出a ． （Ⅱ）利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数． 【详解】解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以()100.0050.010.020.0250.011a ⨯+++++=， 解得0.03a =.（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于80分的频率为()100.0250.010.35⨯+=.由于该校高一年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数为6000.35210⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查频率分布直方图，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．18.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7a =，5b =，8c =. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求角B 的正弦值.【答案】（Ⅰ）3A π=；. 【解析】【分析】 （Ⅰ）用余弦定理计算出cos A 后可得A ；（Ⅱ）用正弦定理计算sin B ．【详解】解：（Ⅰ）由三角形的余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222758258cos A =+-⨯⨯. 所以，1cos 2A =. 因为0a π<<. 所以3A π=. （Ⅱ）由三角形的正弦定理sin sin a b A B=， 得sin sin b A B a=. 527==所以内角B的正弦值为14. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键，本题属于基础题．19.己知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240，160，80.为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动.（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；（Ⅱ）设抽出的6名教师志愿者分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件M 发生的概率.【答案】（Ⅰ）3人，2人，1人；（Ⅱ）（i ）{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},D E ，{},D F ，{},E F ；（ⅱ）415【解析】【分析】（Ⅰ）按照分层抽样规则计算可得；（Ⅱ）（i ）将所有可能结果一一列举，做到不重复不遗漏；（ii ）根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数之比为3:2:1由于采用分层抽样的方法从中抽取6名教师，因此应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取3人，2人，1人.（Ⅱ）（ⅰ）从抽出的 名教师中随机抽取2名教师的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},A E ，{},A F ，{},B C ，{},B D ，{},B E ，{},B F ，{},C D ，{},C E ，{},C F ，{},D E ，{},D F ，{},E F ，共15种.（ⅱ）由（Ⅰ），不妨设抽出的6名教师中，来自甲学校的是A ，B ，C ，来自乙学校的是D ，E ，来自丙学校的是F ，则从抽出的6名教师中随机抽取的2名教师来自同一学校的所有可能结果为{},A B ，{},A C ，{},B C ，{},D E ，共4种.所以，事件M 发生的概率()415P M =. 【点睛】本题考查分层抽样及古典概型的概率计算，属于基础题.20.如图，在三棱锥P ABC -中，点M ，N 分别是棱AB ，AC 的中点，且PA PC =，PN AB ⊥.（Ⅰ）求证：//MN 平面PBC ；（Ⅱ）求证：PN BC ⊥.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）通过证明//MN BC ，证得//MN 平面PBC .（II ）通过证明PN AC ⊥，结合PN AB ⊥证得PN 平面ABC ，由此证得PN BC ⊥.【详解】（Ⅰ）证明：因为在ABC 中，点M ，N 分别是AB ，AC ，所以//MN BC ，又因为MN ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//MN 平面PBC .（Ⅱ）因为点N 是AC 的中点，且PA PC =，所以PN AC ⊥，又因为PN AB ⊥，AB 平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，ABAC A =， 故PN 平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以PN BC ⊥.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，属于中档题.。
2022-2023学年天津市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A．3B．4C．5D．6解：该校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，则应在高三年级招募的志愿者数目为12×5102040=3．故选：A．2．一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（）A．34B．35C．36D．37解：0.85×8＝6.8，则一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为：37．故选：D．3．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γD．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ解：对于A，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误；对于B，若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥β错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误；对于C ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β 为地面，满足α⊥β，γ⊥β，但α与γ相交，故C 错误；对于D ，因为α∩β＝m ，m ⊥γ，由面面垂直的判定定理得：α⊥γ，故D 正确． 故选：D ．4．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A 与事件B 互斥却不互为对立（ ）A ．事件A ：3个球中至少有1个红球；事件B ：3个球中至少有1个白球 B ．事件A ：3个球中恰有1个红球；事件B ：3个球中恰有1个白球C ．事件A ：3个球中至多有2个红球；事件B ：3个球中至少有2个白球D ．事件A ：3个球中至多有1个红球；事件B ：3个球中至多有1个白球解：对于A ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故A 错误；对于B ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件A 与事件B 互斥却不互为对立，故B 正确；对于C ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故C 错误；对于D ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件A 与事件B 是互斥事件也是对立事件，故D 错误． 故选：B ．5．为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛．已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（ ） A ．1720B ．3140C ．3740D ．1920解：由题意，甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25， 则甲、乙、丙三位同学在比赛中不能成功包制一个粽子的概率分别为12，14，35．则没有一人成功的概率为12×14×35=340，∴至少一人成功的概率为1−340=3740． 故选：C ．6．如图，A ，B 是以CD 为直径的半圆圆周上的两个三等分点，AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，则DM →=（ ）A ．13DC →+12DN →B ．12DC →+23DN →C ．12DC →+13DN →D ．23DC →+12DN →解：由圆的几何性质知，2AB ＝CD 且AB ∥CD ，因为AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，所以DM →=12(DC →+DA →)=12DC →+12(DN →+NA →)=12DC →+12DN →+12×23BA →=12DC →+12DN →+13BA →=12DC →+12DN →+13×12DC →=23DC →+12DN →． 故选：D ．7．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 在棱A 1B 1（不含端点）上运动，现有如下命题： ①平面AA 1D 1D 内不存在直线与DE 垂直； ②平面A 1DE 与平面ABCD 所成的锐二面角为π4；③当点E 运动到棱A 1B 1的中点时，线段A 1C 上存在点P ，使得BC ∥平面AEP ； ④设点P 为线段A 1C 的中点，则三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值． 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：对①，如图，易知DE 在平面AA 1D 1D 内的射影为A 1D ，而AD1⊥A1D，∴根据三垂线定理可知AD1⊥DE，∴①错误；对②，如图，由正方体的性质易知：平面A1DE即为对角面A1DCB1，又易知DC⊥平面B1CB，∴平面A1DE与平面ABCD所成的锐二面角即为∠B1CB=π4，∴②正确；对③，如图，当点E运动到棱A1B1的中点时，设AE∩A1B＝F，则易知F为线段A1B上靠近A1的三等分点，∴在A1C上取靠近A1的三等分点P，连接FP，则FP∥BC，连接PE，P A，又BC⊄平面AEP，FP⊂平面AEP，∴BC∥平面AEP，∴③正确；对④，如图，当点P为线段A1C的中点时，由正方体的性质易知：平面PBC 1即为对角面ABC 1D 1， 又易知A 1B 1∥对角面ABC 1D 1，∴E 到平面ABC 1D 1的距离为定值，又三角形PBC 1的面积也为定值， ∴三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值，∴④正确． 故②③④为真命题，共计3个． 故选：C ．8．月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A 处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B 处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C 处）的距离，她在点A 处利用测角仪器测得点B 的俯角为5°，点C 的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D 处，测得点A ，B ，C 的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离BC ＝（ ）A ．50(√3+1)米B ．50(√3−1)米C ．50(√6+√2)米D ．50(√6−√2)米解：由题意知，AD ＝100，∠BAC ＝45°，∠BAD ＝75°，∠ADC ＝45°，∠BDC ＝30°， 在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC +∠BDC ＝75°，∠ABD ＝180°﹣（∠BAD +∠ADB ）＝30°， 由正弦定理知，AB sin∠ADB=AD sin∠ABD，所以AB =100⋅sin75°sin30°=100sin(45°+30°)sin30°=100⋅√22⋅(√32+12)12=50√2（√3+1），在△ACD 中，∠ACD ＝180°﹣（∠BAC +∠BAD +∠ADC ）＝15°， 由正弦定理知，AC sin∠ADC=AD sin∠ACD，所以AC =100sin45°sin15°=100sin45°sin(45°−30°)=100⋅√22√22(√32−12)=100（√3+1），在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC cos ∠BAC ＝5000（√3+1）2， 所以BC ＝50√2（√3+1）＝50（√6+√2）米． 故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.9．i 为虚数单位，若复数z =2i+1i−2，则|z |＝ 1 ． 解：z =2i+1i−2， 则|z |=|1+2i −2+i |=|1+2i||−2+i|=√22√(−2)+1=1．故答案为：1．10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，则直线AB 与平面BCD 所成角的余弦值为 √33．解：如图所示：在正四面体ABCD 中，点A 在等边△BCD 的投影为△BCD 的中心O ， 则AB 与平面BCD 所成角为∠ABO ， 因为正四面体ABCD 的棱长为1， 所以BE =√32，BO =23⋅BE =√33， 所以cos ∠ABO =BOAB =√33．故答案为：√33．11．已知向量a →=（4，3），向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4），则|a →−b →|的最小值为 √5 ．解：向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4）， 则b →∥c →，可设b →=λc →=（2λ，4λ），a →=（4，3），则a →−b →=(4−2λ，3−4λ)，故|a →−b →|2=（4﹣2λ）2+（3﹣4λ）2＝20（λ﹣1）2+5， 当λ＝1时，|a →−b →|的最小值为√5． 故答案为：√5．12．在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为310．解：记2袋已经过了保质期的牛奶为A ，B ，3袋未过保质期的牛奶为a ，b ，c ，从5袋牛奶中任取2袋，所有情况为：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况， 其中全是未过保质期的牛奶的情况为：ab ，ac ，bc ，共3种情况， 所以所求概率为310．故答案为：310．13．设三角形ABC 是等边三角形，它所在平面内一点M 满足AM →=13AB →+23AC →，则向量AM →与BC →夹角的余弦值为 √714．解：设△ABC 边长为1，AM →=13AB →+23AC →，则|AM →|2＝（13AB →+23AC →）2=19AB →2+49AB →⋅AC →+49AC →2=19+49×1×1×cos60°+49=79， 所以|AM →|=√73，因为AM →⋅BC →=(13AB →+23AC →)(AC →−AB →)=−13AB →2+23AC →2−13AB →⋅AC →=−13+23−13×1×1×cos60°=16，设向量AM →与BC →夹角为θ， 则cos θ=AM →⋅BC →|AM →||BC →|=16√73=√714．故答案为：√714． 14．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为S 1，该雕塑内可容纳最大球的表面积为S 2，该雕塑外接球表面积为S 3，则S 1＝1189，S 2：S 3＝ 1：6 ．解：由题意，该雕塑的表面积是16个矩形及两个正方形与8个等腰直角三角形的面积的和，所以S 1=13×2×16+2×1×1+8×12×13×13=1189； 该雕塑内可容纳最大球的半径为12，表面积为S 2=4π×(12)2=π，该雕塑外接球的半径为√12+(22)2=√62，表面积为S 3=4π×(√62)2=6π，所以S 2：S 3＝1：6． 故答案为：1189，1：6．三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （Ⅲ）若从成绩来自[40，50）和[90，100]两组的学生中随机选取两名学生： （i ）写出该试验的样本空间：（ii ）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10×（0.005+0.01+0.02+a +0.025+0.01）＝1， 解得a ＝0.03；（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）＝0.85， 由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544；（Ⅲ）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40，50）分数段的两名同学为A 1，A 2，在[90，100]分数段内的同学为B 1，B 2，B 3，B 4， （i ）从这6名学生中随机抽取2人样本空间Ω＝{（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4）}；（ii ）如果2名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大10的取法有（A 1，A 2），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4），共7种取法， 所以所求概率为P =715． 16．（15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cosA=b+c cosB+cosc．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）已知a ＝3， （i ）若△ABC 的面积为√32，求△ABC 的周长： （ii ）求△ABC 周长的取值范围．解：（Ⅰ）由题意及正弦定理可得：sinAcosA =sinB+sinCcosB+cosC，整理可得：sin A cos B﹣cos A sin B＝sin C cos A﹣cos C sin A，即sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），在三角形中，可得A﹣B＝C﹣A，即2A＝B+C＝π﹣A，解得A=π3；（Ⅱ）（i）因为S△ABC=12bc sin A=12bc•√32=√32，可得bc＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，即（b+c）2＝15，解得b+c=√15，所以三角形的周长为a+b+c＝3+√15；（ii）a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，所以（b+c）2＝a2+3bc≤9+3•（b+c2）2，当且仅当b＝c时取等号，解得b+c≤6，而b+c＞a＝3，所以b+c∈（3，6]．所以三角形的周长为a+b+c∈（6，9]．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝AD＝AA1，过A1作底面的垂线，垂足在线段AC上，点M，N分别为棱AB和C1D1的中点．（Ⅰ）证明D，M，B1，N四点共面，且AD1∥平面DMB1N；（Ⅱ）证明直线A1C与平面DMB1N不垂直；（Ⅲ）若AC1⊥平面A1BD，求∠BAA1的大小．（Ⅰ）证明：取A1B1的中点E，连接EM，ED1，因为点M，N分别为棱AB和C1D1的中点，所以D1N∥B1E，D1N＝B1E，DD1∥EM，DD1＝EM，所以四边形B1ED1N和四边形DD1EM是平行四边形，第11页（共11页） 所以B 1N ∥D 1E ∥DM ，所以D ，M ，B 1，N 四点共面，因为D 1N ∥AM ，D 1N ＝AM ，所以四边形D 1AMN 是平行四边形，所以AD 1∥MN ，又AD 1⊄平面DMB 1N ，MN ⊂平面DMB 1N ，所以AD 1∥平面DMB 1N ．（Ⅱ）证明：因为过A 1作底面的垂线，垂足在线段AC 上，且垂线在平面ACC 1A 1上， 所以平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，所以A 1C 在底面ABCD 上的投影为AC ，假设直线A 1C 与平面DMB 1N 垂直，因为DM ⊂平面DMB 1N ，所以A 1C ⊥DM ，所以AC ⊥DM ，因为底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝AD ，所以四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，所以点M 与点B 重合，这与题意相矛盾，故假设不成立，即直线A 1C 与平面DMB 1N 不垂直．（Ⅲ）解：若AC 1⊥平面A 1BD ，因为A 1D ⊂平面A 1BD ，所以AC 1⊥A 1D ，因为AC 1→=AB →+AD →+AA 1→，A 1D →=AD →−AA 1→，所以AC 1→•A 1D →=（AB →+AD →+AA 1→）•（AD →−AA 1→）=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→+AD →2−AD →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→−AA 1→2=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→=|AB →|2cos60°−|AB →|2cos ∠BAA 1＝0，所以cos ∠BAA 1=12，又∠BAA 1∈（0°，90°），所以∠BAA 1＝60°．。
2022-2023学年天津市西青区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．复平面内，复数z =21−i对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面3．已知△ABC 是等边三角形，边长为2，则满足AB →⋅BC →=（ ） A ．2B ．﹣2C ．√3D ．−√34．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ）A ．2√2B ．1C ．√2D ．2（1+√2）5．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（ ） A ．14，12B ．12，16C ．14，16D ．16，146．有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8 ①这组数据的中位数是3； ②这组数据的方差是112；③这组数据的众数是8；④这组数据的第75百分位数是7.5． 以上四个结论正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1=√3，则异面直线AD 1与DB 所成角的余弦值为（ ） A ．√24B ．√25C ．√26D ．√288．抛掷一枚质地均匀骰子2次，设事件A ＝“第一次骰子正面向上的数字为2”，设事件B ＝“两次骰子正面向上的数字之和为7”，设事件C ＝“两次骰子正面向上的数字之和为5”，则（ ） A ．事件A 和事件C 互斥B ．事件B 和事件C 互为对立 C ．事件A 和事件B 相互独立D ．事件A 和事件C 相互独立9．某单位对全体职工的某项指标进行调查，按性别进行分层随机抽样，得到样本职工该项指标数据，分别计算他们的数据平均分和方差，结果如下：则以此估计总体的方差为（ ） A ．3.56B ．2C ．0.2D ．3.2510．第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G +光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为10√3km ；基站A ，B 在江的北岸，测得∠ACB ＝75°，∠ACD ＝120°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 两个基站的距离为（ ）A ．10√2kmB ．10√3kmC ．15kmD ．10√5km二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．把答案写在答题纸相应的横线上．11．复数（m 2﹣5m +6）+（m 2﹣3m ）i 是纯虚数，则实数m ＝ ．12．已知e →为一个单位向量，a →与e →的夹角为45°，若a →在e →上的投影向量为2e →，则|a →|= ． 13．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为 ．14．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →•BC →的值为 ．15．2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为34和23，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为 ，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为 ．16．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为G ，两臂拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，F 1与F 2的夹角为θ，则以下四个结论中： ①|F 1|的最小值为12|G|；②当θ=π2时，|F 1|=√22|G|； ③当θ=2π3时，|F 1|＝|G |；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ．三．解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且asinC =√3ccosA ． （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =√7，b +c ＝4，求△ABC 的面积．18．（12分）已知向量a →，b →满足a →=(2，3)，|b →|=2√13． （Ⅰ）若a →∥b →，求向量b →的坐标；（Ⅱ）若(a →+b →)⊥(5a →−2b →)，求a →与b →的夹角θ．19．（12分）今年“五一”小长假是继春节之后的第一个较长假期，也是疫情放开后的首个“五一”假期．五一期间各个景区推出了各种丰富多彩的文旅活动，游客纷至沓来，迎来了旅游高峰期．西青区统计局为进一步了解五一期间居民对本区旅游景点服务满意度情况，开展了社情民意电话热线调查，现从本区居民中随机选取了年龄（单位：岁）在[25，50]内的男、女居民各100人，以他们的年龄为样本，得到女居民的频率分布直方图和男居民的年龄频数分布表如下．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本中女居民年龄的中位数（精确到整数）；（Ⅲ）在上述样本中用分层随机抽样的方法从年龄[25，35）内的女居民中抽取4人，从年龄在[25，35）的男居民中抽取5人，记这9人中年龄在[30，35）内的居民有m人，再从这m人中随机抽取2人．①求人数m的值；②从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）；③从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，求社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率．20．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝1，M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：SC⊥平面AMN；（Ⅲ）求直线AC与平面AMN所成角的余弦值．2022-2023学年天津市西青区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．复平面内，复数z =21−i对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：复数21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i∴复数的在复平面内的对应点（1，1）． 在复平面内，复数21−i对应的点位于第一象限．故选：A ．2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面解：α内有无数条直线与β平行，不一定有α∥β，也可能相交，故A 错误； α内有两条相交直线与β平行，则α∥β，反之成立，故B 正确； α，β平行于同一条直线，不一定有α∥β，也可能相交，故C 错误； α，β垂直于同一平面，不一定有α∥β，也可能相交，故D 错误． 故选：B ．3．已知△ABC 是等边三角形，边长为2，则满足AB →⋅BC →=（ ） A ．2B ．﹣2C ．√3D ．−√3解：AB →⋅BC →=|AB →||BC →|cos(π−∠ABC)=2×2×（﹣cos60°）=4×(−12)=−2． 故选：B ．4．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（ ）A ．2√2B ．1C ．√2D ．2（1+√2）解：由题意正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以OB =√2，对应原图形平行四边形的高为：2√2， 所以原图形的面积为：1×2√2=2√2． 故选：A ．5．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（ ） A ．14，12B ．12，16C ．14，16D ．16，14解：将两名男生编号为a ，b ，两名女生编号1，2， 记A ＝“抽到的两人都是女生”，从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为：Ω1＝{（a ，a ），（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（b ，a ），（b ，b ），（b ，1），（b ，2），（1，a ），（1，b ），（1，1），（1，2），（2，a ），（2，b ），（2，1），（2，2）}，共16个样本点， 其中A ＝{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}，有4个样本点， 所以P(A)=416=14， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为：Ω2＝{（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（b ，a ），（b ，1），（b ，2），（1，a ），（1，b ），（1，2），（2，a ），（2，b ），（2，1）}，共12个样本点，其中A ＝{（1，2），（2，1）}，有2个样本点， 所以P(A)=212=16． 故选：C ．6．有关一组8个数据2，6，8，3，3，3，7，8 ①这组数据的中位数是3； ②这组数据的方差是112；③这组数据的众数是8；④这组数据的第75百分位数是7.5． 以上四个结论正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：根据题意，将8个数据从小到大排列：2，3，3，3，6，7，8，8， 依次分析4个结论：对于①这组数据的中位数是12（3+6）＝4.5，①错误；对于②，这组数据的平均数为18（2+3+3+3+6+7+8+8）＝5，则其方差S 2=18（9+4+4+4+1+4+9+9）=112，②正确； 对于③，这组数据的众数是3，③错误；对于④，8×75%＝6，这组数据的第75百分位数是12（7+8）＝7.5，④正确；有2个结论正确． 故选：B ．7．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1=√3，则异面直线AD 1与DB 所成角的余弦值为（ ） A ．√24B ．√25C ．√26D ．√28解：连接D 1B 1，AB 1，由DB ∥D 1B 1， 可得∠AD 1B 1为异面直线AD 1与DB 所成角．由在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1=√3， 可得AD 1=√1+3=2，D 1B 1=√2，AB 1=√1+3=2，所以cos ∠AD 1B 1=AD 12+D 1B 12−AB 122AD 1⋅B 1D 1=4+2−42×2×2=√24．故选：A ．8．抛掷一枚质地均匀骰子2次，设事件A ＝“第一次骰子正面向上的数字为2”，设事件B ＝“两次骰子正面向上的数字之和为7”，设事件C ＝“两次骰子正面向上的数字之和为5”，则（ ） A ．事件A 和事件C 互斥B ．事件B 和事件C 互为对立 C ．事件A 和事件B 相互独立D ．事件A 和事件C 相互独立解：由题意可知，P （A ）=16，抛掷一枚质地均匀骰子2次，共有6×6＝36种可能，事件B 包含：（1，6），（6，1），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），共6种，故P （B ）=636=16，事件C 包含：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），共4种，故P （C ）=436=19， 事件AB 包含：（2，5），故P （AB ）=136， P （AB ）＝P （A ）P （B ）=136， 所以事件A 和事件B 相互独立，故C 正确； 事件AC 包含：（2，3），故P （AC ）=136，P （AC ）≠P （A ）P （C ）， 故事件A 和事件C 不相互独立，故D 错误；事件A 和事件C 可以同时发生，不为互斥事件，故A 错误； 事件B 和事件C 为互斥事件，故B 错误． 故选：C ．9．某单位对全体职工的某项指标进行调查，按性别进行分层随机抽样，得到样本职工该项指标数据，分别计算他们的数据平均分和方差，结果如下：则以此估计总体的方差为（ ） A ．3.56 B ．2 C ．0.2 D ．3.25解：由题意得， 总体平均数为20×7+5×820+5=7.2，则总体方差为2025×[4+(7−7.2)2]+525×[1+（8﹣7.2）2]＝3.56． 故选：A ．10．第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G +光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为10√3km ；基站A ，B 在江的北岸，测得∠ACB ＝75°，∠ACD ＝120°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A ，B 两个基站的距离为（ ）A ．10√2kmB ．10√3kmC ．15kmD ．10√5km解：在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝120°， 所以∠CAD ＝30°，即∠CAD ＝∠ADC ， 根据等角对等边，得AC ＝CD ＝10√3．在△BDC 中，∠CBD ＝180°﹣（∠BCD +∠BDC ）＝180°﹣（45°+75°）＝60°． 由正弦定理得，BC sin∠BDC=CD sin∠CBD，解得BC =10√3×sin75°sin60°=5（√6+√2），在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠BCA ＝（10√3）2+（5（√6+√2））2﹣2×10√3×5（√6+√2）×cos75°＝500，解得AB ＝10√5，即两个基站A 、B 之间的距离为10√5km ． 故选：D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．把答案写在答题纸相应的横线上．11．复数（m 2﹣5m +6）+（m 2﹣3m ）i 是纯虚数，则实数m ＝ 2 ．解：当 {m 2−5m +6=0m 2−3m ≠0时，即{m =2或m =3m ≠0且m ≠3⇒m =2时复数z 为纯虚数．故答案为：2．12．已知e →为一个单位向量，a →与e →的夹角为45°，若a →在e →上的投影向量为2e →，则|a →|= 2√2 ． 解：∵a →在e →上的投影向量为2e →，且|e →|＝1，∴a →⋅e →|e →|⋅e →=2e →，∴a →⋅e →=2，又∵a →与e →的夹角为45°， ∴a →⋅e →=|a →||e →|cos45°=√22|a →|=2，∴|a →|＝2√2． 故答案为：2√2．13．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为 16π ．.解：设正△ABC 的外接圆圆心为O 1，知O 1A ＝3×sin60°×23=√3， 在Rt △AOO 1A 中，∵球心O 到平面ABC 的距离为1，即OO 1＝1， ∴OA =√(√3)2+12=2， ∴球O 的表面积为4π×22＝16π． 故答案为：16π．14．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →•BC →的值为18．解：如图，连接AE ，则AE ⊥BC ；根据条件，DE =12AC ，且DE ＝2EF ； ∴EF →=12DE →=14AC →；∴AF →=AE →+EF →=AE →+14AC →；∴AF →⋅BC →=(AE →+14AC →)⋅BC →=AE →⋅BC →+14AC →⋅BC → =0+14×1×1×12 =18． 故答案为：18．15．2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为34和23，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为38，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为 512 ．解：由题意，甲在两轮活动中答对1个问题的概率为C 21×34×14=38；“粽队”两轮活动中答对三个问题，等价于其中一人答对两个，另外一人答对一个，概率为（34）2×C 21×23×13+（23）2×C 21×34×14=14+16=512． 故答案为：38；512．16．在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为G ，两臂拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，F 1与F 2的夹角为θ，则以下四个结论中：①|F 1|的最小值为12|G|； ②当θ=π2时，|F 1|=√22|G|； ③当θ=2π3时，|F 1|＝|G |；④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ①②③ ．解：画出受力分析，如图所示：对于①，当身体处于平衡状态时，|F 1|＝|F 2|=12|G |，所以①正确；对于②，当θ=π2时，|F 1|＝|F 2|＝|G |cos π4=√22|G |，所以②正确； 对于③，当θ=2π3时，|F 1|＝|F 2|＝|G |，所以③正确； 对于④，由受力分析图知，当θ越大时越费力，所以④错误．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且asinC =√3ccosA ．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =√7，b +c ＝4，求△ABC 的面积．解：（Ⅰ）因为asinC =√3ccosA ，由正弦定理得sin A sin C =√3sin C cos A ，因为sin C ＞0，所以sin A =√3cos A ，即tan A =√3，所以A ＝60°；（Ⅱ）因为a =√7，b +c ＝4，由余弦定理得cos A =12=b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−2bc−a 22bc =16−2bc−72bc ， 所以bc ＝3，故△ABC 的面积S =12bcsinA =12×3×√32=3√34． 18．（12分）已知向量a →，b →满足a →=(2，3)，|b →|=2√13．（Ⅰ）若a →∥b →，求向量b →的坐标；（Ⅱ）若(a →+b →)⊥(5a →−2b →)，求a →与b →的夹角θ．解：（Ⅰ）因为a →=(2，3)，且a →∥b →，所以b →=λa →=（2λ，3λ），λ∈R ；又因为|b →|=2√13，所以4λ2+9λ2＝4×13，解得λ＝±2，所以b →=±（4，6）；（Ⅱ）若(a →+b →)⊥(5a →−2b →)，则5a →2+3a →•b →−2b →2=0，即5×13+3×√13×2√13×cos θ﹣2×52＝0，解得cos θ=12，又因为θ∈[0，π]，所以a →与b →的夹角θ=π3．19．（12分）今年“五一”小长假是继春节之后的第一个较长假期，也是疫情放开后的首个“五一”假期．五一期间各个景区推出了各种丰富多彩的文旅活动，游客纷至沓来，迎来了旅游高峰期．西青区统计局为进一步了解五一期间居民对本区旅游景点服务满意度情况，开展了社情民意电话热线调查，现从本区居民中随机选取了年龄（单位：岁）在[25，50]内的男、女居民各100人，以他们的年龄为样本，得到女居民的频率分布直方图和男居民的年龄频数分布表如下．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本中女居民年龄的中位数（精确到整数）；（Ⅲ）在上述样本中用分层随机抽样的方法从年龄[25，35）内的女居民中抽取4人，从年龄在[25，35）的男居民中抽取5人，记这9人中年龄在[30，35）内的居民有m人，再从这m人中随机抽取2人．①求人数m的值；②从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，写出这个试验的样本空间（用恰当的符号表示）；③从这m名居民中随机抽取2人进行社情民意调查，求社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率．解：（Ⅰ）因为5（a+3a+3a+2a+a）＝1，解得a＝0.02；（Ⅱ）不妨设中位数为x，因为5（0.02+0.06）＝0.4＜0.5，5（0.02+0.06+0.06）＝0.7＜0.5所以中位数在区间[35，40）内，此时0.02×5+0.06×5+0.06×（x﹣35）＝0.5，解得x≈37，则中位数为37；（Ⅲ）①若用分层随机抽样的方法从年龄[25，35）内的女居民中抽取4人，则年龄在[25，35）内的有4×0.020.02+0.06=1人，在[30，35）内的有4﹣1＝3人，从年龄在[25，35）的男居民中抽取5人，则年龄在[25，35）内的有5×3030+20=3人，在[30，35）内的有5﹣3＝2人，所以在这9人中年龄在[30，35）内的居民有5人，则m＝5；②因为抽取的5名居民中女居民有3人，记为a，b，c；男居民有2人，记为x，y，若随机抽取2人进行社情民意调查，则样本空间为Ω＝{（a，b），（a，c），（a，x），（a，y），（b，c），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（x，y）}③记抽取的这2人是异性为事件A，由②知，A＝{（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y）}，则社情民意调查中抽取的这2人是异性的概率P（A）=610=35．20．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA＝AD＝1，M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：SC⊥平面AMN；（Ⅲ）求直线AC与平面AMN所成角的余弦值．（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，则O为BD的中点，因为M时SD的中点，所以OM∥SB，又OM⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，所以SB∥平面ACM．（Ⅱ）证明：因为正方形ABCD ，所以AD ⊥CD ，因为SA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，所以SA ⊥CD ， 又AD ∩SA ＝A ，AD 、SA ⊂平面SAD ，所以CD ⊥平面SAD ， 因为AM ⊂平面SAD ，所以CD ⊥AM ，因为SA ＝AD ，M 为SD 的中点，所以AM ⊥SD ，又CD ∩SD ＝D ，CD 、SD ⊂平面SCD ，所以AM ⊥平面SCD ， 因为SC ⊂平面SCD ，所以AM ⊥SC ，又AN ⊥SC ，且AM ∩AN ＝A ，AM 、AN ⊂平面AMN ， 所以SC ⊥平面AMN ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知SC ⊥平面AMN ，即NC ⊥平面AMN ， 所以∠CAN 就是直线AC 与平面AMN 所成角，在Rt △ACS 中，cos ∠CAN ＝cos ∠ASC =SA SC =11+1+1=√33， 故直线AC 与平面AMN 所成角的余弦值为√33．。
天津市部分区2023-2024学年高一下学期期末练习数学试题(含答案)
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习高一数学Mike2024.7.8第I 卷（非选择题共40分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i是虚数单位，则复数（ ）A. B. C.D.2.对于两个事件M ，N ，则事件表示的含义是（ ）A.与同时发生B.与不能同时发生C.与有且仅有一个发生D.与至少有一个发生3.如图，是水平放置的的直观图，若，，则的面积是（）B.C.1D.24.已知，，则（ ）A. B. C. D.5.下列说法正确的是（ ）A.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线B.直四棱柱是长方体C.将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形6.某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（ ）A.B.C.D.7.在中，若，，，则（）21i=+1i-1i+11i 22+11i 22-M N M N M N M N M N A B C '''△ABC △12A O ''=1B OC O ''''==ABC △12()1,2a = ()2,1b =-a b += 0a b ⋅= //a b ||||a b > 110310710910ABC △BC =2AC =60A =︒B =A.B.C.或 D.8.已知m ，n 表示两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则9.在四边形中，，，且，则与的夹角为（ ）A.B.C.D.10.在正方体中，E ，F ，H 分别是，，的中点，给出下列结论：①平面；②平面；③直线EF 与直线所成的角为；④平面与底面所成二面角的大小为.其中正确的结论有（ ）A.①③B.②④C.②③④D.①②④第II 卷（非选择题 共80分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.11.甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为和，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为__________.12.一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7，则这组数据的方差为__________.注：一组数据，，…，的平均数为，它的方差为.13.已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为__________.14.已知正方体的外接球的表面积为，点为棱BC 的中点，则三棱锥的体积为__________.注：球的表面积，其中为球的半径15.在中，，，为CD 上一点，且满足，则的值为__________；若，，则的值为__________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤π6π4π65π6π3αβ//m α//n α//m n m α⊥m n ⊥//n α//m αm n ⊥n α⊥m α⊥m β⊂αβ⊥ABCD AB DC = AD =||||AB AD AB AD +=- AB CAπ6π32π35π61111ABCD A B C D -AB 1DD 1BC 11//C D ABH AC ⊥BDF 1BC π3ABH ABCD π413141x 2x n x x ()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ a b 2a b - 5a b λ+λ1111ABCD A B C D -36πE 1C AED -24πS R =R ABC △π3BAC ∠=2AD DB =P 3()5AP x AC AB x =+∈ x 3AC =4AB =AP CD ⋅16.（本题满分12分）已知是虚数单位，复数，.（I ）当时，求；（II ）若z 是纯虚数，求的值；（III ）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.17.（本题满分12分）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm ）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品.（1）求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（I ）从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的編号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率.18.（本题满分12分）在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ..（I ）求角的大小；（II ）若，，求的面积.19.（本题满分12分）高一年级进行消防知识竞赛，从所有答卷中随机抽取样本，将样本数据（成绩/分）按，，，，分成5组，并整理得到如下频率分布直方图.（I ）求a 的值和众数；（II ）若成绩在内有30人，现从成绩在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取12人，则这两组分别抽取多少人？（III ）年级决定表彰成绩排名前25%的学生，已知某学生的成绩是86，请以此样本数据来估计该生能否得到表彰，并说明理由.20.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，平面.平面，且，，，为AD 的中点.i ()228(2)i z m m m =+-+-m ∈ 1m =z m z m 1A 2A 8A []1.49,1.51ABC △sin cos 0B b A +=A a =b =ABC △[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100[)50,60[)80,90[]90,100P ABCD -PAB ABCD //AD BC 90ADC ∠=︒112BC CD AD ===E（I ）求证：平面；（II ）求证：平面平面；（III ）若，，求直线PA 与平面所成的角的正弦值.天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习高一年级数学参考答案1.Α2.D3.C4.B5.D6.B7.A 8.D9.C10.B11.12.13.14.15.，16.（I；（II ）；（III ）（I ）解：当时，.所以，.（II ）解：若复数是纯虚数，则解得所以，.（III ）解：复数在复平面内对应的点位于第三象限，则即所以，实数的取值范围是.17.（I ）（II ）（I ）解：由所给数据可知，一等品零件共有5个.设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则.//AB PCE PAB ⊥PBD 2PA =PB =PBD 1125310-11023104-(4,2)-1m =5i z =--||z ==()228(2)iz m m m =+-+-z 2280,20,m m m ⎧+-=⎨-≠⎩24,2,m m m ==-⎧⎨≠⎩或4m =-z 2280,20,m m m ⎧+-<⎨-<⎩42,2.m m -<<⎧⎨<⎩m 42m -<<5825A 5()8P A =所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为.（II ）解：一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：，，分共20种.设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有：，共有8种.所以，.答：从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等概率为.18.（I ）；（II（I.因为，，所以，，.因为，中，，所以，.（II ）解：由及余弦定理.得，解得或（舍）所以，.19.（I ），众数是75；（II ）在和按照分层随机抽样分别抽取9人，3人；（III ）估计该生能得到表彰.（I ）解：由频率分布直方图得：.解得，众数是75.（II ）解：因为，成绩在一组人数为30人，其频率，所以，样本容量为.成绩在和的频数为90，30.581A 2A 3A 4A 5A ()()()()(){()()()1213141521232425,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A Ω=()()()()()()()()()()31323435414243455152,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ()()}5354,,,A A A A B ()()()()()()()(){}1423253541325253,,,,,,,,,,,,,,,B A A A A A A A A A A A A A A A A =82()205P B ==255π6sin sin cos 0A B B A +=(0,π)B ∈sin 0B ≠tan A =ABC △(0,π)A ∈5π6A =a =b =2222cos a bc bc A =+-2340c c +-=1c =4c =-111sin 1222ABC S bc A ==⨯=△0.05a =[80,90)[]90,100()100.20.30.70.60.21a a a a a ⨯++++=0.05a =[50,60)0.20.05100.1⨯⨯=303000.1=[80,90)[]90,100设在和按照分层随机抽样分别抽取人，人，按照分层随机抽样.得，.所以，在和按照分层随机抽样分别抽取9人，3人.（III ）解：成绩低于80分的频率为0.6，成绩低于90分的频率为0.9.由题，表彰成绩排名前的学生，即被表彰的最低成绩为第75百分位数.设第75百分位数为，则在中，，解得.即第75百分位数为.所以，估计该生能得到表彰.20.（I）见解答；（II ）见解答；（III （I ）证明：因为，且，所以，四边形为平行四边形，所以，.因为，平面，平面，所以，平面.（II ）证明：因为，，，，所以，.所以，，即.又因为，平面平面，平面，平面平面，所以，平面.又因为，平面，所以，平面平面.（III ）解：作，垂足为.由（II ）知，平面平面，又平面平面平面，所以，平面.所以，PM 为直线PA 在平面上的射影，所以，为直线AP 与平面所成的角.在中，，，，所以，，即.在中，.[80,90)[]90,100x y121209030x y==9x=3y =[80,90)[]90,10025%t t [80,90)0.6(80)0.030.75t +-⨯=85t =8586<//BC AE BC AE =BCEA //AB EC AB ⊂/PEC EC ⊂PEC //AB PEC //AD BC 90ADC ∠=︒112BC CD AD ===BD AB ==2AD =222AB BD AD +=BD AB ⊥PAB ⊥ABCD BD ⊂ABCD PAB ABCD AB =BD ⊥PAB BD ⊂PBD PAB ⊥PBD AM PB ⊥M PAB ⊥PBD PAB ,PBD PB AM =⊂PAB AM ⊥PBD PBD APM ∠PBD PAB △AB =2PA =PB =222PA AB PB +=PA AB ⊥Rt PAB △PA AB AM PB ⋅===在中，.所以，直线AP 与平面.Rt AMP △sin AM APM AP ∠===PBD。
2023-2024学年天津市河西区高一下学期期末考试数学试卷(含解析)
2023-2024学年天津市河西区高一下学期期末考试数学试卷一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
1.下列情况适合用抽样调查的是( )A. 调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染B. 调查某批次汽车的抗撞击能力C. 调查某班学生的身高情况D. 学校招聘，对应聘人员进行面试2.已知事件A,B,C的概率均不为0，则P(A)=P(B)的充要条件是( )A. P(A∪B)=P(A)+P(B)B. P(A∪C)=P(B∪C)C. P(AB)=P(AB)D. P(AC)=P(BC)3.下列命题正确的是A. 一条直线和一点确定一个平面B. 两条相交直线确定一个平面C. 四点确定一个平面D. 三条平行直线确定一个平面4.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.655.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过5”的概率记为p1，“向上的点数之和大于5”的概率记为p2，“向上的点数之和为偶数”的概率记为p3，则( )A. p1<p2<p3B. p2<p1<p3C. p1<p3<p2D. p3<p1<p26.铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64(单位：cm)，则( )A. 铁棍的长度的极差为0.04cmB. 铁棍的长度的众数为3.62cmC. 铁棍的长度的中位数为3.625cmD. 铁棍的长度的第80百分位数为3.63cm7.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若m//α，n//β，α//β.则m//n；②若α//γ，β//γ，则α//β；③若m⊥α，n⊥β，α//β，则m//n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β．其中正确命题的序号是( )A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④8.袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球，从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为( )A. 15B. 25C. 35D. 459.如图，在正四棱锥S−ABCD中，E,M,N分别是BC,CD,SC的中点，当点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP⊥AC；②EP//BD；③EP//平面SBD；④EP⊥平面SAC．其中恒成立的为( )A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年天津市和平区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市和平区高一（下）期末数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z =11+i=（ ） A ．−12+12iB ．−12−12iC ．12+12iD ．12−12i2．一组数据7，6，8，4，4，9，5的第30百分位数为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．43．设向量a →=（﹣1，2）b →=(2，−1)，则(a →⋅b →)(a →+b →)等于（ ） A ．（1，1）B ．（﹣4，﹣4）C ．﹣4D ．（﹣2，﹣2）4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC =√10，则AB →•AC →等于（ ） A ．−32B ．−23C ．23D ．325．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=1，且a →与b →的夹角为π3，则|a →+2b →|=（ ） A ．12B ．16C ．2√3D ．√106．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γB ．若l ∥m ，且m ⊥α，则l ⊥αC ．若α⊥β，m ∥α，n ⊥β，则m ⊥nD ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β7．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形8．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（ ）A ．a 的值为0.005B ．估计这组数据的众数为75C ．估计这组数据的第85百分位数为86D ．估计成绩低于60分的有25人9．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为2，E 是CC 1的中点，则二面角E ﹣DB ﹣C 的正弦值为（ ）A ．√23B ．√33C ．√63D ．√3410．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时10√39海里，在A 处看灯塔S 在船的北偏东θ(sinθ=√34)的方向上．1小时后，船航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东3θ的方向上，则船航行到B 处时与灯塔S 之间的距离为（ ）A ．10√3海里B ．20√3海里C ．10√13海里D ．20√13海里二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.试题中包含两个空的，答对1个给3分，全部答对的给5分）11．某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为 人．12．已知向量a →=(2，1)，b →=(−3，4)，则向量b →在a →方向上的投影向量的坐标为 ．13．在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠ABC =90°，AB =1，BC =√5，PA =2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 ．14．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为45，乙每轮猜对的概率为34．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为 ；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为 ．15．如图，在△ABC 中，D 是线段BC 上的点，且DC →=2BD →，O 是线段AD 的中点，延长BO 交AC 于E点，设BO →=λAB →+μAC →，则λ+μ＝ ；若△ABC 为边长等于2的正三角形，则OE →⋅BC →= ．三、解答题（本大题共5小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）设复数z ＝（m 2﹣4m ﹣5）+（m 2+5m +4）i ，m 为实数． （1）当m 为何值时，z 是纯虚数； （2）若m ＝﹣2，求|z |的值；（3）若复数z 在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围． 17．（7分）已知向量a →，b →满足a →=(1，2)，|b →|=3． （1）若a →∥b →，求向量b →的坐标；（2）若(a →+b →)⊥a →，求向量a →与向量b →夹角的余弦值．18．（8分）一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y ．（1）写出试验的样本空间；（2）设事件A ＝“两次取出球的编号之和小于4”，事件B ＝“编号X ＜Y ”，分别求事件A ，B ，AB 发生的概率P （A ），P （B ），P （AB ）．19．（11分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π3，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积； （3）求sin （2A +B ）的值．20．（11分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 中点． （1）证明：PB ∥平面ACM ；（2）证明：AD⊥平面P AC；（3）求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值．2022-2023学年天津市和平区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z =11+i =（ ） A ．−12+12i B ．−12−12iC ．12+12iD ．12−12i解：z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=1−i 2=12−12i ． 故选：D ．2．一组数据7，6，8，4，4，9，5的第30百分位数为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．4解：将数据从小到大排列为4，4，5，6，7，8，9，共7个数据， 由7×30%＝2.1，故第30百分位数是第三个数据为5． 故选：C ．3．设向量a →=（﹣1，2）b →=(2，−1)，则(a →⋅b →)(a →+b →)等于（ ） A ．（1，1）B ．（﹣4，﹣4）C ．﹣4D ．（﹣2，﹣2）解：向量a →=（﹣1，2）b →=(2，−1)，则a →⋅b →=−2﹣2＝﹣4， 则有(a →⋅b →)(a →+b →)=−4（1，1）＝（﹣4，﹣4）． 故选：B ．4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC =√10，则AB →•AC →等于（ ） A ．−32B ．−23C ．23D ．32解：根据余弦定理可得cos A =AB 2+AC 2−BC 22×AB×AC =9+4−102×3×2=14，则AB →•AC →=3×2×14=32，故选：D ．5．已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=1，且a →与b →的夹角为π3，则|a →+2b →|=（ ）A ．12B ．16C ．2√3D ．√10解：根据题意，可得a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=2×1×12=1，所以(a →+2b →)2=|a →|2+4a →⋅b →+4|b →|2=4+4×1+4＝12，可得|a →+2b →|=√(a →+2b →)2=2√3．故选：C ．6．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γB．若l∥m，且m⊥α，则l⊥αC．若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m⊥n D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β解：对于选项A，若α⊥β，γ⊥β，则α与γ可能会相交或平行，故选项A错误；对于选项B，若l∥m，且m⊥α，根据线面垂直可知，l⊥α．故选项B正确；对于选项C，若α⊥β，m∥α，n⊥β，则m，n可能会平行、相交或异面，故选项C错误；对于选项D，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α与β可能会相交或平行，故选项D错误．故选：B．7．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos A＝b cos B，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解：∵a cos A＝b cos B，由正弦定理得，sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A＝2B或2A+2B＝π，∴A＝B或A+B=π2，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．8．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（）A．a的值为0.005B．估计这组数据的众数为75C．估计这组数据的第85百分位数为86D．估计成绩低于60分的有25人解：对A：10×（2a+3a+3a+6a+5a+a）＝1，即10×20a＝1，a＝0.005，故A正确；对B ：由面积最大的小长方形可知，估计这组数据的众数为75，故B 正确； 对C ：前4组频率之和为14×0.005×10＝0.7， 前5组频率之和为19×0.005×10＝0.95， 设这组数据的第85百分位数为x ，则0.7+（x ﹣80）×0.025＝0.85，x ＝86，故C 正确； 对D ：成绩低于60分的频率为0.025×10＝0.25， 故估计成绩低于60分的有1000×0.25＝250人，D 错误． 故选：D ．9．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，棱长为2，E 是CC 1的中点，则二面角E ﹣DB ﹣C 的正弦值为（ ）A ．√23B ．√33C ．√63D ．√34解：如图，取BD 中点O ，连接OE ，OC ， 因为ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正方体， 所以CD ＝CB ，ED ＝EB ， 因为O 为BD 中点， 所以OE ⊥BD ，OC ⊥BD ，因为平面BDE ∩平面BDC ＝BD ，OE ⊂平面BDE ，OC ⊂平面BDC ， 所以∠EOC 是二面角E ﹣DB ﹣C 的平面角， CE ＝1，OC =√2，OE =√2+1=√3， sin ∠EOC =CEOE =13=√33，所以二面角E ﹣DB ﹣C 的正弦值为√33． 故选：B ．10．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时10√39海里，在A 处看灯塔S 在船的北偏东θ(sinθ=√34)的方向上．1小时后，船航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东3θ的方向上，则船航行到B 处时与灯塔S 之间的距离为（ ）A ．10√3海里B ．20√3海里C ．10√13海里D ．20√13海里解：由题意可知AB ＝1×10√39=10√39海里，∠SAB ＝θ，∠SBA ＝π﹣3θ， 所以∠ASB ＝π﹣θ﹣（π﹣3θ）＝2θ，所以sin θ=√34，cos θ=√134，所以sin2θ＝2sin θcos θ=√398， 在△ABS 中，由正弦定理可得BSsinθ=AB sin2θ，即√34=√39√398，解得BS ＝20√3海里，故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.试题中包含两个空的，答对1个给3分，全部答对的给5分）11．某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为 3600 人．解：由题意知，高三年级抽取了36﹣15﹣12＝9人， 由于高三共有900人，所以抽样比为1100，所以高中学生总数为36×100＝3600．故答案为：3600．12．已知向量a →=(2，1)，b →=(−3，4)，则向量b →在a →方向上的投影向量的坐标为 （−45，−25） ． 解：因为向量a →=(2，1)，b →=(−3，4)，所以a →⋅b →=2×(−3)+1×4=−2，|a →|=√22+12=√5，所以向量b →在a →方向上的投影向量为a →⋅b →|a →|⋅a→|a →|=−25a →=(−45，−25)．故答案为：(−45，−25)．13．在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠ABC =90°，AB =1，BC =√5，PA =2，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 10π ．解：由题意可知，可将该三棱锥在长方体ABCD ﹣PB 1C 1D 1中作出， 所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球即为长方体ABCD ﹣PB 1C 1D 1的外接球， PC 为外接球的直径，所以PC =√1+5+4=√10， 所以外接球的半径为R =√102，所以三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝10π． 故答案为：10π．14．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为45，乙每轮猜对的概率为34．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲在两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为825；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为2150．解：设A 1，A 2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B 1，B 2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，则有P(A 1)=2×45×15=825，P(A 2)=(45)2=1625，P(B 1)=2×34×14=38，P(B 2)=(34)2=916， 设A ＝“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A ＝A 1B 2∪A 2B 1，且A 1B 2与A 2B 1互斥，A 1与B 2，A 2与B 1分别相互独立，所以P （A ）＝P （A 1B 2）+P （A 2B 1）＝P （A 1）P （B 2）+P （A 2）P （B 1）=825×916+1625×38=2150， 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是2150．故答案为：825；2150．15．如图，在△ABC 中，D 是线段BC 上的点，且DC →=2BD →，O 是线段AD 的中点，延长BO 交AC 于E 点，设BO →=λAB →+μAC →，则λ+μ＝ −12 ；若△ABC 为边长等于2的正三角形，则OE →⋅BC →= 56．解：在△ABC 中，D 是线段BC 上的点，且DC →=2BD →，O 是线段AD 的中点，延长BO 交AC 于E 点，设BO →=λAB →+μAC →，由于DC →=2BD →，则DB →+BC →=2BD →，则BD →=13BC →，又O 是线段AD 的中点，故BO →=12(BD →+BA →)=16BC →+12BA →=16(AC →−AB →)−12AB →=−23AB →+16AC →，则λ=−23，μ=16，故λ+μ=−23+16=−12； 设AC →=tAE →，而DC →=2BD →，O 是线段AD 的中点，故AO →=12AD →=12(AB →+BD →)=12AB →+16BC →=12AB →+16(AC →−AB →)=13AB →+16AC →=13AB →+t 6AE →， 又B ，O ，E 三点共线， 故13+t 6=1，则t ＝4，故OE →=AE →−AO →=14AC →−(13AB →+16AC →)=−13AB →+112AC →，则OE →⋅BC →=(−13AB →+112AC →)⋅BC →=13×22×12+112×22×12=56． 故答案为：−12；56．三、解答题（本大题共5小题，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）设复数z ＝（m 2﹣4m ﹣5）+（m 2+5m +4）i ，m 为实数．（1）当m 为何值时，z 是纯虚数；（2）若m ＝﹣2，求|z |的值；（3）若复数z 在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围．解：（1）若z 是纯虚数，则{m 2−4m −5=0m 2+5m +4≠0，解得m ＝5， 所以当m ＝5时，z 是纯虚数．（2）若m ＝﹣2，则z ＝7﹣2i ，所以|z|=√72+(−2)2=√53．（3）因为复数z =(m 2−4m −5)−(m 2+5m +4)i ，对应的点为（（m 2﹣4m ﹣5），﹣（m 2+5m +4））， 若复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则{m 2−4m −5＜0−(m 2+5m +4)＜0，解得﹣1＜m ＜5， 故实数m 的取值范围为（﹣1，5）．17．（7分）已知向量a →，b →满足a →=(1，2)，|b →|=3．（1）若a →∥b →，求向量b →的坐标；（2）若(a →+b →)⊥a →，求向量a →与向量b →夹角的余弦值．解：（1）根据题意，若a →∥b →，设b →=t a →=（t ，2t ），又由|b →|＝3，则有t 2+4t 2＝9，解可得t ＝±3√55， 则b →=（3√55，6√55）或（−3√55，−6√55）， （2）根据题意，设向量a →与向量b →夹角为θ，若(a →+b →)⊥a →，则（a →+b →）•a →=a →2+a →•b →=5+3√5cos θ＝0，变形可得：cos θ=−√53；故向量a →与向量b →夹角的余弦值为−√53．18．（8分）一个盒子中装有4个编号依次为1、2、3、4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y ．（1）写出试验的样本空间；（2）设事件A＝“两次取出球的编号之和小于4”，事件B＝“编号X＜Y”，分别求事件A，B，AB发生的概率P（A），P（B），P（AB）．解：（1）由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}；（2）由题意可知事件A＝{（1，1），（2，1），（1，2）}，共三个结果，故P(A)=3 16，事件B＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，共六个结果，故P(B)=616=38，事件AB包含的结果有（1，2）一个，故P(AB)=1 16．19．（11分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π3，c=37a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积；（3）求sin（2A+B）的值．解：（1）因为c=37 a，由正弦定理可得：asinA =csinC，即sinC=37sinA=3√314．（2）若a＝7，则c=37a=3，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即72=b2+32−2b×3×12，整理得b2﹣3b﹣40＝0，解得b＝8或b＝﹣5（舍去），所以△ABC的面积S△ABC=12bcsinA=12×8×3×√32=6√3．（3）因为A+B+C＝π，则A+B＝π﹣C，则sin（2A+B）＝sin（A+π﹣C）＝﹣sin（A﹣C），又因为c=37a，即c＜a，则C＜A=π3，可得cosC=√1−sin2C=13 14，所以sin（2A+B）＝﹣（sin A cos C﹣cos A sin C）＝﹣（√32×1314−12×3√314）=−5√314．20．（11分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC 中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 中点．（1）证明：PB ∥平面ACM ；（2）证明：AD ⊥平面P AC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的余弦值．（1）证明：连接BD ，OM ，因为底面ABCD 为平行四边形， O 为AC 中点，故BD 与AC 相交于O ，因为M 为PD 的中点，则OM ∥PB ，因为OM ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ，所以PB ∥平面ACM ；（2）证明：因为∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，由余弦定理得cos ∠ADC =AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD， 即cos45°=1+CD 2−12CD ，解得CD =√2， 因为AD 2+AC 2＝CD 2，所以AD ⊥AC ，因为PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD ， 因为AC ，PO ⊂平面P AC ，AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC ；（3）解：取OD 的中点N ，连接MN ，AN ，则MN ∥OP ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD ， 则∠MAN 为直线AM 与平面ABCD 所成角， 其中PO ＝2，故MN =12OP =1，因为AD ⊥AC ，AO =12AC =12，由勾股定理得OD =√AD 2+AO 2=√1+14=√52， 故AN =12OD =√54，由勾股定理得AM =√AN 2+MN 2=√214， 所以cos ∠MAN =AN AM =√54√214=√10521， 即直线AM 与平面ABCD 所成角的余弦值为√10521．。
2022-2023学年天津市南开区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A 为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A 互斥的事件是（ ） A ．所取的3个球中至少有一个白球 B ．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球 C ．所取的3个球都是黑球D ．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球 2．设复数z ＝1﹣2i ，则复数z 的模为（ ） A ．1B ．10C ．3D ．√53．已知|a →|=3，|b →|=4，且a →与b →的夹角θ＝120°，则a →•b →等于（ ） A ．﹣6B ．6C ．−6√3D ．6√34．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图（如图所示），则a 的值为（ ）A ．0.20B ．0.040C ．0.020D ．0.0105．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1﹣B 1C 1CB 的体积是（ ）A ．2√3B ．2√10C ．4√23D ．4√6π6．某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：那么这组数据的第80百分位数是（ ） A ．170B ．175C ．176D ．176.57．从数字1，2，3，4中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为（ ） A ．12B ．15C ．14D ．258．已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m C ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βD ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β10．已知C 为△ABC 的一个内角，向量m →=(2cosC −1，−2)，n →=(cosC ，cosC +1)．若m →⊥n →，则角C 等于（ ）． A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分11．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一介容量为68的样本，则此样本中女生人数为 ． 12．已知i 为虚数单位，复数z =3+2i2−i的共轭复数为 ． 13．已知向量a →=(1，3)，b →=(1，1)，则a →在b →方向上的投影向量为 ．14．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，O 为△ABC 的外心，则异面直线AC 1与OB 所成角的大小为 ．15．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD =√3，点M 在对角线AC 上，点N 在边CD 上，且AM →=14AC →，DN →=13DC →，则MN →⋅AC →= ． 三、解答题：本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（8分）复数z ＝（1﹣i ）2﹣3a +2+i （α∈R ）．（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标； （2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围．17．（10分）甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次．已知甲命中的概率是34，甲、丙都未命中的概率是112，乙、丙都命中的概率是14．若每人是否命中互不影响．（1）求乙、丙两人各自命中的概率；（2）求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率． 18．（12分）已知e 1→，e 2→是平面内两个不共线的非零向量，AB→=2e 1→+e 2→，BE→=−e 1→+λe 2→，EC→=−2e 1→+e 2→，且A ，E ，C 三点共线． （1）求实数λ的值；若e 1→=（2，1），e 2→=（2，﹣2），求BC →的坐标；（2）已知点D （3，5），在（1）的条件下，若ABCD 四点构成平行四边形，求点A 的坐标． 19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝1，sinA −sinC =ba+c(sinB −sinC)． （1）求角A ；（2）求△ABC 周长的取值范围．20．（13分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为菱形，PB ＝PD ，E ，F 分别为AB 和PD 的中点． （1）求证：EF ∥平面PBC ； （2）求证：平面PBD ⊥平面P AC ．2022-2023学年天津市南开区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A 为“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A 互斥的事件是（ ） A ．所取的3个球中至少有一个白球 B ．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球 C ．所取的3个球都是黑球D ．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球解：从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A 为“所取的3个球中至多有1个白球”即所取的3个球是3黑或2黑1白， ∴与事件A 互斥的事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球． 故选：B ．2．设复数z ＝1﹣2i ，则复数z 的模为（ ） A ．1B ．10C ．3D ．√5解：z ＝1﹣2i ，则|z |=√12+(−2)2=√5． 故选：D ．3．已知|a →|=3，|b →|=4，且a →与b →的夹角θ＝120°，则a →•b →等于（ ） A ．﹣6B ．6C ．−6√3D ．6√3解：由题意可得：a →⋅b →=|a →||b →|cos120°=3×4×(−12)=−6， 故选：A ．4．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图（如图所示），则a 的值为（ ）A ．0.20B ．0.040C ．0.020D ．0.010解：由频率分布直方图可知：每组频率依次为0.1，10a ，0.45，10a ，0.05， 则0.1+10a +0.45+10a +0.05＝20a +0.6＝1，解得a ＝0.020． 故选：C ．5．如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，则四棱锥A 1﹣B 1C 1CB 的体积是（ ）A ．2√3B ．2√10C ．4√23D ．4√6π解：如图，取B 1C 1的中点E ，连结A 1E ，A 1E ⊥B 1C 1，BB 1⊥面A 1B 1C 1，A 1E ⊂面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1E ，BB 1∩B 1C 1＝B 1，所以A 1E ⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1E 为四棱锥A 1B 1C 1CB 的高， 矩形BB 1C 1C 的面积为S ＝2×3＝6， 所以四棱锥A 1B 1C 1CB 的体积V =13×6×√3=2√3， 故选：A ．6．某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：那么这组数据的第80百分位数是（ ） A ．170B ．175C ．176D ．176.5解：将身高按升序排列得：168，169，169，170，172，173，173，174，175，175，175，176，177，179，182，因为15×0.8＝12，所以这组数据的第80百分位数是176+1772=176.5．故选：D ．7．从数字1，2，3，4中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被6整除的概率为（ ） A ．12B ．15C ．14D ．25解：从数字1，2，3，4中任取三个不同的数字，方法有：123，124，134，234共4种， 其中所抽取的三个数字之和能被6整除的有：1+2+3＝6共1种， 故所求概率为14．故选：C ．8．已知正四面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π解：因为正四面体的棱长为2，所以底面三角形的高为√3， 棱锥的高为ℎ=√22−(233)2=2√63， 设外接球半径为R ，则R 2=(2√63−R)2+(2√33)2，解得R =√62， 所以外接球的表面积为S =4πR 2=4π(√62)2=6π．故选：B ．9．已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m C ．若α⊥β，l ⊂α，则l ⊥βD ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β解：三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面α，β，对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； 对于B ，若l ∥α，m ⊂α，则l 与m 平行或异面，故B 错误； 对于C ，若α⊥β，l ⊂α，则l 不一定垂直β，故C 错误；对于D ，若l ∥α，l ⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确． 故选：D ．10．已知C 为△ABC 的一个内角，向量m →=(2cosC −1，−2)，n →=(cosC ，cosC +1)．若m →⊥n →，则角C 等于（ ）．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：m →=(2cosC −1，−2)，n →=(cosC ，cosC +1)，m →⊥n →，则2cos 2C ﹣cos C ﹣2cos C ﹣2＝0，即（2cos C +1）（cos C ﹣2）＝0，解得cos C =−12或cos C ＝2（舍去）， ∵C ∈（0，π）， ∴C ＝120°． 故选：C ．二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分11．某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一介容量为68的样本，则此样本中女生人数为 32 ．解：由题意可得：样本中女生人数为68×160180+160=32． 故答案为：32．12．已知i 为虚数单位，复数z =3+2i2−i 的共轭复数为 45−75i ．解：由题意可得：z =3+2i 2−i =(3+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=45+75i ， 所以复数z 的共轭复数为z =45−75i ． 故答案为：45−75i ．13．已知向量a →=(1，3)，b →=(1，1)，则a →在b →方向上的投影向量为 （2，2） ． 解：由题意可得：|b →|=√12+12=√2，a →⋅b →=1×3+1×1=4， 所以a →在b →方向上的投影向量为(a →⋅b →b→2)b →=2b →=(2，2)．故答案为：（2，2）．14．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，O 为△ABC 的外心，则异面直线AC 1与OB 所成角的大小为 π2．解：延长BO 交AC 于点M ，因为△ABC 为正三角形，则点M 为AC 的中点，可得BM ⊥AC ， 又因为AA 1⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，可得BM ⊥AA 1，且AC ∩AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，可得BM ⊥平面ACC 1A 1， 由于AC 1⊂平面ACC 1A 1，所以BM ⊥AC 1，即OB ⊥AC 1， 所以异面直线AC 1与OB 所成角的大小为π2．故答案为：π2．15．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD =√3，点M 在对角线AC 上，点N 在边CD 上，且AM →=14AC →，DN →=13DC →，则MN →⋅AC →= 73． 解：以{AB →，AD →}为基底向量，则AC →=AB →+AD →，MN →=MC →+CN →=34AC →−23AB →=34(AB →+AD →)−23AB →=112AB →+34AD →， 因为AB ＝1，AD =√3，且AB ⊥AD ， 则AB →⋅AD →=0，所以MN →⋅AC →=(112AB →+34AD →)⋅(AB →+AD →)=112AB →2+34AD →2=73．故答案为：73．三、解答题：本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（8分）复数z ＝（1﹣i ）2﹣3a +2+i （α∈R ）．（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标； （2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围． 解：（1）若z ＝（1﹣i ）2﹣3a +2+i ＝﹣2i ﹣3a +2+i ＝2﹣3a ﹣i 为纯虚数， 则2﹣3a ＝0，即a =23，此时复数z 在复平面内对应的点的坐标（0，﹣1）； （2）由（1）得z ＝2﹣3a ﹣i因为z 在复平面内对应的点位于第三象限， 所以2﹣3a ＜0，解得a ＞23．17．（10分）甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次．已知甲命中的概率是34，甲、丙都未命中的概率是112，乙、丙都命中的概率是14．若每人是否命中互不影响．（1）求乙、丙两人各自命中的概率；（2）求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．解：（1）记“甲投球命中”为事件A ，“乙投球命中”为事件B ，“丙投球命中”为事件C ， 则P(A)=34，P(AC)=[1−P(A)][1−P(C)]=14[1−P(C)]=112，解得P(C)=23， P(BC)=P(B)P(C)=23P(B)=14，解得P(B)=38， 所以乙、丙两人各自命中的概率分别为23、38．（2）甲、乙、丙三人中2人命中的概率P 1=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) =14×38×23+34×58×23+34×38×13=1532，甲、乙、丙三人中都命中的概率P 2=P(A)P(B)P(C)=34×38×23=316， 所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率P =P+1P 2=1532+316=2132．18．（12分）已知e 1→，e 2→是平面内两个不共线的非零向量，AB →=2e 1→+e 2→，BE →=−e 1→+λe 2→，EC →=−2e 1→+e 2→，且A ，E ，C 三点共线． （1）求实数λ的值；若e 1→=（2，1），e 2→=（2，﹣2），求BC →的坐标；（2）已知点D （3，5），在（1）的条件下，若ABCD 四点构成平行四边形，求点A 的坐标． 解：（1）∵AE →=AB →+BE →=(2e 1→+e 2→)+(−e 1→+λe 2→)=e 1→+(1+λ)e 2→， ∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE →=kEC →． 即e 1→+(1+λ)e 2→=k(−2e 1→+e 2→)， 得(1+2k)e 1→=(k −1−λ)e 2→．∵e 1→，e 2→是平面内两个不共线的非零向量， ∴{1+2k =0λ=k −1， 解得k =−12，λ=−32．∴BC →=BE →+EC →=−3e 1→−12e 2→=(−6，−3)+(−1，1)=(−7，−2)． （2）若ABCD 四点构成平行四边形ABCD ，又∵A ，E ，C 三点共线，e 1→，e 2→是平面内两个不共线的非零向量， ∴A ，B ，C 三点不共线，∴AD →=BC →时，四边形ABCD 为平行四边形 设A （x ，y ），则AD →=(3−x ，5−y)， 又BC →=(−7，−2)， ∴{3−x =−75−y =−2， 解得{x =10y =7，∴点A （10，7）．若ABCD 四点构成平行四边形ADBC ，设A （x ，y ），由AD →=CB →，即（3﹣x ，5﹣y ）＝（7，2），可得x ＝﹣4，y ＝3，即A （﹣4，3）； 若ABCD 四点构成平行四边形ACDB ，设A （x ，y ），由AB →=（6，0），可得B （6+x ，y ），由BC →=（﹣7，﹣2），可得C （x ﹣1，y ﹣2）， 由AB →=CD →，即（6，0）＝（4﹣x ，7﹣y ），可得x ＝﹣2，y ＝7，即A （﹣2，7）． 综上，可得A （10，7），或（﹣4，3），或（﹣2，7）．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a ＝1，sinA −sinC =ba+c (sinB −sinC)． （1）求角A ；（2）求△ABC 周长的取值范围． 解：（1）因为sinA −sinC =ba+c(sinB −sinC)， 由正弦定理可得a −c =ba+c (b −c)， 整理得b 2+c 2﹣a 2＝bc ，由余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，又A ∈（0，π）， 所以A =π3．（2）由正弦定理asinA =bsinB=csinC=√32=2√33，可得b=2√33sinB，c=2√33sinC，则△ABC周长a+b+c=1+2√33sinB+2√33sinC=1+2√33sinB+2√33sin(A+B)=1+2√33sinB+2√33(√32cosB+12sinB)=√3sinB+cosB+1=2sin(B+π6)+1，因为B∈(0，2π3)，则B+π6∈(π6，5π6)，可得sin(B+π6)∈(12，1]，所以△ABC周长a+b+c=2sin(B+π6)+1∈(2，3]，即△ABC周长的取值范围为（2，3]．20．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求证：平面PBD⊥平面P AC．证明：（1）取PC的中点G，∵F是PD的中点，∴FG∥CD，且FG=12 CD，又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，∴BE∥CD，且BE=12 CD，∴BE∥FG，且BE＝FG，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC；（2）设AC∩BD＝O，则O是BD中点，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵PB＝PD，O是BD中点，∴BD⊥PO，又AC∩PO＝O，AC⊂平面P AC，P O⊂平面P AC，∴BD⊥平面P AC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面P AC．。
天津市高一下学期期末数学试卷
天津市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设函数f（x）=cos2x﹣2sinxcosx﹣sin2x，g（x）=2cos2x+2sinxcosx﹣1，把f（x）的图象向右平移m个单位后，图象恰好为函数g（x）的图象，则m的值可以是（）A . πB . πC .D .2. （2分）运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A . -2B . 3C . 4D . 83. （2分）在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的，且样本容量为200，则第8组的频数为（）A . 40B . 0.2C . 50D . 0.254. （2分） (2018高二上·云南期中) 把化为二进制数为（）A .B .C .D .5. （2分）某数学兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选出2名同学参加数学竞赛，那么对立的两个事件是（）A . 恰有1名男生与恰有2名女生B . 至少有1名男生与全是男生C . 至少有1名男生与至少有1名女生D . 至少有1名男生与全是女生6. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 如图为某班名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全.已知该班学生投篮成绩的中位数是，则根据统计图，无法确定下列哪一选项中的数值（）A . 球以下（含球）的人数B . 球以下（含球）的人数C . 球以下（含球）的人数D . 球以下（含球）的人数7. （2分）“”是“”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充分必要条件D . 既非充分又非必要条件8. （2分）(2017·莆田模拟) 函数f（x）=cos（ωx+ ）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1， ]，则ω的取值范围是（）A . [ ， ]B . [ ， ]C . [ ，+∞）D . [ ， ]9. （2分）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则=（）C . 6D . 810. （2分）(2017·枣庄模拟) 若函数y=f（x）的图象上存在不同两点M、N关于原点对称，则称点对[M，N]是函数y=f（x）的一对“和谐点对”（点对[M，N]与[N，M]看作同一对“和谐点对”）．已知函数f（x）=则此函数的“和谐点对”有（）A . 0对B . 1对C . 2对D . 4对11. （2分） (2016高一下·兰陵期中) 已知函数f（x）= sin（2x﹣），当x∈[0， ]时，f（x）的最大值、最小值分别为（）A . 、﹣B . 1、﹣C . 1、﹣D . 、12. （2分）已知向量 =（cosα﹣2）， =（sinα，1），且，则tan（）=（）A .B . ﹣二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）非零向量，则的夹角为________．14. （1分） (2016高二下·银川期中) 在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．15. （1分） (2017高二下·高青开学考) 观察下面的数阵，第20行最左边的数是________．16. （1分）(2018·山东模拟) 已知G为△ABC的重心，点M，N分别在边AB，AC上，满足其中则△ABC和△AMN的面积之比为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2016·山东文) 设f（x）=2 sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 ．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．18. （10分）(2017·河南模拟) 某品牌的汽车4S店，对最近100例分期付款购车情况进行统计，统计结果如表所示，已知分9期付款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌的汽车．若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元．付款方式分3期分6期分9期分12期频数20 20 a b（1）若以表中计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3位顾客，求事件A：“至多有1位采用分6期付款”的概率P（A）；（2）按分层抽样的方式从这100位顾客中抽出5人，再从抽出的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列及数学期望E（η）．19. （10分） (2016高一下·随州期末) 已知 =（ sinx，2）， =（2cosx，cos2x），函数f（x）=，（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C和边a，b，c满足a=2，f（A）=2，sinB=2sinC，求边c．20. （5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的长；（2）求cos（•）的值；（3）求证A1B⊥C1M．21. （10分） (2016高一下·邵东期中) 解答（1）已知函数，求函数在区间[﹣2π，2π]上的单调增区间；（2）计算：．22. （5分）函数图象的一个最高点值为，且相邻两条对称轴之间的距离为（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）设α∈（0，π），则，求α的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
2022-2023学年天津市河西区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市河西区高一（下）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列情况适合用全面调查的是（ ） A ．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染 B ．调查某药品生产厂家一批药品的质量情况 C ．进行某一项民意测验 D ．调查黄河的水质情况2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β B ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊥α C ．若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥αD ．若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β4．一个容量为100的样本，将其数据按从小到大的顺序分为8组，如下表：则第三组的频数和频率分别是（ ） A ．14和0.14B ．0.14和14C ．114和0.14 D ．14和1145．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，部分图形缺失的频率分布直方图中，下列说法错误的是（ ）A ．第三组的频数为15人B ．估计样本的众数为75分C ．估计样本的中位数75分D ．估计样本的平均数为75分6．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1D 1，A 1B 1的中点，过直线BD 的平面α∥平面AMN ，则平面α截该正方体所得截面为（ ） A ．三角形 B ．五边形 C ．平行四边形D ．等腰梯形7．已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，如图所示，图中互相垂直的平面有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．5对8．排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率均为13，前2局甲队以2：0领先，则最后甲队获得比赛胜利的概率为（ ） A ．49B ．1127C ．1927D ．40819．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是棱DD 1和线段BC 1上的动点，则满足与DD 1垂直的直线MN （ ）A ．有且仅有1条B ．有且仅有2条C ．有无数条D ．不存在二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．某中学拟举行“长征英雄事迹我来讲”主题活动，用比例分配的分层随机抽样的方法从高中三个年级中抽取一个容量为50的样本，已知高三年级有750名学生，高二年级有850名学生，高一年级有900名学生，则高一年级抽取的学生人数为 ．11．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ． 12．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中n （Ω）＝24，n （A ）＝12，n （B ）＝8，n （A ∪B ）＝16，则P （AB ）＝ ；P(AB)= ．13．正三棱锥P﹣ABC中，P A＝3，AB=√3，则直线P A和平面ABC所成的角的正弦值为．14．从某珍珠公司生产的珍珠中任意抽取12颗，得到它们的质量（单位：g）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的第75百分位数是．15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，△PBC为等边三角形，二面角P﹣BC﹣A为30°，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为．三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（10分）某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图：（Ⅰ）求表中n，P的值和频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法，从样本成绩在[60，70]和[90，100]的学生中共抽取5人，再从这5人中选2人，求这2人的成绩是在[60，70]的概率．17．（12分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若从袋中随机抽取1个球，求取出的球编号为质数的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率．（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，求取出的球最大编号为4的概率．18．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC=√2，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面BCDE；（Ⅲ）求直线AE与平面ABC所成角的正切值．2022-2023学年天津市河西区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列情况适合用全面调查的是（）A．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染B．调查某药品生产厂家一批药品的质量情况C．进行某一项民意测验D．调查黄河的水质情况解：对于A，样本容量较小，适合用全面调查，故A正确；对于B，对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查，故B错误；对于C，由于民意测验的特殊性，不能对所有的人都进行调查，适合抽样调查，故C错误；对于D，无法将所有的黄河水进行水质检测，适合抽样调查，故D错误．故选：A．2．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）A．A与B互为对立事件B．P（A）＝P（B）C．A与B相等D．A与B互斥解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，事件A与B能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；P（A）＝P（B）=1，故B正确；2事件A与事件B不是同一个事件，故C错误．故选：B．3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m⊥α，m⊥n，则n⊥αC．若m⊥α，m∥n，则n⊥αD．若α⊥β，m⊥α，则m∥β解：设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则：在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；在C中，若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故C正确；在D中，若α⊥β，m⊥α，则m与β平行或m⊂β，故D错误．故选：C ．4．一个容量为100的样本，将其数据按从小到大的顺序分为8组，如下表：则第三组的频数和频率分别是（ ） A ．14和0.14B ．0.14和14C ．114和0.14 D ．14和114解：已知样本的容量为100，所以x ＝100﹣10﹣13﹣x ﹣14﹣15﹣13﹣12﹣9＝14， 即第三组的频数为14， 可得第三组的频数为14100=0.14．故选：A ．5．某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损，使部分图形缺失，如图，部分图形缺失的频率分布直方图中，下列说法错误的是（ ）A ．第三组的频数为15人B ．估计样本的众数为75分C ．估计样本的中位数75分D ．估计样本的平均数为75分解：分数在[60，70）内的频率为1﹣10×（0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）＝0.15， 所以第三组[60，70）的频数为100×0.15＝15（人），故A 正确；因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B 正确；因为（0.005+0.020+0.010）×10＝0.35＜0.5，（0.005+0.020+0.010+0.03）×10＝0.65＞0.5， 所以中位数位于[70，80），设中位数为x ， 则0.35+（x ﹣70）×0.03＝0.5， 解得x ＝75，即中位数的估计值为75，故C正确；样本平均数的估计值为：45×（10×0.005）+55×（10×0.020）+65×（10×0.010）+75×（10×0.03）+85×（10×0.025）+95×（10×0.01）＝73（分），故D错误．故选：D．6．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面为（）A．三角形B．五边形C．平行四边形D．等腰梯形解：根据题意，取B1C1的中点E，C1D1的中点F，连接EF，BE，DF，B1D1，则EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，连接ME，因为M，E分别为A1D1B1C1的中点，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四边形ABEM是平行四边形，所以AM∥BE，又因为BE⊂平面BDFE，AM不在平面BDFE内，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因为AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面a截该正方体所得截面为梯形BDFE；又由梯形BDFE中，BE＝DF=√1+14=√52，即平面α截该正方体所得截面为等腰梯形．故选：D．7．已知P A⊥矩形ABCD所在平面，如图所示，图中互相垂直的平面有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．5对解：∵P A ⊥矩形ABCD 所在平面， ∴P A ⊥AD ，AB ⊥AD ，又P A ∩AB ＝A ，P A 、AB ⊂平面P AB ，∴AD ⊥平面P AB ， ∵AD ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面P AB ， ∵AD ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面P AB ， ∵BC ∥AD ，∴BC ⊥平面P AB ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面P AB ， ∵P A ⊥矩形ABCD 所在平面， ∴P A ⊥AB ，AD ⊥AB ，∵P A ∩AD ＝A ，P A 、AD ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥平面P AD ，∵AB ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面P AD ， ∵CD ∥AB ，∴CD ⊥平面P AD ，∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面P AD ， 综上，图中互相垂直的平面有5对． 故选：D ．8．排球比赛的规则是5局3胜制（无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率均为13，前2局甲队以2：0领先，则最后甲队获得比赛胜利的概率为（ ） A ．49B ．1127C ．1927D ．4081解：若最后乙队获胜，即后3局必须都是乙队获胜，则其概率P 1=(1−13)3=827， 所以最后甲队获胜的概率是P =1−827=1927． 故选：C ．9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是棱DD 1和线段BC 1上的动点，则满足与DD 1垂直的直线MN （ ）A．有且仅有1条B．有且仅有2条C．有无数条D．不存在解：作NE⊥BC交于E，连接DE，在正方体中，可知DD1∥NE，当M，N的高度一样时，则MD＝NE，可得四边形MDEN为平行四边形，所以MN∥DE，正方体中，DD1⊥面ABCD，DE⊂面ABCD，所以DD1⊥DE，进而可证得DD1⊥MN，因为M，N点的位置无数多个，所以这样的直线MN由无数多条．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．某中学拟举行“长征英雄事迹我来讲”主题活动，用比例分配的分层随机抽样的方法从高中三个年级中抽取一个容量为50的样本，已知高三年级有750名学生，高二年级有850名学生，高一年级有900名学生，则高一年级抽取的学生人数为18．解：高三年级有750名学生，高二年级有850名学生，高一年级有900名学生，从高中三个年级中抽取一个容量为50的样本，则高一年级抽取的学生人数为50×900750+850+900=18．故答案为：18．11．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为310．解：方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊， 从5人中选3人有以下10个基本事件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊； 甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊； 故甲、乙被选中的概率为310．方法二：由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数C 53=10， 甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数C 31=3，根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P =C 31C 53=310． 12．如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中n （Ω）＝24，n （A ）＝12，n （B ）＝8，n （A ∪B ）＝16，则P （AB ）＝16；P(AB)=13．解：P （AB ）=n(AB)n(Ω)=n(A)+n(B)−n(A∪B)n(Ω)=12+8−1624=16； P （AB ）=n(AB)n(Ω)=n(Ω)−n(A∪B)n(Ω)=24−1624=13． 故答案为：16；13．13．正三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝3，AB =√3，则直线P A 和平面ABC 所成的角的正弦值为 2√23． 解：取正△ABC 中心为O ，连接AO 并延长交BC 于D ，连接PD ，则D 为BC 中点，PO ⊥平面ABC ，则∠P AO 为直线P A 和平面ABC 所成的角，Rt △PBD 中，PB ＝3，BD =√32，BD ⊥PD ，则PD =√332，Rt △POD 中，PD =√332，OD =13×√32×√3=12，OD ⊥PO ，则PO =√(√332)2−(12)2=2√2， 则sin ∠PAO =PO PA =2√23，则直线P A 和平面ABC 所成的角的正弦值为2√23． 故答案为：2√23． 14．从某珍珠公司生产的珍珠中任意抽取12颗，得到它们的质量（单位：g ）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的第75百分位数是 8.75 ．解：根据题意，将12个数据从小到大排列为：7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，由于12×75%＝9，则这组数据的第75百分位数是12（8.6+8.9）＝8.75．故答案为：8.75．15．在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，△PBC 为等边三角形，二面角P ﹣BC ﹣A 为30°，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为34．解：如图，设E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接PE ，PF ，EF ．由AB ∥CD ，得∠PCD （或其补角）为异面直线PC 与AB 所成的角， 因为底面ABCD 为正方形，△PBC 为等边三角形， 所以PE ⊥BC ，FE ⊥BC ，则∠PEF 为二面角P ﹣BC ﹣A 的平面角，∠PEF ＝30°． 又PE ⊂平面PEF ，FE ⊂平面PEF ，PE ∩FE ＝E ， 所以BC ⊥平面PEF ，因为PF ⊂平面PEF ，所以BC ⊥PF ， 又BC ∥AD ，所以AD ⊥PF ，设底面正方形的边长为2，则PE =√3， 在△PEF 中，由余弦定理得：PF ²＝PE ²+EF ²﹣2PE •EF cos ∠PEF ＝3+4﹣2×√3×2×√32=1， 所以PF ＝1，因为PF ⊥AD ，FD ＝1，所以PD =√2， 在△PCD 中，由余弦定理得：cos ∠PCD =PC 2+CD 2−PD 22PC⋅CD=4+4−22×2×2=34， 故异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为34．三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（10分）某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计，随机抽取了80名学生的成绩作为样本，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图：（Ⅰ）求表中n ，P 的值和频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法，从样本成绩在[60，70]和[90，100]的学生中共抽取5人，再从这5人中选2人，求这2人的成绩是在[60，70]的概率．解：（Ⅰ）已知n =5080=0.625，p =1080=0.125， 所以a =0.62510=0.0625；（Ⅱ）易知样本成绩在[60，70]和[90，100]的学生的人数之比为16：4＝4：1， 若从样本成绩在[60，70]和[90，100]的学生中共抽取5人，其中成绩在[60，70]的有4人，成绩在[90，100]的有1人，在从这5人中选2人，共C52种情况，其中这2人成绩均在[60，70]的共C42种情况，故这2人成绩是在[60，70]的概率为P=C42C52=610=35．17．（12分）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若从袋中随机抽取1个球，求取出的球编号为质数的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率．（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，求取出的球最大编号为4的概率．解：一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）从袋中随机抽取1个球，取出的球编号为质数的情况有2，3，5，则取出的球编号为质数的概率为P(A)=36=12；（Ⅱ）从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，基本事件总数n＝6×6＝36种，取出的两个球编号之和为6包含的基本事件有：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5种，则取出的两个球编号之和为6的概率为P(B)=56×6=536；（Ⅲ）一次从袋中随机抽取3个球，基本事件个数为C63，取出的球最大编号为4包含的基本事件个数为C32C11，则取出的球最大编号为4的概率为P（C）=C32C11C63=320．18．（12分）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC=√2，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：AC⊥平面BCDE；（Ⅲ）求直线AE与平面ABC所成角的正切值．证明：（Ⅰ）取AC的中点G，连结FG，BG．∵F是AD的中点，∴FG=∥12 CD，又BE=∥12CD，∴FG=∥BE．∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG，又EF⊄平面ABC，BG⊂平面ABC．∴EF∥平面ABC．（Ⅱ）取DC的中点H，连结BH，∵∠CDE＝∠BED＝90°，BE∥DH，BE＝DH＝DE＝1，∴四边形BEDH是正方形，∴BH＝CH＝1，BH⊥CH，∴BC=√2，又AC=√2，AB＝2，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC．∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BCDE．（Ⅲ）过点E作EM⊥BC交BC的延长线于点M，连结AM，因为平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，EM⊂平面BCDE，∴EM⊥平面ABC，∴∠EAM为直线AE与平面ABC所成角，∵∠HBC＝45°，∠EBH＝90°，∴∠EBM＝45°．∵BE＝1，∠EMB＝90°，∴EM＝BM=√22．∴AM=√MC2+AC2=√262，∴tan∠EAM=EMAM=√1313．。
天津市高一下学期数学期末考试试卷
天津市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）设全集则=（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·银川模拟) 现有四个函数①y=x•sinx；②y=x•cosx；③y=x•|cosx|；④y=x•2x的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A . ①④②③B . ①④③②C . ④①②③D . ③④②①3. （2分）(2017·平谷模拟) 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A . y=x2+1B . y=|lgx|D . y=ex﹣14. （2分） (2016高一下·宜昌期中) 已知，，则与的夹角为（）A .B .C .D . π5. （2分）已知sin5.1°=m，则sin365.1°=（）A . 1+mB . ﹣mC . mD . 与m无关6. （2分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A . y=sinB . y=sin（x-)C . y=sin(x-)D . y-sin(2x-)7. （2分）若命题“使得”为假命题，则实数m的取值范围是（）B .C .D .8. （2分）已知，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高一下·南充期末) 已知等差数列{an}，a3=﹣a9 ，公差d＜0，则使前n项和Sn取是最大值的项数n是（）A . 4或5B . 5或6C . 6或7D . 不存在10. （2分）函数的图象大致是（）A .B .C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高一下·瓦房店期末) 与向量垂直且模长为的向量为________．12. （1分）在下列4个函数：① ；②y=sinx；③y=﹣tanx；④y=﹣cos2x、其中在区间上增函数且以π为周期的函数是（把所有符合条件的函数序列号都填上）________13. （1分）内接于半径为R的圆的矩形，周长最大值为________．14. （1分）等比数列首项a＞0，公比q＞0，前n项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，则a=________，q=________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）已知函数f（x）=2sin（ϖx+φ）对任意x都有f（ +x）=f（﹣x），则|f（）|=________．16. （1分） (2018高一上·张掖期末) ________．17. （1分）△ABC是边长为1的正三角形，点O是平面上任意一点，则|+-2|=________四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）已知集合A={x|1＜x＜8}，集合B={x|x2﹣5x﹣14≥0}（Ⅰ）求集合B（Ⅱ）求A∩B．19. （10分） (2019高三上·牡丹江月考) 在等差数列中，，且、、成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的公差不为，设，求数列的前项和 .20. （10分） (2019高一下·上海月考) 在△ 中，角、、的对边分别为、、，且满足 .（1）求角的大小；（2）若，求△ 的面积最大值及取得最大值时角的大小.21. （10分） (2018高一下·西华期末) 如图，为线段的中点，，，设，，试用，表示，， .22. （10分）对于二次函数y=﹣4x2+8x﹣3，（1）指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标；（2）画出它的图象，并说明其图象由y=﹣4x2的图象经过怎样平移得来；（3）求函数的最大值或最小值；（4）分析函数的单调性．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分) 15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共50分) 18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、22-4、。
天津市部分区2021~2022学年高一下学期期末考试数学试卷含答案
天津市部分区2021~2022学年度第二学期期末考试高一数学一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()2,1,1,2a b =-=- ，则a b += （）A.()1,1-- B.()1,2-- C.()2,1-- D.()2,2--【答案】A 【解析】【分析】由向量坐标的加运算直接计算即可.【详解】因为(2,1)a =- ，(1,2)b =-，所以(2,1)(1,2)(1,1)a b +=-+-=--.故选：A.2.若复数()i 1i z =+（i 为虚数单位），则z =（）A.1B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】先由已知求出复数z ，再求其模即可【详解】因为()i 1i 1i z =+=-+，所以z ==，故选：B3.棱长为1的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（）（注：球的体积34π3V R =，其中R 为球的半径）A.2 B.3C.3D.π3【答案】A 【解析】【分析】由正方体外接球直径与其体对角线长之间的关系，求出球半径即可计算作答.【详解】因正方体的体对角线长等于该正方体外接球直径，则球半径32R==，所以球的体积为3433π322V==.故选：A4.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（）A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形在直观图中仍然是正方形D.平行的线段在直观图中仍然平行【答案】D【解析】【分析】根据斜二测画法的规则对四个选项逐一分析即可.【详解】选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A错误.选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一般，故B错误.选项C：正方形的两临边相等，但在直观图中不相等，C错误.选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D正确.故选：D.5.假设()()0.5,0.6P A P B==，且A与B相互独立，则()P A B=（）A.0.3B.0.6C.0.8D.0.9【答案】C【解析】【分析】根据独立事件的并事件的概率公式：()()()()()P A B P A P B P A P B=+-，代入运算求解．【详解】()()()()()0.50.60.50.60.8 P A B P A P B P A P B=+-=+-⨯=故选：C．6.在ABC中，角,,A B C的对边分别为,,a b c.若2,30a b C=== ，则c的值为（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理直接求解即可.【详解】在ABC 中，已知2a =，b =，30C =︒，由余弦定理得：222232cos 22212c a b ab C =+-=+-⨯⨯=.所以1c =.故选：A.7.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A.平均数为3，中位数为2B.中位数为3，众数为2C.平均数为2，方差为2.5D.中位数为3，方差为2.8【答案】C 【解析】【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项．【详解】对于A ，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A 错误；对于B ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C ，若平均数为2，且出现6点，则方差22162 3.2 2.55S ＞（﹣）＝＞，∴平均数为2，方差为2.5时，一定没有出现点数6，故C 正确；对于D ，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：11233635x =++++（）＝方差为22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦＝（）（）（）（）（）＝，可以出现点数6，故D 错误．故选：C ．8.甲､乙两人独立地破译一份密码，已知甲､乙能破译的概率分别是11,23，则密码被破译的概率为（）A.16 B.13C.12D.23【答案】D。
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天津市高一下学期期末数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）直线的倾斜角的大小为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）已知直线l1:(a+1)x+y-2=0与直线l2:ax+(2a+2)y+1=0互相垂直,则实数a的值为（）
A . 1或2
B . 1或-2
C . -1或2
D . -1或-2
3. （2分） (2016高二上·秀山期中) 某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分学生进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的人数是（）
A . 8
B . 10
C . 12
D . 15
4. （2分）(2017·安徽模拟) 如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是14，则判断框内填入的条件可以是（）
A . S≥10？
B . S≥14？
C . n＞4？
D . n＞5？
5. （2分） (2015高三上·秦安期末) 变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）
A .
B .
C .
D . 5
6. （2分）下面是2×2列联表：
y1y2总计
x1a b73
x222c47
总计7446120
则a+b+c等于（）
A . 96
B . 97
C . 99
D . 98
7. （2分） (2018高一下·南阳期中) 在抛掷一颗骰子的实验中，事件A表示“出现的点数不大于3”，事件B表示“出现的点数小于5”，则事件（B的对立事件）发生的概率.（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）已知三点,则外接圆的圆心到原点的距离为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）
A . 84,4.8
B . 84,1.6
C . 85,4
D . 85,1.6．
10. （2分） (2017高二下·彭州期中) 执行如图所示的程序框图，则输出S=（）
A . 2
B . 6
C . 15
D . 31
11. （2分）(2012·广东) 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分）平行直线l1：3x+4y﹣12=0与l2：6x+8y﹣15=0之间的距离为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共5题；共5分)
13. （1分）下列各数85（9）、210（6）、1000（4）、111111（2）中最小的数是________
14. （1分） (2015高三上·连云期末) 若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为________．
15. （1分）(2017·黑龙江模拟) 实数x，y满足不等式组：，若z=x2+y2 ，则z的取值范围是________．
16. （1分）直线x﹣2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是________．
17. （1分）一组数据为﹣1，﹣1，0，1，1，则这组数据的方差为________．
三、解答题 (共5题；共55分)
18. （5分） (2017高一上·西安期末) 直线l过直线x+y﹣2=0和直线x﹣y+4=0的交点，且与直线3x﹣2y+4=0平行，求直线l的方程．
19. （10分） (2016高一下·华亭期中) 盒中有6只灯泡，其中有2只是次品，4只是正品．从中任取2只，试求下列事件的概率．
（1）取到的2只都是次品；
（2）取到的2只中恰有一只次品．
20. （15分） (2019高三上·沈阳月考) 经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：
年龄2832384248525862
收缩压（单位
114118122127129135140147
其中：，
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（的值精确到）
（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的
倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群．一位收缩压为的70岁的老人，属于哪类人群？
21. （10分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
公式和临界值表参考第20题
生产能手非生产能手合计
22. （15分） (2017高一下·赣州期末) 已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．（1）求证：直线l恒过定点；
（2）当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；
（3）若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共5题；共55分)
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
20-3、
21-1、21-2、
22-1、
22-2、
22-3、
第11 页共11 页。