函数的点对称和线对称问题

函数的点对称和线对称问题

对称问题是中学数学中常见的一类问题，抽象函数的对称问题是其中的重要组成部分。函数的对称问题又分为点对称问题和直线对称问题，下面，谈谈这两种对称问题。

一、点对称问题

所谓点对称问题，即：中心对称问题，其具体表现形式为：

1、若函数恒满足，则函数的图象关于点对称。

2、若函数的定义域为R，且是奇函数，则函数的图象关于点对称。

3、函数与函数的图象关于点对称。

例1、与直线关于点对称的直线的方程是（）

解析：对于直线，可以看作是函数，则其关于点对称的函数为，即：，故应选（A）。

例2、定义域为R的函数恒满足，当>2时，单调递增，如果，则有，那么的值为（）

解析：由，得

即：函数的图象关于点（2，0）对称。

又当>2时，单调递增,所以函数的图象在定义域为R也单调递增，且

又因，有

则、中必有一个大于2，一个小于2，设小于2，则大于2，,由单调性得

所以，应选（C）。

二、直线对称问题

所谓直线对称问题，即：轴对称问题，其具体表现形式为：

以下函数的定义域都为R

1、函数与函数的图象关于轴对称。

2、函数与函数的图象关于轴对称。

3、函数与函数的图象关于直线对称。

4、函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称。

5、若函数对于任意的实数恒有，则函数的图象关于直线对称。

例3、若函数=任意的实数恒有，则（）

解析：由对于任意的实数恒有，知二次函数的对称轴为，所以

∵抛物线开口向上，在时，单调递增

例4、函数=，若是偶函数，则的一个可能值是（）

解析：由是偶函数，知函数的一条对称轴为轴。

⑵、定义域为R的函数满足下列三个条件：①,②对于任意的都有，③的图象关于轴对称，则下列结论中，正确的是（）

⑶、定义域为R的函数满足为奇函数，当时，；那么，当时，的减区间是（）

⑷、设定义域为R的奇函数，且的图象关于直线对称，则（）。

⑸、若为奇函数，为偶函数，且，则（）。

答案：⑴、（C），⑵、（B），⑶、（C），⑷、0，⑸、。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”