专题4 函数的概念及其表示方法

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专题4 函数的概念与三要素

专题4 函数的概念与三要素知识点一函数的概念解析获取vx ：lingzi980一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(1)x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y ＝f (x )仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，f (x )也不一定就是解析式． (3)除f (x )外，有时还用g (x )，u (x )，F (x )，G (x )等符号来表示函数．知识点二函数定义域 1.基本的函数定义域限制（1）分式中的分母不为0；（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0；（3）零指数幂的底数不为0；（4）指数式的底数大于0且不等于1；（5）对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0；（6）正切函数x y tan =R x ∈(且)2Z k k x ∈+≠，ππ．【例1】若函数)(x f y =的定义域为22{|}M xx =≤≤－，值域为02{|}N y y =≤≤，则函数)(x f y =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【例2】下列函数()f x 与()g x 表示同一函数的是（） A ．()f x()g x = B ．()f x x =与32()1x g x x x +=+C ．y x =与2y =D ．()f x ()g x 【例3】（2022•北京）函数1()f x x=．【例4】（2022•上海）下列函数定义域为R 的是( ) A ．12yx -= B ．1y x -= C ．13y x =D ．12y x =2.可转化为二次函数定义域问题xx xx【例5】若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为．【例6】已知函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域是R ，求实数k 的取值范围．归纳总结：在关于二次函数定义域为一切实数的时候，除了分析判别式以外，还要考虑二次项系数． 3.抽象函数的定义域求法此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若()f x 的定义域为()a b ，，求[()]f g x 中()a g x b <<的解x 的范围，即为[()]f g x 的定义域．①．已知)(x f 的定义域，求复合函数()[]f g x 的定义域【例7】已知函数()f x 的定义域为[15]-，，求(35)f x -的定义域． ②．已知复合函数[()]f g x 的定义域，求)(x f 的定义域若[()]f g x 的定义域为x a b ∈（，），则由a x b <<确定()g x 的范围即为()f x 的定义域．【例8】已知函数2(22)f x x -+的定义域为[03]，，求函数()f x 的定义域． ③．已知复合函数()[]f g x 的定义域，求()[]f h x 的定义域先由()[]f g x 定义域求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域求得()[]f h x 的定义域．【例9】已知函数(23)f x -的定义域是(13)-，，求函数1(6)2f x +的定义域．④．已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．【例10】若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)g x f x f x =-++的定义域．1.函数()01(4)2||f x x x =+--的定义域为．2.（2019•江苏）函数y =的定义域是．3.（2021•全国）函数()f x = ．4.（2020•北京）函数f 1()1x lnx x =++的定义域是． 5.（2022•新兴区期末）若函数()y f x =的定义域是[1，3]，则函数(21)()f x h x lnx-=的定义域是( ) A ．[1，3]B ．(1，3]C ．(1，2]D ．[1，2]6，（2022•香坊区期末）已知函数2(1)f x +的定义域为[1，2]，则函数()()(2)f xg x lg x =-的定义域为( )A ．[2，5]B ．(2，3)(3⋃，5]C ．(2，5]D ．[2，3)(3⋃，5]7，（2022•兴庆区期末）若函数y =R ，则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1(0,)2C ．1[0,)2D ．1[0,]28.（2022•盘龙区月考）下列每组函数不是同一函数的是( )A ．2()1,()f x x g x =-=B ．()1,()f x x g x =-C ．24(),()22x f x g x x x -==+-D ．()||,()f x x g x ==知识点三函数的解析式 1.待定系数法求函数解析式已知函数解析式的类型时，可用待定系数法求其函数解析式．【例11】求下列函数的解析式．（1）若一次函数()f x 满足[()]91f f x x =+，求()f x 的函数解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且(0)2(1)()1f f x f x x =+-=-，，求()f x 的讲解析式．注意解析式类型已知的，一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式2y ax bx c =++，顶点式2()y a x h k =-+和两点式12()()y a x x x x =--的选择． 2.换元法求函数解析式已知复合函数[()]f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围．【例12】（1）若函数()f x 满足221()f x x -=，求函数()f x 的解析式；（2）已知函数()f x 满足22112x f x x--()=，求函数f x ()的解析式．3.配凑法求函数解析式当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．【例13】已知函数()f x 满足2211()x x x f x x +++=，求()f x 的函数解析式． 4.方程组法求函数解析式若已知成对出现()f x ，1()f x或()f x ，()f x -，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出()f x ．【例14】（1）已知函数()f x 满足3()2()3f x f x x +-=+，求()f x 的解析式；（2）已知函数()f x 满足95)1(2)(+=+x xf x f ，求)(x f 的解析式；（3）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，并且1()()1f xg x x +=-，求()f x 和()g x 的函数解析式．注意函数方程的问题，需建立关于()f x 的方程组，如本例4，若函数方程中同时出现()f x 、1()f x，则一般x 用1x代之，构造另一个方程．5.迭代法求函数解析式当出现类似“数列”类型的抽象函数表达式时，可采用递推迭代的方法求出()f x ．【例15】已知函数()f x 的定义域是正整数集*N ，(1)1f =，且(1)()5f x f x +=+，求()f x 的函数解析式．6.分段函数的解析式分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．【例16】设函数=)(x f 22220x x x x x ⎧++≤⎪⎨->⎪⎩，，，若2))((=a f f ，则a = ．【例17】已知函数2(5)232f x x x =--，5(2)g x x =-．求：（1）)2(f ，)2(g ；（2）))2((g f ，))2((f g ；（3）(())f g x ，(())g f x ．总结求函数值时，遇到本例题中（2）（3）这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如(())f g x ，里层函数就是()g x ，外层函数就是()f x ，其对应关系可以理解为()(())g fx g x f g x −−→−−→，类似的(())g f x 为()(())f gx f x g f x −−→−−→，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果．9.（2022•湖南月考）已知函数2(23)f x x +=，则函数()f x 的表达式为（） A ．2139424x x -+ B ．2119424x x ++C ．24129x x ++D ．24129x x -+10.（2022•保定二模）若函数2112()1x f x x x-=-+，则函数()()4g x f x x =-的最小值为( ) A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-11．若一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，则函数()f x = ．12．已知()2f x x a =+，21()(3)4g x x =+，若2[()]1g f x x x =++，则a = ．13．（2022•盐田期中）已知2(1)lg f x x+=，则()f x = ．14．求下列函数的解析式．（1）已知2()2f x x x =+，求(21)f x +；（2）已知1)f x =+()f x ；（3）已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ．15.已知函数210()1()20x x f x x g x x x ->⎧=-=⎨-<⎩，，，．（1）求((2))f g ，((2))g f ，(((2)))g g g -的值；（2）求(())f g x ，(())g f x 的解析式．16.已知函数满足3(1)2(1)2f x f x x -+-=，求()f x 的解析式．知识点四函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 1.函数值域的常规求法（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+可用换元法．即设t =转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭；（4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（a m 、中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域，也可以分离常数后换元．【例18】求下列函数的值域：（1）1y =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x -=+；（4）y = 【例19】（1）已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为（） A ．14B ．12C．2 D（2）设2 ||1() ||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，，，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是)0[∞+，，则()g x 的值域是（）A ．)1[]1(∞+--∞，，B ．)0[]1(∞+--∞，，C ．)0[∞，D ．)1[∞+，总结函数的值域问题是每年高考必考内容，而且既有常规题型，也有创新题．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（3）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出[()]f g x 的值域，要求()g x 的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．【例20】求函数的值域22221x x y x x -+=++．2. 函数值域的单调性求法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值．（原理：同增异减）【例21】求函数212log (4)y x x =-的值域．【例22】求函数)102(1log 235≤≤-+=-x x y x 的值域．【例23】（2022•浙江）已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+->⎪⎩则1(())2f f = ；若当[x a ∈，]b 时，1()3f x ，则b a -的最大值是． 3. 函数值域的换元求法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型．换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用．适用类型：无理函数、三角函数（用三角代换）等．【例24】求函数y x =+1-x 的值域．（注：此题可利用函数单调性直接求函数的值域）4. 函数值域的数形结合求法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目．适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型．【例25】（2022•北京）设函数21,,()(2),ax x a f x x x a -+<⎧=⎨-⋅⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为；a 的最大值为．【例26】求函数22)8()2(++-=x x y 的值域．【例27】求函数5413622++++-=x x x x y 的值域．5. 复合函数值域不变性（保值性）形如(或化为)[()]f g x 的函数的值域，抓住最关键一点就是“内值外定”就是内函数看值域是否满足外函数定义域，如果内函数值域完全填满外函数定义域，那么外函数的值域即为整个函数的值域，我们将这个原理叫做复合函数“保值性”，这个问题我们在《秒2》中关于同构式性质中已经阐述．【例28】已知定义在R 上的函数)(x f 的值域为]32[，-，则函数(2)f x -的值域为（） A ．]14[，-B ．]50[，C ．]51[]04[，， -D ．]32[，-【例29】已知函数)(x f 的定义域为[01]，，值域为]21[，，则函数)2(+x f 的定义域和值域分别是．【例30】（2014·重庆）函数2()log )f x x =的最小值为． 6.值域最值逆用【例31】已知函数y =[0+∞，)，则k 的取值范围是．【例32】已知函数212()log (23)f x x ax =-+．（1）若函数)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数)(x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围． 7.值域与双变量函数不等式问题（包裹性定理）定理一若()y f x =满足12x x D ∀∈，，12()()f x f x m -<恒成立，则在区间D 上max min ()()f x f x m -< 如图3-3-4所示，令AB m =，则12()()f x f x m -<恒成立．图3-3-4 图3-3-5xB定理二若()()y f x y g x ==，满足1122x D x D ∀∈∈，，12()()f x g x >恒成立，则在各自区间上min max ()()f x g x >；如图3-3-5所示，()f x 的区域始终在()g x 区域上方才满足条件．图3-3-6 图3-3-7定理三（包裹性定理）若()()y f x y g x ==，满足若1x D ∀∈，总0x D ∃∈，使得01()()f x g x =成立, 则在区间D 上min min max max ()()()()f x g x f x g x <⎧⎨>⎩；如图3-3-6，()y f x =所在区域能包含()y g x =所在区域时，满足条件．定理四若()()y f x y g x ==，满足11x D ∀∈，总22x D ∃∈使得12()()f x g x >能成立，则在区间D 上min min ()()f x g x >；如图3-3-7，()y f x =所在区域最小值大于()y g x =所在区域最小值时，满足条件．注意包裹性定理的关键在于区别符号∀与∃，还要看是否有两个区间与1122x D x D ∈∈，．【例33】已知函数1()x f x e =－，2(4)3g x x x =--＋，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（） A ．]2222[+-，B ．)2222(+-，C ．]31[，D ．)31(，【例34】已知()21()lg(31)()2x f x x x g x m =++=-，，若对任意1[03]x ∈，，存在2[12]x ∈，，使12()()f x g x >，则实数m 的取值范围是．【例35】已知2(2)23x f x x =-+．（1）求()f x 的解析式；（2）函数2(2)5()1x a x ag x x +-+-=-，若对任意1[24]x ∈，，总存在2[24]x ∈，，使12()()g x f x =成立，求a 的取值范围．17.（2022•兴庆区期末）函数()f x x =( ) A ．[2，)+∞B ．7[,)4+∞C ．[0，)+∞D ．(2,)+∞18.（2022•道里区期末）下列说法中正确的是( ) A ．函数2123y x x =-+的值域为1(,]2-∞ B．函数2y =[2，)+∞C．函数y =[2,x )maxx )minminD ．若函数22log (2)y ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是[0，1]19.（2022•松原月考）设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x x e f x e =-+，则下列叙述中正确的是( ) A ．[()]f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．[()]f x 的值域是{1-，0，1}20.（2022•秀英区期中）设函数2log (1),2()23,2x x x f x x ->⎧=⎨-⎩，则以下结论正确的为( )A ．()f x 为R 上的增函数B ．()f x 有唯一零点0x ，且012x <<C ．若()5f m =，则33m =D ．()f x 的值域为R 21．（2022•漳州模拟）已知函数22()9xf x x =+，则( ) A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是偶函数C ．函数(2022)y f x =+的零点为0D ．当0x >时，()f x 的最大值为1322.（2017•浙江）已知a R ∈，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是． 23.若函数()y f x =的值域是[1，3]，则函数()1(3)F x f x =-+的值域是（）A ．]38[--，B ．]15[--，C ．]02[，-D ．]31[，24.函数()f x x =-（） A ．1(0)2，B ．1(0]2，C ．]21(，-∞D ．1()2-∞，25.（2022•香坊区期末）已知()f x 是R 上的单调函数，若[()2f f x -=，则()2()()f xg x f x -=的值域为( )A ．[1-，0)B ．[1-，1)C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞26.（2022•阜阳期末）若函数()f x 在区间[a ，]()b a b <上的值域是[a ，]b ，则称区间[a ，]b 是函数()f x 的一个“等域区间”．下列函数存在“等域区间”的是( ) A ．21y x x =-+B ．21x y =-C ．2y lgx =+D ．sin y x =27．（2022•遵义期末）设函数21,()21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．128.（2022•高州市期末）已知函数()log (1)log (3)(0a a f x x x a =-++>且1)a ≠在定义域内存在最大值，且最大值为2，21()2x xm g x ⋅-=，若对任意1[1x ∈-，1]2，存在2[1x ∈-，1]，使得12()()f x g x ，则实数m 的取值可以是( ) A ．1-B ．0C ．2log 7D ．329.函数()f x =（）A ．1+B ．3C ．4D ．530．设函数()2f x =()1g x ax a =+-，若对任意1[0)x ∈+∞，都有2(1]x ∈-∞，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为．31. 已知函数()f x x =，2()252()g x x mx m m R =-+-∈，对于任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是．。

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题04 函数及其表示含解析

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题04函数及其表示最新考纲1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).基础知识融会贯通1．函数与映射于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 2.(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .重点难点突破【题型一】函数的概念【典型例题】若函数y ＝f （x ）的定义域为M ＝{x |﹣2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f （x ）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B 满足函数定义，故符合；对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选：B ．【再练一题】下列四组函数中，表示同一函数的是（） A ．B ．y ＝arcsin （sin x ）和y ＝sin （arcsin x ）C ．y ＝x 和y ＝arccos （cos x ）D．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x2（x∈{0，1}）【解答】解：A．y＝log22x＝x，函数的定义域为R，y x，函数的定义域为{x|x＞0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数B．y＝sin（arcsin x）的定义域为[﹣1，1]，y＝arcsin（sin x）的定义域是R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．C．y＝arccos（cos x）的值域是[，]，y＝x的值域是R，不是相同函数．D．y＝x对应的点为（0，0），（1，1），y＝x2对应的点为（0，0），（1，1），两个函数是同一函数，故选：D．思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同．【题型二】函数的定义域问题命题点1求函数的定义域【典型例题】若函数f（x）ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（）A．（﹣1，2] B．（﹣1，1）C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]【解答】解：解得，﹣1＜x≤2；∴要使g（x）有意义，则：；解得﹣1＜x＜1；∴g（x）的定义域为（﹣1，1）．故选：B．【再练一题】已知函数f（x）的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2）B．（1，4）C．R D．（，﹣1）∪（1，）【解答】解：∵数f（x）的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得x＜﹣1或1＜x．即函数f（x2）的定义域是（，﹣1）∪（1，）．故选：D．命题点2已知函数的定义域求参数范围【典型例题】设函数f（x）．（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝5时，f（x），由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0，得或或，解得：x≥4或x≤﹣1，即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}．（2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立，即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|＝1，所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．【再练一题】函数的定义域为R，则实数k的取值范围是．【解答】解：函数的定义域为R，∴关于x的不等式2kx2﹣kx0恒成立，k＝0时，不等式为0恒成立；k≠0时，应满足△＝k2﹣4×2k0，解得0＜k＜3，综上，实数k的取值范围是[0，3）．故答案为：[0，3）．思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域． (3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．【题型三】求函数解析式【典型例题】已知函数f （2）＝x +45，则f （x ）的解析式为（）A ．f （x ）＝x 2+1 B ．f （x ）＝x 2+1（x ≥2） C ．f （x ）＝x 2 D ．f （x ）＝x 2（x ≥2）【解答】解：；∴f （x ）＝x 2+1（x ≥2）．故选：B ．【再练一题】若函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）＝3x ﹣1，则f （x ）等于（） A ．x +1B ．x ﹣1C ．2x +1D ．3x +3【解答】解：函数f （x ）对于任意实数x 恒有f （x ）﹣2f （﹣x ）＝3x ﹣1，令x ＝﹣x ，则：f （﹣x ）﹣2f （x ）＝3（﹣x ）﹣1．则：，解方程组得：f （x ）＝x +1．故选：A ．思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式； (4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【题型四】分段函数命题点1 求分段函数的函数值【典型例题】已知函数，则的值是（）A．﹣1 B．3 C．D．【解答】解：由题意可得，f（） 1∴f（f（））＝f（﹣1）＝3﹣1故选：C．【再练一题】设f（x）则使得f（m）＝1成立的m值是（）A．10 B．0，10 C．0，﹣2，10 D．1，﹣1，11 【解答】解：当m＜1时，f（m）＝（m+1）2＝1∴m＝﹣2或m＝0当m≥1时，f（m）＝4 1∴m＝10综上：m的取值为：﹣2，0，10故选：C．命题点2分段函数与方程、不等式问题【典型例题】已知f（x）则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是（）A．[﹣2，1] B．（﹣∞，﹣2] C．D．【解答】解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x即﹣2≤x当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2综上，不等式的解集为{x|x}故选：D．【再练一题】函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（10，12）C．（5，6）D．（20，24）【解答】解：函数的图象如图：∵f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等∴a∈（0，1），b∈（1，10），c∈（10，12）∴由f（a）＝f（b）得|lga|＝|lgb|，即﹣lga＝lgb，即ab＝1∴abc＝c由函数图象得abc的取值范围是（10，12）故选：B．思维升华(1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．基础知识训练1．下列图象中可作为函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数要求对应定义域P中任意一个x都有唯一的y值与之相对应，也就是说函数的图象与任意直线x＝c（c∈P）只有一个交点；选项A、B、D中均存在直线x＝c，与图象有两个交点，故不能构成函数；故选：C．2．下列四个图象中，不能作为函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x的值，都有唯一的函数值y与其对应，故函数的图象与直线x＝a至多有一个交点，图C中，当﹣2＜a＜2时，x＝a与函数的图象有两个交点，不满足函数的“唯一性”，故C不是函数的图象.故选：C．3．函数的定义域为A．B．C．D．【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则：；解得，且；该函数的定义域为：．故选：D．4．已知函数,则的定义域为A．B．C．D．【答案】B【解析】解：要使f（x）有意义，则4﹣x＞0；∴x＜4；∴f（x）的定义域为（﹣∞，4）；∴函数g（x）满足：；∴x＜2，且x≠1；∴g（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，2）．故选：B．5．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，解得x≥0且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞）．故选：C．6．已知函数，则( )A．1 B．C．D．【答案】D【解析】依题意，故，解得.故，所以.故选D. 7．已知f（）=，则f（x）的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，将x换为，代入上式得：f（x），故选：D．8．设f（x）=，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，=f（x），A错误；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，=f（x），D正确；故选：A．9．已知函数，则满足的t的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】函数，可得时，递增；时，递增，且，可得在R上为增函数，由，即，解得，即t的范围是．故选：C．10．已知函数，则函数的零点个数为A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，据此可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，由函数的解析式易知函数在区间上单调递减，绘制函数图像如图所示，注意到，故方程的解：，则原问题转化为求方程时解的个数之和，由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.本题选择B选项.11．定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为当时，，即时，，当时，，当时，，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.12．设函数，若，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】解：当时，不等式可化为，即，解得；当时，不等式可化为，所以．故的取值范围是，故选C．13．若函数的值域是，则实数a的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，要使的值域是，则当时，恒成立，即，若，则不等式不成立，当时，则由，则，，即，故选：D．14．已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，, 则（）A．4 B．-4 C．D．【答案】B【解析】结合奇函数的概念，可知，所以，故选B。

专题4 函数与基本初等函数(三)

精锐教育学科教师辅导讲义第五节指数与指数函数（一）高考目标考纲解读1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型．考向预测1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同时考查分类整合思想和数形结合思想．2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数交汇命题．（二）课前自主预习知识梳理1．指数幂的概念(1)根式如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N＋)，那么这个数叫做a的n次方根．也就是，若x n＝a，则x叫做，其中n>1且n∈N＋.式子n a叫做，这里n叫做，a叫做．(2)根式的性质①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号na表示．②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示．正负两个n次方根可以合写为±na(a>0)．③(na)n＝ .④当n为奇数时，na n＝；当n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a a－a a.定义域值域过定点[答案] D[解析] a ＝2－3，b ＝2＋3， ∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝1(3－3)2＋1(3＋3)2＝(3＋3)2＋(3－3)262＝2462＝2436＝23. 2．若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，则有( )A ．a ＝1或a ＝2B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a >0且a ≠1 [答案] C[解析] 由y ＝(a 2－3a ＋3)·ax为指数函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a >0且a ≠1，即a ＝2.3．(2011·东营模拟)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间是( )A ．(－∞，－1]B ．[2，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2[答案] D[解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2≥0，得函数定义域为[－1,2]，所以t ＝－x 2＋x ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递减．根据“同增异减”的原则，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋，x <2，2－x，x ≥2，则f (－3)＝__________.[答案] 18.[解析] f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝f (1＋2)＝f (3)＝2－3＝18.5．(2009·江苏文)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________ [答案] m <n[解析] 本题主要考查指数函数的图像和性质． ∵a ＝5－12，∴0<a <1，函数f (x )＝a x在x ∈R 上是单调递减的．又f (m )>f (n )， ∴m <n .7．若函数f (x )＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上是减函数，求a 的取值范围．[解析] ∵0<a 2－1<1，∴1<a 2<2， ∴－2<a <－1或1<a < 2.即a 的取值范围是(－2，－1)∪(1，2)．[分析] 将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运算性质进行运算．[点评] 对于结果的形式，如果题目是以根式的形式给出的，则结果用根式的形式表示；形式给出的，则结果用分数指数幂的形式表示．结果不要同时含有根号和分数指数幂，幂．设u ＝－x 2－3x ＋4(－4≤x ≤1)，易得u 在x ＝－32时取最大值52，在x ＝－4或1时取最小值0，即0≤u ≤52.所以函数y ＝2u 的值域为[20 ,252]，即函数y ＝2－x 2－3x ＋4的值域为[1,42]．跟踪练习2：已知f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性；(3)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立． [分析] 问题的关键是考查1a x－1＋12具有哪些性质，因x 3对任意x ∈R 均有意义，其奇偶性易于考查． [解析] (1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x ≠0，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }． (2)对于定义域内任意x ，有f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x1－a x ＋12(－x 3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x )．∴f (x )是偶函数．(3)当a >1时，对x >0，由指函数的性质知a x>1， ∴a x－1>0，1a x －1＋12>0，又x >0时，x 3>0， ∴x 3⎝⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12>0，即当x >0时，f (x )>0.又由(2)，f (x )为偶函数，知f (－x )＝f (x )，当x <0时，－x >0，有f (－x )＝f (x )>0成立．综上知a >1时，f (x )>0在定义域上恒成立．对于0<a <1时，f (x )＝a x ＋x 3a x －，当x >0时，1>a x>0，a x＋1>0，a x－1<0，x 3>0，此时f (x )<0，不满足题意；当x <0时，－x >0，f (－x )＝f (x )<0，也不满足题意．[点评] (1)判定此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用求f (－x )±f (x )来判断．(2)可借助函数的奇偶性，研究函数的其他性质，这样做的好处是避免了自变量取值的讨论.综上，所求a 的范围是a >1. 3.命题方向：指数函数的图像应用 [例3] 已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|.(1) 作出图像；(2)由图像指出其单调区间；(3)由图像指出当x 取什么值时有最值．[分析][解析] (1)解法1：由函数解析式可得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1 x ≥－3x ＋1x <－其图像由两部分组成：一部分是：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≥0)――――――――→向左平移1个单位y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1(x ≥－1)；另一部分是：y ＝3x(x <0)――→向左平移1个单位y ＝3x ＋1(x <－1)．如图：解法2：①由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |可知函数是偶函数，其图像关于y 轴对称，故先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图像保留x ≥0的部分，当x <0时，其图像是将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x (x ≥0)图像关于y 轴对折，从而得出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |的图像．②将y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |向左移动1个单位，即可得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x ＋1|的图像，如图所示．(2)由图像知函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数． (3)由图像知当x ＝－1时，有最大值1，无最小值．单调性利用复合函数单调性易于判断，还可用导数为增函数，∴f(x)为增函数．为减函数，∴f(x)为增函数．，则下列关系式中一定成立的是a>2 D．的图像如图所示，由图可知，A B答案]A下列四类函数中，具有性质“对任意的有可能符合．∴0<a <12.x 的值域是________．第六节对数与对数函数a>1 0<a<1 性(1)定义域： .又log a 12＝－log a 2，∴|log a 12|＝|log a 2|，∴|log a 14|>|log a 13|>|log a 2|，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f (2)． 5．[(1－log 63)2＋log 62·l og 618]÷log 64＝________. [答案] 1[解析] 原式＝[(log 62)2＋log 62·(1＋log 63)]÷2log 62＝[(log 62)2＋log 62＋log 62·log 63]÷2log 62＝12log 62＋12＋12log 63＝12log 6(2×3)＋12＝12＋12＝1.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ∈－∞，1]，log 81x ，x ∈，＋，则满足f (x )＝14的x 值为__________．[答案] 3[解析] 当x ≤1时，令2－x＝14，则x ＝2，不合题意；当x >1时，令log 81x ＝14，则x ＝8114＝3.综上，x ＝3.7．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1.(1)求f (x )在[－1,0)上的解析式； (2)求f (log 24)．[解析] (1)令x ∈[－1,0)，则－x ∈(0,1]， ∴f (－x )＝2－x－1.又∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝f (－x )＝2－x－1，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1.(2)∵log 1224＝－log 224∈(－5，－4)，∴log 1224＋4∈(－1,0)，∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (log 1224)＝f (log 1224＋4)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 1224＋4＋1＝－24·116＋1＝－12.（四）典型例题1.命题方向：对数的运算 [例1] 求值：(1)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1；(2)31＋log 36－24＋log 23＋103lg3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 34－1； (3)(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2·lg5.[分析] 灵活运用公式和性质进行计算，注意公式的逆用． [解析] (1)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋2－2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(2)原式＝3·3log 36－16·2log 23＋10lg27＋32－log 316＝18－48＋27＋916＝－3916.(3)原式＝(lg2＋lg5)[(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2]＋3lg2·lg5 ＝(lg2)2－lg2·lg5＋(lg5)2＋3lg2·lg5＝(lg2＋lg5)2＝1.[点评] 对数运算中注意逆用对数运算法则，若对数运算中出现不同的底，注意利用换底公式统一“底”，再进行运算．跟踪练习1 计算下列各题：(1)lg2＋lg5－lg8lg50－lg40； (2)log 34273log 5[124log 210－(33)23－7log 72]．[解析] (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.(2)原式＝log 33343·log 5[2log 210－(332)23－7log 72]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1·log 55＝－14.2.命题方向：对数的概念及运算性质 [例2] 已知x 、y 、z 为正数，364xzy ==值范围．[分析] 参数a 既出现在底数上，又出现在真数上，应全面审视对a 的取值范围的制约． [解析] ∵a >0，且a ≠1， ∴u ＝2－ax 是x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]是减函数，∴函数y ＝log a u 是u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >12－a >0 即1<a <2.∴a 的取值范围是(1,2)．[点评] 本题中a 的取值范围要受到三个因数的制约：对数的底数；对数函数与一次函数的单调性；对数函数的定义域及一次函数的值域，必须全面审视，缺一不可．跟踪练习3：已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax －a )在区间(－∞，1－ 3]上是单调递减函数．求实数a 的取值范围。

山东春考数学一轮复习专题4 指数与对数函数

B.
log
log
= log －log
C.

log 2

= log － log
D.

log 2

=
log
log
举一反三
设3 = 5, log 3 2 = ，用a，b表示log 3 30 =
（
）
例3
设18 = 5, log18 9 = ，求log18 45 的值。
（1）2
6
1

64
m
1
（2） 3 5.73

（3）log 5 125 3 （4）lg N b
知识梳理
2.对数的性质：
(1) loga1=0,即1的对数是0；
(2) logaa=1,即底的对数是1；
(3) N >0,即零和负数没有对数．
知识梳理
3.两个对数恒等式
(1) =N (a>0且a≠1)
A.
3
2
B. 9
C. 3
D. 64
）
例5
在洗衣机的洗衣桶内用清水洗衣服，如果每次能
2
洗去污垢的，则要使留存在衣服上的污垢不超过
3
最初衣服上的污垢的2%，该洗衣机至少要清洗的
次数为（
A. 2
）
B.3
C. 4
D. 5
举一反三
细胞分裂一次其数量变为原来的2倍，问：细胞分
裂多少次后数量变为原来的32倍？（
(2) =N (a>0且a≠1,N>0)
知识梳理
4.对数运算的运算法则：
其中, M>0, N>0,a>0且a≠1,n为任意实数.

高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析

专题3.1 函数的概念及其表示1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值．【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=．故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩…则(3)f =（）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（）A ．16B ．18C ．21D ．24练基础【解析】根据分段函数解析式直接求解.【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=.故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（）A ．1B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ，所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为( ).A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x =的定义域是______．【答案】[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞；故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-，若()()0g f x =，则()0f x =或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=- A B .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.【答案】1或【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可.【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：a =故1a =或，故答案为：1或.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤-⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围.【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=-.所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（）A ．t 没有最小值B ．t1-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值.【详解】如图，作出函数()f x 的图象，()()f n f m = 且n m >，则1m £，且1n >，练提升2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤.222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤ ∴当n =时，()min 1n m -=-.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案.【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-.故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集；故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f (x )= 2211x x+-，所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x+-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项，1(f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项．故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ．【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确；对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根，因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=+，由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误；令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞U ，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确；对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点，如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.1a ≤<【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x=，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =，即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+，构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+，由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21110a a a a a a ⎛=+--=--≤ ⎝，由于01a <<1a ≤<.1a ≤<9. （2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析.【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x图象如下图所示：10. （2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞ .【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式；（3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集.【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.则对应的图象如图：（2）函数()min x的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .1.（山东高考真题）设f (x )=<x <1―1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则=（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由x ≥1时f (x )=2(x ―1)是增函数可知,若a ≥1,则f (a )≠f (a +1),所以0<a <1,由f (a )=f (a+1)得a =2(a +1―1),解得a =14,则=f (4)=2(4―1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（）A ．3B ．32 C ．33 D ．0【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）=3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当练真题x=32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选：B ．3. （2018年新课标I 卷文）设函数f (x )=2―x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（）A. (―∞ ， ―1]B. (0 ， +∞)C. (―1 ， 0)D. (―∞ ， 0)【答案】D【解析】将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知会有2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(―∞ ， 0)，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5. （2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。

3.1 函数的概念及其表示高一数学(人教A版2019必修第一册)

3.1函数的概念及其表示【考点梳理】考点一：函数的有关概念函数的定义设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数函数的记法y ＝f (x )，x ∈A定义域x 叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域考点二：同一个函数一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．考点三：区间1．区间概念(a ，b为实数，且a <b )定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b]2.其他区间的表示定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }区间(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )考点四：函数的表示方法考点五：分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．【题型归纳】题型一：函数定义的判断1．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定都是无限集；③若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素；④对于任意的一个函数，如果x 不同，那么y 的值也不同；⑤()f a 表示当x a =时，函数()f x 的值，这是一个常量．其中说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·全国·高一）下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．3．（2021·江苏淮安·高一期中）设集合{}{}|02|03M x x N y y =≤≤=≤≤，.下列四个图象中能表示从集合 M 到集合N 的函数关系的有（）①②③④A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个题型二：区间的表示4．（2022·全国·高一专题练习）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（）①{0,1,5,10}A =；②{}210,x x x N <∈ ；③∅；④{}x x 是等边三角形；⑤{}03x x x ≤≥或；⑥{}1,x x x Q >∈．A ．2B ．3C ．4D ．55．（2021·全国·高一专题练习）已知22a a ⎡⎤-⎣⎦，为一确定区间，则实数a 的取值范围是（）A ．()21-，B ．()12-，C ．[]21-，D ．[]12-，6．（2021·广东·中山中学高一期中）集合{}01x x x <≥或用区间表示为（）A ．()(),01,-∞⋃+∞B ．()[),01,-∞+∞C ．()[),01,-∞⋂+∞D ．(]0,1题型三：具体函数的定义域7．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）函数2311y x x =-+的定义域是（）A ．(],1-∞B ．()()1,00,1-UC ．[)(]1,00,1-D ．(]0,18．（2022·全国·高一单元测试）函数32x y x+=的定义域是（）A ．[)3,∞-+B ．[)()3,00,-⋃+∞C ．()3,-+∞D ．()0,∞+9．（2022·全国·高一单元测试）函数11y x x=++的定义域为（）A ．{}1x x ≥-B ．{}0x x ≠C ．{1x x >-且}0x ≠D ．{1x x ≥-且}0x ≠题型四：抽象函数的定义域10．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()()31f xg x x =-的定义域为（）A ．1,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭11．（2021·全国·高一课时练习）已知()21f x -的定义域为3,3⎡⎤-⎣⎦，则()f x 的定义域为（）A ．[]22-,B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．3,3⎡⎤-⎣⎦12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)1f x y x +=+的定义域为()A ．3[,1]2-B ．3[,1)(1,1]2--⋃-C ．[3,7]-D ．[3,1)(1,7]--⋃-题型五：求函数的值域13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f (x )2263x x =-+，[]12x ∈-，，则函数的值域是（）A ．3[112-，）B ．3[ 112，）C ．[] 111-，D ．3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，14．（2022·全国·高一课时练习）函数2()23g x x x =--在区间[]0,4上的值域为（）A ．[]3,5-B ．()3,5-C ．[]4,5-D ．()4,5-15．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为[0,)+∞的是（）A ．y x=B ．y x=C ．16y x=D ．21y x x =++题型六：复杂（根式、分式）函数的值域16．（2022·全国·高一课时练习）函数2()1xf x x =+的值域是（）A ．(),1-∞-()1,+∞B ．(),2-∞C ．(),2-∞()2,+∞D ．[)1,-+∞17．（2021·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）函数y 243xx+=-的值域是（）A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣∞，12-）∪（12，+∞）C ．（﹣∞，13-）∪（13，+∞）D ．（﹣∞，13-）∪（13-，+∞）18．（2021·全国·高一课时练习）函数()2211x x f x x x --=++的最大值与最小值的和是（）A ．53B ．23C ．1D ．23-题型七：函数相等问题19．（2022·天津南开·高一期末）下列各组函数是同一函数的是（）①3()2f x x =-与()2g x x x =-；②()f x x =与()2g x x =；③()0f x x =与01()g x x =；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④20．（2022·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（）A ．32y x =-与2y x x =-B ．2()y x =与y x=C ．()221f x x x =--与()221g t t t =--D ．11y x x =+-与()()11y x x =+-21．（2022·全国·高一单元测试）在下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A ．()1f x x =-，()()21g x x =-B ．()3f x x =-，()()23g x x =-C ．()f x x =，()2x g x x=D ．()(1)(3)f x x x =--，()13g x x x =-⋅-题型八：已知函数类型求解析式（待定系数法）22．（2022·全国·高一课时练习）设()f x 为一次函数，且()()41f f x x =-．若()35f =-，则()f x 的解析式为（）A ．()211f x x =-或()21f x x =-+B ．()21f x x =-+C ．()211f x x =-D ．()21f x x =+23．（2022·全国·高一课时练习）已知二次函数()f x 满足()()2211075f x f x x x +-=-+，则()()1f f =（）A ．1B ．7C ．8D ．1624．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x 为二次函数,且满足()01f =,()()14f x f x x --=,则()f x 的解析式为（）A ．()2221f x x x =--+B ．()2221f x x x =-++C ．()2221f x x x =---D ．()2221f x x x =-+题型九：换元法求函数解析式25．（2022·浙江·温州市第二十二中学高一开学考试）已知(1)2f x x x +=+，则()f x 的解析式为（）A ．2()1f x x =-B ．()21(1)f x x x =->C ．2()1(1)f x x x =-≥D ．2()1(0)f x x x =-≥26．（2022·全国·高一课时练习）若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（）A ．6B ．6或6-C ．6-D ．327．（2021·重庆南开中学高一阶段练习）若(1)1f x x x -=++，则()f x 的解析式为（）A ．2()1(1)f x x x x =++≥-B ．2()1(1)f x x x =-≥-C ．2()33(1)f x x x x =++≥-D ．2()(1)(1)f x x x =-≥-题型十：分段函数中的问题28．（2021·江苏宿迁·高一期中）设函数11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，则满足() 1()2f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．1(]2-∞-，B ．1(,)2-∞C ．1(0)2-，D ．1()2-+∞，29．（2021·全国·高一专题练习）已知函数()1,101,0x x f x x x a --≤<⎧=⎨-≤≤⎩的值域是[]0,2，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．[]1,3C ．[]1,2D ．[]2,330．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）已知函数(2)3,1()1,1a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，那么实数a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．[1,2)-C ．(0,2)D ．(2,1]-【双基达标】一、单选题31．（2022·全国·高一专题练习）函数符号()y f x =表示（）A ．y 等于f 与x 的乘积B ．()f x 一定是一个式子C ．y 是x 的函数D ．对于不同的x ，y 也不同32．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，若()()2f a f a -=，则2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．11B ．6C ．4D ．233．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2268f x x x +=++，则函数()f x 的解析式为（）A ．()22f x x x=+B ．()268f x x x =++C ．()24f x x x=+D ．()286f x x x =++34．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()1,101,01x x f x x x ---≤<⎧=⎨-+<≤⎩，则()()1f x f x -->-的解集为（）A ．111,,122⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．(]11,0,12⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C ．111,,122⎡⎤⎛⎤--⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．()11,0,12⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦35．（2022·全国·高一专题练习）若函数2()1f x ax ax =++的定义域为R ，则a 的范围是（）A ．[0,4]B ．[0,4)C ．(0,4]D ．(0,4)36．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的定义域.(1)()45-=-x f x x ；(2)()11232f x x xx=+-+-.37．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（2）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（3）已知()f x 是R 上的函数，()01f =，并且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式.【高分突破】一：单选题38．（2022·内蒙古赤峰·高一期末（理））设()f x 的定义域为R ，且满足()()11f x f x -=+，()()2f x f x +-=，若()12f =，则()()()()1232022f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．2023B ．2024C ．3033D ．303439．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2,0,2,0.x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩若()14f f ⎡⎤-=⎣⎦，且1a >-，则=a （）A ．12-B ．0C ．1D ．240．（2022·全国·高一专题练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A ．2()x x f x x-=，()1g x x =-B ．2()f x x =，()2()g x x=C ．()22f x x =-，()22g t t ＝－D ．()11f x x x =+⋅-，2()1g x x =-41．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()02f =B ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()1f x <的解集为()1,1-D ．若()3f x =，则x 的值是1或342．（2021·吉林油田高级中学高一开学考试）已知函数()f x 对任意x ，y ∈R ，总有()()()x f x y y f f +=+，若()11f =-，则()3f =（）A ．－3B ．－2C ．－1D ．043．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知函数y ＝f （x ＋1）定义域是[－2，3]，则y ＝f （x －2）的定义域是（）A ．[1，6]B ．[－1，4]C ．[－3，2]D ．[－2，3]44．（2022·全国·高一专题练习）已知函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，若()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．516C ．6D ．172二、多选题45．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，与函数2y x =+不是同一个函数的是（）A ．()22y x =+B ．332y x =+C ．22x y x=+D ．22y x =+46．（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列各组函数表示同一个函数的是（）A ．()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠B ．()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈Z C ．()24f x x =-，()22g x x x =+⋅-D ．()221f x x x =--，()221g t t t =--47．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，值域为[1,)+∞的是（）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．21y x =+D ．11y x =-48．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()225,1,1x ax x f x a x x⎧++<⎪=⎨-≥⎪⎩在区间(),-∞+∞上是减函数，则整数a 的取值可以为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．149．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的是（）A ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．函数1xy x=-的值域为()(),22,-∞+∞C ．函数21y x x =+-的值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]4,1250．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(],4∞-C ．若()2f x =，则x 的值是2-D ．()1f x <的解集为()1,1-51．（2022·重庆九龙坡·高一期末）德国者名数学家狄克雷（Dirichlet ，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数“1,()0,R x Qy f x x Q ∈⎧==⎨∈⎩ð，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题，正确的为（）A ．对12,R x x Q ∀∈ð()()()1212,f x x f x f x +=+恒成立B ．对1x R ∀∈，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=C ．若0,1a b ，则()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣D ．存在三个点()()()()()()112233,,,,,A x f x B x f x C x f x ，使得ABC 为等边三角形三、填空题52．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数()21f x +的定义域为______.53．（2022·全国·高一课时练习）已知2111x f x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的值域为______.54．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．55．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()22xf x x=+，则()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______.四、解答题56．（2022·全国·高一）作出下列函数的图象：(1)()11f x x x =-++；(2)()2243,00,043,0x x x f x x x x x ⎧-+->⎪==⎨⎪++<⎩．57．（2022·全国·高一单元测试）（1）已知()2f x x =，求()21f x +的解析式；（2）已知()24fx x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（4）已知()()223f x f x x +-=+，求()f x 的解析式．58．（2022·全国·高一单元测试）求下列函数的值域：(1)(){}()2212,1,0,1,2f x x x x =++∈--；(2)()213x f x x +=-(3)()223f x x x =-++；(4)()12f x x x =--．【答案详解】1．B【分析】利用函数的定义域和值域定义判断①②③的真假，利用函数值的定义判断④⑤的真假.【详解】解：函数值域中的每一个数都有定义域中的一个或多个数与之对应，故①不正确；函数的定义域和值域不一定都是无限集，故②不正确；根据函数的定义，可知③正确；对于任意一个函数，如果x 不同，那么y 的值可能相同，也可能不同，故④不正确；由函数值的定义，可知⑤正确.故选：B ．2．B【分析】根据函数的定义判断即可.【详解】B 中，当0x >时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性，A ，C ，D 满足函数的定义，故选：B 3．B【分析】根据函数的定义判断．【详解】A 中12x <≤中的x 没有对应的象，不符合；B 符合函数定义，C 也符合函数定义，D 中对于02x <≤的x 有两个象与之对应，不符合．所以有2个满足．故选：B ．4．D【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出结论.【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．⑥Q 是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为(][)3,-∞+∞，0，故答案为：D.5．A【分析】依题意得22a a <-，解不等式即可求解．【详解】因为22a a ⎡⎤-⎣⎦，为一确定区间，则2222021a a a a a <-⇒+-<⇒-<<故选：A【解析】按照区间的定义写出区间即可.【详解】解：集合{|0x x <或}1x ≥用区间表示为：()[),01,-∞+∞.故选：B.7．C【分析】函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，求解即可【详解】由题，函数定义域满足23100x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得[)(]1,00,1x ∈-.故选：C 8．B【分析】使解析式有意义，解不等式组即可.【详解】依题意3030x x x +≥⎧⇒≥-⎨≠⎩且0x ≠，所以函数32x y x+=的定义域是[)()3,00,-⋃+∞．故选：B ．9．D【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.【详解】由函数解析式有意义可得10x +≥且0x ≠，所以函数的定义域是{1x x ≥-且}0x ≠，故选：D.10．C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以()f x 的定义域为()1,6-.又因为310x ->，即13x >，所以函数()g x 的定义域为1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.11．C【分析】由33x -≤≤求出21x -的范围，然后可得答案.【详解】因为2(1)f x -的定义域为[3,3]-，所以33x -≤≤，所以2112x -≤-≤，所以()f x 的定义域为[1,2]-．故选：C【分析】根据函数()f x 的定义域求出21x +的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：2213x -≤+≤，解得：312x -≤≤，由10x +≠，解得：1x ≠-，故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫---⎪⎢⎣⎭，故选：B ．13．D【分析】根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.【详解】2233()263=2--22f x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,对称轴3=2x ,当[]12x ∈-，,()min 33-,22f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭又因为()()()()max -111,21,-111f f f x f ==∴==,所以函数的值域为3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.故选:D 14．C【分析】利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】22()23(1)4g x x x x =--=--，因此该函数的对称轴为：1x =，因为[]0,4x ∈，所以当1x =时，函数有最小值，最小值为4-，而(0)3,(4)5g g =-=，所以最大值为5，因此值域为[]4,5-，故选：C 15．B【分析】逐项判断函数值域，即可得到正确选项.【详解】对于y x =,,x R y R ∈∈，故A 不正确；对于y x =，[)[)0,0x y ∈+∞∈+∞，，，故B 正确;对于16y x=，()()()()0,0,x y ∈-∞⋃+∞∈-∞⋃+∞，0，，0，故C 不正确；对于22131=44y x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，3,4x R y ⎡⎫∈∈+∞⎪⎢⎣⎭，，故D 不正确；故选：B 16．C【分析】将函数2()1xf x x =+分离常数后可直接求解.【详解】22(1)22()2111x x f x x x x +-===-+++，从而可知函数2()1xf x x =+的值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞.故选：C 17．D【分析】分离常数即可得出()1103343y x =-+-，从而得出13y ≠-，进而得出该函数的值域．【详解】解：()()1104321103343433343x x y x x x --++===-+---，∴y 13≠-，∴该函数的值域为1133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，．故选：D ．18．B【分析】令2211x x y x x --=++，可得()()21110y x y x y -++++=，可知关于x 的方程()()21110y x y x y -++++=有解，分1y =、1y ≠两种情况讨论，结合已知条件可求得y 的取值范围，即可得解.【详解】设2211x x y x x --=++，则有()()21110y x y x y -++++=，当1y =时，代入原式，解得1x =-．当1y ≠时，()()()()()21411135y y y y y ∆=+--+=+-+，由0∆≥，解得513y -≤≤，于是y 的最大值为53，最小值为1-，所以函数()f x 的最大值与最小值的和为23．故选：B.19．C【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.【详解】①()32f x x =-与()2g x x x =-的定义域是{}|0x x ≤，而()322f x x x x =-=--，故这两个函数不是同一函数；②()f x x =与()2g x x =的定义域都是R ，()2g x x x ==，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；③()0f x x =与()01g x x =的定义域是{}|0x x ≠，并且()()g 1f x x ==，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；④()221f x x x =--与()221g t t t =--是同一函数；所以是同一函数的是③④.故选：C.20．C【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.【详解】A ．函数的定义域为{|0}x x ≤，322y x x x =-=--，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，B ．2()y x x ==，定义域为{|0}x x ≥，函数的定义域不相同，不是同一函数C ．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数D ．由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x x ≥-⎧⎨≥⎩得1≥x ，由()()110x x +≥－得1≥x 或1x ≤－，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C ．21．B【分析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.【详解】对于A 中，函数()1f x x =-的定义域为R ，而函数()2(1)g x x =-的定义域为[1,)+∞，所以两个函数不是同一个函数；对于B 中，函数()()23,(3)|3|f x x g x x x =-=-=-的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；对于C 中，函数()f x x =的定义域为R ，而函数()2x g x x x==的定义域为{}|0x x ≠，所以两个函数不是同一个函数；对于D 中，函数()(1)(3)f x x x =--的定义域为(,1][3,)-∞⋃+∞，而函数()13g x x x =-⋅-的定义域为[3,)+∞，所以不是同一个函数，故选：B 22．B【分析】设()f x kx b =+，根据已知条件可得出关于k 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，再结合()35f =-可得出k 、b 的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设()f x kx b =+，其中0k ≠，则()()()()241f f x k kx b b k x kb b x =++=++=-，所以，241k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得21k b =-⎧⎨=⎩或213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩.当2k =-时，()21f x x =-+，此时()35f =-，合乎题意；当2k =时，()123f x x =-，此时()1733f =，不合乎题意.综上所述，()21f x x =-+.故选：B.23．B【分析】采用待定系数法先求解出()f x 的解析式，然后即可计算出()()1f f 的值.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，因为()()2211075f x f x x x +-=-+，所以()()22242111075ax bx c a x b x c x x +++-+-+=-+，化简可得：()2253221075ax b a x a b c x x +-+-+=-+，所以51032725a b a a b c =⎧⎪-=-⎨⎪-+=⎩，所以211a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()221f x x x =-+，所以()12112f =-+=，所以()()()1224217f f f ==⨯-+=，故选：B.24．A【分析】设出二次函数的解析式,结合已知利用待定系数法可以求出()f x 的解析式.【详解】设()2(0)f x ax bx c a =++≠,因为()01f =,所以1c =.又()()14f x f x x --=,所以有2224(1)(1)1(1)4240a a x b x ax bx x ax a b x a b -=⎧-+-+-++=⇒-+-=⇒⎨-=⎩,解得2a b ==-.故选：A【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式,考查了数学运算能力.25．C【分析】将已知解析式配方，可得()2(1)11f x x +=+-，再通过换元法求得解析式．【详解】因为()2(1)211f x x x x +=+=+-令()11t x t =+≥，所以()()211f t t t =-≥所以()()211f x x x =-≥故选：C.26．B 【分析】令1x t x+=，配凑可得()22f t t =-，再根据()4f m =求解即可【详解】令1x t x +=（2t ≥或2t ≤-），22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，()22f t t ∴=-，()224f m m =-=，6m ∴=±.故选；B 27．C【分析】利用换元法，令11t x =-≥-，则1x t =+，()21x t =+，可求出()f t 的解析式，从而得出()f x 的解析式.【详解】解：已知()11fx x x -=++，令11t x =-≥-，则1x t =+，()21x t =+，()()()22111331f t t t t t t ∴=++++=++≥-，()()2331f x x x x ∴=++≥-.故选：C.28．B【分析】化简函数解析式，分区间讨论化简不等式() 1()2f x f x +<求其解.【详解】∵11,1()1,1x x f x x ⎧-+≤=⎨>⎩，∴2,1()1,1x x f x x -≤⎧=⎨>⎩，当11x +≤且21x ≤时，不等式() 1()2f x f x +<可化为2122x x --<-，∴0x ≤，当11x +≤且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为211x --<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x >时，不等式() +12()f x f x <可化为11<，∴满足条件的x 不存在，当11x +>且21x ≤时，不等式() +12()f x f x <可化为122x <-，∴102x <<，∴满足() +12()f x f x <的x 的取值范围是1(,)2-∞，故选：B.29．B【分析】先求出当10x -≤<时，()f x 的值域为(]1,2.由题意可知，当0x a ≤≤时，()10f x x =-=有解，此时1x =，所以[]10,a ∈，故1a ≥，然后根据()1f x x =-的单调性对a 分12a ≤≤和2a >两种情况进行讨论即可求解.【详解】解：由题意，当10x -≤<时，()(]11,2f x x =-∈，又函数()1,101,0x x f x x x a --≤<⎧=⎨-≤≤⎩的值域是[]0,2，当0x a ≤≤时，()10f x x =-=有解，此时1x =，所以[]10,a ∈，所以1a ≥，当1a ≥时，()1,0111,1x x f x x x x a -≤≤⎧=-=⎨-<≤⎩在[]0,1上单调递减，在[]1,a 上单调递增，又()()()01,10,1f f f a a ===-，①若12a ≤≤，则11a -≤，所以()[]0,1f x ∈，此时[](][]1,20,20,1=，符合题意；②若2a >，则11a ->，所以()0,1f x a ∈⎡-⎤⎣⎦，要使(][]200,11,2,a ⎡-⎤⎣⎦=，只须12a -≤，即23a <≤；综上，13a ≤≤.故选：B.30．B【分析】先求出函数1,1y x x =-≥的值域，而()f x 的值域为R ，进而得20230a a a -<⎧⎨-+≥⎩，由此可求出a 的取值范围.【详解】解：因为函数1,1y x x =-≥的值域为[0,)+∞，而()f x 的值域为R ，所以函数()()23(1)g x a x a x =-+<的值域包含(),0∞-,所以()202130a a a ->⎧⎨-⨯+≥⎩，解得12a -≤<，故选：B 31．C【分析】直接根据函数定义可判断.【详解】符号()y f x =，即“y 是x 的函数”的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”()f x 也不一定是解析式，可以是图象、表格，也可以是文字叙述，故A 、B 错误；当2y x =时，1x =或1x =-时，1y =，故D 错误.故选：C 32．D【分析】分析函数()f x 的单调性，结合已知条件可得出关于a 的等式，求出a 的值，代值计算可得2a f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】因为()2,056,0x x x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩，所以，函数()f x 在(],0-∞和()0,∞+上均为增函数，因为()()2f a f a -=，所以20a a -≤⎧⎨>⎩，可得02a <≤，由题意可得()2526a a a +=-+，即2440a a -+=，解得2a =，合乎题意，所以，()211122a f f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故选：D.33．A【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.【详解】解：方法一（配凑法）∵()()()22268222f x x x x x +=++=+++，∴2()2f x x x =+.方法二（换元法）令2t x =+，则2x t =-，∴()()()2226282f t t t t t =-+-+=+，∴2()2f x x x =+.故选：A 34．B【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别求出不等式的解集，最后取并集.【详解】解：当01x <≤时，10x -≤-<，则()()1f x f x -->-可化为()111x x -+-->-，解得32x <，又01x <≤，所以01x <≤.当10x -≤-<时，01x <-≤，则()()1f x f x -->-可化为()111x x ---+>-，解得12x <-，又10x -≤<，所以112x -≤<-.综上，(]11,0,12x ⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎣⎦.故选：B.35．A【分析】根据给定条件，可得210ax ax ++≥，再分类讨论求解作答.【详解】依题意，R x ∀∈，210ax ax ++≥成立，当0a =时，10≥成立，即0a =，当0a ≠时，2Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得04a <≤，因此得04a ≤≤，所以a 的范围是[0,4].故选：A36．(1){}45x x x ≥≠且(2)3202x x x ⎧⎫-≤<≠⎨⎬⎩⎭且【分析】根据函数解析式，分别列出不等式，解出即可.（1）要使该函数有意义，只需4050x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≥，且5x ≠，所以该函数的定义域为:{}45x x x ≥≠且（2）要使该函数有意义，只需230200x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩，解得322x -≤<，且0x ≠，所以该函数的定义域为:3202x x x ⎧⎫-≤<≠⎨⎬⎩⎭且37．（1）()21f x x x =-+；（2）()23x f x x =+；（3）()21f x x x =++.【分析】（1）待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.（2）方程组法：已知关于()f x 与()f x -的表达式，构造出另外一个等式，通过解方程组求出()f x .（3）特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由()01f =得：c ＝1.由()()12f x f x x +=+得：()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，∴2200a a b -=⎧⎨+=⎩，则11a b =⎧⎨=-⎩，∴()21f x x x =-+.（2）∵()()22f x f x x x +-=-，①∴()()22f x f x x x -+=+，②②×2－①得：()233f x x x =+，∴()23x f x x =+.（3）令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，∴()21f x x x =++.38．A【分析】根据函数的性质由()()11f x f x -=+，()()2f x f x +-=可得()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=【详解】因为()()2f x f x +-=，()12f =，所以(1)0f -=，(0)1f =由()()11f x f x -=+得()(2)f x f x -=+，所以()(2)2f x f x ++=，(1)(3)2f x f x +++=，即()(1)(2)(3)4f x f x f x f x ++++++=，所以[(1)(0)(1)(2)][(3)(4)(2021)(2022)]45062024f f f f f f f f -++++++⋅⋅⋅++=⨯=所以()()()()12320222024(1)(0)2023f f f f f f +++⋅⋅⋅+=---=.故选：A.39．C【分析】根据函数的解析式求出(1)1f a -=+，结合10a +>即可求出[(1)]f f -，进而得出结果.【详解】由题意知，2(1)(1)1f a a -=-+=+，又1a >-，所以10a +>，所以1[(1)](1)24a f f f a +-=+==，解得1a =.故选：C 40．C【分析】根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案.【详解】解：由题意得：对于选项A ：2()x x f x x-=的定义域为{}|0x x ≠，()1g x x =-的定义域为R ，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A 错误；对于选项B ：2()f x x =的定义域为R ，()2()g x x =的定义域为{}|0x x ≥，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B 错误；对于选项C ：()22f x x =-的定义域为R ，()22g t t =-的定义域为R ，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C 正确；对于选项D ：()11f x x x =+⋅-的定义域为{}|1x x ≥，2()1g x x =-的定义域为{|1x x ≤-或1}x ≥，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D 错误.故选：C41．B【分析】根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可；【详解】解：因为()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，函数图象如下所示：由图可知()00f =，故A 错误；()f x 的值域为(),4-∞，故B 正确；由()1f x <解得()(),11,1-∞--，故C 错误；()3f x =，即2312x x ⎧=⎨-<<⎩，解得3x =，故D 错误；42．A【分析】根据题设抽象函数的递推关系求函数值即可.【详解】由题设，()()()()312313f f f f =+==-．故选：A ．43．A【分析】根据定义域的定义求解即可.【详解】由题意知，－2≤x ≤3，∴－1≤x ＋1≤4，∴－1≤x －2≤4，得1≤x ≤6，即y ＝f （x －2）的定义域为[1，6]；故选：A.44．A【分析】根据分段函数，分02a <<，2a ≥，由()(2)f a f a =+求解.【详解】因为函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，且()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，当02a <<时，()2228a a a +=-++，即2340a a +-=，解得4a =-或1a =，当2a ≥时，()28228a a -+=-++，无解，综上：1a =，所以()112f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A45．ACD【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可.【详解】解：2y x =+的定义域为R ．对于A ，()22y x =+的定义域为[)2,-+∞，与2y x =+的定义域不同，不是同一函数；对于B ，3322y x x =+=+定义域为R ，与2y x =+定义域相同，对应关系相同，是同一函数；对于C ，22x y x=+的定义域为{}0x x ≠，与2y x =+定义域不同，不是同一函数；对于D ，22,0222,0x x y x x x x +≥⎧=+=+=⎨-+<⎩，与2y x =+的对应关系不同，不是同一函数．故选：ACD ．【分析】通过判断函数的定义域、对应关系是否相同来判断是否是同一个函数.【详解】对于选项A ，()0(0)f x x x =≠，()()10g x x =≠两个函数的定义域均为{}0x x ≠，且01y x ==，所以对应关系也相同，所以是同一个函数，故A 正确；对于选项B ，()()21f x x x =+∈Z ，()()21g x x x =-∈Z 两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故B 错误；对于选项C ，()24f x x =-的定义域为(][,2)2,-∞-⋃+∞，()22g x x x =+⋅-的定义域为[2,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故C 错误；对于选项D ，()221f x x x =--，()221g t t t =--两个函数的定义域均为R ，对应关系也相同，是同一个函数，故D 正确．故选：AD.47．BC【分析】可以求出选项A 函数的值域为[0,)+∞，选项D 函数的值域为(0,)+∞，选项BC 函数的值域为[1,)+∞，即得解.【详解】解：A.函数的值域为[0,)+∞，所以该选项不符合题意；B.因为||0,||11x x ≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；C.因为2220,11,11x x x ≥∴+≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意；D.函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意.故选：BC48．AB【分析】依题意函数在各段上单调递减，且在断点左边的函数值不小于右边的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：由题意可得10125a a a a -≥⎧⎪<⎨⎪++≥-⎩，解得21a -≤≤-，∴整数a 的取值为2-或1-．故选：AB49．AC【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A ；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B ；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C ；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为[]22-,，所以2212x -≤-≤，解得1322x -≤≤，即()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故A 正确；对于B ，11111111x x x y x x x x -+==-=-=------，所以1y ≠-，即函数1x y x =-的值域为()(),11,-∞--+∞，故B 不正确；对于C ，令1t x =-，则21x t =-，0t ≥，所以()2221172122248y t t t t t ⎛⎫=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭，0t ≥，所以当14t =时，该函数取得最大值，最大值为178，所以函数21y x x =+-的值域为17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故C 正确；对于D ，()()222413f x x x x =-+=-+，其图象的对称轴为直线1x =，且()13f =，()212f -=，所以函数()224f x x x =-+在[]22-,上的值域为[]3,12，故D 不正确．故选：AC ．50．BC【分析】求出分段函数的定义域可判断A ；求出分段函数的值域可判断B ；分1≥x 、21x -£<两种情况令()2f x =求出x 可判断C ；分1≥x 、21x -£<两种情况解不等式可判断D.【详解】函数()2,212,1x x f x x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩的定义域是[)2,-+∞，故A 错误；当21x -£<时，()2f x x =，值域为[]0,4，当1≥x 时，()2f x x =-+，值域为(],1-∞，故()f x 的值域为(],4∞-，故B 正确；当1≥x 时，令()22f x x =-+=，无解，当21x -£<时，令()22f x x ==，得到2x =-，故C 正确；当21x -£<时，令()21f x x =<，解得()1,1x ∈-，当1≥x 时，令()21f x x =-+<，解得()1,x ∈+∞，故()1f x <的解集为()()1,11,-+∞，故D 错误．故选：BC ．51．BCD 【分析】根据题中所给的函数的解析式，结合实数的性质逐一判断即可.【详解】A ：当1222x x ==-、时，显然12,R x x Q ∈ð，而(22)(0)1f f -==，(2)(2)000f f +-=+=，所以()()()1212f x x f x f x +=+不成立，故本选项不正确；B ：当1x Q ∀∈时，1()1f x =，因为有理数加上一个有理数得到的和仍是有理数，所以1x Q ∀∈时，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=；当1R x Q ∀∈ð时，1()0f x =，因为一个无理数与一个有理数的和还是无理数，所以当1R x Q ∀∈ð时，都存在2x Q ∈，使得()()121f x x f x +=，所以本选项正确；C ：当x Q ∈时，()1f x =，所以此时{}()x f x a Q >=，{}()x f x b Q <=，显然()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣成立；当R x Q ∈ð时，()0f x =，所以此时{}()R x f x a Q >=ð，{}()R x f x b Q <=ð，显然()(){}{}xf x a x f x b >=<∣∣成立，因此本选项正确；D ：当123,,x x x 三个数都不是有理数时，它们都是无理数，则有123()()()0f x f x f x ===，此时三点共线，不构成三角形；当123,,x x x 三个数都是有理数时，此时123()()()1f x f x f x ===，因此三点共线，构不成三角形；当123,,x x x 三个数有二个数是有理数时，不妨设12,x x 是有理数，则3x 为无理数，所以有123()()1,()0f x f x f x ===，当三角形ABC 是等边三角形时，有2213231212312()1()1()()2()AC CB x x x x x x x x x x x =⇒-+=-+⇒-+=-，显然12x x ≠，于是有1232x x x +=，两个有理数的和不可能是无理数，所以构不成等边三角形；当123,,x x x 三个数有一个数是有理数时，不妨设1x 是有理数，则23,x x 为无理数，所以有123()1,()()0f x f x f x ===，当三角形ABC 是等边三角形时，有2213123232132()1()1()()2()AC BA x x x x x x x x x x x =⇒-+=-+⇒-+=-，显然32x x ≠，于是有3212x x x +=，取10x =，设23x x <，如下图所示：13tan 333OA OB OB OB π=⇒=⇒=，即2333,33x x =-=，所以存在三点33(0,1),(,0),(,0)33A B C -，使得ABC 为等边三角形，因此本选项正确，故选：BCD 【点睛】关键点睛：根据已知函数的解析式，结合无理数和有理数的性质是解题的关键.52．{}0【分析】根据抽象函数定义的求法，得到2011x ≤+≤，即可求得函数()21f x +的定义域.【详解】因为函数()f x 的定义域为[]0,1，所以2011x ≤+≤，即210x -≤≤，解得0x =，所以函数()21f x +的定义域为{}0.故答案为：{}0.53．()1,+∞【分析】先求出()()()2111f x x x =-+≠，再结合二次函数的性质即可得出值域.【详解】解：令1x t x +=，则111t x =+≠，所以11t x =-，所以()()211f t t =-+，故()f x 的解析式为()()()2111f x x x =-+≠，其值域为()1,+∞.故答案为：()1,+∞.54．2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】将m 分为000m m m =><，，三种情况讨论：当0m =时，()210f x x =-≥满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+-=-，值域是[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+-，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0，∴232333m -≤≤，又0m >，所以2303m <≤综上，2303m ≤≤，∴实数m 的取值范围是：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故答案为：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.55．40434##1010.75【分析】观察所求结构，考察()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后可得.【详解】因为()111112222222x x xf x f x x x x +⎛⎫+=+== ⎪++⎝⎭+⋅，()114f =，所以()()()()1111220212022202220212f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1140432021244=⨯+=.故答案为：4043456．(1)作图见解析；(2)作图见解析.【分析】（1）先去绝对值变成分段函数，然后作出每一段的图象即可；（2）结合二次函数的图象特征，分别作出每一段图象即可.（1）因为函数()2,12,112,1x x f x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，画出其图象如图①所示．（2）函数的图象是两段抛物线（部分）与一点，画出其图象如图②所示，57．（1）()221441f x x x +=++；（2）()24(2)f x x x =-≥；（3）()21f x x x =-+；（4）()21f x x =-+【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，（2）利用换元法或配凑法求解，（3）利用待定系数法求解，设()2(0)f x ax bx c a =++≠，然后根据已知条件列方程求出,,a b c即可，（4）利用方程组法求解，用－x 替换()()223f x f x x +-=+中的x ，将得到的式子与原式子联立可求出()f x .【详解】（1）因为()2f x x =，所以()()222121441f x x x x +=+=++．（2）方法一设2t x =+，则2t ≥，2x t =-，即()22x t =-，所以()()()222424f t t t t =-+-=-，所以()24(2)f x x x =-≥．方法二因为()()2224f x x +=+-，所以()24(2)f x x x =-≥．（3）因为()f x 是二次函数，所以设()2(0)f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得c ＝1．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩，所以11a b =⎧⎨=-⎩，所以()21f x x x =-+．（4）用－x 替换()()223f x f x x +-=+中的x ，得()()223f x f x x -+=-+，由()2()232()()23f x f x x f x f x x +-=+⎧⎨+-=-+⎩，解得()21f x x =-+．58．(1){}0,1,4,9(2)(,2)(2,)-∞⋃+∞(3)520,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(4)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将2,1,0,1,2--代入()f x 求解即可；（2）形如()0,ax b y ac ad bc cx d +=≠≠+的函数常用分离常数法求值域，ad b ax b a c y cx d c cx d-+==+++，其值域是a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭.（3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可.（4）形如(0)y ax b cx d ac =+++≠的函数常用换元法求值域，先令t cx d =+，用t 表示出x ，并注明t 的取值范围，再代入原函数将y 表示成关于t 的二次函数，最后用配方法求值域．（1）因为()21f -=，()10f -=，()01f =，()14f =，()29f =，所以函数()f x 的值域为{}0,1,4,9．（2）因为()f x =212(3)772333x x x x x +-+==+---，且703x ≠-，所以()2f x ≠，所以函数()f x 的值域为(,2)(2,)-∞⋃+∞．（3）因为()2212523248f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以()0f x ≤524≤，所以函数()f x 的值域为520,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（4）设12t x =-（换元），则0t ≥且21122x t =-+，令22111(1)1222y t t t =--+=-++.因为0t ≥，所以12y ≤，即函数()f x 的值域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.。

高考数学热点题型和提分秘籍专题04 函数及其表示理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数

2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题04 函数及其表示理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简单的分段函数，并能简单应用．【热点题型】题型一考查函数的定义域例 1．(1)(函数f (x )＝ 1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋ 1－x 2的定义域为________．【答案】(1)A (2)(0,1] 【解析】【提分秘籍】1.函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，归纳起来常见的命题角度有：(1)求给定函数解析式的定义域．(2)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域． (3)已知定义域确定参数问题． 2.简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．【举一反三】已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x －12的定义域．题型二考查函数的解析式例2、(1)已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．【解析】 (1)f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ，令t ＝1－cos x ，则cos x ＝1－t ，t ∈[0,2]， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]，即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．【提分秘籍】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值X 围．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．【举一反三】已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3 【答案】B题型三考查分段函数例3、如图，点P 从点O 出发，分别按逆时针方向沿周长均为12的正三角形、正方形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系分别记为y ＝f (x )，y ＝g (x )，定义函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，f x ≤g x ，g x ，f x >g x .对于函数y ＝h (x )，下列结论正确的个数是( )①h (4)＝10；②函数h (x )的图象关于直线x ＝6对称；③函数h (x )的值域为[0，13 ]；④函数h (x )的递增区间为(0,5)．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 C 【解析】【提分秘籍】(1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．(2)若给出函数值或函数值的X 围求的变量值或自变量的取值X 围，应根据每一段的解析式分别求解．但要注意检验，是否符合相应段的自变量的取值X 围．【举一反三】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43等于________．【答案】4【解析】f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4. 【高考风向标】【2015高考某某，理7】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（） A. (sin 2)sin f x x = B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 【答案】D. 【解析】（2014·某某卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12【答案】A【解析】由已知可得，f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6 ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝2sin 5π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin 5π6＝12.（2014·卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D（2014·某某卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 【答案】C【解析】由x 2－x >0，得x >1或x <0. （2014·某某卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 【答案】C【解析】根据题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，（log 2）2－1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x ＞2或x ＜12.故选C. （2013·某某卷）已知函数f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值X 围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△A BC 的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．【解析】当a>12时，有f(f(x))＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a 2x ，x ≤14a，2a －4a 2x ，14a <x ≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x ≤4a －14a ，4a 2－4a 2x ，x>4a －14a.所以f(f(x))＝x 有四个解0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a 21＋4a 2，又f(0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋2a ＝2a 1＋2a，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a 21＋4a 2是f(x)的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值X 围为a>12.（2013·某某卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x ＋e x，则f′(1)＝________．【答案】2【解析】f(e x )＝x ＋e x，利用换元法可得f(x)＝ln x ＋x ，f′(x)＝1x ＋1，所以f′(1)＝2.（2013·某某卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－4 【答案】D 【解析】（2013·某某卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( )A ．(0，1)B ．[0，1)C ．(0，1]D ．[0，1] 【答案】B【解析】x≥0且1－x>0，得x∈[0，1)，故选B.（2013·某某卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ， H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16 D ．a 2＋2a －16【答案】B【解析】由题意知当f(x)＝g(x)时，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，整理得x 2－2ax ＋a 2－4＝0，所以x ＝a ＋2或x ＝a －2，所以H 1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≤a－2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（a －2<x<a ＋2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（x≥a＋2），H 2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≤a－2），x 2－2（a ＋2）x ＋a 2（a －2<x<a ＋2），－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8（x≥a＋2）.由图形(图形略)可知，A ＝H 1(x)min ＝－4a －4，B ＝H 2(x)max ＝12－4a ，则A －B ＝－16. 故选B.（2013·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【答案】B【解析】对于f(2x ＋1)，－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－12，即函数f(2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. （2013·某某卷）设函数f(x)＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 【答案】A（2013·某某卷）函数y ＝x33x －1的图像大致是( )图1－5【答案】C【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x<0时，x3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C中的图像．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T表示为X的函数；(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100，110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T的数学期望．【解析】(3)依题意可得T 的分布列为T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0.10.20.30.4所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 【高考押题】1. 若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【答案】B【解析】注意定义域和值域的限制，只有B 正确．2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于 ( )A. 12 B. 45C. 2D. 9【答案】C3. 函数f (x )＝2x －1log 3x 的定义域为 ( )A. (0，＋∞)B. (1，＋∞)C. (0,1)D. (0,1)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】由log 3x ≠0得x >0且x ≠1，因此，函数f (x )＝2x －1log 3x 的定义域是(0,1)∪(1，＋∞)，选D.4.已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝|x |12，若对实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素x 使得f ：x →k ，则k 的取值X 围是( )A. k ≤0B. k >0C. k ≥0D. k <0【答案】D【解析】由题易知y ＝|x |12的值域为[0，＋∞)，要使集合A 中不存在元素x 使得f ：x →k ，只需k 不在此值域中，即k <0.5.如右图，是X 大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示X 大爷家的位置，则X 大爷散步行走的路线可能是( )【答案】D【解析】6.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A. x －1B. x ＋1C. 2x ＋1D. 3x ＋3【答案】B【解析】在2f (x )－f (－x )＝3x ＋1① 将①中x 换为－x ，则有 2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， ∴f (x )＝x ＋1. 7. 已知函数f (x )＝1x ＋1，则函数f [f (x )]的定义域是________．【答案】{x |x ≠－1，且x ≠－2} 【解析】由x ＋1≠0且1x ＋1＋1≠0，得x ≠－1，且x ≠－2. ∴定义域为{x |x ≠－1，且x ≠－2}． 8.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x <3，3x －m x ≥3，且f (f (2))>7，则实数m 的取值X 围为________．【答案】m <5【解析】因为f (2)＝4，所以f (f (2))＝f (4)＝12－m >7，解得m <5. 9.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝________.【答案】±1【解析】若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1.故a ＝±1. 10. 根据下列条件分别求出函数f (x )的解析式： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．解：(1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2. 则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)． (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， ∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.11. 已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0，(1)求f [g (2)]与g [f (2)]． (2)求f [g (x )]与g [f (x )]的表达式．12.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (分)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．。

高考数学总复习考点知识专题讲解3---函数及其表示

(2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( D ) A．f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1 B．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 C．f(x)＝xx2－－11，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝|x|，g(t)＝ t2
[解析] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数
[解析] 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象
过原点，可设二次函数g(x)的解析式为g(x)＝ax2＋
bx(a≠0)，可得
a＋b＝1， a－b＝5，
解得a＝3，b＝－2，所以二次
函数g(x)的解析式为g(x)＝3x2－2x.故选B.
2．(2020·湖南衡阳第一中学月考)已知f(2x＋1)＝x2－ 2x，则f(3)＝___－__1___.
3．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝ex，则函数f(x)的解析式为_____f(_x_)_＝__23_e－_x_－__13_e_x _____．
[解析] f(x)＋2f(－x)＝ex①， f(－x)＋2f(x)＝e－x②， ①②联立消去f(－x)得3f(x)＝2e－x－ex， ∴f(x)＝23e－x－13ex.
A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．
3．表示函数的常用方法列表法、图象法和解析法． 4．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．
[思路引导] 设f(x)＝ax＋b(a≠0)→代入已知条件→解出a、b→得f(x)．

人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题04一次函数重难点知识1(解析版).doc

学校班级姓名1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2专题04 一次函数期末总复习重难点知识一遍过1一、基础知识点综述基础讲解基础知识函数与变量一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.常见自变量取值范围：00100y x x y x xy x x =≥=≠=≠ ()() ()常量：其值在变化过程中始终保持不变的量叫常量. 变量：其值在变化过程中会发生变化的量叫变量. 正比例函数解析式 y =kx （k ≠0）形状一条过（0,0）、（1，k ）的直线坐标系中位置k >0时过一、三象限；k <0时过二、四象限增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小一次函数解析式 y =kx +b （k ≠0）形状一条过（0,b ）、（bk-，0）的直线坐标系中位置k >0，b >0时过一、二、三象限；k >0,b <0时过一、三、四象限；k <0，b >0时过一、二、四象限；k <0,b <0时过二、三、四象限增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】3基础知识一次函数图象的位置关系 l 1∥l 2，则k 1=k 2，b 1≠b 2；l 1⊥l 2，则k 1·k 2=－1一次函数图象平移上下平移与b 有关，上加下减；左右平移与x 有关，左加右减一次函数图象的对称y =kx +b 关于y 轴对称的解析式为：y =－kx +b ；y =kx +b 关于x 轴对称的解析式为：y =－kx －b ；一次函数与二元一次方程组方程组的解是两条直线的交点坐标一次函数与不等式会借助图象判断y =0，y <0，y >0时自变量取值范围；会借助图象判断y 1=y 2，y 1<y 2，y 1>y 2时自变量取值范围；求一次函数解析式方法待定系数法上表中，l 1：y 1=k 1x +b 1；l 2：y 2=k 2x +b 2二、典型例题讲解题1. （1）函数11y x x=+-自变量的取值范围是（2）函数()02y x x=--自变量的取值范围是（3）函数214y x x =-+自变量的取值范围是（4）在三角形中，它的一条边是a ，这条边上的高是h ，则其面积S =0.5ah ，当a 为定长时，在此式中变量是，常量是（5）将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h （cm ）与注水时间t （min ）的函数图象大致为（）【答案】（1）x ≥－1且x ≠0；（2）x >0且x ≠2；（3）全体实数；（4）S 、h ；0.5、a ；（5）B ；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4【解析】解：（1）由10x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥－1且x ≠0；（2）由020x x >⎧⎨-≠⎩，解得：x >0且x ≠2；（3）由2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，得x 为全体实数；（4）由题意知S 随h 的变化而变化，所以S 和h 是变量，a 、0.5是常量；（5）通过分析可知，在注水开始至水面与小玻璃杯水面平齐过程中，水面高度不变，随后增大至最大后不再变化，故选B .题2. （1）正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大,则一次函数y =x +k 的图象过象限；（2）若函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，则m 的取值范围（3）在平面直角坐标系中，将直线l 1：y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，则应向上平移个单位，或向右平移个单位；（4）已知点A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数y =﹣x +9的图象上，则y 1y 2（5）直线y =k 1x +b 1（k 1＞0）与y =k 2x +b 2（k 2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y 轴围成的三角形面积为4，那么b 1﹣b 2等于（6）一次函数y =（m 2-4）x +（1-m ）和y =（m -1）x +m 2-3的图象与y 轴分别交于点P 和点Q ，若点P 与点Q 关于x 轴对称，则m =（7）函数y =－2x ＋4的图象上存在点P ，使得点P 到y 轴的距离等于1，则点P 的坐标为 . （8）过点（﹣1，7）的一条直线与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，且与直线123+-=x y 平行.则在线段AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是【答案】（1）一、二、三；（2）m <－1；（3）5，53；（4）>；（5）4或－4；（6）－1；（7）（1,2）或（－1,6）；（8）（1,4）、（3,1）；【解析】解：（1）∵正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k >0，则y =x +k 的图象过一、二、三象限；（2）∵函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】5∴()10430m m +<⎧⎨-->⎩，解得：m <－1；（3）y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，可向上平移5个单位；设向右平移m 个单位，则y =－3（x －m ）－3，即－3（x －m ）－3=－3x +2，解得：m =53即向右平移53个单位；（4）y =﹣x +9中，y 随x 的增大而减小，因为A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数图象上，而－5<10，所以y 1>y 2 （5）由题意知：12122S b b =⨯⨯-，即121422b b =⨯⨯-解得：b 1﹣b 2=4或－4 （6）由题意知：221304010m m m m ⎧-+-=⎪-≠⎨⎪-≠⎩，解得：m =－1；（7）点P 到y 轴的距离等于1，则P 点的横坐标为1或－1，在y =－2x ＋4中，当x =1时，y =2；x =－1时，y =6，即P 点坐标为（1,2）或（－1,6）；（8）设直线AB 解析式为y =kx +b ，由题意知：k =32-，将（﹣1，7）代入得：7=32-×（－1）+b ，解得：b =112，即直线AB 解析式为：y =32-x +112，整理得：2y +3x =11，由题意知x 、y 均为整数时，有x =1，y =4；x =3，y =1，即符合要求的点的坐标是（1,4）、（3,1）. 题3. （1）一次函数y =kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，求k 、b 的值.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6【答案】见解析.【解析】解：①当k >0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =3；x =4，y =6，代入y =kx +b 得：346k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12k b =⎧⎨=⎩ ②当k <0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =6；x =4，y =3，代入y =kx +b 得：643k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：17k b =-⎧⎨=⎩即k =1，b =2或k =－1，b =7.（2）如图3-1,函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4),则不等式2x <ax +4的解集为图3-1【答案】x <2.【解析】解：因为函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4)，所以当y =4时，x =2，由图象知：不等式2x <ax +4的解集为x <2.（3）甲骑摩托车从A 地去B 地,乙开汽车从B 地去A 地,同时出发,匀速行驶，各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s (千米)，甲行驶的时间为t (小时)，s 与t 之间的函数关系如图3-2所示.有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半．其中正确结论是.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7图3-2【答案】①②④.【解析】解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a 千米/小时，则120140a=+，解得：a =80，∴乙开汽车的速度为80千米/小时， ∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80-40）=60（千米），故②正确；乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误； ∴正确的结论是①②④.题4. 如图4-1所示,在平面直角坐标系xOy 中,矩形ABCD 的AB 边在x 轴上,AB =3,AD =2,经过点C 的直线y =x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ．（1）求：①点D 的坐标；②经过点D ,且与直线FC 平行的直线的函数表达式；（2）直线y =x ﹣2上是否存在点P ,使得△PDC 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．（3）在平面直角坐标系内确定点M ,使得以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．图4-1【答案】见解析.【解析】解：（1）①设点C的坐标为（m，2），∵点C在直线y=x﹣2上，∴2=m﹣2，解得m=4，即点C的坐标为（4，2），∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=2，∴点D的坐标为（1，2）；②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b，将D（1，2）代入y=x+b，得b=1，∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+1；（2）存在．∵△EBC为等腰直角三角形，∴∠CEB=∠ECB=45°，∵DC∥AB，∴∠DCE=∠CEB=45°，∴△PDC是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，如图4-2所示，图4-2①当∠D=90°时，延长DA与直线y=x﹣2交于点P1，8【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9∵点D 的坐标为（1，2）， ∴点P 1的横坐标为1，把x =1代入y =x ﹣2得，y =﹣1，即P 1（1，﹣1）；②当∠DPC =90°时，作DC 的垂直平分线与直线y =x ﹣2的交点即为点P 2，点P 2的横坐标为52，将x =52代入y =x ﹣2得，y =12，即P 2（52，12），综上所述，符合条件的点P 的坐标为（1，﹣1）、（52，12）；（3）当y =0时，x ﹣2=0，解得x =2， ∴OE =2，∵以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形， ①若DE 是对角线，则EM =CD =3， OM =EM ﹣OE =3﹣2=1，点M 的坐标为（﹣1，0），②CE 是对角线，则EM =CD =3，OM =OE +EM =2+3=5，点M 的坐标为（5，0），③CD 是对角线，则平行四边形的中心坐标为（52，2），设点M 的坐标为（x ，y ），则2522x +=，22y=，解得x =3，y =4，此时，点M 的坐标为（3，4），综上所述，点M 的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．题5. 小华和爸爸上山游玩，爸爸乘电缆车，小华步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小华行走到缆车终点的路程是爸爸乘缆车到山顶的线路长的2倍，爸爸在小华出发后50min 才乘上电缆车，电缆车的平均速度为180m /min ．设小华出发x （min ）行走的路程为y （m ），图5-1中的折线表示小华在整个行走过程中y （m ）与x （min ）之间的函数关系．（1）小华行走的总路程是＿＿＿＿＿m ，他途中休息了＿＿＿＿＿min ；（2）当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10（3）当爸爸到达缆车终点时，小华离缆车终点的路程是多少？图5-1【答案】（1）3600，20；（2）（3）见解析. 【解析】解：（2）①当50≤x ≤80时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，根据题意，当x =50时，y =1950；当x =80时，y =3600，得：195050360080k bk b =+=+⎧⎨⎩解得k =55，b =－800，∴函数关系式为：y =55x －800；（3）缆车到山顶的线路长为3600×2=1800米，缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，把x =60代入y =55x ﹣800，得y =55×60﹣800=2500， ∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100米.题6. 某校运动会需购买A 、B 两种奖品.若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元.(1)求A 、B 两种奖品单价各是多少元？(2)学校计划购买A 、B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍.设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元）与m （件）之间的函数关系式，求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值.【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11【解析】解：（1）设A 奖品的单价是x 元，B 奖品的单价是y 元，由题意，得：60329553x y x y =+=+⎧⎨⎩，解得：1015x y ==⎧⎨⎩．答：A 奖品的单价是10元，B 奖品的单价是15元；（2）由题意，得W =10m +15（100-m ）=-5m +1500∴()150051150310m m m -≤≤-⎧⎨⎩，解得：70≤m ≤75．∵m 是整数，∴m =70，71，72，73，74，75．在W =-5m +1500中，∴-5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m =75时，W 最小=1125．∴应买A 种奖品75件，B 种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．题7. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx ＋4(k ≠0)与y 轴交于点A .(1)如图，直线y =-2x ＋1与直线y =kx ＋4(k ≠0)交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 的横坐标为－1.①求点B 的坐标及k 的值；②直线y =－2x ＋1与直线y =kx ＋4与y 轴所围成的△ABC 的面积等于；(2)直线y =kx ＋4(k ≠0)与x 轴交于点E (x 0，0)，若－2＜x 0＜－1，求k 的取值范围．【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】12【解析】解：（1）①∵直线y =-2x +1过点B ，点B 的横坐标为-1，∴y =2+1=3，即B （-1，3），∵直线y =kx +4过B 点，∴3=-k +4，解得：k =1；②∵k =1，∴直线AB 的解析式为：y =x +4，∴A （0，4），在y =-2x +1中，当x =0时，y =1，∴C （0，1），∴AC =4-1=3， ∴△ABC 的面积为：12×1×3=32；故答案为：32；（2）∵直线y =kx +4（k ≠0）与x 轴交于点E （x 0，0），-2＜x 0＜-1，∴当x 0=-2，则E （-2，0），代入y =kx +4得：0=-2k +4，解得：k =2，当x 0=-1，则E （-1，0），代入y =kx +4得：0=-k +4，解得：k =4，故k 的取值范围是：2＜k ＜4．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

专题练第4练函数的图象与性质

第4练函数的图象与性质1．(2015·全国 Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析因为－2<1，log 212>log 28＝3>1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)] ＝1＋log 24＝3， f (log 212)＝22log 121log 12112=22=12=6,2⨯⨯--故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.2．(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是( )A ．y ＝－x 3＋3x x 2＋1B ．y ＝x 3－xx 2＋1C ．y ＝2x cos xx 2＋1D ．y ＝2sin xx 2＋1答案 A解析对于选项B ，当x ＝1时，y ＝0，与图象不符，故排除B ；对于选项D ，当x ＝3时，y ＝15sin 3>0，与图象不符，故排除D ；对于选项C ，当0<x <π2时，0<cos x <1，故y ＝2x cos x x 2＋1<2x x 2＋1≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.3．(2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( ) A ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增 B ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－12，12上单调递减 C ．是偶函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递增 D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减答案 D解析 f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠±12. ∵f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1| ＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1| ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12时， f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln －2x －11－2x＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减． 4．(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( ) A ．[－1,1]∪[3，＋∞) B ．[－3，－1]∪[0,1] C ．[－1,0]∪[1，＋∞) D ．[－1,0]∪[1,3] 答案 D解析因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，画出函数f (x )的大致图象如图(1)所示，则函数f (x －1)的大致图象如图(2)所示．当x ≤0时，要满足xf (x －1)≥0，则f (x －1)≤0，得－1≤x ≤0. 当x >0时，要满足xf (x －1)≥0，则f (x －1)≥0，得1≤x ≤3.故满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．5．(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )，f (1)＝1，则∑22k ＝1f (k )等于( )A ．－3B ．－2C ．0D ．1 答案 A解析因为f (1)＝1，所以在f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )中，令y ＝1，得f (x ＋1)＋f (x －1)＝f (x )f (1)，所以f (x ＋1)＋f (x －1)＝f (x )，① 所以f (x ＋2)＋f (x )＝f (x ＋1)．② 由①②相加，得f (x ＋2)＋f (x －1)＝0，故f (x ＋3)＋f (x )＝0，所以f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，所以函数f (x )的一个周期为6. 在f (x ＋y )＋f (x －y )＝f (x )f (y )中，令y ＝0，得f (x )＋f (x )＝f (x )f (0)，所以f (0)＝2.令x ＝y ＝1，得f (2)＋f (0)＝f (1)f (1)，所以f (2)＝－1. 由f (x ＋3)＝－f (x )，得f (3)＝－f (0)＝－2，f (4)＝－f (1)＝－1， f (5)＝－f (2)＝1，f (6)＝－f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，∑22k ＝1f (k )＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝1－1－2－1＝－3.6．(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )的定义域均为R ，记g (x )＝f ′(x )．若f ⎝⎛⎭⎫32－2x ，g (2＋x )均为偶函数，则( ) A ．f (0)＝0 B ．g ⎝⎛⎭⎫－12＝0 C ．f (－1)＝f (4) D ．g (－1)＝g (2)答案 BC解析方法一 (转化法)因为f ⎝⎛⎭⎫32－2x ，g (2＋x )均为偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32－2x ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋2x ，即f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋x ， g (2＋x )＝g (2－x )，所以f (3－x )＝f (x )，g (4－x )＝g (x )，则f (－1)＝f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x ＝32，x ＝2对称，又g (x )＝f ′(x )，且函数f (x )可导，所以g ⎝⎛⎭⎫32＝0，g (3－x )＝－g (x )，所以g (4－x )＝g (x )＝－g (3－x )，所以g (x ＋2)＝－g (x ＋1)＝g (x )，所以g ⎝⎛⎭⎫－12＝g ⎝⎛⎭⎫32＝0， g (－1)＝g (1)＝－g (2)，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )＋C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (0)的函数值，故A 错误．方法二 (特例法)因为f ⎝⎛⎭⎫32－2x ，g (2＋x )均为偶函数，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝32对称，函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称．取符合题意的一个函数f (x )＝1(x ∈R )，则f (0)＝1，排除A ；取符合题意的一个函数f (x )＝sin πx ，则f ′(x )＝πcos πx ，即g (x )＝πcos πx ，所以g (－1)＝πcos(－π)＝－π，g (2)＝πcos 2π＝π，所以g (－1)≠g (2)，排除D.7．(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________. 答案 1解析方法一 (定义法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以(－x )3(a ·2－x －2x )＝x 3(a ·2x －2－x )对任意的x ∈R 恒成立，所以x 3(a －1)(2x ＋2－x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以a ＝1.方法二 (取特殊值检验法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－⎝⎛⎭⎫a 2－2＝2a －12，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.8．(2022·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2，x ≤1，x ＋1x －1，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝________；若当x ∈[a ，b ]时，1≤f (x )≤3，则b －a 的最大值是________．答案37283＋ 3 解析由题意知f ⎝⎛⎭⎫12＝－⎝⎛⎭⎫122＋2＝74，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫74 ＝74＋174－1＝74＋47－1＝3728. 作出函数f (x )的图象，如图所示，结合图象，令－x 2＋2＝1，解得x ＝±1；令x ＋1x －1＝3，解得x ＝2±3，又x >1，所以x ＝2＋3，所以(b －a )max ＝2＋3－(－1)＝3＋ 3.9．(2022·烟台模拟)函数y ＝4－x 2ln (x ＋1)的定义域为( )A ．[－2,2]B ．(－1,2]C ．(－1,0)∪(0,2]D ．(－1,1)∪(1,2]答案 C解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2，x >－1，x ≠0，因此，函数y ＝4－x 2ln (x ＋1)的定义域为(－1,0)∪(0,2]．10．(2022·上饶模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋x 3＋1x ＋3，若f (a )＝1，则f (－a )等于( )A ．1B ．3C ．4D ．5 答案 D解析根据题意f (a )＝sin a ＋a 3＋1a ＋3＝1，即sin a ＋a 3＋1a ＝－2，所以f (－a )＝sin(－a )＋(－a )3＋1－a＋3 ＝－⎝⎛⎭⎫sin a ＋a 3＋1a ＋3＝2＋3＝5. 11．(2022·菏泽模拟)已知函数f (x )＝e x －e －xx 2＋|x |－2，则f (x )的图象可能为( )答案 C解析 f (x )的定义域为{x |x ≠±1}，因为f (－x )＝e －x －e x(－x )2＋|－x |－2＝－e x －e －xx 2＋|x |－2＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除AD ；当x >0且x ≠1时，f (x )＝e x －e －xx 2＋x －2，当0<x <1时，x 2＋x －2<0， e x －e －x ＝e 2x －1e x >0，所以f (x )<0，所以排除B.12．(2022·湖北四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( ) A ．f (0)＝2B ．f (x )的值域为(－∞，4)C ．f (x )<1的解集为(－1,1)D ．若f (x )＝3，则x 的值是1或 3 答案 B解析因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，函数f (x )的图象如图所示，由图可知f (0)＝0，故A 错误； f (x )的值域为(－∞，4)，故B 正确；由f (x )<1解得x ∈(－∞，－1)∪(－1,1)，故C 错误；f (x )＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，－1<x <2，解得x ＝3，故D 错误．13．(多选)(2022·盐城模拟)已知函数f (x )为R 上的奇函数，g (x )＝f (x ＋1)为偶函数，下列说法正确的有( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝－1对称B ．g (2 023)＝0C ．g (x )的最小正周期为4D ．对任意x ∈R 都有f (2－x )＝f (x ) 答案 ABD解析由题意知，f (x )的对称中心为(0,0)，对称轴为x ＝1，则f (x )也关于直线x ＝－1对称，且f (x )＝f (2－x )，A ，D 正确；由A 分析知f (x )＝f (2－x )＝－f (－x )，故f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )的周期为4，则g (2 023)＝f (2 024)＝f (0)＝0，B 正确；但不能说明f (x )的最小正周期为4，C 错误．14．(2022·重庆模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (2＋x )＝f (2－x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋a ，则函数f (x )与函数g (x )＝12|x －2|－1的图象在[－2 020，2 022]上所有交点的横坐标之和为( ) A ．2 020 B ．1 010 C ．1 012 D ．2 022答案 A解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝a ＝0，即当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2，由已知f (x )＝f (4－x )＝－f (x －4)，所以f(x－4)＝－f(x－8)，f(x)＝f(x－8)，故f(x)是T＝8的周期函数，且对称轴为x＝2，又g(4－x)＝12|4－x－2|－1＝12|x－2|－1＝g(x)，即g(2＋x)＝g(2－x)，所以函数g(x)＝12|x－2|－1关于x＝2对称，如图是函数f(x)和函数g(x)在[－6,10]上的图象，在区间[2,2 022]上，包含了函数f(x)中的252个周期再加上12个周期，在区间[－2 020,2]上，包含了函数f(x)中的252个周期再加上34个周期，所以函数f(x)和函数g(x)在[－2 020,2]和[2，2 022]上都有252×2＋1＝505(个)交点，根据对称性可得所有交点的横坐标之和为505×4＝2 020.15．(2022·菏泽模拟)写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数______________________ __________________________．①当x1x2≥0时，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x)为偶函数．答案f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)(答案不唯一)解析若满足①对任意的x1，x2≥0有f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)成立，则对应的函数为指数函数y＝a x的形式；若满足②f(x)为偶函数，只需要将x加绝对值即可，所以满足①②两个条件的非常数函数可以是f(x)＝a|x|(a>0，a≠1)．16．(2022·长春模拟)已知函数f(x)＝x3＋2x－2sin x，则不等式f(6－5x)＋f(x2)≤0的解集为________．答案[2,3]解析由题意知，f(－x)＝－x3－2x＋2sin x＝－f(x)，且f(x)的定义域为R，故f(x)为奇函数，又f′(x)＝3x2＋2(1－cos x)≥0，f(x)在定义域上单调递增，∴f(6－5x)＋f(x2)≤0，可得f(x2)≤－f(6－5x)＝f(5x－6)，即x2≤5x－6，∴x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)≤0，解得2≤x≤3，∴原不等式解集为[2,3].[考情分析]以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性、周期性、分段函数求值或分段函数中参数的求解以及函数图象的识别，多以选择题、填空题的形式考查，难度属中档及以上．一、函数的概念与表示核心提炼1．复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．2．分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．练后反馈题目18912正误错题整理：二、函数的性质核心提炼1．函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝2b －f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称． (2)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．练后反馈题目 3 4 5 6 7 10 13 14 15 16 正误错题整理：三、函数的图象核心提炼1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．由函数的解析式判断其图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，以及利用函数图象上的特殊点排除不符合要求的图象．练后反馈题目 2 11 正误错题整理：1．[T2补偿](2022·重庆模拟)已知函数y ＝f (x )的部分图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式可能是( )A ．y ＝－x cos xB ．y ＝1－cos xe x ＋e －xC ．y ＝ln|x |xD ．y ＝sin x ＋x cos x 答案 A解析由函数图象知函数关于原点对称，为奇函数，可以排除选项B ；其余选项都为奇函数．对于选项D ，当x ＝π时，y ＝－π，选项D 错误；对于选项C ，x ≠0，故选项C 错误；对于选项A ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y <0，当x ＝π时，y ＝π，故选项A 最有可能正确．2．[T4补偿](2022·六安模拟)已知f (x )＝e x －e －x －x ，x ∈R ，则不等式f (2a ＋1)＋f (2－a )>0的解集是( ) A ．(－3，＋∞) B ．(－∞，－3) C.⎝⎛⎭⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 答案 A解析 f ′(x )＝e x ＋e －x －1＝⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x －1≥2－1>0(当且仅当x ＝0时等号成立)，则f (x )在R 上单调递增，又f (－x )＝e －x －e －(－x )－(－x )＝e －x －e x ＋x ＝－(e x －e －x －x )＝－f (x )，即f (－x )＝－f (x )，则f (x )为R 上的奇函数故原不等式转化为f (2a ＋1)>f (a －2)，即2a ＋1>a －2，即a >－3.3．[T6补偿](2022·淮南模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若f ⎝⎛⎭⎫x ＋34为偶函数且f (1)＝3，则f (2 021)＋f (2 022)等于( ) A ．－3B ．－5C ．3D ．6答案 A解析因为f ⎝⎛⎭⎫x ＋34为偶函数，所以函数f (x )关于直线x ＝34对称，则有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f (－x )，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (x )，所以f (3＋x )＝f (x )，所以f (x )是以3为周期的周期函数，故f (2 021)＝f (3×674－1)＝f (－1) ＝－f (1)＝－3，f (2 022)＝f (0)＝0，所以f (2 021)＋f (2 022)＝－3.4．[T13补偿](多选)(2022·东北育才学校模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上单调递增，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )是周期函数B ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．f (x )在[1,2]上单调递减D ．f (2)＝f (0) 答案 ACD解析令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数， f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是周期函数，4是它的一个周期，A 正确；f (2＋x )＝f (－2＋x )＝－f (2－x )，函数f (x )的图象关于点(2,0)对称，B 错误；f (1＋x )＝－f (－1＋x )＝f (1－x )，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )在[－1,0]上单调递增，因此f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在[1,2]上单调递减，C 正确； f (2)＝－f (0)＝0，D 正确．5．[T14补偿](2022·张家口模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对x ∈R ，有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x －1，则f (log 241)＝________. 答案2341解析由题意知，f (x ＋2)＝－f (x )，则f ((x ＋2)＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数，又由5<log 241<6，且f (x )为奇函数，得f (log 241)＝f (log 241－4) ＝－f (log 241－6)＝f (6－log 241)． ∵6－log 241∈(0,1)，故f (6－log 241)＝26log 412-－1＝6441－1＝2341.6．[T16补偿](2022·广州模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其导函数为f ′(x )．若x >0时，f ′(x )>2x ，则不等式f (2x )－f (x －1)≤3x 2＋2x －1的解集为______．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，13 解析 ∵f ′(x )>2x ， ∴f ′(x )－2x >0， ∴[f (x )－x 2]′>0，∴g (x )＝f (x )－x 2在[0，＋∞)上单调递增，且g (x )为偶函数，由f (2x )－f (x －1)≤3x 2＋2x －1，得f (2x )－(2x )2≤f (x －1)－(x －1)2，∴|2x |≤|x －1|，解得－1≤x ≤13，∴不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－1，13.。

备战2021高考理数热点题型和提分秘籍专题04 函数及其表示(原卷版)

专题四函数及其表示【高频考点解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简洁函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会依据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简洁的分段函数，并能简洁的应用.通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．主要考查函数的概念、解析式及分段函数等，试题难度较小.【热点题型】题型一函数定义域例1、(2021年高考安徽卷)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________．【提分秘籍】求函数的定义域时，应留意(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应当用并集符号“∪”连接．【举一反三】求函数f (x )＝lgx 2－2x 9－x 2的定义域；(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域．【热点题型】题型二函数解析式的求法【例2】 (1)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )．【提分秘籍】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要留意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可依据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．【举一反三】已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3【热点题型】题型三分段函数求值例3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f x ＋1，x <4，则f (2＋log 23)的值为A.124B.112C.16D.13【举一反三】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2D ．9【热点题型】题型四分类争辩思想在分段函数中的应用例4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D ．1【提分秘籍】由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类争辩的一种体现．1．解决本题时，由于a 的取值不同限制了f (a )的表达，从而对a 进行分类争辩． 2．运用分类争辩的思想解题的基本步骤 (1)确定争辩对象和确定争辩的区域；(2)对所争辩的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)；【举一反三】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈－∞，1x 2，x ∈[1，＋∞若f (x )>4，则x 的取值范围是________．【高考风向标】1．（2022·安徽卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－122．（2022·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)3．（2022·福建卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)4．（2022·江西卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 5．（2022·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 6．（2021·江西卷）已知函数f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫1－2⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．假如f (x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，争辩S(a)的单调性．7．（2021·江西卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f′(1)＝________．10．（2021·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－48．（2021·江西卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1]9．（2021·辽宁卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －1610．（2021·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝⎛⎭⎫12，111．（2021·陕西卷）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的开放式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 12．（2021·四川卷）函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )图1－513．（2021·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．依据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)依据直方图估量利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100，110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望．图1－4【随堂巩固】1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx2．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．34．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )5．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋36．依据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,167．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①8．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．10．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.12．若函数的定义域为{x |－3≤x ≤6，且x ≠4}，值域为{y |－2≤y ≤4，且y ≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．13．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x . (1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式．14．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．15.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时动身前往乙家．如图所示，表示甲从家动身到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y＝f (x )的函数解析式．16．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能依据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？17．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.。

专题四函数的凸凹性(师)

专题四函数的凸凹性函数的凹凸性主要用于高等数学中，例如凸函数在泛函分析、最优化理论、数理经济学以及数学规划和控制论等领域有着广泛的应用，而高中课本中没有相关的概念．虽然函数的凹凸性在高中教材中没有给出系统定义、性质，但它的身影在高考中频频出现，充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能．一、凹凸函数的定义函数凹凸性在高中数学中有巧妙的作用，往往能起到事半功倍的效果，下面先介绍一下它的定义．定义1：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+ （1）成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立．如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ，2x 都有如下不等式[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+ （2）成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．二、凹凸函数的几何特征：1.形状特征图1（下凸函数）图2（上凸函数）下凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 上凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。

2切线斜率特征图3（下凸函数）图4（上凸函数）下凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而增大；上凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率)(x f y =随x 增大而减小；简记为：斜率凹增凸减．．．．．．。

3增量特征：图5（下凸函数）图6（凸函数）下凸函数的增量特征是：i y ∆越来越大；上凸函数的增量特征是：i y ∆越来越小；简记为：增量下大上小．．．．．．。

三、凸函数与导数的关系定理1（可导函数与凹凸函数的等价命题）：（1）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔)(x f '为I 上的增函数；（2）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔)(/x f 为I 上的减函数；定理2（可导函数与二阶导数的关系）：（1）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的下凸函数⇔0)(≥''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.（2）设)(x f 为区间I 上的可导函数,则：)(x f 为I 上的上凸函数⇔0)(≤''x f 且)(x f ''不在I 上的任一子区间上恒为零.对于一些函数凹凸性的判断，常根据定理2，判断其二阶导数的正负．四、凹凸函数的相关定理以下几个有关凹凸函数相关定理在解题中非常重要，为了使以后的解题过程更加的方便，下面做一个归纳总结．定理1（詹生不等式）[16]若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ （3）若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ （4）其中n i q I x i i ,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++当且仅当n x x x === 21时等号成立．类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ．五、高中数学中常见函数的凹凸性在高中数学中，对于一些常见函数我们可根据函数图像或求二阶导数对其凹凸性进行判断．如二次函数2x y =，因为开口向上，所以在区间(-∞，+∞)上是下凸函数，当然也可根据其二阶导数02>=''y ，得出它是下凸函数．下面对于一些常用的，在考试中出现频率高的函数的凹凸性作一个探讨．（1）对数函数对于对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且而言，其凹凸性如下：若10<<a ，则对数函数x y a log =为下凸函数；若1>a ，则对数函数x y a log =为上凸函数．（2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x且为下凸函数．（3）三角函数sin (0,)sin (,2cos (,)223cos (,22tan (,0)2tan (02cot (,0)2cot (0,)2y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x y x x πππππππππππ⎧=∈⎧⎨⎪=∈⎩⎪⎪⎧=∈-⎪⎪⎨⎪=∈⎪⎪⎩⎪⎨⎧=∈-⎪⎪⎨⎪=∈⎪⎪⎩⎪⎧=∈-⎪⎪⎪⎨⎪=∈⎪⎩⎩是上凸函数，是下凸函数，）是上凸函数，是下凸函数，）是上凸函数，是下凸函数，，）是下凸函数，是上凸函数，（4）二次函数对于二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 而言，其凹凸性如下：若0>a ，则二次函数c bx ax y ++=2为下凸函数；若0<a ，则二次函数c bx ax y ++=2为上凸函数．（5）反比例函数对于反比例函数)0(≠=k xky 而言，其凹凸性如下：当0>k 时:若)0,(-∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k x k y 为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k xky 为下凸函数．当0<k 时:若)0,(-∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k x k y 为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则反比例函数)0(≠=k xky 为上凸函数．（6）对勾函数对于对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y 而言，其凹凸性如下：当)0,(-∞∈x 时，对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y 为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，对勾函数)0,0(>>+=b a xbax y 为下凸函数．六、函数凹凸性在高中数学解题中的应用 6.1图形与图像问题【例1】一高为Ｈ满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图7所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数)(h f V =的大致图象可能是图8中的（）．解：据四个选项提供的信息（ｈ从Ｏ→Ｈ），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当ｈ增加一个单位增量Δｈ时，根据鱼缸形状可知V 的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故Ｖ关于ｈ的函数图象是先凹后凸的，因此，选Ｂ．图7图8【例2】如下图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是6.2函数与图像问题【例1】在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中,当210x x <<时， 2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 恒成立的函数的个数是( ).A.0B.1C.2D.3【分析】：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x 1,x 2∈I,且x 1<x 2,当f(x)总满足2)()()2(2121x f x f x x f +>+时,函数f(x)在区间I 上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x ,y=x 2,y=cos2x ，应选B 。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解4---函数的概念及其表示

高考数学一轮复习考点知识专题讲解函数的概念及其表示考点要求1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×) (4)函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≥0，x 2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是()答案C2．下列各组函数相等的是()A ．f (x )＝x 2－2x －1(x ∈R )，g (s )＝s 2－2s －1(s ∈Z )B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案C3．(2022·长沙质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于() A ．－1B ．2C.3D.12答案D解析∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝31log 23＝12.题型一函数的定义域例1(1)函数f (x )＝lg(x －1)＋1x －2的定义域为() A ．(1，＋∞) B ．(1,2)∪(2，＋∞) C ．[1,2)∪(2，＋∞) D ．[1，＋∞) 答案B解析要使函数有意义，则⎩⎨⎧x －1>0，x －2≠0，解得x >1且x ≠2，所以f (x )的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．(2)若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (x －1)的定义域为________．答案[1,3]解析∵f (x )的定义域为[0,2]， ∴0≤x －1≤2，即1≤x ≤3， ∴函数f (x －1)的定义域为[1,3]．教师备选1．(2022·西北师大附中月考)函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是() A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案B解析由题意，得⎩⎨⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，解得x >2或x ≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝x 1－2x，则函数f (x －1)x ＋1的定义域为() A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 答案D解析令1－2x >0，即2x <1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)． ∴函数f (x －1)x ＋1中，有⎩⎨⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1. 故函数f (x －1)x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域①若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域．②若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)的定义域为() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案B解析要使函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)有意义，则⎩⎨⎧1－4x 2>0，3x －1>0⇒13<x <12. ∴函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.(2)已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎨⎧－2≤2x ≤2，1－2x≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．题型二函数的解析式例2(1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为______．答案f (x )＝lg 2x －1(x >1)解析令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1，所以f (t )＝lg2t －1(t >1)，所以f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________.答案x 2＋2x ＋1解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴2ax ＋b ＝2x ＋2，则a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ，又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 教师备选已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.答案－2x 3－43x解析∵f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x ，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x，∴f (x )＝－2x 3－43x. 思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )＝________. 答案－x 2＋2x ，x ∈[0,2] 解析令t ＝1－sin x ， ∴t ∈[0,2]，sin x ＝1－t ， ∴f (t )＝1－sin 2x ＝1－(1－t )2 ＝－t 2＋2t ，t ∈[0,2]， ∴f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，则f (x )＝__________.答案x 2－2，x ∈[2，＋∞) 解析∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)．题型三分段函数例3(1)已知f (x )＝⎩⎨⎧cosπx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为()A.12B ．－12C ．－1D ．1 答案D解析f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cosπ3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3 ＝cos2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，－x ＋1，x <1.若f (a )＝2，则a 的值为________；若f (a )<2，则a 的取值范围是________．答案4或－1(－1,4) 解析若f (a )＝2，则⎩⎨⎧a ≥1，log 2a ＝2或⎩⎨⎧a <1，－a ＋1＝2，解得a ＝4或a ＝－1，若f (a )<2，则⎩⎨⎧a ≥1，log 2a <2或⎩⎨⎧a <1，－a ＋1<2，解得1≤a <4或－1<a <1，即－1<a <4. 教师备选1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于()A ．－32B.22C.32D. 2 答案B解析f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22.2．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________. 答案0解析当x ≥0时，|f (x )|＝x 3≥ax ，即x (x 2－a )≥0恒成立，则有a ≤0；当x <0时，|f (x )|＝x 2≥ax ，即a ≥x 恒成立，则有a ≥0，所以a ＝0.思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)(2022·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x －3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝_______，f (x )的最小值是_______．答案022－3 解析∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3，当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3. (2)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)，等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，f (x )<f (x ＋1)⇔log 2x <log 2(x ＋1)恒成立．综上知，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课时精练1．(2022·重庆模拟)函数f (x )＝3－xlg x的定义域是() A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,3] D ．(0,1)∪(1,3] 答案D解析∵f (x )＝3－xlg x，∴⎩⎨⎧3－x ≥0，lg x ≠0，x >0，解得0<x <1或1<x ≤3，故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()答案B解析A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]．3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧4x －12，x <1，a x，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于() A.12B.34C ．1D ．2 答案D解析f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝4×78－12＝3，则f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝f (3)＝a 3，得a 3＝8，解得a ＝2.4．下列函数中，与y ＝x 是相等函数的是() A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2 C ．y ＝lg10x D ．y ＝10lg x 答案C解析y ＝x 的定义域为x ∈R ，值域为y ∈R ，对于A 选项，函数y ＝(x )2＝x 的定义域为[0，＋∞)，故不是相等函数；对于B 选项，函数y ＝x 2＝||x ≥0，与y ＝x 的解析式、值域均不同，故不是相等函数；对于C 选项，函数y ＝lg10x ＝x ，且定义域为R ，故是相等函数；对于D 选项，y ＝10lg x ＝x 的定义域为(0，＋∞)，与函数y ＝x 的定义域不相同，故不是相等函数．5．设函数f (x －2)＝x 2＋2x －2，则f (x )的表达式为() A ．x 2－2x －2B ．x 2－6x ＋6 C ．x 2＋6x －2D ．x 2＋6x ＋6 答案D解析令t ＝x －2，∴x ＝t ＋2，∴f (t )＝(t ＋2)2＋2(t ＋2)－2＝t 2＋6t ＋6， ∴f (x )＝x 2＋6x ＋6.6．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－5，x ≤2，3sin x ，x >2，则f (x )的值域为()A ．[－3，－1]B ．(－∞，3]C ．(－5,3]D ．(－5,1] 答案C解析当x ≤2时，f (x )＝2x －5， ∴0<2x ≤4，∴f (x )∈(－5，－1]，当x >2时，f (x )＝3sin x ， ∴f (x )∈[－3,3]， ∴f (x )的值域为(－5,3]．7．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，当P 沿A －B －C －M 运动时，设点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是()答案A解析由题意可得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x <1，34－x4，1≤x <2，54－12x ，2≤x ≤52.画出函数f (x )的大致图象，故选A.8．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是() ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝ln 1－x1＋x；③f (x )＝1ex x-；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.A ．②③B．①②④ C ．②③④D．①④ 答案D解析对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f (x )＝ln1－x1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝111exx-＝e x －1，－f (x )＝1ex x--≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，不满足；对于④，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．9．已知f (x 5)＝lg x ，则f (100)＝________. 答案25解析令x 5＝100，则x ＝15100＝2510， ∴f (100)＝25lg 10＝25.10．函数f (x )＝ln(x －1)＋4＋3x －x 2的定义域为________．答案(1,4]解析依题意⎩⎨⎧x －1>0，4＋3x －x 2≥0，解得1<x ≤4，∴f (x )的定义域为(1,4]．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12解析∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥ln1＝0，又f (x )的值域为R ，故当x <1时，f (x )的值域包含(－∞，0)．故⎩⎨⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x <0，1，x >0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．答案[－2,0)∪(0,1] 解析当x <0时，f (x )＝x ，代入xf (x )＋x ≤2得x 2＋x －2≤0，解得－2≤x <0；当x >0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得0<x ≤1. 综上有－2≤x <0或0<x ≤1.13．(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案D解析当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，当且仅当⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0. 14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋λ，x <1(λ∈R )，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是______．答案[2，＋∞) 解析当a ≥1时，2a ≥2.∴f (f (a ))＝f (2a )＝22a＝2f (a )恒成立．当a <1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ， ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2，综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．15．已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2，0)，则f (2x －1)的定义域为() A ．(－1,0) B ．(－2,0) C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0答案C解析由题意，知－1<x ＋1<1，则f (x )的定义域为(－1，1)．令－1<2x －1<1，得0<x <1.∴f (2x －1)的定义域为(0,1)．16．若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中不具有H 性质的是() A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0)D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2答案B解析若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝ ⎛⎭⎪⎫其中a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f (x 1)＋f (x 2)2.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质．。

高考数学复习专题知识梳理—函数的概念与性质

高考数学复习专题知识梳理—函数的概念与性质1．函数的概念定义一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数三要素对应关系y ＝f (x )，x ∈A 定义域自变量x 的取值范围值域与x 的值相对应的y 的函数值的集合{f (x )|x ∈A }思考1：(1)有人认为“y ＝f (x )”表示的是“y 等于f 与x 的乘积”，这种看法对吗？(2)f (x )与f (a )有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y ＝f (x )是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y 是自变量的函数，当x 允许取某一具体值时，相应的y 值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f (x )仅仅是函数符号，不表示“y 等于f 与x 的乘积”．在研究函数时，除用符号f (x )外，还常用g (x )，F (x )，G (x )等来表示函数．(2)f (x )与f (a )的区别与联系：f (a )表示当x ＝a 时，函数f (x )的值，是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值，如一次函数f (x )＝3x ＋4，当x ＝8时，f (8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间[a ，b ]{x |a <x <b }开区间(a ，b ){x |a ≤x <b }半开半闭区间[a ，b ){x |a <x ≤b }半开半闭区间(a ，b ](2)特殊区间的表示定义R{x |x ≥a }{x |x ＞a }{x |x ≤a }{x |x ＜a }符号(－∞，＋∞)[a ，＋∞)(a ，＋∞)(－∞，a ](－∞，a )思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．3.函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )，x ∈Q ，，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．4.分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．5．增函数与减函数的定义条件一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时都有f (x 1)＜f (x 2)都有f (x 1)＞f (x 2)结论那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图示思考1：增(减)函数定义中的x 1，x 2有什么特征？提示：定义中的x 1，x 2有以下3个特征：(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2；(3)属于同一个单调区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．6.函数最大值与最小值最大值最小值条件设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f(x)≤M f(x)≥M∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标思考：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．7.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？提示：8．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．9．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1的图象如图所示：10．幂函数的性质11.常见的几类函数模型<解题方法与技巧>1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．典例1：(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；②f(x)＝x与g(x)＝x2；③f(x)＝x0与g(x)＝1x0；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①②B．①③C．③④D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝－2x3＝|x|－2x与g(x)＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B 中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]3.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值.(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.典例2：设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝1 12 .(2)g(f(x))＝1f(x)＋2＝12x2＋2＋2＝12x2＋4.4.求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零.(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零.(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.典例3：1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．5.分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．6.．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．典例4：求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝(x＋1)2x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)，，，解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．(3)－x≥0，－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x＋1≠0，－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．已知函数f(x)＋1，x≤－2，2＋2x，－2<x<2，x－1，x≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f (2)若f (a )＝3，求实数a 的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3.∵＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2，∴＋＝94－3＝－34.(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3，即a ＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0.∴(a －1)(a ＋3)＝0，解得a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意．当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意．综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.7.利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式.典例5：证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．[思路点拨]设元0<x 1<x 2<1―→作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 1)>f (x 2)――→结论减函数[证明]设x 1，x 2是区间(0,1)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)12(x 1－x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2(x 1－x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，则－1＋x 1x 2<0，∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．8.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.典例6：(1)若函数f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，则实数x 的取值范围为________．[思路点拨](1)分析f (x )的对称轴与区间的关系――→数形结合建立关于a 的不等式――→求a 的范围(2)f (2x －3)>f (5x －6)――――――――――――――――→f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数建立关于x 的不等式――→求x 的范围(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下，要使f (x )在(－∞，3]上是增函数，只需－(a ＋1)≥3，即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]．(2)∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，且f (2x －3)>f (5x －6)，∴2x －3>5x －6，即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞，1)．]9．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]上的最小(大)值是f (a )，最大(小)值是f (b )．(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，在区间[b ，c ]上是减(增)函数，则f (x )在区间[a ，c ]上的最大(小)值是f (b )，最小(大)值是f (a )与f (c )中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．典例7：已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解](1)f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0⇒f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)由(1)知f (x )在[2,4]上单调递增，所以f (x )的最小值为f (2)＝2×2＋12＋1＝53，最大值f (4)＝2×4＋14＋1＝95.10.解实际应用题的四个步骤(1)审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量的条件关系.(2)建模：建立数学模型，列出函数关系式.(3)求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法(一定注意自变量的取值范围).(4)回归：数学问题回归实际问题，写出答案.典例8：一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x x N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元．(年利润＝年销售总收入－年总投资)(1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y x 2＋32x －100，0<x ≤20，－x ，x >20(x ∈N *)．(2)当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元．即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元．11.巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称.(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题.典例9：已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．12.比较大小的求解策略,看自变量是否在同一单调区间上.(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.典例10：函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f(1)<B．f(1)<C．f(1)D．f(1)<[思路点拨]y＝f(x＋2)是偶函数―→[0，2]上f(x)的图象关于x＝2对称――→比较大小递增B[∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴又f(x)在[0,2]上单调递∴f(1)<f(1)<13.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.典例11：(1)在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为() A．0B．1C．2D．3(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f________．(1)B(2)13[(1)∵y＝1x2＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．(2)设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴23＝13.]14.解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断.典例12：点(2，2)2f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．[解]设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－1 2，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．。

函数的概念及其表示

课前案基本知识梳理1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦　;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑧ .(2)函数的三要素:⑨　、值域和对应关系.(3)相等函数:若两个函数的⑩　相同,且完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示方法: 、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的 ,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.▶提醒一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内,各段函数的定义域不可以相交.知识拓展1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(5)y=tan x的定义域为 .(6)函数f(x)=x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}.(7)y=log a x(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为 ;当a<0时,值域为.(3)y= (k≠0)的值域是{y|y≠0}.(4)y=a x(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=log a x(a>0且a≠1)的值域是R.课中案一、目标导引1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.二、牛刀小试判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)函数=x 0是同一个函数. ( )(2)f (x 是一个函数. ( )(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等. ( )(4)函数y =f (x )的图象与直线x =1的交点最多有1个.( )2.若函数y =f (x )的定义域为M ={x |-2≤x ≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f (x )的图象可能是 ( )3.(新教材人教A 版必修第一册P65例2改编)函数f (x 21x-( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)4.(2020山东威海一中期中)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x -2)的定义域为( )A.(-1,1)B. 11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.(-1,0) D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5.已知f (x )是一次函数,且f [f (x )]=x +2,则f (x )= ( )A.x +1B.2x -1C.-x +1D.x +1或-x -1三、例题讲解考点一　函数、映射概念的理解例1　(1)给出下列四个对应:①A =R,B =R,对应关系f :x →y ,y = 11x + ,x ∈A ,y ∈B ;②A = *1|N 2a a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭ ,B= *1|,N nb b n ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭,对应关系f :a →b ,b= 1a ;③A ={x |x ≥0},B =R,对应关系f :x →y ,y 2=x ,x ∈A ,y ∈B ;④A ={x |x 是平面α内的矩形},B ={y |y 是平面α内的圆},对应关系f :每一个矩形都对应它的外接圆.其中是从A 到B 的映射的为 ( )A.①③B.②④C.①④D.③④(2)下列函数中,与函数y =x +1是相等函数的是 ( )A.y 2B.y y =xx 2+1 D.y 变式练习1.下列对应关系:①A ={1,4,9},B ={-3,-2,-1,1,2,3}, f :x →x 的平方根;②A =R,B =R, f :x →x 的倒数;③A =R,B =R, f :x →x 2-2;④A ={-1,0,1},B ={-1,0,1}, f :x →x 2.其中是A 到B 的映射的是 ( )A.①③B.②④C.③④D.②③2.( )A.f (x )=|x |,g (x f (x g (x 2C.f (x )=211x x --g (x )=x +1 D.f (x g (x考点二　函数的定义域例2　(1)函数f (x x )的定义域为 ( )A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.[-1,2)D.[-1,2](2)函数f (x 2563x x x -+- 的定义域为 ( )A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]角度二　已知函数定义域,求参数的取值范围例3　(1)(2019河北衡水联考)若函数y = 2143mx mx mx -++ 的定义域为R,则实数m 的取值范围是 ( )A. 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)若函数f (x 2ax abx b ++的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为角度三　抽象函数的定义域例4　已知函数f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f 12x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ +f12x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域是.考点三　函数的解析式例5　(1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ).(2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x ).变式练习(2020河北衡水中学调研)已知f (x )是二次函数,且f (0)=0, f (x +1)=f (x )+x +1.求f (x )的解析式.考点四　分段函数例6　已知函数f(x)=229,1,4,1,x ax xx a xx⎧-+≤⎪⎨++>⎪⎩ 若f(x)的最小值为f(1),则实数a的取值范围是.角度二　已知函数值,求参数的值(或取值范围)例7　设函数f(x)= 22,0,1,0,x x xx x⎧+<⎨+≥⎩则f(-1)= ; 若f(a)>f(a-1),则实数a的取值范围是 .变式练习(2018课标全国Ⅰ文,12,5分)设函数f(x)=2,0,1,0,x xx-⎧≤⎨>⎩ 则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是 ( )A.(-∞,-1]B.(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)课后案1.下面可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={x|0≤x≤1}为值域的函数图象的是( )2.(2020河北邢台模拟,理2)已知集合A={x|lg(x2-x-1)>0},B={x|0<x<3},则A∩B=( )A.{x|0<x<1}B.{x|x<-1}∪{x|x>0}C.{x|2<x<3}D.{x|0<x<1}∪{x|2<x<3}3.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]4.下列各组函数中,表示同一函数的是( )A.f(x)=e ln x,g(x)=xB.f(x)=,g(x)=x-2C.f(x)=,g(x)=sin xD.f(x)=|x|,g(x)=5.若函数y=f(x)的值域是[1,3],则函数F(x)=1-f(x+3)的值域是( )A.[-8,-3]B.[-5,-1]C.[-2,0]D.[1,3]6.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-1]B C D7.(2020重庆模拟,理13)已知函数f(x)=ln(-x-x2),则函数f(2x+1)的定义域为 .8.(2020辽宁大连一中6月模拟,文3)设f(x)=且f(2)=4,则f(-2)= .9.设函数f(x)=若f(t+1)>f(2t-4),则实数t的取值范围是 .10.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,则f(x)= .B组11.(2020广东华师大附中月考)已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]12.(2020河北衡水中学检测)已知函数f(x)=若实数a满足f(a)=f(a-1),则f=( )A.2B.4C.6D.813.(2020山东济南三模,5)“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值,其计算方法是将每一期增长量相加后,除以期数,即国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标,下表是我国2015—2019年GDP数据:年份20202020201516171819国内生产总值/万亿68.8974.6483.291.9399.09根据表中数据,2015—2019年我国GDP的平均增长量为( ) A.5.03万亿 B.6.04万亿C.7.55万亿D.10.07万亿14.已知函数f(x)=则f= .课后案答题纸A组1234567. 8.9. 10.B组1234.。

专题4 一次函数的基本概念与图像

专题一、函数的基本概念与图像一、函数的基本概念1、一辆汽车以60千米／时的速度行驶，行驶的路程S （km ）与形式的时间t （h ）之间的函数关系式S=60t ，其中变量是（）A 、速度与路程B 、速度与时间C 、时间与路程D 、速度、时间、路程2、已知圆柱的体积公式是V=πr 2h ，若h 为常数，则在这个公式中，变量是（）A 、V 、πB 、V 、π、rC 、V 、rD 、V 、h3、在△ABC 中，它的底边是a ，底边上的高是h ，则三角形的面积s= 12 ah ，当h 为定长时，在此关系式中（）A 、s 、a 是变量，h 、12 是常量B 、s 、a 、h 是变量，12是常量 C 、a 、h 是变量，12 是常量 D 、s 是变量，a 、h 、12是常量 4、以固定的速度v 0向上抛一个小球，小球的高度h 与小球的运动时间t 之间的关系式是h= v 0t-4.9t 2，在这个关系中，变量、常量分别是（）A 、4.9是变量，t 、h 是常量B 、v 0是常量，t 、h 是变量C 、v 0、-4.9是常量，t 、h 是变量D 、4.9是常量，t 、h 是变量二、自变量的取值范围5、函数y=x-1中，自变量x 的取值范围是（）A 、x ≥0B 、x ≠1C 、x ≥1D 、全体实数6、在函数y=1-2z 中，自变量x 的取值范围是（）A 、x ≤12B 、x ＜12C 、x ≥12D 、x ＞127、函数y= x+2x-1中，自变量x 的取值范围是（） A 、x ≥1 B 、x ≠1 C 、x ＜0 D 、x ≥0且x ≠1 8、函数y= -x x-1错误!未定义书签。

中，自变量x 的取值范围是（） A 、x ≥0 B 、x ＜0且x ≠1 C 、x ＜0 D 、x ≥0且x ≠19、函数y=-12x+1中，函数y 的取值范围为y ＞0，则自变量x 的取值范围是（） A 、x ＜1 B 、x ＞1 C 、x ＜2 D 、x ＞210、函数y=2x-1中，自变量x 的取值范围是x ＞-1，则函数y 的取值范围是（）A 、y ＜-3B 、y ＞-3C 、y ＞-1D 、y ＜-1三、根据实际问题确定函数图象11、某厂家年初生产与种饮料，在库存为m （m ＞0）的情况下，日销售量与产量持平，自5月气温升高以来，饮料需求量猛增，在生产能力不变的情况下，饮料一度脱销，以下表示2009年初至脱销期间，库存量y 与时间t 之间函数关系的图象是（）12、小华同学利用假期时间乘坐一大巴去看望在外打工的妈妈，出发时大巴的油箱装满了油，匀速行驶一段时间后，油箱中的汽油剩一半时又加满了油，接着按原速度行驶，到目的地时油箱中还剩有13箱汽油，设油箱中所剩汽油量为V（升），时间为t的大致图象是（）13、汽车由重庆驶往相距400千米的成都，如果汽车的平均速度是100千米／时，那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系用图象表示应为（）14、如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A，设P 点经过的路线为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象大致反映y与x的函数关系的是（）15、如图，已知等边三角形ABC的边长为4cm，长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm／s的速度向B运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的七它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒.（1）线段MN在运动过程中，t为何值时，PM=NQ？（2）线段MN在运动过程中，四边形MNQP的面积为S，运动时间为t。

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专题4 函数的概念及其表示方法
专题知识梳理
1．函数的概念
设A、B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．
2．函数的定义域与值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域；
与x的值对应的输出值y叫做函数值；
函数值的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做函数的值域．
3．函数的三要素
函数的构成要素为_定义域、对应法则、值域．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以，如果两个函数的定义域、值域和对应法则完全一致，我们称这两个函数是同一个函数．4．函数的表示
表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法．
5．分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
考点探究
考向1函数的概念
【例】(1)已知A＝{1，2，3，k}，B＝{4，7，a4，a2＋3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y＝3x＋1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值；
(2)下列各组函数中，表示同一函数的是________．
①y＝3
x3与y＝x2；②y＝
x2－1
x＋1
与y＝x－1；
③y＝lne x与y＝e ln x；④y＝x0与y＝1
x0．
题组训练
1．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，有以下4个对应法则：
①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；③f：x→y＝x＋4；④f：x→y＝4－x2，
其中不能构成从A到B的函数的是____________．(填序号)
2．下列各组的两个函数中表示同一函数的是__________．
①y＝2log2x与y＝log2x2；②y＝x－2与y＝x2－4x＋4；
③y＝log a a x(a>0，a≠1)与y＝3
x3；④y＝
1
x－1
与y＝
x＋1
x2－1
．
3.（易错题）下列所给图形中是函数图象的个数为________．
考向2函数的解析式
【例】根据下列条件，求函数的解析式：
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3；
(2)已知f(x＋1)＝x＋2x；
(3)若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；
(4)已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．
题组训练
1.已知，则______ ．
2.函数满足，则________．
3.（易错题）已知函数()
y f x
=满足
1
()
f x
x
+==x3+
3
1
x
+1，求f（x）．
考向3 分段函数
【例】(1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为______________； (2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，
则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是____________； (3) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是______________．
题组训练
1.函数，则______．
2.已知函数，若，则实数m 的值等于______．
3.已知函数，则的值是______．
4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <4，f （x －1），x ≥4，则((5))f f =________.
5.（拔高题）已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则m 的值为____________．
考向4 函数及其表示方法的实际应用
【例】如图，有一块四边形绿化区域BCED，其中∠C =∠D =90°，BC =BD ，CE =DE =1．现准备经过DB上一点P和EC上一点Q铺设水管PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP =x，EQ =y．
（1）求x，y之间的关系式；
（2）求水管PQ的长的最小值．
题组训练
1.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上
部为半圆形的框架，若半圆半径为x．
（1）求此框架围成的面积y与x的函数式y＝f(x)，并写出它的定义域；
（2）x为何值时，面积y最大？最大值是多少？。