总复习题一

总习题一1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:(1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件.(2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的________条件.)(lim 0x f x x →存在是f (x )在x 0的某一去心邻域内有界的________条件.(3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件.∞=→)(lim 0x f x x 是f (x )在x 0的某一去心邻域内无界的________条件.(4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0x f x x →存在的________条件.解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分.(3) 必要, 充分. (4) 充分必要.2.已知函数2(cos ),0(),0x x x f x a x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩在0x =处连续,则a =1因为2220lim(lncos )lncos 00lim ()lim(cos )lim 1x x x x x xx x x f x x eee →---→→→=====所以a =13. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: (1) 设f (x )=2x +3x -2. 则当x →0时, 有( ).(A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小. 解 因为ln 2ln3000000()232213111lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x x x f x e e x x x x x x →→→→→→+-----==+=+ 00ln 2ln 3limlim ln 2ln 3x x x x x x→→=+=+所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小. 故应选B .(2)设111()1xxe f x e -=+ 则0x =是()f x 的(跳跃间断点)左右极限都存在,分别为-1与1,但不等.4. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域:(1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ). 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ].(3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2222ππππ+≤≤-n x n (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅),即函数f (cos x )的定义域为[2, 222n n ππππ-+], (n =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).5. 设 ⎩⎨⎧>≤=0 0 0)(x x x x f , ⎩⎨⎧>-≤=0 00)(2x x x x g ,求f [f (x )], g [g (x )], f [g (x )], g [f (x )].解 因为f (x )≥0, 所以f [f (x )]=f (x )⎩⎨⎧>≤=0 00x x x ;因为g (x )≤0, 所以g [g (x )]=0; 因为g (x )≤0, 所以f [g (x )]=0;因为f (x )≥0, 所以g [f (x )] ⎩⎨⎧>-≤=0 002x x x .6. 利用y =sin x 的图形作出下列函数的图形:(1)y =|sin x |; (2)y =sin|x |; (3)2sin 2x y =.7. 把半径为R 的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为α的一扇形后围成一无底圆锥. 试将这圆锥的体积表为α 的函数.解 设围成的圆锥的底半径为r , 高为h , 依题意有R (2π-α)=2πr , παπ2)2(-=R r ,παπαπαπ244)2(2222222-=--=-=R R R r R h . 圆锥的体积为παπαπαππ244)2(312222-⋅-⋅=R R V22234)2(24a R -⋅-=πααππ (0<α<2π).8. 根据函数极限的定义证明536lim 23=---→x x x x .证明 对于任意给定的ε >0, 要使ε<----|536|2x x x , 只需|x -3|<ε , 取δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 就有|x -3|<ε , 即ε<----|536|2x x x , 所以536lim 23=---→x x x x .9. 求下列极限:(1)221)1(1lim -+-→x x x x ; (2))1(lim 2x x x x -++∞→;(3)1)1232(lim +∞→++x x x x ; (4)30sin tan lim x x x x -→; (5)x x x x x c b a 10)3(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan )(sin lim π→.解 (1)因为01)1(lim 221=+--→x x x x , 所以∞=-+-→221)1(1lim x x x x .(2))1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→1limlim2x x ===. (3) 2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(4)2333000tan sin tan (1cos )12lim lim lim 2x x x x x x x x x x x x →→→⋅--=== (提示: 用等价无穷小换) .(5)c b a c b a xxxx xx xxx x x x c b a c b a 333010)331(lim )3(lim -++⋅-++→→-+++=++ , 因为e c b a x x x c b a xx x x =-+++-++→330)331(lim , 0031111limlim()33x x x x x x x x a b c a b c x x x x→→++----=++ ln ln ln 0001111[lim lim lim ]3x a x b x c x x x e e e x x x→→→---=++3ln )ln ln (ln 31abc c b a =++=, 所以 3ln 103)3(lim abc e c b a abc x x x x x ==++→. (6)xx x xx x x tan )1(sin 12tan 2)]1(sin 1[lim )(sin lim -⋅→→-+=ππ, 因为e x x x =-+-→1s i n 12)]1(sin 1[lim π,x x x x x x x c o s )1(s i n s i n limtan )1(sin lim 22-=-→→ππ01s i n c o s s i nlim )1(sin cos )1(sin sin lim 222=+-=+-=→→x x x x x x x x x ππ, 所以 1)(s i n l i m 0t a n 2==→e x x x π.10. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=01sin )(2x x a x xx x f , 要使f (x )在(-∞, +∞)内连续, 应怎样选择数a ? 解 要使函数连续, 必须使函数在x =0处连续.因为 f (0)=a , a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 200, 01sin lim )(lim 00==++→→xx x f x x , 所以当a =0时, f (x )在x =0处连续. 因此选取a =0时, f (x )在(-∞, +∞)内连续.11. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=01 )1ln()(1x x x e x f , 求f (x )的间断点, 并说明间断点所属类形.解 因为函数f (x )在x =1处无定义, 所以x =1是函数的一个间断点.因为0lim )(lim 1111==-→→--x x x e x f (提示-∞=--→11lim1x x ), ∞==-→→++1111lim )(lim x x x e x f (提示+∞=-+→11lim 1x x ), 所以x =1是函数的第二类间断点.又因为0)1ln(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x , ee xf x x x 1lim )(lim 1100==-→→++, 所以x =0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.12. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 证明 因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim 2=+=+∞→∞→nn n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n n n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 13. 证明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2(ππ-内至少有一个根.证明 设f (x )=sin x +x +1, 则函数f (x )在]2,2 [ππ-上连续.因为2121)2 (πππ-=+--=-f , 22121)2 (πππ+=++=f , 0)2 ()2 (<⋅-ππf f ,所以由零点定理, 在区间)2,2 (ππ-内至少存在一点ξ , 使f (ξ)=0.这说明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2 (ππ-内至少有一个根.14. 如果存在直线L : y =kx +b , 使得当x →∞(或x →+∞, x →-∞)时, 曲线y =f (x )上的动点M (x , y )到直线L 的距离d (M , L )→0, 则称L 为曲线y =f (x )的渐近线. 当直线L 的斜率k ≠0时, 称L 为斜渐近线.(1)证明: 直线L : y =kx +b 为曲线y =f (x )的渐近线的充分必要条件是 x x f k x x x )(lim),( -∞→+∞→∞→=, ])([lim ),( kx x f b x x x -=-∞→+∞→∞→.(2)求曲线xe x y 1)12(-=的斜渐近线.证明 (1) 仅就x →∞的情况进行证明.按渐近线的定义, y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线的充要条件是0)]()([lim =+-∞→b kx x f x .必要性: 设y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线, 则0)]()([lim =+-∞→b kx x f x ,于是有 0])([l i m =--∞→xb k x x f x x ⇒0)(lim =-∞→k x x f x ⇒x x f k x )(lim∞→=, 同时有 0])([l i m=--∞→b kx x f x ⇒])([lim kx x f b x -=∞→. 充分性: 如果xx f k x )(lim∞→=, ])([lim kx x f b x -=∞→, 则0])([lim ])([lim )]()([lim =-=--=--=+-∞→∞→∞→b b b kx x f b kx x f b kx x f x x x ,因此y =kx +b 是曲线y =f (x )的渐近线.(2)因为212lim lim 1=⋅-==∞→∞→x x e xx x yk ,1111l i m [2]l i m [(21)2]2l i m (1)l i m 2l i m 11xxx x x x xx b y x x e x x e e x x→∞→∞→∞→∞→∞=-=--=--=-=, 所以曲线x e x y 1)12(-=的斜渐近线为y =2x +1.。