中国古代数学的主要成就

刘徽，公元3世纪魏晋时人， 于公元263年撰《九章算术 注》。该书包含了刘徽本人的 许多创造，其中最突出的成就 是“割圆术”和求积理论。

割圆术的要旨是用圆内接正多 边形去逐步逼近圆。刘徽从圆
内接正六边形出发将边数逐次 加倍，计算每次得到的正多边 形周长和面积。他指出：“割 之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆合体而 无所失矣。”
理”。

西 方 数 学 的 传 入

《四元玉鉴》是中国古代数学的绝 唱，明代以后中国数学逐渐衰弱。 而当16、17世纪，近代数学在欧洲 蓬勃兴起的时候，中国数学就更加 明显地落后了。 西方数学的传入从明朝开始。1602 年（明万历34年），利玛窦与徐光 启合译了《几何原本》前6卷，几 何、三角、对数等传入国内。徐光 启对《几何原本》的评价极高： “此书为益，能令学理者祛其浮气、 练其精心，学事者资定其法、发其 巧思，故举世无一人不当 学。”“此书有四不必，不必疑、 不必揣、不必试、不必改。”
日本数学家小苍金之助把《九 章算术》说成是中国的《几何 原本》。吴文俊教授也认为， 《九章算术》和刘徽的《九章 算术注》，在数学的发展历史 中具有崇高的地位，足可与希 腊的《几何原本》东西辉映， 各具特色。

《九章算术》全书共分9章， 246道题，体例采用问题集形 式。

刘 徽 的 数 学 成 就

史料上没有关于祖冲之推算圆周 率方法的记载，一般认为是沿用 了刘徽的“割圆术”。刘徽用 “割圆术”从圆内接正六边形出 发，算到圆内接正192边形，得到 圆周率约为3.14124，如果用这一 方法算到圆内接正24576边形，便 得到圆周率在3.1415926和 3.1415927之间。祖冲之在圆周率 的计算方面领先于西方近千年。 为了纪念祖冲之的贡献，20世纪 的日本天文学家将自己发现的一 颗行星以祖冲之的名字命名。

从东汉以来，有关球体积的计算公 式，经过张衡、刘徽等人的努力， 最后由祖冲之和他的儿子祖暅完成， 成为中国数学史上的一件大事。祖 氏父子的这一成就，被唐代李淳风 记录在自己的《九章算术注》中， 才使人们得以了解其具体的研究方 法。祖氏父子利用“两等高几何体，
若在任意同一高度上的截面积均相 等，则它们的体积相等”这一原理，

中 国 剩 余 定 理
秦九韶的算法非常严密，但他并没 有对这一算法给出证明。到18、19 世纪欧拉（1743）和高斯（1801） 分别对一次同余式组进行了详细研 究，重新独立地获得了与秦九韶 “大衍术”相同的定理，并对模数 两两互素的情形给出了严格证明。 高斯的成果是最完整的，他还解决 了模不是两两互素时的情形。1876 年德国人马蒂生首先指出秦九韶的 算法与高斯的算法是一致的，因此 关于这一算法被称作“中国剩余定
中国古代数学的主要成就
周 髀 算 经
百度文库
《周髀(音同“币”)算经》是我 国最早的天文著作，系统地记 载了周秦以来适应天文需要而 逐步积累的科技成果。该书的 主要内容是周代传下来的有关 测天量地的理论和方法。 《周髀算经》也是中国最古的 算书，成书确切年代没有定论， 一般认为在公元前2、3世纪。 李约瑟认为：“最妥善的办法 是把《周髀算经》看作具有周 代的骨架加上汉代的皮肉。”
弦 图

九 章 算 术
《九章算术》成书于公元前后， 是我国最重要、影响最深远的 一本数学著作。后世不少人， 如刘徽、祖冲之、李淳风等人 均对《九章算术》作过注。特 别是刘徽的注，加进了不少自 己的精辟见解，阐述了重要的 数学理论。《九章算术注》是
《九章算术》得以流芳百世的 重要补充和媒介。

九 章 算 术


勾 股 定 理
昔者周公问于商高曰：“窃闻 于大夫善数也，请问古者包牺 立周天历度，夫天不可阶而升， 地不可得尺寸而度，请问数安 从出？”商高曰：“数之法出 于圆方，圆出于方，方出于矩， 矩出于九九八十一。故折矩，
以为勾广三，股修四，径隅 五。”

《周髀算经》中荣方与陈子的 一段对话中，则包含了勾股定
求得牟合方盖的体积，然后利用刘 徽的结果，得到了球体积公式。

祖暅还明确总结出了“幂势既 同，则积不容异”这样一条求 积原理。该原理现被称为“祖 暅原理”。事实上，刘徽也使 用过这一原理，只是未能将其 概括为一般形式。这一原理在 西方被称为卡瓦列里原理，但 他17世纪前叶才提出，比祖暅 迟了1100多年。


问题：求满足的
N r1 (mod p1 ) r2 (mod p2 ) ...... rn (mod pn )
大 衍 总 数 术
最小自然数N。 ◆设 M pi ， Mi M / pi 求乘率 M i 使 M i M i 1(mod pi ) 则总数
N M 1M 1r1 M 2M 2 r2 M n M n rn (mod p)
以《数术记遗》替代。
孙 子 算 经
[鸡兔同笼]今有雉兔同笼，上 有三十五头，下有九十四足。 问雉、兔各几何？答曰：雉二 十三，兔一十二。 术曰：上置头，下置足，半其 足，以头除足，以足除头，即 得。 [物不知数]今有物，不知其数。 三三数之，剩二；五五数之剩 三；七七数之，剩二。问物几 何？答曰：二十三。

孙 子 歌
明代数学家程大位的《算法统 宗》中所载的“孙子歌”以诗 歌形式介绍了物不知数问题的 解法：“三人同行七十稀，五 树梅花廿一枝，七子团圆整半 月，除百零五便得知。” 这一问题的解法后经秦九韶推 广到一般情形，被称为“孙子

定理”，又称为“中国剩余定 理”。
宋 元 数 学
宋元时期（960-1368）的杰出 数学家秦九韶、杨辉、李冶、 朱世杰被称为“宋元四大家”。 宋元时期的数学代表著作有 《数书九章》（秦九韶）、 《详解九章算法》（杨辉）、 《益古演段》（李冶）和《四 元玉鉴》（朱世杰）等
刘徽用“割圆术”从圆内接正六 边形出发，算到圆内接正192边形， 得到圆周率约为3.14124，其精确 到小数点后两位的近似值 3.14=157/50，被称为“徽率”。 刘徽的面积、体积理论建立在一 条简单而又基本的原理之上，这 就是“出入相补原理”：一个几

何图形被分成若干部分后，面积 或体积的总和保持不变。刘徽利
用这条原理成功地证明了《九章 算术》中的许多面积公式。

祖 冲 之 的 数 学 成 就

祖冲之（公元429—500）活跃于南 朝宋、齐时代，出生于历法世家， 本人做过南徐州（镇江）从事史和 公府参军，都是地位不高的小官， 但他却成为历代为数不多能名列正 史的数学家之一。 祖冲之最大的数学成就是对圆周率 的精确计算。得出了圆周率的上限 3.1415927（盈数），下限 3.1415926（肭数）。另外还得出了 圆周率的两个分数形式的近似值约 率22/7，和密率（祖率）355/113。

算 经 十 书
出于官方数学教育的需要，唐 高宗亲自下令对以前的数学著 作进行整理。公元656年由李 淳风负责编定了算经十书： 《周髀算经》、《九章算术》、 《孙子算经》、《五曹算经》、 《张邱建算经》、《夏候阳算 经》、《缉古算经》、《海岛 算经》、《五经算术》和《缀 术》，后因《缀术》失传，而

元代中期数学高峰过后，由于社 会制度等种种原因，数学发展速 度减慢，有的数学领域（如天元 术）甚至出现中断、失传现象。
虽然西方初等数学传入，但发展 速度却大大落后于同时代突飞猛 进的欧洲各国。而西方现代数学 的传入则是从清朝才开始的。对 此作出重要贡献的是李善兰和华 衡芳等人。
李 善 兰
李善兰（1811—1882），浙江海 宁人，是中国近代著名数学家。 李善兰的著作有《方圆阐幽》、 《古昔斋算学》、《考数根法》、 《垛积比类》等；译作有《代微 积拾级》、《代数学》、《几何 原本》后9卷，《圆锥曲线说》等。 李善兰发明的“尖锥术”、“垛 积术”具有独创性。
勾 股 定 理
理的一般形式。

陈子曰：“若求邪至日者，以 日下为勾，日高为故，勾、股 各自乘，并而开方除之，得邪 至日，…”

《周髀算经》主要是以文字形式叙述 了勾股算法。中国古代最先完成勾股 定理证明的数学家是三国时期的赵爽 （公元3世纪）。赵爽为《周髀算经》 作注时，所作的“勾股圆方图注”中 给出了“弦图”，相当于运用面积的 出入相补证明了勾股定理。


1859年李善兰与英国传教士伟烈亚 力（Wylie）合译《几何原本》后9 卷，及《代微积拾级》，创立的一 些中文数学名词影响深远，如：代
数学、微分、积分、曲率、极大、 无穷、级数、方程、根等。

清政府于1862年创办京师同文馆。 这是中国历史上的第一所新学堂， 开始只学外语和汉语，1867年设天 文算学馆，1868年聘李善兰为算学 总教习。学习内容包括：代数学、 几何原本、三角学、微积分等。