初高中衔接第四讲 《代数式的恒等变形》

第四讲 代数式的恒等变形 姓名

基础知识呈现

1、 恒等式与条件等式：

如果一个等式中字母取允许范围内的任意一个值，等式总能成立，那么这个等式就叫做恒等式。如：()a b b a a a b ab a b a +=+-=+-=-,,2222

等都是恒等式。而12=x 不是恒等式，

因为只有当2

1

=

x 时，等式才成立。因此称为条件等式。 2、 恒等变形

把一个式子变形为与原式恒等的另外不同形式的式子，这种变形叫恒等变形，例如y z z x y x -+-=-就是恒等变形。

两个多项式恒等的充要条件是它们的对应项系数相等，即：

⇔++++=++++----01110111b x b x b x b a x a x a x a n n n n n n n 001111,,,b a b a b a b a n n n n ====--。

实际上，待定系数法的依据就是多项式的恒等的性质。

3、 代数式恒等变形是解决初等数学乃至高等数学问题的一种重要方法，是研究函数和方程的重要

工具。代数式的恒等变形包括：代数式化简，求代数式的值，证明恒等式或条件等式等等。 例题讲解

例1、 证明恒等式()()()()

22222

2

y x b a ay bx by ax ++=++-。

例2、 证明恒等式()()

bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2

2

2

3

3

3

3。

例3、 证明恒等式()

()

()2

2

2

2

111

1

1

1

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-+-=-+

-+

-a c c b b a a c c b b a

例4、 证明恒等式()()()()()a

c c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+

-+-=---+---+---2

22)(

例5、 已知11

,11=+=+

z

y y x ，求证：11=+x z 。

例6、 已知z y x ,,为三个互不相等的数，且x

z z y y x 1

11+=+=+，试证：1222=z y x 。

例7、 已知0=++c b a ，求证：3111111-=⎪⎭⎫

⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝

⎛+b a c a c b c b a

例8、 已知10,5=-=-b c b a ，求ca bc ab c b a ---++2

2

2

的值。

例9、 设t

t t t y t

t t t x -+++=

++-+=

11,11，t 取何值时，代数式200120412022=++y xy x 。

例10、 若()

2012

34554575322)(+--+=x x x x x f ，求)2

1

111(

-f 的值。

巩固练习

1、 证明恒等式：()()()()c a c b b a c b a c b a +++=---++33333

。

2、 已知1=abc ，求证11

11=++++++++c ca c

b b

c b a ab a 。

3、 设(

)

1123-+++=+++c b a c b a ，求222c b a ++的值。

4、 设1

1716+=x ，求17181722

345-+--+x x x x x 的值。