3二次根式

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二次根式计算题简单

二次根式计算题简单
二次根式计算题是数学中常见的一类题型，下面我将从多个角度给出一些简单的二次根式计算题的解答。

1. 计算√9：
答案是3，因为√9等于正数3。

2. 计算√16：
答案是4，因为√16等于正数4。

3. 计算√25：
答案是5，因为√25等于正数5。

4. 计算√2 + √2：
首先将√2 + √2化简为2√2，所以答案是2√2。

5. 计算√3 × √3：
根据乘法的性质，√3 × √3等于√(3 × 3)，即√9，答
案是3。

6. 计算√5 ÷ √2：
根据除法的性质，√5 ÷ √2等于√(5 ÷ 2)，即√(5/2)。

7. 计算(√7 + √3)²：
首先展开括号得到(√7 + √3)² = (√7 + √3)(√7 +
√3)。

再利用公式(a + b)² = a² + 2ab + b²，得到(√7 +
√3)² = 7 + 2√21 + 3。

所以答案是7 + 2√21 + 3 = 10 + 2√21。

8. 计算√(4 + 9)：
首先计算4 + 9 = 13，然后对13开平方根，得到√13。

以上是一些简单的二次根式计算题的解答，希望能够帮到你。

如果还有其他问题，请随时提问。

3.3二次根式的混合运算(3)

§3.3.2二次根式的混合运算教案备课时间: 主备人:一.学习目标：1．掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在根式的运算中仍然适用；2．正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算．二．学习重点：正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算．学习难点：二次根式计算的结果要是最简二次根式．三．教学过程知识准备1．满足下列条件的二次根式是最简二次根式．①.②.③.2．回忆有理数，整式混合运算的顺序.3．回忆并整理整式的乘法公式.★方法探究1⑴(512＋23)×15 ⑵(3＋10)(2－5)归纳：.尝试练习：⑴(3＋22)× 6 ⑵(827－53)· 6 ⑶(6－3＋1)×2 3⑷(3－22)(33－2) ⑸(22－3)(3＋2) ⑹(5－6)(3＋2)平方差公式：.完全平方公式：.★方法探究2⑴(3＋2)(3－2) ⑵(3＋25)2归纳：.尝试练习：⑴(5＋1)(5－1) ⑵(7＋5)(5－7) ⑶(25－32)(25＋32) ⑷(a＋b)(a－b) ⑸(3－2)2 ⑹(32－45)2 ⑺(3－22)(22－3) ⑻(a－b)2⑼(1－23)(1＋23)－(1＋3)2⑽(3＋2－5)(3―2―5)例题解析1. 计算：(22－3)2011( 22＋3)2012.2. 若x＝10－3，求代数式x2＋6x＋11的值.3. 若x＝11＋72，y＝11—72，求代数式x2－xy＋y2的值.课内反馈1. 计算12(2－3)＝ .2. 计算⑴(2＋3)(2－3)＝； ⑵(5－2)2010( 5＋2)2011＝ .3. 计算： ⑴12(75＋313－48) ⑵(1327－24－323)·12 ⑶(23－5)(2＋3)⑷(5－3＋2)(5＋3－2) ⑸(312－213＋48)÷2 34. 已知a ＝3＋2 ，b ＝3－2，求下列各式的值.⑴a 2－b 2 ⑵1a －1b⑶a 2－ab ＋b 25. 若x ＝3＋1，求代数式x 2－2x －3的值.。

二次根式的公式

二次根式的公式
二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。

二次根式
的计算公式为：
1. 同类项相加减：对于两个二次根式，如果它们的根号内的数
相同，则可以直接将它们的系数相加减，再乘以相同的根号内的数。

例如，√2 + 3√2 = 4√2，2√3 - √3 = √3。

2. 消去分母中的二次根式：将含有二次根式的分数的分母有理
化为含有二次根式的形式，并将分子分母同时乘以分母的有理化因式。

例如，将1/（2+√3）有理化为（2-√3）/（（2+√3）（2-
√3））=（2-√3）/1。

3. 分解因式求根：对于一个二次根式，可以将它分解因式，并
利用乘法公式求得其值。

例如，√18 = √（2·3·3）= 3√2。

以上是二次根式的计算公式，可以帮助我们简化和求解二次根式
的运算。

二次根式运算法则

二次根式运算法则1.二次根式的加减法则：当二次根式的根数和被开方数相同时，可以直接合并同类项。

例如：√2+√2=2√22.二次根式的乘法法则：当相同根数的二次根式相乘时，可以将根号内的被开方数相乘，并保留相同的根号。

例如：√2*√3=√(2*3)=√63.二次根式的除法法则：当相同根数的二次根式相除时，可以将根号内的被开方数相除，并保留相同的根号。

例如：√6/√2=√(6/2)=√34.二次根式的乘方法则：当一个二次根式乘以它自身时，可以将根号内的被开方数进行乘方运算，并保留相同的根号。

例如：(√2)²=25.二次根式的化简法则：当一个二次根式的被开方数是一个完全平方数时，可以将二次根式化简为一个整数。

例如：√4=2当一个二次根式与一个无理数相乘或相除时，无法进行化简。

例如：√2*π或(√2)/π通过以上的二次根式运算法则，我们可以更方便地进行复杂二次根式的计算。

下面通过例题来进一步说明二次根式运算法则的应用。

例题1：计算√5+√5+2√5解：根据二次根式的加减法则，合并同类项得到4√5例题2：计算(√3+1)(√3-1)解：根据二次根式的乘法法则，将根号内的被开方数相乘得到3-1=2例题3：计算√18/√6解：根据二次根式的除法法则，将根号内的被开方数相除得到√(18/6)=√3例题4：计算(√2+√3)²解：根据二次根式的乘方法则，将根号内的被开方数进行乘方运算得到2+2√6+3=5+2√6例题5：将√50化简解：根据二次根式的化简法则，将被开方数50化简为25*2，然后提取出完全平方数得到5√2通过以上的例题，我们可以看到二次根式运算法则的应用，能够帮助我们简化计算，使二次根式的运算更加方便快捷。

[数学]-专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧(原版)

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版）第一部分典例精析+变式训练类型一分母有理化技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。

典例1（2021秋•曲阳县期末）把√3a √12ab 化去分母中的根号后得（） A ．4bB ．2√bC ．12√bD ．√b 2b 变式训练1．（2022春•东莞市期中）化简：√8= ． 2．（2021春•龙山县期末）把√12√2a 化成最简二次根式，结果是．技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．例如：化简√2+1．解：√2+1=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1．上述化简的过程，就是进行分母有理化．【问题解决】（1）化简2−√3的结果为：；（2）猜想：若n 是正整数，则√n+1+√n 进行分母有理化的结果为：；（3）若有理数a ，b 满足√2−1+√2+1=2√2−1，求a ，b 的值．变式训练 1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：2+√5= ．2．（2022秋•牡丹区期末）若3−√7的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+√7）ab ＝．技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简典例3 化简：3332变式训练：1.化简： 2224(2)24x x x x x技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。

典例4 （2022秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值√x+√y +√xy+y √x−√y，其中x ＝5，y =15．针对训练：化简：（1y （24323技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。

24．观察下面式子的化简过程：√6√2+√3+√5=√6+3)−5√2+√3+√5=√2+√3)2√5)2√2+√3+√5=√2+√3−√5．化简√10√5+√13+√8，并将这一问题作尽可能的推广．变式训练：12235(23)(35)类型二分子有理化典例6（2020秋•梁平区期末）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：√7−√6=(√7−√6)(√7+√6)√7+√6=1√7+√6．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：√7−√6=√7+√6√6−√5=√6+√5．因为√7+√6＞√6+√5，所以√7−√6＜√6−√5．再例如：求y=√x+2−√x−2的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=√x+2−√x−2=√x+2+√x−2．当x＝2时，分母√x+2+√x−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较3√2−4和2√3−√10的大小；（2）求y=√1+x−√x的最大值．针对训练1．（青羊区校级期中）已知a=√2−1，b＝3﹣2√2，c=√3−√2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b2．（2020秋•武侯区校级月考）计算：（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；（2）求y=√x+1−√x−1+3的最大值．第二部分专题提优训练1．（2022秋•绥化期末）化简√21√3的结果是． 2．（2021秋•阳城县期末）化简√8√20的结果是． 3．（2021秋•徐汇区校级期中）化简：√x−3−1= ． 4．（2021春•宁阳县期末）化简√12= ，√2−1= ． 5．（2012秋•珙县校级月考）化简：2−√3= ． 6．（2021春•江城区期末）化简√2√27的结果是． 7．（2022秋•宝山区校级期中）已知：x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，求x 2+xy +y 2的平方根．8．（2022春•普陀区校级期末）计算：√5−√5−1．9．（2021秋•浦东新区校级月考）计算：√32+√3−1+√3．10．（2021秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．如：√2+1√2−1=√2+1)(√2+1)(√2−1)(√2+1)=3+2√2．除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．如：化简√2+√3√2−√3．解：设x =√2+√3−√2−√3，易知√2+√3＞√2−√3，故x ＞0．由于x 2＝（√2+√3√2−√3）2＝2+√3+2−√3−2√(2+√3)(2−√3)=2．解得x =√2，即√2+√3−√2−√3=√2根据以上方法，化简：√23+2√2+√√−√√11．（2022春•大连月考）阅读材料：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+√3）（2−√3）＝1，（√5+√2）（√5−√2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中√3=√3√3×√3=√33√32−√3=√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）4+√7的有理化因式可以是，3√2分母有理化得．（2）计算：①1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√1999+√2000．②已知：x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1，求x2+y2的值．12．（2022春•钢城区期末）阅读下列解题过程：√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①√7+√6=；②√n+√n−1=；（2）应用：求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值；（3）拓广：√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=．13．（2021春•广饶县期中）【阅读材料】材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．例如：化简√3+√2 解：√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2材料二：化简√a +2√b m ，n ，使m 2+n 2＝a ，并且mn ＝b ，那么√a ±2√b =√m 2+n 2±2mn =√(m ±n)2=m ±n ．例如：化简√3±2√2解：√3±2√2=√(√2)2+12+2√2=√(√2+1)2=√2+1【理解应用】（1）填空：化简√5+√3√5−√3的结果等于．（2）计算：①√7−2√10；②√2+1+√3+√2+2+√3+⋯+√2020+√2019+√2021+√2020．14．（2020春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：√7−√6=√7−√6)(√7+√6)√7+√6=√7+√6．分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较√7−√6和√6−√5的大小可以先将它们分子有理化如下：√7−√6=√7+√6，√6−√5=√6+√5．因为√7+√6＞√6+√5，所以，√7−√6＜√6−√5．再例如，求y =√x +2−√x −2的最大值、做法如下：解：由x +2≥0，x ﹣2≥0可知x ≥2，而y =√x +2−√x −2=√x+2+√x−2．当x ＝2时，分母√x +2+√x −2有最小值2．所以y 的最大值是2．利用上面的方法，完成下述两题：（1）比较√15−√14和√14−√13的大小；（2）求y =√x +1−√x −1+3的最大值．。

3二次根式的乘法1

1 × 27 3
= 9 = 3
a b＝ ab (a≥0，b≥0)
③ 2 （ 2 8）解：原式=
2× 2 2× 8
1 1 2 2 21 ④ 3 7
1 1 2 解：原式= -2× × × 21 3 7 1 2 2 21 = 7× 3 2 = × 49 7 2 = ×7 7
= 2- 4 = -2
= -2
a b＝ ab (a≥0，b≥0)
规定：在本章中，如果没有特殊说明，所有字母都表示正数 !
1 ① 5
x y （ 5
3 3
x ） y
②
a
b a
4b
x 1 3 3 解：原式= ·（-5） · x y· y 5
解：原式= =
a· · 4b
b a
= -1· x 3 y 3 = -1· x y
作业
1、化简
2 ① （π 3.14）
② x 2 2x 1（x＜1）
2、计算
① 2 8
y ③ 2 xy x
3 ② 3 （ 12） 4 ④ n mn m n3
1、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 2、贤从智中取，智从学中求。
张磊
1、掌握二次根式乘法的运算法则. 2、能应用二次根式的乘法法则进行相关运算 . 3、培养自己探究、归纳的能力. 课堂要求：积极参与课堂，人人都要会！
1、填空
① 4 9 _____ 6
② 4 16 _____ 8 ③ 16 25 _____ 20
6 4 9 _____
8 4 16 _____ 20 16 25 _____
2、由此可以得到二次根式乘法的运算法则：
a b _____ ab （a≥0，b≥0）

二次根式3

16.1 二次根式学习目标、重点、难点【学习目标】1a≥0）的意义解答具体题目.2a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简.【重点难点】1、二次根式的性质.2、能确定二次根式中字母的取值范围.知识概览图a≥0）教材精华知识点1 二次根式的概念读作“二次根号”．拓展(1)二次根式必须含有二次根号，但是4是.二次根式的性质二次根式的有关概念0)a≥的式子叫做二次根式代数式：由基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式二次根式二次根式的双重非负性2(0)a a=≥①被开方数a非负，即a≥00)a≥(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜(2)二次根式中的被开方数a 既可以表示一个数，也可以表示一个代数式，有意义，即a ≥0，也就是说，被开方数必须是非负数．例如：二次根式．的根指数为2，即，我们常省略根指数2，写作，不要误把的根指数当做03．(4)有理数(不是0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略乘号．若有理数是分数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如：223理数称为二次根式的系数.知识点2 确定二次根式中字母的取值范围a 就必须是非负数，即a ≥0，由此可以确定被开方数中字母的取值范围，，只有当2x +1≥0，即x ≥12-时，才有意义. 再如，对于式子来说，只有当30,10,x x -≥⎧⎨+≥⎩即-1＜x ≤3时，二次根式才有意义.拓展对于既含有二次根式，又含有分母的代数式，写字母的取值范围时，既要保证二次根式有意义，又要保证分母不为零.知识点3 二次根式的性质二次根式的双重非负性:0，a ≥0a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，所以由算术平方根的定义可知0.（2=a （a ≥0）. 由于a ≥0）表示非负数a 和算术平方根，将非负数a 的算术平方根平方，就等于它本身a2=a2=32=62=1.5.拓展（12=a（a≥0），可以看做是系数为1的二次根式的平方运算，结果等于被开方数.（22=a（a≥0）逆用，写成a=2（a≥0）. 即任何一个非负数都可以写成它的算术平方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x2-2在有理数范围内无法分解，但在实数范围内，22，所以x2-2=x2-2=（x（x.（3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如：（32=32×2=9×2=18.2=（12)2×2=14×6=32等，则用到了积的乘方法则（ab)2=a2b2.由于a2. a2（a≥0），这里a可以正，可以负，也可以是0.a=，然后再根据a的符号化简绝对值. 55=-=. 也可以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如5==.a的符号不确定，那么要讨论.(0),0(0),(0).a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪<⎩拓展2知识点5 代数式用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如：5，a ，a +b ，ab ，st(t ≠0)，x 3，3)x =等都是代数式.拓展代数式中不含有“＝” “＞” “＜”等符号，只有运算符号.课堂检测基本概念题1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（1 （2 （3）（4 （5 （6（7）（8（9 （10基础知识应用题2、当x 取何值时，下列各式有意义？（1 （22xx +；（3；（4（5）2x -；（6）23x -；（7；（821a a +.3、实数a ，b 在数轴上的位置如图21-1图21-1综合应用题4、（1）三角形的高是底的12，底为xcm ，则这个三角形的面积是 cm 2; （2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4倍，则这两个圆的周长之和是（设第一个圆的半径为r ）.探索创新题5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值11.5a a =其中甲同学的做法是：原式＝111214910.55a a a a a a +-=-=-=乙同学的做法是：原式＝1111.5a a a a a +-==谁的做法是正确的？说明理由. 体验中考1x 的取值范围是（）A. x＞1且x≠2B.x≥1C. x≠2D. x≥1且x≠22、若x，y为实数，且20x++=，则（x＋y）2010的值为.学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否含有二次根号；二是看被开方数是否是非负数.解：（1）∵-3＜0.（2）∵(-3)2＞0.（3）∵(-3)3=-27＜0.（4）∵3.（5-x的符号不能确定，因此应分两种情况讨论.①当x≤0②当x＞0..（6）∵4.（7）∵-2a2≤0，∴-2a2-1＜0.（8）∵(x+3)2≥0，当分母x+3=0时，原式没有意义，∴当x≠-3.∴.（9）∵-(a-4)2≤0，∴只有当a-4=0，即a=4是二次根式；当a≠4时，-(a-4)2＜0不是二次根式..（10）∵m2+2m+1=(m+1)2≥0.【解题策略】本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字母时，a必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的.2、分析本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数，如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母.解：（1300 xxx⎧∴=⎨-⎩≥，≥0,.∴当x=0时，.（22xx+有意义，则必有202xxx-⎧∴⎨+≠⎩≥，≤0,，且x≠-2.∴当x≤0，且x≠-22xx+有意义.（3）∵(x-1)2≥0，∴无论x都有意义.（4）欲使2-3x＞0，∴x＜23.∴当x＜23.（5）欲使2x-有意义，则必有2402xxx+⎧∴⎨-≠⎩≥，≥-20,，且x≠2.∴当x ≥-2，且x ≠2时，2x -有意义. （6）欲使有意义，则必有2303x x x -⎧∴⎨-≠⎩≥，≥30,.∴当x ≥3有意义. （7有意义，则必有120112x x x -⎧⎪∴⎨-≠⎪⎩≥，≤0,，且x ≠-1.∴当x ≤12，且x ≠-1. （8）欲使21aa +有意义，则必有201a a a -⎧∴⎨+≠⎩≥，≤20,，且a ≠-1. ∴当a ≤2，且a ≠-121aa +有意义. 【解题策略】本例中的（2）及（4）~（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6）小题中，由x -3≥0，得x ≥3，由x 2-3≠0，得xx ≥3的范围内，所以只需满足x ≥3即可. （7）小题中，由1-2x ≥0，得x ≤12，由1x -≠0，得x ≠±1，只有x =-1在x ≤12的范围内，而x =1不在x ≤12的范围内，所以只需满足x ≤12，且x ≠-1即可.3、分析a =. 解：由数轴可知a ＜0，b ＞0，a -b ＜0，a b a b ---=-[()]a b a b ----=a b a b --+-=2b -.【解题策略】a ==(0),0(0),(0).a a a a a ⎧⎪=⎨⎪-⎩＞＜4、分析由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为xcm ，则高为2xcm ，所以三角形的面积为21··224x x x =（cm 2）. （2）因为第一个圆的半径为r ，所以第二个圆的半径为4r ，所以这两个圆的周长之和为52242rr r πππ+=.答案：（1）24x（2）52rπ5、分析本题主要考查二次根式的性质的创新应用.因为15a=，所以1aa＞，所以11.a aa a-=-解：甲同学的做法是正确的，理由如下：111.5a aa a-=，且，即=51111,0,.a a a aa a a a--=∴＞∴＞∴-乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了a与1a的大小关系，导致错误.【解题策略】a=进行化简时，0a≥.a=体验中考1、分析本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义的条件（即分母≠0），由题意知11 2.20,xx xx-⎧⎨-⎩≥0,∴≥且≠≠故选D.2、分析本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由20x+=知x＋2＝0，且y－3＝0，所以x＝－2，y＝3，所以(x＋y)2010＝（－2＋3）2010＝12010＝1.故填1.16.2 二次根式的乘除学习目标、重点、难点【学习目标】1、最简二次根式概念；2、二次根式的乘除法法则及其逆用；【重点难点】1、最简二次根式概念；2、二次根式的乘除法法则及其逆用；知识概览图最简二次根式的概念：被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式0)a b =≥，≥00)a b =≥，＞0 0)a b ≥，≥00)a b =≥，＞0新课导引如右图所示，一个直角三角形ABC 中，两直角边BC ，AC 分别是6和10，那么由二次根式的乘除法法则二次根式乘除法法则的逆用二次根式的乘除勾股定理可知其斜边AB ==设这个直角三角形斜边上的高CD 为x ，则1161022x x ⨯⨯==所以利用的是面积“桥”的方法.136分解因数，即136＝22×34=进一步将分母中的根号化没即可，23417==⨯教材精华知识点1 二次根式的乘法0,0).a b ≥≥拓展（1）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.（2）二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围.=，公式中的a ，b 必须满足a ≥0，b ≥0.（3=0,0)a b =≥≥，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质可以化简二次根式，即如果一个二次根式的被开方数中有因数（式）0,0)a b ≥≥(0)a a =≥将这些因数（式）开出来，进而将二次根式化简.==(0).x x ==+≥（4）如果没有特别说明，本章中所有字母都为正知识点2 二次根式的除法公式()a b ≥0,＞0可通过二次根式的乘法公式得到：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.例如：== 拓展（1）当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除，可直接利用除法法则.比如：2.=== （2）当被除式的被开方数不能被除式的被开方数整除时，或者是被除式是整数而除式是二次根式时，可以利用分式的基本性质把分母中的根号化去.==.==（3）()a b ≥0,＞0，)a b =≥0,＞0.可以用语言叙述为：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.=1）a 必须是非负数，b 必须是正数；（2）如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如=. （4）二次根式的除法运算结果要化到最简.知识点3 最简二次根式被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.也就是说，若二次根式有如下特点：①被开方数中不含分母，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，则这个二次根式就是最简二次根式.例如：等都是最简二次根式. 拓展（1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：①被开方数不含分母；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.=次根式.=2和22x y+的指数都是1()二次根式.22+.a b（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.课堂检测基本概念题1、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？（x＞2），-x,(b＞0，a＞0),a＞b＞0), .基础知识应用题23x =-成立，则（）A. x ≥3B. x ≥-3C. -3≤x ≤3 D． x 为任意实数3= （） A. x ≥6 B. 0≤x ≤6 C. x ≥0 D. x ＞6综合应用题4、如图21-4所示，飞行员在飞机B 处用雷达测得飞机和目标城市A 的距离为4.5×102m,且测得对这个目标的俯角α=45°，C 为地面上位于飞机正下方的点，设地面是平的.求飞机此时的高度h .探索创新题5、已知ab，请用含a ，b 以上方法表示.体验中考1、（1?A.B.C.D. E. 0问题的答案是（只需填字母）：；（2）那么这个数的一般形式是什么？（用代数式表示）2、对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一定运算※如下：a ※b 3212432a b ====--※※ .学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题主要考查最简二次根式的概念.解: .9==，=x-2,--==,(x>2), -( b>0, a>0),不是最简二次根式.【解题策略】判断最简二次根式主要看被开方数是否有分母，另外，要看被开方数是否含有能开方的因式.2、分析本题考查的知识点是二次根式的乘法公式成立的条件，要求x+3≥0,且x-3≥0，由此可得x≥3，故选A.3、分析本题主要考查二次根式的除法公式成立的条件，要求x≥0，且x-6＞0，所以x＞6.故选D.规律·方法求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每一部分都有意义即可，这里包括二次根式的被开方数非负，分母不为零，零次幂和负整数次幂的底数不为零等.4、分析本题综合考查勾股定理和二次根式的化简，解决此题的关键是将问题转化到一个直角三角形中去分析.解：因为α=45°，所以∠A= 45°.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以∠ABC== 45°，所以AC=BC=h.由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即2h2=(4.5×102)2.21810000.28hh=⨯===22所以（4.510）所以答：飞机此时的高度为m）.【解题策略】解决此题的方法是将问题转化到一个直角三角形中去，将求飞机的高度转化为求直角边的长度，同时注意结果要化到最简.5、分析解决本题的关键在于把4.9用不同的形式表示出来.解法17.a b====解法277.101010b a=====解法3.1010ab === 【解题策略】根据4.9=4910=490100及二次根式的性质化简，化简后使其与a ，b 相关，然后将能用a ，b 代替的用a ，b 代替，表示出结果.体验中考1、分析本题考查二次根式的乘法运算，对所有的选项亲自算一下，就会得到所有答案. 解：（1）A ，D ，E.（2）设这个数为x ,则x a (a 为有理数)，所以xa 为有理数)，2、分析本题考查对新运算的理解，以及对二次根式的化简能力，12※4=411..124822==-故填【解题策略】对于新定义的运算，要看清它的计算实质，利用例子把新运算转化为普通的运算.16.3 二次根式的加减学习目标、重点、难点【学习目标】1、同类二次根式的概念；2、二次根式的加减；3、二次根式的混合运算；【重点难点】1、同类二次根式；2、二次根式的混合运算；知识概览图同类二次根式二次根式的加减二次根式的加减二次根式的混合运算新课导引如图所示，要在圆形的花坛的中心种花，外围栽草，并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，求种草的宽度.（π取3.14）【问题探究】由于种植花、草的面积分别为6.28 cm2，18.84 cm2，所以花坛的大、小圆的面积分别为25.12 cm2，6.28 cm2π取3.14时，它们的值分别为，那么如何计算错误！未找到引用源。

初三数学单元测试(3)(二次根式)

6．化简： __________； __________； __________。
7．计算： __________； __________。
8．要使式子有意义且取得最小值的的取值是______；的取小值是_______。
9．对于二次根式根号外的因式移到根号内，结果是__________。
10．若、、为△ABC的三条边，化简 ______________。
11．把二次根式中根号外的字母移到根号内，结果是__________。
12．下列等式中，正确的是（）
A． B． C． D．
13．下列等式中，能成立的是（）
A． B． C． D．
15．与的关系是（）
A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．以上说法都不对
16．若，则的取值范围是（）
A． B． Biblioteka ． D．初三数学练习3班级姓名学号得分
1．请写出两个与是同类二次根式的根式_____________。
2．已知，化简 =_____________。
3．如果式子有意义，那么x的取值范围是__________。
4．已知，则 =__________。
5．如果，那么代数式的值是______________。
17．若，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
18．如图，是一个数值转换机，若输入的的值为，则输出的结果应为（）
A．4 B． C．1 D．
19．计算下列各式：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）
20．当时，求的值。
21．先化简，再求值：，其中。
22．计算：

3.3 二次根式的加减(3)

3.3二次根式的加减(3)班级姓名学号教学目标：1、能较熟练地运用乘法公式进行有关二次根式加、减、乘混合运算；2、在运算中进一步体会运用乘法公式计算的简捷性和有效性. 例题分析：例1 计算：(1)()()18342334-+ (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x 52352322 (3)236223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 分析：第(1)题把2318写成后，可直接用平方差公式，第(2)题可把232+x 看成整体，用平方差公式，第(3)题可直接用完全平方公式.解 (1)原式＝301848)23()34()2334)(2334(22=-=-=-+.(2)原式＝(232+x )2－(5x )2＝3x 2＋2－25x 2＝－22x 2＋2.(3)原式＝2236362232223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝32631323229-=+-. 说明：判断一个二次根式的计算能否用乘法公式是解题的关键.有时，初看起来不能用，但略加变形后则可用公式.例如，计算())12(623-+时，原式＝6)12(6)12)(12(6=-=-+.例2 计算：(1))6322)(6322(-++- (2)910)103()103(+-(3)22)632()623(+---+分析：第(1)题的两个因式中都有三项，且它们或相等或互为相反数，故可用平方差公式.第(2)题无法求得910)103()103(+-和的值，此时可先逆用积的乘方公式后再计算.第(3)题如分别求出两个三项式的平方比较复杂，但如把它看成两数平方差，则逆用平方差公式较简单.解 (1)原式＝)]632(2)][632(2[-+--＝()22)632(2--＝2－(12－122＋6)＝－16＋122.(2)原式＝9229]103[)103()]103)(103[(-=-+-)103(-⋅ ＝310)103(1-=-⋅-.(3)原式＝)]632()623)][(632()623[(+---++-+-+ ＝(3864)63(24623222-=-=-⋅.说明：熟练运用乘法公式进行二次根式的计算是检测运算能力的重要标准之一，解题时的“整体意识”显得尤为重要.如第(1)题中632-应看成“整体”；第(3)题中的两个多项式都应看成整体.类似地，通过思考下面的计算也比较容易：()1235+-+()1235++-；)6315)(6210(-+-+；()()()()22y x y x y x yx ++-+等.同学们不妨一试.例3 计算：(1)23233223223++⨯-- (2)yx xy y x yx y x 24439--+-+-分析：对于分母中含多项的二次根式的化简，目的还难以完成.但若注意到分子和分母的关系，可通过先约分，再计算. 解 (1)原式＝623)23(6)32(623-=++⨯--初三数学教学案(2)原式＝()()yx y xy x yx y x 2)2(4)(332222-+--+-＝yx y x yx y x y x 2)2(3)3)(3(2---+-+＝y x y x 23+-- ＝y -.说明：运用约分方法常能使类似例3的计算变得非常容易，这一点实际上都与乘法公式密切相关，同学们如对这一些公式的变式，如x －y ＝()()22y x -，a ＋b 2)(2b a a ±=±，x 2＋()))((q x p x pq x q p +++=+等很熟悉的话，运用也就得心应手了.备注：1、公式用错，如计算⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2213222132时，应该用完全平方公式，不能用平方差公式.2、没有用公式的意识，而直接计算，造成过程繁锁导致错误.如计算(633-+)(1＋32-)时，看不出可用平方差公式. 课后作业： 1、填空题：(1))154)(154(-+＝ .(2))2)(2(y x y x +-＝ .(3)22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x xy ＝ . (4))3)(2(++x x ＝ . 2、计算题：(1)22)32()32(++- (2)22)37()37(+--(3))83)(322(-- (4)2)23()122)(4818(---+(5))4)(4(22q q p q p p ----+-3、计算题：(1)2)352(-+ (2))875)(5227(-+-+(3))32524)(52432(+--- (4))1632)(1632(+---+-4、计算题(1)1312)52()52(-+(2)22)321()321(+---+(3))21)(21)(21)(21(-+--+++-x x x x(4)22)12()22(+-x x完成《100分闯关》P49-50。

人教版八年级数学(下)课件：16_3 二次根式的加减(第1课时)

归纳总结将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并. 注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断; 2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式) 相加，根指数和被开方数(式)不变.如：
m a n a m n a
巩固练习
下列各式中，与 3 是同类二次根式的是（ D ）
解：原式 2 6 2 2 6
24
3 6 2 .
4
探究新知考点 3 二次根式的综合性题目
有一个等腰三角形的两边长分别为5 2,2 6 ，求其周长.
解：①当腰长为
时，
∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴此时能构成三角形，周长为
②当腰长为
时，
∵2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴此时能构成三角形，周长为
18 3 2 5,5 2 7.5,
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．
探究新知
二次根式性质
整式加分配律减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简用分配整式二次根式律合并加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
27
33
9
巩固练习
下列计算正确的是（ C ）
A. 2 2 2
B. 3 2 3 2
C. 12 3 3 D. 3 2 5
已知一个矩形的长为 48 ,宽为 12 ，则其周
长为__1_2__3_.
探究新知
考点 2 二次根式的加减混合运算
计算: （1）2 12 - 6 1 3 48 ; （2）（ 12 20）（ 3 - 5）.

根式的运算法则含根式的运算法则

根式的运算法则含根式的运算法则一：[根式的运算法则]二次根式的运算知识点总结一、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面．反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。

二、有理化因式与分母有理化：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

三、二次根式运算法则：（1）加法法则（合并同类二次根式）；（2）乘、除法法则。

四、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

常见考法二次根式的运算是中考命题的热点，二次根式的运算在中考中多以混合运算为主，解决时，我们还要与分母有理化以及各运算法则，公式相结合。

题型既有选择填空，也有计算解答。

误区提醒二：[根式的运算法则]3.二次根式的运算3.二次根式的运算★★★二次根式的加法和减法★★★整式的加减归结为合并同类项. 二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式.要点解析1.二次根式的加减实际上就是合并同类二次根式，因此在进行二次根式加减时，化简二次根式和合并同类二次根式是关键.不是同类二次根式不能合并，如就是最简结果，不能再合并.2.有理数的交换律、结合律都适用于二次根式运算.二次根式的乘法法则★★★ 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.要点解析1.法则用数学式子表示，即：.它是将积的算术平方根性质逆用得到的.2.根据这一法则可以对二次根式进行恒等变形，或将根号内的因式变形后移到根号外，或将根号外面的非负因式平方后移到根号内.3.乘法交换律、结合律、分配律在二次根式中仍然适用，适当地应用运算律有时会简化计算；4.法则可推广,如：.二次根式的除法法则★★★ 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.要点解析1.法则用数学式子表示，即：.它是将商的算术平方根性质逆用得到的.2.二次根式的混合运算顺序与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的.3.二次根式运算的结果必须化为最简根式.三：[根式的运算法则]★初二数学根式及其运算专题复习初二数学根式及其运算专题复习二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为__2＜0，1__＜0，所以原式=2__+__1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(__4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以__4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a ＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)。

3二次根式小结与复习

二次根式小结与复习【主要内容】本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．【要点归纳】1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．EX:10．若代数式有意义，则的取值范围是（）A．且B．C．且D．且2. 二次根式的性质：①②③④Ex：1．化简：______；_________．2．当______时，．3．等式成立的条件是______．4．当，化简_______．5．比较与的大小：_______．6．分母有理化：（1）__________；（2）__________；（3）__________．9．如果，那么的值为___________．10．若有意义，则的取值范围是___________．选择题：1．下式中不是二次根式的为（）A．；B．；C．；D．9．的值为（）A．B．C．D．3. 二次根式的运算二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．（1）二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．（2）二次根式的乘法：（3）二次根式的除法：注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．EX:7．已知，，，那么________．8．计算_________．（4）二次根式的混合运算：先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算．注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．EX: 2．计算得（）A．；B．C．D．173．若，则化简等于（）A．B．C．D．14．化简的结果是（）A．B．C． D．5．计算的结果是（）A．B．C． D．6．化简的结果是（）A．2 B．C．D．以上答案都不对（5）有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与；②与；③与；④与．说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化．【难点指导】1、如果是二次根式，则一定有；当时，必有；2、当时，表示的算术平方根，因此有；反过来，也可以将一个非负数写成的形式；3、表示的算术平方根，因此有，可以是任意实数；4、区别和的不同：中的可以取任意实数，中的只能是一个非负数，否则无意义．5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径：（1）因式的内移：因式内移时，若，则将负号留在根号外．即：．（2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即：EX: 7．把式子中根号外的移到根号内，得（）A．B．C．D．8．等式成立的条件是（）A．B．C．D．6、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有．说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小．强化训练【时间60分钟满分100分】计算与化简：（每小题2分，共16分）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）求值题：（每小题4分，共16分）1．已知：，求的值．2．已知，求的值。

根号1到100最简二次根式表

最简二次根式是指被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母。

以下是根号1到100的最简二次根式表：1√2 (已是最简)√3 (已是最简)√4 = 2√5 (已是最简)√6 (已是最简)√7 (已是最简)√8 = 2√2√9 = 3√10 (已是最简)√11 (已是最简)√12 = 2√3√13 (已是最简)√14 (已是最简)√15 (已是最简)√16 = 4√17 (已是最简)√19 (已是最简)√20 = 2√5√21 (已是最简)√22 (已是最简)√23 (已是最简)√24 = 2√6√25 = 5√26 (已是最简)√27 = 3√3√28 = 2√7√29 (已是最简)√30 = √(2×3×5) = √2 × √3 × √5√31 (已是最简)√32 = 4√2√33 (已是最简)√34 (已是最简)√35 (已是最简)√36 = 6√37 (已是最简)√38 (已是最简)√39 (已是最简)√41 (已是最简)√42 = √(2×3×7) = √2 × √3 × √7√43 (已是最简)√44 = 2√11√45 = 3√5√46 (已是最简)√47 (已是最简)√48 = 4√3√49 = 7√50 = √(2×5×5) = √2 × 5√51 (已是最简)√52 = 2√13√53 (已是最简)√54 = 3√6√55 (已是最简)√56 = 2√14√57 (已是最简)√58 (已是最简)√59 (已是最简)√60 = 2√15√61 (已是最简)√62 (已是最简)√63 = 3√7√64 = 8√65 (已是最简)√66 = √(2×3×11) = √2 × √3 × √11√67 (已是最简)√68 = 2√17√69 (已是最简)√70 = √(2×5×7) = √2 × √5 × √7√71 (已是最简)√72 = 6√2√73 (已是最简)√74 (已是最简)√75 = 5√3√76 = 2√19√77 (已是最简)√78 = √(2×3×13) = √2 × √3 × √13√79 (已是最简)√80 = 4√5√81 = 9√82 (已是最简)√83 (已是最简)√84 = 2√21√85 (已是最简)√86 (已是最简)√87 (已是最简)√88 = 2√22√89 (已是最简)√90 = 3√10√91 (已是最简)√92 = 2√23√93 (已是最简)√94 (已是最简)√95 (已是最简)√96 = 4√6√97 (已是最简)√98 = 7√2√99 = 3√11√100 = 10请注意，这里列出的最简二次根式是根据被。

【解析】专题三二次根式基本运算

保持优秀是种习惯
专题三二次根式基本运算分母有理化解析
板块一二次根式的乘除最简二次根式：二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ）
4y 2y
84
∴ 27x和 3xy 不是同类二次根式． 4y 8
⑷∵ 4 a3b2 2 ab 5a, a2b3 ab 5b
5
5
55
∴ 4 a3b2 和 a2b3 不是同类二次根式．
5
5
【评注】判断两个二次根式是不是同类二次根式，要严格按照定义，先化简，然后再看被开方数是否相同即
可．解此题必须要把所给二次根式化成最简形式．化成最简二次根式后只须看被开方数是否相同．
3
3
24x 中有能开得尽方的因数 22 ， x2 4x 4 x 22 中含有能开得尽方的因式 x 22 ，它们都
不满足条件 2；只有 a2 b2 和 b 满足最简二次根式的两个条件．选 B. 4
【评注】要牢记最简二次根式的两个条件，判断时只须看被开方数，注意当被开方数是多项式时要先分解因
）．
6x1 ， a2 b2 ， 2ab2 ， 0.5ab , a ， b , 24x ， x2 4x 4 ． 34
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
【解析】此题的关键是看二次根式的被开方数是否满足最简二次根式的两个条件．
6x 1 中 6x1 6 是分式， x

2023二次根式教案3篇

2023二次根式教案3篇二次根式教案篇1一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130?，则它的宽为______．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例2 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4 你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4） .【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5， 7，10题．五、目标检测设计1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）A. B. C. D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．2. 当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．二次根式教案篇2第十六章二次根式代数式用运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式①式子中不能出现“=,≠,≥,≤,<,>”;②单个的数字或单个的字母也是代数式5.5(解析:这类题保证被开方数是最小的完全平方数即可得出结论.20=22×5,所以正整数的最小值为5.)6.(1)(x+)(x-) (2)n(n+)2(n-)2(解析:关键是逆用()2=a(a≥0)将3变成()2.(1)x2-3=(x+)(x-).(2)n5-6n3+9n=n(n4-6n2+9)=n(n2-3)2=n(n+)2(n-)2.)7.解:(1) . (2)宽:3 ;长:5 .8.解:(1) =. (2)(3)2=32×()2=18. (3)=(-2)2×=. (4)-=-=-3π. (5) = =.9.解:原式=-=-.∵x=6,∴x+1>0,x-8<0.∴原式=x+1-=x+1+x-8=2x-7=12-7=5.10.解析:在利用=|a|=化简二次根式时,当根号内的因式移到根号外面时,一定要注意原来根号里面的符号,这也是化简时最容易出错的地方.解:乙的解答是错误的.因为当a=时,=5,a-<0,所以≠a-,而应是 =-a.本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.在探究完成二次根式的性质1后,总结学习方法,再放手让学生自主探究二次根式的性质2.既可以提高学习效率,又可以培养学生自学能力.练习(教材第4页)1.解:(1)()2=3. (2)(3)2=32×()2=9×2=18.2.解:(1)=0.3. (2) =. (3)-=-π. (4)=10-1=.习题16.1(教材第5页)1.解:(1)欲使有意义,则必有a+2≥0,∴a≥-2,∴当a≥-2时,有意义. (2)欲使有意义,则必有3-a≥0,∴a≤3,∴当a≤3时,有意义. (3)欲使有意义,则必有5a≥0,∴a≥0,∴当a≥0时,有意义. (4)欲使有意义,则必有2a+1≥0,∴a≥-,∴当a≥-时,有意义.2.解:(1)()2=5. (2)(-)2=()2=0.2. (3)=. (4)(5)2=52×()2=25×5=125.(5)==10. (6)=72×=49×=14. (7) =. (8)- =- =-.3.解:(1)设圆的半径为R,由圆的面积公式得S=πR2,所以R2=,所以R=± .因为圆的半径不能是负数,所以R=-不符合题意,舍去,故R= ,即面积为S的圆的半径为 . (2)设较短的边长为2x,则它的邻边长为3x.由长方形的面积公式得2x3x=S,所以x=±,因为x=-不符合题意,舍去,所以x=,所以2x=2=,3x=3=,即这个长方形的相邻两边的长分别为和.4.解:(1)32. (2)()2. (3)()2. (4)0.52. (5). (6)02.5.解:由题意可知πr2=π22+π32,∴r2=13,∴r=±.∵r=-不符合题意,舍去,∴r=,即r的值是.6.解:设AB=x,则AB边上的高为4x,由题意,得x4x=12,则x2=6,∴x=±.∵x=-不符合题意,舍去,∴x=.故AB的长为.7.解:(1)∵x2+1>0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (2)∵(x-1)2≥0恒成立,∴无论x取任何实数,都有意义. (3)∵即x>0,∴当x>0时, 在实数范围内有意义. (4)∵即x>-1,∴当x>-1时,在实数范围内有意义.8.解:设h=t2, 则由题意,得20=×22,解得=5,∴h=5t2,∴t= (负值已舍去).当h=10时,t= =,当h=25时,t= =.故当h=10和h=25时,小球落地所用的时间分别为 s和 s.9.解:(1)由题意知18-n≥0且为整数,则n≤18,n为自然数且为整数,∴符合条件的n的所有可能的值为2,9,14,17,18. (2)∵24n≥0且是整数,n为正整数,∴符合条件的n的最小值是6.10.解:V=πr2×10,r= (负值已舍去),当V=5π时, r= =,当V=10π时,r= =1,当V=20π时,r= =.如图所示,根据实数a,b在数轴上的位置,化简:+.〔解析〕根据数轴可得出a+b与a-b的正负情况,从而可将二次根式化简.解:由数轴可得:a+b<0,a-b>0,∴+=|a-b|+|a+b|=a-b-(a+b)=-2b.[解题策略] 结合数轴得出字母的取值范围,再化简二次根式,此题体现了数形结合的思想.已知a,b,c为三角形的三条边,则+= .〔解析〕根据三角形三边的关系,先判断a+b-c与b-a-c的符号,再去根号、绝对值符号并化简.因为a,b,c为三角形的三条边,所以a+b-c>0,b-a-c<0,所以原式=(a+b-c)+[-(b-a-c)]=a+b-c-b+a+c=2a.故填2a.[解题策略] 此类化简问题要特别注意符号问题.化简:.〔解析〕题中并没有明确字母x的取值范围,需要分x≥3和x<3两种情况考虑.解:当x≥3时,=|x-3|=x-3;当x<3时,=|x-3|=-(x-3)=3-x.[解题策略] 化简时,先将它化成|a|,再根据绝对值的意义分情况进行讨论.5OM二次根式教案篇3一、教学目标1.了解二次根式的意义;2. 掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题;3. 掌握二次根式的性质和，并能灵活应用;4.通过二次根式的计算培养学生的逻辑思维能力;5. 通过二次根式性质和的介绍渗透对称性、规律性的数学美.二、教学重点和难点重点：(1)二次根的意义;(2)二次根式中字母的取值范围.难点：确定二次根式中字母的取值范围.三、教学方法启发式、讲练结合.四、教学过程(一)复习提问1.什么叫平方根、算术平方根?2.说出下列各式的意义，并计算：通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念.观察上面几个式子的`特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或等于零，其中，表示的是算术平方根.(二)引入新课我们已遇到的这样的式子是我们这节课研究的内容，引出：新课：二次根式定义：式子叫做二次根式.对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：(1)式子只有在条件a0时才叫二次根式，是二次根式吗? 呢?若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.(2) 是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗?显然不是，因此二次根式指的是某种式子的外在形态.请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式.下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答.例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式?分析：，，，、、、四个是二次根式. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a-10时，a+10又如当0例2 x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义?解：略.说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义.例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：(1) (2) (3) (4)分析：由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b20，当a、b为任意实数时，是二次根式.(2)-3x0，x0，即x0时，是二次根式.(3) ，且x0，x0，当x0时，是二次根式.(4) ，即，故x-20且x-20, x2.当x2时，是二次根式.例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：(1) ; (2) ; (3) ; (4)分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，进一步巩固二次根式的定义，.即：只有在条件a0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零.解：(1)由2a+30，得 .(2)由，得3a-10，解得 .(3)由于x取任何实数时都有|x|0，因此，|x|+0.10，于是，式子是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.(4)由-b20得b20，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)1.式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.(四)练习和作业练习：1.判断下列各式是否是二次根式分析：(2) 中，，是二次根式;(5)是二次根式. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数(如x0时，又如当x-1时=，因此(1)(3)(4)不是二次根式，(6)无意义.2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?五、作业教材P.172习题11.1;A组1;B组1.六、板书设计。

二次根式运算3[下学期]--浙教版.

A
D
B
试一试：
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m， A AD：BD=1 ：0.6，云梯底部离地面的距离BC为2m。
你能求出云梯的顶端离地
面的距离AE吗？ D B C
E
课堂练习2
如图:一艘快艇从O港出发,向东北方向行驶到A处, 然后向西行驶到B处,再向东南方向行驶,共经过1时回到O港.已知快艇的速度是60千米/时,问AB这段路程是多少千米?(精确到0.1千米).
B C
A
Eபைடு நூலகம்
F
D
课内练习
1：如图，一道斜坡的坡比为1：10，已知AC=24m。求斜坡AB的长。
B A C
例题学习
例7：如图是一张等腰直三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。（1）分别求出3张长方形纸条的长度。（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm² 。 C
C
归纳
在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形边长计算的问题时经常用到二次根式及其运算。
例题学习
例6：如图，扶梯AB的坡比（BE与AE的长度之比）为1:0.8，滑梯CD的坡比为1:1.6， AE=3/2米，BC=1/2CD。一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程（结果要求先化简，再取近似值，精确到0.01米）
北
45° O
东
课内练习
课本P17页：作业题第2题
应用二次根式解决实际问题首先要分析问题,列出算式,进一步应用二次根式的性质和运算法则化简二次根式. 体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.