答案-高中数学必做100题--数学1

x 1 0
9. 已知函数 f ( x)
bx (b 0, a 0) . ax2 1
（☆P37 例 2）
1 1 （1）判断 f ( x ) 的奇偶性； （2）若 f (1) , log 3 (4a b) log 2 4 ，求 a，b 的值. 2 2
解： （1） f ( x ) 定义域为 R， f ( x)
即 f ( x1 ) f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x ) 总为增函数. ……（6 分） （2）假设存在实数 a 使 f ( x ) 为奇函数, f ( x) f ( x) ……（7 分） 即a
2 2 a x ,……（9 分） 2 1 2 1 解得: a 1. ……（12 分）
x( x 4), x 0 6. 已知函数 f ( x) ，求 f (1) 、 f ( 3) 、 f ( a 1) 的值.（◎P49 B4） x( x 4), x 0
解： f (1) 5 ，……（3 分） f 3 21 ，……（6 分）
2 a 6a 5, a 1 f a 1 2 .……（12 分） a 2 a 3, a 1
1 所以值域为 { y | y } .……（6 分） 4
（2）在区间 , 上任取 x1 , x2 ，且 x1 x2 ，则
1 4

f x1 f x2
13 x2 x1 3 x1 3 x2 ……（8 分） 4 x1 1 4 x2 1 4 x1 1 4 x2 1
bx f ( x) ，故 f ( x ) 是奇函数. ……（6 分） ax 2 1
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（2）由 f (1)
b 1 ，则 a 2b 1 0 .……（8 分） a 1 2 又 log3(4a-b)=1，即 4a-b=3. ……（10 分）
a 2b 1 0 由 ，解得 a=1，b=1. ……（12 分） 4a b 3
x 1 0 若要上式有意义，则 ，即 1 x 1 . ……（3 分） 1 x 0
所以所求定义域为 x 1 x 1 ……（4 分） （2）设 F ( x) f ( x) g ( x) ，则
F ( x) f ( x) g ( x) log a ( x 1) log(1 x) F ( x) .……（7 分）
10. 对于函数 f ( x) a
2 （2）是否存在实 (a R) . （1）探索函数 f ( x ) 的单调性； 2 1
x
数 a 使得 f ( x ) 为奇函数. （◎P91 B3） 解: (1)
f ( x) 的定义域为 R,
设 x1 x2 ,
则 f ( x1 ) f ( x2 ) a
A B 3 ，……（2 分） CU ( A B) 7,8 ，……（3 分）
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CU ( A B) 1,2,4,5,6,7,8 .……（4 分）
（2）求 CU A ， CU B ， (CU A) (CU B) ， (CU A) (CU B) ； 解： CU A 4,5,6,7,8 ，……（5 分）
（☆P16 8 题）
f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 2 x1 ) ( x2 2 2 x2 ) ( x2 x1 ) ( x1 x2 2) ，……（3 分）
∵ x1 , x2 [1, ) ， x1 x2 ，……（4 分）
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1 所以原函数的定义域是 {x | x } .……（3 分） 4 3 x 1 12 4 x 1 (4 x 1) 13 1 13 1 1 y 0 ， …… （5 分） 4x 1 4 4x 1 4 4x 1 4 4 4 x 1 4 4
CU B 1,2,7,8 ，……（6 分） (CU A) (CU B) 1,2,4,5,6,7,8 ，……（7 分） (CU A) (CU B) 7,8 . ……（8 分）
（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合 Venn 图进行分析. 解： CU ( A B) (CU A) (CU B) ，……（9 分） CU ( A B) (CU A) (CU B) . ……（10 分） Venn 图略. ……（12 分） 4. 设集合 A {x | ( x 4)( x a) 0, a R} ， B {x | ( x 1)( x 4) 0} . （◎P14 B 4 改编） （1）求 A B ， A B ； 解：①当 a 4 时， A 4 ， B 1, 4 ，故 A B 1,4 ， A B 4 ；……（2 分） ②当 a 1 时， A 1, 4 ， B 1, 4 ，故 A B 1,4 ， A B 1,4 ；……（4 分） ③当 a 4 且 a 1 时， A a, 4 ， B 1, 4 ，故 A B 1,a,4 ， A B 4 . ……（6 分） （2）若 A B ，求实数 a 的值； 解：由（1）知，若 A B ，则 a 1 或 4. ……（8 分） （3）若 a 5 ，则 A B 的真子集共有 个, 集合 P 满足条件 ( A B) 出所有可能的集合 P. 7 个. ……（10 分） 又
∴ x2 x1 x1 x2 0, 即 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 ……（5 分） ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) ，所以 f ( x ) 在 [1, ) 上是减函数．……（6 分） （2）由（1）知 f ( x ) 在区间 2,5 上单调递减，所以
7. 已知函数 f ( x) x 2 2 x .
（1）证明 f ( x ) 在 [1, ) 上是减函数;（2）当 x 2,5 时，求 f ( x ) 的最大值和最小值. 解： （1）证明：在区间 [1, ) 上任取 x1 , x2 ，且 x1 x2 ，则有……（1 分）
2
2
……（3 分）
y
7 ，……（5 分） 4
故所求集合为 y | y （2）联立 解得

7 .……（6 分） 4
y x 3 ，……（8 分） y 3x 5
x 2 ，……（10 分） y 1
故所求集合为
2, 1 .……（12 分）
（12 分） 5. 已知函数 f ( x)
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1 （1）求 f ( x ) 的定义域与值域（用区间表示） （2）求证 f ( x ) 在 ( , ) 上递减. 4
解： （1）要使函数有意义，则 4 x 1 0 ，解得 x
1 . ……（2 分） 4
x1 x2 ， x2 x1 0 ……（9 分）
又 x1 , x2
1 , ， 4 x1 1 0, 4 x2 1 0 ，……（10 分） 4
1 4
f x1 f x2 0 f x1 f x2 ，……（11 分）函数 f ( x ) 在 ( , ) 上递减. ……（12 分）
f ( x) max f (2) 0, f ( x) min f (5) 15 ……（12 分）
8. 已知函数 f ( x) log a ( x 1), g ( x) log a (1 x) 其中 (a 0 且a 1) ． （◎P84 4） （1）求函数 f ( x) g ( x) 的定义域； （2）判断 f ( x) g ( x) 的奇偶性，并说明理由； （3）求使 f ( x) g ( x) 0 成立的 x 的集合. 解： （1） f ( x) g ( x) log a ( x 1) log a (1 x) .
2. 已知集合 A {x | 3 x 7} ， B {x | 5 x 10} ，求 CR ( A B) 、 CR ( A B) 、 (CR A) B 、
A (CR B) . （◎P14 10）
解： CR ( A B) x | x 3或x 10 ，……（3 分）
P ( A B) ，写
B 的真子集有
解：若 a 5 ，则 A 4,5 ， B 1, 4 ，故 A B 1,4,5 ，此时 A
A B 4 ， 满足条件 ( A B) P ( A B) 的所有集合 P 有 1, 4 、 4,5 . ……
3 x . 4x 1
CR ( A B) x | x 5或x 7 ，……（6 分）
(CR A) B x | 7 x 10 ，……（9 分）
A (CR B) x | x 7或x 10 .……（12 分）
3. 设全集 U {x N * | x 9} ， A {1,2,3} ， B {3,4,5,6} . （1）求 A B ， A B ， CU ( A B) ， CU ( A B) ； 解： A B 1,2,3,4,5,6 ，……（1 分） （◎P12 例 8 改编）
2 x1 2 x2 1 1 a = ,……（3 分） 2 x1 1 2 x2 1 (1 2 x1 )(1 2 x2 )
Fra Baidu bibliotek
x1 x2 , 2 x1 2 x2 0,(1 2 x1 )(1 2 x2 ) 0 ,……（5 分） f ( x1 ) f ( x2 ) 0,
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高中数学必做 100 题⑴----数学 1
1. 试选择适当的方法表示下列集合： （1）函数 y x 2 x 2 的函数值的集合； （2） y x 3 与 y 3x 5 的图象的交点集合.
1 7 解： （1） y x x 2 x 2 4
所以 f ( x) g ( x) 是偶函数. ……（8 分） （3） f ( x) g ( x) 0 ，即 log a ( x 1) log a (1 x) 0 ， log a ( x 1) loga (1 x) . 当 0 a 1 时，上述不等式等价于 1 x 0 ，解得 1 x 0 .……（10 分） x 1 1 x x 1 0 当 a 1 时，原不等式等价于 1 x 0 ，解得 0 x 1 .……（12 分） x 1 1 x 综上所述, 当 0 a 1 时，原不等式的解集为 {x 1 x 0} ；当 a 1 时，原不等式的 解集为 {x 0 x 1} .
x
11. （1）已知函数 f ( x ) 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆P40 9）
x f (x) －2 －3.51 －1.5 1.02 －1 2.37 －0.5 1.56 0 －0.38 0.5 1.23 1 2.77 1.5 3.45 2 4.89