高中培优讲义定积分及其简单应用

第十三讲定积分及其简单应用

教学目标：1、了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．

2、了解微积分基本定理的含义.

一、知识回顾课前热身

知识点1、定积分

(1)定积分的相关概念在f(x)中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)叫做被积式．

(2)定积分的几何意义

①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．

②一般情况下，定积分f(x)的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

(3)定积分的基本性质

①(x)＝f(x). ②[f1(x)±f2(x)]＝f1(x)±f2(x).

③f(x)＝f(x)＋f(x).

(4)．定积分[f(x)－g(x)](f(x)>g(x))的几何意义是什么？

提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．

知识点2、微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)，即f(x)＝F(x)＝F(b)－F(a)．

基础练习

1等于()

A．2 2 B．－2 2 C．－2 D．2

解析：选D＝错误!错误!＝4－2＝ 2.

2．一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为()

解析：选A S ＝(t 2－t ＋2)＝错误!错误!＝错误!.

3．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为．

解析：x 2＝x 3错误!错误!＝错误!. 答案：错误! 4．＝.

解析：由定积分的几何意义可知，表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以 ＝π. 答案：π

二、例题辨析 推陈出新

例1、利用微积分基本定理求下列定积分： (1)(x 2＋2x ＋1)； (2)( x － x )； (3)x (x ＋1)； (4)； (5)

20

π⎰

2.

[解答] (1)(x 2＋2x ＋1)＝x 2＋2＋1＝错误!错误!＋x 2错误!错误!＋错误!错误!＝错误!. (2)( x － x )＝ － ＝(－ x )错误!错误!－ 错误!错误!＝2.

(3)x (x ＋1)＝(x 2＋x )＝x 2＋＝x 3错误!错误!＋错误!x 2错误!错误!＝错误!＋错误!＝错误!. (4)＝e 2＋＝e 2错误!错误!＋ 错误!错误!＝错误!e 4－错误!e 2＋ 2－ 1＝错误!e 4－错误!e 2＋ 2. (5)

20

π⎰

2 ＝

20

π⎰

x ))＝

20

π⎰

－

20

π⎰

＝x

20

π－ x

20

π＝－＝.

变式练习

1．求下列定积分： (1)－1；(2)

20

π⎰

2x ).

解：(1)－1|＝错误!故错误!错误!－1＝错误!错误!(1－x )＋错误!错误!(x －1) ＝错误!错误!＋错误!错误!错误!＝错误!＋错误!＝1. (2)

20

π⎰

2x )＝

20

π⎰

x － ＝

40

π⎰

( x － x )＋

24

ππ⎰

( x － x )

＝( x ＋ x )

40

π＋(－ x － x ) 24

ππ＝－1＋(－1＋)＝2－2.

例2、 ＝.

[解答] 表示y ＝与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．

由y＝得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又∵0≤x≤1，∴y＝与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为个圆，其面积为.∴＝.

在本例中，改变积分上限，求的值．

解：表示圆(x－1)2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以

＝.

变式练习

2．(2013·福建模拟)已知函数f(x)＝( t－t)(x>0)，则f(x)的最大值为．

解析：因为f(x)＝＝错误!错误!＝错误!错误!－错误!错误!＝x＋x－1＝

－1≤－1，当且仅当＝1时，等号成立．答案：－1

三、归纳总结方法在握

归纳1、利用几何意义求定积分的方法

(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．

(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．

归纳2、求定积分的一般步骤

计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．

归纳3、利用定积分求曲边梯形面积的步骤

(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．

四、拓展延伸能力升华

利用定积分求平面图形的面积

例1、(2012·山东高考)由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为() B．4 D．6

[解答]由y＝及y＝x－2可得，x＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y＝及y＝x －2及y轴所围成的封闭图形面积为