对数换底公式

换底公式四

一．课题：对数（4）——换底公式

二．教学目标：1. 要求学生会推导并掌握对数的换底公式；

2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。

三．教学重、难点：1．会推导并掌握对数的换底公式；

2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。

四．教学过程：

（一）复习：对数的运算法则。

导入新课：对数的运算性质的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？

（二）新课讲解：

1．换底公式：log log log m a m N N a

= ( a > 0 , a 1 ；0,1m m >≠) 证明：设log a N x =，则x a N =，

两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =， 从而得：a N x m m log log = ， ∴ a

N N m m a log log log =． 说明：两个较为常用的推论：

（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m n a a n b b m =

（a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅b a a b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n n

a m a

b n b n b b a m a m ===． 2．例题分析：

例1．计算：（1） 0.21log 35

-； （2）4492log 3log 2log 32⋅+． 解：（1）原式 = 0.251log 3log 3555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅． 例2．已知18log 9a =，185b =，求36log 45（用 a , b 表示）．

解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 12

18log 1818

， ∴18log 21a =-，

又∵185b =，

∴18log 5b =，

∴a

b a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836． 例3．设1643>===t z y x ，求证：y

x z 2111=-． 证明：∵1643>===t z y x ，

∴ 6

lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，， ∴

y t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-． 例4．若8log 3p =，3log 5q =，求lg 5．

解：∵8log 3p =，

∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p ，

又∵ q ==3

lg 5lg 5log 3， ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ，

∴ pq pq 35lg )31(=+

∴ pq

pq 3135lg +=． 例5．（备用）计算：42

1

938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++． 解：原式2325

4312

223(log 3log 3)(log 2log 2)log 2=++- 4

5)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++

= 254545452log 233log 6532=+=+⋅=． 例6．（备用）若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m ． 解：由题意可得：2

18lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ， ∴3lg 21lg =

m ， ∴3=m ．

五．小结：换底公式及其推论。

六．作业：补充：

1．求下列各式的值：

（1） 65353log 9--+； （2

（3）)5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++；

（4）)243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++．

2．已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x ， 求 222log

x 的值。 3．已知lg5m =，lg3n =，用,m n 表示30log 8．

4．已知 a

a -=12log 3 ， 求12log 3． 5．设,,a

b

c 为不等于1的正数，若 z y x c b a == 且

0111=++z y x ，求证：1abc =．

6．求值：3log 212

lg520(lg 3-⋅++． ．求值7：2lg 2)32(3log 10)347(log 2

2++-++．