对数换底公式
log 换底公式
log 换底公式
log 换底公式是指：若 a > 0 且 a ≠ 1，则对于任意的正实数 b 和 c，有以下等式成立：
log a b = log c b / log c a
其中，a 被称为“底数”，b 被称为“真数”，log a b 被称为“以 a 为底 b 的对数”。
使用 log 换底公式可以简化计算，特别是在计算复杂对数时非常有用。
例如，要计算以 2 为底 5 的对数，可以使用 log 换底公式将其转化为以任意底数 c 为底的对数：
log 2 5 = log c 5 / log c 2
选择 c = 10 时，可以得到：
log 2 5 ≈ 2.3219
因此，以 2 为底 5 的对数约为 2.3219。
除了以 10 为底的常用对数和以自然数 e 为底的自然对数外，log 换底公式还可以用于计算其他底数的对数。
换底公式
换底公式的形式：
换底公式是一个比较重要的公式，在很多对数的计算中都要使用，也是高中数学的重点。
log（a）（b）表示以a为底的b的对数。
所谓的换底公式就是log（a）（b）=log(n)(b)/log(n)（a）
换底公式的推导过程：
若有对数log（a）（b）设a=n^x,b=n^y(n>0,且n不为1)
则 log（a）（b）=log（n^x）(n^y)
根据对数的基本公式log(a）(M^n)=nloga(M) 和基本公式log(a^n)M=1/n×log(a) M
易得 log(n^x)(n^y)=y/x
由 a=n^x,b=n^y 可得 x=log(n)(a),y=log(n)(b)
则有：log(a)(b)=log(n^x)(n^y)=log(n)(b)/log(n)(a)
得证：log(a)(b)=log(n)(b)/log(n)(a)
例子：log(a)(c) * log(c)(a)=log(c)(c)/log(c)(a) *log(c)(a)=log(c)(c)=1
换底公式的应用：
1.在数学对数运算中，通常是不同底的对数运算，这时就需要换底.
通常在处理数学运算中，将一般底数转换为以e为底（即In）的自然对数或者是转换为以10为底（即lg）的常用对数，方便于我们运算；有时
也通过用换底公式来证明或求解相关问题；
2.在工程技术中，换底公式也是经常用到的公式，例如，在编程语言中，有些编程语言（例如C语言）没有以a为底b为真数的对数函数；只有以常用对数10为底的对数或自然对数e为底的对数（即Ig、In）,此时就要用到换底公式来换成以e或者10为底的对数来表示出以a为底b为真数的对数表达式，从而来处理某些实际问题。
log函数换底公式
log函数换底公式log函数换底公式是数学中常见的一种换底公式，用于改变对数函数的底数。
log函数换底公式可以将以任意底数的对数转化为以另一种底数的对数表示。
在数学中，对数函数是指数函数的逆运算。
对于任意正数a、b和正实数x，我们可以用以下公式表示对数函数的定义：logₐ(b) = x ⟺ aˣ = b这个公式中，a表示对数的底数，b表示实数x对应的幂，x则表示以a为底b对数的结果。
在实际应用中，常用的对数底数有自然对数底e和常用对数底10。
然而，在某些情况下，我们需要将以一个底数的对数转化为以另一个底数的对数。
这时，log函数换底公式就派上用场了。
对于常见的对数底数10和自然对数底e，log函数换底公式可以分别表示为：① logₐ(b) = log(b) / log(a)② logₐ(b) = ln(b) / ln(a)这两个公式中的log表示10为底的对数函数，ln表示以e为底的对数函数。
可以看出，公式①是将log(a)作为底数，log(b)作为指数；公式②是将ln(a)作为底数，ln(b)作为指数。
使用log函数换底公式，我们可以将以任意底数的对数转化为以常用的底数或自然对数为底的对数。
这在数学计算和问题求解中非常有用。
举个例子来说明log函数换底公式的应用。
假设我们要计算log₂(16)，这个对数以2为底，我们可以通过log函数换底公式将其转化为以常用对数底10为底的对数表示。
根据公式①，我们可以进行如下计算：log₂(16) = log(16) / log(2)其中，log(16)表示以10为底的对数，log(2)表示以10为底的对数。
通过计算可得，log(16) ≈ 1.204，log(2) ≈ 0.301。
将这两个结果代入公式，我们可以得到：log₂(16) ≈ 1.204 / 0.301 ≈ 4因此，log₂(16) ≈ 4，这个结果表示以2为底的对数16的结果为4。
如此，我们通过log函数换底公式将以一个底数的对数转化为以常用对数底10的对数表示，实现了对对数函数的换底操作。
对数的换底公式及其推论(含参考答案)
一、复习引入： 对数的运算法则 如果 a>0，a 1，M>0， N>0有：
二、新授内容： 1. 对数换底公式 ： log a N log m N (a>0,a 1， m>0,m 1,N>0) log m a
证明 ：设 log a N=x,则 a x =N
两边取以 m为底的对数： log m a x log m N
2
3=a，则
1 a
log3 2 , 又∵ log 3 7=b,
∴ log 42 56 log 356 log 3 7 3 log 3 2
ab 3
log 3 42 log 3 7 log 3 2 1 ab b 1
5 例 2 计算：① 1 log 0.2 3 ② log 4 3 log 9 2 log 1 4 32
1．证明： log a x 1 log a b log ab x
证法 1：设 log a x p ， log ab x q ， log a b r
则： x a p x (ab) q a qb q b a r
∴ a p ( ab) q a q(1 r ) 从而 p q(1 r )
∵ q 0 ∴ p 1 r 即： log a x 1 log a b （获证）
x log m a log m N
从而得： x log m N ∴ log a N log m N
log m a
log m a
2. 两个常用的推论 :
① log a b log b a 1， log a b log b c log c a 1
② log am b n
n m
log
a
b
（a,b>0
对数换底公式推导
对数换底公式推导对数换底公式，也称作变底公式，是数学中比较常用的一种公式。
它可以用来换算一个底数的对数。
简而言之，对数换底公式就是一种便捷的计算方法，实现对数从一个底数转换到另一个底数的操作。
对数换底公式是一个有用的数学工具，它可以用来解决现实中的各种问题。
比如，它可以用来求解数字的增加或减少的百分比，以及数字的乘法或除法问题。
借助这个公式，用户还可以轻松的计算出不同的数字的对数之差。
二、对数换底公式的推导对数换底公式的推导可以简单地总结为：公式：loga b = rlog c b其中，a，b，c分别表示底数、被求对数数值和新底数。
现在我们来推导这个公式。
我们要从一个简单的例子入手。
假设有一个数值n，其对数以2为底。
这个数值的对数可以表示为：log2 n，其中n表示被求对数数值，2表示底数。
现在我们要求n以4为底的对数，可以在等式右边替换底数，即：log4 n = ?此时我们可以把等式右边的部分变形：log4 n = log2 n 2于是，等式可以变形为：loga b = rlog c b其中a、b、c表示底数，r表示log2 n的值。
我们可以继续用范例来说明这个公式的推导过程。
假设有一个数值n，其对数以4为底。
这个数值的对数可以表示为：log4 n，既然要求n以2为底的对数，则可以使用上述公式推导：log2 n = log4 n即：log2 n = (1/2)log4 n以上就是对数换底公式的推导过程，简而言之，它的形式就是：loga b = rlog c b三、数换底公式的应用对数换底公式是一个非常有用的数学工具，它可以用来解决现实中的各种问题。
比如，它可以用来求解数字的增加或减少的百分比，以及数字的乘法或除法问题。
借助这个公式，用户还可以轻松的计算出不同的数字的对数之差。
另外，对数换底公式在推导几何级数和统计学方面也有广泛的应用。
例如，在推导几何级数中，对数换底公式可以帮助计算复杂的公式，从而求出结果。
对数的换底公式及其推论(含答案)
对数的换底公式及其推论一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a 丰 1，M > 0， N > 0 有:log a (MN) Jog a M gN ⑴ 蛰lo (2)log.M n 二 nlog a M(n R) (3)、新授内容: 1•对数换底公式:证明：设 log a N = x ，贝U a x= N -两边取以m 为底的对数：log m a x= log m N = x log m a = log m N2•两个常用的推论① log a b log b a =1 , logblogcloga" * ②log a mb " = ^log a b ( a, b > 0 且均不为 1)・m证：① log a b log b a == 1 亠 lga lg b三、讲解范例:lOg a Nlog m N log m a(a > 0 ,a 丰 1 ， m > 0 ,m 丰 1,N>0) *从而得: log m N x =log m alog a Nlog m N log m a② log a m b n_ lgb n = nig b lga mmlga弋log ab例 1 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b, 用 a, b 表示 log 42 56 解：因为log 2 3 = a ，则1log 3 2 , 又/log 3 7 =b,a •'•log 42 56log 3 56 log 342 log 3 7 3 log 3 2 log 3 7 log 32 1ab 3 ab b 1例2计算：①51-log。
/log 4 3 log 9 2 - log 1 4322解: ①原式55叫.23 5r log5-5 34=153 ②原式=~log 232log 32x, y,z (0,::)且3x=4y=111求证+ ：；2x 2y z例3设 1 =6z =k =4y 1 :设 3x 6z十彳log 2 2比较3x,4y,6z 的大小-证明 •/x, y, z (0, ::) /.k 1 取对数得:yJ gkz=3 lg4lg6••丄丄 x 2y _ lg3 . lg4 _lgk 2lgk 2lg3 lg4 2lgk 2lg3 2lg22lgklg6 lgk3 23—(浜—)lgk 二 lg4 lg6^lg81lgk lg3lg464 lg klg -81::: 0 lg3lg4•'•3x ：： 4y又：4y-6z=(二lg4 lg6 lg k lg -96、「 lg36 -lg64 16小)lg klg k16：： 0lg2lg6lg2lg6•'4y ::: 6z•'•3x ::: 4y ::: 6z .例 4 已知 log a x= log a C+b ，求 x.分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将 log a C 移到等式左端,或者将b 变为对数形式• 解法由对数定义可知： 乂二才叫小口吋a b=c a b. 解法二：x由已知移项可得log a x-log a c =b ，即log a b cx b b由对数定义知：a • x 二c a •c解法三：b=log a a b log a x = log a c Tog a a b = log a c a b . x=ca b四、课堂练习:①已知 log 18 9 = a , 18 = 5 ,用 a, b 表小 log 36 45解：••• 18 log 18 9 = a /.log 18 —1 -log 18 •log 182 = 1 _a••• 18b= 5 • log 185 = bl o g 8 9 l o g 8 5 a b 1 l o g 8 2 2 - a②若 log 8 3 = p , log 3 5 = q ,求 lg 5log 36 45log i8 45 log i8 36三、小结 本节课学习了以下内容：换底公式及其推论 四、课后作业：1 .证明：log ax =1 log ablog ab x证法 1:设 log a X 二 p , log ab X 二 q , log a b 二 r贝U ： x=a px=(ab)q=a q b qb=a r•a P= (ab)q = aq(1 r)从而 p = q(1 ■ r)•••q=0 •- =1 r 即:log a x= 1 log a b (获证) q log ab xlog a x log x ab 证法2:由换底公式 左边=- - log a ab = 1 log a b =右边 log ab x log x a2•已知 lo g a ! b 1 = lo g a 2 b2 = = log a n bn ='求证：Sg a^ a n (b 1b2bn)二，证明：由换底公式 业二眶二•…二皿二■由等比定理得:lg a 1 lg a 2lg a .lg d +lg b 2 + …+lgb n _ ? . lg(db2…b n )lga 1 lga 2 lg a nlg(a£2 a n )•log a 1a 2 a n 隔b n )巒解：T log 8 3 = p•」og 23 3= P =■ log 2 3 = 3 p =• log 3 21 3p又 v log 3 5 二 qlog 3 5 log 3 5log 310 log 3 2 log 353pq 1 3pqlg(a1a2 a n)THANKS !!! 致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
对数换底公式例题
对数换底公式例题
摘要：
1.对数换底公式的定义与意义
2.例题分析
3.解题步骤与方法
4.公式的应用场景
正文：
【1.对数换底公式的定义与意义】
对数换底公式，是数学中一种重要的公式，主要用于将对数的底数进行转换。
其公式为：loga(N) = logc(N) / logc(a)。
在这个公式中，a 和c 是两个不同的底数，N 是一个正数。
对数换底公式的应用，可以简化对数的计算过程，使计算更加方便。
【2.例题分析】
例题：如果log2(8) = 3，那么log16(8) 等于多少？
在这个例题中，我们需要用到对数换底公式，将log2(8) 转换为
log16(8)。
首先，我们知道log2(8) = 3，那么我们可以将这个对数转换为以16 为底的对数，即log16(8) = log2(8) * log16(2)。
因为log16(2) = 1/4，所以log16(8) = 3 * 1/4 = 3/4。
所以，log16(8)等于3/4。
【3.解题步骤与方法】
(1) 确定题目中给出的对数，以及需要转换的底数。
(2) 使用对数换底公式，将对数转换为新的底数。
(3) 将转换后的对数进行计算，得出结果。
【4.公式的应用场景】
对数换底公式在实际应用中非常广泛，特别是在计算机科学和工程领域。
例如，在编程中，常常需要对大数据进行处理，对数换底公式可以帮助我们更快地计算出数据的对数，从而提高计算效率。
高一的log换底公式
高一的log换底公式
log以a为底b的对数——loga(b）=logc(b)/logc(a)也可以写lg(b)]/lg(a)也就是log以10为底b的对数。
换底公式是高中数学常用对数运算公式，可将多异底对数式转化为同底对数式，结合其他的对数运算公式一起使用。
计算中经常会削减计算的难度，更快速的解决高中范围的对数运算。
对数
在数学中，对数是对求幂的逆运算，正如除法是乘法的倒数，反之亦然。
这意味着一个数字的对数是必需产生另一个固定数字（基数）的指数。
在简洁的状况下，乘数中的对数计数因子。
更一般来说，乘幂允许将任何正实数提高到任何实际功率，总是产生正的结果，因此可以对于b不等于1的任何两个正实数b和x计算对数。
假如a的x 次方等于N（a0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作x=logaN。
其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。
对数符号
以a为底N的对数记作logan。
对数符号log出自拉丁文logarithm，最早由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri）所使用。
20世纪初，形成了对数的现代表示。
为了使用便利，人们渐渐把以10为底的常用对数及以无理数e为底的自然对数分别记作lgN和lnN。
1。
对数公式大全
对数公式大全对数公式大全：1、一般对数公式：loga(x)=y，其中a>0，a≠1，x>0，表示以a为底x的对数等于y。
2、对数运算律：loga(xy)=loga(x)+loga(y)，loga(x/y)=loga(x)-loga(y)。
3、指数公式：a^y=x，其中a>0，a≠1，x>0，表示以a为底x的幂等于y。
4、指数运算律：a^(x+y)=a^x*a^y，a^(x-y)=a^x/a^ y。
5、对数换底公式：logb(x)=loga(x)/loga(b)，其中a>0，a≠1，b>0，b≠1，x>0，表示以b为底x的对数等于以a为底x的对数除以以a为底b的对数。
6、特殊对数公式：log2x=lnx/ln2，表示以2为底x的对数等于以e为底x的自然对数除以以e为底2的自然对数。
7、二次函数对数公式：log(ax^2+bx+c)=2logax+logab+logac，其中a>0，a≠1，b、c为任意实数，表示对于二次函数ax^2+bx+c，以a为底的对数等于a的2倍对数加上a的对数乘以b再加上a的对数乘以c。
8、立方函数对数公式：log(ax^3+bx^2+cx+d)=3logax+2logab+logac+logad，其中a>0，a≠1，b、c、d为任意实数，表示对于立方函数ax^3+bx^2+cx+d，以a为底的对数等于a的3倍对数加上a的2倍对数乘以b再加上a的对数乘以c再加上a的对数乘以d。
9、对数函数求导公式：(dy/dx)logax=a^x/x，其中a>0，a≠1，x>0，表示函数y=logax的导函数等于以a为底x的指数除以x。
对数的换底公式及其推论
对数的换底公式及其推论1．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)证明：设log a N x =，则x a N =，两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =， 从而得：a N x m m log log =， ∴ aNN m m a log log log =．说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n na ma b n b nb b a m a m===． 2．例题分析：例1．计算：（1） 0.21log 35-； （2）492log 3log 2log ⋅+解：（1）原式 =0.251log 3log 555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅．例2．已知18log 9a =，185b=，求36log 45（用 a , b 表示）．解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 1218log 1818， ∴18log 21a =-， 又∵185b=， ∴18log 5b =，∴aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836．例3．设1643>===t zy x ，求证：yx z 2111=-．证明：∵1643>===t zy x ，∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，， ∴ yt t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-．例4．若8log 3p =，3log 5q =，求lg 5． 解：∵8log 3p =，∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p ，又∵ q ==3lg 5lg 5log 3， ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ，∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq3135lg +=．例5．（备用）计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++．解：原式23254312223(log 3log 3)(log 2log 2)log 2=++-45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++=254545452log 233log 6532=+=+⋅=．例6．（备用）若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m ．解：由题意可得：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ， ∴3lg 21lg =m ，∴3=m ．3．巩固练习：1．求下列各式的值：（1） 65353log 9--+； （2；（3）)5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++；（4）)243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++． 2．已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x ， 求 222log x的值。
对数的换底公式
证明： 证明：设 log a N = p
log c N ⇒ p= log c a
log c N 即证得 log a N = log c a
且 推广 (a,b,c>0,且a,b,c≠1)
log b a • log a b = ? 1
lg a lg b log b a • log a b = • =1 lg b lg a
【总一总★成竹在胸】 总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用 公式的逆向使用. 公式的逆向使用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
log c N log a N = log c a
(a, c ? (0,1) U (1, ? ), N
如何证明呢? 如何证明呢
0)
通过换底公式， 通过换底公式，人们 由对数的定义可以得： = a p 由对数的定义可以得：N 可以把其他底的对数 转换为以10或 为底 转换为以 或e为底 p ⇒ log c N = log c a 的对数， 的对数，经过查表就 能求出任意不为1的 能求出任意不为 的 ⇒ log c N = p log c a 正数为底的对数。 正数为底的对数。
n
loga (M1M2 LMn ) = loga M1 +loga M2 +L+loga Mn 1 n log a a = n(n ∈ R ) log a = − log a M M P P n p n log a M = log a M = log a M n
一、对数的换底公式: 对数的换底公式
积、商、幂的对数运算法则： 幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： 如果 ＞ ， ， ＞ ， ＞ 有
log a ( MN ) = log a M + log a N M log a = log a M − log a N N
数学中的log相关公式
数学中的log相关公式
在数学中，对数（logarithm）是指某个数（被称为“底数”）
的幂等于另一个数时所使用的指数。
对数的常见公式包括：
1. 对数的定义：
如果a的x次方等于b，那么就可以写作logₐ b = x。
其中，a是底数，b是真数，x是指数。
2. 对数的换底公式：
logₐ b = logᵦb / logᵦa。
这个公式可以用来将对数转换为
其他底数的对数。
3. 对数的乘法公式：
logₐ b + logₐ c = logₐ(bc)。
这个公式可以用来将对数
中的加法转换为乘法。
4. 对数的除法公式：
logₐ b logₐ c = logₐ(b/c)。
这个公式可以用来将对数中的减法转换为除法。
5. 对数的幂公式：
logₐb^c = c logₐb。
这个公式可以用来将对数中的指数提取出来。
这些是对数的一些常见公式，它们在数学中的应用非常广泛，可以用来简化计算、解决方程和推导数学关系。
希望这些信息能够帮助到你。
对数换底公式推导
对数换底公式推导对数换底公式是一种有用的数学公式，可以快速从一种底数（如2）更改为另一种底数，以便解决复杂的数学问题。
对数换底公式可以起到辅助解决这些问题的作用，也可以用于各种复杂的数学演算。
本文将结合实例来加深对换底公式的理解，并讨论推导过程。
对数换底公式的推导首先，给出对数换底公式的通式：logaX = logbX/logbA其中，“logaX”表示以a为底的X的对数，“logbX”表示以b为底的X的对数，“logbA”表示以b为底的A的对数。
这个公式可以用来换算出任意一种底数下的任意一个数的对数。
要推导出这个公式，需要考虑两个步骤：第一步：以a为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = A^(logaX)第二步：以b为底，将X的对数表示为幂函数，即：X = B^(logbX)结合上面两个步骤，得到：A^(logaX) = B^(logbX)将A和B都取以b为底的对数，得到：logbA^(logaX) = logbB^(logbX)化简得到：logbA * logaX = logbB * logbX从而得到：logaX = logbX/logbA实例验证下面利用实例来加深对换底公式的理解。
假设现在有个数为1024，以2为底的对数是10，问它以8为底的对数（log81024）是多少？解：根据换底公式，log81024=log210/log28=10/3=3.33得出结论：log81024=3.33结论本文介绍了对数换底公式的推导过程，并利用实例加深了读者对该公式的理解。
由于换底公式可以方便地从一种底数（如2）更改为另一种底数（如8），因此在解决各种复杂的数学问题时，可以起到辅助解决这些问题的作用。
对数换底公式
对数换底公式教学过程：一、复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 二、新授内容：1.对数换底公式：aN N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m> 0 ,m ≠ 1,N>0)证明：设 a log N = x , 则xa = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒=从而得：a N x mm log log =∴aN m m a log log =2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ，log log log =⋅⋅a c b c b a②b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1）证：①1lg lg lg lg log log =⋅=⋅ba ab a b b a ②m n a m b n a b b a m n na m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例：例1已知 2log 3 = a ，3log 7 = b, 用 a, b 表示42log 56解：因为2log 3 = a ，则2log 13=a , 又∵3log 7 = b, ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab 例2计算：①3log 12.05-②2194log 2log 3log -⋅解：①原式 = 315555531log 3log 52.0===②原式 = 245412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==1︒ 求证 zy x 1211=+ ； 2︒ 比较z y x 6,4,3的大小 证明1︒：设k z y x ===643 ∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k取对数得：3lg lg k x = ， 4lg lg k y =， 6lg lg k z = ∴zk k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2︒k y x lg )4lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164lg lg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43<又：k z y lg )6lg 64lg 4(64-=-06lg 2lg 169lglg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64<∴z y x 643<<例4已知a log x=a log c+b ，求x分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式 解法一：由对数定义可知：b c a a x+=log b c a a a ⋅=log a c ⋅= 解法二：由已知移项可得b c x a a =-log log ，即cx a =log由对数定义知：b a c x =a c x ⋅=∴ 解法三： b a a b log = b a a a a c x log log log +=∴b a a c ⋅=log b a c x ⋅=∴。
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换底公式四
一．课题：对数（4）——换底公式
二．教学目标：1. 要求学生会推导并掌握对数的换底公式；
2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。
三．教学重、难点：1．会推导并掌握对数的换底公式；
2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。
四．教学过程：
（一）复习：对数的运算法则。
导入新课：对数的运算性质的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？
（二）新课讲解：
1．换底公式：log log log m a m N N a
= ( a > 0 , a 1 ；0,1m m >≠) 证明：设log a N x =，则x a N =，
两边取以m 为底的对数得：log log x m m a N =，∴log log m m x a N =， 从而得：a N x m m log log = ， ∴ a
N N m m a log log log =． 说明：两个较为常用的推论：
（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m n a a n b b m =
（a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅b a a b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n n
a m a
b n b n b b a m a m ===． 2．例题分析：
例1．计算：（1） 0.21log 35
-； （2）4492log 3log 2log 32⋅+． 解：（1）原式 = 0.251log 3log 3555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅． 例2．已知18log 9a =，185b =，求36log 45（用 a , b 表示）．
解：∵18log 9a =， ∴a =-=2log 12
18log 1818
， ∴18log 21a =-，
又∵185b =，
∴18log 5b =，
∴a
b a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836． 例3．设1643>===t z y x ，求证：y
x z 2111=-． 证明：∵1643>===t z y x ，
∴ 6
lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，， ∴
y t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-． 例4．若8log 3p =，3log 5q =，求lg 5．
解：∵8log 3p =，
∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p ，
又∵ q ==3
lg 5lg 5log 3， ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ，
∴ pq pq 35lg )31(=+
∴ pq
pq 3135lg +=． 例5．（备用）计算：42
1
938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++． 解：原式2325
4312
223(log 3log 3)(log 2log 2)log 2=++- 4
5)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++
= 254545452log 233log 6532=+=+⋅=． 例6．（备用）若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m ． 解：由题意可得：2
18lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ， ∴3lg 21lg =
m ， ∴3=m ．
五．小结：换底公式及其推论。
六．作业：补充：
1．求下列各式的值：
（1） 65353log 9--+； （2
（3）)5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++；
（4）)243log 81log 27log 9log 3(log 32log 321684269++++．
2．已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x ， 求 222log
x 的值。
3．已知lg5m =，lg3n =，用,m n 表示30log 8．
4．已知 a
a -=12log 3 ， 求12log 3． 5．设,,a
b
c 为不等于1的正数，若 z y x c b a == 且
0111=++z y x ，求证：1abc =．
6．求值：3log 212
lg520(lg 3-⋅++． ．求值7：2lg 2)32(3log 10)347(log 2
2++-++．。