材料力学第5版(孙训方编)第四章资料.
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22
所示。显然这些内力是 m－m
右边的梁段对于左边梁段的作 用力和作用力矩。
故根据作用与反作用原理，m－m左边的梁段对于右边
梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指
向和转向相反。这一点也可由m－m右边分离体的平衡条件加
以检验：
第四章 弯曲应力
Fy 0, FS F FB 0
从而有
第四章 弯曲应力
剪力正负号：dx微段， 左端向上右端向下时， 为正。反之为负。
弯矩正负号：dx微段下 凸为正，及下半部纵向 受拉。反之为负。
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横 截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号 要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。
第四章 弯曲应力
剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和 弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则 分别称为剪力图和弯矩图。
剪力方程和弯矩方程（表示沿梁各横截面上剪力和弯
矩的变化规律）
FS FS x
Ms M x
第四章 弯曲应力
例题4-1（补充） 图a所示悬臂梁受集度为q的满布 均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
22
0 x l
第四章 弯曲应力
2. 作剪力图和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如
图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方， 弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁 弯曲时其受拉的边缘一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
简化计算：梁某截面上的剪力和弯矩可直接从横截面任意 一侧梁上的外力进行简化：
(1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧 （或右侧）梁段上外力的代数和。左侧梁段 上向上的外力（或右侧梁段上向下的外力） 将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪 力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧 （或右侧）梁段上外力对该截面形心的力矩 之代数和。
这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯 曲时不能用轴线代表梁。
F
(1) 支座的基本形式
第四章 弯曲应力
FRx
MR FRy (b) (c) (a)
1. 固定端——实例如图a，计算简图如图b, c。
第四章 弯曲应力
2. 固定铰支座——实例 如图中左边的支座，计算简 图如图b，e。
3. 可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图 如图c，f。
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment)
截面法
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为
FA
Baidu Nhomakorabea
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
体(图b)的平衡条件可知：
FS
FA
Fl
l
a,
M
FA x
Fl a
l
x
第四章 弯曲应力
它们的指向和转向如图b中
F1
F2
第四章 弯曲应力
纵向对称面
第四章 弯曲应力
对称弯曲——外力作 用于梁的纵向对称面内， 因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并 不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
(2) 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
(3) 静定梁和超静定梁
在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由 平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
第四章 弯曲应力
§4-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图
(a)
第四章 弯曲应力
解：1. 列剪力方程和弯矩方程 当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包 含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。
FS(x)
M x
距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根
据截面右侧梁段上的荷载有
FSx qx 0 x l M x qx x qx2
1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段 上，向上的外力均将引起正值的弯矩， 而向下的外力则引起负值的弯矩。
2. 截面左侧梁段上顺时针转向的 外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转 向的外力偶则引起负值的弯矩；截面 右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正 负与之相反。
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
Ⅱ. 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图
Fa Fl a
FS F FB F l l
MC 0
M Fa x FB l x 0
从而有
M F a x FB l x
F a x Fa l x
l
F l a x
l
第四章 弯曲应力
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力（参见课本P8）；梁的 横截面上作用在纵向平面内的 内力偶矩是与梁的弯曲相对应， 故称为弯矩。
第四章 弯曲应力
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
§4-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图
§4-3 平面刚架和曲杆的内力图
§4-4 梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件
§4-5 梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件
§4-6 梁的合理设计 §Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组
合截面的惯性矩和惯性积 §Ⅰ-4 惯性矩和惯性积的转轴公式·截面的主
惯性矩和主惯性积
第四章 弯曲应力
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅰ. 关于弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用（区别于扭转）。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
弯曲变形
第四章 弯曲应力
工程实例
第四章 弯曲应力
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线 与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲(对称弯曲 以及特殊条件下的非对称弯曲）。
本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。
Ⅱ. 梁的计算简图
第四章 弯曲应力
对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的 平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。
所示。显然这些内力是 m－m
右边的梁段对于左边梁段的作 用力和作用力矩。
故根据作用与反作用原理，m－m左边的梁段对于右边
梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指
向和转向相反。这一点也可由m－m右边分离体的平衡条件加
以检验：
第四章 弯曲应力
Fy 0, FS F FB 0
从而有
第四章 弯曲应力
剪力正负号：dx微段， 左端向上右端向下时， 为正。反之为负。
弯矩正负号：dx微段下 凸为正，及下半部纵向 受拉。反之为负。
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横 截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号 要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。
第四章 弯曲应力
剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和 弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则 分别称为剪力图和弯矩图。
剪力方程和弯矩方程（表示沿梁各横截面上剪力和弯
矩的变化规律）
FS FS x
Ms M x
第四章 弯曲应力
例题4-1（补充） 图a所示悬臂梁受集度为q的满布 均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
22
0 x l
第四章 弯曲应力
2. 作剪力图和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如
图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方， 弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁 弯曲时其受拉的边缘一侧)。
(b)
FSx qx 0 x l
M x qx x qx2
简化计算：梁某截面上的剪力和弯矩可直接从横截面任意 一侧梁上的外力进行简化：
(1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧 （或右侧）梁段上外力的代数和。左侧梁段 上向上的外力（或右侧梁段上向下的外力） 将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪 力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧 （或右侧）梁段上外力对该截面形心的力矩 之代数和。
这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯 曲时不能用轴线代表梁。
F
(1) 支座的基本形式
第四章 弯曲应力
FRx
MR FRy (b) (c) (a)
1. 固定端——实例如图a，计算简图如图b, c。
第四章 弯曲应力
2. 固定铰支座——实例 如图中左边的支座，计算简 图如图b，e。
3. 可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图 如图c，f。
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment)
截面法
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为
FA
Baidu Nhomakorabea
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
体(图b)的平衡条件可知：
FS
FA
Fl
l
a,
M
FA x
Fl a
l
x
第四章 弯曲应力
它们的指向和转向如图b中
F1
F2
第四章 弯曲应力
纵向对称面
第四章 弯曲应力
对称弯曲——外力作 用于梁的纵向对称面内， 因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并 不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
(2) 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
(3) 静定梁和超静定梁
在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由 平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
第四章 弯曲应力
§4-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图
(a)
第四章 弯曲应力
解：1. 列剪力方程和弯矩方程 当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包 含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。
FS(x)
M x
距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根
据截面右侧梁段上的荷载有
FSx qx 0 x l M x qx x qx2
1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段 上，向上的外力均将引起正值的弯矩， 而向下的外力则引起负值的弯矩。
2. 截面左侧梁段上顺时针转向的 外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转 向的外力偶则引起负值的弯矩；截面 右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正 负与之相反。
第四章 弯曲应力
第四章 弯曲应力
Ⅱ. 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图
Fa Fl a
FS F FB F l l
MC 0
M Fa x FB l x 0
从而有
M F a x FB l x
F a x Fa l x
l
F l a x
l
第四章 弯曲应力
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力（参见课本P8）；梁的 横截面上作用在纵向平面内的 内力偶矩是与梁的弯曲相对应， 故称为弯矩。
第四章 弯曲应力
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
§4-2 梁的剪力和弯矩·剪力图和弯矩图
§4-3 平面刚架和曲杆的内力图
§4-4 梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件
§4-5 梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件
§4-6 梁的合理设计 §Ⅰ-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组
合截面的惯性矩和惯性积 §Ⅰ-4 惯性矩和惯性积的转轴公式·截面的主
惯性矩和主惯性积
第四章 弯曲应力
§4-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
Ⅰ. 关于弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用（区别于扭转）。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
弯曲变形
第四章 弯曲应力
工程实例
第四章 弯曲应力
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线 与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲(对称弯曲 以及特殊条件下的非对称弯曲）。
本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。
Ⅱ. 梁的计算简图
第四章 弯曲应力
对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的 平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。