数值计算原理部分试题

标题: 还是出个回忆版吧，师弟师妹小心了(高数分，小白的）

发信站: 水木社区(Tue Jan 10 17:46:47 2006), 站内

唔,后天还要考门数学,释放一下内存,不然等会就忘光了.

小题很一般了：

1.(1,1/2;1/2,1)求2范数和cond2

2.上题的QR分解

后面是几题判断题，要求写出对错和原因．题不记得了，但不难，与往年差不多（本来准备做完后将题录下来的，可是实在没时间了:(）

以下的小题顺序不一定对:

du/dt=(u-u+)(u-u-) u+>u-,问哪个是稳态的哪个不是．

矩阵如果可以相似对角化，就一定可以求解特征值，其条件数等于求矩阵解的条件数cond （判断）

多重网格是解椭圆方程的最优方案，其特点是用粗网格消去高频分量，细网格消去低频分量．（判断）

f (x) = f(x1,x2,x3)=x1x2-x2x3-x3^2-x2-x3临界点＼临界值＼正则点＼正则值

不完全LU分解用于用Gauss消去法求解稀疏阵．（判断）

就记得这么多了．

大题：

１．（4,1,1;1,2,1;1,1,3)用初值q1=(1/3,2/3,2/3)进行lanczos分解．（数据是回忆的，不一定对）２．一个函数Ｆ(x)，表达示不记得了．问(1)证明x=(...,...)'是其解（送分的，代入就行）(2)写出Newton法迭代式（很容易写）(3)写出当x0=(...,...)'时用newton法的x1．（总体很常规，不难）

３．A=（4,1;1,1;1,2)问(1)svd分解(2)求A+(3)求r(A)，（送分的）

4.证明题:zm属于krylov空间Km(r0,Ar0,A^2r0....)，Lm=AKm(Ar0,A^2r0,A^3r0...)，

证明（r0-Azm,v)=0,v属于Lm<==>||r0-Azm||=min||r0-Az||其中z属于Km．

（比较简单，书上有的．）

5．一题变分的，要求证明两个问题等价，好像是d4u/dx4=f(x)，变分为一个边值和一阶边值为零的问题．具体记不清了，因为没时间，只看了看，但也不是太难．可用分部积分算算．应该可以做出来．

【在armroe (光明使徒(鐵甲無敵阿姆羅高達第一)) 的大作中提到: 】

: 题量大,计算难.光lanczos和svd分解就计算一个多小时.最后十分钟才证明了倒数第二题.最后一道简单的证明题看着做不了.svd还没全算出来,一共才做了80多分的题,唉.

小结：

考试时间基本不够用，至少没有人能提前交卷．一些计算技巧可以节省时间．

如第一小题，对于对称阵的2范数不必算A'A，因为A'=A所以A'A的特征值是A特征值平方．如此题为3/2和1/2，所以2范数就是sqrt(p(A'A))=3/2，A-1的2范数就是A特征值的倒数的P，这里为1/2的倒数，所以是2。cond2=2*3/2=3。也就是只求A的特征值就够解两个问题了。

QR分解在这二阶情况下用Givens要比Household容易。

对于一般分解如lanczos和svd，假设参数后代入原始方程计算，往往能从数据的比较中快速求解若干参数，对解题有很大好处。不一定按部就班按书上推的公式做，那是给老实又死板机器做的，人要聪明一些^_^.

标题: 数值分析A （郑春雄）(附答案板）

发信站: 水木社区(Tue Jan 10 17:26:10 2006), 站内

填空：

1。3.14215是pi的几位有效数字据说是3

2. f(x)=x^3+x-1,求f[1,1,1]＝6,f[0,1,2,3]＝1,f[0,1,2,3,4]＝0

3. simpson的代数精度是几阶3

4. N-C的系数是Cnk，求系数和1

5.[1 2;0 1] 谱半径1 条件1范数9 条件2范数3＋2sqr(2) 条件无穷范数9

6. [-1,1] 求f(x)=x^2的最佳一次平方逼近1/3 最佳一次一致逼近1/2

7. X0,X1....Xn是相异节点求西格码lk（0）Xk^(n+1)= (-1)^nX0X1……Xn

计算题

1积分符号x^2f(x)dx＝Af(x0)+Bf(x1)+A(x3)，[-1,1],使代数精度最高求A,B，x0,x1,x2 A=7/25 ,B=8/75 X0=-sqr(5/7) x1=0 x2=sqr(5/7)

2[1 2 1;2 2 3;-1 -3 0] b=[0 3 2] LU分解接x＝[1,-1,1]

3.[2 0 1; 0 2 -1;1 -1 1] householder变换成准上三角阵

用givens变换，第一种原点位移QR分解求一步

证明

A是严格对角占优阵，证明A可逆（书上定理）

||A^-1||<=1/min(|aii|-西格码|aij|)

无穷范数

6 yn+1=yn+h(f+h/2g(t+h/3,y+fh/3)

g(t,y)=ft(t,y)+ffy(t,y)

研究相容阶与收敛性

三阶相容，收敛

发信人: xylzdxk (逍遥浪子~永远支持国际米兰~天煞孤星), 信区: Graduate

标题: 数值分析A考试范围陆贾郑交集版！！！

发信站: BBS 水木清华站(Thu Jan 1 22:00:33 2004), 转信

说明：前两天我发了个陆老师的考试范围，今天有兄弟给了我贾老师和郑老师的，我就在自习的时候顺便整理了一下交集。由于贾老师有一部分默认要考的内容没有写在考试范围中，这个交集基本上以陆老师和郑老师的为准。

本文纯属个人写作，如有疏漏，概不负责，呵呵。

第二章

最佳平方逼近pade逼近gauss求积

第三章

LU分解，cholesky分解

矩阵范数，条件数，扰动方程组误差

Jacobi法，GS法，SOR法，收敛性，收敛速率

CG法的思想

第四章

压缩映射，不动点与不动点迭代

Newton迭代

第五章

householder变换，givens变换，qr方法，幂法

第六章

单步法，线性多步法

局部截断误差，方法的阶

收敛性，根条件，零稳定，绝对稳定性