第二类曲线积分
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x x(t ) 设定向曲线 L 的参数方程为： y y( t ) t : a b z z(t )
表示 L 的起点对应 t a ，终点对应 t b 。 则 L 的切向量为： { x( t ) , y( t ) , z( t ) }
其中：当 a b 时，取正号； a b 时，取负号。
W lim [ P ( i ,i , i )xi Q( i ,i , i )yi R( i ,i , i )zi ]
0
i 1 n
坐标形式
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对坐标的曲线积分的定义：
设 L 是一条从点 A 到点 B 的定向光滑（或分段 光滑）曲线，向量函数 F (M )在 L 上有定义。用分点
y
x
o
F yi xj
y
x
o
x
o
x
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F yi xj
F zk
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梯度场和保守场
定义：一个数量函数的梯度是一个向量场，称为梯度场。 二元函数 f ( x , y )的梯度为 gradf f xi f y j f
定义：设 E R 3 ， R 3 上的向量场是一个函数，这个函数将 E 中的每个点 ( x , y , z ) 映射到一个三维向量 F ( x , y , z ) 。
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画向量场 F 2i j
y
F xi
y
o
F xi yj
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走向一致。
例：求变力 F 沿曲线 L 所作的功。 解:
设曲线 L : A B , 变力 F ( x, y, z ) P ( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k
已知常力 F 沿直线所作的功 W F AB . 求变力沿曲线所作的功，利用 “分割, 近似, 求和, 取极限”
( i , i , i ) L M
A
M2 M1
B
M i M n 1
i 1
分割 A M 0 , M1 , , M n1 , M n B. 近似 Wi F ( i ,i , i ) Mi 1 Mi ,
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求和:
W F ( i ,i , i ) M i 1 M i
L
L
( P cos Q cos R cos )ds
单位切向量，方向与 L 的走向一致。
( 2) 若 a b , 可令 u t , 则 u : a b
而此时 a b , 对参数 u进行讨论，
归结到第一种情况，从而结论成立。
平面曲线的情况完全类似推导。
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即
故
dx cos ds ,
其中 {cos ,cos ,cos }是 L 在点 ( x , y , z ) 处的
0
L
dy cos ds , dz cos ds 0 Pdx Qdy Rdz F ds
i 1
i
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此和式的极限存在（不依赖于曲线的分法和点 M i 的取 法） ，则称此极限值为向量函数 F (M ) 沿曲线 L 从 A 到
B 的第二类曲线积分（也称对坐标的曲线积分） ，记作 n lim F ( M i ) ri F ( M ) dr
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例 1：计算 I xdx ydy ，其中 L : x 2 y 2 a 2
L
沿逆时针方向。
0 解1：设 F { x , y }， 是指定方向的单位切向量， 0 0 y 因为 F ， 所以 F 0，
则 I xdx ydy L 0 F ds
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（2）若 F ( x, y, z ) P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )
L 是空间曲线弧，则 F ( x , y , z ) dr
L
L P ( x , y , z )dx Q( x , y , z )dy R( x , y , z )dz
L
o
0
x
0
1 事实上，容易求得： { y , x } a
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例 1：计算 I xdx ydy ，其中 L : x 2 y 2 a 2
L
沿逆时针方向。
设 F { x , y }， 0是指定方向的单位切向量， 解2： y L : x 2 y 2 a 2 两边关于 x 求导得
三元函数 f ( x , y , z )的梯度为 定义：一个向量场 F 称为保守场，如果它是某个数量函数的 梯度，即存在一个函数 f ，使得 F f ，此时 f 称为 F 的势函数。 注意：不是所有的向量场都是保守场，但这种向量场在物理
中确实频繁出现。
gradf f xi f y j f zk f
L L
( P cos Q cos R cos )ds L 若 L 是有向平面曲线弧， { P , Q}，L在点 ( x , y ) 处的 F 0 单位切向量 {cos ,cos } , 则 0 Pdx Qdy F ds ( P cos Q cos )ds
A A0 , A1 , An B 将 L 按从 A 到 B 的方向任意分
成 n 个小弧段，记每个小弧段的弧长为 si ，并记 Ai 1 Ai ri ， ( i 1,2, n) ，在每个小弧上任取一点
M i ，做数量积： F ( M i ) ri ，( i 1,2, n)， n 求和： F ( M i ) ri ，令 maxsi 0 ，若
L
定理（第二类曲线积分存在的充分条件） ： 设有向曲线 AB 分段光滑，向量函数 F (M ) ，的各 个分量函数在 AB 上连续或分段连续，则 F (M ) 沿曲线 AB 从点 A到点 B 的第二类曲线积分存在。
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以下设有向曲线 AB 分段光滑，向量函数 F (M ) ， G(M ) 的各个分量函数在 AB 上连续或分段连续 性质1：AB k1F ( M ) k2G ( M ) dr k1 F ( M ) dr k2 G ( M ) dr AB AB 性质2：AB F ( M ) dr BA F ( M ) dr 性质3： 若 AB AC CB，则 F ( M ) dr F ( M ) dr F ( M ) dr
AB AC CB
基本性质
注意：第二类曲线积分没有第一类曲线积分的对称 性质及有关不等式的性质。
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第二类曲线积分的坐标表示 （1）若 F ( x, y ) P ( x, y ), Q( x, y )， L 是平面曲线弧，
设 Ak ( xk , yk ) , M k ( k ,k ) , 则 记 ri Ai 1 Ai { xi xi 1 , yi yi 1 } {xi , yi } n n F ( M i ) ri [ P ( i ,i )xi Q( i ,i )yi ]
0
i 1 L
其中有向曲线 L 称为积分曲线。
上式也称为第二类曲线积分的向量形式。 第二类曲线积分也称为向量场的线积分。
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说明：
（1）变力沿定向曲线所做的功：W
L
F ( M ) dr
（2） L 是封闭曲线， 若 则沿 L 的指定方向的第二类 曲线积分记为 F ( M ) dr 。
从右图可以看出，梯度向量和 等高线正交。
梯度向量在等高线密的地方 长，在等高线稀的地方短。
这是因为，梯度向量的长度等于
f 的方向导数的值， 等高线越密的地
出梯度场，观察它们之间的关系。
方，意味着高度变化越快。
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二、对坐标的曲线积分
定向曲线与切向量： 定向曲线：带有确定走向的一条曲线。 规定： 定向曲线上各点处的切向量的方向总与曲线的
第二节 第二类曲线积分
一、向量场
第十章
二、第二类曲线积分的 概念与性质 三、第二类曲线积分的 计算
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一、向量场
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定义：设 D R 2 ，R 2 上的向量场是一个函数，这个函数将 D 中的每个点 ( x , y ) 映射到一个二维向量 F ( x , y ) 。
i 1 i 1
令 max{si } 0 , 其中 si 为 Ai 1 Ai 的弧长
i
若上式左端的极限存在，则右端的极限也存在 记为 F ( x , y ) dr P ( x , y )dx Q ( x , y )dy
L L
上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。
比如，力场，速度场都是保守场，但磁场不是保守场。
如何判断一个向量场是否是保守场，将在下一节讨论。
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例：求出 f ( x, y ) x 2 y y 3 的梯度场，并在 f 的等高线上画
2 2 解: f ( x , y ) 2 xyi ( x 3 y ) j
n i 1
( i , i , i ) L M
A
M2 M1
B
M i M n 1
i 1
取极限:
n
向量形式 W lim F ( i ,i , i ) M i 1 M i 0 i 1 F ( i ,i , i ) P ( i ,i , i )i Q( i ,i , i ) j R( i ,i , i )k Mi 1 Mi (xi )i (yi ) j (zi )k , 则
上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。
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三、两类曲线积分之间的关系
设有向曲线弧L 的参数方程为：
x x( t ) , y y( t ) , z z ( t ) , t : a b 0 L 在点 ( x, y, z ) 处单位切向量 {cos ,cos ,cos } , 0 则 Pdx Qdy Rdz F ds 其中 F { P , Q , R}
L L L
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证明：设 L 的参数方程为 ：
x x ( t ) , y y( t ) , z z ( t ) , t : a b
(1) 若 a b , 则 L 的切向量为： { x( t ), y( t ), z( t )} 则 dr {dx, dy, dz} { x( t ), y( t ), z( t )}dt 也是切向量， 又 | dr | [ x( t )]2 [ y( t )]2 [ z( t )]2 dt ds dr 0 则 {cos , cos , cos } | dr | dr 于是有 d r 0ds ds
表示 L 的起点对应 t a ，终点对应 t b 。 则 L 的切向量为： { x( t ) , y( t ) , z( t ) }
其中：当 a b 时，取正号； a b 时，取负号。
W lim [ P ( i ,i , i )xi Q( i ,i , i )yi R( i ,i , i )zi ]
0
i 1 n
坐标形式
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对坐标的曲线积分的定义：
设 L 是一条从点 A 到点 B 的定向光滑（或分段 光滑）曲线，向量函数 F (M )在 L 上有定义。用分点
y
x
o
F yi xj
y
x
o
x
o
x
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F yi xj
F zk
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梯度场和保守场
定义：一个数量函数的梯度是一个向量场，称为梯度场。 二元函数 f ( x , y )的梯度为 gradf f xi f y j f
定义：设 E R 3 ， R 3 上的向量场是一个函数，这个函数将 E 中的每个点 ( x , y , z ) 映射到一个三维向量 F ( x , y , z ) 。
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画向量场 F 2i j
y
F xi
y
o
F xi yj
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走向一致。
例：求变力 F 沿曲线 L 所作的功。 解:
设曲线 L : A B , 变力 F ( x, y, z ) P ( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k
已知常力 F 沿直线所作的功 W F AB . 求变力沿曲线所作的功，利用 “分割, 近似, 求和, 取极限”
( i , i , i ) L M
A
M2 M1
B
M i M n 1
i 1
分割 A M 0 , M1 , , M n1 , M n B. 近似 Wi F ( i ,i , i ) Mi 1 Mi ,
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求和:
W F ( i ,i , i ) M i 1 M i
L
L
( P cos Q cos R cos )ds
单位切向量，方向与 L 的走向一致。
( 2) 若 a b , 可令 u t , 则 u : a b
而此时 a b , 对参数 u进行讨论，
归结到第一种情况，从而结论成立。
平面曲线的情况完全类似推导。
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即
故
dx cos ds ,
其中 {cos ,cos ,cos }是 L 在点 ( x , y , z ) 处的
0
L
dy cos ds , dz cos ds 0 Pdx Qdy Rdz F ds
i 1
i
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此和式的极限存在（不依赖于曲线的分法和点 M i 的取 法） ，则称此极限值为向量函数 F (M ) 沿曲线 L 从 A 到
B 的第二类曲线积分（也称对坐标的曲线积分） ，记作 n lim F ( M i ) ri F ( M ) dr
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例 1：计算 I xdx ydy ，其中 L : x 2 y 2 a 2
L
沿逆时针方向。
0 解1：设 F { x , y }， 是指定方向的单位切向量， 0 0 y 因为 F ， 所以 F 0，
则 I xdx ydy L 0 F ds
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（2）若 F ( x, y, z ) P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z )
L 是空间曲线弧，则 F ( x , y , z ) dr
L
L P ( x , y , z )dx Q( x , y , z )dy R( x , y , z )dz
L
o
0
x
0
1 事实上，容易求得： { y , x } a
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例 1：计算 I xdx ydy ，其中 L : x 2 y 2 a 2
L
沿逆时针方向。
设 F { x , y }， 0是指定方向的单位切向量， 解2： y L : x 2 y 2 a 2 两边关于 x 求导得
三元函数 f ( x , y , z )的梯度为 定义：一个向量场 F 称为保守场，如果它是某个数量函数的 梯度，即存在一个函数 f ，使得 F f ，此时 f 称为 F 的势函数。 注意：不是所有的向量场都是保守场，但这种向量场在物理
中确实频繁出现。
gradf f xi f y j f zk f
L L
( P cos Q cos R cos )ds L 若 L 是有向平面曲线弧， { P , Q}，L在点 ( x , y ) 处的 F 0 单位切向量 {cos ,cos } , 则 0 Pdx Qdy F ds ( P cos Q cos )ds
A A0 , A1 , An B 将 L 按从 A 到 B 的方向任意分
成 n 个小弧段，记每个小弧段的弧长为 si ，并记 Ai 1 Ai ri ， ( i 1,2, n) ，在每个小弧上任取一点
M i ，做数量积： F ( M i ) ri ，( i 1,2, n)， n 求和： F ( M i ) ri ，令 maxsi 0 ，若
L
定理（第二类曲线积分存在的充分条件） ： 设有向曲线 AB 分段光滑，向量函数 F (M ) ，的各 个分量函数在 AB 上连续或分段连续，则 F (M ) 沿曲线 AB 从点 A到点 B 的第二类曲线积分存在。
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以下设有向曲线 AB 分段光滑，向量函数 F (M ) ， G(M ) 的各个分量函数在 AB 上连续或分段连续 性质1：AB k1F ( M ) k2G ( M ) dr k1 F ( M ) dr k2 G ( M ) dr AB AB 性质2：AB F ( M ) dr BA F ( M ) dr 性质3： 若 AB AC CB，则 F ( M ) dr F ( M ) dr F ( M ) dr
AB AC CB
基本性质
注意：第二类曲线积分没有第一类曲线积分的对称 性质及有关不等式的性质。
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第二类曲线积分的坐标表示 （1）若 F ( x, y ) P ( x, y ), Q( x, y )， L 是平面曲线弧，
设 Ak ( xk , yk ) , M k ( k ,k ) , 则 记 ri Ai 1 Ai { xi xi 1 , yi yi 1 } {xi , yi } n n F ( M i ) ri [ P ( i ,i )xi Q( i ,i )yi ]
0
i 1 L
其中有向曲线 L 称为积分曲线。
上式也称为第二类曲线积分的向量形式。 第二类曲线积分也称为向量场的线积分。
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说明：
（1）变力沿定向曲线所做的功：W
L
F ( M ) dr
（2） L 是封闭曲线， 若 则沿 L 的指定方向的第二类 曲线积分记为 F ( M ) dr 。
从右图可以看出，梯度向量和 等高线正交。
梯度向量在等高线密的地方 长，在等高线稀的地方短。
这是因为，梯度向量的长度等于
f 的方向导数的值， 等高线越密的地
出梯度场，观察它们之间的关系。
方，意味着高度变化越快。
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二、对坐标的曲线积分
定向曲线与切向量： 定向曲线：带有确定走向的一条曲线。 规定： 定向曲线上各点处的切向量的方向总与曲线的
第二节 第二类曲线积分
一、向量场
第十章
二、第二类曲线积分的 概念与性质 三、第二类曲线积分的 计算
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一、向量场
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定义：设 D R 2 ，R 2 上的向量场是一个函数，这个函数将 D 中的每个点 ( x , y ) 映射到一个二维向量 F ( x , y ) 。
i 1 i 1
令 max{si } 0 , 其中 si 为 Ai 1 Ai 的弧长
i
若上式左端的极限存在，则右端的极限也存在 记为 F ( x , y ) dr P ( x , y )dx Q ( x , y )dy
L L
上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。
比如，力场，速度场都是保守场，但磁场不是保守场。
如何判断一个向量场是否是保守场，将在下一节讨论。
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例：求出 f ( x, y ) x 2 y y 3 的梯度场，并在 f 的等高线上画
2 2 解: f ( x , y ) 2 xyi ( x 3 y ) j
n i 1
( i , i , i ) L M
A
M2 M1
B
M i M n 1
i 1
取极限:
n
向量形式 W lim F ( i ,i , i ) M i 1 M i 0 i 1 F ( i ,i , i ) P ( i ,i , i )i Q( i ,i , i ) j R( i ,i , i )k Mi 1 Mi (xi )i (yi ) j (zi )k , 则
上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。
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三、两类曲线积分之间的关系
设有向曲线弧L 的参数方程为：
x x( t ) , y y( t ) , z z ( t ) , t : a b 0 L 在点 ( x, y, z ) 处单位切向量 {cos ,cos ,cos } , 0 则 Pdx Qdy Rdz F ds 其中 F { P , Q , R}
L L L
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证明：设 L 的参数方程为 ：
x x ( t ) , y y( t ) , z z ( t ) , t : a b
(1) 若 a b , 则 L 的切向量为： { x( t ), y( t ), z( t )} 则 dr {dx, dy, dz} { x( t ), y( t ), z( t )}dt 也是切向量， 又 | dr | [ x( t )]2 [ y( t )]2 [ z( t )]2 dt ds dr 0 则 {cos , cos , cos } | dr | dr 于是有 d r 0ds ds