适用于可变形体的离散元法

适用于可变形体的离散元法

鲍鹏1,2,姜忻良2

(11河南大学土木建筑学院,河南开封475001;　21天津大学建筑工程学院,天津300072)

摘　要:由变形体动力学原理和模态分解法,推导出可变形块体单元模型,并根据离散元法的基本原理,选择合理接触模型,依照动态松弛法,编制相应的计算程序.由静力问题为例,验证了离散元应用于可变形体的可行性.

关键词:可变形体;离散元法;静力分析

中图分类号:TU311.4 文献标识码:A 文章编号:1003-4978(2004)01-0100-04

　收稿日期:2003209215

　基金项目:河南省教委自然科学基础研究项目(2000560008)

　作者简介:鲍鹏(1964-),男,河南省开封市人,河南大学副教授,天津大学博士研究生.

The Discrete E lement Methods for Deform able Bodies

BAO Peng 1,2,J IAN G Xin 2liang 2

(1.College of Civil Engineering ,Henan U niversity ,Henan Katf eng 475001,China ;

2.College of Civil Engineering ,Tianjin U niversity ,Tianjin 300072,China )

Abstract :In this paper ,the discrete element model for deformable bodies is deduced according to the principle of dynamics for deformable bodies and model decomposition.The proper contact model is selected according to the fundamental principle of discrete element method.With the dynamic relaxation method ,the corres ponding calculating program is worked out.An example for a static problem is presented to test the validity of the discrete element method applied to deformable dodies.

K ey w ords :deformable body ;discrete element method ;static analysis

离散元法对于解决多弱面、多节理的岩体问题是一种非常有效的方法,但该方法仅适用于离散单元刚性或准刚性假设.本文尝试将该方法移植到可变形体力学问题中,去模拟可变形体间接触面的不连续性,探索一条解决可变形体系动力相互作用中大变形、不连续问题的新途径.

1　可变形体的动力方程

在惯性坐标下,有如下力学基本公理.

公理1(质量守恒原理)　物体的总质量在变形的过程中保持不变,

d d t ∫ρd Ω=0.(1)

式中,ρ为初始坐标系中物质点处的质量密度.;

公理2(动量平衡原理)　

动量对时间的变化率等于作用在物体上的合力,d d t (p )=F .(2)

式中,p 为动量;F 为力.

公理3(动量矩平衡原理)　对任一固定点O 的动量矩的时间变化率等于对同一点O 的合力矩,

第34卷第1期

河南大学学报(自然科学版)Vol.34　No.12004年3月Journal of Henan University (Natural Science )Mar.2004

d d t (H )=L .(3)

式中,H 为对O 点的动量矩;L 为对O 点的合力矩.

公理4(动能守恒原理)　动能对时间的变化率等于外力所产生的功率与单位时间内所有进入或离开物体的其他能量之和,

d d t (E k +E )=d W d t +∑U α.(4)

式中,E k 为动能;E 为内能;W 为外力所做的功;U α为单位时间内第α种能量,例如热能、电能.

现将在惯性坐标系下的基本方程转换到任意非惯性坐标系下.为区别,惯性坐标系下的量加撇表示,非惯性坐标系下的量不加撇表示.

一个给定点的位置矢量和物质导数,在两种坐标下的关系为

r ′=r 0+r ;(5)

d d t (r ′)=d d t (r 0)+d d t (r )=d d t (r 0)+ω×r + r ;(6)

d 2d t 2(r ′)=d 2

d t 2

(r 0)+ ω×r +ω×(ω×r )+2ω× r +¨r .(7)在非惯性坐标系下的物体运动控制方程如下:

F =m ¨r 0+ ω×∫ρr d Ω+ω×(ω×∫ρr d Ω+2p )+ p ;(8)

L =-¨r 0×∫ρr d Ω+ ω・I +ω×(ω・I )+ω・ I +ω×H + H ;(9)

∫ r ・R d Ω+∫ r ・f d Γ=¨r 0・p + ω・H -12ω・ I ・ω+ E k +∫

T ∶ r d Ω.(10)式中,f 为边界面力;R 为体力;T 为应力并矢量;ω为惯性坐标系下的角速度.

若将非惯性坐标系的原点选择在物质的质心处,同时选取在非惯性坐标系中观察测量到的物体角动量为零的坐标轴,容易证得

p = p =0;

H = H =0.

则运动控制方程可简化为

F =m ¨r 0;

(11)L = ω・I +ω×(ω・I )+ω・ I ;(12)

∫

r ・R d Ω+∫ r ・f d Γ=-12ω・ I ・ω+ E k +∫T ∶ r d Ω.(13)式中,E k 为非惯性系下的动能.物体的变形由式(13)确定.通过把变形写成固有振动模态的形式,可得到每个模态的解耦方程.

2　模态分解在Tisserand 坐标系中,物体内任一点的位置为r ,可写成

r = r +g .(14)

式中, r 为未变形前点的位置矢量;g 为弹性变形矢量,可用有限项振动模态的展开式来表示,即g (x ,y ,z ,t )=∑φi (x ,y ,z )ξi

(t ).(15)式中,ξi 为广义坐标;φi 为固有模态振型矢量的第i 个模态,求和是对所有模态进行.固有模态具有如下正交性.

∫

ρφi φj d Ω=0,　i ≠j ;m i ,　i =j.(16)

式中,m i 为广义质量(有效质量).鲍鹏,等:适用于可变形体的离散元法101