卷积
卷积的公式
卷积的公式
卷积运算是深度学习和计算机视觉中的一项重要的计算方法，卷
积操作在图像处理中广泛应用，其公式一般表示为：
f(x,y)∗g(x,y)=(f⊗g) (x,y)=∑m∑nf(m,n)g(x-m,y-n)
其中：
f（x, y）为输入图像；
g（x, y）为卷积核；
(x, y) 为原始图像上的像素坐标；
(m, n) 为卷积核上的（滑动）坐标；
(f ⊗g ) (x,y) 为卷积核和原始图像的点积；
卷积操作的最基本思想就是不断地把卷积核核移动到图像的每一
个位置上，相乘后求和，从而得到图像的卷积结果。
卷积运算的作用是在原始信号上滤波，可以看到，卷积可以把通
用的二维函数f（x,y）的元素与通用的二维函数g（x,y）的元素组合，从而实现特殊的数学计算操作，比如模糊、边缘检测、形状检测等等。
卷积操作还可以用来处理图像中特定区域的特定特征，比如人脸识别、物体识别等等。
卷积及其性质
f1()
f2(t
)d
iii) 若t 0, f1(t)0, f2(t)0,则
S(t) 0,
t
0
t
S(t) 0
f1() f2(t )d,
t
0
精选PPT
2
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 及 分 的 求 取 方 法
（1） 函 数 计 算 法
例，已知
f1 (t )
1 [u (t 2
2 ) u (t 5)]
二，离散卷积和
1，定义
两个序列x1(n)，x2(n) 得卷积和定义为
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m0
精选PPT
13
§2.7 卷积及其性质
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
精选PPT
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
精选PPT
12
§2.7 卷积及其性质
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
精选PPT
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应
函数的卷积
函数的卷积什么是卷积卷积是一种数学运算，常用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
在函数的卷积中，我们将两个函数进行卷积运算，得到一个新的函数。
卷积的定义给定两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积定义为： *g(t)=_{-}^{}f(t-u)g(u)du)卷积的性质卷积具有如下性质：1.交换律：f(t)*g(t) = g(t)*f(t)2.分配律：f(t)*[g1(t)+g2(t)] = f(t)*g1(t) + f(t)*g2(t)3.结合律：f(t)*[g1(t)*g2(t)] = [f(t)*g1(t)]*g2(t)卷积的计算方法在实际计算中，可以使用离散形式的卷积来对函数进行计算。
离散形式的卷积可以表示为： [n]=_{k=-}^{}f[k]g[n-k])一维离散卷积的例子例如，给定两个离散函数f = [1, 2, 1]和g = [2, 1, 2]，它们的卷积可以通过如下方式计算：f = [1, 2, 1]g = [2, 1, 2]f*g = [1*2 + 2*1 + 1*2, 1*2 + 2*1, 1*2] = [6, 4, 2]二维卷积除了一维函数的卷积，卷积还可以应用于二维函数（如图像）。
二维函数的卷积可以通过将两个函数的权重矩阵进行对应元素相乘，再求和得到。
举个例子，假设我们有一个3x3的图像矩阵A和一个2x2的卷积核矩阵B，它们的卷积计算如下：A = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]B = [[2, 0],[1, 2]]我们可以将卷积核B在图像矩阵A上滑动，将对应的元素相乘，然后求和，得到新的矩阵C：C = [[1*2 + 2*0 + 3*1, 2*2 + 0*1 + 3*2],[4*2 + 5*0 + 6*1, 5*2 + 6*1 + 9*2]]C = [[7, 10],[16, 23]]我们可以看到，经过卷积运算后，原始图像矩阵被卷积核影响，生成了一个新的矩阵。
§3.8 卷积特性(卷积定理)
1 时间函数的乘积 各频谱函数卷积的 2π 倍.
卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系, 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系,在通信 时间域 的运算关系 系统和信号处理研究领域中得到大量应用. 系统和信号处理研究领域中得到大量应用.
二.应用
用时域卷积定理求频谱密度函数. 用时域卷积定理求频谱密度函数.
§3.8卷积特性(卷积定理) 3.8卷积特性(卷积定理)
卷积定理 卷积定理 卷积定理的应用 卷积定理的应用
一.卷积定理
时域卷积定理 时域卷积定理 若 f1(t ) F (ω) , f2 (t ) F2 (ω) 1 则 f1(t ) f2 (t ) F (ω) F2 (ω) 1 时域卷积对应频域频谱密度函数乘积. 时域卷积对应频域频谱密度函数乘积. 频域卷积定理 频域卷积定理 若 f1 (t ) F1 (ω), f2 (t ) F2 (ω) 1 则 f1(t ) f2 (t ) F (ω) F2 (ω) 1 2 π +∞ 其 中 F (ω) F2(ω) = ∫ F (u)F2(ω u)du 1 ∞ 1
的傅里叶变换. 求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换.
t ∞
1 F(ω) ∫∞ f (τ )dτ F(ω) πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω g(t ) 求系统的响应. 求系统的响应. f (t )
t
∫
t
∞
f (τ ) dτ = ∫∞ f (τ )u(t τ ) dτ = f (t ) u = f (t ) h(t ) G(ω) = F(ω)H(ω) g(t ) = F 1[G(ω)]
将时域求响应,转化为频域求响应. 将时域求响应,转化为频域求响应.
�
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
卷积公式的例子
卷积公式的例子
卷积公式的应用非常广泛，以下是5个具体的例子：
1. 丢骰子：有两枚骰子，求两枚骰子点数加起来为4的概率。
可以把它写成卷积的形式：(f∗g)(4)=∑m=13f(4−m)g(m)。
2. 做馒头：假设馒头的生产速度是f(t)，腐败函数为g(t)，那么一天后生产出来的馒头总量就是f(t)和g(t)的卷积，即馒头生产出来之后，会随时间不断腐败。
3. 信号处理：如果一个系统对输入信号的响应是g(t)，那么在t=0时刻有一个输入，这个输入将随时间按g(t)的规律衰减，这也是卷积的应用。
4. 图像处理：在图像处理中，卷积常常用来进行滤波操作。
比如，有一个滤波器h，和一幅图像f，那么滤波后的图像g就是f和h的卷积。
5. 物理学：在物理学中，卷积被用来描述两个函数之间的关系。
例如，如果一个力在时间上作用于一个物体，那么该物体在时间上的位移就是该力和单位冲激响应的卷积。
卷积
其中 D(k)(x)为k阶卷积。
卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲 得很详细。
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
简介
简介
卷积（又名褶积）和反卷积（又名反褶积）是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用卷 积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果；而反卷积，直到最近，Schroeter、Hollaender和Gringarten 等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反卷积方法很快引起了数学界的广泛注意。有专家认为，反卷积的应 用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言，随着测试新工具和新技术的增加和应用，以及与其它 专业研究成果的更紧密结合，试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大 。
对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析 的Peter-Weyl定理。
应用
应用
卷积在工程和数学上都有很多应用：
统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概 率密度函数的卷积。光学中，反射光可以用光源与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处 理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任 何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
卷积
数学算子
01 简介
目录
最通俗易懂的卷积解释
最通俗易懂的卷积解释在深度学习和计算机视觉领域，我们常常会听到一个词汇：卷积。
那么，卷积到底是什么？如何通俗易懂地解释它？本文将为大家详细解析卷积的概念、原理和应用。
让我们一起来探讨这个有趣且实用的技术。
卷积的概念卷积是一种数学运算，它描述了两个函数相互作用的过程。
在深度学习中，卷积通常用于处理图像、声音等数据。
通过卷积操作，我们可以有效地提取数据中的局部特征，从而实现更高层次的抽象表示。
卷积的应用卷积在许多领域都有广泛的应用，其中最为典型的是图像处理、信号处理和卷积神经网络。
图像处理在图像处理中，卷积可以用于实现边缘检测、模糊、锐化等功能。
通过将图像与特定的卷积核进行卷积操作，我们可以突出或抑制图像中的某些特征，从而达到处理的目的。
信号处理在信号处理中，卷积用于分析和处理信号。
例如，通过卷积可以消除噪声、平滑信号，从而提高信号的质量。
卷积神经网络卷积神经网络（CNN）是一种常用于计算机视觉、语音识别等领域的深度学习模型。
通过使用卷积层，CNN能够在大量数据中自动学习并提取有用的特征，进而实现高效的分类、检测等任务。
卷积的数学原理为了更好地理解卷积，让我们深入探讨一下它的数学原理。
卷积核卷积核是一个小型矩阵，用于在卷积过程中与输入数据进行运算。
根据任务的不同，卷积核的形状和取值也会有所不同。
例如，在图像处理中，我们可以使用不同的卷积核来实现边缘检测、模糊等效果。
卷积过程卷积过程是通过在输入数据上滑动卷积核，并将卷积核与局部数据相乘累加，从而得到输出结果。
这个过程可以用下面的公式表示：输出(x, y) = Σ(卷积核(i, j) * 输入(x + i, y + j)) 其中，Σ表示求和，i和j表示卷积核的坐标。
步长与填充在卷积过程中，我们可以通过调整步长和填充来控制输出结果的尺寸。
步长表示卷积核每次滑动的距离，填充表示在输入数据周围添加额外的元素。
通常情况下，我们使用零填充，即添加数值为零的元素。
卷积的作用
卷积的作用卷积是一种在数学和信号处理中广泛应用的操作，它在图像处理、音频处理、自然语言处理等领域发挥着重要的作用。
本文将介绍卷积的基本概念、作用和应用。
首先，我们来了解一下卷积的基本概念。
卷积是一种在两个函数之间进行操作的数学方法，通常用符号*表示。
在离散情况下，卷积可以表示为两个序列之间的乘积和。
在连续情况下，卷积可以表示为两个函数之间的积分。
卷积的基本公式如下所示：(f*g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ （连续情况）(f*g)(n) = Σf(k)g(n-k) （离散情况）在图像处理中，卷积可以应用于图像的滤波、边缘检测、模糊等操作。
通过卷积操作，我们可以将一个图像与一定的卷积核进行卷积运算，从而改变图像的特征。
例如，在进行边缘检测时，我们可以使用卷积核对图像进行卷积操作，从而突出图像中的边缘信息。
同样，在进行图像模糊时，我们可以使用不同的卷积核对图像进行卷积运算，从而实现不同程度的模糊效果。
在音频处理中，卷积可以应用于音频的滤波、声音增强等操作。
通过对音频信号与一定的卷积核进行卷积运算，我们可以改变音频信号的频域特性。
例如，在进行音频滤波时，我们可以使用不同的卷积核对音频信号进行卷积操作，从而实现不同频率范围的滤波效果。
同样，在进行音频增强时，我们可以使用不同的卷积核对音频信号进行卷积运算，从而增强特定频率范围的声音。
在自然语言处理中，卷积可以应用于文本的特征提取、情感分析等任务。
通过对文本进行卷积操作，我们可以提取文本的局部特征。
例如，在进行情感分析时，我们可以使用卷积操作对文本进行特征提取，从而识别文本中的情感倾向。
同样，在进行文本分类时，我们可以使用卷积操作对文本进行特征提取，从而实现文本的分类。
除了上述应用之外，卷积还被广泛应用于图像识别、语音识别、自动驾驶等领域。
在图像识别中，卷积神经网络（CNN）通过多层卷积操作实现对图像的特征提取和分类。
而在语音识别和自动驾驶中，卷积操作用于对音频和图像数据进行处理和分析，从而实现语音或图像的识别和控制。
卷积的定义和概念
卷积的定义和概念 简单定义：卷积是分析数学中⼀种重要的运算。
设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于⼏乎所有的实数x，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了⼀个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是⼀个代数，甚⾄是巴拿赫代数。
卷积与傅⾥叶变换有着密切的关系。
利⽤⼀点性质，即两函数的傅⾥叶变换的乘积等于它们卷积后的傅⾥叶变换，能使傅⾥叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g⼀般要⽐f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利⽤这⼀性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出⼀列逼近于f的光滑函数列fs，这种⽅法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推⼴到数列、测度以及⼴义函数上去。
定义：卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。
如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果，其中星号*表⽰卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中⼼翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。
另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表⽰卷积。
参考《数字信号处理》杨毅明著，p.55、p.188、p.264，机械⼯业出版社2012年发⾏。
卷积
g (t) * g (t)
=
o t o
=
t
o
t
第四节 卷积
4 常用信号的卷积公式
常 用 信 号 的 卷 积 公 式
第四节 卷积
1 F f x 2
f ( x )e i x d x,
5 卷积定理
则 证：
若
F [ f1 ( x )] F1 ( ) 和 F [ f 2 ( x )] F2 ( )
第四节 卷积
2、卷积的图解法(特别适用于求某时刻点上的卷积值)
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
卷积过程可分解为四步：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。
F [ f1 ( x ) f 2 ( x )] 2 F1 ( ) F2 ( )
0
0
f 2 (t ) f1 (t ) t t t
0
f 2 ( ) f1 (t t0 )d f1 (t t0 )* f 2 (t )
推论： 若f1(t)*f2(t)=y(t)， 则
f1 (t t1 ) f 2 (t t2 ) y(t t1 t2 )
( 1) t t g (t ) 2 2
0 ( 1) ( 1) g t g t t 2 2 t
常见的卷积公式
常见的卷积公式一、卷积公式的基本概念与原理在数字信号处理中，卷积公式是一种常见且重要的数学工具，用于描述信号之间的运算关系。
它可以用于图像处理、音频处理、信号滤波等多个领域。
本文将介绍常见的卷积公式及其应用。
卷积的定义是一种数学运算符，表示两个函数之间的运算。
在离散领域中，常用的卷积公式可以表示为：\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]\]其中，\(x[n]\)是输入信号，\(h[n]\)是卷积核或滤波器，\(y[n]\)是输出信号。
该公式实质上是对输入信号和卷积核进行长度为无穷的求和运算，得到输出信号的每个采样值。
二、一维离散卷积常见的一维离散卷积公式可以简化为：\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]\]其中，\(x[n]\)和\(h[n]\)都是长度为N的一维离散信号。
对于每个输出采样点，需要将输入信号和卷积核进行相应位置的乘积运算，然后再将乘积结果相加得到输出值。
三、二维离散卷积对于二维离散信号，卷积公式可以表示为：\[y[m,n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{l=-\infty}^{\infty} x[k,l]h[m-k,n-l]\]其中，\(x[k,l]\)和\(h[k,l]\)分别表示输入信号和卷积核的二维离散采样值。
在计算输出信号的每个采样点时，需要将输入信号和卷积核进行逐点乘积运算，再将所有乘积结果相加得到输出值。
四、卷积核的选择与应用在实际应用中，卷积核的选择对于信号处理结果具有重要影响。
不同的卷积核可以实现不同的信号处理效果，如平滑、锐化、边缘检测等。
常见的卷积核包括高斯核、均值核、边缘检测核等。
高斯核常用于图像平滑操作，能够减小图像中的噪声。
均值核可以实现简单的平均滤波，用于去除图像中的噪声。
边缘检测核常用于图像边缘提取，可以突出图像中的边缘部分。
卷积公式详解(一)
卷积公式详解(一)卷积公式详解什么是卷积?卷积是一种数学运算符号，广泛应用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
它用于描述两个函数之间的关系，通常用符号“*”表示。
卷积的定义给定两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的卷积定义为：∞(τ)g(x−τ)dτ(f∗g)(x)=∫f−∞或者对于离散的情况，定义为：∞(m)g(n−m)(f∗g)(n)=∑fm=−∞其中，−∞到+∞或者−∞到+∞的积分或者求和表示函数的有效范围。
卷积的意义卷积运算在信号处理和图像处理中具有重要的意义。
它可以用于信号的平滑、信号的去噪、边缘检测等。
在深度学习中，卷积神经网络（CNN）利用卷积运算对图像进行特征提取和分类。
卷积公式的解释卷积公式 (f ∗g )(n )=∑f ∞m=−∞(m )g (n −m ) 表示函数 f 和 g 的有效范围内，对两个函数进行对位相乘后的求和。
首先，函数 f(m) 和 g(n-m) 表示在不同位置的函数 g 与函数 f 的对应值，对这些对应值进行相乘，然后将乘积求和得到最终的结果。
求和的范围是在整个函数 f(m) 和 g(n-m) 的有效范围内，即对所有的 m 求和。
卷积的性质卷积具有一些重要的性质，如交换律、结合律和分配律等。
这些性质使得卷积在信号处理和深度学习中非常有用。
1.交换律：f ∗g =g ∗f 2.结合律：(f ∗g )∗ℎ=f ∗(g ∗ℎ) 3.分配律：f ∗(g +ℎ)=f ∗g +f ∗ℎ卷积的应用卷积在很多领域都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：• 信号平滑：通过卷积可以对信号进行平滑处理，去除噪声和不必要的波动。
• 信号滤波：卷积可以对信号进行滤波，如低通滤波、高通滤波等。
•图像处理：卷积在图像处理中被广泛应用，如边缘检测、图像增强等。
•深度学习：卷积神经网络（CNN）利用卷积运算对图像进行特征提取和分类。
总结通过本文的解释，我们了解了卷积的定义、意义和公式。
卷积及其性质
利用图形处理器（GPU）的并行计算能力进行卷积运算加速。GPU具 有大量的计算核心和高速内存访问能力，适用于大规模并行计算。
03
FPGA加速
利用现场可编程门阵列（FPGA）的可编程性和并行处理能力进行卷积
运算加速。FPGA可以根据具体需求进行定制化的硬件设计，实现高效
的卷积运算加速。
THANK YOU
利用卷积核检测图像的边缘信息，可以实现基于 边缘的图像分割。
3
目标检测与识别
卷积神经网络（CNN）在目标检测和识别领域 取得了显著成果，通过训练CNN模型可以实现 对图像中特定目标的检测和识别。
05
卷积在深度学习中的应用
卷积神经网络（CNN）基本原理
局部连接
01
卷积神经网络通过卷积核实现局部连接，每个神经元仅与输入
数据并行
将输入数据划分为多个子集，每 个处理单元负责一个子集的卷积 运算，最后合并各子集的结果得 到最终输出。
任务并行
将卷积运算划分为多个子任务， 每个处理单元负责一个子任务的 计算，最后合并各子任务的结果 得到最终输出。
硬件加速技术在卷积中的应用
01 02
硬件加速技术
利用专用硬件加速器（如GPU、FPGA等）提高卷积运算速度。这些加 速器具有高度的并行处理能力和优化的数据存储方式，能够显著提高卷 积运算的效率。
模式识别
卷积运算还可以应用于模式识别领域。通过将输入信号与一组预定义的卷积核进行卷积运算，可以得 到一组特征图。这些特征图可以作为模式识别的输入，用于训练分类器或进行相似度匹配等操作。
04
卷积在图像处理中的应用
图像滤波与去噪
滤波器的设计
卷积在图像处理中常被用于设计 各种滤波器，如均值滤波器、高 斯滤波器等，用于去除图像中的
卷积前后维度公式
卷积前后维度公式一、一维卷积。
1. 定义。
- 设输入序列为x = [x_1,x_2,·s,x_n]，卷积核为k=[k_1,k_2,·s,k_m]（m≤slant n）。
2. 卷积计算方式及维度变化。
- 卷积计算为y_i=∑_j = 1^m x_i + j - 1k_j，i = 1,2,·s,n - m+1。
- 输入维度为n，卷积核维度为m，则输出维度为n - m+1。
二、二维卷积。
1. 定义。
- 设输入图像为X∈ R^H× W（高度为H，宽度为W），卷积核为K∈ R^h×w（高度为h，宽度为w）。
2. 卷积计算方式及维度变化（无填充、步长为1）- 对于输出图像Y中的元素y_ij，y_ij=∑_m = 1^h∑_n = 1^w x_i + m - 1,j + n - 1k_mn。
- 输出图像的高度H_out=H - h+1，宽度W_out=W - w + 1，即输出维度为(H -h + 1)×(W - w+1)。
3. 卷积计算方式及维度变化（有填充、步长为1）- 设填充p（上下左右填充相同的像素数），则输入图像变为X∈ R^(H +2p)×(W + 2p)。
- 输出图像的高度H_out=H+2p - h + 1，宽度W_out=W + 2p - w+1，输出维度为(H + 2p - h+1)×(W + 2p - w + 1)。
4. 卷积计算方式及维度变化（有填充、步长为s）- 输出图像的高度H_out=(H + 2p - h)/(s)+1，宽度W_out=(W + 2p - w)/(s)+1。
三、三维卷积。
1. 定义。
- 设输入数据为X∈ R^D× H× W（深度为D，高度为H，宽度为W），卷积核为K∈ R^d× h× w（深度为d，高度为h，宽度为w）。
2. 卷积计算方式及维度变化（无填充、步长为1）- 输出数据的深度D_out=D - d+1，高度H_out=H - h+1，宽度W_out=W -w+1，输出维度为(D - d + 1)×(H - h+1)×(W - w + 1)。
计算卷积的方法
详细描述了系统传递函数的计算过程，包括系统传递 函数的定义、系统函数的表示、系统传递函数的计算 步骤以及计算实例。
详细描述
系统传递函数是描述线性时不变系统动态特性的数学模 型，可以通过系统的输入输出关系来计算。具体来说， 假设有一个线性时不变系统，其输入为x(t)，输出为y(t)， 系统的传递函数可以通过以下步骤得到：首先根据系统 的输入输出关系列出微分方程，然后通过拉普拉斯变换 求解微分方程，得到传递函数H(s)。
04
卷积的特性
时移性
总结词
卷积的结果可以通过将其中一个信号进 行时间平移来获得。
VS
详细描述
卷积运算具有时移性，即当一个信号在时 间上平移时，其与另一个信号的卷积结果 也会相应地发生平移。这种特性在信号处 理和控制系统等领域中非常重要，因为它 允许我们通过改变输入信号的时间位置来 控制输出信号的时间响应。
滤波器
滤波器
卷积在信号处理中常常用于实现滤波器功能。通过设计特定 的滤波器系数（相当于冲激响应），可以对输入信号进行滤 波处理，提取出需要的信号成分或者抑制不需要的噪声干扰 。
IIR滤波器和FIR滤波器
在数字信号处理中，滤波器可以分为无限冲激响应（IIR）滤波 器和有限冲激响应（FIR）滤波器。IIR滤波器具有反馈结构，可 以实现对信号的递归处理；而FIR滤波器没有反馈结构，只能实 现线性相位响应。
计算卷积的方法
• 卷积的定义 • 卷积的物理意义 • 计算卷积的方法 • 卷积的特性 • 卷积的计算实例
01
卷积的定义
数学定义
数学上，卷积是一种二元运算，表示为 *。 对于两个函数 f 和 g，它们的卷积定义为
(f * g)[n] = sum_{k=-infty}^{+infty} f[k] g[n-k])
卷积名词解释
卷积名词解释
卷积是一种在信号处理、图像处理和机器学习中常用的数学运算。
在数学上，卷积是指两个函数之间的一种操作，它将两个函数的一部分叠加在一起，计算它们交叉覆盖的面积，得到一个新的函数。
在信号处理领域，卷积是一种将输入信号与卷积核进行卷积计算的过程。
这个过程可以用来提取信号中的特征，比如图像中的边缘、纹理等。
在图像处理中，卷积被广泛应用于图像模糊、锐化、边缘检测等领域。
通过对图像进行卷积操作，可以改变图像的特征，使其更符合人类视觉习惯。
在机器学习中，卷积神经网络(CNN)是一种广泛应用的模型，它
利用卷积在图像分类、目标检测、语音识别等领域取得了显著的效果。
通过卷积操作，CNN可以从输入数据中提取出重要的特征，从而在分类、识别等任务中取得更好的效果。
总之，卷积是一种重要的数学运算，在信号处理、图像处理和机器学习等领域都具有广泛的应用。
熟练掌握卷积操作和卷积神经网络等技术，对于从事相关领域的人员来说是必不可少的技能。
- 1 -。
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推广：
f ( x ) ( x x0 ) f ( x x0 )
意义：说明 任意函数与 ( x )函数卷积的结果是
把该函数平移到 ( x )函数所在的位置
以上性质请自行证明
17
课后作业 习题一
1.5 （3）
1.6 1.7 1.8 （2）（3）（4）中 选2题
f1 ( x )
f 2 ( x ) h( x )
3、分配率
f ( x ) g ( x ) h( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) h( x )
4、连续性
当f 1 ( x )、f 2 ( x )有 界 ， 则f 1 ( x ) f 2 ( x )连 续
第一章
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7
数 学 基 础
常用函数 脉冲函数 卷积 相关函数 傅里叶变换 傅里叶变换定理 常用函数的傅里叶变换
1
第一章 数学基础
§1.3 卷积
一、概念的引入(1)
实例1
convolution
用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x) 扫描，
To§1－4相关函数
18
f ( , ) f
1
2
( x , y )d d
6
第一章
§1.3 卷积
—— 借助几何作图
g( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x )
三、卷积的计算方法
步骤
置换变量： f1 (ξ) 和 f2 (ξ) 第一步 翻转：将 f2 (ξ)翻转，得到 f2 (-ξ) 第二步 平移：将 f2 (-ξ) 平移到－x处，得到 f2 (x-ξ) 第三步 相乘： f1 (ξ) × f2 (x-ξ) 第四步 积分：
二、卷积的定义
若 f1 (x)与 f2 (x) 有界且可积, 定义：
g( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )
f1 ( ) f 2 ( x )d
*: 卷积符号
g(x)称为函数f1(x)与f2(x)的 卷积 二维函数的卷积:
g( x , y ) f1 ( x , y ) f 2 ( x , y )
卷积运算的两个效应
• 展宽：卷积的宽度等于被卷积函数的宽 度之和 • 平滑化：被卷积的函数经过卷积运算， 其细微结构在一定程度上被消除，函数 本身的起伏振荡变得平缓圆滑。
13
练 习
1
rect() rect() 1
计算 rect(x)*rect(x)
-1/2 1 rect(t) 0 1/2 -1/2 0 1/2
（x0，y0） S
h (x) d0 f (x)
因透镜孔径衍射影响，物平面上的单位脉冲，在像平面产生弥散斑
f() 1 0 2
di
成像
h(x- 2)
h(x)
h(x- 1)
x
3
第一章
实例2
§1.3 卷积
f()
成像
h(x- 2)
h(x)
h(x- 1)
x
1 0
2
像平面上的光场分布：
15
第一章
§1.3 卷积
（p15）
四、卷积的运算定律（2）
5、位移不变性
设：f ( x ) h( x ) g( x )
则有： ( x－x0 ) h( x ) g( x－x0 ) f
以上定律请自行证明
16
第一章
§1.3 卷积
五、包含脉冲函数的卷积
任意函数与 ( x )函数的卷积：
0
ξ
f1 ( ) f 2 ( x )d
11
回到前面的例题:
a f(x)=2+cos(2pf0x)
探测器输出的光强度分布:
x g ( x ) f ( x ) rect a x f ( )rect( )d a
请考虑：怎样计算？
12
0 < x <1;
g(x) =rect(x)*rect(x) = tri(x)
14
第一章
§1.3 卷积
（p14）
1.29
四、卷积的运算定律（1） 1、交换率 2、结合率
f1 ( x ) f 2 ( x )＝f 2 ( x ) f1 ( x )
＝f 1 ( x ) f 2 ( x ) h( x )
在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。 a
f(x)=2+cos(2pf0x)
这是一个
卷积运算问题
x g ( x ) f ( x ) rect a
卷积符号
f ( )rect(
x
a
)d
2
第一章
实例2
§1.3
卷积
研究物体经透镜成像 （xi，yi）
一、概念的引入(2)
应是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用 卷积运算
来描述：
g( x ) f ( x ) h( x )
f ( )h( x )d
4
卷积在光学成像中的物理意义
• 光学系统像平面上的光强分布是物的光 强分布与单位强度点光源对应的像强度 分布的卷积。
5
第一章
§1.3 卷积
-1/2 0 1/2 x x+1/2 x x+1/2 x-1/2
求 rect(x)
g(x) = 0
× rect(x) 曲线下的面积：
|x| >1; -1< x <0;
x-1/2
g(x) = 1[x＋1/2-(-1/2)]=1＋x
g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
g(x) 1 x -1 0 1
பைடு நூலகம்
f1 ( ) f 2 ( x )d
求曲线
下的面积
To练习
7
翻转 翻转
f2(-ξ)
f(ξ) f2(ξ) ξ
0
8
平移
f2(-ξ)
f(ξ) f2(x-ξ)
0
ξ
x
9
相乘
f(ξ) f2(x-ξ)
2 0
ξ
f1(ξ) f2(x-ξ)
f1(ξ)
10
积分
f(ξ)
f1(ξ) f2(x-ξ)