湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题14
湘潭大学 刘任任版 离散数学课后习题答案 习题14
习题十四1．试判断下列语句是否为命题，并指出哪些是简单命题，哪些是复合命题。
分析：本题主要是考察命题的定义，只要理解定义即可。
（1）2是有理数。
解：是命题，且为简单命题（2）计算机能思考吗？解：非命题（3）如果我们学好了离散数学，那么，我们就为学习计算机专业课程打下了良好的基础。
解：是命题，且为复合命题。
（4）请勿抽烟！解：非命题。
（5）X+5＞0解：非命题。
（6）π的小数展开式中，符号串1234出现奇数次。
解：是命题，且为简单命题。
（7）这幅画真好看啊！解：非命题。
（8）2050年元旦的那天天气晴朗。
解：是命题，且为简单命题。
（9）李明与张华是同学解：是命题，且为简单命题。
（10）2既是偶数又是质数。
解：是命题，且为复合命题。
2．讨论上题中命题的真值，并将其中的复合命题符号化。
解：（1）F （3）T （6）不知真假（8）不知真假（9）真或假，视情况而定（10）T（3）P：我们学好了离散数学。
Q：我们为学习计算机专业课程打下了良好的基础。
P→Q（10）P：2是质数；Q：2是偶数；P∧Q3．将下列命题符号化分析：本题主要是考察命题的符号化，主要是要分清合取、析取、蕴含、等价的使用环境。
（1）小王很聪明，但不用功解：P：小王很聪明；Q：小王不用功；P∧Q（2）如果天下大雨，我就乘公共汽车上班。
解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；P→Q（3）只有天下大雨，我才乘公共汽车上班解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；Q→P（4）不是鱼死，就是网破解：P：鱼死；Q：网破；P∨Q（5）李平是否唱歌，将看王丽是否伴奏而定。
解：P：李平唱歌Q：王丽伴奏P↔Q4．求下列命题公式的真值表：分析：主要考察真值表。
这个最好自己按照一个思路写出来所有的解释，不要遗漏。
（可以参考二进制来进行给出解释，例如：P，Ｑ，那么我们可以按照这样的顺序给出解释：（０，０）（０，１）（１，０）（１，１））（1）P→(Q∨R)()1011111111001110111110000110110000101011P Q R Q R P Q R ∨→∨ (2)P ∧（Q ∨⌝R ）解：()1110111010000110100100011011110011101011000011P Q R R Q R P Q R ⌝∨⌝∧∨⌝ （3）())(Q Q P P →→∧解：()())((111101001111110001QQ P P Q P P Q P Q P →→∧→∧→（4）()P Q Q ⌝→∧解：()()011001000011101001Q Q P Q P Q P Q P ∧→⌝→⌝→（5）()()Q P Q P ∧↔∨11100001111100101)()(Q P Q P Q P Q P Q P ∧↔∨∧∨5．用真值表方法验证下列基本等值式分析：本题主要是通过验证等值符号两边的真值表相同即可。
湘潭大学-刘任任版-离散数学课后习题答案-习题20
习题二十1. 由5个字母a 和8个字母b 能组成多少个非空字母集合?分析：本题主要是对每一种出现的情况分别讨论，然后根据多重集定理就可以求得。
解：此问题可化为多重集}8,5{b a S ••=，则S 的（1）1-组合有：}1,0{,}0,1{b a b a ••••，此种情况排列种数为：2!0!1!1!0!1!1=•+•，（2）2-组合有： }1,1{},0,2{,}2,0{b a b a b a ••••••，此种情况排列种数为：4211!1!1!2!0!2!2!0!2!2=++=•+•+•，（3）3-组合有：}3,0{},0,3{},1,2{,}2,1{b a b a b a b a ••••••••，此种情况排列种数为：81133!0!3!3!0!3!3!1!2!3!1!2!3=+++=•+•+•+•，（4）4-组合有：}2,2{},1,3{},3,1{},0,4{,}4,0{b a b a b a b a b a ••••••••••，此种情况排列种数为：1664411!2!2!4!1!3!4!1!3!4!0!4!4!0!4!4=++++=•+•+•+•+•，（5）5-组合有：}2,3{},3,2{},1,4{},4,1{},0,5{,}5,0{b a b a b a b a b a b a ••••••••••••，此种情况排列种数为：3210105511!2!3!5!2!3!5!1!4!5!1!4!5!0!5!5!0!5!5=+++++=•+•+•+•+•+•，（6）6-组合有：}2,4{},2,4{},4,2{},1,5{},5,1{,}6,0{b a b a b a b a b a b a ••••••••••••，此种情况排列种数为：63201515661!3!3!6!2!4!6!4!2!6!1!5!6!1!5!6!0!6!6=+++++=•+•+•+•+•+•，（7）7-组合有：}3,4{},4,3{},2,5{},5,2{},6,1{,}7,0{b a b a b a b a b a b a ••••••••••••，此种情况排列种数为：1203535212171!3!4!7!4!3!7!2!5!7!5!2!7!6!1!7!0!7!7=+++++=•+•+•+•+•+•，（8）8-组合有：aba•babab•••••，此种••••••a4{},5,4,},}3,5{3{},8,0{ba1{,}7,6,b2{},情况排列种数为：2195670562881!3!5!8!4!4!8!5!3!8!6!2!8!7!1!8!8!0!8=+++++=•+•+•+•+•+•，（9）9-组合有：}4,5{},5,4{},6,3{},7,2{},8,1{b a b a b a b a b a ••••••••••，此种情况排列种数为： 38112612684369!4!5!9!5!4!9!6!3!9!7!2!9!8!1!9=++++=•+•+•+•+•，（10）10-组合有：}5,5{},6,4{},7,3{},8,2{b a b a b a b a ••••••••，此种情况排列种数为：42725221012045!5!5!10!6!4!10!7!3!10!8!2!10=+++=•+•+•+•，（11）11-组合有：}6,5{},7,4{},8,3{b a b a b a ••••••，此种情况排列种数为：957462330165!6!5!11!7!4!11!8!3!11=++=•+•+•，（12）12-组合有：}7,5{},8,4{b a b a ••••，此种情况排列种数为：1287792495!7!5!12!8!4!12=+=•+•，（13）13-组合有：}8,5{b a ••，此种情况排列种数为：1287!8!5!13=•所以总的非空序列为所有的r-组合（13,,2,1 =r ）数目之和，即：2+4+8+16+32+63+120+219+381+427+957+1287+1287=4803.2.用字母f e d c b a ,,,,,来形成3个字母的一个序列,满足以下条件的方式各有多少种?(1)允许字母重复;(2)不允许任何字母重复;(3)含字母e 的序列不允许重复;(4)含字终e 的序列允许重复.分析：本题主要是排列组合的简单应用。
湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题
习 题 十 一1．设11≥p ，证明任何p 阶图G 与G 总有一个是不可平面图。
分析： G 与G 是两个互补的图，根据互补的定义，互补的图有相同的顶点数，且G 的边数与G 的边数之和等于完全图的边数p(p-1)/2；而由推论11.2.2，有任何简单平面图G ，其顶点数p 和边数q 满足：q ≤3p-6。
证明. 若),(q p G 与),(q p G ''均是可平面图，则63-≤p q （1） 63-'≤'p q （2） 但q p p q p p --='=')1(21, （3）将（3）代入（2）有63)1(21-≤--p q p p 整理后得 q p p 21272≤+- 又由（1）有)63(21272-≤+-p p p 即 024132≤+-p p也即 224413132244131322⨯-+≤≤⨯--p .得 2731327313+≤≤-p 得112<<p此与11≥p 矛盾。
因此任何p 阶图G 与G 不可能两个都是可平面图，从而G 与G 总有一个是不可平面图。
2．证明或否定：两个p 阶极大简单平面图必同构分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；两个p 阶极大简单平面图不一定同构。
解：令6=p ，三个6阶极大简单平面图321,,G G G 如下：顶点上标的数字表示该顶点的度，但显然不同构.3．找出一个8阶简单平面G ，使得G 也是平面图.分析：由第1题证明过程可知，当p<11时，G 和G 可以同时为平面图。
解：如下平面图G ，显然其补图也是平面图。
123G 3344454．证明或者否定：每个极大平面图是H 图. 分析：极大平面图是指添加任何一条边以后不构成平面图的平面图；而H 图是存在一个H 回路的图，即存在一条经过图中每一个顶点一次且仅一次的回路。
由定理11.1.2知极大平面图的每个面都是三角形，因此G 中必存在回路，利用最长回路的性质使用反证法可证明每个极大平面图都是H 图。
离散数学 习题答案(刘任任)
（2）
A B ( A B) ( A B) ( B A) ( B A) B A
( A B) C (( A B) ( B A)) C (( A B ) ( B A )) C (((A B ) ( B A)) C) (((A B ) ( B A)) C)
A B AC
(4) 错误。例如，令 A={2,3,4},B={1,2,3},C={3,4,5}; (5)错误。例如，令A={2,4},B={1,2},C={2,3};
8.
（1）设A=B。于是
A B ( A B) ( A B) A A 反之，设 A B 。若 A B ，则不妨 设 x A而x B 。于是， x A B, 而x A B 从而 A B
3.
(1) 错; (2) 对; (3) 对; (4) 错;
(5) 错;
(9) 对;
(6) 对;
(10) 错;
(7) 错;
(11)错;
(8) 对;
(12)对.
4.
（1）正确。因BC，所以，对任何x∈B均有x∈C， 令A∈B，故A∈C。 （2）错误。例如，令A={1}，B={{1}，2}， C={{1}，2，3}。
(B×A) 2 =(B × A) ×(A × B) ={<<2,1>,<2,1>>,<<2,1>,<2,2>>,<<2,1>,<3,1 >>,<<2,1>,<3,2>>,<<2,2>,<2,1>>,<<2,2>,< 2,2>>,<<2,2>,<3,1>>,<<2,2>,<3,2>>,<<3,1 >,<2,1>>,<<3,1>,<2,2>>,<<3,1>,<3,1>>,<< 3,1>,<3,2>>,<<3,2><2,1>>,<<3,2>,<2,2>>, <<3,2>,<3,1>>,<<3,2>,<3,2>>}
离散数学课后答案详细
第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案4.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值：（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.7.因为p与q不能同时为真.13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；（3）p q，真值为1；（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。
（1）p∨(q∧r)⇔0∨(0∧1) ⇔0（2）（p↔r）∧(﹁q∨s) ⇔（0↔1）∧(1∨1) ⇔0∧1⇔0.（3）（⌝p∧⌝q∧r）↔(p∧q∧﹁r) ⇔（1∧1∧1）↔ (0∧0∧0)⇔0(4)（⌝r∧s）→(p∧⌝q) ⇔（0∧1）→(1∧0) ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。
并且，如果3是无理数，则2也是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
离散数学习题答案解析
离散数学习题答案解析(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语∧解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q（9）只有天下大雨，他才乘班车上班→解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p （11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是()∧→p q r 15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())∧∧⌝↔⌝∨⌝→p q r p q r解：p=1，q=1，r=0，∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，p q r()(110)1p q r⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔(())((11)0)(00)1∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔()(())111p q r p q r19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()→⌝→⌝p p q解：列出公式的真值表，如下所示：由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒0p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。
湘潭大学计算机科学与技术刘任任版离散数学课后习题答案---第三学期--代数结构
习题十六（整 数）1. 请推导出本节定理16.1.3中计算k S 和k T 的递推公式.分析：本题主要是考察矩阵的推导过程。
解：由（P154）T V S U q q q k k kk k ⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪121101101101 () 有T V S U T V S U q q T V T q S U S k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪=++⎛⎝ ⎫⎭⎪----------11111111111102 ()比较(2)式两端，可知U S V T T q T V S q S U k k k k k k k k kk k k ==⎧⎨⎩=+=+⎧⎨⎩------11111134 ()() 由(3)有U S V T k k k k ----==⎧⎨⎩1212 (5) 由(4)和(5)得S q S S T q T T k k k k k k k k =+=+⎧⎨⎩----12126 () 由(3)可令S U T V 01017==⎧⎨⎩ () 又由(1)有T V S U q 11111110⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪ 于是 S U T V S T q 0101111011====⎧⎨⎩==⎧⎨⎩ 这样，对任意k ≥2， 由(6)可求出S k 和 T k 。
2. 求1331和5709的最大公因数，并表为它们的倍数之和.分析：本题主要是考察用辗转相除法来求两个数的最大公因数。
解：用辗转相除法求最大公因数，逐次得出商及余数并计算S k 和T k 。
今列表如下： k 0 1 2 3 4 5 r k 385 176 33 11 0 q k 4 3 2 5 3S k 0 1 3 7 38 空T k 1 4 13 30 163 空 由上表知，最大公因数为 r 411=, 且有r S T 44144415709113313857091631331=-⋅+-⋅=-⨯+⨯-()() 3. 求证：任意奇数的平方减1必是8的倍数.分析：本题首先根据奇数的概念，然后进行变形即得。
离散数学习题的答案解析
离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是p q ∧（9）只有天下大雨，他才乘班车上班解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p →（11）下雪路滑，他迟到了解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→15、设p ：2+3=5.q ：大熊猫产在中国.r ：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）()(())p q r p q r ∧∧⌝↔⌝∨⌝→解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧⌝⇔∧∧⌝⇔，(())((11)0)(00)1p q r ⌝∨⌝→⇔⌝∨⌝→⇔→⇔()(())111p q r p q r ∴∧∧⌝↔⌝∨⌝→⇔↔⇔19、用真值表判断下列公式的类型：（2）()p p q →⌝→⌝解：列出公式的真值表，如下所示：20、求下列公式的成真赋值：（4）()p q q ⌝∨→解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：()10p q q ⌝∨⇔⎧⎨⇔⎩⇒00p q ⇔⎧⎨⇔⎩ 所以公式的成真赋值有：01，10，11。
习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）()()p q q r ⌝→∧∧解：原式()p q q r ⇔∨∧∧q r ⇔∧()p p q r ⇔⌝∨∧∧()()p q r p q r ⇔⌝∧∧∨∧∧37m m ⇔∨，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。
*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）()()p q p r ∧∨⌝∨解：原式()()p p r p q r ⇔∨⌝∨∧⌝∨∨()p q r ⇔⌝∨∨4M ⇔，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。
湘潭大学 刘任任版 离散数学课后习题答案 习题9
习 题 九1．证明：任何树最多只有一个完美匹配分析：树是连通没有回路的图；树的完美匹配是树存在一个匹配M ，满足树的所有顶点v 都是M-饱和点。
而两个完美匹配中不同的边所关联的顶点的度至少为2，否则如果等于1的话，则该顶点关联的边只有一条，在构造完美匹配的时候为了使得这个点成饱和点，只有一种选择。
证明：设树T 有两个或两个以上的完美匹配，任取完美匹配1M 和2M ，21M M ≠。
于是Φ≠⊕21M M 。
易知边导出子图][21M M T H ⊕=中的每个顶点v 满足2)(≥v d H 。
于是H 中存在回路，从而T 中有回路。
此与T 是树矛盾，故结论成立。
2．证明：树G 有完美匹配当且仅当对任意)(G V v ∈，均有1)(=-v G O分析：一方面，由定理9.1.3 图G 存在完美匹配当且仅当对任意S ⊂V(G)，有||)(S S G O ≤-，所以如果树G 有完美匹配，则1|}{|)(=≤-v v G O ；而G 有完美匹配，说明=|)(|G V 偶数，所以1)(≥-v G O ；从而有1)(=-v G O 。
另一方面，如果对任意)(G V v ∈，均有1)(=-v G O ，则对v 而言，可利用这个这个奇分支找到v 关联的唯一边，从而构造出G 的一个完美匹配。
证明：必要性 设G 有完美匹配。
由定理9.1.3，取}{v S =，则1||)()(=≤-=-S S G O v G O又 ∵G 有完美匹配，∴=|)(|G V 偶数。
于是|)(|v G V -=奇数。
故 1)(≥-v G O . 从而 1)(=-v G O .充分性 设对任意)(G V v ∈，有1)(=-v G O .即v G -恰有一个奇分支)(0v C ，因G 是树，故v 只能与)(0v C 中的一个顶点邻接。
设v 与)(0v C 的关联边为)()(G E vu v e ∈=。
显然v 确定以后，uv 是唯一确定的，且易知uv u C =)(0。
离散数学刘任任课后答案习题
习 题 三1．下列映射哪些是单射、满射或双射.（1）()⎩⎨⎧=→.0;1,:是偶数是奇数m m m Z Z σσ （2）{}()⎩⎨⎧=→.1;0,1,0:是偶数是奇数m m m N σσ （3）()52,:-=→r r R R σσ解：(1) σ既不是单射也不是满射。
(2) 是满射但不是单射.。
(3) 双射。
2．设A 和B 是有限集，试问有多少A 到B 的不同的单射和双射.解：设 |A|=m , |B|=n .(1) 若 B A →:σ是单射, 则必有 |A|<=|B|, 即 m<=n .a) 当m= n 时, 共有m!个单射;b) 当m<n 时, 共有 !m m n C ⋅ 个单射;(2) 若B A →:σ是双射时, 则必有|A|=|B|, 即 m=n 。
于是, 共有n!个双射。
3．设()A B B A ρτσ→→:,:且定义如下：对于()(){}b x A x b B b =∈=∈στ,试证明，若σ是满射，则τ是单射，其逆成立吗？证明：设B A →:σ是满射。
任取2121,,,b b B b b ≠∈，则存在 A A A ⊆⊆∅21,, 使得 }{)(},{)(2211b A b A ==σσ。
于是, 2211)(,)(A b A b ==ττ 。
若)()(21b b ττ=, 即21A A =, 则存在 21A A a I ∈, 使得21)(,)(b a b a ==σσ,从而21b b =。
矛盾。
故21A A ≠。
.即τ是单射。
若τ是单射, 则σ不一定是满射。
例如, 令A={1,2}, B={x , y} ,∅====)(},2,1{)(,)2()1(y x x ττσσ.于是, τ是单射, 但σ不是满射。
4．设σ是A 到B 的映射，τ是B 到C 的映射，试证明：（1）若σ和τ是满射，则στ⋅是满射；（2）若σ和τ是单射，则στ⋅是单射；（3）若σ和τ是双射，则στ⋅是双射；证明：(1) 设τ和σ是满射, 则对任意的z ∈C, 有y ∈B, 使得τ(y)= z 。
离散数学刘任任版第14章答案.ppt
x 的作用域： H (x, y)
5．设谓词公式。判定以下改名是否正确 ：
x (P(x, y) Q(x, z))
(1)u(P(u, y) Q(x, z))
错误
(2)u(P(u, y) Q(u, z))
正确
(3) x(P(u, y) Q(u, z))
x0 D或y0 D, 使得G（x0,y）或G（x, y0）为假，
于是，此xo或yo亦弄假 yxG(x, y)
（2） xyG(x，y) yxG(x，y)
证：设D是论域，I是G（x, y）的一个解释。
（a)若 xyG(x，y) 在 I 下的为真，则在 I 下,有
8．
• (1) x(G(x) H ) xG(x) H
• (2) x(G(x) H ) xG(x) H
• 证明（1）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
• 证明（2）
x(G(x) H ) x(7G(x) H ) x7G(x) H 7(xG(x)) H xG(x) H
解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x))
(2)有些实数是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : 是有理数。
xyPx Q(x)。
(3)并非所有实数都是有理数。 解：P(x) : x是实数，Q(x) : x是有理数. x(P(x) Q(x)) (4)如果明天天气好, 有一些学生将去公园. 解 : P(x) : x是公园, S(x) : x是学生,W :明天天气好. W x(P(x) S(x))
离散数学
习题解答
1、
湘潭大学计算机科学与技术刘任任版离散数学课后习题答案---第二学期--图论与组合数学
习 题 六1．设G 是一个无回路的图, 求证：若G 中任意两个顶点间有惟一的通路, 则G 是树. 证明：由假设知，G 是一个无回路的连通图，故G 是树。
2．证明：非平凡树的最长通路的起点和终点均为悬挂点. 分析：利用最长通路的性质可证。
证明：设P 是树T 中的极长通路。
若P 的起点v 满足1)(>v d ，则P 不是T 中极长的通路。
对终点u 也可同理讨论。
故结论成立。
3．证明：恰有两个悬挂点的树是一条通路.分析：因为树是连通没有回路的，所以树中至少存在一条通路P 。
因此只需证明恰有两个悬挂点的树中的所有的点都在这条通路P 中即可。
证明：设v u ,是树T 中的两个悬挂点，即1)()(==v d u d 。
因T 是树，所以存在),(v u -通路P ：0,1≥k v w uw k Λ。
显然，2)(≥i w d 。
若2)(>i w d ，则由T 恰有两个悬挂点的假设，可知T 中有回路；若T 中还有顶点x 不在P 中，则存在),(x u -通路，显然u 与x 不邻接，且2)(≥x d 。
于是，可推得T 中有回路，矛盾。
故结论成立。
4．设G 是树, ()k G ≥∆, 求证：G 中至少有k 个悬挂点.分析：由于()k G ≥∆，所以G 中至少存在一个顶点v 的度≥k ，于是至少有k 个顶点与邻接，又G 是树，所以G 中没有回路，因此与v 邻接的点往外延伸出去的分支中，每个分支的最后一个顶点必定是一个悬挂点，因此G 中至少有k 个悬挂点。
证明：设)(G V u ∈，且k m u d ≥≥)(。
于是，存在)(,,1G V v v m ∈Λ，使m i G E uv i ,,1),(Λ=∈。
若i v 不是悬挂点，则有),(G V v i ∈'使。
如此下去，有)()(G V v l i ∈，满足,,)(j i v v j l i≠≠且1)()(=l i v d , m i ,,1Λ=。
故G 中至少有k 个悬挂点。
离散数学课后答案
离散数学课后答案习题一6.将下列命题符号化。
（1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨.（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.答：（1）（p Λ¬q ）ν（¬pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ¬q ）ν（¬pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语14.将下列命题符号化.(1) 刘晓月跑得快, 跳得高.(2)老王是山东人或河北人.(3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服.(4)王欢与李乐组成一个小组.(5)李辛与李末是兄弟.(6)王强与刘威都学过法语.(7)他一面吃饭, 一面听音乐.(8)如果天下大雨, 他就乘班车上班.(9)只有天下大雨, 他才乘班车上班.(10)除非天下大雨, 他才乘班车上班.(11)下雪路滑, 他迟到了.(12)2与4都是素数, 这是不对的.(13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的.答：(1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高.(2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人.(3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服.(4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题.(5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟.(6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语.(7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐.(8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班.(9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨.(11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了.(12) ¬ (p∧q)或¬p∨¬q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数.(13) ¬ ¬ (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数.16.19.用真值表判断下列公式的类型:(1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→¬q) →¬q(3) ¬ (q→r) ∧r(4)(p→q) →(¬q→¬p)(5)(p∧r) ↔( ¬p∧¬q)(6)((p→q) ∧ (q→r)) → (p→r)(7)(p→q) ↔ (r↔s)答：(1), (4), (6)为重言式.(3)为矛盾式.(2), (5), (7)为可满足式习题二9.用真值表求下面公式的主析取范式.(1) (pνq)ν(¬pΛr)(2) (p→q) →(¬p↔q)答：(1)(2)p q (p → q) →(¬p ↔ q)0 0 1 0 0 10 1 1 1 1 01 0 0 1 1 11 1 1 0 0 0从真值表可见成真赋值为01, 10.于是(p → q) →(¬p ↔ q) ⇔ m1 ∨ m211.用真值表求下面公式的主析取范式和主合取范式；(1) (pνq)Λr(2) p→(pνqνr)(3) ¬(q→¬p)Λ¬p15.用主析取范式判断下列公式是否等值:(1) (p→q) →r与q→ (p→r)(2) ¬(pΛq)与(¬pνq)答：(1)(p→q) →r ⇔¬(¬p∨q) ∨ r ⇔¬(¬p∨q) ∨ r ⇔ p¬∧q ∨ r ⇔p¬∧q∧(r¬∨r) ∨(p¬∨p) ∧(q¬∨q)∧r ⇔p¬∧q∧r ∨p¬∧q∧¬r ∨ p ∧q∧r ∨ p∧¬q∧r ∨¬p∧q∧r ∨¬p∧¬q∧r = m101 ∨ m100 ∨ m111 ∨m101 ∨ m011 ∨ m001 ⇔m1 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 = ∑(1, 3, 4, 5, 7).而 q→(p→r) ⇔¬q ∨(¬p∨r) ⇔¬q ∨¬p ∨r ⇔(¬p∨p)¬∧q∧(¬r∨r) ∨¬p∧(¬q∨q)∧(¬r∨r) ∨(¬p∨p)∧(¬q∨q)∧r ⇔(¬p¬∧q∧¬r)∨(¬p¬∧q∧r)∨(p¬∧q∧¬r)∨(p¬∧q∧r) ∨(¬p∧¬q∧¬r)∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p ∧q∧¬r)∨(¬p∧q∧r) ∨(¬p∧¬q∧r)∨(¬p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(p∧q∧r) = m0 ∨ m1 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m1 ∨ m3 ∨ m5 ∨m7 ⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5 ∨ m7 ⇔∑(0, 1, 2, 3, 4, 5, 7). 两个公式的主吸取范式不同, 所以(p→q) →rk q→ (p→r).16. 用主析取范式判断下列公式是否等值:(1)(p→q) →r与q→ (p→r)(2) ¬ (p∧q)与¬ (p∨q)答：(1)(p→q) →r) ⇔m1∨m3∨m4∨m5∨m7q→ (p→r) ⇔m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m7所以(p→q) →r) k q→ (p→r)(2)¬ (p∧q) ⇔m0∨m1∨m2¬ (p∨q) ⇔m0所以¬ (p∧q) k ¬ (p∨q)习题三15.在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理:(1)前提: p→ (q→r), s→p, q 结论: s→r(2)前提: (p∨q) → (r∧s), (s∨t) →u 结论: p→u答：(1)证明: ① s 附加前提引入② s→p 前提引入③ p ①②假言推理④ p→(q→r) 前提引入⑤ q→r ③④假言推理⑥ q 前提引入⑦ r ⑤⑥假言推理(2)证明: ① P 附加前提引入② p∨q ①附加③ (p∨q) → (r∧s) 前提引入④ r∧s ②③假言推理⑤④化简⑥ s∨t ⑤附加⑦ (s∨t) →u 前提引入⑧ u ⑥⑦假言推理16.在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:(1)前提: p→¬q, ¬r∨q, r∧¬s 结论: ¬p(2)前提: p∨q, p→r, q→s 结论: r∨s答：(1)证明: ① P 结论否定引入② p→¬q 前提引入③¬q ①②假言推理④¬r∨q 前提引入⑤¬r ③④析取三段论⑥ r∧¬s 前提引入⑦ r ⑥化简⑧¬r∧r ⑤⑦合取⑧ 为矛盾式, 由归谬法可知, 推理正确.(2)证明: ①¬ (r∨s) 结论否定引入② p∨q 前提引入③ p→r 前提引入④ q→s 前提引入⑤ r∨s ②③④构造性二难⑥¬ (r∨s) ∧ (r∨s) ①⑤合取⑥为矛盾式, 所以推理正确.18.在自然推理系统P中构造下面推理的证明.(1)如果今天是星期六, 我们就要到颐和园或圆明园去玩. 如果颐和园游人太多, 我们就不去颐和园玩. 今天是星期六. 颐和园游人太多. 所以我们去圆明园玩.(2)如果小王是理科学生, 他的数学成绩一定很好. 如果小王不是文科生, 他必是理科生. 小王的数学成绩不好. 所以小王是文科学生.(1)令 p: 今天是星期六;q: 我们要到颐和园玩;r: 我们要到圆明园玩;s:颐和园游人太多.前提: p→ (q∨r), s →¬q, p, s. 结论: r.证明① p 前提引入② p→q∨r前提引入③q∨r①②假言推理④s前提引入⑤ s →¬q前提引入⑥¬q ④⑤假言推理⑦ r ③⑥析取三段论r ¬q s →¬q sq∨r p→q∨r p(2)令p: 小王是理科生,q: 小王是文科生,r: 小王的数学成绩很好.前提: p→r, ¬q→p, ¬r 结论: q证明：① p→r 前提引入②¬r 前提引入③¬p ①②拒取式④¬q→p 前提引入⑤ q ③④拒取式习题四在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)没有不能表示成分数的有理数.(2)在北京卖菜的人不全是外地人.(3)乌鸦都是黑色的.(4)有的人天天锻炼身体. 没指定个体域, 因而使用全总个体域.答：(1) ¬∃x(F(x) ∧¬G(x))或∀x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x为有理数, G(x): x能表示成分数.(2) ¬∀x(F(x) →G(x))或∃x(F(x) ∧¬G(x)), 其中, F(x): x在北京卖菜,G(x): x是外地人.(3) ∀x(F(x) →G(x)), 其中, F(x): x是乌鸦, G(x): x是黑色的.(4) ∃x(F(x) ∧G(x)), 其中, F(x): x是人, G(x): x天天锻炼身体.5. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:(1)火车都比轮船快.(2)有的火车比有的汽车快.(3)不存在比所有火车都快的汽车.(4)“凡是汽车就比火车慢”是不对的.答：因为没指明个体域, 因而使用全总个体域(1) ∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y)), 其中, F(x): x是火车, G(y): y是轮船, H(x,y):x比y快.(2) ∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧H(x,y)), 其中, F(x): x是火车, G(y): y是汽车, H(x,y):x比y快.(3) ¬∃x(F(x) ∧∀y(G(y) →H(x,y))) 或∀x(F(x) →∃y(G(y) ∧¬H(x,y))), 其中, F(x): x是汽车, G(y): y是火车, H(x,y):x比y快.(4) ¬∀x∀y(F(x) ∧G(y) →H(x,y)) 或∃x∃y(F(x) ∧G(y) ∧¬H(x,y) ), 其中, F(x): x是汽车, G(y): y是火车, H(x,y):x比y慢.9.给定解释I如下:(a)个体域DI为实数集合\.(b)DI中特定元素⎯a =0.(c)特定函数⎯f (x,y)=x−y, x,y∈DI.(d)特定谓词⎯F(x,y): x=y,⎯G(x,y): x<y, x,y∈DI.说明下列公式在I下的含义, 并指出各公式的真值:(1) ∀x∀y(G(x,y) →¬F(x,y))(2) ∀x∀y(F(f(x,y),a) →G(x,y))(3) ∀x∀y(G(x,y) →¬F(f(x,y),a))(4) ∀x∀y(G(f(x,y),a) →F(x,y))答：(1) ∀x∀y(x<y→x≠y), 真值为1.(2) ∀x∀y((x−y=0) →x<y), 真值为0.(3) ∀x∀y((x<y) → (x−y≠0)), 真值为1.(4) ∀x∀y((x−y<0) → (x=y)), 真值为0.习题五5.给定解释I如下:(a) 个体域D={3,4}.(b)⎯f (x)为⎯f (3)=4,⎯f (4)=3.(c)⎯F(x,y)为⎯F(3,3)=⎯F(4,4)=0,⎯F(3,4)=⎯F(4,3)=1.试求下列公式在I下的真值:(1) ∀x∃yF(x,y)(2) ∃x∀yF(x,y)(3) ∀x∀y(F(x,y) →F(f(x),f(y)))答：(1) ∀x∃yF(x,y)⇔(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4,4))⇔(0∨1)∧(1∨0) ⇔1(2)∃x∀yF(x,y)⇔(F(3,3)∧F(3,4))∨(F(4,3)∧F(4,4))⇔(0∧1)∨(1∧0)⇔0(3)∀x∀y(F(x,y)→F(f(x),f(y)))⇔(F(3,3)→F(f(3),f(3)))∧(F(4,3)→F(f(4),f(3)))∧(F(3,4)→F(f(3),f(4)))∧(F(4,4)→F(f(4),f(4))) ⇔ (0→0)∧(1→1)∧(1→1)∧(0→0)⇔112.求下列各式的前束范式.(1) ∀xF(x) →∀yG(x, y);(3) ∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y);答：前束范式不是唯一的.(1) ∀xF(x) →∀yG(x, y) ⇔∃x(F(x) →∀yG(x, y))⇔∃x∀y(F(x) → G(x, y)).(3) ∀xF(x, y) ↔∃xG(x, y) ⇔ (∀xF(x, y) →∃xG(x, y)) ∧ (∃xG(x, y) →∀xF(x, y)) ⇔ (∀x1F(x1, y) →∃x2G(x2, y)) ∧ (∃x3G(x3, y) →∀x4F(x4, y)) ⇔∃x1∃x2(F(x1, y) → G(x2, y)) ∧∀x3∀x4(G(x3, y) → F(x4, y)) ⇔∃x1∃x2∀x3∀x4((F(x1, y) → G(x2, y)) ∧ (G(x3, y) → F(x4, y))).13.将下列命题符号化, 要求符号化的公式全为前束范式:(1) 有的汽车比有的火车跑得快.(2) 有的火车比所有的汽车跑得快.(3) 说所有的火车比所有的汽车跑得快是不对的.(4) 说有的飞机比有的汽车慢是不对的.答：(1)令F(x):x是汽车,G(y):y是火车,H(x,y):x比y跑得快.∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧H(x,y))⇔∃x∃y(F(x)∧G(y)∧H(x, y)).(2)令F(x):x是火车, G( y): y 是汽车,H(x,y):x比y跑得快.∃x(F(x)∧∀y(G(y)→ H(x,y)))⇔∃x∀y(F(x)∧(G y)→H(x,y))).;错误的答案:∃x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y)).(3)令F(x):x是火车,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y跑得快.¬∀x(F(x)→∀y(G(y)→H(x,y)))⇔¬∀x∀y(F(x)→(G(y)→H(x,y)))⇔¬∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y))(不是前束范式)⇔∃x∃y(F(x)∧G(y)∧H(x,y)).(4)令F(x):x是飞机,G(y):y是汽车,H(x,y):x比y跑得慢.¬∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧H(x,y)))⇔¬∃x∃y(F(x)∧G(y)∧H(x,y))(不是前束范式)⇔∀x∀y¬(F(x)∧G(y)∧H(x,y))⇔∀x∀y(F(x)∧G(y)→¬H(x,y)).21.24.在自然推理系统F中, 构造下面推理的证明:每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车. 每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车. 有的人不喜欢乘汽车, 所以有的人不喜欢步行. (个体域为人类集合) 答：令 F(x): x 喜欢步行, G( x): x喜欢骑自行车, H(x): x 喜欢乘汽车.前提:∀x(F(x)→¬G(x)), ∀x(G(x)∨H(y)),∃x¬H(x).结论:∃x¬F(x).② ∀x(G(x) ∨ H(y)) 前提引入② G(c) ∨ H(c) ①UI③∃x¬H(x) 前提引入④¬H(c) ③UI⑤ G(c) ②④析取三段⑥∀x(F(x) →¬G(x)) 前提引入⑦ F(c) →¬G(c) ⑥UI⑧¬F(c) ⑤⑦拒取⑨∃x¬F(x) ⑧EG习题七12.设A={0, 1, 2, 3}, R是A上的关系, 且R={〈0, 0〉, 〈0, 3〉, 〈2, 0〉, 〈2,1〉, 〈2, 3〉, 〈3, 2〉} 给出R的关系矩阵和关系图.16.设A={a,b,c,d}, R1,R2为A上的关系, 其中R1={〈a,a〉,〈a,b〉,〈b,d〉}R2={〈a,d〉,〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉} 求R1·R2, R2·R1,R1²,R2³. R1·R2={〈a,a〉,〈a,c〉,〈a,d〉},R2·R1={〈c,d〉}, R1²={〈a,a〉,〈a,b〉,〈a,d〉},R2³={〈b,c〉,〈b,d〉,〈c,b〉}20.设R1和R2为A上的关系,证明: (1)(R1∪R2) −1=R1−1∪R2−1(2)(R1∩R2) −1=R1−1∩R2−1答：(1)(R1∪R2)−1=R1−1∪R2−1任取〈x,y〉〈x,y〉(∈R1∪R2)−1⇔〈y,x〉(∈R1∪R2)⇔〈y,x〉∈R1∨ (y,x)∈R2)⇔〈x,y〉∈R1−1∨〈x,y〉∈R2−1⇔〈x,y〉∈R1−1∨R2−1所以(R1∪R2) −1=R1−1∪R2−1(2)(R1∩R2) −1=R1−1∩R2−1 任取〈x,y〉〈x,y〉(∈R1∩R2) −1⇔〈y,x〉(∈R1∩R2)⇔〈y,x〉∈R1∧ (y,x)∈R2)⇔〈x,y〉∈R1−1∧〈x,y〉∈R2−1⇔〈x,y〉∈R1−1∧R2−1所以(R1∪R2) −1=R1−1∩R2−126.33.43.16.47.。
湘潭大学 刘任任版 离散数学课后习题答案 习题12
习 题 十 二1．一个简单图G 有多少不同的定向图？分析：由于简单图的每条边有两种不同的方向可供选择，因此具有q 条边的无向简单图G 共有2q 个不同的定向图。
解.设),(q p G 是简单图，则G 共有2q 个不同的定向图。
2．简单有向图的基础图一定是简单图吗？分析：有向图的基础图是将有向边变成无向边所得到的无向图，由于在有向图中（u,v ）和(v,u) 是两条不同的边，能含有重边，从而不是简单图。
解：不一定，如右图。
3．设),(q p D 是简单有向图，证明：（1）若D 是强连通图，则)1(-≤≤p p q p （2）若D 是弱连通图，则)1(1-≤≤-p p q p分析：强连通图D 是指D 中任意两个顶点间存在双向的通路，因此D 的基础图G 必含H 回路，一条H 回路的边数至少有p 条边，因此p q ≤；另一方面，由于完全强连通图的边数等于)1(-p p ，因此简单有向图D 的边数)1(-≤p p q 。
弱连通图D 是指D 的基础图是连通图的有向图，根据习题5第16题（1）有具有q 个顶点的连通图的边至少有p-1条，因此q p ≤-1。
证明（1）因D 是强连通图，故D 中任意两个顶点v u ,之间既存在),(v u 通路，又存在有向),(u v 一通路，于是，D 的基础图G 必含H 回路.故p q ≤，又因D 是简单有向图.故D 中任何两个顶点之间最多有二条弧，从而)1(-≤p p q ，故)1(-≤≤p p q p .（２）因D 是弱连通图，故D 的基础图G 是连通的，若G 无回路，则1-=p q ，因此，)1(1-≤≤-p p q p4．设),(q p D 是有向图，证明：∑∑==-+==pi pi i D i Du d q u d11)()(分析：)(v d D +是指有向图D 中顶点v 的出度，即以顶点v 为尾的弧的条数；由于D 中的任一弧恰有一个头和一个尾，因此，每增加一条弧，对D 的所有顶点来说，肯定会增加一个出度，同时也会增加一个入度。
《离散数学》课后习题答案
1-1，1-2（1）解：a)是命题，真值为T。
b)不是命题。
c)是命题，真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题，真值为T。
f)是命题，真值为T。
g)是命题，真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
（2）解：原子命题：我爱北京天安门。
复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：a)(┓P ∧R)→Qb)Q→Rc)┓Pd)P→┓Q（4）解：a)设Q:我将去参加舞会。
R:我有时间。
P:天下雨。
Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:我在看电视。
Q:我在吃苹果。
R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。
R:一个数不能被2除。
（Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
(5) 解：a)设P：王强身体很好。
Q：王强成绩很好。
P∧Qb)设P：小李看书。
Q：小李听音乐。
P∧Qc)设P：气候很好。
Q：气候很热。
P∨Qd)设P： a和b是偶数。
Q：a+b是偶数。
P→Qe)设P：四边形ABCD是平行四边形。
Q ：四边形ABCD的对边平行。
P Qf)设P：语法错误。
Q：程序错误。
R：停机。
（P∨ Q）→ R(6) 解：a)P:天气炎热。
Q:正在下雨。
P∧Qb)P:天气炎热。
R:湿度较低。
P∧Rc)R:天正在下雨。
S:湿度很高。
R∨Sd)A:刘英上山。
B:李进上山。
A∧Be)M:老王是革新者。
N:小李是革新者。
M∨Nf)L:你看电影。
M:我看电影。
┓L→┓Mg)P:我不看电视。
Q:我不外出。
R:我在睡觉。
P∧Q∧Rh)P:控制台打字机作输入设备。
Q:控制台打字机作输出设备。
P∧Q1-3（1）解：a)不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b)是合式公式c)不是合式公式（括弧不配对）d)不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e)是合式公式。
（2）解：a）A是合式公式，(A∨B)是合式公式，(A→(A∨B))是合式公式。
刘任任离散数学答案
刘任任离散数学答案【篇一：湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题17】设g是群，a,b?g.试证：(a?1)?1?a(ab)?1?b?1a?1证明：设e是单位元（下同），直接根据定义即有：? a?1a?e, (ab)(b?1a?1)?a(bb?1)a?1?(ae)a?1?aa?1?e,? (a?1)?1?a, (ab)?1?b?1a?12. 试举一个只有两元素的群。
解：设g??{0, 1}, ? ?，并且g的单位元为0,则可以确定乘法表中的三个元素，0?0=0；0?1=1；1?0=1；由群的定义，任意元素都有逆元，0的逆元为0，1的逆元为1，因此1?1=0?1易知，单位元e?0，运算满足封闭性和结合律，且1?1。
故g是群。
3. 设a?{1,2,3,4}的乘法表为1234124132123434321431 42问：a是否成为群？若不是群，结合律是否成立？a有无单位元?解：如果a是一个群，则一定有单位元i，乘法表中第i行第i列元素保持不变，而定义的乘法表不满足此性质。
因此a无单位元，故a 不成群。
且4?(2?3)?4?2?(3?4)?1,无结合律。
4. 设g是群.试证：若对任何a,b?g，均有a3b3?(ab)3,a4b4?(ab)4,a5b5?(ab)5，则g是交换群.证明：利用消去律，将各等式降阶。
? a3b3?(ab)3?a(ba)2b, ?a2b2?(ba)2 (1)5554444又 ? ab?(ab)?a(ba)b, ?ab?(ba) (2)22222222因此， ab?(ba)?(ba)(ba)?(ab)(ab)?a(ba)b, 于是，2222得 ab?ba, 再由(1)知，b2a2?a2b2?(ba)2?baba, 故有 ab?ba. 44(2)422(1)5. 设g是群.试证：若对任何a?g，有a?1?a，则g是交换群。
?1?1?1证明：利用群的性质(3),(4),对任意a, b?g，有ab?ab?(ba)?ba。
离散数学习题解答 第十四章习题解答(2)
单位元e的阶为1; ∵G中元素个数为偶数=1+p+2q;
∴p为奇数，即阶为2的元素个数为奇数.
14.20G为群，a,b∈G,已知ab = ba,a的阶为n， b的阶为m，证明：
证明：设(a) (b)={e,x}.则存在r,t Z, s.t. x=ar=bt,且0< r< p. Qp为素数, (r,p)=1.
存在n,m Z, s.t. mr + np = 1.
Q a=amr+np=amr·anp=(bt)m · e=btm (b),矛盾.
Q (a) (b)={e}.
4.设G是rs阶循环群，H1和H2分别为G的r阶 和s阶子群，证明：G= H1H2
(2)当b为G的一个子群的生成元时，(k,n)=r.
解答：设H为G的一个子群，b为H的生 成元，记H的阶为p.
则由拉格朗日定理可得r =|G|/|H|,即n=pr.
b为H的生成元 bp = (ak)p = e (n/p)|k r|k.
(k,n)=r.
n |kp
补充题：
1.[H1;·] [H2; ·]是[G; · ]的子群，[H1 H2; 是否为群[G; · ]的子群？说明理由.
14.12将下述置换分解为不含公共元的循环 置换，然后再将其分c e) = (a f) (f b) (c e).
14.13已知置换δ =(1 2 … n), S = (1 2 3)(4 5),
T = (1 4)(3 2)(1 6).
求：(1)δ-1
(1)( n, m ) =1时，ab阶为nm.
离散数学课后习题答案
第1章习题解答1．1 除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。
分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。
本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。
其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。
又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。
（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。
这里的“且”为“合取”联结词。
在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是… … ”、“不仅……，而且… … ”、“一面……，一面… … ”、“……和… … ”、“……与……”等。
但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。
例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。
1．2 （1）p : 2是无理数，p 为真命题。
（2）p : 5能被2 整除，p 为假命题。
（6）p →q 。
其中，p : 2是素数，q：三角形有三条边。
由于p 与q 都是真命题，因而p →q 为假命题。
（7）p →q ，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。
由于p 为假命题，q 为真命题，因而p →q 为假命题。
（8）p : 2000年10 月1 日天气晴好，今日（1999 年2 月13 日）我们还不知道p 的真假，但p 的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。
（9）p：太阳系外的星球上的生物。
它的真值情况而定，是确定的。
离散数学课后习题答案
习题参考解答习题1.11、（3）P：银行利率降低Q：股价没有上升P∧Q（5）P：他今天乘火车去了北京Q：他随旅行团去了九寨沟QP∇（7）P：不识庐山真面目Q：身在此山中Q→P，或～P→～Q（9）P：一个整数能被6整除Q：一个整数能被3整除R：一个整数能被2整除T：一个整数的各位数字之和能被3整除P→Q∧R ，Q→T2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F（6）T （7）F （8）悖论习题 1.31（3）)()()()()()(RPQPRPQPRQPRQP→∨→⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨∨⌝⇔∨→（4）()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右2、不， 不， 能习题 1.41(3) (())~((~))(~)()~(~(~))(~~)(~)P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、主合取范式)()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(())()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝=∧∨⌝∧∨⌝=∨⌝∧∨⌝=→∧→ ————主析取范式(2) ()()(~)(~)(~(~))(~(~))(~~)(~)(~~)P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨2、()~()(~)(~)(~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价 3、解：根据给定的条件有下述命题公式：（A →（C ∇D ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ）⇔（～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ） ⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ）） ∧（～C ∨～D ）⇔（～A ∧～B ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～C ）∨ （～A ∧～C ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ∧～C ）∨（～A ∧～B ∧～D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～D ）∨ （～C ∧D ∧～C ∧～D ）（由题意和矛盾律）⇔（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～B ∧～A ）∨ （～A ∧～C ∧B ）∨ （～A ∧～C ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧～D ）∨ （～A ∧～C ∧～B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ） ⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ） ∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ） 三种方案：A 和D 、 B 和D 、 A 和C习题 1.51、 （1）需证()(())P Q P P Q →→→∧为永真式()(())~(~)(~())~~(~)(()(~))~(~)(~)()P Q P P Q P Q P P Q P P P Q P Q TP Q P Q TP Q P P Q →→→∧=∨∨∨∧∨=∨∨∧∨=∨∨∨=∴→⇒→∧ （3）需证S R P P →∧⌝∧为永真式SR P P T S F S R F S R P P ⇒∧⌝∧∴⇔→⇔→∧⇔→∧⌝∧3A B A B ⇒∴→、为永真式。
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习题十四1．试判断下列语句是否为命题，并指出哪些是简单命题，哪些是复合命题。
分析：本题主要是考察命题的定义，只要理解定义即可。
（1）2是有理数。
解：是命题，且为简单命题（2）计算机能思考吗？解：非命题（3）如果我们学好了离散数学，那么，我们就为学习计算机专业课程打下了良好的基础。
解：是命题，且为复合命题。
（4）请勿抽烟！解：非命题。
（5）X+5＞0解：非命题。
（6）π的小数展开式中，符号串1234出现奇数次。
解：是命题，且为简单命题。
（7）这幅画真好看啊！解：非命题。
（8）2050年元旦的那天天气晴朗。
解：是命题，且为简单命题。
（9）李明与张华是同学解：是命题，且为简单命题。
（10）2既是偶数又是质数。
解：是命题，且为复合命题。
2．讨论上题中命题的真值，并将其中的复合命题符号化。
解：（1）F （3）T （6）不知真假（8）不知真假（9）真或假，视情况而定（10）T（3）P：我们学好了离散数学。
Q：我们为学习计算机专业课程打下了良好的基础。
P→Q（10）P：2是质数；Q：2是偶数；P∧Q3．将下列命题符号化分析：本题主要是考察命题的符号化，主要是要分清合取、析取、蕴含、等价的使用环境。
（1）小王很聪明，但不用功解：P：小王很聪明；Q：小王不用功；P∧Q（2）如果天下大雨，我就乘公共汽车上班。
解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；P→Q（3）只有天下大雨，我才乘公共汽车上班解：P：天下大雨；Q：我乘公共汽车上班；Q→P（4）不是鱼死，就是网破解：P：鱼死；Q：网破；P∨Q（5）李平是否唱歌，将看王丽是否伴奏而定。
解：P：李平唱歌Q：王丽伴奏P Q4．求下列命题公式的真值表：分析：主要考察真值表。
这个最好自己按照一个思路写出来所有的解释，不要遗漏。
（可以参考二进制来进行给出解释，例如：P，Ｑ，那么我们可以按照这样的顺序给出解释：（０，０）（０，１）（１，０）（１，１））（1）P →(Q ∨R)()101111111100111011111000011011000010111P Q R Q R P Q R ∨→∨(2)P ∧（Q ∨⌝R ）解：()111011101000011010001000110111100111010110011P Q R R Q R P Q R ⌝∨⌝∧∨⌝（3）())(Q Q P P →→∧解：()())((111101001111110001QQ P P Q P P Q P Q P →→∧→∧→（4）()P Q Q ⌝→∧解：()()011001000011101001Q Q P Q P Q P Q P ∧→⌝→⌝→（5）()()Q P Q P ∧↔∨11100001111100101)()(Q P Q P Q P Q P Q P ∧↔∨∧∨5．用真值表方法验证下列基本等值式分析：本题主要是通过验证等值符号两边的真值表相同即可。
（1）分配律解：1）)()()(R P Q P R Q P ∨∧∨⇔∧∨1100000000111100111111000111111110010001001111111111110101)()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q R Q P ∨∧∨∨∨∧∨∧∴)()(R P Q P R Q P ∨∧∨⇔∧∨ （2）De Morgen 律 ⅰ) ()P Q P Q ⌝∧⇔⌝∨⌝ ⅱ) ()P Q P Q ⌝∨⇔⌝∧⌝ⅰ) ()11100001001011010110101111P Q P Q P Q P Q P Q ∧⌝∧⌝⌝⌝∨⌝ⅱ) ()11100001010010011010001111P Q P Q P Q P Q P Q ∨⌝∨⌝⌝⌝∧⌝(3) 吸收律ⅰ)()P Q P P ⇔∨∧ ⅱ) ()P Q P P ⇔∧∨ⅰ) ()011000011111101Q P P Q P Q P ∨∧∨ⅱ) ()1000011111001Q P P Q P Q P ∧∨∧6．用等值演算的方法证明下列等值式：分析：本题主要是通过所学过的基本等值式来进行等值演算，把某一边转换到另一边，或者是两边同时等值演算到一个相同的命题公式。
（1）()()P Q P Q P ∧∨∧⌝⇔解：()()()P Q P Q P Q Q P ∧∨∧⌝⇔∧∨⌝⇔（2）()()()()R Q P R P Q P ∧→⇔→∧→( 解：()()()()()()()(())P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∨∧⇔→∧（3）()()()()P Q P Q P Q ⌝↔⇔∨∧⌝∧解：()()()()()()()P Q P Q Q P P Q Q P ⌝↔⇔⌝→∧→⇔⌝⌝∨∧⌝∨()()()()()()P Q Q P P Q Q P ⇔⌝⌝∨∨⌝⌝∨⇔∧⌝∨∧⌝⇔()()()()()()()P Q Q P Q P P Q Q Q ∧⌝∨∧∧⌝∨⌝⇔∨∧⌝∨∧()()()()()()()P P Q P P Q Q P P Q P Q ∨⌝∧⌝∨⌝⇔∨∧⌝∨⌝⇔∨∧⌝∧7．设A 、B 、C 为任意命题公式，试判断以下的说法是否正确，并简单说明之。
分析：本题主要是两个命题公式的析取、合取、否满足一定条件，另外的一种情况的结论是否满足。
成立给出证明，不成立给出反例。
（1）若B A C B C A ⇔∨⇔∨则,。
解：不正确。
如A 为真，B 为假，C 为真时， C B C A ∨⇔∨成立，但B A ⇔不成立。
（2）若B A C B C A ⇔∧⇔∧则,。
解：不正确，如A 为真，B 为假，C 为假时，C B C A ∧⇔∧成立，但B A ⇔不成立。
（3）若,A B A B ⌝⇔⌝⇔则。
解：成立。
A ⌝，B ⌝同真时，A 、B 同假，A ⌝、B ⌝假时，A ，B 同真。
8．下表是含两个命题变元的所有命题公式F 1~F 16的真值表，试写出每个命题公式Fi 的最多两个命题变元的具体形式，i=1,2……16。
111111111111001100110011000111110000111100001011111111000000000016151413121110987654321F F F F F F F F F F F F F F F F Q P 分析：本题主要是观察所给出的真值表，通过两个命题变元的析取、合取、否、蕴含、等价等基本运算来写出对应的命题公式。
解：0:1F Q P F ∧:23:F P Q ∧⌝ P F :4 5:F P Q ⌝∧ Q F :6()1:F P Q ⌝↔ Q P F ∨:8 Q P F ⌝∧⌝:9 Q P F ↔:10 11:F Q ⌝ 12:F P Q ∨⌝P F 7:13 Q P F →:14()15:F P Q ⌝∧ 1:16F11．求下列命题公式的析取范式和合取范式：分析：通过所学过的基本等值式经过等值演算写出析取范式、合取范式。
（1）()P Q R ⌝∧→解：原式⇔()()P Q R P Q R P Q R ⌝⌝∧∨⇔∨⌝∨⇔∨⌝∨（析、合取范式）（2）()R Q P →→ 原式()()()P Q R P Q R P Q R ⇔⌝∨→⇔⌝⌝∨∨⇔∧⌝∨∴析取范式为：()P Q R ∧⌝∨又()()()P Q R P R Q R ∧⌝∨⇔∨∧⌝∨ ∴合取范式为：()()P R Q R ∨∧⌝∨ (3)()()P Q Q P ⌝→→⌝∨解：原式()()P Q Q P ⇔∨→⌝∨()()()()()7()P Q Q P P Q Q P P Q Q Q P⇔⌝∨∨⌝∨⇔⌝∧⌝∨∨⇔⌝∧⌝∨⌝⇔⌝∨∴析、合取范式均为:Q P ⌝∨(4)()P Q P R ⌝→∧∧解：原式()()R Q P R P Q P R P Q P ∧⌝∧⇔∧∧⌝∧⇔∧∧∨⇔77 ∴析、合取范式均为：()R Q P ∧⌝∧12．求下列命题的主析取范式和主合取范式分析：通过所学过的基本等值式，经过等值演算写出析取范式、合取范式，然后再根据定理求出对应的主析取范式、主合取范式。
（1）()()P Q P Q ⌝∨⌝→↔⌝解：原式()()()()()P Q P Q Q P P Q ⇔⌝∨⌝→→⌝∧⌝→⇔⌝∨⌝→()()()P Q Q P ⌝∨⌝∧∨()()()(()()()()()(P Q P Q Q P P Q P Q P Q Q⇔⌝⌝∨⌝∨⌝∨⌝∧∨⇔⌝⌝∨⌝∨⌝∨⌝∧⌝⌝∨⌝∨()P Q P Q Q P ∨⇔∨∨∧∧⇔)(1∴主合取式为P Q ∨=M 0∴主析取式为m 1∨m 2∨m 3=)()()(Q P Q P Q P ∧∨⌝∧∨∧⌝⇔ （2）()()()P P Q Q R ∨⌝→∨⌝→解：原式⇔()R Q P R Q P P R Q Q P P ∨∨⇔∨∨∨⇔∨∨∨∨)()))(((∴主合取式为：R Q P ∨∨=M 0∴主析取式为：7654321m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨ 即：()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R ⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧∧∨∧⌝∧⌝∨()()()P Q R P Q R P Q R ∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧（3）()()P R P Q ⌝→∧↔解：原式()()()()()()P R P Q Q P P R P Q P Q ⇔⌝→∧→∧→⇔∨∧⌝∨∧∨⌝ ()()()()()())(()()P R Q Q P Q R R P Q R R ⇔∨∨∧⌝∧⌝∨∨∧⌝∧∨⌝∨∧⌝()()()()()P R Q P R Q P Q R P Q R P Q R ⇔∨∨∧∨∨⌝∧⌝∨∨⌝∧⌝∨∨∧∨⌝∨⌝∨()()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ∨⌝∨⇔∨∨∧∨⌝∨∧⌝∨∨⌝∧⌝∨∨()()P Q R P Q R ∧∨⌝∨⌝∧∨⌝∨∴主合取范式为：()()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ∨∨∧∨⌝∨∧⌝∨∨⌝∧⌝∨∨∧∨⌝∨⌝=M 0 ∧ M 2∧ M 3∧M 4 ∧M 5 。
∴主析取范式为：761m m m ∨∨=()()()P Q R P Q R P R Q ⌝∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧∧ 13．通过求主析取范式，证明：()P P Q P Q ∨⌝∧⇒∨分析：本题主要是通过求主析取范式来证明一个命题公式蕴含另外一个命题公式。
这个题目如果没有要求用主析取范式来证明，我们同时也可以用求主合取范式来证明结论。
证：()(())()()()()P P Q P Q Q P Q P Q P Q P Q ∨⌝∧⇔∧⌝∨∨⌝∧⇔∧⌝∨∧∨⌝∧ ()(())(())()()P Q P Q Q Q P P P Q P Q ∨⇔∧∨⌝∨∧⌝∨⇔∧∨∧⌝∨ ()()()()()Q P P Q P Q P Q P Q ∧⌝∨∧⇔∧∨⌝∧∨∧⌝∴两式的主析取范式相同，即()P P Q ∨⌝∧为真时，Q P ∨亦为真，此时()()P P Q P Q ∨⌝∧→∨成立而()P P Q ∨⌝∧为假时，不论Q P ∨为何值()()P P Q P Q ∨⌝∧→∨成立 ∴()()P P Q P Q ∨⌝∧→∨为重言式 故()()P P Q P Q ∨⌝∧⇒∨14．构造下面推理的证明：分析：本题主要是通过构造证明法，依据所学的基本的蕴含式来证明。