有限元试题总结

一、简答题（40分，每小题5分）1、 分别写出板弯类单元和平面应力膜单元上一个有限元节点的位移自由度及其相对应的节点力列阵？(1)薄板弯曲问题单元每节点三自由度，即每个结点有三个位移分量：挠度w ,绕x 、y 轴转角⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧y x y x w θθ轴转角绕轴转角绕挠度，即结点i 的位移{}iyi xi i i x w y ww w d ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=θθ ()4,1K =i同理,相应的结点力{}）轴力偶（上节中的绕）轴力偶（上节中的绕竖向力x y M y M x ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=yi xi i i M M f F(2)平面应力膜单元每个节点两自由度，{},Ti i u v ,对应节点力{},Txi yi f f2、 欲求解在ay by cx R '''++=约束下的泛函(;,)ba I F x y y dx '=⎰极值，新泛函应如何构造？答：*{(;,)()}baI F x y y ay by cx R dx λ''''=+++-⎰3、 欲求解在()(),,R P x y dx Q x y dy =+⎰Ñ约束下的泛函(;,)baI F x y y dx '=⎰极值，新泛函应如何构造？答：()()*{(;,)[,,']}ba I F x y y P x y Q x y y R dx λ'=++-⎰4、 满足()f gg f ds L ''+=⎰Ñ条件下的泛函(;,)baI F x y y dx '=⎰极值求解应如何构造新泛函？答：*{(;,)[(''baI F x y y f g g f dx λ'=++⎰5、 写出直梁弯曲问题的势能原理表达式，并说明真解的充分必要条件？ 答：一变剖面梁，一端()0=x 固支，另一端()l x =简支。

承受轴向拉力N ，分布横向载荷()x q 以及端点弯矩l M 的作用。

(3) 系统总势能∏：()⎰'+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏l l l w M dx qw dx dw N dx w d EJ 022222121充要条件：在所有变形可能的挠度中使系统的总势能取最小值的扰度为真解。

6、 写出用一维Hermit 型基函数（形状函数）构造未知位移场函数的表达式，并说明用其分段插值的场函数连续性性质？答：()()()()e T j j i i H H w H H w w U N 21201110=+++=βϕββϕβ 1230()132H βββ=-+， 1231()2H ββββ=-+ 2230()32H βββ=-， 2231()H βββ=-+在单元内的场函数连续性要高（单元内二阶导连续），而在单元间的节点上，要低一阶（一阶导连续，二阶导存在）。

P397、 Hermit 型分段插值基函数（形状函数）的基本性质有哪些？并说明用该基函数插值获得的场函数连续性性质如何？答：四个形状函数为三次函数；其中，1()H β，20()H β一节导函数值在两端点都为0；1()H β函数值在左节点为1，右节点为0；20()H β相反；所以这两个形状函数对w 的节点值有影响，而不影响w 一阶导在端点的值；11()H β，21()H β在两节点的值均为0；11()H β一阶导函数值在左节点为1，在右节点为0，21()H β相反；说明这两个形状函数对w 的节点导数值有影响，而不影响w 在端点的值。

在单元内的场函数连续性要高（单元内二阶导连续），而在单元间的节点上，要低一阶（一阶导连续，二阶导存在）。

8、 叙述一个平衡弹性结构体的势（位）能驻值原理？最小势能原理与驻值原理有什么关系？答：在弹性体系的所有几何可能位移状态中，其真实的位移状态使总势能为驻值（可能极大、极小或者始终保持不变）。

由此得到的驻值条件等价于平衡条件。

但是，其平衡状态有稳定的、不稳定的和随遇平衡三种，要判别平衡状态究竟属于哪一种，还必须进一步考察总势能的二阶变分情况。

最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的特殊情况。

9、通过势能泛函近似得到的有限元数值解是什么性质？常规协调单元的收敛性规律如何（可用曲线描述）？答：按照最小势能原理求解时，必须首先假定单元位移函数，这些位移函数是连续的，但却是近似的。

从物体中取出一个单元，作为连续介质的一部分，本来具有无限个自由度，在采用位移函数之后，只有以节点位移表示的有限个自由度，这相当于位移函数对单元变形能力有所限制，使得单元刚度增加，物体的整体刚度也增加了，因而计算的位移近似解小于精确解。

当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。

10、由最小位能原理获得的有限元解收敛性具有什么特征（可用曲线说明）？答：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。

以一平板任意方向变形为例，如图所示：位移精确解可能是一复杂的非显式曲线，有限元离散后，单元内的变形是节点位移的线性插值函数，这样得到的计算解曲线以折线逼近精确解。

如果采用二次曲线逼近，则计算精度与计算效率可大大提高，二次曲线即有限元中的高次单元。

同样，当有限元网格无限密化时，计算解将无限逼近精确解。

考虑计算过程中的数值计算误差（例如：截断误差），限制了有限元网格的过分密化。

11、写出一般线弹性体的基本控制方程？边值条件有哪些？ 答：平衡方程：,0ij j i f σ+= （在弹性体Ω内） 几何方程：,,1()2ij i j j i u u ε=+物理方程：ij ijkl kl D σε= （在弹性体Ω内）边界条件：a.位移边界条件i i u u =（在位移边界u Γ上）； b.应力边界条件0ij j i n T σ-=（在应力边界σΓ上）； c.混合边界条件12、等参元的数值积分最高精度2n -1，指的是什么？若积分点偏少可能发生什么情况？答：指的是n 个积分点的高斯积分可达2n-1阶的精度；高斯积分计算刚度矩阵时：[][][][]∑==gi Ti eJ B D B h K 1当高斯积分阶数等于被积函数所有项次精确积分所需要的阶次时，称为完全积分；低于时，称为减缩积分。

对等参元的数值积分，积分点减少可能对积分的精度和结构总体刚度矩阵的奇异性造成影响。

（1）在最小位能原理基础上建立的位移有限元，其整体刚度偏大，选取积分点偏少的减缩积分方案将使有限元计算模型的刚度有所降低，因此可能有助于提高计算精度。

（2）求解系统方程Ka =P 时，要求引入强迫边界条件后K 必须非奇异。

但当采用较少的积分点数目，可能造成K 最大志小于独立自由度数，也即刚度矩阵K 奇异，则平衡方程组无唯一解。

13、有限元结构总刚矩阵有哪些性质？采用一维变带宽存贮方法的方程组求解方案的可行性原因何在？答：总纲特征：对称性；稀疏性；带状性；奇异性（置入边界条件后是正定的）有限元总体刚度矩阵是稀疏矩阵，绝大多数矩阵值都为0，如果在内存与外存中按照矩阵格式保存，则会浪费大量资源。

一维变带宽存储是建立一个一维数组，把总刚矩阵中每行第一个非零元素以及后面直到对角线元素按行顺序存放，同时建立另外一个一维数组（称为定位数组），记录总刚矩阵每行对角线元素在一维刚度数组中的位置，这样，通过两个较小的一维数组就实现了较大规模的总体刚度矩阵的存储、定位与获取。

14、任意四边形平面应力单元的某一节点自由度需用与结构总体坐标系不同的局部坐标系表达，写出该单元刚度刚阵的符号表达式？ 答：[][]()[][]()1111eTK B D B d d ξηξηξη++--=⎰⎰,,J15、写出受压杆稳定性问题的泛函表达式，解释临界失稳载荷的力学含义？答：⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=llcr dx w dx d dx w dx d EJ P 020222min当P <P cr 时，系统永远是正定的（稳定的）；当P >P cr 时，系统是不定的；P =P cr 点，系统从正定到不定的过渡状态，即系统处在随遇平衡状态。

16、对仅受分布横向载荷q (x ) 的悬臂梁，写出具体势能泛函表达式？变分的结果有哪些，什么性质？答：⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∏l dx qw dx w d EJ 022221{}⎰-+-=∏l l l EJw w EJw wdx q EJw0)3(0)4(||)'(''δδδ，可得：对于微分方程0)4(=-q EJw基本边界条件：x=0，w=0,dw/dx=0;自然边界条件：x=l ，w ’’=0,w ’’’=0;17、你所理解的有限元素法基本概念有哪些? 答：依据求解问题的路径不同，有限元方法大致可分为：位移法：以位移为基本未知量；力法：应力为基本未知量；混合法：部分以位移；部分以应力为基本未知量。

将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。

从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成,对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解,然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件),从而得到问题的解。

这个解不是准确解,而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高,而且能适应各种复杂形状,因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。

有限元法是Rayleigh-Ritz 法的一种局部化情况。

不同于求解(往往是困难的)满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh-Ritz 法,有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数),且不考虑整个定义域的复杂边界条件,这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

18、经典Ritz 方法与现代有限元方法有何异同？答：有限元法=Rayleigh Ritz 法＋分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz 法的一种局部化情况。

两种方法都需要寻找坐标基函数；但两者差别在于Ritz 法需要满足全域的连续函数作为坐标函数，这将引起解的代数方程组可能满阵，造成较大计算工作量；有限元方法是寻找分片连续函数来逼近，基函数是在单元中选取的．由于各个单元具有规则的几何形状，而且可以不必考虑边界条件的影响，因此在单元中选取基函数可遵循一定的法则。