华中科技大学2004年《数学分析》试题

华中科技大学2004年《数学分析》试题

(试题由博士论坛之硕博之路版主hfg1964录入)

以下每题15分

1．设00x =，1

n

n k

k x a

==

∑（1n ≥），n x b →（n →∞）．求级数11

()n n n n a x x ∞

-=+∑之和．

2．设(0)(1)f f =，''()2f x ≤（01x ≤≤）．证明'()1f x ≤（01x <<）．此估计式能否改进？ 3．设(,)f x y 有处处连续的二阶偏导数，'(0,0)'(0,0)(0,0)0x y f f f ===．证明

(,)f x y 1

22

1112220

(1)[(,)2(,)(,)]t x f tx ty xyf tx ty y f tx ty dt =

-++⎰

．

4．设(,)f x y 在,0x y ≥上连续，在,0x y >内可微，存在唯一点00(,)x y ，使得00,0x y >，

0000'(,)'(,)0x y f x y f x y ==．设00(,)0f x y >，(,0)(0,)0f x f y ==（,0x y ≥），

2

2

lim (,)0x y f x y +→∞

=，证明00(,)f x y 是(,)f x y 在,0x y ≥上的最大值．

5．设处处有''()0f x >．证明：曲线()y f x =位于任一切线之上方，且与切线有唯一公共点．

6．求22

49L

xdy ydx

I x y

-=

+⎰

，L 是取反时针方向的单位圆周．

7．设()f 是连续正值函数，

2

2

2

2

2

2

2

222

2222

()()()()x y z t

x y t

f x y z dxdydz

F t x y f x y dxdy

++≤+≤++=

++⎰⎰⎰

⎰⎰

．

证明()F t （0t >）是严格单调减函数．

8．设级数0

1

n n a n ∞

=+∑

收敛，证明

1

1n

n

n n n a a x dx n ∞∞

===

+∑

∑⎰．

9．设()f x 在[0,)∞上连续，其零点为01:0n n x x x x =<<<< ，()n x n →∞→∞．证明：积分0

()f x dx ∞

⎰

收敛⇔级数10

()n n

x x n f x dx +∞

=∑

⎰

收敛．

10．设a b <，()n f x 在[,]a b 上连续，()0b

n a

f x dx ≥⎰（1,2,n = ），当n →∞时，()n f x 在[,]

a b 上一致收敛于()f x ．证明：至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x ≥．